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专题三归纳猜想问题1.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2 013应标在( )A．第503个正方形的左下角B．第503个正方形的右下角C．第504个正方形的左上角D．第504个正方形的右下角解析通过观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2.∵2 013÷4＝503…1，∴数2013应标在第504个正方形的右下角．故选D.答案 D2．已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办、若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？( )A．公元2070年B．公元2071年C．公元2072年D．公元2073年解析因A.2 070－2 009＝61，2 070－2 010＝60，2 070－2 012＝58，其中60是4的倍数，所以亚运会能在2070年举办，则世运会在2069年．奥运会在2072年举办．B．2 071－2 009＝62，2 071－2 010＝61，2 071－2 012＝59，均不是4的倍数，所以，这三项运动会均不在2071年举办．C．2 072－2 009＝63，2 072－2 010＝62，2 072－2 012＝60，60是4的倍数，所以奥运会能在2072年举办，则世运会在2069年．亚运会在2070年举办．D．2 073－2 009＝64，2 073－2 010＝63，2 073－2 012＝61，64是4的倍数，所以世运会能在2073年举办，则亚运会在2074年．奥运会在2076年举办．故选：B.答案 B3．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，….根据上述算式中的规律，请你猜想210的末尾数字是( )A．2 B．4 C．8 D．6解析∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…∴210的末位数字是4.故选B.答案 B4．(2011·潜江)如图，已知直线l：y＝33x，过点A(0，1)作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为( )A．(0，64) B．(0，128)C．(0，256) D．(0，512)解析易求A(0，1)，A1(0，4)，A2(0，16)……，而2°＝1，22＝4，24＝16……，所以28＝256，点A4的坐标为(0，256)．答案 C5．一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( )A．(4，0) B．(5，0)C．(0，5) D．(5，5)解析质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到(2，0)用4秒，到(2，2)用6秒，到(0，2)用8秒，到(0，3)用9秒，到(3，3)用12秒，到(4，0)用16秒，依次类推，到(5，0)用35秒．故第35秒时质点所在位置的坐标是(5，0)．故选B.答案 B6．图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2)，依此规律继续拼下去(如图3)，…，则第n个图形的周长是( )A．2n B．4nC．2n＋1D．2n＋2解析下面是各图的周长：图1中周长为4；图2周长为8；图3周长为16；所以第n 个图形周长为2n ＋1.故选C.答案 C7．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为________．分析 易得第二个矩形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫122，第三个矩形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫124，依次类推，第n 个矩形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2.解 已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2－2＝14； 第三个矩形的面积是⎝ ⎛⎭⎪⎫122×3－2＝116；…故第n 个矩形的面积为：⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －28．下面是按一定规律排列的一列数：23，－45，87，－169，…那么第n 个数是________．解析 ∵n ＝1时，分子：2＝(－1)2·21，分母：3＝2×1＋1；n ＝2时，分子：－4＝(－1)3·22，分母：5＝2×2＋1； n ＝3时，分子：8＝(－1)4·23，分母：7＝2×3＋1； n ＝4时，分子：－16＝(－1)5·24，分母：9＝2×4＋1；…，∴第n 个数为：(－1)n ＋1·2n2n ＋1. 答案 (－1)n ＋1·2n 2n ＋19．观察下列算式： ①1×3－22＝3－4＝－1 ②2×4－32＝8－9＝－1 ③3×5－42＝15－16＝－1 ④__________________ …(1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．分析 (1)根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式； (2)将(1)中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论； (3)一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明． 解 (1)第4个算式为：4×6－52＝24－25＝－1； (2)答案不唯一．如n (n ＋2)－(n ＋1)2＝－1； (3)一定成立．理由：n (n ＋2)－(n ＋1)2＝n 2＋2n －(n 2＋2n ＋1)． ＝n 2＋2n －n 2－2n －1＝－1. 故n (n ＋2)－(n ＋1)2＝－1成立．10．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a ＋b )n(n 为正整数)的展开式(按a 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a ＋b )2＝a2＋2ab ＋b 3展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1, 恰好对应着()a ＋b 3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 2展开式中的系数等等．(1)根据上面的规律，写出(a ＋b )5的展开式．(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.分析 (1)由(a ＋b )＝a ＋b ，(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3可得(a ＋b )n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a ＋b )n －1的相邻两个系数的和，由此可得(a ＋b )4的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此(a ＋b )5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1.(2)将25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1写成“杨辉三角”的展开式形式，逆推可得结果．解 (1) (a ＋b )5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5(2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝ (2－1)5＝1.11．(2012·广东佛山)规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面． 