第三章矩阵对角化、若当标准型

矩阵的标准形矩阵的标准形是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特点。

在本文中，我们将深入探讨矩阵的标准形及其相关概念，帮助读者更好地理解和运用这一概念。

首先，我们来介绍一下矩阵的标准形。

矩阵的标准形是指通过一系列相似变换，将一个矩阵转化为特定形式的过程。

这个特定形式可以更好地展现矩阵的结构和性质，帮助我们更好地理解和分析矩阵。

在实际应用中，矩阵的标准形可以帮助我们简化计算、解决线性方程组、分析线性变换等问题。

接下来，我们将介绍几种常见的矩阵标准形，它们分别是，对角形、上三角形、若当形。

对角形是指可以通过相似变换将矩阵化为对角矩阵的形式；上三角形是指可以通过相似变换将矩阵化为上三角矩阵的形式；若当形是指可以通过相似变换将矩阵化为若当标准形的形式。

这些标准形在不同的情况下具有不同的作用，我们需要根据具体的问题和需求选择合适的标准形进行分析和运用。

在实际操作中，我们可以通过一系列的相似变换，将一个矩阵逐步转化为标准形。

这个过程通常涉及到矩阵的相似对角化、特征值分解等操作，需要我们熟练掌握线性代数的相关知识和技巧。

通过将矩阵转化为标准形，我们可以更好地理解和分析矩阵的性质，为后续的计算和分析奠定基础。

除了上述提到的几种常见的标准形外，还有一些特殊的标准形，如Jordan标准形、Frobenius标准形等。

这些标准形在特定的情况下具有重要的作用，我们需要根据具体的问题和需求选择合适的标准形进行运用。

总之，矩阵的标准形是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特点。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题和需求选择合适的标准形进行分析和运用，从而更好地解决实际问题。

希望本文对读者能有所帮助，谢谢阅读！。

对角矩阵约当标准型介绍对角矩阵约当标准型是线性代数中一个重要的概念。

在本文中，我们将详细讨论对角矩阵以及约当标准型的定义、性质和应用。

对角矩阵对角矩阵是指所有非对角元素为零的方阵。

具体地说，如果一个n阶方阵A的第i行第j列元素满足i≠j时A[i, j]=0，则A为对角矩阵。

对角矩阵可以用一个简洁的方式表示，即将对角元素列出来形成一个向量。

例如一个3阶对角矩阵可以表示为[a, b, c]，其中a、b、c是对角线上的元素。

对角矩阵具有许多特殊的性质，其中一些是： 1. 对角矩阵的特征值即为其对角线上的元素。

2. 对角矩阵的行列式等于对角线上元素的乘积。

3. 对角矩阵的乘法仍为对角矩阵，乘法结果的对角线元素等于相应位置的乘积。

对角矩阵的应用十分广泛。

在数值分析中，对角矩阵的乘法和求逆运算非常高效。

在图论中，对角矩阵可以用来表示图的邻接矩阵，便于处理与图相关的问题。

对角矩阵还在信号处理、物理学和工程学等领域中有重要应用。

约当标准型约当标准型是一个与给定矩阵相似的矩阵，具有特殊的形式。

设A是一个n阶方阵，存在一个可逆矩阵P，使得[P^{-1}AP = J]，其中J是约当形矩阵。

约当形矩阵是一个分块对角矩阵，每个对角块由一个特征值和一些1构成。

例如，对于一个3阶矩阵，其对应的约当形矩阵可能具有以下形式： [] 其中[_1, _2, _3]为矩阵的特征值。

约当标准型是一种重要的矩阵形式，因为它使得研究矩阵的性质和求解线性系统变得更加简单。

对于一个给定的矩阵，通过求取其约当标准型，我们可以得到关于特征值和特征向量的重要信息。

约当标准型的计算计算一个矩阵的约当标准型是一个复杂且困难的过程。

幸运的是，存在许多有效的算法可以用来计算约当标准型。

其中一种常见的方法是使用Jordan分解。

Jordan 分解将矩阵分解为一个对角矩阵和一个Jordan块（由特征值和1构成的矩阵块）之和。

通过计算特征向量和特征矩阵，我们可以得到矩阵的Jordan标准型。

《矩阵论》教学大纲-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)《矩阵论》课程教学大纲一、课程性质与目标(-)课程性质《矩阵论》是数学专业的选修课，是学习经典数学的基础，乂是一门最具有实用价值的数学理论。

它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。

(二)课程目标通过本课程的学习，使学生掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质，了解近代矩阵论中十分活跃的若干分支，为今后在应用数学，计算数学专业的进一步学习和研究打下扎实的基础。

