平行关系的判定

1.5.1 平行关系的判定（一）直线与直线平行的判定方法1.利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 推理模式：3.判定方法：○1○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2○2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3○3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直.4.利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；5.利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；6.利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；7.利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；8.利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行.a l a l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒α ab（二）直线与平面平行的判定方法1.利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2.利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）.3.利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面.（三）平面和平面平行的判定方法1.利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2.利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；符号表示：a βb βa ∩b = P β∥α a ∥α b ∥α3.证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明.利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾. （2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行.用符号表示是：a ∩b ，a α，b α，a ∥β，b ∥β，则α∥β.（3）垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是：a ⊥α，a ⊥β则α∥β. （4）平行于同一个平面的两个平面平行.//,////αβαγβγ⇒4.利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；5.利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．6.利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；例1 如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD 各边上，求证：BD//平面EFGH.证明：∵EH // FG , EH Ë平面BCD ，FG Ì平面BCD ，∴EH // 平面BCD .又∵EH 在平面ABD内，∴EH // BD .又∵ EH 在平面 EFGH内 , BD 不在平面 EFGH内 ,∴ BD // 平面 EFGH .点评：转化思维链是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行”. 此题属于教材（必修②人教A 版）中第64 页的3 题的演变, 同样还可证 AC // 平面EFGH . 例2.正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN求证：MN∥平面BEC分析：证线面平行⇐线线平行，需找出面BEC 中与MN 证法（一）：作NK ∥AB 交BE 于K ，作MH ∥AB 交BC 于H ∴MH ∥NK∵ABCD 与ABEF 是两个有公共边AB 的正方形 ∴它们是全等正方形 ∵AM=FN ∴CM=BN又∠HCM=∠KBN ，∠HMC=∠KNB ∴△HCM ≌△KBN ∴MH=NK ∴MHKN 是平行四边形 ∴MN ∥HK ∵HK ⊂平面BEC MN ⊄平面BEC ∴MN ∥平面BEC证法（二）：分析：利用面面平行⇒线面平行 过N 作NP ∥BE ，连MP ，∵NP ∥AF ∴FN/FB=AP/AB ∴AM=FN ，AC=BF ∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC ∴MP ∥BC ∴平面MNP ∥平面BCE ∴MN ∥平面BCE例3（1）空间三条直线两两相交可确定几个平面？（2）空间四条平行直线可确定几个平面？（3）空间一条直线和直线外三点，可确定几个平面？ 答案：（1）1个或3个（2）1个，4个或6个 （3）1个，3个或4个[例2]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E.F 分别为棱BC.C1D1 的中点. 求证：EF ∥平面BB1D1D.证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则OE ∥DC ， OE=1/2DC. ∵ DC ∥D1C1， DC=D1C1 ， F 为D1C1 的中点，∴ OE ∥D1F ， OE=D1F ， 四边形D1FEO 为平行四边形.F EN KA P BM HD C∴ EF∥D1O.又∵ EF不在平面BB1D1D， D1O不在平面BB1D1D，∴ EF∥平面BB1D1D.例4 已知直线l//平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（）.A.平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面答案;D。

平行线的性质和判定【知识要点归纳】1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．注：点必须在直线外，而不是在直线上．(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行．注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行；3．两直线平行的判定方法(1)平行线的定义．(2)平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同旁内角互补，两直线平行．4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等．(2)两直线平行，内错角相等．(3)两直线平行，同旁内角互补．重点讲解：一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质．【课堂过关训练】平行线的性质1．选择题:（1）下列说法中，不正确的是（）A．同位角相等，两直线平行; B．两直线平行，内错角相等; C．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补; D．同旁内角互补，两直线平行（2）如图1所示，AC平分∠BCD，且∠BCA=∠CAD=12∠CAB，∠ABC=75°，则∠BCA等于（ • ） A．36° B．35° C．37.5° D．70°(1) (2) (3)（3）如图2所示，AD⊥BC于D，DG∥AB，那么∠B和∠ADG的关系是（）A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对（4）如图3，直线c与直线a、b相交，且a∥b，则下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠3=∠2中，正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个（5）如图4，若AB∥CD，则（）A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=∠3-∠2C．∠1+∠2+∠3=180° D．∠1-∠2+∠3=180°（6）如图5，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(4) (5) (6) (7)（7）已知两个角的两边分别平行，并且这两个角的差是90°，•则这两个角分别等于（） A．60°，150° B．20°，110° C．30°，120° D．45°，135°（8）如图6所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γ B．β+γ-αC．180°-α-γ+β D．180°+α+β-γ4．如图所示，已知AD、BC相交于O，∠A=∠D，试说明一定有∠C=∠B．5．如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，则一定有DE∥FB，它的根据是什么？6．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N，∠EMB=50°，•MG•平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度数．平行线的判定1．如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 = ，∠3 = ，∠4 = ．2．如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE = ．3．如图3所示（1）若EF∥AC，则∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°（）．（2）若∠2 =∠，则AE∥BF．（3）若∠A +∠ = 180°，则AE∥BF．4．如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ．5．如图5，AB ∥CD ，EG ⊥AB 于G ，∠1 = 50°，则∠ E = ．6．如图6，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，则∠2 = ． 7．如图7，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有 ． 8．如图8，AB ∥EF ∥CD ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有 个． 二、解答下列各题9．如图9，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G ．10．如图10，DE ∥BC ，∠D ∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB 的度数．11．如图11，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1 =∠2成立．（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）图51 A B C D E F GH 图7 1 2 D A C B l 1l 2 图81 A BFC DE G 图6C D F E B A 图912 ACB FGED图102 1BCED 图1112 ABEFDC12．如图12，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°．综合练习：1.若α和β是同位角，且a =30°，则β的度数是( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．不能确定2．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )A ．30°和150°B ．42°和138°C ．都等于10°D ．42°和138°或都等于10°3．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．从图中可知，小敏画平行线的依据可能有( )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．如图所示，AB ∥EF ，EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B ＋∠BED ＋∠D=192°，∠B －∠D=24°，则C图1212 3AB DF∠GEF=__________．5．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…，a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．6．如图所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD∥BE．8．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB ∥DC．9．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E，∠BDA＋∠ECA=180°，求证：DA⊥EF10．已知，如图所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论．11．已知，如图所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．。

第1课时平行关系的判定［核心必知] 1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系图形语言符号语言直线在平面内aα直线与平面相交a∩α＝A直线与平面平行a∥α2。

直线与平面平行的判定文字语言图形语言符号语言若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行3.文字语言图形语言符号语言如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两平面平行［问题思考]1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗?提示：不一定,因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．2．对于平面与平面平行的判定定理中,若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定．如图中,平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．讲一讲1。

如图，在四棱锥P.ABCD中,底面ABCD是矩形,E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD。

[尝试解答］证明：在△PBC中，E,F分别是PB,PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD。