请你解决以下与数的表示和运算相关的问题： (1)写出奇数a 用整数n 表示的式子；(2)写出有理数b 用整数m 和整数n 表示的式子；(3)函数的研究中，应关注y 随x 变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．下面对函数y ＝x 2的某种数值变化规律进行初步研究：x i 0 1 2 3 4 5 … y i 0 1 4 9 16 25 … y i ＋1－y i1357911…由表看出，当x 的取值从0开始每增加1个单位时，y 的值依次增加1，3，5… 请回答：当x 的 取值从0开始每增加12个单位时，y 的值变化规律是什么？当x 的取值从0开始每增加1n个单位时，y 的值变化规律是什么？分析 (1)n 是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n ，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n ＋1或2n －1.(2)根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成分数的形式，据此可以得到答案． (3)根据图表计算出相应的数值后即可看出y 随着x 的变化而变化的规律． 解 (1)n 是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n ＋1或2n －1； (2)有理数b ＝mn(n ≠0)； (3)①当x ＝0时，y ＝0，当x ＝12时，y ＝14，当x ＝1时，y ＝1，当x ＝32时，y ＝94，故当x 的取值从0开始每增加12个单位时，y 的值依次增加14、34、54…②当x ＝0时y ＝0，当x ＝1n 时，y ＝1n2，当x ＝2n 时，y ＝4n 2，当x ＝3n 时，y ＝9n2，故当x 的取值从0开始每增加1n 个单位时，y 的值依次增加1n 2、3n 2、5n2…。
题型3 周期变化规律1．计算：21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，25－1＝31，26－1＝63，27－1＝127，28－1＝255，…，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22 020－1的个位数字是A ．1B ．3C ．7D ．52．(2021·河北预测)有一列数a 1，a 2，…，a n ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a 1＝2，则a 2 021，a 1＋a 2＋…＋a 2 021的值分别为A ．2 021，2 0212B ．2，2 0222C ．12 ，1 012D ．－1，2 01923．(2021·河北预测)如果2 021个整数a 1，a 2，…，a 2 021满足下列条件：a 1＝0，a 2＝－|a 1＋2|，a 3＝－|a 2＋2|，…，a 2 021＝－|a 2 020＋2|，则a 1＋a 2＋ a 3＋…＋a 2 021＝__________ .4．a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，…是一列数，已知第1个数a 1＝4，第5个数a 5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2 020个数a 2 020的值是________．5．有2 021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第1个数是0，第2个数是1，那么前6个数的和是______，这2 021个数的和是________．6．砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共__________个．7．(2020·遵化市一模)将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，…，按下图所示有序排列．峰1 峰2 峰n根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C 的位置)是有理数4，那么(1)“峰6”中D 的位置是有理数__________；(2)－2 019应排在A ，B ，C ，D ，E 中的___________位置．8．如图，正△ABC 的边长为2，顶点B ，C 在半径为 2 的圆上，顶点A 在圆内，将正△ABC 绕点B 逆时针旋转，当点A 第一次落在圆上时，则点C 运动的路线长为____(结果保留π)；若点A 落在圆上记做第1次旋转，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上记做第2次旋转，再绕点C 将△ABC 逆时针旋转，当点B第一次落在圆上，记做第3次旋转，…，如此旋转下去，当△ABC完成第2 021次旋转时，BC边共回到原来位置__________次．9．(2020·石家庄市模拟)如图，曲线AB是抛物线y＝－4x2＋8x＋1的一部分(其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点)，曲线BC是双曲线y＝kx (k≠0)的一部分．曲线AB与BC组成图形W.由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．若点P(2 020，m)，Q(x，n)在该“波浪线”上，则m的值为___________，n的最大值为__________.10．(2020·邯郸复兴区二模)如图，一段抛物线：y＝x(x－2)(0≤x≤2)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C10.(1)请写出抛物线C4的解析式：___；(2)若P(19，a)在第10段抛物线C10上，则a＝_________．11．如图，自左向右，水平摆放一组小球，按照以下规律排列，如：红球，黄球，绿球，红球，黄球，绿球，…，嘉琪依次在小球上标上数字1，2，3，4，5，6，….尝试左数第三个黄球上标的数字是__________；应用若某个小球上标的数字是101，则这个小球的颜色是__________，它左边共有_________个与它颜色相同的小球；发现试用含n的代数式表示左边第n个黄球所标的数字是____．12．(2020·石家庄新华区一模)如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．－8x y z54…(1)可求得x＝________，y＝________，z＝________；(2)第2 019个格子中的数为________；(3)前2 020个格子中所填整数之和为________；(4)前n个格子中所填整数之和是否可能为2 020？若能，求出n的值，若不能，请说明理由．答案题型3 周期变化规律1．计算：21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，25－1＝31，26－1＝63，27－1＝127，28－1＝255，…，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22 020－1的个位数字是DA ．1B ．3C ．7D ．52．(2021·河北预测)有一列数a 1，a 2，…，a n ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a 1＝2，则a 2 021，a 1＋a 2＋…＋a 2 021的值分别为CA ．2 021，2 0212B ．2，2 0222C ．12 ，1 012D ．－1，2 01923．(2021·河北预测)如果2 021个整数a 1，a 2，…，a 2 021满足下列条件：a 1＝0，a 2＝－|a 1＋2|，a 3＝－|a 2＋2|，…，a 2 021＝－|a 2 020＋2|，则a 1＋a 2＋ a 3＋…＋a 2 021＝____________－2__020__ .4．a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，…是一列数，已知第1个数a 1＝4，第5个数a 5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2 020个数a 2 020的值是______4______．