2019年中考数学复习 专题复习(二)规律与猜想练习

2019年中考第二轮专题复习针对性强化训练--归纳猜想型问题归纳猜想型问题中考背景：归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。

这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。

1.有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为．2.观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×=×25；②×396=693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．3.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）A．50 B．64 C．68 D．724.在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是（）A．B．C．D．5.已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（）A．8048个B．4024个C．2012个D．1066个6.如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为．7.如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为．8.大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（）A．43 B．44 C．45 D．469.如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍，第n个半圆的面积为（结果保留π）10.如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点．11.长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n =3时，a的值为．12.边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）A ．B ．C ．D ．13.如图，将正△ABC 分割成m 个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n 个边长为1的小三角形，若2547 n m ，则△ABC 的边长是 ． 14.如图，直线y =x ，点A 1坐标为（1，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2，再过点A 2作x 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3，…按此作法进行去，点B n 的纵坐标为 （n 为正整数）．2019年中考第二轮专题复习针对性强化训练——归纳猜想型问题答案1.解：∵第1个多项式为：a1+b2×1，第2个多项式为：a2﹣b2×2，第3个多项式为：a3+b2×3，第4个多项式为：a4﹣b2×4，…∴第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n，∴第10个多项式为：a10﹣b20．故答案为：a10﹣b20．点评：此题考查的知识点是多项式，此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键．2.解：（1）①∵5+2=7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，∴52×275=572×25，②∵左边的三位数是396，∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，63×369=693×36；故答案为：①275，572；②63，36．（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，=（10a+b）（100b+10a+10b+a），=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）=（110a+11b）（10b+a），=11（10a+b）（10b+a），左边=右边，所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．点评：本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．3.解：第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有：2+（3×2）=8个五角星，第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星，…第n个图形一共有：1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n﹣1）=2[1+3+5+…+（2n﹣1）]，=[1+（2n﹣1）]×n=2n2，则第（6）个图形一共有：2×62=72个五角星；故选D．点评：本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．4.解：根据题意得：第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50，第三个灯的里程数为90米…第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米，故当n=14时候，40n﹣30=530米处是灯，则510米、520米、540米处均是树，故应该是树、树、灯、树，故选B．点评：本题考查了图形的变化类问题，解决本题的关键是从原图中找到规律，并利用规律解决问题．5.解：第1个图形，有4个直角三角形，第2个图形，有4个直角三角形，第3个图形，有8个直角三角形，第4个图形，有8个直角三角形，…，依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n 个，所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024．故选B．点评：本题主要考查了图形的变化，根据前几个图形的三角形的个数，观察出与序号的关系式解题的关键．6.解：∵2012是4的倍数，∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，∴A2012在x轴上方，横坐标为2，∵A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6，∴A12的纵坐标为2012×=1006．故答案为（2，1006）．点评：本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．7.解：∵正方形OABC边长为1，∴OB=，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1=2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2=2，B2点坐标为（﹣2，2），同理可知OB3=4，B3点坐标为（﹣4，0），B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），B6（8，﹣8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，16），由规律可以发现，每经过9次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2012÷9=223…5，∴B2012的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，∴B2012的坐标为（﹣21006，﹣21006）．故答案为（﹣21006，﹣21006）．点评：本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过9次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．8.解：∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…∴m3分裂后的第一个数是m（m﹣1）+1，共有m个奇数，∵45×（45﹣1）+1=1981，46×（46﹣1）+1=2071，∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，∴m=45．故选C．点评：本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．9.解：∵以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，∴第4个半圆的面积为：=8π，第3个半圆面积为：=2π，∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的=4倍；根据已知可得出第n个半圆的直径为：2n﹣1，则第n个半圆的半径为：=2n﹣2，第n个半圆的面积为：=22n﹣5π．故答案为：4，22n﹣5π．点评：此题主要考查了数字变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第n个半圆的直径为：2n﹣1是解题关键．10.解：如图所示：当滚动一个单位长度时E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，∵六边形ABCD是正六边形，∴∠A′F′G=30°，∴A′G=A′F′=，同理可得HD=，∴A′D=2，∵D（2，0）∴A′（2，2），OD=2，∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴从点（2，2）开始到点（45，2）正好滚动43个单位长度，∵=7…1，∴恰好滚动7周多一个，∴会过点（45，2）的是点B．故答案为：B．点评：本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边形的性质求出A′点的坐标是解答此题的关键．11.解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a，2a﹣20．此时，分两种情况：①如果20﹣a＞2a﹣20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20．则2a﹣20=（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得a=12；②如果20﹣a＜2a﹣20，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a．则20﹣a=（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得a=15．∴当n=3时，a的值为12或15．