又∵AD平面PAD，EF平面PAD,∴EF∥平面PAD。

1．判断或证明线面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点（不易操作）；（2）判定定理法：aα,bα，a∥b⇒a∥α；（3)排除法：证明直线与平面不相交,直线也不在平面内．2．证明线线平行的方法（1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理．练一练1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：连接AC交BD于O，连接QO。

∵四边形ABCD是平行四边形,∴O为AC的中点．又Q为PA的中点，∴QO∥PC。

显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.讲一讲2。

如图所示,正方体ABCD.A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1,C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.［尝试解答] 证明：如图所示，连接MF。

《平行关系的判定（一）》教学设计榆林高新完全中学 景建文学习目标：（1）通过具体情境理解线面平行的判定定理；（2）会用线面平行的判定定理进行证明。

学习重点线面平行的判定定理及应用学习难点判定定理的理解及应用学习过程、教学过程设计：一、复习导入（1）空间点、线、面之间有哪些关系？（2）这些关系中有哪些涉及到了平行关系？线线平行、线面平行、面面平行（3）你知道判定线线平行有哪些依据吗？（4）那么线面平行怎么才能判定呢？二、情境感知情境1：打开教室门，把靠近拉手一侧的边缘所在直线记作l ，墙面所在平面为α，则l 与α有怎样的位置关系？情境2：将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘线AB 所在平面几何中的定理 公理4αl直线与桌面所在的平面具有什么样的位置关系？三、探究新知1、理解定理：（1）请同学们阅读课本的定理内容，小组合作，结合实物模型理解定理；(2）以小组为单位展示定理内容（文字语言、符号语言、图形语言）,要求脱稿展示.2、要点点拨：四、迁移运用例1、如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB/AD 的中点。

求证：EF//平面BCD（1）师生共同分析思路；（2）学生尝试证明；（3）教师示范证明题的书写。

证明：E 、F 分别是AB 、AD 的中点∴ EF 是ABD 的中位线∴ EF ∥BD又,EF BCD BD BCD≠⊆⊂面面 ∴//EF BCD 面例2、 如图，四棱锥A-DBCE 中，O 为底面正方形DBCE 对角线的交点，F 为AE 的中点。

求证：AB//平面DCF 。

（1）师生共同分析思路；（2）学生尝试证明；（3）分小组展示证明过程并讲解；（4）其他小组进行补充、纠错；（5）教师点拨关键步骤。

五、总结提升1、线面平行的证明通常可以转化为线线平行的证明；2、寻找平行直线通常可以通过哪些途径来完成？三角形的中位线，平行四边形，公理43、证明的书写三个条件缺一不可：一“内”，二“外”，三“平行”六、作业布置课本P32练习2、3（1）七、课后反思：优点：针对学生刚刚开始学习立体几何定理及证明的现状，我只选择平行关系中的线面平行进行判定，通过复习导入、情境感知、探究新知、迁移运用、总结提升几个环节的设计让学生理解了定理的内容，学会了定理的简单运用，设计符合学生认知规律，学生能够积极参与，掌握情况也较好。

空间直线与平面的平行关系【提纲挈领】主干知识归纳1． 直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理规律方法总结：1．平行问题中的转化关系2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．【指点迷津】【类型一】线面平行、面面平行的基本问题【例1】有互不相同的直线m ，n ，l 和平面α，β，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若m ，n 是相交直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂α，n ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m. 其中真命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选B 由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l ′⊂α，m ′⊂α，使得l ∥l ′，m ∥m ′，∵m ，l 是异面直线，∴l ′与m ′是相交直线，又n ⊥l ，n ⊥m ，∴n ⊥l ′，n ⊥m ′，故n ⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l ∥α，m ∥β，α∥β的直线m ，l 或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选B.【例2】过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1 平行的直线共有________条．解析：过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．答案：6【类型二】直线与平面平行的判定与性质【例2】如图，直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积． [解] (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF.因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD.由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB.又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D. 所以VC -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.思考：在本例条件下，线段BC 1上是否存在一点M 使得DM ∥平面A 1ACC 1？ 解：存在．当M 为BC 1的中点时成立． 证明如下：连接DM ，在△ABC 1中， D ，M 分别为AB ，BC 1的中点 ∵DM 綊12AC 1，又DM ⊄平面A 1ACC 1AC1⊂平面A1ACC1，∴DM∥平面A1ACC1.【类型三】平面与平面平行的判定与性质【例1】如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD -A1B1D1的体积．[解](1)证明：由题设知，BB1∥DD1且BB1=DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊆平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊆平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD -A1B1D1的高．又∵AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1.又∵S△ABD＝12×2×2＝1，∴V ABD -A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.【例2】如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF证明：∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE.∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF；又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1；又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.【例3】如图1,AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点，设Q 为PA 的中点，G 为ΔAOC 的重心，求证：QG//平面PBC解：如图2连接OG 交AC 于点E ，连接QE ∵点G 为ΔAOC 的重心 ∴点E 为AC 的中点 又点Q 为PA 的中点 ∴QE 为ΔPAC 的中位线 ∴QE ∥PCPBC PC PBC QE 平面，平面⊆⊄∴QE ∥平面PBC 同理OE ∥平面PBC 由E OEQE =⋂得平面QEO//平面PBCQEO QG 平面⊂∴QG//平面PBC【同步训练】【一级目标】基础巩固组1．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b. 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①不正确；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②不正确；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．2．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )E图2图1A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析：选C 对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行，故选C.3．(2014·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，则a ∥α，a ∥β，故排除A.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C.故选D.4．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题 ①⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ②⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a 其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①④C ．②D ．①③④解析：选C ②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．5．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件______时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：由平面HNF ∥平面B 1BDD 1知，当M 点满足在线段FH 上有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈线段FH6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB.因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD.答案：平面ABC 、平面ABD7.（2016江苏．16，节选（1））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：⑴ 直线//DE 平面11A C F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线 //DE AC ∴又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴ 11//DE AC ∴又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄//DE ∴平面11A C F ；8. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点， 求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG . 证明：(1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC. ∴B ，C ，H ，G 四点共面． (2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC.∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG . ∵A 1G ∥EB 且A 1G ∥EB ∴四边形A 1EBG 是平行四边形． ∴A 1E ∥GB.∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG . ∴A 1E ∥平面BCHG . ∵A 1E ∩EF ＝E∴平面EFA 1∥平面BCHG .【二级目标】能力提升题组1．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线FEC BAC 1B 1A 1B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：选A当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.2．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是()A．①③B．②④C．①④D．②③解析：选C对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，不一定在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：选B由直线l与点P可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内，选B.4．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，则下列命题中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：选C由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°，故D正确；而AC＝BD不确定，故选C．5.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是()A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN解析：选C显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，作AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB⊂平面AMN ，MH ⊂平面AMN ，所以GB ∥平面AMN ，所以B 正确；因为AB ∥CD ，DM ∥BN ，且AB∩BN ＝B ，CD∩DM ＝D ，所以平面DCM ∥平面ABN ，所以D 正确．6．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________． ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n.解析：若m ∥α，n ∥α，m ，n 可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m ∥α，m ∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，④正确．答案：④7．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO.解析：假设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥PA.连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，所以D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO.故Q 满足条件Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面PAO.答案：Q 为CC 1的中点8．设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ. 可以填入的条件有________．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：①或③9．已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥C -MNB 的体积．解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′， ∵四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，∴AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点， ∴MN ∥AC ′，又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， ∴MN ∥平面A ′ACC ′. (2)由图可知V C -MNB ＝V M -BCN ，∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝22，又三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱，且AA ′＝4， ∴S △BCN ＝12×22×4＝4 2.∵A ′B ′＝A ′C ′＝2，∠B ′A ′C ′＝90°，点N 为B ′C ′的中点，∴A ′N ⊥B ′C ′，A ′N ＝ 2.又BB ′⊥平面A ′B ′C ′， ∴A ′N ⊥BB ′， ∴A ′N ⊥平面BCN. 又M 为A ′B 的中点， ∴M 到平面BCN 的距离为22， ∴V C -MNB ＝V M -BCN ＝13×42×22＝43.10．如图，在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB.过A作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA.证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB.因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC.同理EG ∥平面ABC.又EF ∩EG ＝E ， 所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC.因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC.又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB. 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA.【高考链接】1．（2016北京理．17），14分，节选（3）） 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.解：设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得λ=.因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-M .因为⊄BM平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅BM ，∵平面PCD 的一个法向量)2,2,1(-=n即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM .2．（2016新课标Ⅲ．文19，12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（I ）证明MN ∥平面PAB; （II ）求四面体N-BCM 的体积.【解析】 (1)取PB 中点Q ，连接AQ 、NQ ， ∵N 是PC 中点，NQ//BC ，且NQ=12BC ，又22313342AM AD BC BC ==⨯=，且//AM BC ， ∴//QN AM ，且QNAM=．∴AQNM是平行四边形．∴//MN AQ ．又MN ⊄平面PAB ，AQ ⊂平面PAB ，∴//MN平面PAB ．(2)由(1)//QN平面ABCD．∴1122N BCM Q BCM P BCM P BCA V V V V ----===．∴11142363N BCM ABCV PA S-∆=⨯⋅=⨯⨯=．。

