北师大版数学必修二课件：1.5.1平行关系的判定

1
在△D1DE中,∵AF∥DD1,且AF= DD
1,
2
∴F是D1E的中点,
∴FM是△BED1的中位线,∴FM∥BE.
∵BE⫋平面ABCD,MF⊈平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD.
探究一
探究二
探究三
反思感悟1.证明线面平行的关键是证明线线平行,通常利用平行
四边形、中位线、平行公理等来证明,辅助线要根据题中所给点的
平面外一点,Q是PA的中点,试判断PC与平面BDQ的关系,并证明.
解:PC∥平面BDQ.
证明如下:如图所示,连接AC,交BD于点O,连接OQ.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O为AC的中点.
又Q是PA的中点,
∴OQ∥PC.
又PC⊈平面BDQ,OQ⫋平面BDQ,∴PC∥平面BDQ.
探究一
探究二
探究三
§5
平行关系
-1-
5 .1
平行关系的判定
-2-
课 标 阐 释
思
1.理解直线与平面平行的判定定
理、平面与平面平行的判定定理.
2.能熟练应用两个判定定理解决
线面平行、面面平行的证明问题.
维
脉
络
1.直线与平面平行的判定定理
(1)文字叙述:若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该
直线与此平面平行.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.821.9.811:51:4411:51:44September 8, 2021
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三上午11时51分44秒11:51:4421.9.8

众所周知，沉积岩是地面的岩石在外力作用下，经过风 化、搬运、沉积固结等沉积而成，其主要特征是：层理构造显 著，即岩石是由一层一层近似平行的岩面叠加而成，外观上就 可发现这些平行的平面，因此沉积岩中常含古代生物遗迹，即
化石．所以科学家希望据此可以探讨火星35亿年的生命史．
1．直线与平面的位置关系 α α 直线a在平面α内(记作________) ， a∩α＝A ， 直线a与平面α相交(记作__________) a∥α 直线a与平面α平行(记作__________) ．
[ 规律总结 ]
1. 要全面、深刻地理解线面平行、面面平行
的判定定理，运用这两个定理证明问题或判定分析结论是否正 确时，一定要紧扣两个定理的条件，忽视条件，很容易导致判 断错误．
2 ．在判断一些命题的真假时，要善于列举反例来否定一
个命题，要充分考虑线线关系、线面关系、面面关系中的各种 情形，以对一个命题的真假作出合理的判断．
第一章
立体几何初步
第一章 §5 平行关系
5． 1 平行关系的判定
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课后强化作业
课前自主预习
日前有资深科学家说，高清晰度照片显示的迹象表明：火
星上可能存在沉积岩．这可能是人类关于火星的最重要的发
现．科学家说，“现在应该在这些沉积岩上寻找生命存在过的 痕迹”．
[解析]
①中直线l可能在平面α内；②中直线a可能与平面
α相交；③中直线a可能在平面α内；④正确，故选A.
直线与平面平行的判定
如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AB，SC 的中点．求证：EF∥平面 SAD.

答案：C
4．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有________对． 解析：如图，当六棱柱的底面为正六边形时，互相 平行的平面最多有4对，每组对边所在的平面平行， 且上下底面平行．
答案：4
5．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是 ________．
解析：∵a∥α，∴a 与平面 α 没有公共点， 若 b α，则 A∈α，又 A∈a，此种情况不可能． ∴b∥α 或 b 与 α 相交． 答案： b∥α 或 b 与 α 相交
第1课时 平行关系的判定
1．直线与平面的位置关系
2．直线与平面平行的判定
3．平面与平面平行的判定
[问题思考]
1．若直线a平行于平面α 内的无数条直线，则直线a平行于 平面α 吗？ 提示：不一定，因为直线a在平面α内时，与a平行的直 线也有无数条． 2．对于平面与平面平行的判定定理中，若把“相交”去掉， 这两个平面是否一定平行，为什么？ 提示：不一定．如图中，平面α内的两条直线a，b均平行于β， 而α与β却相交．
(2)由正方体性质得 B1D1∥BD， ∵B1D1 平面 BDF，BD 平面 BDF， ∴B1D1∥平面 BDF，连接 HB，D1F， 易证 HBFD1 是平行四边形，得 HD1∥BF. ∵HD1 平面 BDF，BF 平面 BDF， ∴HD1∥平面 BDF， ∵B1D1∩HD1＝D1， ∴平面 BDF∥平面 B1D1H.
证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线 面平行，转化为证明线线平行．在立体几何中，通过 线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺 利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找 到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方 法，应引起重视．
练一练 3．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为底 面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，Q 是 CC1 的中 点，判断并证明平面 D1BQ 与平面 PAO 的位置关系．