故答案为：12或15．点评：此题考查了折叠的性质与矩形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．12.解：连接AD、DF、DB，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC=∠BAF=∠∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，∵∠AFE=∠ABC=120°，∴∠AFD=∠ABD=90°，在Rt△ABD和RtAFD中∴Rt△△ABD≌Rt△AFD，∴∠BAD=∠F AD=×120°=60°∴∠F AD+∠AFE=60°+120°=180°，∴AD∥EF，∵G、I分别为AF、DE中点，∴GI∥EF∥AD，∴∠FGI=∠F AD=60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，∴∠EDM=60°=∠M，∴ED=EM，同理AF=QF，即AF=QF=EF=EM，∵等边三角形QKM的边长是a，∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，则FZ∥EN，∵EF∥GI，∴四边形FZNE是平行四边形，∴EF=ZN=a，∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已证），∴∠GFZ=30°，∴GZ=GF=a，同理IN=a，∴GI=a+a+a=a，即第一个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；同理第第二个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；同理第三个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；第四个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；第五个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，即第六个正六边形的边长是×a，故选A．点评：本题考查了正六边形、等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一定难度的题目．13.解：设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x﹣）=x ﹣1，∴黑色菱形的面积=（x﹣）（x﹣1）=（x﹣2）2，∴==，整理得，11x2﹣144x+144=0，解得x1=（不符合题意，舍去），x2=12，所以，△ABC的边长是12．故答案为：12．点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．14.解：∵B1，B2，B3，…，B n都在直线y=x上，∴B1，B2，B3，…，B n各点的横坐标与纵坐标相等，由A1（1，0），得B1（1，1），此时OB1=，可知，A2（，0），则B2（，），同理可得B3（2，2），…，则B n（，）．故答案为：（，）．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是明确直线y=x上点的横坐标与纵坐标相等特点，由易到难，由特殊到一般，得出规律．。

专题二规律探索与猜想一、选择题1．(2019长沙中考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为( C )A．24里 B．12里C．6里 D．3里2．(2019重庆中考B卷)下列图像都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为( B )A．116 B．144 C．145 D．1503．(2019自贡中考)填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律可求出m的值为( C )A．180 B．182C．184 D．1864．(2019武汉中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△A BC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( D ) A．4 B．5 C．6 D．75．(2019西宁中考)如图，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm 的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC—CB以每秒2 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列图像中能大致反映y与x之间的函数关系的是( A ),A) ,B),C) ,D)6．(2019湖州中考)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距5的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中(如图①)，从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形(如图②)，则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是( B )A．13 B．14 C．15 D．167．(2019连云港中考)如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；……按此规律运动到点A2 017处，则点A2 017与点A0间的距离是( A )A．4 B．2 3 C．2 D．08．(2019宁波中考)一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是( A )A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．(2019宁波中考)如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有__19__个黑色棋子．10．(2019滨州中考)观察下列各式：21×3＝11－13； 22×4＝12－14； 23×5＝13－15； ……请利用你所得结论，化简代数式：21×3＋22×4＋23×5＋…＋2n （n ＋2）(n≥3且为整数)，其结果为__3n 2＋5n2（n ＋1）（n ＋2）__．11．(2019安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点A 1，点A 2，A 3，…在直线l 上，点B 1，B 2，B 3，…在x 轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n －1B n 顶点B n 的横坐标为__2n ＋1－2__．12．(2019衢州中考)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限．△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B 的对应点的坐标是；翻滚2 017次后AB 中点M 经过的路径长为__⎭⎪⎫3＋896π__,.)三、解答题13．(2019郴州中考)如图①，△ABC 是边长为4 cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA ＝6 cm ，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1 cm/s 的速度运动，当D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.图①(1)求证：△CDE 是等边三角形；(2)如图②，当6＜t ＜10时，△BDE 周长是否在最小值？若存在，求出△BDE 的最小周长；若不存在，请说明理由．图②(3)如图③，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．图③解：(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；(2)存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，由(1)知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD＋4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2 3 cm，∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝23＋4；(3)存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠CDA＝∠CEB，∠CDE＝∠CDA＋∠BDE＝60°，则∠BDE＋∠CEB＝60°，又∠EDB＋∠DEC＋∠CEB＋∠DBE＝180°，∴∠DBE＝180°－60°－60°＝60°，即∠ABE＝60°，∠BDE＝60°，∴∠DEB可能为直角，由(1)可知，△CDE是等边三角形，∠DBE＝60°，∴∠CEB＝30°，则∠BED＝90°.∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°.∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA－DA＝6－4＝2，∴t＝2÷1＝2 s；③当6＜t＜10 s时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10 s时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由(1)知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14 cm，∴t＝14÷1＝14 s.综上所述，当t＝2或14 s时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形．14．(2019临沂中考)数学课上，张老师出示了问题：如图①，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BD，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图②，延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC＋CD.小亮展示了另一种正确的思路：如图③，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC＋CD.在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图④，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．