平面向量的平行和垂直关系的判定方法在平面向量的学习中，我们经常需要判定两个向量是否平行或垂直。

正确判定两个向量的平行和垂直关系对于解决向量的运算和几何问题至关重要。

本文将介绍平面向量的平行和垂直关系的判定方法，并提供相应的示例来加深理解。

1. 平行关系的判定方法(1) 两个向量的方向相同或相反，则它们平行。

(2) 两个向量的标量倍数关系相等，则它们平行。

示例1:已知向量a(2, 3)和向量b(-4, -6)，我们要判定它们是否平行。

分析：由于向量a和向量b的方向相反，并且它们的标量倍数关系相等（-2），所以a和b是平行的。

示例2:已知向量c(3, -2)和向量d(-6, 4)，我们要判定它们是否平行。

分析：向量c和向量d的方向不相同，并且它们的标量倍数关系也不相等，所以c和d不是平行的。

2. 垂直关系的判定方法(1) 两个向量的数量积（内积）等于0，则它们垂直。

(2) 两个向量的方向余弦之积等于0，则它们垂直。

示例3:已知向量e(4, 3)和向量f(-3, 4)，我们要判定它们是否垂直。

分析：计算向量e和向量f的内积：4*(-3) + 3*4 = 0，所以e和f是垂直的。

示例4:已知向量g(2, 5)和向量h(-4, 3)，我们要判定它们是否垂直。

分析：计算向量g和向量h的方向余弦之积：(2/√29)*(-4/√25) +(5/√29)*(3/√25) = 0，所以g和h是垂直的。

需要注意的是，对于平面向量的垂直关系，除了以上的方法外，我们还可以通过计算向量的斜率（梯度）来判定。

当斜率互为相反数时，两个向量垂直。

在实际问题中，我们常常需要判定多个向量之间的平行和垂直关系。

此时，我们可以将向量写成分量形式或向量方程形式，进而进行运算和判定。

总结：判定平面向量的平行和垂直关系的方法基于向量的方向、标量倍数、数量积（内积）和方向余弦之积。

通过正确应用这些方法，我们可以准确判定向量之间的关系，为解决向量运算和几何问题提供有力支持。

高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中有着重要的作用。

本文将重点讨论向量的平行与垂直关系的判定及其在解题中的运用。

一、向量的平行关系判定两个向量平行的判定方法有多种，我们可以通过向量的数学性质来判断。

1. 方向相同且长度成比例：若向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=k*b（k为非零实数），则向量a与向量b平行。

例如，已知向量a=2i+3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=2*(2i+3j)，因此向量a与向量b平行。

2. 内积为零：若向量a与向量b的内积等于零，即a·b=0，则向量a与向量b垂直。

例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的内积为a·b=(3i-2j)·(2i+3j)=6-6=0，因此向量a与向量b垂直。

二、向量的垂直关系判定两个向量垂直的判定方法同样有多种，我们也可以通过向量的数学性质来判断。

1. 方向互为相反且长度成比例：若向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-k*b（k为非零实数），则向量a与向量b垂直。

例如，已知向量a=-2i-3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-2*(2i+3j)，因此向量a与向量b垂直。

2. 外积为零：若向量a与向量b的外积等于零，即a×b=0，则向量a与向量b 平行或共线。

例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的外积为a×b=(3i-2j)×(2i+3j)=13k，由于外积不等于零，因此向量a与向量b不平行也不垂直。