（ ）
⑹ 若 a ∥ ， a ∥ ，则 ∥ .
二、知识应用： 题型二 线面平行的性质应用
例 2. 一木块如图所示，棱 BC 平行于面 A' C' .⑴ 要经过面 A' C' 内的 一点 P 和棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？⑵ 所画的线与平 面 AC 是什么位置关系？
D’
解：⑴ 过 p 画一条直线与 B C 平行，即可； (2) l∥ B C ， B C ∥面 AC，则 l 平行于面 AC.
第五节·平行关系
5.2 平行关系的性质
一、新课讲授：
1．直线和平面平行的性质
文字语言：直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
图形语言：
符号语言： a / / , a ，
= b a / /b .
一、新课讲授：
2. 两平面平行的性质
c ，∴a∥c．
∵ a∥b，∴b∥c．∵ b ， c ，∴ b ∥ .
二、知识应用： 题型三 面面平行的性质应用
C
例 4. 已知两条异面直线 AB ， CD 与三个平行平面 , , 分别相交于 A, E , B 及 C , F , D .又 AD , BC 与平面的交点为 H , G . A EHFG 求证：四边形 为平行四边形.
⑴ 文字语言：两平面平行，则其中一平面内的任一条直线都 平行于另一平面.
图形语言：

a

符号语言：若 // ， a ，则 a // .
一、新课讲授：
2. 两平面平行的性质
⑵ 文字语言：平面和平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个 平面相交，那么它们的交线平行. 图形语言：

(wèntí)1平行于平面(píngmiàn)β, 则
不能
问题 平α面∥αβ内吗有? 两请条举直例线说a明,. b 平行于
(wèntí) 2
平面β,
则α∥β吗?
请举例说明.
不能
第十八页，共30页。
α// β?
模型(móxíng)１
a
α α
α
β
第十九页，共30页。
a // β b//β a // b
A
E
H
D
F
G
C
第十三页，共30页。
【变式练习】如图所示，四棱锥(léngzhuī)P-ABCD的底面是 一直角梯形，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点，求证 BE∥平面PAD.
证明：取PD的中点F，连接EF，AF，由E，F为
1
中点，所以(suǒyǐ)EF∥CD且EF=2 CD，又 AB∥CD，CD=2AB，故EF∥AB，且EF=AB， 从而四边形ABEF为平行四边形，
§5 平行关系(guān xì) 5.1 平行关系(guān xì)的
判定
第一页，共30页。
一条直线(zhíxiàn)和一个平面有三种位置关系 ：
直线(zhíxiàn)在平面内，直线(zhíxiàn)与平面相交，直
线(zhíxiàn)与平面平行.
a
a
α
α
A
a α
直线在平面α 内a α有无数
个交点
直线(zhíxiàn) 与平面α相交 a∩ α= A有且 只有一个交点
思考交流 你能举出生活中应用线面平行判定定理(dìnglǐ)的例 子吗家？庭中安装方形镜子时，为了使镜子的上边框与天花板平行，
只需要使镜子的上边框与天花板和墙面的交线平行，显然用到了这 个(zhè ge)判定定理.

2．(1)已知 m，n 表示两条不同的直线，α ，β ，γ 表示三个
不同的平面，则下列命题中正确的个数是( A )
①若 α∩γ＝m，β ∩γ ＝n，m∥n，则 α∥β；
②若 m，n 相交且都在平面 α，β 外，m∥α ，m∥β ，n∥α ，
n∥β ，则 α∥β；
③若 m∥α，n∥β ，则 α∥β；
符号语言
______bl______α__α____⇒l∥α ___l_∥__b___
2.平面与平面平行的判定定理
判定 定理
文字语言
图形语言
如果一个平面内 平面
有两条__相__交____ 和平
直线都平行于另 面平
一个平面，那么 行
这两个平面平行
符号语言
__a____α___
__b____α___
解：(1)在 b 上任取一点 O，则直线 a 与点 O 确定一个平面 γ， 设 γ∩β＝l，则 l β ， 因为 a∥β，所以 a 与 l 无公共点， 所以 a∥l，所以 l∥α. 又 b∥α，根据面面平行的判定定理可得 α∥β.故填平行． (2)①证明：如图所示，连接 PG1、PG2、PG3 并延长分别交 AB、BC、AC 于点 D、E、F，连接 DE、EF、FD.
(2)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M∈AD1，N∈BD， 且 D1M＝DN，求证：MN∥平面 CC1D1D.
解：(1)因为 ABCD 为平行四边形，所以 O 为 BD 的中点， 因为 E 为 PD 的中点，故 EO∥PB. 因为 EO 平面 PBC，且 PB 平面 PBC， 所以 EO∥平面 PBC.故填平行． (2)证明：法一：连接 AN 并延长，交直线 CD 于 E，连接 D1E.

