矩阵的同时相似上三角化问题

矩阵的三种等价关系摘要本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。

同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。

关键字矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系A matrix of three equivalence relationsAbstractThis paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.Key wordsmatrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.0 引言在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.1 矩阵的三种等价关系的定义1.1 矩阵的三种等价关系定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。

矩阵的特征值分解及其应用矩阵的特征值分解是矩阵理论中的重要分支，它在许多领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的概念，特征分解的方法以及矩阵特征分解在数据降维和信号处理中的应用。

一、矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的一个重要概念，在数学、工程、物理等许多领域都有广泛的应用。

一个$n \times n$的矩阵$A$可以看作是由$n$个列向量组成的，分别是$A$的第$1$列到第$n$列。

对于一个$n \times n$矩阵$A$，如果存在一个非零向量$\vec{x}$和一个实数$\lambda$，使得：$$ A \vec{x} = \lambda \vec{x} $$那么$\lambda$就是矩阵$A$的一个特征值，$\vec{x}$就是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的一个特征向量。

特别地，当$\vec{x} = 0$时，我们把$\lambda$称为矩阵$A$的零特征值。

二、特征分解的方法矩阵的特征值分解就是把一个矩阵分解成若干个特征值和特征向量的线性组合。

具体地说，对于一个$n \times n$的矩阵$A$，它可以写成：$$ A = Q \Lambda Q^{-1} $$其中$Q$是一个$n \times n$的可逆矩阵，$\Lambda$是一个$n \times n$的对角矩阵，它的对角线上的元素是矩阵$A$的特征值。

接下来我们来介绍一种求矩阵特征分解的方法，也就是QR算法。

QR算法是一种迭代算法，它的基本思路是通过相似变换把一个矩阵变成上三角矩阵，然后再通过相似变换把上三角矩阵对角线上的元素化为矩阵的特征值。

具体的步骤如下：1. 对于一个$n \times n$的矩阵$A$，我们可以先对它进行QR 分解，得到一个$n \times n$的正交矩阵$Q$和一个$n \times n$的上三角矩阵$R$，使得$A=QR$。

2. 计算$RQ$，得到一个新的$n \times n$的矩阵$A_1=RQ$。

矩阵的同时相似上三角化问题张永伟（2011080010008）数理基础科学班指导教师：王也洲、何军华【摘要】本文讨论了n 阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。

【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester 不等式一．引言文【文【11】告诉我们：两个可交换的n 阶矩阵,A B 在复数域中一定有相同的特征向量，进一步若,A B 能相似对角化，那么,A B 一定能同时相似对角化。

但是对于一般的n 阶矩阵不一定能相似对角化。

一定能相似对角化。

我们又知道，我们又知道，我们又知道，任意方阵都可以和任意方阵都可以和Jordan 矩阵相似，也就是说，也就是说，任意任意n 阶矩阵都能相似上三角化。

为此，我们有必要讨论n 阶矩阵同时相似上三角化的问题。

二．正文定义2.1：对于n 阶矩阵A ，用rank()A 表示矩阵A 的秩。

性质2.1：若,A B 能同时相似上三角化，那么,A B 有公共的特征向量。

证明：因为,A B 可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵P ，使得1112122210n n nn a a a a a P AP a -æöç÷ç÷=ç÷ç÷èø且111212221000n nnn b b b b b P BP b -æöç÷ç÷=ç÷ç÷èø。

设12(,,,)n P a a a =K ，则1111A a a a =，1111B b a a =。

所以,A B 有公共的特征向量1a 。

■因此,A B 能同时相似上三角化的必要条件是,A B 有相同的特征向量。

性质2.2：若,A B 能同时相似上三角化，那么AB BA -为幂零矩阵。

证明：由性质2.1的证明可知的证明可知, ,121112121000000000n n n n n n c c c c c AB BA c ---æöç÷ç÷ç÷-=ç÷ç÷ç÷èø。