三、运用示例向量的平行与垂直关系在解题中有着广泛的应用。

下面通过几个具体的题目来说明。

题目一：已知向量a=3i-4j，向量b=-2i-6j，判断向量a与向量b的关系。

1.5.1 平行关系的判定教学设计江西师大附中黄润华教学目标1.通过操作、表述、归纳与概括，理解线面、面面平行的判定定理；2.通过独立操作与合作探究，培养学生的观察、操作、分析、交流和空间想象能力，体会化归思想的应用；3.通过例题及习题的思考、交流及释疑，掌握平行关系的判定方法，培养灵活思维、严谨推理的好习惯.教学重难点重点：线面、面面平行的判定定理的探究及应用.难点：理解线面、面面平行的判定定理，并能正确应用.建议：理解转化思想，突出操作、想象与画图，强调意义建构. 教学理念突出学生的认知、操作、想象与表达能力的培养，核心是在操作中想象，在想象中建构对知识的理解，注重培养学生的自主探究与合作学习能力.教学工具直尺，三角板，课本.教学过程（一）操作演示，归纳概括（13分钟）1、空间中两条直线有哪几种位置关系？判定两条直线平行的方法有哪些？（1）空间中两条直线有共面和异面两种位置关系，其中共面包含平行与相交两种情况；（2）判定两条直线平行的方法：（1）三角形中位线定理，（2）平行四边形法，（3）平行公理，（4）成比例线段.2、直线与平面的位置关系有哪几种？你能用直尺与课本演示吗？（1）直线与平面平行；（2）直线与平面相交；（3）直线在平面内.教学活动：请学生直接回答，演示.3、直线与平面平行是一种重要的位置关系，在我们的教室中有哪些直线与平面平行的实例呢？教学活动：学生观察思考，举手或点名回答.（1）桌子的边与地面、墙面；（2）门框的边与门、墙面；（3）灯管与地面、墙面；（4）墙面的交线与地面、墙面.4、怎样判定直线与平面平行？教学活动：学生操作、探究、小组讨论，学生代表发言，教师点评、引导.（1）操作探究：①联系直尺与课本平行，你能通过直线与平面平行的定义来判定平行吗？②我们能否从探究直尺所在直线与课本所在平面内的元素的关系来判定直线与平面平行呢？（2）讨论交流：小组讨论，同学表述、演示.教师引导，主要原理：让直尺和课本的一边平行，保持此关系不变，课本绕着这边旋转，除直尺所在直线在课本所在平面内时，直尺所在直线和课本所在平面都保持平行关系.（3）建构模型：在我们的教室里你能找到实际模型，并予以解释吗？门所在平面即墙面所在平面，因为门框的对边平行，所以门在打开的过程中，门绕着一边旋转时，另一边始终与门所在的平面平行；当门关上时，门的一边所在直线也在平面内，此时直线与平面有无数多个公共点，线面不平行.（4）抽象概括：直线与平面平行的判定定理结合探究交流，体会转化思想，抽象概括直线与平面平行的判定定理.设计意图：突出“操作探究”和“讨论交流”，强调实际操作模型对想象和推理的促进作用，自主建构线面平行的判定定理的原理，在身边寻找实际原型，巩固探究成果，并为探究、理解平面与平面平行的判定奠定经历与能力基础.图1-51图1-53 图1-54 图1-55 图1-56（二）理解掌握，巩固应用（15分钟）1.直线与平面平行的判定定理（1）文字语言：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.（2）图形语言：如图1-51. （3）符号语言：若,,a b αα⊄⊂且a ∥b ,则a ∥α.（4）原理：线线平行⇒线面平行. （5）思想：转化.教学活动：教师板书，学生分析概括.2.线面平行的画法：通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，且使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形的一边平行.如图1-52.教学活动：学生动手画图，经历线面平行基本模型的建构与熟练，加深对定理的理解.3.例题解析，理解应用例1.空间四边形ABCD 中，,E F 分别为,AB AD 的中点.判断EF 与平面BCD 的位置关系.教学活动：学生思考探究，口头表述推理过程..EF BD EF BCD EF BCD BD BCD ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面设计意图：感悟应用线面平行的判定定理进行推理的逻辑严谨性.例2.如图1-54所示，空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD AD 的中点.试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况.教学活动：学生独立寻找，口述结果。

空间中的平行与垂直关系一、知识梳理1、 平行关系（1）直线与平面平行的判定定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。

判定定理：若l α⊄，a α⊂，l ∥a ，则l ∥α。

（2）直线与平面的平行性质定理：判定定理：若l ∥α，l β⊂，a αβ=，则l ∥a 。

（3）平面与平面的平行的判定定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。

判定定理1：若, a b αα⊂⊂，a b P =，a ∥β，b ∥β，则α∥β；判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β；判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。

（4）平面与平面的平行性质定理：性质定理1：若α∥β，a α⊂，则a ∥β；性质定理2：若α∥β，且a γα=，b γβ=，则a ∥b ；性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。

2、补充结论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。

3、线线平行的常用证明方法（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等；（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理4、垂直关系（1）直线与平面垂直的判定定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。

判定定理：若, , m n mn P αα⊂⊂=，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。

（2）直线与平面的垂直性质定理：符号表示：若l α⊥，对任意的a α⊂，都有l a ⊥。

（3）平面与平面的垂直的判定定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。

判定定理：若, a a αβ⊂⊥，则l α⊥。

（4）平面与平面的垂直性质定理：性质定理1：若, , , l a a l αβαβα⊂=⊂⊥，则a β⊥。

性质定理2：若, , l αβαγβγ=⊥⊥，则l γ⊥。

5、补充定理（1）若, l αα⊥∥β，则l β⊥；（2）若, l a α⊥∥l ，则a α⊥。

专题平行关系本讲义主要内容：第一部分：【知识回顾】1．直线与平面平行的判定(1直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．(2直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：．注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．2．两个平面平行的判定(1两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．(2平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号表示为：．注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．(3平行于同一平面的两个平面互相平行．即．3．直线与平面平行的性质(1 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号表示为：．注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．实际上，如果一条直线和一个平面平行，这条直线和平面内的直线平行或异面，有两种位置关系．(2直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．符号表示为：若，点，且，则．4．平面与平面平行的性质(1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．(2两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(3夹在两个平行平面间的平行线段相等．第二部分：【经典例题】例1 下面说法正确的是（）A. 直线平行于平面内的无数条直线，则∥；B. 若直线在平面外，则∥；C. 若直线∥，直线，则∥；D. 与两条异面直线都平行的平面有无穷多个例2 下列说法中正确的是（）①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。

