《火线100天》2015中考数学专题复习_规律与猜想

特殊四边形的性质与判定特殊四边形的性质与判定是四边形中的重要内容，同时也是贵州9地州每年中考的必考内容之一，考查的题型以解答题为主，而菱形的性质与判定又是近几年中考试题中的一个热点．特殊四边形的性质与判定的综合题的解答必须具备观察、推理、探索和猜想能力，还需要注重知识的实际应用和动手操作能力．类型1 平行四边形的性质与判定(2015·毕节)如图，将平行四边形ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．【思路点拨】 (1)利用平行四边形的性质得AD ＝BC ，AD ∥BC ，再结合已知得DE ＝FC ，DE ∥FC ，推出平行四边形；(2)过点D 作DN ⊥BC 于点N ，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF 的长，进而求出CE.【解答】 (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC.∵DE ＝12AD ，F 是BC 边的中点，∴DE ＝FC ，DE ∥FC.∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)过点D 作DN ⊥BC 于点N ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，∴∠BCD ＝∠A ＝60°.∵AB ＝3，AD ＝4，∴FC ＝2，NC ＝12DC ＝32，DN ＝332. ∴FN ＝12，则CE ＝DF ＝DN 2＋FN 2＝7.此题主要考查平行四边形的性质与判定以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键. 解题过程中，若遇到一组对边相等，可以考虑寻找这组对边平行或另一组对边相等来证明四边形是平行四边形．1．(2013·黔南)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，△ABD 是等边三角形，E 是AB 的中点，连接CE 并延长交AD 于F.求证：(1)△AEF ≌△BEC ；(2)四边形BCFD 是平行四边形．2．(2015·乌鲁木齐)如图，ABCD 中，点E ，F 在直线AC 上(点E 在F 左侧)，BE ∥DF.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213，当四边形BEDF 为矩形时，求线段AE 的长．类型2 矩形、正方形的性质与判定(2014·安顺)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE 为矩形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．【思路点拨】 (1)结合题意，运用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判断；(2)根据正方形的判定，假设AD ＝12BC ，由已知DC ＝12BC ，再结合(1)问中结论，可证四边形ADCE 为正方形． 【解答】 (1)证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC.∴∠BAD ＝∠DAC.∵AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，∴∠MAE ＝∠CAE.∴∠DAE ＝∠DAC＋∠CAE＝12×180°＝90°. 又∵AD⊥BC，CE ⊥AN ，∴∠ADC ＝∠CEA＝90°.∴四边形ADCE 为矩形．(2)例如，当∠BAC＝90°时，四边形ADCE 是正方形．证明：∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D.∴∠ACD ＝∠DAC＝45°，∴DC ＝AD.由(1)知四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形．本题是一道开放性试题，矩形的判定方法不止一种，结合题意灵活选择判定方法是关键；问题(2)中，先进行探究分析得出结论，然后结合结论进行“顺藤摸瓜”式推论验证．1．(2013·黔东南)如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证：AM＝EF.2．(2015·北京)在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.3．(2014·铜仁模拟)如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥AB交AE于E.(1)求证：AE∥BC；(2)求证：四边形AECD是矩形；(3)BC＝6 cm，S四边形AECD＝12 cm2，求AB的长．类型3 菱形的性质与判定(2015·遵义) 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．过点A 作AF∥BC 交BE 的延长线于点F.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)求证：四边形ADCF 是菱形；(3)若AC ＝4，AB ＝5，求菱形ADCF 的面积．【思路点拨】 (1)由平行线的性质得内错角相等，由E 是AD 中点得AE ＝DE ，从而可证△AEF≌△DEB；(2)利用△AEF≌△DEB 得AF ＝DB ，根据一组对边平行且相等，便可证出四边形ADCF 是平行四边形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证出平行四边形的邻边AD ＝DC ；(3)根据题意可得S 菱形ADCF 等于S △ADC 的2倍，S △ABC 等于S △ADC 的2倍，从而即可求得S 菱形ADCF .【解答】 (1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE ＝∠DBE，∠FAE ＝∠BDE.∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE.∴△AEF ≌△DEB.(2)证明：∵△AEF≌△DEB ，∴AF ＝DB.∵在Rt △ABC 中，D 是BC 的中点，∴BD ＝DC ＝AD.∴AF＝DC ＝AD.∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是菱形．(3)∵AC＝4，AB ＝5，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×5×4＝10. ∵BD ＝DC ，∴S △ADC ＝S △ABD ＝12S △ABC ＝5. ∴S 菱形ADCF ＝2S △ADC ＝2×5＝10.菱形的判定方法有很多种，根据已知条件合理选用判定方法是解题的关键；菱形的面积通常用它对角线乘积的一半来计算，也可以转化为其他图形的面积计算．1．(2013·安顺)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE ＝2DE ，延长DE 到F ，使得EF ＝BE ，连接CF.(1)求证：四边形BCFE 是菱形；(2)若CE ＝4，∠BCF ＝120°，求菱形BCFE 的面积．2．(2015·黔南)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．(3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？参考答案类型11.证明：(1)∵E是AB中点，∴AE＝BE.∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°.∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°.又∵∠FEA＝∠CEB，∴△AEF≌△BEC(ASA)．(2)∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC，∠DAB＝60°，∠CAB＝30°，∴∠DAC＝90°，∴AD∥BC.∵E是AB的中点，∠ACB＝90°，∴EC＝AE＝BE.∴∠ECA＝30°，∠EFA＝60°.∵∠EFA＝∠BDA＝60°，∴CF∥BD.∴四边形BCFD是平行四边形．2．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAF＝∠BCE.又∵BE∥DF，∴∠BEC ＝∠DFA.在△BEC 与△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC＝∠DFA，∠BCE ＝∠DAF，BC ＝DA ，∴△BEC ≌△DFA(AAS)．∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形BEDF 为平行四边形．(2)连接BD ，BD 与AC 相交于点O ，∵AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213，∴AC ＝6.∴AO＝3.∴Rt △BAO 中，BO ＝5.∵四边形BEDF 是矩形，∴OE ＝OB ＝5.∴点E 在OA 的延长线上，且AE ＝OE －OA ＝2.类型21.证明：连接MC.正方形ABCD 中，∵AD ＝CD ，∠ADM ＝∠CDM，DM ＝DM ，∴△ADM ≌△CDM.∴AM ＝CM.∵ME∥CD，MF ∥BC ，∴四边形CEMF 是平行四边形．∵∠ECF ＝90°，∴四边形CEMF 是矩形．∴EF＝MC.又∵AM＝CM ，∴AM ＝EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD.∵BE ∥DF ，BE ＝DF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB ＝90°.∴四边形BFDE 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC.∴∠DFA ＝∠FAB.在Rt △BCF 中，由勾股定理，得BC ＝FC 2＋FB 2＝32＋42＝5，∴AD ＝BC ＝DF ＝5.∴∠DAF＝∠DFA.∴∠DAF＝∠FAB，即AF 平分∠DAB.3．(1)证明：∵AB＝AC ，∠BAD ＝∠CAD，∴∠ADB ＝90°.∵AE 平分∠FAC，∴∠EAD ＝∠EAC＋∠DAC＝12∠FAC ＋12∠BAC ＝12×180°＝90°.∴AE ∥BC.(2)证明：∵DE∥AB，AE ∥BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ＝BD.∵BD＝CD ，∴AE ＝CD.∴四边形AECD 是平行四边形．∵∠ADC＝90°，∴四边形AECD 是矩形．(3)∵BC＝6 cm ，∴CD ＝3 cm.∵S 四边形AECD ＝12 cm 2，∴AD ＝4 cm.∴AB ＝AC ＝32＋42＝5(cm)．类型31.(1)证明：∵D、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，BC ＝2DE.又∵BE＝2DE ，EF ＝BE ，∴BC ＝BE ＝EF ，EF ∥BC.∴四边形BCFE 是菱形．(2)连接BF ，交CE 于点O.∵在菱形BCFE 中，∠BCF ＝120°，CE ＝4，∴BF ⊥CE ，∠BCO ＝12∠BCF ＝60°，OC ＝12CE ＝2.在Rt △BOC 中，tan 60°＝OBOC ，∴OB ＝2tan 60°，BF ＝4tan 60°.∴S 菱形BCFE ＝12CE ·BF ＝12×4×4tan 60°＝8 3.2．(1)证明：∵P Q 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA，∠AED ＝∠CFD.在△AED 与△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC＝∠FCA，AD ＝CD ，∠AED ＝∠CFD，∴△AED ≌△CFD.(2)证明：∵△AED≌△CFD，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA.∴EC＝EA ＝FC ＝FA.∴四边形AECF 为菱形．(3)∵在菱形AECF 中，AC ⊥EF ，∴△ADE 为直角三角形．在Rt △ADE 中，由勾股定理，得ED ＝AE 2－AD 2＝4.∴S 菱形AECF ＝4S △ADE ＝4×12×4×3＝24.。

第18讲锐角三角函数1.特殊角的三角函数的记忆可借助一副三角板：含30°角的三角板三边比为1∶2;含45°角的三角板三边比为1∶12.在运用三角函数的定义建立方程时，选好三角函数是关键，选好三角函数的一般规律是：“有斜用弦(正、余弦)，无斜用切(正切)”.命题点1 锐角三角函数的意义例1 (2014·广州)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=( )A. 35B.45C.34D.43方法归纳：解答本题的关键是结合网格特征正确理解锐角三角函数的概念.1.(2014·汕尾)在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=35,则cosB的值是( )A. 45B.35C.34D.432.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则sinB的值是( )A. 45B.35C.34D.433.如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是 .命题点2 特殊角的三角函数值例2 (2014·舟山)+(12)-2-4cos45°.【解答】方法归纳：解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值和实数运算法则.1.(2014·白银)△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若,cosB=12,则∠C= .2.(2013·孝感)式子2cos30°-tan45°( )命题点3 解直角三角形例 3 (2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，则AB的长为 .【思路点拨】结合题中条件，本题通过过点C作CD⊥AB，把它转化为直角三角形问题,运用解直角三角形知识来求解.方法归纳：在一个直角三角形中，已知一边和一锐角，可以运用已知锐角的三角函数求出未知边的长.1.(2013·牡丹江)在Rt△ABC中，CA=CB，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=13，则BD的长为 .2.(2014·重庆B卷)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA=3 2 ,求sinB+cosB的值.3.(2013·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= 13，AD=1.求BC的长.命题点4 解直角三角形的应用例4 (2014·自贡)如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看塑像头顶D的仰角为45°，看塑像底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度.(最后结果精确到0.1【思路点拨】要求CD的长，必须求出DE、CE的长，可以通过过B点作BE⊥DC于点E，分别构造Rt△BCE和Rt△BDE，又因为∠CBE=30°，∠DBE=45°，BE=2.7米，所以可以运用解直角三角形来解答.【解答】方法归纳：通过作垂线将实际问题构造双直角三角形问题，然后利用解直角三角形得知识来解决实际问题.1.(2014·湘潭)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线l上距离D点多远的C处开挖？ 1.414，精确到1米)2.(2014·荆门)钓鱼岛自古以来就是中国的领土.如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B 处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向.若甲、乙两船分别沿AC、BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时、18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处？(参考数据：cos59°≈0.52,sin46°≈0.72)3.(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一个平面上).求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离.1.(2013·天津)tan60°的值等于( )D.22.(2013·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是( )A. 34B.43C.35D.453.(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC之比)，坝高BC=3 m，则坡面AB的长度是( )4.(2014·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,tanA=12,则BC的长是( )5.(2014·滨州)在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为( )A.6B.7.5C.8D.12.56.(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，则tanB的值为( )A. 1213B.512C.1312D.1257.(2014·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是 .8.(2013·杭州)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=2；②cosB=12；③tanA=3；④，其中正确的结论是 .(只需填上正确结论的序号) 9.(2014·嘉兴)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米(用含α的代数式表示).10.(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为 5 m，则大树的高度为m(结果保留根号).11.(2014·内江)计算：2tan60°13)-1.12.(2014·重庆A卷)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=34，求sinC的值.13.(2014·昆明)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC为22米，求旗杆CD的高度.(结果精确到0.1米.参考数据：sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62)14.(2014·日照)如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离？(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)15.(2014·巴中)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽6米，坝高20米，斜坡AB 的坡度i=1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度.(精确到0.1米，参考数1.414≈1.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)16.(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )B. 12C. 1317.(2013·济南)已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于( )A. 23B.34C.43D.3218.(2014·遂宁)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1= ;sin2A2+sin2B2= ;sin2A3+sin2B3= ;(1)观察上述等式.猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°.都有：sin2A+sin2B= .图4(2)如图4,在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想.(3)已知：∠A+∠B=90°,且sinA=513,求sinB.19.(2013·聊城)如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的点B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住.