(2)小华提出：如图⑤，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝α”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．解：(1)BC＋CD＝2AC.理由：如答图①，延长CD至E，使DE＝BC，连接AE.∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AB＝AD，∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝90°，∵∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠ACB＋∠ACD＝90°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE，BC ＝DE ，∴△A BC≌△ADE(SAS)，∴∠ACB ＝∠AED＝45°，AC ＝AE ， ∴△ACE 是等腰直角三角形， ∴CE ＝2AC ，∵CE ＝CD ＋DE ＝CD ＋BC ， ∴BC ＋CD ＝2AC ；(2)BC ＋CD ＝2AC·cos α. 理由：答如图②，延长CD 至E ，使DE ＝BC ，连接AE ， ∵∠ABD ＝∠ADB＝α，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝180°－∠ABD－∠ADB＝180°－2α， ∵∠ACB ＝∠ACD＝α， ∴∠ACB ＋∠ACD＝2α， ∴∠BAD ＋∠BCD＝180°， ∴∠ABC ＋∠ADC＝180°， ∵∠ADC ＋∠ADE＝180°， ∴∠ABC ＝∠ADE，在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS)， ∴∠ACB ＝∠AED＝α，AC ＝AE ， ∴∠AEC ＝α， 过点A 作AF⊥CE 于F ，∴CE ＝2CF ，在Rt △ACF 中，∠ACD ＝α，CF ＝AC·cos ∠ACD ＝AC·cos α， ∴CE ＝2CF ＝2AC·cos α， ∵CE ＝CD ＋DE ＝CD ＋BC ， ∴BC ＋CD ＝2AC·cos α.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，直线y x m =-+与()40ynx n n =+≠的交点的横坐标为2-，则关于x 的不等式40x m nx n -+>+>的整数解为（ ）.A ．1-B ．5-C ．4-D ．3-2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，S △ABC ＝15，DE ＝3，AB ＝6，则AC 的长是( )A.4B.5C.6D.73．甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A ，B 两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t ＝32或t ＝72，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数y ＝kx+b 与y ＝kbx在同一坐标系的图象可能是（ ）A. B.C. D.5．如图，是小明作线段AB的垂直平分线的作法及作图痕迹,则四边形ADBC一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定6．-4的倒数是( ).A．4 B．-4 C．14D．-147．如图，若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标都乘以﹣1，得到一组新的点，再依次连接这些点，所得图案与原图案关系为（）A.关于y轴对称B.关于x轴对称C.重合D.宽度不变，高度变为原来的一半8．由个大小相同的正方形搭成的几何体，被小颖拿掉两个后，得到如图所示的几何体，如图是原几何体的三视图，请你判断小颖拿掉的两个正方体原来放在（）A ．4号的左右B ．3号的前后C ．1号的前后D ．2号的前后9．如图，以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点E ，交AD 边于点F ，则sin ∠FCD ＝（ ）A ．34B ．35C ．45D ．10．如图，在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，10AB =，那么以A 为圆心、6为半径的⊙A 与直线BC 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定11．如图，在热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，热气球C 的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米B ．米C ．D ．1001)米12．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是____．14+1）0＝_____．15．在一次数学测试中 ，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2 ，则第六组的频数是_______．16．如图，点P 是第一象限内一点，OP=4，经过点P 的直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于点A 、点B ，若OP 平分∠AOB ，则11OA OB+=______．17．已知反比例函数y ＝的图象经过点（2，﹣1），则k ＝_____． 18．将数67500用科学记数法表示为____________． 三、解答题19．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为48°，测得底部C 处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD.（结果取整数，参考数据:tan58°≈1.60,tan48°≈1.11）.20．计算：011)6sin30-︒－21．如图1，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点．tanB ＝2．（1）求证：AD ＝AE ；（2）如图2．点P 在BE 上，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF ．线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？并说明理由；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC，上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？请在图3中补全图形，直接写出结论．22．图①、图②均为3×3的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，请在图①、图②中各画一个顶点在格点的三角形．要求：（1）所画的三角形为钝角三角形；（2倍；（3）图①、图②中所画的三角形不全等．23．某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为图①中m的值为；（2）本次调查获取的样本数据的众数为，中位数为；（3）求本次调查获取的样本数据平均数；（4）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．24．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：GD为⊙O切线；（2）求证：DE2=EF·AC；（3）若tan∠C=2，AB=5，求AE的长．25．在方程3523ax by ax by -=⎧⎨+=⎩ 中，如果121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩的值．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．3514．015．516．417．-218．46.7510⨯三、解答题19．乙建筑物的高度CD 约为38m.【解析】【分析】作AE ⊥CD 于E ，根据正切的定义分别求出CE 、DE ，得到答案．【详解】解：如图，作AE ⊥CD 交CD 的延长线于点E ，则四边形ABCE 是矩形.∴AE=BC=78在Rt△ACE中，tan58°=CE AE∴CE=AE ·tan58°≈78×1.60=124.8(m)在Rt△ADE中，tan48°=DE AE∴DE= AE ·tan48°≈78×1.11=86.58(m)∴CD=CE—DE=124.8—86.58≈38(m)即乙建筑物的高度CD约为38m.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．-1【解析】【分析】直接利用绝对值、算术平方根、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案.【详解】11)6sin30-︒－=1 1+2162--⨯=2-3=-1.【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.21．（1）见解析；（2）DF﹣EF，见解析；（3）①当EP在线段BC上时，有DF﹣EF，②当点F在PD上，DF+EF AF，③当点F在PD的延长线上，EF﹣DF AF，见解析.【解析】【分析】（1）首先根据∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证．（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GA⊥AF，交BD于G，通过证△AFE≌△AGD，来得到△AFG 是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证．（3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已．【详解】（1）证明：如图1中，∵tanB＝2，∴AE＝2BE；∵E是BC中点，∴BC＝2BE，即AE＝BC；又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD＝BC＝AE；（2）证明：作AG⊥AF，交DP于G；（如图2）∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DPC；∵∠AEP＝∠EFP＝90°，∴∠PEF+∠EPF＝∠PEF+∠AEF＝90°，即∠ADG＝∠AEF＝∠FPE；又∵AE＝AD，∠FAE＝∠GAD＝90°﹣∠EAG，∴△AFE≌△AGD，∴AF＝AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF＝DG；∴FG，且DF＝DG+GF＝EF+FG，故DF﹣EF AF；（3）解：如图3，①当EP在线段BC上时，有DF﹣EF AF，证明方法类似（2）．②如图3﹣1中，点F在PD上，DF+EF AF．