第24讲 空间中平行关系的判定与性质一.基础知识整合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a αb αa ∥α⎭⎪⎬⎪⎫a β，b βaα，bαa ∩b ＝Aa ∥β，b ∥β⇒α∥β⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa βα∩β＝b ⇒a ∥b题型一：线面平行的判定例1：如图，四边形ABCD ，ADEF 都是正方形，M ∈BD ，N ∈AE ，且BM ＝AN.求证：MN ∥平面CED .证明：如图，连接AM 并延长交CD 于点G ，连接GE ，因为AB ∥CD ，所以AM MG ＝BM MD .所以AM MG ＋AM ＝BM MD ＋BM，即AM AG ＝BM BD .又因为BD ＝AE且AN ＝BM ，所以AM AG ＝ANAE .所以MN ∥GE .又GE 平面CED ，MN平面CED ，所以MN ∥平面CED .变式迁移1：在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD.证明：取PD 中点F ，连接AF 、NF 、NM .∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊12CD ，AM綊12CD ，∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形，∴MN ∥AF .又AF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . 题型二：面面平行的判定例2：:已知四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．点M 、N 、Q 分别在P A 、BD 、PD 上，且PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD . 求证：平面MNQ ∥平面PBC .证明：∵PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD ，∴MQ ∥AD ，NQ ∥BP .∵BP 平面PBC ，NQ 平面PBC ，∴NQ ∥平面PBC .又底面ABCD 为平行四边形，∴BC ∥AD ，∴MQ ∥BC .∵BC 平面PBC ，MQ 平面PBC ，∴MQ ∥平面PBC .又MQ ∩NQ ＝Q ，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ ∥平面PBC .变式训练2：如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点． 求证：平面MNP ∥平面A 1BD .证明：如图所示，连接B 1D 1，∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点，∴PN ∥B 1D 1.又B 1D 1∥BD ，∴PN ∥BD ，又PN 平面A 1BD ，BD 平面A 1BD ，∴PN ∥平面A 1BD ，同理可得MN ∥平面A 1BD ，又∵MN ∩PN ＝N ，∴平面PMN ∥平面A 1BD .题型三：平行关系判定的综合应用例3：如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解：Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .证明如下：设Q 为CC 1中点，则PD 綊QC ，连接PQ ，则由PQ 綊DC 綊AB ，可知四边形ABQP 是平行四边形，∴AP ∥BQ .∵AP 平面D 1BQ ，BQ 平面D 1BQ ，∴AP ∥平面D 1BQ .∵O 、P 分别为BD 、DD 1的中点，∴OP ∥BD 1.又OP 平面D 1BQ ，BD 1平面D 1BQ ，∴OP ∥平面D 1BQ .又AP ∩PO ＝P ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO ，∴当点Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .变式训练3：如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的点，EC ＝2FB ＝2.则当点M 在什么位置时，MB ∥平面AEF ？试给出证明． 解：当M 为AC 中点时，MB ∥平面AEF .证明：如图，当M 为AC 中点时，过M 作MG ∥CE ，交AE 于G ，连接GF .∵M 为AC 中点，∴MG 綊12CE .又FB ∥CE ，EC ＝2FB ，∴MG 綊FB .∴四边形BFGM为平行四边形，∴GF ∥MB .又GF 平面AEF ，MB 平面AEF ，所以MB ∥平面AEF .题型四：线面平行性质的应用例4：如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH . 证明：如图所示，连接AC ，交BD 于O ，连接MO . ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 为AC 中点，又∵M 为PC 中点，∴AP ∥OM .又∵AP平面BDM ，OM 平面BDM ，∴AP ∥平面BDM ，又∵AP 平面APGH ，且平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH . 变式训练4：如图所示，已知异面直线AB ，CD 都平行于平面α，且AB ，CD 在α的两侧，若AC ，BD 与α分别交于M ，N 两点，求证：AM MC ＝BN ND.证明：如图所示，连接AD 交平面α于Q ，连接MQ 、NQ .MQ 、NQ 分别是平面ACD 、平面ABD 与α的交线．∵CD ∥α，AB ∥α，∴CD ∥MQ ，AB ∥NQ .于是AM MC ＝AQDQ ，DQ AQ ＝DN NB ，∴AM MC ＝BN ND . 题型五：面面平行性质的应用例5：已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .求证：AB BC ＝DEEF.证明：如图，连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α、β分别相交于直线AD 、BG .平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF . 因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF .于是在△ADC 内有AB BC ＝DG GC ，在△DCF 内有DG GC ＝DEEF.∴AB BC ＝DE EF.变式训练5：如图所示，设AB ，CD 为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB ，CD 为异面直线，M ，P 分别为AB ，CD 的中点．求证：直线MP ∥平面β.证明：过点A 作AE ∥CD 交平面β于E ，连接DE ，BE ，∵AE ∥CD ，∴AE 、CD 确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝DE .由于α∥β，∴AC ∥DE (面面平行的性质定理)取AE 中点N ，连接NP ，MN ，∵M 、P 分别为AB 、CD 的中点，∴NP ∥DE ，MN ∥BE .又NPβ，DE β，MNβ，BE β，∴NP ∥β，MN ∥β.又NP ∩MN ＝N ，∴平面MNP ∥β.∵MP 平面MNP ，∴MP ∥β.题型六：平行关系性质的综合应用例6：如图，直线CD 、AB 分别平行于平面EFGH ，E 、F 、G 、H 分别在AC 、AD 、BD 、BC 上，且CD ＝a ，AB ＝b ，CD ⊥AB . (1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)点E 在AC 上的什么位置时，四边形EFGH 的面积最大？ 解：(1)因为CD ∥平面EFGH ，所以CD ∥EF ，CD ∥GH ，所以GH ∥EF . 同理EH ∥GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又因为AB ⊥CD ，所以HE ⊥EF .所以四边形EFGH 是矩形．(2)设CE ＝x ，AC ＝1，因为HE ∥AB ，所以HE AB ＝CECA ，所以HE ＝xAB ＝xb .同理，EF ＝(1－x )DC ＝(1－x )a .所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝x (1－x )ab ＝[－(x －12)2＋14]ab ，当且仅当x ＝12时，S 矩形EFGH 最大，即当E 为AC中点时，四边形EFGH 的面积最大．变式训练6：如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面P AD ∩平面PBC ＝l . (1)求证：l ∥BC ；(2)MN 与平面P AD 是否平行？试证明你的结论．证明：(1)∵AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC. 又∵平面PBC∩平面P AD＝l，∴l∥AD∥BC. (2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，∵M，N分别是AB，PC的中点，∴MQ∥AD，NQ∥PD. 而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，∴平面MNQ∥平面P AD. ∵MN平面MNQ，∴MN∥平面P AD.三．方法规律总结1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线与平面平行，先证直线与直线平行．即由立体向平面转化，由高维向低维转化．2．证明面面平行时，要按“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的证明顺序进行．当题目中有多个平面平行时，要注意平行平面的传递性．两平面平行的判定定理的条件中直线相交很重要，而且在解题中常常被忽视．4．线线平行、线面平行、面面平行的转化关系四．课后练习作业一、选择题1．下列说法正确的是(B)A．平行于同一个平面的两条直线平行B．同时与两异面直线平行的平面有无数多个C．如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行D．直线l不在平面α内，则l∥α【解析】：A选项，若两直线相交且同时与此平面平行也是可以的；B选项，我们将异面直线都平移到空间中的某一点相交，则它们确定一个平面，与此平面平行的平面平行于这两条异面直线，显然这样的平面有无穷多个；C、D选项，若直线与平面相交，则直线有两点在平面外，直线也不在平面内，但l与α不平行．2．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是(C) A．MN∥βB．MN与β相交或MNβC．MN∥β或MNβD．MN∥β或MN与β相交或MNβ【解析】:当平面β与平面ABC重合时，有MNβ；当平面β与平面ABC不重合时，则β∩平面ABC＝BC.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.又MNβ，BCβ，∴MN∥β.综上有MN∥β或MNβ.1．若α∥β，aα，下列三个说法中正确的是(D)①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β无公共点．A．①②B．①③C．①D．②③【解析】a与平面β内的直线可能平行，也可能异面，但与β无公共点，故选B.2．下列说法正确的个数为(B)①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1B．