业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修2
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前 自
图1－5－3 课
主
时
导 学
如图1－5－3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、
作 业
课 P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．
堂
互 动
求证：平面MNP∥平面A1BD.
析
学
当
方 案
【证明】 ∵四边形 ABCD，ADEF 都是正方形，
堂 双
设
基
计
∴BC // AD // EF，∴BC // EF.
达 标
课 前
∴四边形 BCEF 是平行四边形，∴BF∥CE.
自
课
主 导
∵BF 平面 CDE，CE 平面 CDE，∴BF∥平面 CDE.
时 作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
时 作
学
业
直观感知．
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教
学
教
法
●教学流程
分
析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
BS ·数学 必修2
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源

一、新课讲授：
1．直线和平面平行的判定 文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
图形语言：
符号语言： a

， b ， a // b
a //
实例探究三：
当三角板 ABC 的一条边平行桌面 时， ABC 所在的平面是否平行桌面 ？ 当三角板 ABC 的两条边平行桌面 时， ABC 所在的平面是否平行桌面 ？
（ ） （ ）
a ∥ ， b ∥ ，则 ∥ .
⑻ 一个平面 内两条不平行的直线都平行于另一个平面 ，则
（ （
） ）
二、知识应用： 题型二 证明线面平行
例 2. 空间四边形 ABCD 中， E,F 分别为 AB, AD 的中点，判断 EF 与平面 BCD 的 位置关系. A
（ ） （ ） （ ）
，且 b ，则直线 a ∥ .
⑷ 若直线 a ∥ b ， b ，则直线 a ∥ .
二、知识应用： 题型一 概念问题
⑸ 若平面 内的无数条直线与平面 平行，则 ∥ . ⑹ 若平面 内的任意一条直线都与平面 平行，则 ∥ . ⑺ 已知平面 ， 和直线 a ， b ，若 a ， b ，
第五节·平行关系
5.1 平行关系的判定
一、新课讲授：
探究一：在生活中，注意到门扇的两边是平行的．当门扇绕着一边转动时， 另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门 框所在的平面给人以平行的印象．
探究二： （1）翻开课本，封面边缘 AB 与 CD 始终平行吗？与桌面呢？ （2）由边缘 AB ∥CD ，翻动过程中边缘 AB 与桌面的平行关 系，会发生变化吗？

而BD∥B1D1，所以BD∥EF. 所以E，F，B，D四点共面. ②易知MN∥B1D1，B1D1∥BD， 所以MN∥BD.
又MN⊈平面EFDB，BD
所以MN∥平面EFDB.
平面EFDB.
连接MF.因为M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
所以MF∥A1D1，MF=A1D1.
所以MF∥AD，MF=AD. 所以四边形ADFM是平行四边形，所以AM∥DF. 又AM⊈平面BDFE，DF 所以AM∥平面BDFE. 又因为AM∩MN=M， 所以平面MAN∥平面EFDB. 平面BDFE，
【知识拓展】平面与平面平行的判定定理推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两 条直线，则这两个平面平行. 此推论成立需要满足两个条件： (1)一个平面内的两条直线是相交的； (2)此两条相交直线平行于另一个平面.
【微思考】 (1)两个平面平行，则两平面内的所有直线一定相互平行吗？ 提示：不一定.也可能是异面直线，但可以肯定的是它们不相 交.
(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1， B1C1，C1D1，D1A1的中点. 求证：①E，F，B，D四点共面. ②平面MAN∥平面EFDB.
【解题探究】1.题(1)中AG=GH=HD的作用是什么？GF与HC的关 系是什么？ 2.题(2)中①E，F，B，D四点共面的条件是什么？②中证明平 面MAN与平面EFDB平行的关键点是什么？ 【探究提示】1.AG=GH=HD说明G，H是AD的三等分点，GF是 △AHC的中位线，GF∥HC. 2.①证明一组对边平行即可.②关键是在一个平面内找到(或作 出)两条相交直线与另一个平面平行.
判断直线与平面平行问题，即要证明两平面平行，只要在其中
一个平面内找到两条相交直线都与另一个平面平行，就可断定