上三角矩阵代数摘 要本文主要研究上三角代数的性质及其与路代数的关系，建立了上三角代数与有向图的路代数的同构映射.定义了可上三角化代数()n P K 和上三角化矩阵P ，()n P K 是所有形如1P TP -的矩阵的集合所形成的代数（它的结合法是矩阵的加法和乘法），其中T ∈()n T K ，P ∈()n M K ，且P 可逆，称P 为()n P K 的上三角化矩阵.初步探讨了()n M K 的子代数是否是可上三角化代数，若是可上三角化代数，其上三角化矩阵是否唯一.具体讨论了n=2的情况，最终由()n M K 的可上三角化子代数的个数有限得出()n M K 至少有一个可上三角化代数的上三角化矩阵不唯一地结论.关键词：上三角矩阵代数，有向图，路代数，可上三角化代数，上三角化矩阵HIGHER TRIANGULAR MATRIX ALGEBRASABSTRACTIn this paper, we study upper triangular matrix algebras, and its connection with path algebras. The isomorphism between upper triangular matrix algebra and the corresponding path algebra is given. As a generalization, upper triangulable matrix algebras ()n P K and upper triangulable matrix P are defined and studied. ()n P K consisting of all matrices like 1P TP -(its combination is the addition and multiplication of matrices), Among them T ∈()n T K ，P ∈()n M K and P is reversible. we call P is the upper triangulable matrix of ()n P K . We also discuss whether the subalgebra of ()n M K is a upper triangular matrix algebra and the upper triangulable matrix of a upper triangular matrix algebra is unique. We also give a concrete example of n=2 to illustrate our theory. Finally we draw a conclusion that there is at least one upper triangular matrix algebra of ()n M K which its upper triangulable matrix is not unique .KEY WORDS : upper triangle matrix algebras ，quivers ，path algebras ，upper triangular matrix algebras ，upper triangulable matrix目录前言....................................................................... 错误！未定义书签。

矩阵相似的判定条件矩阵的相似判定条件，对于线性代数的研究非常重要，因其关乎矩阵的结构，这是决定矩阵运算、数值计算的基础。

在这篇文章中，我们将详细阐述矩阵的相似性判定条件。

首先，我们从基本概念出发，来详细讨论矩阵相似性。

矩阵的相似性是指，当两个或多个矩阵满足特定的条件时，它们结构上有相似性。

这些条件有如下几种：1. 换矩阵存在这样的矩阵T，使A=TBT，其中B是另外一个矩阵。

这时，A与B是相似的；2. A的特征矩阵P的每一行（或列）都能经过同样的线性变换得到B的特征矩阵Q的每一行（或列）时，A与B是相似的；3. 果A可由对角阵和它上三角阵的乘积表示，而B可以由另一个对角阵和它上三角阵的乘积表示（并且两个对角阵都是可逆的），则A与B是相似的。

除此之外，在高等数学中，我们还发现了另一种能够用来检测矩阵相似性的条件矩阵等价的判定条件，它与矩阵的相似性有密切的关系，但也有一些不同点。

矩阵等价的判定条件可以用如下四个条件来表述：1.在一个矩阵Q，使得A＝Q＊B，其中B是另一个矩阵。

这时，A 与B是等价的；2.A的特征矩阵P的每一行（或列）都能经过一定的线性变换得到B的特征矩阵Q的每一行（或列），A与B是等价的；3.果A可以由对角阵和它上三角阵的乘积表示，而B可以由另一个对角阵和它上三角阵的乘积表示（并且两个对角阵都是不可逆的），则A与B是等价的；4.果A可以由三角阵和它下三角阵的乘积表示，而B可以由另一个三角阵和它下三角阵的乘积表示，则A与B是等价的。