5．有2 021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第1个数是0，第2个数是1，那么前6个数的和是______0______，这2 021个数的和是____1________．6．砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共__________3__个．7．(2020·遵化市一模)将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，…，按下图所示有序排列．峰1 峰2 峰n根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C 的位置)是有理数4，那么(1)“峰6”中D 的位置是有理数__________30__；(2)－2 019应排在A ，B ，C ，D ，E 中的__________C __位置．8．如图，正△ABC 的边长为2，顶点B ，C 在半径为 2 的圆上，顶点A 在圆内，将正△ABC 绕点B 逆时针旋转，当点A 第一次落在圆上时，则点C 运动的路线长为__π3 __(结果保留π)；若点A 落在圆上记做第1次旋转，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上记做第2次旋转，再绕点C 将△ABC 逆时针旋转，当点B 第一次落在圆上，记做第3次旋转，…，如此旋转下去，当△ABC 完成第2 021次旋转时，BC 边共回到原来位置______168______次．9．(2020·石家庄市模拟)如图，曲线AB 是抛物线y ＝－4x 2＋8x ＋1的一部分(其中A 是抛物线与y 轴的交点，B 是顶点)，曲线BC 是双曲线y ＝k x(k ≠0)的一部分．曲线AB 与BC 组成图形W.由点C 开始不断重复图形W 形成一组“波浪线”．若点P(2 020，m)，Q(x ，n)在该“波浪线”上，则m 的值为__1__________，n 的最大值为______5______.10．(2020·邯郸复兴区二模)如图，一段抛物线：y ＝x (x －2)(0≤x ≤2)，记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；…，如此进行下去，直至得C 10.(1)请写出抛物线C 4的解析式：__y ＝－(x －6)(x －8)__；(2)若P (19，a )在第10段抛物线C 10上，则a ＝______1______．11．如图，自左向右，水平摆放一组小球，按照以下规律排列，如：红球，黄球，绿球，红球，黄球，绿球，…，嘉琪依次在小球上标上数字1，2，3，4，5，6，….尝试 左数第三个黄球上标的数字是______8______；应用 若某个小球上标的数字是101，则这个小球的颜色是____黄色________，它左边共有________33____个与它颜色相同的小球；发现 试用含n 的代数式表示左边第n 个黄球所标的数字是____3n －1__．12．(2020·石家庄新华区一模)如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．(1)可求得x＝________，y＝________，z＝________；(2)第2 019个格子中的数为________；(3)前2 020个格子中所填整数之和为________；(4)前n个格子中所填整数之和是否可能为2 020？若能，求出n的值，若不能，请说明理由．解：(1)5；4；－8；(2)4；[∵2 019÷3＝673，格子中的数以－8，5，4循环出现，∴第2 019个格子中的数为4.](3)665；[∵2 020÷3＝673……1，∴673×(－8＋5＋4)－8＝665.∴前2 020个格子中所填整数之和为665.](4)能．①若最后一个数是4，－8＋5＋4＝1，2 020÷1＝2 020，n＝2 020×3＝6 060；②若最后一个数是－8，2 020－(－8)＝2 028，n＝2 028×3＋1＝6 085；③若最后一个数是5，2 020－(－8＋5)＝2 023，n＝2 023×3＋2＝6 071.∴n＝6 060，6 071或6 085.。
中考数学专题复习——规律猜想问题（经典题型）【专题点拨】给出一列数字、等式或者一组图形，通过观察、分析、猜想、探索归纳其规律的一类题目就是规律与猜想的探究性试题，这类问题要求大家都有较为敏锐的观察思考、分析、推理、演绎、归纳能力，从具体、特殊的事实中探究其存在的规律，把潜在的表面现象中的本质挖掘出来，是一种发现、创新。
【典例赏析】【例题1】（2017•乐山）庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1=+++…++…．图2也是一种无限分割：在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，过点C 作CC 1⊥AB 于点C 1，再过点C 1作C 1C 2⊥BC 于点C 2，又过点C 2作C 2C 3⊥AB 于点C 3，如此无限继续下去，则可将利△ABC 分割成△ACC 1、△CC 1C 2、△C 1C 2C 3、△C 2C 3C 4、…、△C n﹣2C n ﹣1C n 、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是2=．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】先根据AC=2，∠B=30°，CC 1⊥AB ，求得S △ACC1=；进而得到=×，=×（）2，=×（）3，根据规律可知=×（）n ﹣1，再根据S △ABC =AC ×BC=×2×2=2，即可得到等式．【解答】解：如图2，∵AC=2，∠B=30°，CC 1⊥AB ，∴Rt△ACC1中，∠ACC1=30°，且BC=2，∴AC1=AC=1，CC1=AC1=，∴S△ACC1=•AC1•CC1=×1×=；∵C1C2⊥BC，∴∠CC1C2=∠ACC1=30°，∴CC2=CC1=，C1C2=CC2=，∴=•CC2•C1C2=××=×，同理可得，=×（）2，=×（）3，…∴=×（）n﹣1，又∵S△ABC=AC×BC=×2×2=2，∴2=+×+×（）2+×（）3+…+×（）n﹣1+…∴2=．故答案为：2=．【点评】本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【例题2】（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣1，1），B （0，﹣2），C （1，0），点P （0，2）绕点A 旋转180°得到点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3，点P 3绕点A 旋转180°得到点P 4，…，按此作法进行下去，则点P 2017的坐标为 （﹣2，0） ．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；D2：规律型：点的坐标． 【分析】画出P 1～P 6，寻找规律后即可解决问题．【解答】解：如图所示，P 1（﹣2，0），P 2（2，﹣4），P 3（0，4），P 4（﹣2，﹣2），P 5（2，﹣2），P 6（0，2）， 发现6次一个循环， ∵2017÷6=336…1，∴点P 2017的坐标与P 1的坐标相同，即P 2017（﹣2，0）， 故答案为（﹣2，0）．【例题3】（2017黑龙江佳木斯）如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y 3=﹣x，l4：y4=﹣x，OA1=1，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A 1作A1A2⊥l1交l2于点A2，再过点A2作A2A3⊥l3交y轴于点A3…，则点A2017坐标为[（）2015，（）2016] ．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】先利用各直线的解析式得到x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，各点的位置是每12个一循环，由于2017=168×12+1，则可判定点A2016在x轴的正半轴上，再规律得到OA2016=（）2015，然后表示出点A2017坐标．