为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C 处.已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离AD=2.7米，猫头鹰从C点观测F 点的俯角为53°，老鼠躲藏处M距D点3米，且点M在DE上.(参考数据：sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米)？参考答案各个击破例1D题组训练 1.B 2.B 3.1 2例2原式×2题组训练 1.60° 2.B例3 3题组训练 1.62.在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝32，∴AD＝4，∴BD＝AB-AD＝8，在Rt△BCD中，BC10，∴sinB＝CDBC＝35，cosB＝BDBC=45.∴sinB＋cosB＝75.3.∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC.在Rt△ABD中，∵sinB=ADAB=13，AD=1，∴AB=3，∴∵在Rt△ADC中，∠C=45°，∴CD=AD=1.∴例4 过B 点作BE ⊥DC 于E 点，DC 的延长线交地面于F.∵BA ⊥AF ，DF ⊥AF ，∴四边形ABEF 为矩形，BE=2.7.在Rt △BEC 中，∠CBE ＝30°，tan ∠CBE=CE BE , ∴CE=BE ·tan30°=9310；在Rt △BDE 中，∠DBE ＝45°，BE=2.7,∴DE=2.7，DC=2.7-≈1.2. 答：塑像CD 的高度约为1.2米.题组训练 1.∵CD ⊥AC ，∴∠ACD=90°.∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°,∴∠D=45°,∴CB=CD.在Rt △DCB 中：CD 2+BC 2=BD 2，∴2CD 2 =8002，566(米).答：直线l 上距离D 点566米的C 处开挖.2.过C 作CD ⊥AB 于D ，设CD=h(海里),两船从A 、B 到C 的时间分别是t 甲、t 乙(小时). 则∠ACD=59°,∠CBD=90°-44°=46°.在Rt △ACD 中，cos59°=CD AC =h AC ≈0.52, 则AC=0.52h . 在Rt △BCD 中，sin46°=CD BC =h BC ≈0.72, 则BC=0.72h . ∴t 甲=20AC =0.5220h ⨯=10.4h , t 乙=18BC =0.7218h ⨯=12.96h .∵12.96>10.4,∴t 甲>t 乙，即乙船先到达C 处.3.过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 的长度即是A 到岸边BC 的最短距离.在Rt △ACD 中，∠ACD=45°.设AD=x,则CD=AD=x.在Rt △ABD 中，∠ABD=60°.由tan ∠ABD=AD BD 得tan60°=x BD,∴BD=60x tan ︒x . 又BC=4,即BD+CD=4,∴3x +x=4,解得即小岛上标志性建筑物的底部A 到岸边BC 的最短距离为)公里. 整合集训1.C2.C3.B4.A5.A6.D7.12 8.②③④ 9.7tan α 10.)11.原式＝+3＝1.12.∵AD ⊥BC ，∴tan ∠BAD=BD AD . ∵tan ∠BAD=34，AD=12，∴BD=9. ∴CD=BC-BD=14-9=5.∴∴sinC=AD AC =1213. 13.过点B 作BE ⊥CD 于E.在Rt △DEB 中，∠DEB=90°,BE=AC=22米,tan32°=DE BE, ∴DE=BEtan32°≈22×0.62=13.64(米).又∵EC ＝AB ＝1.5米,∴CD=CE+ED=15. 14≈15.1(米).答：旗杆CD 的高度为15.1米.14.过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，设PC 为x 海里.在Rt △APC 中，∵tan ∠A=PC AC ， ∴AC=67.5PC tan ︒=512x . 在Rt △PCB 中，∵tan ∠B=PC BC ， ∴BC=36.9x tan ︒=43x . ∵AC ＋BC=AB=21×5， ∴512x +43x =21×5，解得x=60. ∵sin ∠B=PC PB， ∴PB=PC sin B ∠=6036.9sin ︒=60×53=100(海里). ∴向阳号轮船所处位置B 与城市P 的距离为100海里.15.如图，分别过点B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，由题意知BE=CF=20，BC=EF=6，∠D=30°， 在Rt △ABE 中，i=BE AE =12.5，即20AE =12.5， ∴AE=50.在Rt △CDF 中，tan30°=CF DF ，即20DF ，∴≈34.6.∴AD=AE+EF+FD=50+6+34.6=90.6(米）.16.D 17.C18.1;1;1.(1)1.(2)∵sinA=a c，sinB=b c ，a 2+b 2=c 2. ∴sin 2A+sin 2B=(a c )2+(b c )2=222a b c +=1. (3)∵sinA=513，sin 2A+sin 2B=1,∴ =1213. 19.(1)能看到.依题意得∠AGC=53°，∠GFD=∠GCA=37°， ∴DG=DFtan 37°≈3米=DM.因此这只猫头鹰能看到这只老鼠.(2)∵AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米），∴CG=AG ÷sin 37°≈5.7÷0.60=9.5(米). 因此猫头鹰至少要飞约9.5米.。

第8讲一元一次不等式(组)考点1 不等式的概念及性质不等式的有关概念用不等号连接起来的式子叫做不等式，使不等式成立的未知数的取值X围叫做不等式的解集.不等式的基本性质性质1 若a＜b，则a±c＜b±c；性质2 若a＜b且c＞0，则ac①bc(或ac②bc)；性质3 若a＜b且c＜0，则ac③bc(或ac④bc).考点2 一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式的解法(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.不等式组的解法一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴上，再求出他们的公共部分，就得到不等式组的解集.不等式组的解集情况(假设b＜a)x ax b⎨⎩≥⎧＞，x＞a 同大取大x ax b⎨⎩≤⎧＜，x≤b 同小取小x ax b⎨⎩≥⎧＜，b≤x＜a 大小小大中间找x ax b⎨⎩≤⎧＞，无解大大小小无处找考点3 不等式的应用列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：(1)审清题意；(2)设未知数；(3)列不等式；(4)解不等式；(5)⑤作答.1.已知不等式(组)的解集确定不等式(组)中字母的取值X围有以下四种方法：(1)逆用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)从反面求解确定；(4)借助数轴确定.2.列不等式(组)解应用题应紧紧抓住“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“大于”、“小于”等关键词列出不等量关系式，进而求解.命题点1 一元一次不等式的解法例1 (2014·某某)解不等式2(x-1)+5<3x，并把解集在数轴上表示出来.【思路点拨】先去括号，化不等式为2x-2+5<3x，再移项、合并同类项即可.【解答】方法归纳：一元一次不等式的解法步骤一般是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，值得注意的是：去分母、系数化1时，如果两边同乘负数，不等号一定要变号；用数轴表示不等式的解集时一定要注意包含界点需用实心的小圆点，不包含界点需用空心的小圆圈.1.(2014·黔西南)不等式2x-4>0的解集为( )A.x>12B.x>2C.x>-2D.x>82.(2013·某某)不等式1+x＜0的解集在数轴上表示正确的是( )3.(2015·某某模拟)解不等式2(x-1)-3＜1，并把它的解集在数轴上表示出来. 命题点2 一元一次不等式组的解法例2 (2014·某某)解不等式组：211,84 1.x xx x->++>-⎧⎨⎩①②并把解集在下面数轴上表示出来.【思路点拨】本题考查了不等式组的解法和解集在数轴上的表示方法.先确定每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，进而将其解集表示在数轴上.【解答】方法归纳：解一元一次不等式组的步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集.确定不等式组的解集一般有两种方法，即口诀法和数轴法.1.(2014·某某)不等式组21010x x ⎩->+≥⎧⎨，的解集是( )A.x ＞12≤x ＜12 C.x ＜12D.x ＞-1 2.(2014·某某)不等式组1231x x >--≤⎧⎨⎩，的解集在数轴上表示正确的是( )3.(2014·聊城)不等式组1122533x x -≤⎧-<⎪⎨⎪⎩的解集是.4.(2014·某某)解不等式组()32232132x x x x +≤+->⎧⎪⎨⎪⎩，①，　②并写出不等式组的整数解.命题点3 一元一次不等式的应用(2013·呼和浩特)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？【思路点拨】设小明答对x 道题，根据得失分数，列一元一次不等式，再求满足不等式的最小整数解. 【解答】方法归纳：某某际问题中的“至多”、“至少”这类问题，常采用不等式锁X 围，即先根据题目的问题，直接设出未知数，列出不等式，求出相应的X 围，再根据题目的条件，知道它是正整数或整数等，求出答案.1.(2014·某某)铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm ，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为78cm.2.某公园出售的一次性使用门票，每X10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动(从购买日起，可供持票者使用一年).年票分A 、B 两类：A 类年票每X100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B 类年票每X50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票.某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A 类年票最合算？1.(2014·滨州)a 、b 都是实数，且a<b ，则下列不等式的变形正确的是( ) A.a+x>b+x B.-a+1<-b+1 C.3a<3b D.2a >2b2.下列说法中，错误的是( ) A.不等式x<2的正整数解只有一个 B.-2是不等式2x-1<0的一个解 C.不等式-3x>9的解集是x>-3 D.不等式x<10的整数解有无数个3.(2013·某某)设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为( )A.■、●、▲B.▲、■、●C.■、▲、●D.●、▲、■ 4.(2013·某某)不等式5x-1>2x+5的解集在数轴上表示正确的是( )5.(2014·某某)不等式组()1122331x x x ⎧+≤⎪⎨⎪-<+⎩的解集在数轴上表示正确的是( )6.(2014·株洲)一元一次不等式组210,50x x -⎩+≤⎧⎨＞的解集中，整数解的个数是( )A.4B.5 C7.(2014·潍坊)若不等式组0,122x a x x +≥->-⎧⎨⎩无解，则实数a 的取值X 围是( )≥-1 B.a ＜-1 C.a ≤≤-18.(2015·设这个队在将要举行的比赛中胜x 场，要达到目标，x 应满足的关系式是( ) A.2x+(22-x)≥36 B.2x-(22-x)≥36 C.2x+(22-x)≤≥369.(2014·某某)不等式3x-2>4的解是.10.(2013·某某)不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是. 11.(2013·某某)若关于x 的不等式(1-a)x>2可化为x<21a-，则a 的取值X 围是. 12.(2014·某某)不等式组()2101202x x ->⎧⎪⎨-+<⎪⎩的解集是.13.(2013·某某)不等式组10420x x -≥-<⎧⎨⎩，的最小整数解是.14.有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210 kg ，每捆材料重20 kg ，电梯最大负荷为1 050 kg ，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载捆材料. 15.(2013·某某)解不等式213x --926x +≤1，并把解集表示在数轴上.16.(2014·某某)解不等式组()302133x x x +>-+≥⎧⎨⎩，①，②并判断x ＝3是否为该不等式组的解.17.(2013·某某)解不等式组()2532,132 1.2x x xx +≤+⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②将不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解.18.(2014·某某)小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5 600元.已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块. (1)两种型号的地砖各采购了多少块？(2)如果厨房也铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3 200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？19.(2013·荆州)在实数X 围内规定新运算“△”，其规则是：a △b=2a △k ≥1的解集在数轴上如图表示，则k 的值是.20.若关于x 、y 的二元一次方程组23122x y k x y +=-+=-⎧⎨⎩，的解满足x+y ＞1，则k 的取值X 围是.21.(2014·呼和浩特)已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组()233,211220.x x a x -+≥--+<⎧⎪⎨⎪⎩并依据a 的取值情况写出其解集.22.（2014·某某）某商场用36万元购进A 、B 两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：A B 进价（元/件） 1 200 1 000 售价（元/件）1 3801 200（1）该商场购进A 、B 两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进A 、B 两种商品．购进B 种商品的件数不变，而购进A 种商品的件数是第一次的2倍，A 种商品按原售价出售，而B 种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81 600元，B 种商品最低售价为每件多少元？ 参考答案 考点解读①＜ ②＜ ③＞ ④＞ ⑤检验 各个击破例1去括号，得2x-2+5<3x ， 移项，得2x-3x<2-5， 合并，得-x<-3， 系数化为1，得x>3.不等式的解集在数轴上表示为：题组训练1.B2.A3.去括号，得2x-2-3＜1，移项，得2x＜2+3+1，合并同类项，得2x＜6，系数化为1，得x＜3.不等式的解集在数轴上表示如图：例2 解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x＜3，∴原不等式组的解集是2＜x＜3. 解集表示在数轴上如图.题组训练1.A 2.B 3.-32<x≤44.解不等式①，得x≤4.解不等式②，得x＞2.∴这个不等式组的解集为2＜x≤4. ∴这个不等式组的整数解为3，4.例3 设小明答对x道题，由题意，得10x-5(20-x)>90.解得x>1223.∵x为整数，∴x最小为13.答：他至少要答对13道题.题组训练1.782.设某游客一年中进入该公园x次，由题意，得100＜50+2x.解得x＞25.答：游客一年中进入该公园至少要超过25次时，购买A类年票最合算. 整合集训1.C2.C3.C4.A5.D6.C7.D8.A9.x>210.1，2，311.a＞112.x＞1213.314.4215.去分母，得2(2x-1)-(9x+2)≤6，去括号，得4x-2-9x-2≤6，移项，得4x-9x≤6+2+2，合并同类项，得-5x≤10，系数化为1，得x≥-2.解集在数轴上表示为：16.由①得x＞-3.由②得x≤1.∴原不等式组的解集是-3＜x≤1.∵3＞1，∴x＝3不是该不等式组的解.17.解不等式①，得x≥-1.解不等式②，得x＜3.所以原不等式组的解集是-1≤x＜3.其解集在数轴上表示为：所以不等式组的非负整数解有：0，1，2.18.(1)设彩色地砖采购x块，则单色地砖采购(100-x)块.根据题意，得80x+40(100-x)＝5 600.解得x＝40.100-x＝60.答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块.(2)设彩色地砖采购y块，则单色地砖采购(60-y)块，则80y+40(60-y)≤≤20.答：彩色地砖最多能采购20块.19.-3 20.k>221.()2x 33,1120.22x a x -+≥-⎧⎪⎨-+<⎪⎩①② 解①得x ≤3， 解②得x<a.∵a 是不等于3的常数，∴当a>3时，不等式组的解集为x ≤3； 当a<3时，不等式组的解集为x<a.22.（1）设购进A 种商品x 件，B 种商品y 件，根据题意得()()1 2001000360000,1380120012001000y 60000.x y x +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩解得200,120.x y =⎧⎨=⎩ 答：该商场购进A 、B 两种商品分别为200件和120件． （2）由于A 商品购进400件，获利为 （1 380-1 200）×400=72 000（元）. 从而B 商品售完获利应不少于 81 600-72 000=9 600（元）. 设B 商品每件售价为z 元，则 120（z-1 000）≥9 600. 解得z ≥1 080.答：B 种商品最低售价为每件1 080元．。