除了这些条件，还存在着一些更抽象的条件，如加性等价、维数等价，以及域同调等价。

这些抽象的条件也可以用来检测矩阵相似性或矩阵等价性，有着与上述判定条件同样的效果。

矩阵的相似性和等价性在数学中的应用非常大。

首先，根据定义，一个矩阵的相似性或等价性可能会带来某种变换，这种变换可以用来简化某些矩阵运算。

其次，矩阵的相似性和等价性也可以用来研究矩阵的特性，比如在求解线性方程组时，特征值和特征向量的计算由此受益。

两个矩阵同时对角化的条件陈现平,王文省Ξ(聊城大学数学科学学院,山东聊城　252059)[摘　要]给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的一些条件.[关键词]矩阵;实对称矩阵;正定矩阵;同时对角化[中图分类号]O151.21 [文献标识码]A [文章编号]1004-7077(2005)02-0011-03 在高等代数或线性代数中,矩阵对角化占有重要地位.在矩阵理论、二次型及线性变换等问题上有广泛的应用.单个矩阵对角化的问题已在高等代数或线性代数教材中有系统的讨论.然而,经常遇到两个矩阵同时相似对角化或同时合同对角化的问题.本文主要给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的充分或充要条件.这些对于深化高等代数或线性代数的学习及问题的解决是非常有益的.1　两个矩阵同时合同对角化对于两个实对称矩阵,可有如下的同时合同对角化的条件.定理1[5]　设A ,B 为n 阶实对称方阵,且A 正定,则存在实可逆矩阵P ,使P TA P =E ,P TB P =diag (λ1,…,λn )其中λi ∈R ,i =1,…n.定理2[1]　设A ,B 为n 阶实对称半正定方阵,则存在n 阶实可逆矩阵P ,使P T A P 与P T B P 同时为对角矩阵.定理3　设A ,B 为n 阶实对称方阵,且B 可逆,B -1A 有n 个互异的特征根,则存在可逆阵P ,使P TA P 与P TB P 同时为对角矩阵.证明　设λ1,…,λn 为B -1A 的n 个互异的特征根,对应的特征向量为α1,…,αn ,即B-1A αi =λi αi ,i =1,…,n.由于α1,…,αn 线性无关,故P =(α1,…,αn )可逆,且B -1A P =Pdiag (λ1,…,λn ),即A P =B Pdiag (λ1,…,λn )上式两端左乘P T 得P TA P =P TB Pdiag (λ1,…,λn )而P T A P 为对称的,故P TB Pdiag (λ1,…,λn )=diag (λ1,…,λn )P TB P又λ1,…,λn 互异,不防设P T B P =diag (b 1,…,b n ),于是有P TA P =diag (b 1,…,b n )diag (λ1,…,λn )=diag (b 1λ1,…,b n λn )可得结论成立.定理4　设A ,B 为n 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q ,使Q T AQ 与Q T BQ 同为对角矩阵·11·Ξ[收稿日期]2004-12-20[作者简介]陈现平(1976-),男,山东临朐人,聊城大学数学科学学院讲师,主要从事最优化理论与算法研究.2005年4月第22卷　第2期枣庄学院学报JOURNA L OF Z AOZHUANG UNIVERSITY Apr.2005V ol.22NO.2的充要条件为AB =BA.证明　必要性.设Q T AQ =diag (λ1,…,λn ),Q TBQ =diag (μ1,…,μn ),则有Q T ABQ =diag (λ1μ1,…,λn μn )=Q TBAQ由Q 为正交矩阵有AB =BA.充分性.由A 为实对称矩阵,则存在正交矩阵P ,使得P T A P =diag (λ1E n 1,λ2E n 2,…,λs E n s)其中λ1,…,λs 互异,n 1+…+n s =n.由AB =BA 有(P TA P )(P TB P )=(P T B P )(P TA P ),故P TB P =diag (B n 1,B n 2,…,B n s)其中B n i 为n i 阶实对称方阵.而B 为实对称矩阵,可对角化.故B n i 也可对角化,即存在正交矩阵R n i 使得R Tn i B n i R n i (i =1,…,s )为对角矩阵.令Q =Pdiag (R n 1,R n 2,…,R n s)则Q 为正交矩阵,且使得Q T AQ 与Q T BQ 同为对角矩阵.2　两个矩阵同时相似对角化对于一般的两个矩阵,若A ,B 可交换且满足一定条件,则A ,B 可同时相似对角化.定理5[6]　设矩阵A ,B ∈F n ×n ,A ,B 均可相似对角化,且A 的特征值相等,则A ,B 可同时相似对角化.定理6　设A ,B ∈F n ×n ,且A 在F 中有n 个不同的特征值,AB =BA ,则存在可逆矩阵P ∈F n ×n ,使P -1A P ,P -1B P 同时为对角阵.证明　由A 在F 中有n 个不同的特征值,则存在可逆矩阵P ,使得P -1A P =diag (λ1,…,λn ).