【解答】解：∵y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，∴x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，∵2017=168×12+1，∴点A2016在x轴的正半轴上，∵OA2==，OA3=（）2，OA=（）3，4…=（）2015，OA2016∴点A坐标为[（）2015，（）2016]．2017故答案为[（）2015，（）2016]．【能力检测】1. （2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n=11时的芍药的数量．【解答】解：由图可得，芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，∴当n=11时，芍药的数量为：4+（2×11﹣1）×4=4+（22﹣1）×4=4+21×4=4+84=88，故选B．2.（2017•黑龙江）观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…．则第2017个图形中有8065 个三角形．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，发现规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4．【解答】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3，当n=2017时，4n﹣3=8065，故答案为：8065．【点评】此题考查图形的变化规律，由特殊到一般的归纳方法，找出规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4解决问题．3.（2017黑龙江鹤岗）观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…．则第2017个图形中有8065 个三角形．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，发现规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4．【解答】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…第n 个图形中三角形的个数是1+4（n ﹣1）=4n ﹣3， 当n=2017时，4n ﹣3=8065， 故答案为：8065．4. （2017•温州）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线（如图），已知点P 1（0，1），P 2（﹣1，0），P 3（0，﹣1），则该折线上的点P 9的坐标为（ ）A ．（﹣6，24）B ．（﹣6，25）C ．（﹣5，24）D ．（﹣5，25） 【考点】D2：规律型：点的坐标． 【专题】17 ：推理填空题．【分析】观察图象，推出P 9的位置，即可解决问题．【解答】解：由题意，P 5在P 2的正上方，推出P 9在P 6的正上方，且到P 6的距离=21+5=26，所以P 9的坐标为（﹣6，25）， 故选B ．【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P 9的位置．5. 如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=x ﹣与x 轴交于点B 1，以OB 1为边长作等边三角形A 1OB 1，过点A 1作A 1B 2平行于x 轴，交直线l 于点B 2，以A 1B 2为边长作等边三角形A 2A 1B 2，过点A 2作A 2B 3平行于x 轴，交直线l 于点B 3，以A 2B 3为边长作等边三角形A 3A 2B 3，…，则点A 2017的横坐标是．【分析】先根据直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标．【解答】解：由直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（﹣，0），∴OB1=1，∠OB1D=30°，如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=OB1=，即A1的横坐标为=，由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B=A1B2=1，即A2的横坐标为+1==，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，即A3的横坐标为+1+2==，同理可得，A的横坐标为+1+2+4==，4的横坐标为，由此可得，An的横坐标是，∴点A2017故答案为：．【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的的横坐标为运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得An ．。
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教学目标教学重、难点浅谈初中数学中的找规律题最近两年，全国多数地市的中招考试都有找规律的题目,人们开始逐渐重视这一更有助于创新型人才的培养。
但究竟怎样才能把这种题目做好，是一个值得探究的问题，这类问题没有明确的知识方法可套，在现在的教科书上也很少触及这类问题。
这类题目主要考查学生的综合分析问题和解决问题的能力。
下面就解决这类问题作一个初步的探究。
一、代数中的规律“有比较才有鉴别”。
通过比较,可以发现事物的相同点和不同点,更容易找到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把项数和项放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘.例1观察下列各式数：0，3，8，15，24,……。
试按此规律写出第100个数是＿＿＿。
分析：解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。
我们把有关的量放在一起加以比较:项数：1 2 3 4 5 ……项：0，3，8，15，24，……。
容易发现,已知数的每一项,都等于它的项数的平方减1。
因此,第n 项是2n—1，第100项是21-1。
00如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。
解题的时候，不但考虑已知数的项数，还要考虑其他因素.例2 (1)观察下列运算并填空1×2×3×4＋1＝24＋1＝25＝252×3×4×5＋1＝120＋1＝121＝112请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示出来__________.代数中的规律小结：1、找到题目中的不变量2、找到题目中的改变量，并认真观察改变量的变化规律3、观察与猜想结合找到变量与不变量之间的关系二、平面图形中的规律图形变化也是经常出现的，它的变化规律以代数规律为基础。
专题62 猜想证明类问题（2）【规律总结】 此类试题能比较系统地考查学生的逻辑推理能力、合情推理能力、发现规律和关系的能力，以及运用所学知识和方法分析、解决数学问题的能力，对于猜想证明类试题，由于题目新颖、综合性强、结构独特，具有较好的区分度，因此。
该类试题已逐步成为中考的一大热点题型。
猜想证明类试题的考查范围有猜想命题的规律或结论（不要求证明）与猜想命题的结论（要求证明）两种。
单纯猜想规律或结论的问题经常以填空、选择题的形式作为压轴题，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找存在于个例中的共性，也就是规律。
相对而言，猜想命题的结论（要求证明）的试题难度较大，解答具体题目时往往是直观猜想与科学论证、具体应用相结合。