理由：将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG∴△AEF≌△ADG，同（1）可得：DG＝EF，AG＝AF，GF，则EF+DF AF．③如图3﹣2，点F在PD的延长线上，EF﹣DF AF，证明方法类似（2）．【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，难度适中，正确地构造出全等三角形是解答此题的关键．22．见解析【解析】【分析】利用勾股定理作出符合条件的三角形三边，将原三角形扩大两倍即可【详解】解：如图所示；【点睛】此题考查勾股定理和作图-相似变换，解题关键在于掌握作图法则23．（1）40，25；（2）5，6；（3）平均数为5.8；（4）该校一周的课外阅读时间大于6h的学生共360人．【解析】【分析】（1）本次接受随机抽样调查的学生人数6÷15%＝40（人），10÷40＝25%，m＝25；（2）阅读5小时的人数最多，所以本次调查获取的样本数据的众数5，本次共调查40名同学，中位数为第20、21位同学的平均数，落在阅读6小时段内，中位数为6；（3）求本次调查获取的样本数据平均数64+125+106+87+48x==5.840⨯⨯⨯⨯⨯（小时）；（4）该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数：1200×（1﹣15%﹣30%﹣25%）＝360（人）．【详解】（1）本次接受随机抽样调查的学生人数6÷15%＝40（人），10÷40＝25%，m＝25，故答案为40，25；（2）阅读5小时的人数最多，所以本次调查获取的样本数据的众数5，本次共调查40名同学，中位数为第20、21位同学的平均数，刚好落在阅读6小时段内，因此中位数为6，故答案为5，6；（3）求本次调查获取的样本数据平均数64+125+106+87+48x==5.840⨯⨯⨯⨯⨯答：平均数为5.8；（4）该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数：1200×（1﹣15%﹣30%﹣25%）＝360（人），答：该校一周的课外阅读时间大于6h的学生共360人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=3.【解析】【分析】(1)欲证明FG 是⊙O 的切线，只要证明OD ⊥FG ；(2) 连接AD ，然后求证Rt △CDF ∽Rt △CAD,即可解答;（3）由题意得出∠ABC=∠C ，tan ∠ABC=tan ∠C=2AD BD=，根据直角三角形的三角函数得出CF=1，即可解答.【详解】解：（1）如答图1，连接OD ，∵OD=OB ，∴∠ODB=∠OBD ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ，∴∠ODB=∠C ，∴OD ∥AC ，∵DG ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴GD 为⊙O 切线；（2）如答图2，连接AD ，∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，即AD ⊥BC ，∵AB=AC ，∴CD=BD ，∠EAD=∠BAD ，∴BD=DE=CD ，∵DF ⊥AC ，∴CF=EF ，∵Rt △CDF ∽Rt △CAD ， ∴CD CF AC CD =，即CD 2=CF·AC， ∴DE 2=EF·AC；（3）如答图2，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ，tan ∠ABC=tan ∠C=2AD BD=，∵AB=5，∴Rt△CDF中，∵tan∠C=2，∴CF=1，由（2）知,，EF=CF，∴EF=CF=1，CE=2，所以AE=AC-CE=AB-CE=5-2=3．答图1 答图2【点睛】此题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角函数值的应用，解题关键在于作辅助线. 25．3【解析】【分析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值，即可确定出所求．【详解】解：把121xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩代入3523ax byax by-=⎧⎨+=⎩中得13523a ba b⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得41, ab=⎧⎨=⎩3.==【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞12B ．k≥12C ．k ＞12且k≠1D ．k≥12且k≠1 2．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），过（1，y 1）、（2，y 2）．下列结论：①若y 1＞0时，则a+b+c ＞0； ②若a ＝2b 时，则y 1＜y 2；③若y 1＜0，y 2＞0，且a+b ＜0，则a ＞0．其中正确的结论个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形4．关于反比例函数y ＝﹣，下列说法中正确的是（ ）A.它的图象位于一、三象限B.它的图象过点（﹣1，﹣3）C.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D.当x ＜0时，y 随x 的增大而减小5．下列运算正确的是（ ）A.624a a a -=B.235(a )a =C.235a a a ⋅=D.623a a a ÷=6．今年春节，我区某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D.7．如图，直径为单位1 的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A ，则点A 表示的数是（ ）A ．2BC ．πD ．48．在四边形ABCD 中，//,AB CD AB AD =，添加下列条件不能推得四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．AB CD = B ．//AD BC C ．BC CD = D ．AB BC =9．如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝4，D 为AB 的中点，点E ，F 分别在线段AD ，BC 上，且BF ＝2AE ，连结EF 交中线AD 于点G ，连结BG ，设AE ＝x （0＜x ＜2），△BEG 的面积为y ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．8y =x 2+2x B ．24y x =C ．22y x =+D ．2y =+10．如图是某款篮球架的示意图，已知底座BC ＝0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD ＝1.35米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE ＝60°，求篮框D 到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.26，（ ）A ．3.04B ．3.05C ．3.06D ．4.4011．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点A ，C 同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD 边上，请问它们第2015次相遇在（ ）边上．A.ADB.DCC.BCD.AB12．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，点E 是AB 边的中点，点M 是线段OB 上的一动点，点N 在线段OA 上，且∠MEN ＝90°，则cos ∠MNE 为（ ）A ．35B ．45C D ．5二、填空题 13．方程1322x x x+=--的解为__________． 14．如图，点A 是双曲线6y x=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰ABC △，且120ACB ∠=︒，点C 在第一象限，随着点A 的运动点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线ky x=上运动，则k 的值为________.15．一个多边形的内角和与外角和之差为720︒，则这个多边形的边数为______.16．已知直线a ∥b ，将一块含45°角的直角三角板（∠C ＝90°），按如图所示的位置摆放，若∠1＝55°，则∠2的度数为_____．17．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，a ∥b ，点B 在直线b 上，∠1=138°，则∠2=______度．18．“阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战．”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表．请你根据统计表中提供的信息，求出表中a 、b 的值：a ＝_____，b＝_____．三、解答题19．某景点的门票价格如表某校九年级（1）、（2）两班计划去春游该景点，其中（1）班人数少于40人，（2）班人数多于40人且少于80人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付838元：如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费570元（1）两个班各有多少名学生；（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，交BC 于点D．（1）求证：BE＝EF；（2）若DE＝4，DF＝3，求AF的长．21．解分式方程：7422xx x=---．22．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B．将线段AB沿数轴向右移动，移动后的线段记为A′B′，按要求完成下列各小题（1）若点A为数轴原点，点B表示的数是4，当点A′恰好是AB的中点时，数轴上点B′表示的数为．（2）设点A表示的数为m，点A′表示的数为n，当原点在线段A′B之间时，化简|m|+|n|+|m﹣n|．23．某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．请你根据以上的信息，回答下列问题：（1）被调查的学生中，最喜爱体育节目的有 人，这些学生数占被调查总人数的百分比为 %．（2）被调查学生的总数为 人，统计表中m 的值为 ，统计图中n 的值为 ． （3）在统计图中，E 类所对应扇形圆心角的度数为 ．（4）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数．24．111(9)(9)339x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦ 25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx k =+与双曲线4=y x（x>0）交于点1)（，Aa ．