其中λ1,…,λn 为A 的n 个不同的特征值.由AB =BA 有(P -1A P )(P -1B P )=(P -1B P )(P -1A P )从而P -1B P 为对角阵,即结论成立.定理7　设A ,B ∈F n ×n ,且A ,B 均相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵P ∈F n ×n ,使P -1A P ,P -1B P 同时为对角阵的充要条件为AB =BA.证明　与定理4类似.由矩阵相似于对角矩阵与初等因子,最小多项式的关系,有如下推论.推论1　设A ,B ∈F n ×n ,且AB =BA ,A ,B 的初等因子全为一次的,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论2　设A ,B ∈F n ×n ,且AB =BA ,A ,B 的最小多项式无重根,则A ,B 可同时相似于对角阵.由于幂等矩阵,对合矩阵可相似对角化,故推论3　设A ,B ∈F n ×n ,且A 2=A ,B 2=B ,AB =BA ,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论4　设A ,B ∈F n ×n ,且A 2=B 2=E ,AB =BA ,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论5　设A ,B ∈C n ×n ,且A k =B k =E ,AB =BA ,其中k 为正整数,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论6　设A ∈F n ×n ,且A 可对角化,A 3表示A 的伴随矩阵,则A ,A 3可同时相似于对角阵.证明　设存在可逆矩阵P ,使得P -1A P =diag (λ1,…,λn ),利用(AB )3=B 3A3有P 3A3(P -1)3=diag (λ1,…,λn )3又AA 3=A 3A ,故由定理7,结论成立.推论7　设A ∈F n ×n ,且A ±B =AB ,A ,B 相似于对角阵,则A ,B 可同时相似于对角阵.证明　只证A +B =AB 时结论成立,对A -B =AB 类似可证.由A +B =AB 有AB -A -B +E =E ,即(A -E )(B -E )=E ,故(A -E )-1=B - E.·21·枣庄学院学报2005年第2期于是E =(B -E )(A -E )=BA -B -A +E由此可得BA =A +B ,故AB =BA ,由定理7可证.对于一般的可交换的两个矩阵A ,B ,则有如下结论.定理8　设A ,B ∈F n ×n ,且A ,B 的特征值都在F 中,AB =BA ,则存在可逆矩阵T ∈F n ×n ,使得T -1A T ,T -1B T 同时为上三角阵.证明　对矩阵阶数n 用数学归纳法.当n =1时,结论显然成立.假设结论对n -1阶矩阵成立.由于AB =BA ,故A ,B 有公共的特征向量([4]),设为α1,将其扩充为F n 的一组基α1,…,αn ,令Q =(α1,…,αn )则Q 可逆,且Q -1AQ =λ1　α0　A 1,Q -1BQ =μ1　β0　B 1,由AB =BA ,可得A 1B 1=B 1A 1,由归纳假设,存在n -1阶可逆矩阵Q 1,使Q 1-1A 1Q 1,Q 1-1B 1Q 1同时为上三角矩阵,令T =Q1　00　Q 1则T -1A T ,T -1B T 同时为上三角阵.从而结论成立.参考文献[1]张锦川.实与复方阵的相合标准形和同时对角化[J ].泉州师范学院学报,2002,20(2):21-25.[2]徐利治,等.大学数学解题法诠释[M].合肥:安徽教育出版社,1999.[3]王品超.高等代数新方法(下册)[M].徐州:中国矿业大学出版社,2003.[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.[5]王文省,等.高等代数[M].济南:山东大学出版社,2004.[6]夏璇.二个矩阵同时对角化[J ].南昌航空工业学院学报(自然科学版),2003,17(3):26-32.The Conditions of Simultaneous Diagonalization of Tw o MatricesCHE N X ian -ping ,W ANG Wen -sheng(School of Mathematical Science ,Liaocheng University ,Liaocheng 252059,China )Abstract :The conditions of simultaneous diag onalization of tw o matrices are given.K ey w ords :matrix ;symmetric real matrix ;positive definite matrix ;simultaneous diag onalization·31·陈现平,王文省　两个矩阵同时对角化的条件。