阅读理解问题阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题.对于这类题求解步骤是“阅读——分析——理解——创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力.题型之一新定义、新概念阅读型例1 (2014²安徽)若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的最大值.【思路点拨】(1)根据“同簇二次函数”先选择所写函数的顶点坐标，使二次项系数同号但数值不同即可；(2)根据其中y1的图象经过点A(1，1)，把点A的坐标代入函数解析式中即可求出m的值，得y1解析式.利用y1+y2的顶点与y1的顶点相同求a,b.最后利用二次函数的性质确定当0≤x≤3时y2的最大值.【解答】(1)答案不唯一，如顶点是原点，开口向上的二次函数，y=x2和y=2x2；(2)把点A(1，1)坐标代入到y1=2x2-4mx+2m2+1中，得2³12-4m³1+2m2+1=1，解得m=1.∴y1=2x2-4x+3.∵y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=(a+2)x2+(b-4)x+8，又∵y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1，其顶点为(1，1)，且y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴()()()()241,2242841.42baa ba-⎧-=⎪+⎪⎨+⨯--⎪=⎪+⎩解得5,10.ab=⎧⎨=-⎩∴y2=5x2-10x+5=5(x-1)2.∵当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，当x=0时，y2=5.当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，当x=3时，y2=20.∴在0≤x≤3中，当x=3时，y2有最大值，最大值y2=5³(3-1)2=20.故当0≤x≤3时，y2的最大值是20.方法归纳：这类题首先要读懂题目中的新概念，然后将新概念的问题与原有的知识结合，利用原有的知识解决问题，其实就是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原来的知识点.1.(2014²成都)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的三角形ABC是格点三角形，其中S=2，N=0，L=6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是.经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S=.(用数值作答)2.(2014²白银)阅读理解：我们把a bc d称作二阶行列式，其运算法则为a bc d=ad-bc.如：2345=2³5-3³4=-2.如果有231xx-＞0，求x的解集.3.(2014²巴中)定义新运算：对于任意实数a、b都有a△b=ab-a-b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2³4-2-4+1=8-6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围.4.(2014²长沙改编)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点(-1，-1)，(0，0)，，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个.(1)若点P(2,m)是反比例函数y=nx（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；(2)函数y=3kx+s-1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由.5.(2013²咸宁)阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题：(1)如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：(3)如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系.题型之二 学习应用型例2 (2014²济宁)阅读材料：已知，如图1，在面积为S 的△ABC 中，BC ＝a,AC ＝b,AB ＝c,内切圆O 的半径为r.连接OA ，OB ，OC ，△ABC 被划分为三个小三角形.∵S=S △OBC +S △OAC +S △OAB=12BC ²r+12AC ²r+12AB ²r =12（a+b+c ）r, ∴r=2S a b c++.(1)类比推理：若面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图2，各边长分别为AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，AD ＝d ，求四边形的内切圆半径r ；(2)理解应用：如图3，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝21，CD ＝11，AD ＝13，⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径分别为r 1和r 2，求12r r 的值. 【思路点拨】(1)连接OA ，OB ，OC ，OD ，仿照例题易得r.(2)过上底顶点作下底垂线，从而求出BD 的长以及梯形的高，从而利用(1)的结论用含有r 1和r 2的式子表示出两三角形的面积.根据等高的三角形面积比等于底的比，建立等量关系，得到两半径之比. 【解答】(1)连接OA ，OB ，OC ，OD.作出对应四个三角形的高OE ，OF ，OG ，OH. ∵S=S △AOB +S △BOC +S △COD +S △AOD=12ar+12br+12cr+12dr=12(a+b+c+d)r, ∴r=2Sa b c d+++.(2)过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则 AE=12(AB-DC)=12³(21-11)=5.BE=AB-AE=21-5=16.∵AB ∥DC ，∴ABD BCD S S =AB DC =2111. 又∵ABD BCDS S =()()121132120211113202r r ++++=125444r r =122722rr ， ∴122722r r =2111.即12r r =149.方法归纳：本题从人教版九年级上册课本P100练习2入手，将知识层层推进.解决这类题一定要弄懂给出学习的例题得出解题思路，然后类比例题的思路解决第(2)问的内容.1.(2014²兰州)为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100,则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S-S=2101-1，所以S=2101-1，即1+2+22+23+…+2100=2101-1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32 014的值是.2.(2013²湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30°=12,cos30°,则sin 230°+cos 230°=;① sin45°=2,cos45°=2,则sin 245°+cos 245°=;② sin60°°=12,则sin 260°+cos 260°=;③…，观察上述等式，猜想：对任意锐角A ，都有sin 2A+cos 2A=.④(1)如图，在锐角三角形ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的猜想；(2)已知：∠A为锐角(cosA>0)且sinA=35,求cosA.3.(2013²黔西南)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如2.善于思考的小明进行了以下探索：设2(其中a，b，m，n均为整数)，则有=m2+2n2∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把类似.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a，b，m，n均为正整数时，若2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a=，b=；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：=；(3)若2，且a，m，n均为正整数，求a的值.4.(2014²黔西南)已知点P(x0,y0)和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式.例如：求点P(-2,1)到直线y=x+1的距离.解：因为直线y=x+1可变形为x-y+1=0，其中k=1,b=1, 所以点P(-2,1)到直线y=x+1的距离为：根据以上材料，求：(1)点P(1,1)到直线y=3x-2的距离，并说明点P与直线的位置关系；(2)点P(2,-1)到直线y=2x-1的距离；(3)已知直线y=-x+1与y=-x+3平行，求这两条直线的距离.题型之三纠错补全型例3(2014²温州)八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛.试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分.赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)（1）根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；（2）最后获知A，B，C，D，E五位同学的成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分.①求E同学的答对题数和答错题数；②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩的平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况.请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可).【思路点拨】(1)5³答对题数-2³答错题数=个人的得分，然后算出4人平均分；(2)①设E同学答对题数为x，得到答错题数，然后利用(1)的关系式列出方程，求解即可；②对比(1)、(2)中每人成绩，得出C同学出错，然后利用二元一次方程的特解找到C同学答题情况.【解答】(1)A同学的成绩为：5³19-2³0+0³1=95，B同学的成绩为：5³17-2³2+0³1=81，C同学的成绩为：5³15-2³2+0³3=71，D同学的成绩为：5³17-2³1+0³2=83.A，B，C，D四位同学成绩的平均分为958171834+++=82.5.答：A，B，C，D四位同学成绩的平均分为82.5分.(2)①设E同学答对x道题，则答错题数为（13-x）道.由题意可得5x-2(13-x)+0³7=58，解得x=12.答：E同学答对题数为12，答错题数为1.②C同学的成绩记错了.设C同学答对a道题，答错b道题.则5a-2b=64，即有a=6425b+.又∵a+b≤20，且a、b为整数，∴可行解只有143.ab=⎧⎨=⎩，20-a-b=3.答：C同学答对14道题，答错3道题，未答3道题.方法归纳：解决这类问题的关键是分清题目中哪些信息是没有失误的，哪些信息是有误的.在正确信息下得到的结论仍是正确的，利用正确信息去找失误点，然后解决问题.1.(2014²河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时，对于b2-4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+bax=-ca,……第一步x 2+b a x+(2b a )2=-c a +(2b a)2，……第二步 (x+2b a )2=2244b aca -，……第三步 x+2b a=4a(b 2-4ac>0)，……第四步x=2b a-+.……第五步(1)嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b 2-4ac>0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式是. (2)用配方法解方程x 2-2x-24=0.2.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE. 求证：∠BAE=∠CAE.证明：在△AEB 和△AEC 中，,,,EB EC ABE ACE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB ≌△AEC(第一步). ∴∠BAE=∠CAE(第二步).问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.3.“？”的思考下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批语.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个“？”.结果为何不正确呢？(1)请你指出小明解答过程中存在的问题，并补充缺少的过程；变化一下会怎样…(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD内部.AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB=2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d满足什么条件？请说明理由.4.(2013²河北)某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵.将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2)，经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误.回答下列问题：(1)写出条形图中存在的错误，并说明理由；(2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；(3)在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵. 参考答案题型之一 新定义、新概念阅读型1.7,3,10 11提示：不妨设某个格点四边形由四个小正方形组成，此时，S=4，N=1，L=8.由题意，可联立方程组62,3107,8 4.b c a b c a b c +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1,1,21.a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩∴S=N+12L-1.∴当N=5，L=14时，S=11. 2.由题意得2x-(3-x)>0， ∴2x-3+x>0. ∴x>1.3.∵3△x=3x-3-x ＋1=2x-2， ∴225229.x x ->⎧⎨-<⎩，解得72＜x ＜112.4.(1)∵点P(2，m)是“梦之点”,∴m ＝2，P(2,2). 将点P(2,2)代入y=n x 中，得n ＝4，∴y=4x. (2)设函数y=3kx+s-1的图象上存在“梦之点”，∴设该“梦之点”为(a ，a)，代入得a=3ka+s-1. ∴(3k-1)a=1-s.3k-1=0，1-s=0，即k=13，s=1时，y=x ，此时直线上所有点都是“梦之点”； ②当3k-1=0,1-s ≠0时，此方程无解，不存在“梦之点”；③当3k-1≠0时，即k ≠13，解得a=131s k --，“梦之点”为(131s k --,131s k --).综上所述，当k ≠13时，“梦之点”为(131s k --,131s k --);当k=13，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=13，s≠1时，不存在“梦之点”.5.(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°.∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°.∴∠ADE=∠BEC.∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC.即点E是四边形ABCD的AB边上的相似点.(2)作图如图2所示.(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.由折叠可知：∠ECM=∠DCM=∠BCE，CE=CD，∴∠BCE=13∠BCD=30°.∴2BE=CE=AB.在Rt△BCE中，tan∠BCE=BEBC=tan30°，∴即BC.题型之二学习应用型1.2 015 312-2.1；1；1；1.(1)证明：如图，过点B作BH⊥AC于点H，则BH2+AH2=AB2.在Rt△ABH中，sinA=BHAB,cosA=AHAB，∴sin2A+cos2A=22BHAB+22AHAB＝222BH AHAB+=1.(2)∵sin2A+cos2A=1，sinA=3 5 ,∴cos2A=1-(35)2=1625.又∵cosA>0,∴cosA=4 5 .3.(1)∵2，∴2+3n2∴a=m2+3n2，b=2mn.故答案为m2+3n2，2mn.(2)答案不唯一，如：设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2.故答案为2.(3)由题意，得a=m2+3n2，b=2mn=4，则mn=2.∵m，n为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2.∴a=22+3³12=7，或a=12+3³22=13.即a的值为7或13.4.(1)∵点P(1,1)在直线y=3x-2的图象上,∴d=0.(2)因为直线y=2x-1可变形为2x-y-1=0，其中k=2,b=-1, 所以点P(2,-1)到直线y=2x-1的距离为：(3)∵直线y=-x+1、y=-x+3平行,∴任取直线y=-x+1上的一点到直线y=-x+3的距离即为两直线之间的距离.∴取y=-x+1上的一点P(0,1)到直线y=-x+3的距离.题型之三纠错补全型1.(1)四；x=.(2)方程x2-2x-24=0变形，得x2-2x=24，x2-2x+1=24+1，(x-1)2=25，x-1=±5，x=1±5，∴x=-4或x=6.2.不正确，错在第一步.正确的推理是：∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB.又∠ABE=∠ACE，∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.又∵AE=AE，EB=EC，∴△ABE≌△ACE(SSS).∴∠BAE=∠CAE.3.(1)这里的长与宽的比为2∶1，是蔬菜大棚的长与宽，而不是蔬菜种植区域.设蔬菜大棚的宽为x m，则其长为2x m，蔬菜种植区域的长为(2x-3-1)=(2x-4)m，宽为(x-1-1)=(x-2)m. 依题意，得(2x-4)(x-2)=288.解这个方程，得x1=-10(不合题意，舍去)，x2=14.∴x=14,2x=28.答：当温室的长为28米，宽为14米时，矩形蔬菜种植区域的面积是288米2.(2)设AB=x，则AD=2x，那么A′D′=2x-a-c，A′B′=x-b-d.∵矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，∴AD∶AB=A′D′∶A′B′=2∶1.∴A′D′=2A′B′，∴2x-a-c=2(x-b-d)，∴a+c=2b+2d.4.(1)D有错.理由：D组人数为10%³20=2≠3；(2)众数为5，中位数为5；(3)①第二步，②x=4458667220⨯+⨯+⨯+⨯=5.3.估计这260名学生共植树：5.3³260=1 378(棵).。

第7讲分式方程考点2 分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤跟一次方程(组)的应用题不一样的是：要检验⑤，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否⑥ .分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，分式方程也无解.命题点1 分式方程的解法例1 (2014·呼和浩特)解方程：23 2x x +-212x x-=0.【思路点拨】先确定最简公分母x(x+2)(x-2)，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，最后要检验.【解答】方法归纳：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，并检验该整式方程的解是不是原分式方程的解.1.(2015·原创)把分式方程24x+=1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)2.(2014·台州)将分式方程1-21xx-=31x-去分母，得到正确的整式方程是( )A.1-2x＝3B.x-1-2x＝3C.1+2x＝3D.x-1+2x＝33.(2014·重庆B卷)分式方程41x+=3x的解是( )A.x＝1B.x＝-1C.x＝3D.x＝-34.(2014·连云港)解方程：22x-+3=12xx--.命题点2 分式方程的应用例2 (2014·襄阳)甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km，一列动车与一列特快列车分别从A、B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km/h.当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站.求动车和特快列车的平均速度各是多少？【思路点拨】设特快列车的平均速度为x km/h，则动车的平均速度为(x+54)km/h，依题意有等量关系：动车行驶360 km所用时间＝特快列车行驶(360-135)km所用时间.列方程求解即可.【解答】方法归纳：列分式方程解应用题的关键是分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系，从而得到等量关系式，进而引进未知数，列出方程解决问题.利用分式方程解应用题一定要注意检验，找出符合实际情况的答案.1.(2014·莱芜)已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地.若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地.设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是( )A. 40x=5012x-B.4012x-=50xC. 40x=5012x+D.4012x+=50x2.(2013·大连)某超市购进A、B两种糖果，A种糖果用了480元，B种糖果用了1 260元，A、B两种糖果的重量比是1∶3，A种糖果每千克的进价比B种糖果每千克的进价多2元.A、B两种糖果各购进多少千克?3.(2014·东营)为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造.