二、课程内容与教学(-)课程内容1、课程内容选编的基本原则把握理论、技能相结合的基本原则。

2、课程基本内容本课程主要介绍了线性空间、线性映射、酉空间、欧氏空间、若当标准型、矩阵的分解、矩阵的分析.矩阵函数和广义逆矩阵等基本内容。

(二)课程教学通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养高年级本科生的抽象思维与逻辑推理能力，提高高年级本科生的数学素养。

三、课程实施与评价(-)学时、学分本课程总学时为54学时。

学生修完本课程全部内容，成绩合格，可获3学分。

(二)教学基本条件1、教师教师应具有良好的师徳和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。

2、教学设备配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。

(三)课程评价1、对学生能力的评价逻辑推理能力，包括逻辑思维的合理性和严密性。

2、采取教师评价为主的评价方法。

3、课程学习成绩由期末考试成绩(70%)和平时成绩(30%)构成。

课程结束时评出成绩，成绩评定可分为优、良、中、及格和不及格五个等级，也可采用白分制。

四、课程基本要求第一章线性空间和线性变换基本内容：线性空间线性变换基本要求：(1)理解线性空间有关内容。

（2）掌握线性变换及其矩阵表示。

第二章内积空间基本内容：欧氏空间、酉空间、正交基、正交变换基本要求：理解内积空间的有关性质掌握正交投影了解酉变换第三章矩阵的对角化、若当标准型基本内容：矩阵对角化、埃尔米特二次型、若当标准型基本要求：掌握矩阵对角化了解埃尔米特二次型理解若当标准型第四章矩阵的分解基本内容：矩阵的分解、矩阵的谱分解矩阵奇异值分解基本要求：（1）掌握矩阵的三角分解与满秩分解。

第三讲矩阵的对角化与Jordan标准形对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。

对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程=时，将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。

对角化的过程实Ax b际上是一个去耦的过程。

以前我们学习过相似变化对角化。

那么，一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、特征值与特征向量1. 定义：对m阶方阵A，若存在数λ，及非零向量（列向量）x，使=λ,则称λ为A的特征值，x为A的属于特征值λ的得Ax x特征向量。

∙特征向量不唯一∙特征向量非零∙(I A)x 0λ-=有非零解，则det(I A)0λ-=，称det(I A)λ-为A 的多项式。

[例1]122A 212221⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求其特征值和特征向量。

[解] 122det(I A)2120221λ---λ-=-λ--=--λ-2(1)(5)0λ+λ-= 121λ=λ=- 35λ=属于特征值1λ=-的特征向量 (I A)x 0--=1232222220222ξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ξ=⎢⎥⎢⎥ξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1230ξ+ξ+ξ=1122312ξ=ξ⎧⎪ξ=ξ⎨⎪ξ=-ξ-ξ⎩ 可取基础解系为 11x 01⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 20x 11⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦属于5λ=的特征向量 (5I A)x 0-=1234222420224--ξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--ξ=⎢⎥⎢⎥--ξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 123ξ=ξ=ξ可取基础解系为 31x 11⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 矩阵的迹与行列式nii i 1trA a ==∑ 所有对角元素之和n i i 1det A ==λ∏ ni i 1trA ==λ∑3. 两个定理（1） 设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则 tr(AB)tr(BA)=（2）sylvster 定理：设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则m n m n det(I AB)det(I BA)-λ-=λλ-即：AB 与BA 的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。

第三章矩阵对角化、若当原则型§3.1矩阵对角化线性变换在基下矩阵若为对角阵，则向量在基下表达将非常简朴，而线性变换在两个基下矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。

一、特性值、特性向量性质定义1设A e C nxH,称A全体特性值为A谱。

下面定理1是显然。

定理1相似矩阵有相似特性多项式，从而有相似谱。

山于矩阵A不同特性值相应特性子空间和是直和，故有下面定理2。

定理2设A e C Hxn,则A不同特性值相应特性向量线性无关。

定义2设人为A特性值，称A特性多项式中入重根数“为人代数重复度，称特性子空间匕维数匕为人几何重复度。

山定义2即知A特性值人儿何重复度匕为A相应于特性值人线性无关特性向量个数。

定理3设AeC”"，人为A特性值，缶为人儿何重复度，则a t =n-rank（4，” _ A）证明特性子空间={xlAv = A^-veC,},因此a{ = dim = dim N （入人一A）=M - dim R（入人一A） = ”_nrnk(&/” - A)1 2 3例1求人=3 2 3谱，及相异特性值代数重复度和儿何重复度。