（1）求a ，k 的值；（2）已知直线l 过点(2,0)D 且平行于直线y kx k =+，点P （m ，n ）（m>3）是直线l 上一动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交双曲线4=y x（x>0）于点M 、N ，双曲线在点M 、N 之间的部分与线段PM 、PN 所围成的区域（不含边界）记为W ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当4m =时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内的整点个数不超过8个，结合图象，求m 的取值范围．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．52 x=14．215．816．80°17．1218．0.35三、解答题19．（1）九年级（1）班有39人，九年级（2）班有56人；（2）九年级（1）班节省了156元，九年级（2）班节省了112元．【解析】【分析】（1）设九年级（1）班有x人，九年级（2）班有y人，根据总价＝单价×数量结合“两班都以班为单位单独购票，则一共支付838元：如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费570元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省的总钱数＝每张票节省的钱数×人数，即可求出两个班各节约了多少钱．【详解】（1）设九年级（1）班有x人，九年级（2）班有y人，依题意，得：108838 6()570x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：3956 xy=⎧⎨=⎩．答：九年级（1）班有39人，九年级（2）班有56人．（2）（10﹣6）×39＝156（元），（8﹣6）×56＝112（元）．答：九年级（1）班节省了156元，九年级（2）班节省了112元．此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20．（1）见解析；（2）AF ＝214. 【解析】 【分析】（1）通过证明∠6=∠EBF 得到EB=EF ；（2）先证明△EBD ∽△EAB ，再利用相似比求出AE ，然后计算AE-EF 即可得到AF 的长． 【详解】（1）证明：∵AE 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠4， ∵∠1＝∠5， ∴∠4＝∠5， ∵BF 平分∠ABC ， ∴∠2＝∠3，∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5， 即∠6＝∠EBF ， ∴EB ＝EF ；（2）解：∵DE ＝4，DF ＝3， ∴BE ＝EF ＝DE+DF ＝7， ∵∠5＝∠4，∠BED ＝∠AEB ， ∴△EBD ∽△EAB ，BE DE EA BE ∴=，即74EA 7=， ∴EA ＝494， ∴AF ＝AE ﹣EF ＝4921744-=．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．【解析】【分析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：﹣x＝4x﹣8﹣7，移项合并得：5x＝15，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．（1）6；（2）﹣2m；2n﹣2m．【解析】【分析】（1）根据题意可知A′表示的数为2，根据AB的长度即可求解；（2）根据绝对值的定义，分情况讨论解答即可．【详解】（1）∵点B表示的数是4，当点A′恰好是AB的中点时，∴点A′表示的数为2，∴数轴上点B′表示的数为2+4＝6．故答案为：6；（2）①若点A'在原点的左侧，即m＜0，n＜0，|m|+|n|+|m﹣n|＝﹣m﹣n﹣m+n＝﹣2m；②若点A'在原点的右侧，即n＞0，|m|+|n|+|m﹣n|＝﹣m﹣n﹣m+n＝﹣m+n﹣m+n＝2n﹣2m．【点睛】本题考查数轴，有理数的加法等知识，解决此类题目时，能理解题意表示出各点表示的数是关键．23．（1）30，20；（2）150，45，36；（3）21.6°；（4）160【解析】【分析】（1）观察图表体育类型即可解决问题；（2）根据“总数＝B类型的人数÷B所占百分比”可得总数；用总数减去其他类型的人数，可得m的值；根据百分比＝所占人数/总人数可得n的值；（3）根据圆心角度数＝360°×所占百分比，计算即可；（4）用学生数乘以最喜爱新闻节目所占百分比可估计最喜爱新闻节目的学生数． 【详解】（1）最喜爱体育节目的有 30人，这些学生数占被调查总人数的百分比为 20%． 故答案为30，20；（2）总人数＝30÷20%＝150人， m ＝150﹣12﹣30﹣54﹣9＝45， n%＝54150×100%＝36%，即n ＝36， 故答案为150，45，36．（3）E 类所对应扇形的圆心角的度数＝360°×9150＝21.6°， 故答案为21.6°；（4）估计该校最喜爱新闻节目的学生数为2000×12150＝160人， 答：估计该校最喜爱新闻节目的学生数为160人． 【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24．x=0 【解析】 【分析】根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答. 【详解】111(9)(9)339x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦193(3)93x x x x --+=- 9299x x x --=- 60x =0x =【点睛】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解题步骤是关键.注意：单个的数字或字母去分母时不要漏乘.25．（1）4a =，=2k ；（2）① 3，② 3 4.5m <≤.【解析】 【分析】（1）将1)（，Aa 代入4=y x可求出a ，将A 点坐标代入y kx k =+可求出k ； （2）①根据题意画出函数图像，可直接写出区域W 内的整点个数；②求出直线l 的表达式为24y x =-，根据图像可得到两种极限情况，求出对应的m 的取值范围即可. 【详解】解：（1）将1)（，A a 代入4=y x得a=4 将14)（，A代入=4+k k ，得=2k （2）①区域W 内的整点个数是3②∵直线l 是过点(2,0)D 且平行于直线22y x =+ ∴直线l 的表达式为24y x =-当24=5-x 时，即=4.5x 线段PM 上有整点 ∴3 4.5m <≤【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及函数图像的交点问题，正确理解整点的定义并画出函数图像，运用数形结合的思想是解题关键.。

2019年中考数学探索规律题型专题复习一、选择题1.观察下列关于x的单项式,探究其规律:x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律,第2019个单项式是（）A.2019x2019B.4037x2018C.4037x2019D.4039x20192.如图,在平面直角坐标系中,A（1,1），B（-1,1），C（-1,-2），D（1,-2）.把一条长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A.（1,-1）B.（-1,1）C.（-1,-2）D.（1,-2）3.如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方1形重叠部分的面积之和是（）A.nB.n﹣1C.（）n﹣1D.n4.如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是 ( )A.y=2n＋1B.y=2n＋nC.y=2n＋1＋nD.y=2n＋n＋15.如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心在坐标原点0，点P从点B出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度运动，则第2018秒时，点P的坐标是( )A.(1，)B.(-1，-)C.(1，-)D. (-1，)6.在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)，我们把点P/(-y+1,x+1)叫做点P伴随点.已知点A的伴随点为A2，1点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，….若点A1的坐标为(2，4)，点A2017的坐标为( )A.(-3，3)B.(-2，-2)C.(3，-1)D.(2，4)7.如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2 018次运动后，动点的坐标是（）A.(2018，0)B.(2018，1)C.(2018，2)D.(2017，0)8.如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形AB1C1D1；把正方形A1B1C1D1边1长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此进行下去…，则正方形A n B n C n D n的面积为（）A.（）nB.5nC.5n﹣1D.5n+19.如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAAB的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正1方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（）A.（0，21008）B.（21008，21008）C.（21009，0）D.（21009，－21009）10.已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第5个数是( )A.-4955B.4955C.-4950D.495011.观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是（）A.36B.45C.55D.6612.根据如图所示的(1)，(2)，（3)三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是( )A．3n B．3n(n+1) C．6n D．6n(n+1)13.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（）A．3 B．6 C．4 D．214.观察算式，探究规律：当n=1时，S1=13=1=12；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，；…那么S n与n的关系为（）A． B． C． D．