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC，点D是 AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.
【证明】 如图，连接BC1，设BC1与B1C的交点为E， 连接D∴ED. 是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1. ∵DE 平面CDB1， AC1 平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1.
【提示】 门上竖直的一边与门轴所在边平行，与墙 面也平行．
平面与平面平行的判定定理
【问题导思】 三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在 平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面 平行，情况又如何呢？ 【提示】 三角板的一条边所在直线与桌面平行时， 三角板所在平面与桌面可能平行，也可能相交．三角板的 两条边所在直线分别与桌面平行时，三角板所在平面与桌 面平行．
因为AB∥CD，所以MAMG＝MBMD. 所以MGA＋MAM＝MDB＋MBM， 即AAMG＝BBMD.
又因为BD＝AE且AN＝BM， 所以AAMG＝AANE.所以MN∥GE.
又GE 平面CED，MN 平面CED， 所以MN∥平面CED.
1．本题也可通过过M、N分别作AD的平行线构造平行 四边形来寻找平行线证明．
●教学流程
演示结束
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定 定理的含义，会判断线面、面面平行(重点)． 课标解读 2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描 述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定 理，并知道其地位和作用(难点).
直线和平面平行的判定定理
【问题导思】 教室的门通过门轴可以自由的开关，在开关的过程 中，门上竖直的一边与门轴所在边什么关系？与门轴所在 墙面又是什么关系？
“l α，b α”这一条件，致使定理不完整．
【防范措施】 判定定理中的各个条件都不能忽视不 能遗漏．

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1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行， 关键是寻找平面内与已知 直线平行的直线. 2.证线线平行常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比 例定理、平行公理等.
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[再练一题] 1.如图 152，四边形 ABCD 是平行四边形，S 是平面 ABCD 外一点，M 为 SC 的中点，求证：SA∥平面 MDB.
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/ 平面 EFDB，DF 平面 EFDB， 又 AM⊆ ∴AM∥平面 EFDB. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面 MAN∥平面 EFDB.
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1.要证明两平面平行， 只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一 个平面即可. 2.判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在 一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
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[再练一题] 2.如图 154 所示， 三棱柱 ABCA1B1C1， D 是 BC 的中点， 且 A1B∥平面 AC1D， D1 是 B1C1 的中点，求证：平面 A1BD1∥平面 AC1D.
图 154
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【证明】
连接 A1C 交 AC1 于点 E，
∵四边形 A1ACC1 是平行四边形， ∴E 是 A1C 的中点.连接 ED，
a α b α a∩b＝A a∥β b∥β
⇒α∥β
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在以下说法中，正确的个数是(
)
①平面 α 内有两条直线和平面 β 平行，则 α 与 β 平行；②平面 α 内有无数 条直线和平面 β 平行，则 α 与 β 平行；③平面 α 内△ABC 的三个顶点到平面 β 的距离相等，则 α 与 β 平行. A.0 B.1 C.2 D.3

[规律方法]
对于探索型问题的认识
探索型问题是具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备， 需要自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括得出结论．常见 的有以下两类： (1)条件探索型：条件探索型问题是针对一个结论，条件未知需探索，或条件 增删需确定，或条件正误需判断． (2)结论探索型：结论探索型是先探索结论然后再去证明，在探索过程中常先 从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳，进行猜测，得出结论，再就一般情况 去验证结论．
◎设 P 是异面直线 a，b 外的一点，则过 P 且与 a，b 都平行的平面( A．有且只有一个 C．没有或只有一个 B．恰有两个 D．有无数个
)
【错解】
如图，过 P 作 a1∥a，b1∥b.
∵a1∩b1＝P，∴过 a1，b1 有且只有一个平面与 a，b 都平行．故选 A.
【错因】
错解是对空间概念理解不透彻，对 P 点位置没有作全面的分析，
探索性问题 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中 P 是 DD1 的中点， 心， 设 Q 是 CC1 上的点， 问： 当点 Q 在什么位置时， 平面 D1BQ ∥平面 PAO?
[思路探究]
1.当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.
2．怎样证明平面D1BQ∥平面PAO
解析：
∵CD∥C1D1 且 C1D1 平面 C1D1E，
故 CD∥平面 C1D1E，同理 A1B1∥平面 C1D1E， 而 AB 虽然与 C1D1 平行，但 AB 平面 C1D1E.
答案：
CD和A1B1
4．如图所示，M 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点． 求证：直线 A1C1∥平面 MAC.