0 0-12-2 -3=(2 + 1)2(2-4)因此A谱为人=-1,-1, Z, =4 ,人，易代数重复度分别为叫=2,m2 = 1 oA 儿何重复度a x =3-rank(21/-A)_-2 -2 -3_=3 - rank -3 —3 -3 = 10 0 0入儿何重复度<z2 =3-rank(Z,Z-A)'3 -2 -3_=3 - rank 一3 2 -3=10 0 5定理4设Aw C",入为A特性值，心为&代数重复度，乞为人儿何重复度, 则% <m i o证明山于乞为人儿何重复度，因此A相应于&有乞个线性无关特性向量习,匂，…,％是特性子空间比基，将久6,…,％扩充为C"基设P =[毕2 •••%%+】•••£”]，则AP = A[£x£V-£a£a^C-S n]=［举］举2…入甩A屯科，…］人:*•=国勺田…£]•!•其中△ eC o,^)x(n^),因此矩阵A与B相似，故特性多项式det(2/n—A) = det(A/n—B)= (2-^rdet(A/…_a-A)乂由于det(AZ n-A) = (2-^r-/W因此匕＜nij o 二、矩阵对角化定义3设A s C lx,t,若A与对角阵相似，则称A可对角化，可对角化矩阵称为单纯矩阵。

第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。

（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。

（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。

高等代数若尔当标准型高等代数是数学中的一个重要分支，研究的是代数结构及其运算规律。

在高等代数中，若尔当标准型是一个非常重要的概念和工具。

本文将对若尔当标准型进行详细介绍，并探讨其在高等代数中的应用。

若尔当标准型是矩阵理论中的一个重要概念。

它是指一个矩阵可以通过相似变换转化为一个由若干个若尔当块组成的对角矩阵。

若尔当块是一个由特征值构成的对角矩阵，其中每个特征值所对应的特征向量构成一个块。

若尔当块的形式可以简单描述为一个主对角线上全为特征值，上方为1的矩阵。

若尔当标准型的形式化定义可以表述为：一个n阶矩阵A可以通过相似变换转化为若尔当标准型的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

若尔当标准型的应用非常广泛。

首先，在矩阵理论中，若尔当标准型可以用来简化矩阵的运算。

因为若尔当标准型是对角矩阵的一种特殊形式，对角矩阵的运算非常方便。

其次，在线性代数中，若尔当标准型可以用来求解线性方程组。

通过将线性方程组转化为矩阵形式，然后将矩阵转化为若尔当标准型，可以方便地求解线性方程组的解。

此外，在微分方程中，若尔当标准型可以用来求解某些特殊形式的微分方程，从而简化求解过程。

若尔当标准型的求解方法有多种。

一般来说，求解若尔当标准型需要先求解特征值和特征向量。

特征值可以通过求解矩阵的特征方程得到，特征向量可以通过将特征值代入矩阵的特征向量方程组得到。

然后，根据特征值和特征向量的性质，可以确定若尔当块的个数和大小，从而得到若尔当标准型。

若尔当标准型的计算过程可能相对复杂，但是对于某些特殊情况，可以通过一些技巧和性质来简化计算。

例如，对于可对角化的矩阵，其若尔当标准型就是对角矩阵本身。

对于具有重复特征根的矩阵，可以通过求解广义特征向量来确定若尔当块的个数和大小。

此外，若尔当标准型与线性变换和矩阵的相似性密切相关，因此在实际问题中，可以通过相似变换将一个复杂的矩阵转化为若尔当标准型，从而更方便地进行分析与求解。

总结来说，若尔当标准型是高等代数中的一个重要概念，它可以将一个矩阵转化为由若干个若尔当块组成的对角矩阵。

矩阵对角化的步骤矩阵对角化是线性代数中一项重要的技术，它可以将一个复杂的矩阵转化为一个更简单的对角矩阵。

在实际应用中，对角化可以帮助我们简化数学计算、解决方程组和求解特征值等问题。

下面将介绍矩阵对角化的步骤。

一、什么是矩阵对角化？在线性代数中，一个n×n的方阵A称为可对角化矩阵，当且仅当它可以表示成PDP−1的形式，其中P是可逆方阵，D是对角矩阵。

也就是说，通过一系列变换可以将原始矩阵转换为一个对角矩阵。

二、为什么要进行矩阵对角化？1. 简化计算通过对角化可以将原始矩阵转换为一个更加简单的形式，使得计算更加容易。

例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，则可以直接求出其逆和行列式等参数。

2. 求解特征值通过对角化可以求出一个矩阵的特征值和特征向量。

这些参数在许多应用中都非常重要，例如图像处理、信号处理和物理建模等领域。

三、矩阵对角化的步骤1. 求出矩阵的特征值和特征向量对于一个n×n的矩阵A，首先需要求出它的n个特征值λ1,λ2,…,λn 和对应的特征向量v1,v2,…,vn。