15.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，顺次连结各边中点得到四边形AB1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D11各边中点得到四边形A2B2C2D2…，依此类推，则四边形A7B7C7D7的周长为( )A.14B.10C.5D.2.5二、填空题16.将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是______．17.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 .18.用长度相等的小棒按一定规律摆成如图所示的图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有根小棒．（用含n的代数式表示）19.如图，动点P在坐标系中按图中所示箭头方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是．20.如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第n个四边形的周长为．21.如图，将△ABC第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连1结A1、B1、C1，得到△A1B1C1，第二次操作：分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连结A2、B2、C2，得到△A2B2C2…按此规律，若△A3B3C3的面积是686，则△ABC的面积为______．22.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，则a n=______．23.如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OAB1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B21变换成△OA3B3，已知A(1,3)，A1(2,3),A2(3,3),A3(4,3),B(2,0)，B1(4,0)，B2(8,0)，B3(16,0).(1)仔细观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律，按此变换规律将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是_________,B4的坐标是_________.(2)若按第(1)题的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA n B n,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测：A n的坐标是_________，B n的坐标是_________ .24.如图,在平面直角坐标系中,点A，A2，A3，…，A n在x轴的正半轴上,且OA1=2，OA2=2OA1，OA3=2OA2，…,1OA n=2OA n﹣1，点B1，B2，B3，…，B n在第一象限的角平分线l上，且A1B1，A2B2，…，A n B n都与射线l垂直，则B1的坐标是，B3的坐标是，B n的坐标是．25.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4,以AC为斜边作Rt△ACC1,使∠CAC1=30°,Rt△ACC1的面积为S1；再以AC1为斜边作△AC1C2，使∠C1AC2=30°，Rt△AC1C2的面积记为S2，…，以此类推，则S n= （用含n的式子表示）26.观察下列算式，你发现了什么规律？12=；12+22=；12+22+32=；12+22+32+42=；…①根据你发现的规律，计算下面算式的值；12+22+32+42+52= ；②请用一个含n的算式表示这个规律：12+22+32…+n2= ；③根据你发现的规律，计算下面算式的值：512+522+…+992+1002= ．27.正整数按如图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字．28.已知，如图，∠MON=45°，OA=1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记1作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长C n= ．29.设,,,…,设，则S=_________ (用含n的代数式表示，n为正整数)．30.即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,用来记录采集到的野果数量,由图可知,她一共采集到的野果数量为个.答案1.C.2.B3.B；4.B；解析：∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y=2n＋n.5.D；6.D7.A8.B；9.B；10.B11.B;解：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．12.B13.D14.C15.D.16.答案为：4n+1．17.答案为：9n＋3.18.答案为：5n+1；19.答案为：（2018，0）；20.答案为：4（）n．21.答案为：2．22.答案为：（）n﹣1．23.答案为：⑴(5,3)；（32，0）;⑵（n+1,0）；24.答案为：（1，1）, （4，4）. （2n﹣1，2n﹣1）25.解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=0.5AB=2，∴AC=BC=2，∴S△ABC=0.5•BC•AC=2，在△ABC1中，∵∠CAC1=30°，∴CC1═0.5AC=，∵∠BAC=∠CAC1，∠ACB=∠AC1C=90°，∴△ACB∽△AC1C，∴=（）2=（）2=，∴S1=•S△ABC，同理可得，S2=•S1=（）2•S△ABC，S3=（）3•S△ABC，…根据此规律可得，S n=（）n•S△ABC=，故答案为．26.答案为：（1）；（2）；（3）295425；27.答案为：420；28.答案为：2n+1．29.答案为：．30.答案为:1946.解析：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1946.第11 页共11 页。

第二部分 热点专题突破专题一 规 律 探 究数式的规律探究例1 (2018，安徽改编)观察以下等式：第1个等式：11＋02＋11×02＝1， 第2个等式：12＋13＋12×13＝1， 第3个等式：13＋24＋13×24＝1， 第4个等式：14＋35＋14×35＝1， 第5个等式：15＋46＋15×46＝1， ……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：（ 16＋57＋16×57＝1 ）； (2)写出第n 个等式：（ 1n ＋n －1n ＋1＋1n ·n －1n ＋1＝1 ）.(用含n 的等式表示) 【解析】 (1)根据已知规律，第6个等式中的分数的分母分别为6和7，分子分别为1和5.故应填16＋57＋16×57＝1.(2)根据规律，得第n 个等式中的分数的分母分别为n 和n ＋1，分子分别为1和n －1.故应填1n ＋n －1n ＋1＋1n ·n －1n ＋1＝1. 针对训练1 (2018，随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10，…)和“正方形数”(如1，4，9，16，…)．在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m ，最大的“正方形数”为n ，则m ＋n 的值为( C )训练1题图A. 33B. 301C. 386D. 571【解析】 由图形，知第k 个“三角形数”为1＋2＋3＋…＋k ＝k （k ＋1）2，第k 个“正方形数”为k 2.当k ＝19时，k （k ＋1）2＝190＜200，当k ＝20时，k （k ＋1）2＝210＞200，所以最大的“三角形数”m ＝190.当k ＝14时，k 2＝196＜200，当k ＝15时，k 2＝225＞200，所以最大的“正方形数”n ＝196.∴m ＋n ＝386.针对训练2 (2014，河北)如图，点O ，A 在数轴上表示的数分别是0，0.1.训练2题图将线段OA 分成100等份，其分点由左向右依次为M 1，M 2，…，M 99；再将线段OM 1分成100等份，其分点由左向右依次为N 1，N 2，…，N 99；继续将线段ON 1分成100等份，其分点由左向右依次为P 1，P 2，…，P 99.则点P 37所表示的数用科学记数法表示为3.7×10－6.【解析】 由题意，得点M 1表示的数为0.1×1100＝10－3.∴点N 1表示的数为10－3×1100＝10－5.∴点P 1表示的数为10－5×1100＝10－7.∴点P 37表示的数为3.7×10－6.图形的规律探究例2 (2015，河北，导学号5892921)如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1.按下列要求画图：以点A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以点A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以点A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝ 9 .例2题图【解析】 由题意，得AO ＝A 1A ，A 1A ＝A 2A 1，….∴∠AOA 1＝∠OA 1A ，∠A 1AA 2＝∠A 1A 2A ，….∵∠BOC ＝9°，∴∠A 1AA 2＝18°，∠A 2A 1A 3＝27°，∠A 3A 2A 4＝36°，∠A 4A 3A 5＝45°，…，∠A n －1A n －2A n ＝n ·9°.在△A n －1A n －2A n 中，2n ·9°<180°，解得n <10.∴n 最大取9.针对训练3 将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割……则第n 个图形中，共有 (3n －2) 个正六边形．训练3题图【解析】 分析可得将题图①所示的正六边形进行分割得到题图②，增加了3个正六边形，共4个；再将题图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到题图③，又增加了3个正六边形，共4＋3＝7(个)．故每次分割，都增加3个正六边形．故第n 个图形中，正六边形共有1＋3(n －1)＝3n －2(个).针对训练4 (2018，保定模拟，导学号5892921)如图，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，垂足为D 0，过点D 0作D 0D 1⊥AB ，垂足为D 1，再过点D 1作D 1D 2⊥AD 0，垂足为D 2，又过点D 2作D 2D 3⊥AB ，垂足为D 3……这样一直作下去，得到一组线段：D 0D 1，D 1D 2，D 2D 3，…，则线段D 1D 2的长为（ 34 ），线段D n －1D n 的长为（ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n） (n 为正整数)．