2C．3D．4【解析】易知①④正确，②不正确，③直线可能在平面内，故③不正确．3．如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(A)A．平行B．相交C．AC在此平面内D．平行或相交【解析】如图：E、F、G分别为AB、BC、CD的中点．∵E、F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.又EF平面EFG，且AC平面EFG.∴AC∥平面EFG.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是(A)A．平面A1BC1和平面ACD1 B．平面BDC1和平面B1D1CC．平面B1D1D和平面BDA1D．平面ADC1和平面AD1C【解析】:如图，在截面A 1BC 1和截面AD 1C 中，⎭⎪⎬⎪⎫AC ∥A 1C 1AD 1∥BC1AC ∩AD 1＝AA 1C 1∩BC 1＝C 1⇒平面A 1BC 1∥平面ACD 1. 3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1D 1上的动点，则直线MD 与平面BCC 1B 1的位置关系是( A )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．相交或平行 【解析】⎭⎪⎬⎪⎫平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1DM 平面ADD 1A 1⇒MD ∥平面BCC 1B 1.4．已知平面α∥β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于点B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( B ) A ．16 B ．24或245C ．14D ．20【解析】第①种情况，当P 点在α、β的同侧时，设BD ＝x ，则PB ＝8－x ， ∴P A AC ＝PB BD .∴BD ＝245.第②种情况，当P 点在α，β中间时，设PB ＝x .∴PD PC ＝PB P A . ∴x ＝6×83＝16，∴BD ＝24.5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( B ) A ．α∥平面ABC B ．△ABC 中至少有一边平行于α C ．△ABC 中至多有两边平行于α D ．△ABC 中只可能有一边与α相交 【解析】若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.5．如图，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则( B ) A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形 B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形 C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形【解析】:∵AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，∴EF ∥BD 且EF ＝15BD .又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，∴HG 綊12BD .∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴四边形EFGH 为梯形．∵BD 平面BCD 且EF 平面BCD .∴EF ∥平面BCD . 二、填空题6．如图所示，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND ，则MN 与平面BDC的位置关系是________．【解析】:∵AM MB ＝ANND ，∴MN ∥BD .又∵MN 平面BDC ，BD 平面BDC ，∴MN ∥平面BDC .【答案】 平行7．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，下面三个命题：①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②γ∥α，β∥α⇒γ∥β；③a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α.其中正确命题的序号是________．【解析】由平行公理，知①正确；由平面平行的传递性知②正确；③不正确，因为a 可能在α内．【答案】 ①②8．在空间四边形P ABC 中，A 1、B 1、C 1分别是△PBC 、△PCA 、△P AB 的重心，则平面ABC 与平面A 1B 1C 1的位置关系是________．【解析】如图，连接PC 1，P A 1，并延长分别交AB ，BC 于E 、F 两点，由于C 1、A 1分别为重心．∴E 、F 分别为AB 、BC 的中点，连接EF .又∵PC 1C 1E ＝P A 1A 1F ＝2.∴A 1C 1∥EF .又∵EF 为△ABC边AC 上的中位线，∴EF ∥AC ，∴AC ∥A1C 1，又A 1C 1平面ABC ，AC 平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，同理A 1B 1∥平面ABC ，A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，∴平面A 1B 1C 1∥平面ABC .【答案】 平行7．空间四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ＝4，E 是AB 中点，过E 与AC 、BD 都平行的截面EFGH 分别与BC 、CD 、DA 交于F 、G 、H ，则四边形EFGH 的周长为________．【解析】∵AC ∥面EFGH ，AC 面ABC ，面ABC ∩面EFGH ＝EF ，∴AC ∥EF .∵E 为AB 中点，∴F 为BC 中点，∴EF ＝12AC ＝2.同理HG ＝12AC ＝2，EH ＝FG ＝12BD ＝2.∴四边形EFGH 的周长为8.【答案】 88．如图，平面α∥平面β，△ABC 与△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′都交于点O ，点O 在α、β之间，若S △ABC ＝32，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________．【解析】根据题意有S △ABC ＝32.∵AA ′、BB ′相交，∴直线AA ′、BB ′确定一个平面ABA ′B ′，∵平面α∥平面β，∴AB ∥A ′B ′，易得△ABO ∽△A ′B ′O ，①△ABC ∽△A ′B ′C ′，②由①得AB A ′B ′＝OA OA ′＝32，由②得S △ABCS △A ′B ′C ′＝(32)2，∴S △A ′B ′C ′＝239.【答案】 239三、解答题9．在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E ，D 分别是B ′C ′与BC 的中点．求证：平面A ′EB ∥平面ADC ′.证明:连接DE ，∵E ，D 分别是B ′C ′与BC 的中点，∴DE 綊AA ′，∴AA ′ED 是平行四边形，∴A ′E ∥AD .∵A ′E 平面ADC ′，AD 平面ADC ′.∴A ′E ∥平面ADC ′.又BE ∥DC ′，BE 平面ADC ′，DC ′平面ADC ′，∴BE ∥平面ADC ′，∵A ′E 平面A ′EB ，BE 平面A ′EB ，A ′E ∩BE ＝E ，∴平面A ′EB ∥平面ADC ′.10．如图，在直四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，底面是梯形，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点，求证：面AD 1C ∥面BPQ .证明:∵D 1Q ＝12DC ，AB 綊12CD ，∴D 1Q 綊AB .∴四边形D 1QBA 为平行四边形，∴D 1A 綊QB .∵Q 、P 分别为D 1C 1、C 1C 的中点，∴QP ∥D 1C . ∵D 1C ∩D 1A ＝D 1，PQ ∩QB ＝Q .∴面AD 1C ∥面BPQ .11．如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点，求证：(1)GE ∥平面BB 1D 1D ；(2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明:(1)取B 1D 1中点O ，连接GO ，OB ，易证OG ∥B 1C 1，且OG ＝12B 1C 1，BE∥B 1C 1，且BE ＝12B 1C 1，∴OG ∥BE 且OG ＝BE ，四边形BEGO 为平行四边形，∴OB ∥GE .∵OB平面BDD 1B 1，GE 平面BDD 1B 1，∴GE ∥平面BDD 1B 1.(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ，∵B 1D 1平面BDF ，BD 平面BDF ，∴B 1D 1∥平面BDF ，连接HB ，D 1F ，易证HBFD 1是平行四边形，得HD 1∥BF .∵HD 1平面BDF ，BF 平面BDF ，∴HD1∥平面BDF ，∵B 1D 1∩HD 1＝D 1，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .9．如图，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．解:设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．∵A 1B ∥平面B 1CD ，且A 1B 平面A 1BC 1，∴A 1B ∥DE .又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1.10．如图，直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD ＝2，DD 1＝AB ＝1，P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点． 求证：AC ∥平面BPQ .证明:连接CD 1，AD 1∵P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点，∴PQ ∥CD 1，且CD 1平面BPQ ，∴CD 1∥平面BPQ .又D 1Q ＝AB ＝1，D 1Q ∥AB ，∴四边形ABQD 1是平行四边形，∴AD 1∥BQ ，又∵AD 1平面BPQ ， ∴AD 1∥平面BPQ 又AD 1∩CD 1＝D 1.∴平面ACD 1∥平面BPQ . ∵AC 平面ACD 1，∴AC ∥平面BPQ .11．如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，试探求点E 的位置，使SC ∥平面EBD ，并证明．解:点E 的位置是棱SA 的中点．证明如下：如题图，取SA 的中点E ，连接EB ，ED ，AC ，设AC 与BD 的交点为O ，连接EO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点O 是AC 的中点．又E 是SA 的中点，∴OE 是△SAC 的中位线．∴OE ∥SC .∵SC 平面EBD ，OE 平面EBD ，∴SC ∥平面EBD . 则平面MNE ∥平面P AD .又∵MN 平面P AD ，且MN 平面MNE ，∴MN ∥平面P AD .。