这一步可以通过求解矩阵A−λI的零空间来实现，其中I是单位矩阵。

具体地，我们需要求解线性方程组(A−λI)x=0，并找到所有非零解x。

这些非零解构成了矩阵A的特征向量。

2. 构造特征向量矩阵P将所有求得的特征向量按列排成一个矩阵P=[v1v2⋯vn]，称为特征向量矩阵。

注意到如果某个特征值有多个线性无关的特征向量，那么它们都可以被加入到P中。

3. 求出对角化矩阵D将所有求得的特征值按对角线排列构成一个对角矩阵D=diag(λ1,λ2,…,λn)。

4. 求出逆变换矩阵P−1由于P是由线性无关的特征向量构成的矩阵，因此它是可逆的。

我们可以通过高斯-约旦消元法或矩阵求逆公式等方法求出P的逆矩阵P−1。

5. 检验对角化结果将对角化矩阵D和逆变换矩阵P−1代入PDP−1，即可得到原始矩阵A的对角化形式。

为了检验结果是否正确，可以计算PDP−1与原始矩阵A之间的误差。

对角矩阵约当标准型一、对角矩阵1.1 定义对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素均为零的矩阵。

例如：$$\begin{bmatrix}a_{1,1} & 0 & \cdots & 0 \\0 & a_{2,2} & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & a_{n,n}\end{bmatrix}$$其中 $a_{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

1.2 特点- 对角矩阵是一个方阵。

- 对角矩阵的行列式等于其主对角线上元素的乘积。

- 对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当其主对角线上没有零元素。

二、约当标准型2.1 定义约当标准型是指一个矩阵可以被分解成若干个 Jordan 块组成的形式，其中每个 Jordan 块都具有相同的特征值和相同的大小。

例如：$$J_n(\lambda) =\begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda& 1 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots& \ddots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & \lambda& 1 \\0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda\end{bmatrix}$$其中 $\lambda$ 表示特征值，$n$ 表示 Jordan 块的大小。

2.2 特点- 约当标准型是一种矩阵的标准形式，可以用于矩阵相似性的判断。

- 约当标准型可以帮助我们更好地理解矩阵的特征值和特征向量。

矩阵的若尔当标准型
矩阵的若尔当标准型是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理
解和分析矩阵的性质和特征。

在本文中，我们将深入探讨矩阵的若尔当标准型，包括其定义、性质和计算方法。

首先，让我们来了解一下什么是矩阵的若尔当标准型。

若尔当标准型是指，对
于任意一个矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP是一个特定形式的矩阵，
即若尔当标准型。