根据市政建设的需要，须在40天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程.经调查知道：乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程的时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成.甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天?1.(2013·山西)解分式方程21x -+ 21x x+-=3时，去分母后变形为( ) A.2+(x+2)=3(x-1) B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3(1-x)D.2-(x+2)=3(x-1)2.(2014·孝感)分式方程1x x -=233x -的解为( ) A.x=-16 B.x=23 C.x=13 D.x=56 3.(2015·原创)邱老师和黄老师住在同一个小区，离学校3 000米，某天早晨，邱老师和黄老师分别于7点10分、7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知黄老师骑车的速度是邱老师的1.2倍，则邱老师骑车的速度是( )A.80米/分B.100米/分C.120米/分D.200米/分4.(2014·无锡)方程22x +=1x的解是 . 5.(2013·广安)解方程42x x --1=32x-，则方程的解是 . 6.(2014·巴中)若分式方程1x x -- 1m x -=2无解，则m 的值是 . 7.(2013·盘锦)小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍.设骑自行车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为 .8.解分式方程：(1)(2014·盐城)31x -＝21x +；(2)(2014·聊城) 22x x +-+2164x -=-1.9.(2015·东营模拟)如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是-3和1-x2-x ，且点A 、B 到原点的距离相等，求x 的值.10.(2014·娄底)娄底到长沙的距离约为180千米，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达，已知小轿车的速度是大货车的速度的1.5倍.(1)求小轿车和大货车的速度各是多少？(列方程解答)(2)当小刘出发时，小张离长沙还有多远？11.(2014·徐州)几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票.下面是两个小伙伴的对话：根据对话中的信息，请你求出小伙伴们的人数.12.(2014·威海）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元.已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？13.(2014·自贡)学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成.现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成？(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？14.(2014·荆门)已知：点P(1-2a ，a-2)关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程 1x x a+-＝2的解是( ) A.5 B.1 C.3 D.不能确定 15.(2013·枣庄)对于非零的两个实数a ，b ，规定a b ⊕=1b -1a，若()221x ⊕-=1，则x 的值为( ) A.56 B.54 C.32 D.-16 16.(2014·达州)某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8 000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用17 600元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元.商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩下10件按8折销售，很快售完.在这两笔生意中，商家共盈利多少元？17.(2013·娄底)为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元.(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？参考答案考点解读①未知数②整式③最简公分母④不为0 ⑤两⑥符合题意各个击破例1方程两边同乘x(x+2)(x-2),去分母，得3(x-2)-(x+2)=0，去括号，得3x-6-x-2=0，移项，得3x-x=6+2，合并，得2x=8，系数化为1，得x=4.检验，当x=4时，x(x+2)(x-2)=48≠0，∴x=4是原方程的解.题组训练 1.D 2.B 3.C4.2+3(x-2)=x-1，2+3x-6=x-1，2x=3，x=32.经检验，x=32是原方程的解.例2 设特快列车的平均速度为x km/h，则动车的平均速度为(x+54)km/h，根据题意，得36054 x+=360135x-.解得x=90.经检验，x=90是这个分式方程的解，且符合题意.x+54=144.答：动车和特快列车的平均速度分别为144 km/h和90 km/h.题组训练 1.B2.设A种糖果购进x千克，则B种糖果购进3x千克，根据题意，得480 x -12603x=2.解得x＝30.经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意.3x＝90.答：A种糖果购进30千克，B种糖果购进90千克.3.设甲工程队单独完成此项工程需x 天，则乙工程队单独完成此项工程需2x 天.由题意得 1x +12x =110.解得x=15.经检验，x=15是原方程的解.∴2x=30.答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天.整合集训1.D2.B3.B4.x=25.x=-53 6.-1 7.5x -52x =168.(1)分式两边同乘(x+1)(x-1),去分母，得3(x+1)＝2(x-1).解得x ＝-5.检验，当x ＝-5时，(x+1)(x-1)=24≠0.∴原分式方程的解是x ＝-5.(2)分式两边同乘(x+2)(x-2)去分母，得-(2+x)2+16=-(x 2-4)，解得x=2.经检验，当x=2时，x 2-4=0.∴原方程无解.9.依题意可得12xx --=3，解得x=52.经检验，x=52是原方程的解.∴x 的值为52.10.(1)设大货车的速度为x 千米/时，小轿车的速度为1.5x 千米/时，则180x -1801.5x =1.解得x=60.经检验，x=60是方程的解，且符合题意.1.5x=90.答：大货车的速度为60千米/时，小轿车的速度为90千米/时.(2)180-60=120(千米).答：当小刘出发时，小张离长沙还有120千米.11.设共有x 个小伙伴，依题意，得3602x -×0.6=36072x -.解得x=8.经检验，x=8是原方程的解，且符合题意.答：共有8个小伙伴.12.设乙种粽子的单价为x 元，则()00300120x ++400x=260.解得x=2.5. 经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意. ∴()00300120x +=100, 400x=160.答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子分别购买了100个、160个.13.(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x 分钟完成，则(140+1x )×20+20x =1.解得x=80.经检验得x=80是原分式方程的解，且符合题意.答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟完成.(2)设李老师要工作m 分钟，则40m +3080≥1.解得x ≥25.答：李老师至少要工作25分钟.14.C 15.A16.设第一批进货的单价为x 元，则第二批进货的单价为(x+8)元，由题意，得2×8 000x =17 6008x .解得x=80.经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意.则第一次进货100件，第二次进货的单价为88元，第二次进货200件.总盈利为：(100-80)×100+(100-88)×(200-10)+10×(100×0.8-88)=4 200(元).答：在这两笔生意中，商家共盈利4 200元.17.(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运x 趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x 趟，依题意，得 12x +122x =1.解得x=18.经检验x=18是原方程的解，且符合题意.2x=36.答：甲车单独运完此堆垃圾需18趟，乙车需36趟.(2)设甲车每趟需运费a 元，则乙车每趟需运费(a-200)元，依题意，得12a+12(a-200)=4 800.解得a=300.a-200=100.∴单独租用甲车的费用=300×18=5 400(元)，单独租用乙车的费用=100×36=3 600(元).∵5 400＞3 600，∴单独租用乙车合算.。

规律与猜想学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来．规律与猜想类试题选材一般有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同的角度，利用不同的方法探索并发现数学规律，并自我验证，最后用于解决相关问题，真正考查了学生的数学思考能力．类型1 数式规律(2015·巴中)a 是不为1的数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数为11－2＝－1；－1的差倒数是11－（－1）＝12；已知a 1＝3，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…依此类推，则a 2 015＝________．【思路点拨】 先根据差倒数的定义表示出各项，再归纳总结规律，最后利用规律表示a 2 015的值．【解答】 a 1＝3；a 2是a 1的差倒数，即a 2＝11－3＝－12； a 3是a 2的差倒数，即a 3＝11＋12＝23； a 4是a 3的差倒数，即a 4＝11－23＝3； …依此类推，∵2 015÷3＝671……2，∴a 2 015＝－12. 故答案为－12.解答数式规律探索题的一般步骤：第一步：找序数；第二步：找规律，分别比较数式中各部分与序数之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律得出第n 个数式．有时，也会根据计算前面几个数式，总结出循环规律，再求解，如本例题．1．(2015·临沂)观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第2 015个单项式是( )A ．2 015x2 015 B ．4 029x 2 014 C ．4 029x 2 015 D ．4 031x 2 0152．(2015·泰安)下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x 的值为( )A ．135B ．170C ．209D ．2523．(2013·绵阳)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，…，现用等式A M ＝(i ，j)表示正奇数M 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如A 7＝(2，3)，则A 2 013＝( )A ．(45，77)B ．(45，39)C ．(32，46)D ．(32，23)4．(2013·广元)观察下列等式：21＝2；22＝4；23＝8；24＝16；25＝32；26＝64；27＝128；…，通过观察，用你所发现的规律确定22 013的个位数字是________．5．(2015·恩施)观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n 都连续出现n 次，那么这一组数的第119个数是________．6．(2015·平凉)古希腊数学家把数形结合1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________，2 016是第________个三角形数．7．(2014·南充)一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a 1＝－1，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝________．8．(2014·黄石)观察下列等式：第一个等式：a 1＝31×2×22＝11×2－12×22； 第二个等式：a 2＝42×3×23＝12×22－13×23； 第三个等式：a 3＝53×4×24＝13×23－14×24； 第四个等式：a 4＝64×5×25＝14×24－15×25； 按上述规律，回答以下问题：用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝____________＝________________；式子a1＋a2＋a3＋…＋a20＝________．类型2 图形规律(2015·内江)如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有______根火柴棒．(用含n的代数式表示)…【思路点拨】本题可分别写出n＝1，2，3，…时所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．【解答】依题意得：n＝1，根数为4＝2×1×(1＋1)；n＝2，根数为12＝2×2×(2＋1)；n＝3，根数为24＝2×3×(3＋1)；…第n个图案火柴棒根数为2n(n＋1)．解答图形排列中的规律的一般步骤为：第一步：标图形序数；第二步：找关系，找一个图形相比前一个图形中所求量之间的关系，或找出图形中的所求量与图形序数之间的关系；第三步：计算每个图形中所求量的个数；第四步：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；第五步：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图形中的所求量的个数；第六步：验证．对于图形循环变换类规律题，求经过n次变换后对应的图形的解题步骤为：第一步：通过观察，得到该组图形经过一个循环的次数，即为a；第二步：用n除以a，商b余m(0≤m＜a)时，第n次变换后对应的图形就是一个循环变换中第m次变换后对应的图形；第三步：根据题意，找出第m次变换后对应的图形，推断出第n次变换后对应的图形．1．(2014·攀枝花)如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1 cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2 014 cm时停下，则它停的位置是( )A．点F B．点E C．点A D．点C2．(2015·绵阳)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n ＝( )…A ．14B ．15C ．16D ．173．(2014·宜宾)如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是( )A ．nB ．n －1C ．(14)n －1 D.14n 4．(2014·内江)如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2 014个图形是________．5．(2015·山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，…依此规律，第(n)个图案有________个三角形(用含n 的代数式表示)．6．(2014·德阳)如图，直线a∥b，△ABC 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC 在直线b 上，把△ABC 沿BC 方向平移BC 的一半得到△A′B′C′(如图1)；继续以上的平移得到图2，再继续以上的平移得到图3，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是________．7．(2015·随州)观察下列图形规律：当n ＝________时，图形“的个数和“△”的个数相等．…8．(2014·绵阳)将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，S 1＋S2＋S3＋…＋S2 014＝________．9．(2015·潍坊)如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n＝________.(用含n的式子表示)10．(2014·成都)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是________．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，则当N＝5，L＝14时，S＝________．(用数值作答)类型3 坐标规律(2015·德阳)如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，P n，使OP1＝1，P1P2＝3，P2P3＝5，…，P n－1P n ＝2n－1(n为正整数)，分别过点P1，P2，P3，…，P n向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Q n，则点Q n的坐标为________．【思路点拨】 利用特殊直角三角形求出OP n 的值，再利用∠AOB＝60°即可求出点Q n 的坐标．【解答】 ∵△AOB 为正三角形，射线OC⊥AB，∴∠AOC ＝30°.又∵P n －1P n ＝2n －1，P n Q n ⊥OA ，∴OQ n ＝32(OP 1＋P 1P 2＋P 2P 3＋…＋P n －1P n )＝32(1＋3＋5＋…＋2n －1)＝32n 2. ∴Q n 的坐标为(32n 2·cos60°，32n 2·sin60°)，即Q n 的坐标为(34n 2，34n 2)．本题主要考查了坐标与图形性质，解题的关键是正确地求出OQ n 的值．点的坐标变化主要是点所在的图形的位置在发生变化，解决这类问题，先应分析坐标系中的图形的位置变化规律，然后再根据图形的变化规律寻找图形上的点的坐标的变化规律．1．(2015·济南)在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，P 1关于B 的对称点为P 2，P 2关于C 的对称点为P 3，按照此规律继续以A 、B 、C 为对称中心重复前面的操作，以此得到P 4，P 5，P 6，…，则点P 2 015的坐标是( )A ．(0，0)B ．(0，2)C ．(2，－4)D ．(－4，2)2．(2014·内江)如图，已知A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝2x 于点B 1、B 2、B 3、…、B n 、B n ＋1，连接A 1B 2、B 1A 2、B 2A 3、…、A n B n ＋1、B n A n ＋1，依次相交于点P 1、P 2、P 3、…、P n .△A 1B 1P 1、△A 2B 2P 2、…、△A n B n P n 的面积依次记为S 1、S 2、…、S n ，则S n 为( )A.n ＋12n ＋1 B.n 3n －1C.n 22n －1D.n 22n ＋13．(2015·成都)已知菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1＝60°，对角线A 1C 1，B 1D 1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA 1，OB 1所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以B 1D 1为对角线作菱形B 1C 2D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1，再以A 2C 2为对角线作菱形A 2B 2C 2D 2∽菱形B 1C 2D 1A 2，再以B 2D 2为对角线作菱形B 2C 3D 2A 3∽菱形A 2B 2C 2D 2，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，则点A n 的坐标为________．4．(2015·达州)在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，点C 1、C 2、C 3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1、S 2、S 3、…S n ，则S n 的值为________(用含n 的代数式表示，n 为正整数)．5．(2015·东营)如图放置的△OAB 1，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2 015的坐标是________________．6．(2013·内江)如图，已知直线l ：y ＝3x ，过点M(2，0)作x 轴的垂线交直线l 于点N ，过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1；过点M 1作x 轴的垂线交直线l 于N 1，过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2，…；按此作法继续下去，则点M 10的坐标为____________．(2013·自贡)如图，在函数y ＝8x(x ＞0)的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n ＋1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n ＋1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1＝________，S n ＝________．(用含n 的代数式表示)参考答案类型1 数式规律1．C 2.C 3.C 4.2 5.15 6.45 63 7.2 0112 8.n＋2n （n ＋1）·2n ＋1 1n·2n －1（n ＋1）·2n ＋112－121×221类型2 图形规律1．A 2.C 3.B 4.正方形 5.(3n ＋1) 6.301 7.5 8.1－122 014 9.32(34)n 10.7，3，10 11类型3 坐标规律1．A 2.D 3.(3n －1，0) 4.22n －3 5.(2 0172，2 01532) 6.(2 097 152，0)7．4 8n （n ＋1）。