线段垂直平行线的判定在几何学中，我们经常会遇到线段垂直或平行的情况。

这两种关系在解决几何问题时非常重要。

因此，我们需要学会如何判定线段是否垂直或平行。

我们来介绍线段的垂直关系。

两条线段垂直的条件是它们之间的夹角为90度。

如果两条线段的夹角为90度，则可以判定这两条线段垂直。

接下来，我们来介绍线段的平行关系。

两条线段平行的条件是它们之间的夹角为0度。

也就是说，两条线段在同一平面上，且它们的方向相同或相反。

如果两条线段满足这个条件，则可以判定它们平行。

那么，我们应该如何判定线段是否垂直或平行呢？下面是一些常用的判定方法：1.利用斜率：我们可以通过计算两条线段的斜率来判定它们的关系。

如果两条线段的斜率相乘为-1，则可以判定它们垂直。

如果两条线段的斜率相等，则可以判定它们平行。

2.利用向量：我们可以将两条线段表示为向量，并计算它们的内积。

如果两条线段的内积为0，则可以判定它们垂直。

如果两条线段的内积为非零常数，则可以判定它们平行。

3.利用长度比较：我们可以比较两条线段的长度来判定它们的关系。

如果两条线段的长度相等，则可以判定它们平行。

如果两条线段的长度比较有规律，例如一个是另一个的两倍或三倍，则可以判定它们垂直。

除了以上的方法，我们还可以利用几何定理来判定线段的垂直或平行关系。

例如，根据垂直平分线定理，如果一条线段平分了另一条线段，并且与另一条线段垂直，则可以判定这两条线段垂直。

根据平行线定理，如果一条直线与两条平行线相交，则可以判定这两条平行线互相平行。

需要注意的是，判定线段的垂直或平行关系时，我们应该先确定这些线段是否在同一平面上。

如果线段不在同一平面上，则无法判定它们的关系。

在实际问题中，线段的垂直或平行关系经常被用于解决各种几何问题。

例如，在建筑设计中，我们需要确保墙壁之间的线段是垂直或平行的，以保证建筑的稳定性和美观性。

在地图绘制中，我们需要确保道路之间的线段是垂直或平行的，以方便人们的出行。

空间平行关系的判定和性质【知识点及例题】考点平行的判定与性质1直线与平面平行的判定定理自然语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简称：线线平行，则线面平行．图形语言：如图所示．符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.2直线与平面平行的性质定理自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简称：线面平行，则线线平行．图形语言：如图所示．符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.3平面与平面平行的判定定理自然语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．简称：线面平行，则面面平行．图形语言：如图所示．符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β.4平面与平面平行的性质定理自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．简称：面面平行，则线线平行．图形语言：如图所示．符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.注意点对直线与平面，平面与平面平行的判定与性质定理的理解(1)直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可；线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法．(2)平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行．(3)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终可转化为“线线平行”问题.命题法证明或判断线线平行、线面平行、面面平行典例(1)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.①求证：BE＝DE；②若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.(2)如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.①证明：平面A1BD∥平面CD1B1；②求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．【解题法】线面平行、面面平行问题的思路及三种平行关系的相互转化(1)证明线面平行问题的思路(一)①作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线．②证明线线平行．③根据线面平行的判定定理证明线面平行．(2)证明线面平行问题的思路(二)①在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面．②利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行．③证明所作平面与所证平面平行．④转化为线面平行．(3)空间平行关系之间的转化【补救练习】1.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是()A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β2．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题为________．【巩固练习】3．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，且P A＝2，E是侧棱P A上的中点．(1)求证：PC∥平面BDE；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．【拔高练习】4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.。