【典例分析】例1．（2019·安徽九年级二模）如图，在正方形ABCD 中，,E F 分别是边,BC AB 上的点，且满足BF BE =，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为点G ，连接DG ，则下列说法不正确的是（ ）A ．GBE GCD ∠=∠B ．GE BE =C ．2GBE GCD S BE S DC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．DG GE ⊥ 【答案】B【分析】根据正方形的性质、等角的余角相等即可判断A 正确；根据B 选项，判断出E 为BC 中点，与原题条件不一致，判断B 错误；证明GBE GCD ∆∆∽，判断C 选项正确；根据GBE GCD ∆∆∽，得出BGE CGD ∠=∠，判断D 正确．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，90BCD ∴∠=︒，即90BCG GCD ∠+∠=︒，BG CF ⊥，90GBE BCG ∴∠+∠=︒，GBE GCD ∴∠=∠，∴A 选项正确，不合题意；∴BG ∴CF ，∴∴BGC =90°，∴∴GBC +∴BCG =90°, ∴BGE +∴CGE =90°，当GE=BE 时，∴BGE =∴GBE ，∴∴EGC =∴ECG ，∴GE=CE ，∴BE=CE ，即E 为BC 中点，原题没有此条件，∴B 选项不正确，符合题意；90FBC ∠=︒，BG CF ⊥，∴∴FBG +∴CBG =90°, ∴FBG +∴BFG =90°,∴∴CBG =∴BFG ，BFG CBG ∴∆∆∽， ∴BG BF CG BC=， BF BE =，BC CD =，∴BG BE CG CD=，又GBE GCD ∠=∠， GBE GCD ∴∆∆∽， ∴2()GBE GCD S BE S CD∆=， ∴C 选项正确，不合题意；GBE GCD ∆∆∽，BGE CGD ∴∠=∠， 90BGE EGC ∠+∠=︒，90CGD EGC ∴∠+∠=︒，即DG GE ⊥，∴D 选项正确，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．例2．（2019·湖北随州市·九年级学业考试）如图，矩形ABCD 中，5,3,AB BC ==点E 在边AD 上(不与,A D 重合)，将矩形沿CE 折叠，使点,A B 分别落在点,F G 处有下列结论：①FED ∠与GCD ∠互余； ②若CD 平分,ECG ∠则53tan BCE ∠=③若直线FG 经过点,D 则45AE ED = ④若直线FG 交边,AD CD 分别于,,M N 当DMN 为等腰三角形时，五边形ABCNM 的周长为_____________________．【答案】①③④【分析】①根据折叠的性质知90G F ∠=∠=︒,转化相关角度进行判断；②根据折叠的性质知BCE ECG ∠=∠,再根据CD 平分,ECG ∠从而得出60BCE ∠=︒，从而求算正切值；③直线FG 经过点，此时EFD DGC ∆~∆，3,5BC CG CD ===，从而求算DG DF ，,再根据相似求算EF ，可得结论；④当∴DMN 时等腰三角形时，可得,MGC DMN ∆∆均为等腰直角三角形，从而计算相应长度，可得结论．【详解】解：①根据折叠的知90G F ∠=∠=︒设FED x ∠=︒∴90,,90FNE DNM x DMN GMC x GCD x ∠=∠=︒-︒∠=∠=︒∠=︒-︒∴90FED GCD ∠+∠=︒， ①正确；②根据折叠的性质知BCE ECG ∠=∠,再根据CD 平分,ECG ∠∴390ECM ∠=︒ 即30ECM ∠=︒∴60BCE ∠=︒ 即tan BCE ∠=②错误；③直线FG 经过点D ：∴3,5BC CG CD ===∴4,1DG DF ==∴90F G ADC ∠=∠=∠=︒∴EFD DGC ∆~∆ ∴143EF DF EF DG CG =⇒= 解得：43EF = ∴43AE EF ==∴45333ED =-= ∴45AE ED =，③正确；④当∴DMN 时等腰三角形时，可得,MGC DMN ∆∆均为等腰直角三角形，如图：∴3BC CG ==∴3,556MG CM DN DM MN ====-=-= ∴五边形ABCNM 的周长=AB BC CM MN AN ++++5362=+++=④正确故答案为：①③④【点睛】本题考查矩形折叠问题，同时与相似三角形、特殊角三角函数值、等腰三角形等相结合，转化相关的线段与角度之间的关系式解题关键．例3．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考）如图1，平面直角坐标系中，直线34y x m =-+交x 轴于点(4,0)A ，交y 轴正半轴于点B ，直线AC 交y 轴负半轴于点C ，且BC AB =．（1）求ABC 的面积．（2）P 为线段．．AB （不含A ，B 两点）上一动点．①如图2，过点P 作y 轴的平行线交线段AC 于点Q ，记四边形APOQ 的面积为S ，点P 的横坐标为t ，当152S =时，求t 的值． ②M 为线段BA 延长线上一点，且AM BP =，在直线AC 上是否存在点N ，使得PMN 是以PM 为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接．．写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）10；（2）①1t =；②存在；51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，59,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）把()4,0A 代入34y x m =-+求出一次函数解析式为334y x =-+，得到()0,3B ，根据5BC AB ==，求出(0,2)C -，求得11541022ABC S BC OA =⋅=⨯⨯=△； （2）①设3,34P t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用待定系数法直线AC 的解析式为122y x =-，由315325424PQ t t t ⎛⎫=-+--=- ⎪⎝⎭，根据AOP AOQ APOQ S S S =+△△四边形代入数值求出t的值； ②如图所示，当N 点在x 轴下方时，得到5PM AB ==，设1,22N a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过P 点作直线M N ''∥x 轴，作MM M N '''⊥，NN M N '''⊥，证明 () AOB PM M AAS '△≌△，得到3MM OB '==，4PM OA '==，再证明()PNN MPM AAS ''△≌△，得到3PN MM ''==，4NN PM ''==，求得7M N ''=，作MH NN '⊥，则1NH =，根据1,22N a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到17,12M a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，列得131(7)324a a -=-++求出a 得到51,2N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当N 点在x 轴上方时，点N '与51,2N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭关于(4,0)A 对称，得到524(1),02N ⎛⎫⎛⎫'⨯---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即59,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭． 