训练4题图【解析】 ∵△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，∴BD 0＝1，∠B ＝60°.∵D 0D 1⊥AB ，∴∠D 1D 0B ＝30°.∴D 0D 1＝BD 0·cos ∠D 1D 0B ＝32.同理∠D 0D 1D 2＝30°，D 1D 2＝D 1D 0·cos ∠D 0D 1D 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34.依此类推，线段D n －1D n 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫32n. 针对训练5 (2018，承德模拟，导学号5892921)如图，在矩形ABCD 中，M 为CD 的中点，连接AM ，BM ，分别取AM ，BM 的中点P ，Q ，以P ，Q 为顶点作第二个矩形PSRQ ，使S ，R 在AB 上．在矩形PSRQ 中，重复以上的步骤继续画图．若AM ⊥MB ，矩形ABCD 的周长为30.(1)CD ＝ 10 ；(2)第n 个矩形的长和宽分别是（ 10×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ）．训练5题图【解析】 (1)∵M 为CD 的中点，∴DM ＝MC .在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，∠D ＝∠C ，∴△ADM ≌△BCM .∴∠DMA ＝∠CMB .∵AM ⊥MB ，∴∠DMA ＝∠CMB ＝45°.∴∠DAM ＝∠DMA ＝45°.∴AD ＝DM ＝12CD .∵矩形ABCD 的周长为30，∴CD ＝10.(2)由(1)求得第一个矩形的长为10，宽为5.∵P ，Q 分别是AM ，BM 的中点，∴之后得到的矩形长、宽和前一个矩形长、宽的比为1∶2.则可得出第n 个矩形的长和宽分别是10×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.数形结合的 规律探究例3 (2018，石家庄模拟，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy 中，若干个半径为1个单位长度，圆心角是60°的扇形按图中的方式摆放，动点K 从原点O 出发，沿着“半径OA →AB →BC →半径CD →半径DE …”的曲线运动．若点K 在线段上运动的速度为每秒1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒π3个单位长度，设第n s 运动到点K n (n 为自然数)，则K 3的坐标是（ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32 ），K 2 018的坐标是 (1_009，0) ．例3题图【解析】 观察，发现规律：K 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，K 2(1，0)，K 3⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，K 4(2，0)，K 5⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，…，∴K 4n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋12，32，K 4n ＋2(2n ＋1，0)，K 4n ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋32，－32，K 4n ＋4(2n ＋2，0)．∵2 018＝4×504＋2，∴K 2 018的坐标为(1 009，0).针对训练6 (2018，广州，导学号5892921)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1 m ．其行走路线如图所示，第1次移动到点A 1，第2次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则△OA 2A 2 018的面积是( A )训练6题图A. 504 m 2B. 1 0092 m 2C. 1 0112m 2 D. 1 009 m 2 【解析】 由题意，知A 2(1，1)，A 4(2，0)，A 8(4，0)，A 12(6，0)，…，∴A 4n (2n ，0)．∵2 016＝4×504，∴A 2 016(1 008，0)．∴A 2 018(1 009，1)．∴A 2A 2 018＝1 009－1＝1 008.∴02 2 18OA A S ＝12×1×1 008＝504(m 2). 针对训练7 (2018，潍坊，导学号5892921)如图，点A 1的坐标为(2，0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线l ：y ＝3x 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 3……按此作法进行下去，则弧A 2 019B 2 018的长是（ 22 019π3 ）.训练7题图【解析】 根据已知条件可知∠A 1OB 1＝60°，点B 1的坐标为(2，23)．∵OA 2＝OB 1，∴OA 2＝22＋（23）2＝4.∴点A 2的坐标为(4，0)．利用这种方法可求得点B 2的坐标为(4，43)，故点A 3的坐标为(8，0)，B 3(8，83)．以此类推便可求出点A 2 019的坐标为(22 019，0)，则弧A 2 019B 2 018的长是60π·22 019180＝22 019π3.。

2019年北京市中考数学复习 专项《规律猜想型问题》精练解析卷一、选择题1. （2018北京平谷区第一学期期末）8．如图，在平面直角坐标系中，点A （1,1），B （﹣1,1），C （﹣1,﹣2），D （1,﹣2），按A →B →C →D →A …排列，则第2018个点所在的坐标是 （A ）（1,1）（B ）（﹣1,1） （C ）（﹣1,﹣2）（D ）（1,﹣2）答案：B2. （2018北京市顺义区八年级期末）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算 21=2 22=4 23=8 (31)=3 32=9 33=27 … 新运算log 22=1log 24=2log 28=3…log 33=1log 39=2log 327=3…根据上表规律，某同学写出了三个式子： ①log 216=4，②log 525=5，③log212=﹣1．其中正确的是 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案：B3、(2018北京昌平区初一第一学期期末)下列图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根小木棒，图案①需15根小木棒，……，按此规律，图案①需小木棒的根数是A ．49B ．50C ．55D ．56 答案：B4、（2018北京东城区初一第一学期期末）找出以如图形变化的规律，则第101个图形中黑色正方形的数量是A ．149B ．150C ．151D ．152答案：D① ② ③……5、（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n (n 为正整数)个图形中共有的点数是 A ．65n + B .5nC .()561n +-D .51n +答案：C6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）用火柴棍按如图所示的方式摆大小不同的“E ”，依此规律，摆出第n 个“E ”需要火柴棍的根数是A. 2n ＋3B. 4n ＋1C. 3n ＋5D. 3n ＋2 答案B二、填空题7．（2018北京市平谷区初二期末）如图，△A 1OM 是腰长为1的等腰直角三角形，以A 1M 为一边，作A 1A 2⊥A 1M ，且A 1A 2=1，连接A 2M ，再以A 2M 为一边，作A 2A 3⊥A 2M ，且A 2A 3=1，则A 1M =_________，照此规律操作下去...则A n M =___________.解：2；1+n8.（2018北京延庆区八年级第一学区期末）如图，OP =1，过P 作OP PP ⊥1且11=PP ，根据勾股定理，得21=OP ；再过1P 作121OP P P ⊥且21P P=1，得32=OP ；又过2P 作232OP P P ⊥且132=P P ，得 =3OP 2；…依此继续，得=2018OP ，=n OP （n 为自然数，且n ＞0）答案：1n ,2019+9、（2018北京平谷区初一第一学期期末）16.一只小球落在数轴上的某点0p ，第一次从0p 向左跳1个单位到1p ，第二次从1p 向右跳2个单位到2p ，第三次从2p 向左跳3个单位到3p ，第四次从3p 向右跳4个单位到4p ..., 若小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点6p 所表示的数是；若小球按以上规律第1个第2个第3个…P 4P 3P 2PP 1O跳了2n 次时，它落在数轴上的点n p 2所表示的数恰好是n +2，则这只小球的初始位置点0p 所表示的数是． 答案：3；210、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形,设每边长为4a ，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a 的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化， 得到图形如图（3），称为第二次变化.如此 连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花 图案．如不断发展下去到第n 次变化时，图 形的面积是否会变化，________（填写“会” 或者“不会”），图形的周长为. 答案：不会；42n a +.11. （2018北京燕山地区一模）如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个 答案：5 个12、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点1A ，第2次从点1A 向右移动6个单位长度至点2A ，第3次从点2A 向左移动9个单位长度至点3A，…，按照这种移动方式进行下去，点4A 表示的数是 ，如果点nA 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ． 三、解答题13、（2018北京延庆区初一第一学期期末）阅读材料．我们知道，1+2+3+…+n =2)1(+n n ，那么12+22+32+…+n 2结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n 行n 个圆圈中数的和为n+n+n+…+n ，即n 2．这样，该三角形数阵中共有2)1(+n n 个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n 2．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n ﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n ﹣1，2，n ），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n 2）= ，因此，12+22+32+…+n 2= ．【解决问题】根据以上发现，计算：10...32110 (3212)222++++++++的结果为 ．第二次变化第一次变化(3)(2)(1)答案28．2n+1…………………………………1分2)1 2)(1(++nnn…………………………………2分6)1 2)(1(++nnn……………………3分14、（2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）（2018北京延庆区八年级第一学区期末）如图所示，将矩形纸片先沿虚线按箭头方向向右对折，对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是A. B. C. D.答案：D。