综合探究问题探索是一种重要的研究问题的方法，也是人们发现新知识的重要手段，非常有利于培养创新能力.探索问题包括从实践中探索、从特殊到一般的探索、存在性探索、动态探索等等.一般在各地中考都以压轴题形式出现.题型之一实践操作型综合探究问题例1 (2013·日照)问题背景:如图a,点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于直线l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求.(1)实践运用：如图b，已知⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP 的最小值为.(2)知识拓展：如图c，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交B C于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.【思路点拨】首先要深刻理解图a中的方法、过程、结论；由此在图b，c中分别找到点B关于CD，AD的对称点B′，在图b中，AB′与CD的交点就是点P的位置，所不同的是要灵活运用圆周角与圆心角关系及圆的对称性来找到相关角的度数，这样易得到其最小值；在图c中，由于点F是动态的，因此要根据“垂线段最短”这一公理来解决问题.【解答】2(2)如图c，在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′.∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称.过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,则线段B′F的长即为所求.在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°,AB′=AB=10，∴B′F=AB′·sin 45°=AB·sin 45°=10×22=52.即BE+EF的最小值为52.方法归纳：本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情景下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情景中对应知识来解决问题.1.(2013·某某)实践操作如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法)(1)作∠BAC的平分线，交BC于点O；(2)以O为圆心，OC为半径作圆.综合运用在你所作的图中，(1)AB与⊙O的位置关系是；(直接写出答案)(2)若AC=5，BC=12，求⊙O的半径.2.(2014·某某)如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B，C重合).第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为，求此时线段EF的长；(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH的形状为，此时此刻AE与BF的数量关系是；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值X围.3.(2014·潍坊)如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G.(1)求证：AE⊥BF；(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF(如图2)，延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM(如图3)，若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积.题型之二从特殊到一般的探究性问题例2 (2014·内江)如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B、C重合)，连接AD.问题引入：(1)如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD∶S△ABC＝；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD∶S△ABC＝(用图中已有线段表示).探索研究：(2)如图2，在△ABC中，O是线段AD上一点(不与点A、D重合)，连接BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由.拓展应用：OD AD +OECE+OFBF的值，并说明理由.【思路点拨】(1)两个三角形的高相等时，面积比等于底边的比；(2)当两个三角形底边相等时，面积之比等于高之比；(3)利用(2)中的结论即可解决.【解答】(1)1∶2；BD∶BC.(2)猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于OD∶AD.∥AF.∴OD∶AD＝OE∶AF.∴S△BOC＝12·BC·OE，S△ABC＝12·BC·AF，∴S△BOC∶S△ABC＝(12·BC·OE)∶(12·BC·AF)＝OE∶AF＝OD∶AD.(3)猜想ODAD+OECE+OFBF的值是1.理由：由(2)知：OD AD +OECE+OFBF=BOCABCSS+BOAABCSS+AOCABCSS=BOC BOA AOCABCS S SS++=ABCABCSS=1.方法归纳：从特殊到一般的探究过程是一般的认知过程，重在分析特殊情况时解决问题的方法，主要是为了解决一般性的问题.这类问题一般前两问是后面问题的铺垫，其解决方法也是后问的模板.1.(2014·某某)如图1，P(m，n)是抛物线y=24x-1上任意一点，l是过点(0，-2)且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H.【探究】(1)填空：当m＝0时，OP＝，PH＝；当m＝4时，OP＝，PH＝；【证明】(2)对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想. 【应用】(3)如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=24x-1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.2.(2013·某某)已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF相交于点G.(1)如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：DECF=ADCD；(2)如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DECF=ADCD成立？并证明你的结论；(3)如图3，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，请直接写出DECF的值.3.(2013·某某)已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点.(1)如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；(3)如图3，当点P在线段BA(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.4.(2013·某某)已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合).以AD为边作正方形ADEF，连接CF.(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变.①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度.题型之三存在性探究问题第1课时探究单个图形的形状例3 (2014·内江)如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(-3，0)、C(0，4)，点B在抛物线上，CB∥∠CAO.(1)求抛物线的解析式.(2)线段AB上有一动点P，过P作y轴的平行线，交拋物线于点Q，求线段PQ的最大值；(3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由.【思路点拨】(1)先根据A 、C 两点坐标求出AC 的长，再根据AB 平分∠CAO ，CB ∥x 轴，求出B 点坐标，然后根据A 、B 、C 三点坐标求出抛物线的解析式；(2)先求出AB 所在直线的解析式，用含x 的代数式分别表示出P 、Q 两点的坐标，然后建立线段PQ 的长度与x 之间的函数关系式，即可求出PQ 的最大值；(3)先假设存在，则分A 点为直角顶点和B 点为直角顶点两种情况. 【解答】(1)∵A(-3，0)、C(0，4)， ∴AC ＝5，c=4.∵AB 平分∠CAO ，∴∠CAB ＝∠BAO. ∵CB ∥x 轴， ∴∠CBA ＝∠BAO ，∴∠CAB ＝∠CBA ，∴AC ＝BC ＝5，∴B(5，4). 再将A(-3，0)、B(5，4)代入y ＝ax 2+bx+4，得934,2550.a b a b -=-⎧⎨+=⎩解得1,65.6a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y ＝-16x 2+56x+4. (2)如图，设AB 的解析式为y ＝kx+b ，把A(-3，0)、B(5，4)代入，得03,45.k b k b =-+⎧⎨=+⎩解得1,23.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线AB 的解析式为y ＝12x+32. 可设P(x ，12x+32)，Q(x ，-16x 2+56x+4)，则PQ ＝-16x 2+56x+4-(12x+32)＝-16(x-1)2+83. 当x=1时，PQ 最大，且最大值为83.(3)存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形.如图，易知，抛物线对称轴为x=2.5.设抛物线的对称轴交x轴于点D,交BC于点E，过点A作AM1⊥AB，交对称轴于点M1，过点B作BH⊥x轴于点H.∵∠BAH+∠DAM1=90°,∠M1+∠DAM1=90°,∴∠M1=∠BAH.∴△ADM1∽△BHA,∴ADBH=1DMAH.∴3 2.54+=135DM+,解得DM1=11,∴M1（2.5,-11）.再过点B作BM2⊥AB，交对称轴于点M2. 同理可得，∠M2=∠CBA.又∵∠CBA=∠BAO,∴∠M2=∠BAO.∴△M2EB∽△AHB，即BEBH=2EMAH.∴5 2.54-=235EM+，解得EM2=5，∴DM2=5+4=9.∴M2（2.5,9）.∴存在点M1（2.5,-11）、M2（2.5，9）使△ABM是以AB为直角边的直角三角形.方法归纳：对于单个图形形状的存在性判断，先假设图形形状存在，然后根据图形的特殊性来求出存在的条件(即要求的点的坐标).当图形的形状无法确定唯一时，还要注意分类，如等腰三角形的腰与底，直角三角形中直角顶点的位置等.1.(2014·某某)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c(c>0)的顶点为D，与y轴的交点为C,过点C作AC∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC=12AC，连接OA，OB，BD和AD.(1)若点A的坐标是(-4，4).①求b,c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；(2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形，若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由.2.(2014·某某)如图，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A(5,0)、B(-1,0)两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C.（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.(2014·某某)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4，0)，并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线.垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标.4.(2014·某某)如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(-1，0)，C(0，2).(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.第2课时探究两个图形的关系例4 (2013·凉山)如图，抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长.(3)在(2)的条件下，连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)根据待定系数法即可确定抛物线的解析式；(2)先根据待定系数法确定直线AC的解析式，再求出点P、点M的纵坐标，问题即可解决；(3)需分情况讨论，①若△PFC∽△AEM，此时△PCM是直角三角形，且∠PCM=90°；②若△PFC∽△MEA，此时△PCM 是等腰三角形，且PC=CM，在这两种情况下分别求出m的值.【解答】(1)∵C(0，4)，A(3，0)在抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)上，∴4,960.ca a c=⎧⎨-+=⎩解得4,34.ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴所求抛物线的解析式为y=-43x2+83x+4.(2)设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，∵A(3，0)，C(0，4)在直线AC上，∴30,4.k bb+=⎧⎨=⎩解得4,34.kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AC的解析式为y=-43x+4.∴M(m，-43m+4)，P(m，-43m2+83m+4).∵点P在M的上方，∴PM=-43m2+83m+4-(-43m+4)，即PM=-43m2+4m（0<m<3）.(3)①若△PFC∽△AEM，此时△PCM是直角三角形，且∠PCM=90°，则PFAE=CFME，即PFCF=AEME.又∵△AEM∽△AOC，∴AEOA=MEOC，即AEME=OAOC，∴PFCF=OAOC=34.∵PF=PE-EF=-43m2+83m+4-4=-43m2+83m，CF=OE=m，∴24833m mm-+=34，即m=2316；②若△PFC∽△MEA，此时△PCM是等腰三角形，且PC=CM，则PFME=FCAE，即PFFC=MEAE.由①得OAOC=AEME=34，∴OCOA=43.∴PFFC=OCOA=43.同理，PF=-43m2+83m，CF=OE=m，∴24833m mm-+=43,即m=1.综上可得，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似.当m=2316时，△PCM为直角三角形；当m=1时，△PCM为等腰三角形.方法归纳：对于两个图形的关系(全等或相似)的存在性探究，先假设全等或相似关系存在，然后利用全等或相似的性质求出存在的条件(要求的点的坐标).当全等或相似的对应关系未确定时，还要从对应关系的角度去分类讨论.1.(2014·威海)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点.(1)求这条抛物线的解析式；(2)E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数.2.(2014·某某)如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(2，4)，直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动.（1）求线段OA所在直线的函数解析式；(2)设抛物线顶点M的横坐标为m,①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；(3)当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.题型之四动态探究问题第1课时动点问题例5 (2013·呼和浩特)如图，已知二次函数的图象经过点A(6，0)、B(-2，0)和点C(0，-8).(1)求该二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为；(3)连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动.设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S.①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值X围；③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值.【思路点拨】(1)根据题意，可设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-6)，将点C(0，-8)代入求出a即可；(2)作C关于x轴的对称点C′，连接C′′M的解析式，令y=0即可得K的坐标；(3)①先假设存在，根据PQ∥OC求出t的值，然后在t的取值X围内检验;②分0≤t≤1、1<t≤2、2<t≤2411三种情况分别求出S关于t的函数关系式；③分别求出②问中每个解析式的最大值，再作比较. 【解答】(1)设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-6)，∵图象过点C(0，-8)，∴a·2·(-6)=-8，解得a=23.∴二次函数的解析式为y=23x2-83x-8.(2)作C关于x轴的对称点C′，连接C′M与x轴的交点即为所求的K点.设y C′M=kx+b,将C′(0,8)与M(2,-323),代入求得直线C′M的解析式为y=-283x+8.∴K(67,0).(3)①不存在PQ∥OC.理由：若PQ∥OC，则点P、Q分别在线段OA、CA上.此时1<t<2.∵PQ∥OC，∴△APQ∽△AOC，∴APAO=AQAC.∵AP=6-3t，AQ=18-8t，∴636t-=18810t-，解得t=83.