【详解】（1）把()4,0A 代入34y x m =-+得：3m =， 一次函数解析式为334y x =-+， 令0x =，得3y =，∴()0,3B ，在Rt AOB 中，222AB OA OB =+，∴5AB =，∴5BC AB ==，∴(0,2)C -， ∴11541022ABC S BC OA =⋅=⨯⨯=△． （2）①设3,34P t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴P 在线段AB 上，∴04t <<，设直线AC 的解析式为y kx b =+，代入()4,0A ，()0,2C -得 042k b b =+⎧⎨-=⎩， ∴122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴122y x =-， 又∴PQ x 轴，则1,22Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴315325424PQ t t t ⎛⎫=-+--=- ⎪⎝⎭， 1122AOP AOQ p Q APOQ S S S AO y AO y ∴=+=⋅+⋅△△四边形 12AO PQ =⋅ 154524t ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭ 5102t =-， 又∴152S =， ∴5151022t -=得1t =． ②如图所示，当N 点在x 轴下方时，∴BP AM =，∴BP AP AM AP AB +=+=，∴5PM AB ==，∴PMN 是以PM 为直角边的等腰直角三角形，当90NPM ∠=︒时，5PN PM ==，MN ==， 设1,22N a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 过P 点作直线M N ''∥x 轴，作MM M N '''⊥，NN M N '''⊥， ∴MM OB '∥，∴ABO PMM '∠=∠，在AOB 与PM M '△中90AOB PM M ABO PMM AB PM ''∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ () AOB PM M AAS '△≌△， ∴3MM OB '==，4PM OA '==，∴90NPN MPM ''∠+∠=︒，90NPN N NP ''∠+∠=︒， ∴MPM N NP ''∠=∠，在PNN '△与MPM '△中，90N NP MPM PN N MM P PN PM '∠=∠'⎧⎪∠=∠==''︒⎨⎪⎩， ∴()PNN MPM AAS ''△≌△，∴3PN MM ''==，4NN PM ''==，∴7M N ''=，作MH NN '⊥，则1NH =，∴1,22N a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴17,12M a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ∴M 在直线AB 上， ∴131(7)324a a -=-++ 121313244a a -=--+ 5544a =- 1a =-， ∴15222a -=-， ∴51,2N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 当N 点在x 轴上方时，点N '与51,2N ⎛⎫--⎪⎝⎭关于(4,0)A 对称， 则524(1),02N ⎛⎫⎛⎫'⨯---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即59,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭， 综上：存在一点51,2N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或59,2⎛⎫ ⎪⎝⎭使PMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形． ．【点睛】此题考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·合肥市第四十六中学九年级月考）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，5,3AB BC ==，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将BCP ∆沿CP 所在直线翻折，得到B CP '∆，连接B A '， 则下面结论错误的是（ ）A ．当AP BP =时，//AB CP 'B ．当AP BP =时，∠2B PC B AC ''=∠C ．当 CP AB ⊥时，175AP =D ．B A '长度的最小值是1【答案】C【分析】A ．根据折叠性质和三角形内角和定理可证∴AB´P=∴CPB´，从而可证//AB CP '；Ｂ．根据折叠性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知PA=PB=PC=PB´,A 、B 、C 、B´四点共圆，根据圆周角定理即可求出2B PC B AC ''∠=∠；C ．根据相似三角形的判定证得∴PAC∴∴CAB ，再根据相似三角形的对应边成比例求得AP 的值，即可判断175AP =错误； D. 根据两点之间线段最短，求得B A '长度的最小值，即可判断此结论正确．【详解】在∴ABC 中，∴ACB=90°， AP=BP ，∴AP=BP=CP ，∴BPC=()1180'2APB ︒-∠ 由折叠的性质可得CP=B´P ，∴ CPB´=∴BPC=()1180'2APB ︒-∠ ∴ AP=B´P ，∴∴AB´P =∴B´AP=()1180'2APB ︒-∠ ∴∴ AB´P=∴CPB´∴AB´ // CP故A 正确；∴AP=BP ，∴PA=PB´=PC=PB ，∴点A,B´，C ，B 在以点P 为圆心，PA 长为半径的圆上由折叠的性质可得BC=B´C，∴'BC B C=∴∴B´PC=2∴B´AC故B正确；当CP∴AB时，∴APC=∴ACB∴∴PAC=∴CAB∴∴PAC∴∴CAB∴AP AC AC AB=∴在Rt∴ABC中，4=∴AP=2165 ACAB=故C错误；由轴对称的性质可知：BC=CB´=3∴CB´长度固定不变，∴当AB´+CB´有最小值时，AB´的长度有最小值根据两点之间线段最短可知：当A、B´、C三点在一条直线上时，AB´有最小值，∴AB´=AC- B´C=4-3=1故D正确故选：C【点睛】本题考查折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆周角的定理，根据折叠性质得出相等的线段或相等的角是解决问题的关键．2．（2019·浙江杭州市·八年级期末）如图，已知：在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，BE 平分ABC ∠，交AC 于F ，且CE BE ⊥于点E ，BC 边上的中线AD 交BE 于G ，连接DE ，则下列结论正确的是（ ）①AG AF =；②DE AB ∥；③2BF CE =；④AB AF BC +>；⑤BG =A ．①②③④B ．①②③⑤C ．①②④⑤D ．②③④⑤【答案】B【分析】 过点F 作FP∴BC 于点P ，延长BA ，CE 交于点H ，通过证明∴AGF=∴AFG 判断①；再证明∴ABE=∴BED ，根据平行线的判定得到②；再通过证明证明∴ABF∴∴ACH 得到BF=CH ，从而证明∴HEB∴∴CEB ，得到CE=EH ，可判断③；证明Rt∴ABF∴Rt∴PBF ，得到AB+AF=BP+FP ，再通过说明∴FPC 是等腰直角三角形得到FP=CP ，即可判断④；最后证明∴ABF∴∴DBG ，得到BG 和BF 的比，利用BF 和CE 的关系判断⑤.【详解】解：过点F 作FP∴BC 于点P ，延长BA ，CE 交于点H ，∴BE 平分ABC ∠，ABC 为等腰直角三角形，D 为BC 中点，∴∴ABF=∴CBF=22.5°，AF=PF ，∴∴BGD=∴AGF=∴AFG ，∴AG=AF ，故①正确，∴∴BEC=90°，D 为BC 中点，∴DE=BD=CD ，∴∴BED=∴DBE=22.5°=∴ABE ，∴AB∴DE ，故②正确，∴∴CAH=∴BAF=∴BEC=90°，∴∴ACH+∴H=90°，∴ABF+∴H=90°，∴∴ACH=∴ABF ，在∴ABF 和∴ACH 中，===ABF ACH AB AC BAF CAH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴∴ABF∴∴ACH （ASA ），∴BF=CH ，∴BE 平分∴ABC ，∴∴HBE=∴CBE ，∴∴BEC=90°，∴∴BEC=∴BEH=90°，在∴HEB 和∴CEB 中，HBE CBE BE BEBEH BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∴HEB∴∴CEB （ASA ），∴CE=EH ，∴CH=2CE ，∴BF=2CE ，故③正确，在Rt∴ABF 和Rt∴PBF 中，==AF PF BF BF ⎧⎨⎩， ∴Rt∴ABF∴Rt∴PBF （HL ），∴AB=PB ，在∴PFC 中，∴BCF=45°，∴FPC=90°，∴FP=CP ，BP+CP=BP+FP=BC=AB+AF ，故④错误，∴∴ABG=∴CBG ，∴BAF=∴GDB=90°，∴∴ABF∴∴DBG ，∴=AB BF BD BG BG ， 又∴BF=2CE ，CE ，故⑤正确.