用相似打洞看矩阵易化背景：在第六章与第七章的学习过程中，我们学习了用多项式与空间像与核的知识解决矩阵易化的方法。

在这篇文章中，我们将用纯粹的矩阵相似打洞方法来解决矩阵易化的问题。

关键词：相似打洞、矩阵易化一、矩阵易化在矩阵运算过程中，我们可以明显的感觉到，如果一个矩阵的形式越简单，运算将会变得非常简单。

最理想的情况是将矩阵变成对角化，但这往往做不到。

这时我们退而求其次，于是便有了以下的过程：任意复方阵→上三角化→准对角化→约旦化（→有理化）。

二、相似打洞我们分别从两个方面来看相似打洞的情况吧！1、打洞的方式打洞这一过程是靠可逆的过渡矩阵P来实现的，它有如下的三种方式：A．P=P逆=（换行与列）B.P逆=（(行列乘以倍数)C．P=P逆=（）（行列间加减）2、打洞时会遇到的两种情况A．，这时若“*”为0，则打为0；否则只能打成1。

B．，这时可将“*”打为0。

下面将会给出任意复方阵→上三角化→准对角化→约旦化（→有理化）的系列证明。

三、系列证明1、任意复方阵可以化为上三角化。

复数域上的n阶方阵A相似于上三角矩阵B。

B的主对角线元b11,……,bnn就是A的全体特征值，并且这些特征值可以按预先指定的任何顺序排列。

其中B=证明：对n做数学归纳。

当n=1时A由一个数a组成，当然是上三角阵，a就是其特征值。

假设复数域上n-1阶的方阵相似于上三角矩阵，其特征值可以在主对角线上按预先指定的顺序排列。

我们证明n阶的方阵相似于上三角矩阵，其特征值可以在主对角线上按预先指定的顺序排列。

设ui时A的任一个特征值，X1是属于特征值ui的特征向量。

将X1扩充为C的一组基{X1,X2,…Xn}，依次以X1，X2,…Xn为各列组成矩阵P1=(X1,X2,…Xn)。

则P可逆。

且由AX1=uiX1知A(X1,X2,…Xn)=(X1,X2,…Xn)即A P1=P1, A P1=A的特征多项式(u)=(u-ui) (u)。

因此，A22的全体特征值与ui一起就是A的全体特征值。

矩阵上三角化的递推Householder变换公式及其应用的报告，800字报告题目：Householder变换的应用报告摘要：本文详细介绍了Householder变换，它是一种能够将矩阵上三角化的有效方法。

本文着重从计算机科学的角度讨论了Householder变换的原理、公式以及在实际应用中的优势和特性，并且结合一些真实的例子，深入分析了Householder 变换在实际应用中的作用及其能够带来的好处。

报告正文：1. Householder变换的原理Householder变换是一种常用的矩阵上三角化方法，它可以将任意的n×n矩阵A上三角化，即对其进行相应的Upper Triangular Transformation（UTT）。

Householder变换的核心思想很简单，它通过利用一个n×1的向量v和一个标量α来实现矩阵的上三角化。

Householder变换的形式如下：H=I-2αvv^T其中I表示n×n的单位矩阵，α为标量，v为n×1的列向量，v^T指其转置矩阵。

将矩阵A转换成其上三角形式，可以使用Householder变换：A’ = HA其中A’表示经Householder变换后的矩阵A。

2. Householder变换的应用Householder变换可以用来解决一些矩阵上三角化问题，例如求解线性方程组，同时也可以用来解决特征值，特征向量问题。

此外，它也可以用于矩阵的QR分解或者Singular Value Decomposition（SVD）。

a. 求解线性方程组通过Householder变换，可以将n个方程所组成的系数矩阵A变换成对角矩阵的上三角形式，即A’=HA ，其中A’表示经Householder变换后的系数矩阵A，此时原来的方程组变成了A’X = B，其中B指原来的b向量。

因为A’是一个对角矩阵，因此求解这组方程就变得比较容易，只需要像解方程组中的每一个方程一样，将X中的每一个变量都分别代入A’X=B中即可求解，而不需要使用高等数学中的各种繁琐的公式来推算解。