第二节相似矩阵与矩阵对角化

矩阵的相似与对角化在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，与线性变换和向量空间的理论密切相关。

矩阵的相似与对角化是矩阵理论中的两个重要概念，它们在解决特征值问题、矩阵的可对角化性和矩阵的特殊性质等方面发挥着重要作用。

一、矩阵的相似矩阵的相似是指具有相同特征值的矩阵之间存在一种关系。

设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=B成立，那么就称矩阵A与B相似，记作A∼B。

相似关系是一种等价关系，它具有自反性、对称性和传递性。

相似矩阵有以下几个重要性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值。

设A与B相似，那么它们的特征多项式和特征值都相同。

2. 相似矩阵具有相同的迹。

矩阵的迹是指主对角线上元素的和。

如果A与B相似，那么它们的迹也相等。

3. 相似矩阵具有相同的秩。

矩阵的秩是指矩阵的列空间的维度。

如果A与B相似，那么它们的秩也相等。

二、矩阵的对角化对角化矩阵是一种特殊的相似矩阵，使得矩阵在某一种特殊的变换下能够变为对角矩阵。

设A是一个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，其中D是一个对角矩阵，那么就称矩阵A可对角化。

对角化的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量组成一个线性无关的向量组。

此时，矩阵A经过适当的变换后，可以将其对角化。

对角化的优点是简化了矩阵的计算和处理。

对角矩阵的运算更加方便，可以更直观地观察矩阵的性质，同时在求解线性方程组和矩阵的幂等问题时，也能够更加高效地进行计算。

三、矩阵相似与对角化的关系矩阵的相似与对角化之间存在一定的联系。

设A是一个n阶矩阵，如果A与对角矩阵D相似，那么A可对角化。

具体地说，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，那么矩阵A可对角化。

对角化的好处在于可以将矩阵的运算和计算简化为对角矩阵的运算。

同时，对角化也能够更好地揭示矩阵的特殊性质，如特征值、特征向量和秩等。

计算矩阵的相似和对角化是解决线性代数问题的重要方法。

４－２ 相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵的概念：１、定义4。

2［Ｐ１５９］ｎ阶方阵Ａ相似于Ｂ，Ａ∽Ｂ；由Ａ到Ｂ的相似变换，相似变换的矩阵Ｐ。

矩阵相似关系的性质：（１） 自反性：每个方阵Ａ，有Ａ∽Ａ；（２） 对称性：若Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；（３） 传递性：若Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ。

［掌握结论及证明］２、相似矩阵的性质：（１）定理４．１：相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值；反之不然。

证明：Ｐ１６０：７－１３行。

反例：Ｐ１６０：１４－２１行。

（２）相似矩阵有相同的行列式；反之不然。

［反例：Ｐ１６０：１４－１６行］证明：因为Ａ∽Ｂ，所以存在可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ。

等式两边取行列式，得，B ＝AP P 1-＝P A P 1-＝A P P1＝A 。

例４．４［Ｐ１６０：－１０行至Ｐ１６１：１行］解：因为Ａ∽Ｄ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300022011，所以 A ＝D ＝30002211-＝３2211-＝３×４＝１２。

（３）相似矩阵有相同的秩，反之不然。

证明：因为Ａ∽Ｂ，所以存在可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ，且Ｐ－１也是可逆矩阵。

故秩（Ｂ）＝秩（Ｐ－１ＡＰ）＝秩（Ｐ－１Ａ）＝秩（Ａ）。

反例：秩⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011＝秩⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001＝２，但；因为单位矩阵只相似于单位矩阵，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011与⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001不相似。

作业：Ｐ１８８：６Ｐ１８８：自测题１（３）。

二、方阵的对角化１、概念：方阵Ａ可（相似）对角化⇔Ａ相似于对角矩阵。

存在可对角化的矩阵，如：Ｅ，diag ｛λ１，λ２，…，λｎ｝。

存在不可逆矩阵，如Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011 证明１：Ｐ１６１：１２－２２行（了解）。

证明２［常用方法,同于Ｐ１６８ 思考题（２）的方法］：A E -λ＝1011---λλ＝（λ－１）２＝０ Ａ有２重特征值：λ１＝λ２＝１。

解方程组（Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，由Ｅ－Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0010→⎥⎦⎤⎢⎣⎡0010， 通解为：ｘ２＝０ｘ１（ｘ１任意）。