故选B.【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，综合性较强，解题的关键是结合所学知识逐项判定各选项，并且利用已经证明的结论来证明未知的结论.二、填空题3．（2020·长沙市中雅培粹学校九年级月考）已知点(),A a b 是反比例函数()80y x x =>图象上的动点，AB x 轴，AC y ∥轴，分别交反比例函数()0ky x x =>的图象于点B 、C ，交坐标轴于D 、E ，且3AC CD =，连接BC .现有以下四个结论：①2k =；②在点A 运动过程中，ABC ∆的面积始终不变；③连接DE ，则BC DE ；④不存在点A ，使得ABC OED ∆∆∽.其中正确的结论的序号是__________．【答案】①②③【分析】①由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a 的代数式表示出来b ，并找出点C 坐标，根据AC=3CD ，即可得出关于k 的一元一次方程，解方程即可得出结论；②根据①得出A 、C 的坐标，由AB∴x 轴找出B 点的坐标，由此即可得出AB 、AC 的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论；③已知B(4a ,8a)，C(a,2a )，D(a,0)，E(0,8a )四点坐标，B 、C 、D 、E 四点坐标，经过B 、C 两点的直线斜率k 1=228824a a a a -=--，经过D 、E 两点的直线斜率k 2=28080a a a -=--，得出12k k =，即BC DE④先假设ABC OED ∆∆∽，得到对应边成比例AB AC OE OD =，列出关于a 的等式，看a 是否有解，即可求解．【详解】①∴A(a,b)，且A 在反比例函数()80y x x =>的图象上， ∴8b a= ∴AC∴y 轴，且C 在反比例函数()0k y x x =>的图象上， ∴C(a,k a) 又∴AC=3CD ，∴AD=4CD ，即84k a a=⋅ ∴k=2．故①正确 ②由①可知：A(a,8a )，C(a,2a ) ∴AB∴x 轴，∴B 点的纵坐标为8a， ∴点B 在反比例函数2y x =的函数图象上， ∴82a x =，解得：x=4a ， ∴点B(4a ,8a)，∴AB=a−4a =34a ，AC=8a −2a =6a ∴S=12AB×AC=12×34a ×6a =94∴在点A 运动过程中，∴ABC 面积不变，始终等于94故②正确③连接DE ，如图所示∴B(4a ,8a)，C(a,2a ) ∴经过B 、C 两点的直线斜率k 1=228824a a a a -=-- ∴AB x 轴，AC y ∥轴∴D(a,0)，E(0,8a) ∴经过D 、E 两点的直线斜率k 2=28080a a a-=-- ∴12k k =，即BC DE故③正确④假设ABC OED ∆∆∽ ∴AB AC OE OD= 234832a a AB a OE a-== 266AC a OD a a == ∴223632a a =解得a =∴当a =ABC OED ∆∆∽故④错误故答案为：①②③【点睛】本题是反比例函数的综合题目，考查了反比例函数性质，相似三角形的性质，一次函数斜率求法．4．（2019·武汉二中广雅中学八年级期中）如图1，矩形ABCD ，AB ＝4，BC＝ （1）直接写出：∠ABD ＝______度；（2）将矩形ABCD 沿BD 剪开得到两个三角形，按图2摆放：点A 与点C 重合，CD 落在AD′上，直接写出BD 与B′D′的关系：_____；（3）在图2的基础上将∠AB′D′向左平移，点B′与B重合停止，设AC＝x，两个三角形重合部分的封闭图形的周长为y，请用x表示y：____．【答案】60 BD=B′D′，BD∴B′D′8(043354(44)218(42631242x x xx xyx x xx x x⎧++≤-⎪⎪⎪-+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎪⎪+-<≤+⎪⎩＜【分析】（1）解直角三角形即可解决问题．（2）结论：BD∴B′D′，BD=B′D′．利用“8字型”证明∴DHD′=∴BAD=90°即可．（3）分四种情形①如图3-1中，当0＜x≤4时，重叠部分是四边形ACDH．②如图3-2中，当4＜x≤4时，重叠部分是五边形ACMNH ．③如图3-2中，当4＜x≤重叠部分是五边形ACMNH ．如图3-4中，当x ＜4+∴BB′H ．分别求解即可．【详解】解：（1）如图1中，∴四边形ABCD 是矩形，∴∴A=90°，AD=BC=∴tan∴ABD=4AD AB == ∴∴ABD=60°，故答案为：60．（2）结论：BD∴B′D′，BD=B′D′．理由：如图2中，延长BD 交D′B′于H ．∴∴B=∴D′，∴BDA=∴HDD′，∴∴BAD=∴DHD′=90°，∴BD∴B′D′．∴BD 与B′D′为矩形的对角线，则BD=B′D′；故答案为：BD=B′D′，BD∴B′D′．（3）①如图3-1中，当0＜x≤4时，重叠部分是四边形ACDH ，由题意：AB=x ，AH=3AB=4x ， ∴AH∴CD ， ∴AH BH CD BD=，∴4348BH -=，∴BH=8x -， ∴DH=8-（8）=3x ，=x+4+4=8x x +；②如图3-2中，当4＜x≤4时，重叠部分是五边形ACMNH ．11)(282)22y x x x x =+⨯+-++-+=34262x x x ++++++=542x -+；③如图3-3中，当4＜x≤AB′NH ．114(4)22y x=++=144222x x+++++=182x+；④如图3-4中，当4x<+≤∴BB′H．1[4([12y x=--•+(4)x=+•3122x=+；故答案为：8(0454(44)2318(42312422x x xx xyx x xx x x⎧++≤⎪⎪⎪-+-<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎪⎪+--≤+⎪⎩＜；【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平移变换，多边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．三、解答题5．（2020·温岭市实验学校九年级月考）如图1，在正方形ABCD中，AB= 8，点E在AC上，且AE= E点作EF∠AC于点E，交AB于点F，连接CF，DE．[问题发现]（1）线段DE与CF的数量关系是，直线DE与CF所夹锐角的度数是；[拓展探究]（2）当∠AEF绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；[解决问题]（3）在（2）的条件下，当点E到直线AD的距离为2时，请直接写出CF的长．【答案】（1）DE，45°．（2）成立．理由见解析；（3）【分析】（1）延长DE交CF的延长线于T，证明∴FAC∴∴EAD可得结论．（2）成立．如图2中，延长DE交CF于T，证明∴FAC∴∴EAD可得结论．（3）分两种情形分别画出图形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）延长DE 交CF 的延长线于T ．∴四边形ABCD 是正方形，∴∴DAC=∴CAF=45°，AD ，AE ， ∴AF AC AE AD= ∴∴FAC∴∴EAD ，∴.FC AF ED AE==∴ACF=∴ADE ，DE ，∴∴AED=∴CET ，∴∴T=∴EAD=45°，故答案为DE ，45°．（2）成立．理由：如图2中，延长DE 交CF 于T ．∴∴EAF=∴DAC=45°，∴∴DAE=∴CAF ，∴AF AC AE AD==， ∴∴AFC∴∴AED ，∴FC AC ED AD==，∴ACF=∴ADH ，DE ，∴∴AHD=∴THC ，∴∴CTD=∴DAH=45°．（3）如图3-1中，作EJ∴AF 于J ．，∴AEF=90°，EJ∴AF ，∴AF=4，FJ=JA=2，∴EJ=12AF=2， ∴点E 到直线AD 的距离为2，∴F ，A ，D 共线，CF ==如图3-2中，当点E 在直线AD 上方时，同法可得CF ==，综上所述，满足条件的CF 的值为【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．