直线、平面平行的判定及其性质考点梳理1．直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．即：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.其他判定方法；α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)．即：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.2．平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)．即：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β.(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.一个转化关系平行问题的转化关系两点提醒(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．考点自测1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析借助长方体模型易得．答案 D2．在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D，正确．答案 D3．(2013·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )．A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α解析 可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b 与α相交或b ⊂α或b ∥α时，均满足直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α的情况，故选D.答案 D4．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β解析 若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α或b ⊂α，故A 错误；由面面平行的判定定理知，B 错误；若α∥β，b ∥α，则b ∥β或b ⊂β，故C 错误．答案 D5．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析 如图．连接AC 、BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案 平行考向一 线面平行的判定及性质【例1】►(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[审题视点] (1)连接AB ′，AC ′，在△AC ′B ′中由中位线定理可证MN ∥AC ′，则线面平行可证；此问也可以应用面面平行证明．(2)证A ′N ⊥平面NBC ，故V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ，体积可求．(1)证明 法一 连接AB ′，AC ′，如图由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二 取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′，如图，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)解 法一 连接BN ，如图由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′MNC ＝V NA ′MC ＝12V NA ′BC ＝12V A ′NBC ＝16.法二 V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ＝16.(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．(2)证明直线与平面平行的方法：①利用定义结合反证；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．【训练1】 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥EABC 的体积．(1)证明 在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点， ∴EF ∥BC .又BC ∥AD ，∴EF ∥AD . 又∵AD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)解 连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12P A .在△P AB 中，AP ＝AB ，∠P AB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V EABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.考向二 面面平行的判定和性质【例2】►(2013·济南调研) 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .[审题视点] 利用面面平行判定定理的证明即可． 证明如图，连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线，∴MN ∥D 1C . ∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B . 同理可证，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B 内， ∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题来解决．【训练2】 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索性问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．解存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ， 因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点， 所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ， 即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .规范解答13——如何作答平行关系证明题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对线面平行、面面平行的证明一直受到命题人的青睐，多以多面体为载体，证明线面平行和面面平行，题型为解答题，题目难度不大．【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·山东)如图，几何体EABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . [教你审题] 一审 取BD 的中点O ，证明BD ⊥EO ；二审 取AB 中点N ，证明平面DMN ∥平面BEC ；找到平面BCE 和平面ADE 的交线EF ，证明DM ∥EF .[规范解答] 证明 (1)图(a)如图(a)，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，(2分)又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，(4分)因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(6分)(2)法一如图(b)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，图(b)因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(8分)又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.(10分)又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)法二如图(c)，延长AD，BC交于点F，连接EF.图(c)因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°， 因此∠AFB ＝30°， 所以AB ＝12AF .(8分)又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .(10分)又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .(12分)[阅卷老师手记] (1)对题目已知条件分析不深入，不能将已知条件与所证问题联系起来； (2)识图能力差，不能观察出线、面之间的隐含关系，不能作出恰当的辅助线或辅助面； (3)答题不规范，跳步、漏步等．证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线； 第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行； 第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范． 证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行； 第四步：转化为线面平行； 第五步：反思回顾．检查答题规范． 【试一试】如图，在几何体ABCDEFG 中，下底面ABCD 为正方形，上底面EFG 为等腰直角三角形，其中EF ⊥FG ，且EF ∥AD ，FG ∥AB ，AF ⊥面ABCD ，AB ＝2FG ＝2，BE ＝BD ，M 是DE 的中点．(1)求证：FM ∥平面CEG ； (2)求几何体GEFC 的体积． (1)证明取CE 的中点N ，连接MN ，GN ，则MN 綉FG 綉12AB .故四边形MNGF 为平行四边形． ∴MF ∥GN .又MF ⊄平面CEG ，GN ⊂平面CEG ， ∴FM ∥平面CEG .(2)解 在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝2，BD ＝22， ∴BE ＝2 2.∵AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AF ⊥AB .在正方形ABCD 中，AB ⊥AD . 又AD ∩AF ＝A ，∴AB ⊥平面ADEF .又AE ⊂平面ADEF ，∴AB ⊥AE . ∴在Rt △ABE 中，AE ＝8－4＝2.又在Rt △AEF 中，EF ＝1，∴AF ＝4－1＝ 3. 又EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .同理由FG ∥AB ，可得FG ∥平面ABCD .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . ∴平面EFG ∥平面ABCD . 又AF ⊥平面ABCD ，AF ＝3， ∴点C 到平面EFG 的距离等于3， ∴V GEFC ＝V CEFG ＝13×S △EFG ·d＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×3＝36A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()．A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．答案 D3．(2012·北京模拟)以下命题中真命题的个数是()．①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③直线a可以在平面α内，不正确；命题④正确．答案 A4．(2013·汕头质检)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥βD．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行解析A中，m、n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m、n也可能异面．故正确的命题是B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 66．α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析 ①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．答案 ①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在四面体ABCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .证明 法一 如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝23.又据题设条件知，BE BG ＝23，∴BK BH ＝BE BG ，∴EK ∥GH .∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，∴直线HG ∥平面CEF .法二如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .连接FH ，EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点， ∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF . ∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .8．(13分)如图，已知ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG =A 1E ，∴A 1G =BE .又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形， ∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ， FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .。

直线与平面的平行关系与判定直线和平面是几何学中的重要概念，它们之间的平行性关系有着严格的定义和判定条件。

本文将深入探讨直线与平面的平行关系，并介绍几种判定方法。

I. 平行关系的定义在几何学中，如果两条直线在同一平面内且不相交，我们称它们为平行线。

同样地，如果一条直线与一个平面没有交点，我们称它们为平行关系。

II. 直线与平面的平行关系判定方法（一）点法判定法设直线上有一点A，平面上有一点B，如果直线上的任意一点到平面上的点B的连线垂直于平面，则直线与平面平行。

（二）法向量判定法设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行。

（三）截距判定法设直线与平面的方程分别为ax + by + cz + d1 = 0和Ax + By + Cz +d2 = 0，其中a、b、c是直线的方向向量的分量，A、B、C是平面的法向量的分量。

如果直线方程的截距d1与平面方程的截距d2互相相等，则直线与平面平行。

III. 平行关系的应用直线与平面的平行关系在实际生活和工程领域中有广泛的应用。

以下是几个例子：（一）建筑设计在建筑设计中，平行关系的应用非常常见。

例如，在绘制室内设计平面图时，墙壁通常与地板平行，柜子和家具也要与墙壁平行，这样能够使室内空间更加整齐和美观。

（二）道路规划道路规划过程中，需要考虑街道、车道和人行道的平行排列。

通过使道路与地面平行，能够保证交通的流畅和行人的安全。

（三）光学设计在光学设计中，平行关系对于光的传播至关重要。

例如，平面镜和透镜的制作都需要考虑光线的平行传播，以获得准确的成像效果。

IV. 结论直线与平面的平行关系是几何学中重要的基础知识，它们的判定方法对于解决实际问题具有重要意义。

点法判定法、法向量判定法和截距判定法是常用的判定方法。

在建筑设计、道路规划和光学设计等领域，平行关系的应用帮助我们实现更好的设计和实践。

掌握平行关系的概念和判定方法，对于几何学的学习和应用具有重要意义。

判定平行的条件平行是几何学中的一个重要概念，用于描述两条直线或两个平面之间的关系。

判定平行的条件也是几何学的基础知识之一。

本文将介绍几种常见的判定平行的条件。

条件一：同位角相等同位角是指两条直线被一条截线所分割而形成的相邻的内错角。

当两条直线被一条截线所分割，且同位角相等时，这两条直线是平行的。

条件二：内错角相等内错角是指两条平行直线被一条截线所分割而形成的相邻的内角。

当两条平行直线被一条截线所分割，且内错角相等时，这两条直线是平行的。

条件三：同旁内角相等同旁内角是指两条平行直线被一条截线所分割而形成的相邻的内角。

当两条平行直线被一条截线所分割，且同旁内角相等时，这两条直线是平行的。

条件四：斜率相等斜率是直线的一个重要属性，表示直线的倾斜程度。

当两条直线的斜率相等时，这两条直线是平行的。

条件五：平行线的性质平行线具有以下性质：任一条平行线与另一条直线相交，所形成的对应角相等；任一条平行线与两条相交直线所形成的内错角和为180度；任一条平行线与两条相交直线所形成的同旁内角互补。

根据上述条件，我们可以通过观察直线的角度关系、斜率关系以及直线之间的性质来判定是否平行。

以下是一些例题来帮助我们理解和应用这些条件。

例题一：已知直线a与直线b被直线c所截，且∠1=60度，∠2=120度，判断直线a与b的关系。

解答：由题意可知，∠1和∠2是同位角，且∠1+∠2=180度。

根据条件一，同位角相等，可以判定直线a与b是平行的。

例题二：已知直线d的斜率为2，直线e的斜率为-2，判断直线d与e的关系。

解答：两条直线的斜率分别为2和-2，不相等。

根据条件四，斜率相等时直线平行，可知直线d与e不平行。

通过上述例题可以看出，判定平行的条件有多种，我们可以根据具体情况选择合适的条件进行判定。

熟练掌握这些条件，可以帮助我们更好地理解和应用几何学中的平行概念，解决相关问题。