若尔当标准型的形式为对角线上是若尔当块，非对角线上可能有
1或者0。

接下来，让我们来看一下矩阵的若尔当标准型的性质。

首先，若尔当标准型是
唯一的。

也就是说，对于一个矩阵A，它的若尔当标准型是确定的，不会因为选择不同的可逆矩阵P而改变。

其次，若尔当块的大小是由矩阵的特征多项式和特征
值确定的。

最后，若尔当标准型可以帮助我们更好地理解矩阵的特征值和特征向量，从而更好地分析和解决线性代数中的问题。

那么，如何计算矩阵的若尔当标准型呢？计算若尔当标准型的方法主要有两种，一种是直接计算，另一种是通过特征值和特征向量来计算。

对于一般的矩阵，直接计算若尔当标准型可能会比较复杂，而通过特征值和特征向量来计算则会更加简便。

通过特征值和特征向量，我们可以将矩阵对角化，从而得到其若尔当标准型。

总之，矩阵的若尔当标准型是线性代数中一个重要而且有用的概念。

通过对若
尔当标准型的深入理解，我们可以更好地分析和理解矩阵的性质和特征，从而更好地解决线性代数中的问题。

希望本文能够帮助读者更好地理解矩阵的若尔当标准型，进而在学习和工作中取得更好的成绩。

第三讲 矩阵对角化与Jordan 标准形引例:如何解线性微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n nnn n n x a x a x a dtdx x a x a x a xx a x a x a x 22112222121212121111dt d dt d 及怎样进行矩阵的高次幂运算等 →矩阵对角化的作用和重要性.** 线性变换的特征值和特征向量所以:T 的特征值与A 的特征值相同,T 的对应于0λ的特征向量的坐标就是A 的对应于0λ的特征向量.即0λ对应的特征向量连同0向量构成的空间----特征子空间一、正规矩阵1. 实对称矩阵与厄米特(Hermite)矩阵 实对称矩阵：实矩阵A TA A = 厄米特矩阵：复矩阵A HA A = 实反对称矩阵：实矩阵A T A A =- 反厄米特矩阵：复矩阵A H A A =- 2. 正交矩阵和酉矩阵正交矩阵：实矩阵A TTA A AA I == （1T AA -=） (矩阵的列向量两两正交且为单位向量)酉矩阵：复矩阵A HHA A AA I == （1H A A -=）3. 正交相似变换和酉相似变换P 为正交矩阵，A 为实矩阵，1P AP -为对A 的正交相似变换； P 为酉矩阵，A 为复矩阵，1P AP -为对A 的酉相似变换。

4. 正规矩阵:HHA A AA =实矩阵A ，若满足TTA A AA =，则A 为实正规矩阵； 复矩阵A ，若满足HHA A AA =，则A 为复正规矩阵。

显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。

例:⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1111A 也是正规矩阵5. 相似矩阵具有相同的特征多项式→相同的特征值、迹、行列式。

11det()det[()]I P AP P I A P λλ---=-11det()det()det()det()det()det()det()P I A P P P I A I A λλλ--=-=-=-（det()det()det()AB A B =）二、酉对角化1. Schur(舒尔)引理：设数12,,,n λλλ 是n 阶方阵A 的特征值，则存在酉矩阵U ，使1210n U AU λλλ-*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (P 49) 即:任一复数方阵相似于上三角矩阵.(三角相似)[证明] 设1x 是A 的属于特征值1λ的特征向量，即111Ax x λ=，111x u x =，并由其扩充为一组标准正交向量12,,,n u u u 01H ij i ju u i j≠⎧=⎨=⎩ 令[]012n U u u u = ，0U 为酉矩阵[]111121221222001212H H H H n H H H HH n n n H H H Hn n n n n u u u u u u u u u u u u u u U U u u u I u u u u u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对A 进行酉相似变换：[]()120012H H H H n i j n n H n u u U AU A u u u u Au u ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦第一列：111111011H H Hii i i u Au u u u u i λλλ≠⎧===⎨=⎩()1001(1)(1)H n n U AU A λ-⨯-*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于1A ，其特征值为2,,n λλ ，与上相同，可得一个酉矩阵1U ，使得()21112(2)(2)00H n n U AU A λ-⨯-*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦依次类推，分别可找到酉矩阵232,,,-n U U U 使()32223(3)(3)0H n n U A U A λ-⨯-*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12220n Hn n n n UA U λλ----*⎡⎤=⎢⎥⎣⎦令2202120100000n n I I U U U U U --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ U 是酉矩阵，H U U I =?H U AU =220022110010100000n n H H H H n n I I U AU U AU U U U U ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦10010H U AU A λ*⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11121111112**10100*000000H H U A U U AU A λλλλ⎡⎤**⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦12*0H n U AU λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ [得证]什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？2. 定理：n 阶方阵A ，酉相似于对角阵的充要条件是：A 为正规阵（实或复）。

矩阵的若尔当标准型及简单应用矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。

矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。

每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。

对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。

主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P 的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。

关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1：????1?0??...?0?00??0??...00??.... ........?001???，其中主对角上0...00...0?1...0设?是一个复数，矩阵的元素都是?，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的?一个若尔当.当?=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：设?是n维向量空间V的一个线性变换，?1,?2,...,?k都是?的一切互不相同特征值，那么存在V的一个基，?关于这个基的矩阵有形式?B1?????0?B20??????Bk???Ji1?????0?Ji2这里Bi=0??????Jisi??，而Ji1,Ji2,...,Jisi都是属于?i的若尔当块，i?1,2,...,k. r1rkP(x)?(x??)...(x??)?1k证：设的最小多项式是，而P(x)在复数域上是不可约的因式分解，这里?1,?2,...,?k是互不相同的特征值，r1,r2,...,rk是正整数。

ririV(???)?{??V(???)??0 }，i?1,2,...,k,所以空间iii又=ker｜V有直和分解V=V1?...?Vk. 1 对于每一i，令?i是?—?i在Vi上的限制，那么?i 是子空间Vi的一个幂零线性变换，而子空间Vi可以分解为?i一循环子空间的直和：Vi?Wi1?...?Wisi. 在每一循环子空间Wij?(j?1,2,...si)里，取一个循环基，凑成Vi的?Ni1??Ni????0??i一个基，那么关于这个基的矩阵有形状Ni20??????Nisi?? 这里Nij(j?1,2,...,si)是幂零若尔当块。