又∵t=83>2，不满足1<t<2，∴不存在PQ∥OC.②分情况讨论如下：情况1：当P、Q分别在线段OA、OC上时，0≤t≤1，则S=12OP·OQ=12×3t·8t，即S=12t2；情况2：当P、Q分别在OA、CA上时，1<t≤⊥OA，垂足为E.则S=12OP·EQ=12×3t×72325t-，即S=-485t2+1085t；情况3：当P、Q都在AC上时，2<t≤2411.作OF⊥AC，垂足为F，则OF=245.此时S=12QP·OF=12×(24-11t)×245，即S=-1325t+2885.综上所述，S=2212(01),48108(12),5513228824(2).5511t tt t tt t⎧⎪≤≤⎪⎪-+<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩③S0=243 20.（提示：当0≤t≤1时，t=1时，S最大=12；当1<t≤2时，t=98时，S最大=24320；当2<t≤2411时，S的最大值不超过245.∴S0=24320.）方法归纳：对确定了速度的动点问题，无论是单动点题型还是多动点题型，重点是抓住决定整道题的关键动点，将动点问题转化为方程问题或函数问题来解决，解决动点问题需要注意分段和线段长度的表达.1.(2014·宿迁)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8 cm，BC=4 cm，CD=5 cm.动点P从点B开始沿折线BC-CD-DA以1 cm/s的速度运动到点A.设点P运动的时间为t(s)，△PAB的面积为S(cm2).(1)当t=2时，求S的值；(2)当点P在边DA上运动时，求S关于t的函数表达式；(3)当S=12时，求t的值.2.(2014·某某)在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动. (1)如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF，交于点P，请你写出AE与DF的关系，并说明理由；(2)如图2，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗？(请直接回答“是”或“否”，不需证明)(3)如图3，当E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图4，当E、F分别在DC、CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点EF的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P的运动路径的草图，若AD＝2，试求出线段CP的最小值.3.(2014·某某)如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.(1)当t=12秒时，则OP=，S△ABP=；(2)当△ABP是直角三角形时，求t的值；(3)如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.4.(2014·某某)如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm 的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)如图2，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；(3)试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上.第2课时动线问题例6 如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴，y轴分别相交于A，B两点.平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴，y轴分别相交于M，N两点，设运动时间为t秒(0<t ≤4).(1)求A，B两点的坐标；(2)用含t的代数式表示△MON的面积S1；(3)以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2.①当2<t≤4时，试探究S2与t之间的函数关系式；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB面积的5 16？【思路点拨】要解答本题必须注意如下几点：①ON=OM，OA=OB，ON，OM要用含t的代数式表示，易得S1与t的关系式；②当2＜t≤4时，点P在△OAB的外面，PF，PE要用含t的代数式表示；③当S2等于△OAB面积的516时，要弄清点M落在OA的中点的左边还是右边. 【解答】(1)当x=0时，y=4；当y=0时，x=4. ∴A(4，0)，B(0，4).(2)∵MN∥AB，∴OMON=OAOB=1.∴OM=ON=t.∴S1=12OM·ON=12t2.(3)如图，①当2<t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为(t，t),F(t，4-t)，E(4-t，t)，则PF=PE=|t-(4-t)|=2t-4.∴S2=S△MPN-S△PEF=S△OMN-S△PEF=12t2-12PE·PF=12t2-12(2t-4)(2t-4)=-12t2+8t-8.②当0<t≤2时，S2=12t2，由S2=516S△OAB，得1 2t2=516×12×4×4=52.解得t15，t25>2，两个都不合题意，舍去；当2<t≤4时，由题意，得S2=-32t2+8t-8=52.解得t3=3，t4=73.综上得，当t=73或3时，S2为△OAB面积的516.方法归纳：解答此类题先要画出各个关键时刻的图形，再由“动”变“静”设法分别求解.用分类思想画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮助我们理清思路，突破难点.1.(2014·某某)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止.设直线l扫过正方形OBCD 的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数关系的图象是( )2.(改编)如图，已知点A(63,0),B(0,6)，经过A，B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为t 秒.(1)用含t的代数式表示点P的坐标；(2)过O作OC⊥AB于C，问：t为何值时，以P为圆心，1为半径的圆与直线OC相切？3.(2014·某某)如图，直线AB与x轴相交于点A(-4，0)，与y轴相交于点B(0，3)，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线y=34x以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t(0<t<5)秒.(1)证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；(2)当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由.第3课时动形问题例7 (2014·某某A卷)已知，如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD=203，AE⊥BD，垂足是E.点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF.(1)求AE和BE的长；(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度)，当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值；(3)如图2，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°<α<180°)，记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)直接利用勾股定理和三角形的面积求出AE、BE的长；(2)过F点作BD的平行线，交AB于G点，交AD于H点,FG的长度是F点平移到AB的距离，FH的长度是F点平移到AD的距离.(3)△ABF在绕点B旋转的过程中，A′F′与BD所在直线的交点有可能在BD上，也有可能在BD的延长线上.画出不同时刻的图形，结合△DPQ为等腰三角形，即可求出DQ的长.【解答】(1)∵AB=5,AD=203,∴22AB AD253.∵S△ABD=12AB·AD=12BD·AE.∴12×5×203=12×253AE，即AE=4.∴BE=22AB AE -=2254-=3.(2)过F 点作BD 的平行线，交AB 于G 点，交AD 于H 点. ∵FG=FB=BE,∴当点F 在线段AB 上时，m=3；图1中，过点F 作FM ⊥DA ，交其延长线于M ，作FI ⊥AB 交AB 于I.由面积关系及勾股定理可求FI=MA=125,MF=165,GI=95,AG=MF-GI=75. 由AG MF =AH AH AM +,可知MH=AH+AM=6415. ∴FH=22MH MF +=163.即点F 在线段AD 上时，m=163.(3)存在.理由如下：①若点Q 在线段BD 的延长线上时，如图3，则∠Q=∠1，则有∠2=∠1+∠Q=2∠Q ，∠3=∠4+∠Q,∠3=∠2,∠4+∠Q=2∠Q, ∴∠4=∠Q,∴A ′Q=A ′B=5,F ′Q=A ′F ′+A ′Q=9. 在Rt △BF ′Q 中，F ′Q 2+F ′B 2=BQ 2， ∴92+32=(253+DQ)2,解得DQ=310-253或DQ=-310-253(舍)；②若点Q 在线段BD 上时，如图4.∠1=∠2=∠4，∵∠1=∠3，∴∠3=∠4，∵∠3=∠5+∠A ′,∠A ′=∠CBD,∠3=∠5+∠CBD=∠A ′BQ,∴∠4=∠A ′BQ,∴A ′Q=A ′B=5, ∴F ′Q=5-4=1.∴BQ=2231 =10. ∴DQ=BD-BQ=253-10. 综上所述，DQ 的长为310-253或253-10. 方法归纳：图形的运动变换主要有平移、旋转和翻折这三种基本变换，运用这几种全等变换的特征是解决问题的关键.1.(2014·资阳)如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的一个交点为A （3,0），与y 轴的交点为B （0,3），其顶点为C ，对称轴为x=1. （1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为y 轴上的一个动点，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）将△AOB 沿x 轴向右平移m 个单位长度（0<m<3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC 重叠部分的面积记为S ，用m 的代数式表示S.2.(2013·某某)如图，在△ABC 中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点H.(1)求证：AHAD=EFBC；(2)设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；(3)当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A 点时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t 的取值X围.3.(2013·某某)已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF.如图1，现有一X硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上.如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ.当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动.设运动时间为t秒，解答下列问题：(1)在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；(2)在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形.若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；(3)在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t 的取值X围.参考答案题型之一 实践操作型综合探究问题1.实践操作：(1)（2）如图.综合运用：(1)相切. (2)作OH ⊥AB 于H ， ∵∠C ＝90°，∴OC ⊥AC. 又∵AO 平分∠BAC ，∴OH ＝OC. 在Rt △ABC 中，AB 22AC BC +13，∵∠OHB ＝∠ACB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BOH ∽△BAC ，∴OH AC =BOAB . 设OH ＝OC ＝r ，则5r =1213r -，解得r ＝103.答：⊙O的半径为10 3.2.(1)等边三角形.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°. ∵DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴AE＝CF.∴BE＝BF.∴△BEF是等腰直角三角形.设EF长为x，则BE＝22x，∴AE＝4-22x.∵在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，DE＝EF，∴x2＝42+(4-22x)2.解得x1＝-42+46，x2＝-42-46(不合题意，舍去).∴EF＝-42+46.(2)见备用图.①正方形，AE=BF；②AE＝x，BE＝4-x.∵在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2，∴y＝(4-x)2+x2＝2x2-8x+16(0＜x＜4).∵y＝2x2-8x+16＝2(x-2)2+8，∴当x＝2时，y取得最小值8；当x＝0或4时，y＝16.∴y的取值X围是8≤y＜16.3.(1)证明：∵E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，∴BE=CF，∠ABE=∠C=90°，AB=BC.∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS).∴∠BAE=∠CBF. 又∵∠BAE+∠BEA=90°， ∴∠CBF+∠BEA=90°， ∴∠BGE=90°，即AE ⊥BF.(2)根据题意，得FP=FC ，∠PFB=∠BFC ，∠FPB=90°. ∵CD ∥AB ，∴∠CFB=∠ABF ， ∴∠ABF=∠PFB.∴QF=QB. 令PF=k(k>0)，则PB=2k ， 在Rt △BPQ 中，设QB=x ，则x 2=(x-k)2+4k 2，解得x=52k. ∴sin ∠BQP=BP QB =252k k =45.(3)由题意得∠BAE=∠EAM, 又AE ⊥BF,∴AN=AB=2. ∵∠AHM=90°,∴GN ∥HM.∴AGN AHMS S=(AN AM)2. ∴1AGNS=()2=45.∴S △AGN =45.∴S 四边形GHMN =S △AHM -S △AGN =1-45=15. 答：四边形GHMN 的面积是15.题型之二 从特殊到一般的探究性问题1.(1)1；1；5；5； （2）OP=PH.理由如下：将P(m,n)代入y=24x -1中得n=24m -1，∴m 2=4n+4.∴OP 2=m 2+n 2=n 2+4n+4=(n+2)2， 又∵PH=n+2，∴PH 2=(n+2)2. ∴OP=PH.(3)由(2)的结论可知，A点到直线l的距离等于OA的长，B点到直线l的距离等于OB的长,要使A，B两点到直线l 的距离之和最小，则A、O、B三点在一条直线上，A，B两点到直线l的最小距离之和等于AB的长，等于6.2.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°.∴∠ADE+∠CDG=90°.∵DE⊥CF，∴∠CDG+∠DCF=90°.∴∠ADE=∠DCF.∴△ADE∽△DCF.∴DECF=ADCD.(2)当∠B+∠EGC=180°时，DECF=ADCD成立.证明：在AD的延长线上取点M，使CM=CF，则∠CMD=∠CFM.∵AB∥CD，∴∠A=∠CDM.∵∠B+∠EGC=180°，∴∠BEG+∠FCB=180°.又∵∠BEG+∠AED=180°，∴∠AED=∠FCB.又∵AD∥BC，∴∠CFM=∠FCB.∴∠CMD=∠AED.∴△ADE∽△DCM.∴DECM=ADDC.即DECF=ADCD.(3)DECF=2524.3.(1)平行；相等.(2)QE=QF.证明：如图2，延长FQ交AE于点D.∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴AE∥BF.∴∠DAQ=∠FBQ.∵∠AQD=∠BQF，AQ=BQ,∴△AQD≌△BQF(ASA).∴QD=QF.∵AE⊥CP，∴QE为Rt△DEF斜边FD上的中线.∴QE=QF.(3)仍然成立.理由：如图3，延长EQ,FB交于点D.∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴AE∥BF，∴∠AEQ=∠D.又∵∠AQE=∠BQD，AQ=BQ,∴△AQE≌△BQD(AAS).∴QE=QD.∵B F⊥CP,∴FQ为Rt△DEF斜边DE边上的中线.∴QE=QF.同理可证得当点P在线段AB的延长线上时，QE=QF.4.(1)证明：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°.∴AB=AC.∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°.∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF.∴△BAD≌△CAF(SAS).∴BD=CF.∵BD+CD=BC ，∴CF+CD=BC.(2)CF-CD=BC.(3)①CD-CF=BC.②同(1)可证△BAD ≌△CAF(SAS)，∴∠ACF=∠ABD.∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACF=∠ABD=135°.∴∠FCD=90°.∴△FCD 是直角三角形.∵正方形ADEF 的边长为22，且对角线AE ，DF 相交于点O.∴DF=2AD=4，O 为DF 中点.∴OC=12DF=2.题型之三 存在性探究问题第1课时 探究单个图形的形状1.(1)①AC ∥x 轴，A(-4，4)，∴点C(0，4).把A,C 两点的坐标分别代入y=-x 2+bx+c,得 4164,4.b c c =--+⎧⎨=⎩解得4,4.b c =-⎧⎨=⎩ ②四边形AOBD 是平行四边形.理由如下：由①得抛物线的解析式为y=-x 2-4x+4.∴顶点D 的坐标为(-2，8).过点D 作DE ⊥AB 于点E.则DE=OC=4,AE=CE=2,∵AC=4,∴BC=12AC=2,∴AE=BC. ∵AC ∥x 轴，∴∠AED=∠BCO=90°,∴△AED ≌△BCO(SAS),∴AD=BO,∠DAE=∠OBC.∴AD ∥BO.∴四边形AOBD 是平行四边形.（2）存在，点A 的坐标可以是或2).提示：要使四边形AOBD 是矩形，则需∠AOB=∠BCO=90°，∵∠ABO=∠OBC ，∴△ABO ∽△OBC ， ∴BC OB =BO AB. 又∵AB=AC+BC=3BC ，∴，∴在Rt △OBC 中，，∵C 点是抛物线与y 轴交点，∴OC=c ，当A 点在C 点左侧时，A 点坐标为∴顶点横坐标为2b=-2c,∴将A （代入抛物线可得2，∴A 点横坐标为，纵坐标为c.同理，当A 点在C 点右侧时，A，c ）.令c=2，∴A 点坐标可以为（2）或（2）.2.(1)∵y=14x 2+bx+c 经过点A(5,0)、B(-1,0)， ∴2550,410.4b c b c ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得1,5.4b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴抛物线的解析式为y=14x 2-x-54. （2）过点A ′作A ′E ⊥x 轴于E ，AA ′与OC 交于点D ，∵点C 在直线y=2x 上，∴C(5，10).∵点A 和A ′关于直线y=2x 对称，∴OC ⊥AA ′，A ′D=AD.∵OA=5，AC=10,∴22OA AC +22510+5∵S △OAC =12OC ·AD=12OA ·AC ， ∴5∴AA ′55在Rt △A ′EA 和Rt △OAC 中，∵∠A ′EA=∠OAC=90°，∠A ′AE=∠OCA,∴Rt △A ′EA ∽Rt △OAC.∴A E OA '=AE AC =AA OC '.即5A E '=10AE =4555∴A ′E=4，AE=8.∴OE=AE-OA=3.∴点A ′的坐标为(-3,4). ∵当x=-3时，y=14×(-3)2+3-54=4， ∴点A ′在该抛物线上.（3）存在.理由：∵直线CA ′经过A ′（-3,4）、C （5，10），设直线CA ′的解析式为y=kx+b.∴510,3 4.k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得3,425.4k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线CA ′的解析式为y=34x+254. 设点P 的坐标为(m,14m 2-m-54)，则点M 为(m,34m+254). ∵PM ∥AC ，∴要使四边形PACM 是平行四边形,只需PM=AC.。