6．（2021·全国八年级）如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．（1）求k 、b 和m 的值；（2）求ADC ∆的面积；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使BCE ∆的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若动点P 在线段DA 上从点D 开始以每秒1个单位的速度向点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，清说明理由．【答案】（1）12k =，4b =，2m =；（2）6；（3存在，8(7E ，0)；（4）存在，6-4或2．【分析】 （1）利用待定系数法求解即可．（2）求出A ，D ，C 的坐标，利用三角形面积公式求解即可．（3）作点C 关于x 轴的对称点C′，连接BC′交x 轴于E ，连接EC ，则∴BCE 的周长最小．求出直线BC′的解析式，即可解决问题．（4）如图，由题意，分3种情形：当时，当P′C=P′A 时，当CA=CP 时，分别求解即可．【详解】解：（1）直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -， 51b ∴=+，4b ∴=，∴直线2:4l y x =-+，直线2:4l y x =-+经过点(2,)C m ，242m ∴=-+=，(2,2)C ∴，把(2,2)C 代入1y kx =+，得到12k =． 12k ∴=，4b =，2m =． （2）对于直线11:12l y x =+，令0y =，得到2x =-， (2,0)D ∴-，2OD ∴=，对于直线2:4l y x =-+，令0y =，得到4x =，(4,0)A ∴，4∴=OA ，6AD =，(2,2)C ，16262ADC S ∆∴=⨯⨯=． （3）作点C 关于x 轴的对称点C '，连接BC '交x 轴于E ，连接EC ，则BCE ∆的周长最小．(1,5)B -，(2,2)C ，∴直线BC 的解析式为7833y x =-+， 令0y =，得到87x =， 8(7E ∴，0)．（4）如图，由题意AC ==当AC AP ==6t =-当P C P A '='时，90AP C ∠'=︒，2AP '=，624t ∴=-=，当AC CP =时，(0,0)P ，此时2t =．综上所述，满足条件的t 的值为6-4或2．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。
中考数学专题复习讲座（二） ----规律探索性问题一.题型概述给出一列数字、等式或者一组图形，通过观察、分析、猜想、探索归纳其规律的一类题目就是规律与猜想的探究性试题，这类问题要求大家有较为敏锐的观察思考、分析、推理、演绎、归纳能力，从具体、特殊的事实中探究其存在的规律，把潜在的表面现象中的本质挖掘出来。
二．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。
例1. 有一组数：13,25579,,101726，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为 ．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+； 272411741⨯-=+； 219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+． 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2阅读下列材料：1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)，2×3 ＝31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________；(3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n [])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n[])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n )3)(2)(1(41+++=n n n n ． 解：（1）∵1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，… 10×11 ＝ 31(10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440． （2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260． 点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a , 那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空） 你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。
中考第二轮复习-----归纳、规律、猜想与说理型归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。
猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。
猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。
我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
一、归纳、规律与猜想1.如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ） A .28 B .56 C .60 D . 1242.如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．3、用等号或不等号填空：（1）比较2x 与x 2＋1的大小①当x ＝2时，2x x 2＋1；②当x ＝1时，2x x 2＋1；③当x ＝－1时，2x x 2＋1．（2）可以推测：当x 取任意实数时，2x x 2＋1． 4、观察下列分母有理化的计算：12121-=+，23231-=+，34341-=+，45451-=+…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2002)(200120021341231121(+++++++++ =＿＿＿＿。
5．(2010·福州)如图，直线y ＝3x ，点A 1坐标为(1,0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3，…，按此作法进行下去，点A 5的坐标为________．6．(2010·十堰)如图，n＋1个上底、两腰皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2的面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形P n M n N n N n＋1的面积为S n，通过逐一计算S1，S2，…，可得S n＝________.7．(2010·连云港)如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为34，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去，……利用这一图形，能直观地计算出34＋342＋343＋…34n＝________.8. 如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C∆的面积为1S，322B D C∆的面积为2S，…，1n n nB D C+∆的面积为nS，则2S= ；nS=____ （用含n的式子表示）．D4D3D2D1C5C4C3C2C1B54B3BB1A……9、阅读下列材料，按要求解答问题。