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公司宗旨：服务教师、服务教学、服务教育公司使命：以图书出版推动教育进步公司愿景：让每一位学生以较小的成本分享到高品质的教育《火线100天》数学数学2015年全国中考真题分类解析《火线100天》Word 版2015年全国中考真题荟萃2011-2015年河北省中考真题荟萃2013～2015年河北中考数学试题分析及2016年中考复习备战策略河北中考考点28讲第一单元数与式第二单元方程与不等式第三单元函数第四单元图形的初步认识与三角形第五单元四边形第六单元圆第七单元图形与变换第八单元统计与概率河北中考6大题型轻松搞定河北中考考点28讲第一单元数与式第1讲实数与实数运算第2讲整式及因式分解第3讲分式滚动小专题（一）数与式的计算单元测试（一）数与式河北中考考点28讲第二单元方程与不等式第4讲一次方程（组）第5讲分式方程第6讲一元一次不等式（组）第7讲一元二次方程滚动小专题（二）方程、不等式的解法滚动小专题（三）方程（组）、不等式的实际应用单元测试（二）方程与不等式河北中考考点28讲第三单元函数第8讲函数及其图象第9讲一次函数的图象和性质第10讲一次函数的实际应用第11讲反比例函数第12讲二次函数的图象和性质第13讲二次函数的实际应用滚动小专题（四）函数的图象和性质滚动小专题（五）函数的实际应用单元测试（三）函数（A卷）单元测试（三）函数（B卷）滚动阶段测试（一）1～3单元河北中考考点28讲第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲三角形的基本知识第16讲全等三角形第17讲等腰三角形和直角三角形第18讲图形的相似滚动小专题（六）三角形的有关计算与证明第19讲锐角三角函数及其应用滚动小专题（七）解直角三角形单元测试（四）图形的初步认识与三角形（A卷）单元测试（四）图形的初步认识与三角形（B卷）河北中考考点28讲第五单元四边形第20讲多边形与平行四边形第21讲特殊的平行四边形滚动小专题（八）四边形的有关计算与证明单元测试（五）四边形河北中考考点28讲第六单元圆第22讲圆的基本性质第23讲与圆有关的位置关系第24讲圆的有关计算滚动小专题（九）圆的有关计算与证明单元测试（六）圆河北中考考点28讲第七单元图形与变换第25讲图形的平移、对称、旋转与位似第26讲视图与尺规作图滚动小专题（十）与图形变换有关的证明与计算单元测试（七）图形变换滚动阶段测试（二）1～7单元河北中考考点28讲第八单元统计与概率第27讲统计第28讲概率滚动小专题（十一）统计与概率的应用单元测试（八）统计与概率滚动阶段测试（三）1～8单元河北中考6大题型轻松搞定专题复习（一）基本运算专题复习（二）数学思想方法专题复习（三）规律与猜想专题复习（四）函数问题专题复习（五）图形问题专题复习（六）河北压轴题专题复习（一）基本运算第1课时数式运算第2课时定义新运算或新概念专题复习（三）规律与猜想第1课时数式的规律第2课时图形的规律专题复习（四）函数问题第1课时函数基础知识第2课时函数的图象与性质1第3课时函数的图象与性质2第4课时函数的图象与性质3第5课时函数建模1第6课时函数建模2专题复习（五）图形问题第1课时图形的基本性质第2课时三角形全等第3课时解三角形与三角形相似第4课时四边形第5课时圆第6课时图形变换第7课时几何综合专题复习（六）河北压轴题第1课时动态问题1第2课时动态问题2第3课时动态问题3第4课时解决问题1第5课时解决问题2第6课时解决问题3。

二次函数与几何图形综合(2015·贵阳)如图，经过点C(0，－4)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴相交于A(－2，0)，B 两点．(1)a________0，b 2－4ac________0(填“＞”或“＜”)；(2)若该抛物线关于直线x ＝2对称，求抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F.是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形．若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】 (1)根据二次函数的图象与性质，确定a 及b 2－4ac 的正负；(2)用待定系数法求抛物线的函数表达式；(3)由平行四边形性质及点在抛物线上求得点E 的坐标．【解答】 (1)由抛物线开口向上，可知a ＞0；由抛物线与x 轴有两个不同的交点，可知b 2－4ac ＞0.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝2，c ＝－4，4a －2b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－43，c ＝－4. ∴抛物线的函数表达式是y ＝13x 2－43x －4. (3)存在．理由如下：①当点E 在x 轴下方，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ，如图1,∵四边形ACEF 是平行四边形，∴CE ∥AF ，这时点E 的纵坐标为－4，则13x 2－43x －4＝－4，解得x ＝0或x ＝4， 故E 点的坐标是(4，－4)．②当点E 在x 轴上方，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，过点E 作ED ⊥x 轴于点D ，如图2, ∵四边形ACFE 是平行四边形，∴EF ＝AC ，EF ∥AC.∴∠EFD ＝∠CAO ，又∵∠AOC ＝∠FDE ＝90°.∴△ACO ≌△FED.∴ED ＝OC.这时点E 的纵坐标为4，则13x 2－43x －4＝4，解得x ＝2±27 . 故E 点的坐标是(2＋27，4)，(2－27，4)．综上所述，E 点坐标为(4，－4)或(2＋27，4)或(2－27，4)．(1)解决存在性问题的一般步骤是：首先假设其存在，画出相应的图形；然后根据所画图形进行解答，得出某些结论，若结论符合题目要求或是定义定理，则假设成立；若出现与题目要求或是定义定理相悖的情况，则假设错误，不存在．(2)分类讨论是一种重要的数学思想，当问题涉及的元素具有不确定性时，往往需要运用分类讨论思想对该元素的不同情况进行分类讨论．对于某些不确定的情况，如由于时间变化引起的数量变化、等腰三角形的腰或底的不确定、直角三角形直角的不确定、运动问题、旋转问题等，当情况不唯一时，我们就要分类讨论．在进行分类讨论时，要根据题目要求或是时间变化等，做到不重不漏地解决问题．(2015·遵义)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y 轴交于点C(0，2).(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 为该抛物线上的一个动点，且在直线AC 上方，当以A 、C 、D 为顶点的三角形面积最大时，求点D 的坐标及此时三角形的面积；(3)以AB 为直径作⊙M ，直线经过点E(－1，－5)，并且与⊙M 相切，求该直线的解析式．【思路点拨】 (1)根据A 、B 、C 三点为抛物线上的点列出方程组，求出抛物线的解析式；(2)过D 作DH ⊥x 轴交直线AC 于点G ，设D 点横坐标为m ，用割补法把△ACD 的面积用含m 的式子表示出来，求出△ACD 面积的最大值及D 点坐标；(3)过E 的直线与⊙M 切于点N 交x 轴于点F ，利用相似三角形的性质与判定或用三角函数求出点F 坐标，从而求出直线的解析式．【解答】 (1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)过A(－4，0)，B(2，0)，C(0，2)三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －4b ＋c ，0＝4a ＋2b ＋c ，2＝c.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝－12，c ＝2. ∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2－12x ＋2. (2)过D 作DH ⊥x 轴交直线AC 于点G ，设D 点横坐标为m ，则DH ＝－14m 2－12m ＋2，AH ＝m ＋4，OH ＝－m. 设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b ，2＝b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝2.∴直线AC 的解析式为y ＝12x ＋2. ∴G(m ，12m ＋2)． ∴DG ＝－14m 2－12m ＋2－(12m ＋2)＝－14m 2－m. ∵S △ADC ＝S △ADG ＋S △CDG ＝12DG ·AH ＋12DG ·OH ＝12DG(AH ＋OH)＝12DG ·AO ， ∴S △ADC ＝12(－14m 2－m)×4＝－12m 2－2m ＝－12(m ＋2)2＋2.∵－12＜0，∴S △ADC 面积有最大值．∴当m ＝－2时，S △ADC 面积的最大值为2，此时D 点的坐标为(－2，2)．(3)如图，设过点E 的直线与⊙M 切于点N ，交x 轴于点F ，连接MN ，∵A(－4，0)，B(2，0)，AB 为⊙M 的直径，∴AB ＝6，M(－1，0)．∴MN＝12AB ＝3. ∵E(－1，－5)，∴ME ＝5，∠FME ＝90°.∵EF 与⊙M 切于点N ，∴∠MNE ＝90°.∴EN ＝ME 2－MN 2＝52－32＝4.∵∠MNE ＝∠FME，∠MEN ＝∠FEM，∴△MNE ∽△FME.∴MN MF ＝EN ME ，即3MF ＝45. ∴MF ＝154.∴FO ＝154＋1＝194或FO ＝154－1＝114.∴F(－194，0)或(114，0)． 设直线EF 的解析式为y ＝kx ＋b ，当F(－194，0)时，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝－194k ＋b ，－5＝－k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝－193. ∴直线EF 的解析式为y ＝－43x －193. 当F(114，0)时，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝114k ＋b ，－5＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝－113. ∴直线EF 的解析式为y ＝43x －113. 综上所述，直线EF 的解析式为y ＝－43x －193或y ＝43x －113.解这类问题关键是：(1)善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件；(2)会用待定系数法求函数解析式；(3)利用“数形结合”的思想，按照“解析式→坐标→距离(线段长度)→几何图形性质及应用”的思路进行思考；(4)周长最短、面积最大等，一般都是先化为二次函数的顶点式，再得出最大值或最小值．(2015·黔南)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－16x 2＋bx ＋c ，过点A(0，4)和C(8，0)，P(t ，0)是x 轴正半轴上的一个动点，M 是线段AP 的中点，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段PB.过点B 作x 轴的垂线，过点A 作y 轴的垂线，两直线相交于点D.(1)求b ，c 的值；(2)当t 为何值时，点D 落在抛物线上；(3)是否存在t ，使得以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 (1)用待定系数法求出二次函数的解析式，从而得到b 、c 的值；(2)利用△AOP∽△PEB，用含t 的式子表示出D 的坐标，再代入到二次函数的解析式中求出t 的值；(3)当P 在线段OC 上和点C 的右侧时，根据相似三角形的对应关系分类讨论．【解答】 (1)由抛物线y ＝－16x 2＋bx ＋c 过点A(0，4)和C(8，0)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，－16×64＋8b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝56，c ＝4.(2)∵∠AOP＝∠PEB＝90°，∠OAP ＝90°－∠APO＝∠EPB，∴△AOP ∽△PEB ，且相似比为AO PE ＝AP PB＝2. ∵AO ＝4，∴PE ＝2，OE ＝OP ＋PE ＝t ＋2.又∵DE＝OA ＝4，∴点D 的坐标为(t ＋2，4)．∴点D 落在抛物线上时，有－16(t ＋2)2＋56(t ＋2)＋4＝4. 解得t ＝3或t ＝－2.∵t ＞0，∴t ＝3，故当t 为3时，点D 落在抛物线上．(3)存在t ，能够使得以A 、B 、D 为顶点的三角形与△AOP 相似，理由如下：①当0＜t ＜8时，若△POA∽△ADB，则PO AD ＝AO BD ，即t t ＋2＝44－12t ， 整理得t 2＋16＝0，所以t 无解．若△POA∽△BDA，同理，得t ＝－2＋25(负值舍去)；②当t ＞8时，若△POA∽△ADB，则PO AD ＝AO BD ，即t t ＋2＝412t －4，解得t ＝8＋45(负值舍去)． 若△POA∽△BDA，同理，得t 无解．综上所述，当t ＝－2＋25或t ＝8＋45时，以A 、B 、D 为顶点的三角形与△AOP 相似．关于动点的问题，一般都要注意动点在不同位置时，对几何图形的影响．三角形相似时，若没有用相似符号标记，也要注意不同的对应关系．所以对于这样的一类问题需要分类讨论，做到不重复，也不要遗漏．(2015·铜仁)如图，已知：关于x 的二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(1，0)和点B ，与y 轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x 轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；(3)有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问M 、N 运动到何处时，△MNB 的面积最大，试求出最大面积．【思路点拨】 (1)根据A 、C 两点坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)分别以线段BC 为腰和底确定P 点的位置并求得坐标；(3)把△MNB 的面积用二次函数的表达式表示出来，应用二次函数求得△MNB 的最大面积．【解答】 (1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0), C(0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3. ∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)存在．令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.∴B(3，0)．①当以BC 为底边时，由于OB ＝OC ＝3，∴点O 符合条件，即有点P 1(0，0)，使△PBC 为等腰三角形；②当以PB 为底边时，BC 为腰时， PC ＝BC ＝32＋32＝32，当点P 在C 点上方时，P 2点坐标为(0，32＋3)；当点P 在C 点下方时，P 3点坐标为(0，3－32)．③当以PC 为底边时，BC 为腰时，OP ＝OC ，∴P 点和C 点关于原点对称，即点P 4坐标为(0，－3)．综上所述，符合条件的P 点有P 1(0，0)，P 2(0，32＋3)，P 3(0，3－32)，P 4(0，－3)，使△PBC 为等腰三角形．(3)设点M 运动t 个单位时，△MNB 的面积最大，∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0), B(3，0)，∴OA ＝1，OB ＝3.∴BM ＝OB －OA －AM ＝3－1－t ＝2－t.∵点N 的速度是点M 的2倍，∴DN ＝2t.S △MNB ＝12(2－t)×2t＝－(t －1)2＋1， ∴当t ＝1时，△MNB 的面积有最大值为1.即当M(2，0)、N(2，2)或N(2，－2)时，△MNB 的面积最大，最大面积为1.(1)会用待定系数法求函数解析式；(2)对于单个图形形状的存在性判断，先假设图形形状存在，然后根据图形的特殊性求出存在的条件(即要求的点的坐标)．当图形的形状无法确定唯一时，还应该根据已知条件进行分类；(3)在运动中求最大值或最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函数取值范围解决；对于数形结合的思想的应用要注意几何图形的性质为相应的函数或方程提供的条件的应用．类型之一 二次函数与存在等腰三角形1．(2015·黔东南)如图，已知二次函数y 1＝－x 2＋134x ＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4，0)，与y 轴的交点为B ，过A 、B 的直线为y 2＝kx ＋b.(1)求二次函数的解析式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．(2014·贵阳)如图，经过点A(0，－6)的抛物线y＝12x2＋bx＋c与x轴相交于B(－2，0)，C两点．(1)求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；(2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物线y1，若新抛线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；(3)在(2)的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．类型之二二次函数与存在相似三角形1．(2014·安顺)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB＝DC，BC在x轴上，点A在y 轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A(0，2)，D(2，2)，AB＝22，连接AC.(1)求出直线AC的函数解析式；(2)求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；(3)在抛物线上有一点P(m，n)(n＜0)，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．2．(2015·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2－8mx＋4m＋2(m>0)与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B(x1，0)，C(x2，0)，且x2－x1＝4.直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E(t，0)，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；(3)当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．类型之三二次函数与存在特殊四边形1．(2015·毕节)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线A M′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；(3)是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．2．(2015·泸州)如图，已知二次函数的图象M 经过A(－1，0)，B(4，0)，C(2，－6)三点．(1)求该二次函数的解析式；(2)点G 是线段AC 上的动点(点G 与线段AC 的端点不重合)，若△ABG 与△ABC 相似，求点G 的坐标；(3)设图象M 的对称轴为l ，点D(m ，n)(－1<m<2)是图象M 上一动点，当△ACD 的面积为278时，点D 关于l 的对称点为E ，能否在图象M 和l 上分别找到点P 、Q ，使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形．若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．类型之四 二次函数与线段相关的存在性问题1．(2014·黔东南)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6(a≠0)相交于A(12，52)和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．2．(2014·毕节)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为A(－1，－1)，与x轴交点M(1，0)．C为x轴上一点，且∠CAO＝90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F(－1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线AC的解析式及B点坐标；(3)过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D(0，－2)且垂直于y轴的直线于E点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由．类型之五二次函数与面积问题1．(2015·黔西南)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′.抛物线y＝－x2＋2x＋3经过点A、C、A′三点．(1)求A、A′、C三点的坐标；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分的面积；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．2.(2014·六盘水)如图，二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A 、D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是(2，0)，B 点的坐标是(8，6)．(1)求二次函数的解析式；(2)求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；(3)该二次函数的对称轴交x 轴于C 点．连接BC ，并延长BC 交抛物线于E 点，连接BD ，DE ，求△BDE 的面积；(4)抛物线上有一个动点P ，与A ，D 两点构成△ADP，是否存在S △ADP ＝21S △BCD ？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．(1)将A(4，0)代入y 1＝－x 2＋134x ＋c ，得－42＋134×4＋c ＝0，解得c ＝3. ∴所求二次函数的解析式为y 1＝－x 2＋134x ＋3. ∵当x ＝0时，y 1＝3，∴点B 的坐标为(0，3)．(2)满足y 1<y 2的自变量x 的取值范围是：x<0或x>4.(3)存在，理由如下：作线段AB 的中垂线l ，垂足为C ，交x 轴于点P 1，交y 轴于点P 2.∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3.∴在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝5.∴AC＝BC ＝52.∵Rt △ACP 1与Rt △AOB 有公共∠OAB， ∴Rt △ACP 1∽Rt △AOB.∴AP 1AB ＝AC OA ，即AP 15＝524，解得AP 1＝258.而OP 1＝OA －AP 1＝4－258＝78， ∴点P 1的坐标为(78，0)．又∵Rt △P 2CB 与Rt △AOB 有公共∠OBA， ∴Rt △P 2CB ∽Rt △AOB.∴P 2B AB ＝BC BO ，即P 2B 5＝523，解得P 2B ＝256. 而OP 2＝P 2B －OB ＝256－3＝76，∴点P 2的坐标为(0，－76)．∴所求点P 的坐标为(78，0)或(0，－76)．2．(1)将A(0，－6)，B(－2，0)代入y ＝12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧+-==-,220,6c b c 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－6.∴y ＝12x 2－2x －6，∴顶点坐标为(2，－8)．(2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m ＞0)个单位长度， 得到新抛物线y 1＝12(x －2＋1)2－8＋m ，∴P(1，－8＋m)．在抛物线y ＝12x 2－2x －6中易得C(6，0)，∴直线AC 为y 2＝x －6.当x ＝1时，y 2＝－5，∴－5＜－8＋m ＜0. 解得3＜m ＜8.(3)∵A(0，－6)，B(－2，0)，∴线段AB 的中点坐标为(－1，－3)，直线AB 的解析式为y ＝－3x －6. ∴过AB 的中点且与AB 垂直的直线的解析式为y ＝13x －83.①当3＜m ＜10318时，存在两个Q 点，可作出两个等腰三角形；②当m ＝10318时，存在一个点Q ，可作出一个等腰三角形；③当10318＜m ＜8时，Q 点不存在，不能作出等腰三角形．类型之二 二次函数与存在相似三角形 (1)由A(0，2)知OA ＝2，在Rt △ABO 中， ∵∠AOB ＝90°，AB ＝22，∴OB ＝AB 2－OA 2＝（22）2－22＝2. ∴B(－2，0)．根据等腰梯形的对称性可得C 点坐标为(4，0)．设直线AC 的函数解析式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，4k ＋n ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，n ＝2.∴直线AC 的函数解析式为y ＝－12x ＋2.(2)设过点A ，C ，D 的抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，16a ＋4b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝12，c ＝2.∴抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋12x ＋2.(3)∵点P(m ，n)(n ＜0)在抛物线y ＝－14x 2＋12x ＋2上，∴m ＜－2或m ＞4，n ＝－14m 2＋12m ＋2＜0.∴PM＝14m 2－12m －2.∵Rt △PCM 与Rt △AOC 相似， ∴PM MC ＝AO OC ＝12或PM MC ＝OCAO＝2. ①若m ＜－2，则MC ＝4－m.当PM MC ＝AO OC ＝12时，14m 2－12m －24－m ＝12，解得m 1＝－4，m 2＝4(不合题意，舍去)，此时点P 的坐标为(－4，－4)； 当PM MC ＝OCAO ＝2时，14m 2－12m －24－m ＝2，解得m 1＝－10，m 2＝4(不合题意，舍去)，此时点P 的坐标为(－10，－28)； ②若m ＞4，则MC ＝m －4.当PM MC ＝AO OC ＝12时，14m 2－12m －2m －4＝12，解得m 1＝0，m 2＝4，不合题意，舍去；当PM MC ＝OCAO ＝2时，14m 2－12m －2m －4＝2，解得m 1＝6，m 2＝4(不合题意，舍去)，此时点P 的坐标为(6，－4)． 综上所述，所求点P 的坐标为(－4，－4)或(－10，－28)或(6，－4)．2．(1)由题意知x 1，x 2是方程mx 2－8mx ＋4m ＋2＝0的两根，∴x 1＋x 2＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 2－x 1＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝6.∴B(2，0)，C(6，0)．则4m －16m ＋4m ＋2＝0，解得m ＝14.∴该抛物线的解析式为y ＝14x 2－2x ＋3.(2)由(1)知A(0，3)，C(6，0)，∴直线AC 的解析式为y ＝－12x ＋3.要构成△APC，显然t≠6，下面分两种情况讨论：①当0＜t ＜6时，设直线l 与AC 的交点为F ，则F(t ，－12t ＋3)．∵P(t，14t 2－2t ＋3)，∴PF ＝－12t ＋3－(14t 2－2t ＋3)＝－14t 2＋32t.∴S △APC ＝S △APF ＋S △CPF ＝12(－14t 2＋32t )·t＋12(－14t 2＋32t)·(6－t)＝12(－14t 2＋32t )×6＝－34(t －3)2＋274.∴当t ＝3时，△APC 面积的最大值是274.②当6＜t≤8时，延长AC 交直线l 于点H ，则H(t ，－12t ＋3)，则PH ＝14t 2－2t ＋3－(－12t ＋3)＝14t 2－32t.∴S △APC ＝S △PAH －S △PCH ＝12(14t 2－32t )·t－12(14t 2－32t)·(t －6)＝12(14t 2－32t )×6＝34(t －3)2－274.此时，当t ＝8时，△APC 面积的最大值是12＞274.综上所述，当t ＝8时，△APC 面积的最大值是12. (3)由题意可知OA ＝3，OB ＝2，Q(t ，3)，t ＞2. ①当点P 在直线AD 下方时，令△AOB∽△AQP， ∴AO AQ ＝OB QP， ∴3t ＝23－（14t 2－2t ＋3）.解得t ＝0(舍去)或t ＝163；令△AOB∽△PQA， ∴AO PQ ＝OB QA， ∴33－（14t 2－2t ＋3）＝2t .解得t ＝0(舍去)或t ＝2(舍去)；②当P 在直线AD 上方时，令△AOB∽△AQP， ∴AO AQ ＝OB QP， ∴3t ＝2（14t 2－2t ＋3）－3.解得t ＝0(舍去)或t ＝323；令△AOB∽△PQA， ∴AO PQ ＝OB QA，∴3（14t 2－2t ＋3）－3＝2t .解得t ＝0(舍去)或t ＝14.综上所述，满足条件的点P 有3个，此时t 的值分别是163，323，14.类型之三 二次函数与存在特殊四边形1．(1)由题意，将A(－1，0)，B(3，0)的坐标代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)∵y＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线顶点M(1，－4)，其关于x 轴的对称点M′(1，4)．设直线AM′的解析式为y ＝kx ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋m ＝0，k ＋m ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，m ＝2. ∴直线AM′的解析式为y ＝2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝x 2－2x －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝5，y 2＝12. ∴直线AM′与抛物线的交点A(－1，0)，C(5，12)．又AB ＝4，∴S △ABC ＝12AB ·y c ＝12×4×12＝24.(3)假设存在满足条件的抛物线使四边形APBQ 为正方形．由该抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，可设抛物线方程为y ＝a(x ＋1)(x －3)，其中a≠0.∵y＝a(x 2－2x －3)＝a(x －1)2－4a ， ∴抛物线顶点P(1，－4a)．∴P(1，－4a)关于x 轴的对称点Q(1，4a)． ∴PQ＝|8a|.∵四边形APBQ 为正方形，其对角线PQ 与AB 互相垂直平分且相等， ∴PQ ＝AB ，即|8a|＝4. ∴a＝±12.∴假设成立，存在满足条件的抛物线，其解析式为y ＝12x 2－x －32或y ＝－12x 2＋x ＋32.2．(1)∵二次函数的图象M 经过A(－1，0)，B(4，0)两点，∴可设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －4)． ∵二次函数的图象M 经过点C(2，－6)， ∴－6＝a(2＋1)(2－4)，解得a ＝1.∴二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －4)，即y ＝x 2－3x －4.(2)设直线AC 的解析式为y ＝sx ＋t ，把A 、C 坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－s ＋t ，－6＝2s ＋t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－2，t ＝－2. ∴直线AC 的解析式为y ＝－2x －2，设点G 的坐标为(k ，－2k －2)(－1<k<2)．∵G 与C 点不重合，∴△ABG 与△ABC 相似只有△AGB∽△ABC 一种情况． ∴AG AB ＝AB AC.∵AB ＝5，AC ＝[2－（－1）]2＋（－6－0）2＝35，AG ＝（k ＋1）2＋（－2k －2）2＝5|k ＋1|， ∴5|k ＋1|5＝535， ∴|k ＋1|＝53，∴k ＝23或k ＝－83(舍去)．∴点G 的坐标为(23，－103)．(3)能．理由如下：过D 点作x 轴的垂线交AC 于点H ，∵D(m ，n)(－1＜m ＜2)，∴H(m ，－2m －2)．∵点D(m ，n)在图象M 上，∴D(m ，m 2－3m －4)． ∵△ACD 的面积为278，∴12[－2m －2－(m 2－3m －4)][(m ＋1)＋(2－m)]＝278，即4m 2－4m ＋1＝0，解得m ＝12. ∴D(12，－214)．∵y＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254，∴图象M 的对称轴l 为x ＝32.∵点D 关于l 的对称点为E ， ∴E(52，－214)，∴DE ＝52－12＝2.若以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，则PQ∥DE 且PQ ＝DE ＝2. ∴点P 的横坐标为32＋2＝72或32－2＝－12.∴点P 的纵坐标为(72－32)2－254＝－94.∴点P 的坐标为(72，－94)或(－12，－94)．类型之四 二次函数与线段相关的存在性问题1．(1)∵B(4，m)在直线y ＝x ＋2上， ∴m ＝4＋2＝6， ∴B(4，6)．∵A(12，52)、B(4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎪⎩⎪⎨⎧++=++=.6446,621)21(2522b a b a 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8. ∴抛物线的解析式为y ＝2x 2－8x ＋6.(2)设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则C 点的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)， ∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.(12＜n ＜4)∵－2<0，∴当n ＝94时，线段PC 有最大值为498.(3)①当∠PAC＝90°时，设直线AC 的解析式为y ＝－x ＋c ，把A(12，52)代入，得52＝－12＋c ，解得c ＝3.∴直线AC 解析式为y ＝－x ＋3.∵点C 在抛物线上，设C(n ，2n 2－8n ＋6)，代入y ＝－x ＋3，得2n 2－8n ＋6＝－n ＋3. 整理得2n 2－7n ＋3＝0.解得n ＝3或n ＝12(与A 点重合，应舍去)．∴P(3，5)．②当∠ACP ＝90°时，可知AC∥x 轴， ∴C 点纵坐标为52，可求得C 点横坐标为72.∴P 点横坐标为72，纵坐标为y P ＝72＋2＝112.∴P 点坐标为(72，112)．综上所述，△PAC 为直角三角形时，点P 的坐标为(3，5)或(72，112)．2．(1)设抛物线解析式为y ＝a(x ＋1)2－1，将(1，0)代入得0＝a(1＋1)2－1，解得a ＝14，∴抛物线的解析式为y ＝14(x ＋1)2－1.(2)∵A(－1，－1)， ∴∠COA ＝45°. ∵∠CAO ＝90°，∴△CAO 是等腰直角三角形． ∴AC＝AO. ∴C(－2，0)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A ，C 点代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝－1，－2k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－2.∴直线AC 的解析式为y ＝－x －2.将y ＝14(x ＋1)2－1和y ＝－x －2联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14（x ＋1）2－1，y ＝－x －2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－5，y 2＝3.∴B 点坐标为(－5，3)．(3)过点B 作BP⊥EF 于点P ，由题意可得：E(－5，－2)，设直线EF 的解析式为：y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋n ＝0，－5m ＋n ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝12. ∴直线EF 的解析式为y ＝12x ＋12.∵直线BP⊥EF，∴设直线BP 的解析式为y ＝－2x ＋e.将B(－5，3)代入得3＝－2×(－5)＋e.解得e ＝－7. ∴直线BP 的解析式为y ＝－2x －7.∴将y ＝－2x －7和y ＝12x ＋12联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －7，y ＝12x ＋12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.∴P(－3，－1)．故存在P 点使得BP⊥EF，此时P(－3，－1)． 类型之五 二次函数与面积问题1．(1)当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1， ∴C(－1，0)，A ′(3，0)． 当x ＝0时，y ＝3，∴A(0，3)． (2)设A′C′与OB 相交于点D.∵C(－1，0)，A(0，3)， ∴B(1，3)．∴OB＝32＋12＝10.∴S △BOA ＝12×1×3＝32.又∵平行四边形ABOC 旋转90°得到平行四边形A ′B ′OC ′，∴∠ACO ＝∠OC′D. 又∵∠ACO＝∠ABO， ∴∠ABO ＝∠OC′D. 又∵∠C′OD＝∠AOB， ∴△ C ′OD ∽△BOA. ∴S △C ′OD S △BOA ＝(OC′OB )2＝(110)2. ∴S △C ′OD ＝320.(3)设M 点的坐标为(m ，－m 2＋2m ＋3)，连接OM. S △AMA ′＝S △MOA ′＋S △MOA －S △AOA ′＝12×3×(－m 2＋2m ＋3)＋12×3×m －12×3×3＝－32m 2＋92m ＝－32(m －32)2＋278.(0<m<3) 当m ＝32时，S △AMA ′取到最大值278，∴M(32，154)．2．(1)∵二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象过A(2，0)，B(8，6)．∴⎩⎪⎨⎪⎧12×22＋2b ＋c ＝0，12×82＋8b ＋c ＝6.解得⎩⎨⎧=-=.6,4c b∴二次函数解析式为y ＝12x 2－4x ＋6.(2)由y ＝12x 2－4x ＋6，得y ＝12(x －4)2－2，∴函数图象的顶点坐标为(4，－2)．∵点A ，D 是y ＝12x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点，A(2，0)，对称轴为x ＝4，∴点D 的坐标为(6，0)．(3)∵二次函数的对称轴交x 轴于C 点， ∴C 点的坐标为(4，0)．设BC 所在直线的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵B(8，6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，8k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32，b ＝－6.∴BC 所在的直线解析式为y ＝32x －6.∵E 点是y ＝32x －6与y ＝12x 2－4x ＋6的交点，∴32x －6＝12x 2－4x ＋6.解得x 1＝3，x 2＝8(舍去)． 当x ＝3时，y ＝－32，∴E(3，－32)．∴S △BDE ＝S △CDB ＋S △CDE ＝12×2×6＋12×2×32＝152.(4)存在，设点P 到x 轴的距离为h.∵S △BCD ＝12×2×6＝6，S △ADP ＝12×4×h ＝2h ，S △ADP ＝12S △BCD ，∴2h ＝6×12，解得h ＝32.当P 在x 轴上方时，32＝12x 2－4x ＋6，解得x 1＝4＋7，x 2＝4－7.当P 在x 轴下方时，－32＝12x 2－4x ＋6，解得x 1＝3，x 2＝5.∴存在4个这样的点P ，它们分别是P 1(4＋7，32)，P 2(4－7，32)，P 3(3，－32)，P 4(5，－32)．。