解题策略此专题多用数形结合法，通过题目中给出的图形总结规律，用代数量化出结果．此专题有一定的难度．,重难点突破)数式规律【例1】(安徽中考)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x ，y ，z 表示这列数中的连续三个数，猜想x ，y ，z 满足的关系式是________．【解析】首项判断出这列数中，2的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数满足的规律．【答案】xy ＝z1．(临沂中考)观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…，按照上述规律，第2 016个单项式是( D )A ．2 015x 2 015B ．4 029x 2 014C ．4 029x 2 015D ．4 031x 2 0162．(张家口一模)任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]＝4，[3]＝1，现对72进行如下操作：72→[72]＝8→[8]＝2→[2]＝1，这样对72只需要进行3次操作后变为1，类似地，对数字900进行了n 次操作后变为1，那么n 的值为( B )A ．3B ．4C ．5D ．63．(廊坊一模)一组数1，1，2，x ，5，y ，…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数是( A )A ．8B ．9C ．13D ．154．(邵阳中考)如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是( B )A ．y ＝2n ＋1B ．y ＝2n＋nC ．y ＝2n ＋1＋nD ．y ＝2n＋n ＋1 【方法指导】对于数式规律问题，应先将已知的几个数，分别写成与序号有关的式子，再观察所得式子，找出规律，最后应用规律解决问题．图形规律【例2】(2019石家庄四十三中二模)如图，已知∠AOB＝80°，在射线OA ，OB 上分别取点A 1，B 1，使得OA 1＝OB 1，连接A 1B 1，在A 1B 1，B 1B 上分别取点A 2，B 2，使得B 1A 2＝B 1B 2，连接A 2B 2，……，按此规律下去，设∠B 1A 2B 2＝θ1，∠B 2A 3B 3＝θ2，……，∠B n A n ＋1B n ＋1＝θn ，则θ10＝________．【解析】先用含n 的代数式表示∠B n A n ＋1B n ＋1，再将n ＝10代入求解，注意等腰三角形性质的应用．【答案】50°2105．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n 个图形中小正方形的个数是( C )A ．(2n ＋1)个B ．(n 2－1)个C ．(n 2＋2n)个 D ．(5n －2)个6．(重庆中考)观察下列一组图形，其中图①中共有2颗星，图②中共有6颗星，图③中共有11颗星，图④中共有17颗星，……，按此规律，图⑧中星星的颗数是( C )A ．43颗B ．45颗C ．51颗D ．53颗 【方法指导】对于图形递变规律，应先分析已知图形，分别得到n ＝1，2，3，4时，所求量(角度、线段长、图形个数)与n 的关系，再列出关于n 的代数式．坐标规律【例3】(内江中考)一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……，则正方形A 2 016B 2 016C 2 016D 2 016的边长是( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫122 015B.⎝ ⎛⎭⎪⎫122 016C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33 2 016D.⎝ ⎛⎭⎪⎫33 2 015 【解析】易知△B 2C 2E 2∽△C 1D 1E 1，∴B 2C 2C 1D 1＝B 2E 2C 1E 1＝D 1E 1C 1E 1＝tan30°，∴B 2C 2＝C 1D 1·tan30°＝33，∴C 2D 2＝33.同理，B 3C 3＝C 2D 2·tan30°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332；由此猜想B n C n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33n －1.当n ＝2 016时，B 2 016C 2 016＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33 2 015. 【答案】D7．(河南中考)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，……，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第 2015秒时，点P 的坐标是( B )A ．(2 014，0)B ．(2 015，－1)C．(2 015，1) D．(2 016，0)【方法指导】求几何图形的边长(周长)：①求出第一次变化前图形的边长(或周长)；②计算第一次、第二次、第三次、第四次(所给出的图形)变化后的边长(或周长)，归纳出第n次变化后的边长(或周长)与变化次数n的关系式；③代入所给图形中的某一个变化次数验证所归纳的关系式．教后反思_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列计算中，正确的是（ ） A ．a 6÷a 2＝a 3 B ．（a+1）2＝a 2+1 C ．（﹣a ）3＝﹣a 3D ．（ab 3）2＝a 2b 52．下列选项中，可以用来证明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b“是假命题的反例是（ ） A ．a ＝﹣2，b ＝1B ．a ＝3，b ＝﹣2C ．a ＝0，b ＝1D ．a ＝2，b ＝13．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同．设二、三月份利润的月增长率x ，那么x 满足的方程为（ ） A ．10（1+x ）2＝42 B ．10+10（1+x ）2＝42C ．10+10（1+x ）+10（1+2x ）＝42D ．10+10（1+x ）+10（1+x ）2＝42 4．下列代数运算正确的是（ ） A ．x 3•x 2＝x 5 B ．（x 3）2＝x 5 C ．（3x ）2＝3x 2D ．（x ﹣1）2＝x 2﹣15．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度h （米）与所经过的时间t （秒）之间的关系为2110(014)2h t t t =-≤≤. 若存在两个不同的t 的值，使足球离地面的高度均为a （米），则a 的取值范围（ ） A ．042a ≤≤B ．050a ≤<C ．4250a ≤<D ．4250a ≤≤6．已知x ，y 满足方程组24342x y x y +=⎧⎨-=⎩，则2x y -的值为A ．3B ．4C ．7-D ．17-7．设函数ky x=（0k ≠，0x >）的图象如图所示，若1z y =，则z 关于x 的函数图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．8．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为( )A. B. C. D.9．据统计，2018年中国粮食总产量达到657900 000吨，数657900 000用科学记数法表示为( ) A ．6.579×107B ．6.579×108C ．6.579×109D ．6.579×101010．如图，在数轴上，点A 表示的数是2，△OAB 是Rt △，∠OAB ＝90°，AB ＝1，现以点O 为圆心，线段OB 长为半径画弧，交数轴负半轴于点C ，则点C 表示的实数是( )A B C ．﹣3D ．﹣11．如表是小明同学参加“一分钟汉字听写”训练近6次的成绩：则这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A ．245个、244个 B ．244个、244个 C ．244个、241.5个D ．243个、244个12．一个直角三角形两边长分别为3和4，则它的面积为( )A ．6B ．12C ．6或10D ．6或2二、填空题13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是_____．14．如果一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是________边形.15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则下列结论：①△ADF ≌△FEC ；②四边形ADEF 为菱形；③:1:4ADF ABC S S ∆∆=。

针对九年级数学专题复习规律与猜想试题2019 最让我快乐的是什么?是假期，接下来看看查字典数学网为大家推荐的九年级数学专题复习规律与猜想试题，即使在家里也能快乐的学习呀!类型之一数式的变化规律例1 (2019安徽)观察下列关于自然数的等式：32-412=552-422=972-432=13根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92-4( )2=((2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示) ，并验证其正确性.【思路点拨】(1)从等式的结构看，等于号的左边第一项的底数依次增大2，第二项的底数依次增大1，等于号的右边依次增大4.依次规律就可写出第四个等式;(2)先根据分析的规律用含n的等式表示出第n个等式，然后将等号的一边经过整理与另一边相同.【解答】(1)4，17.(2)(2n+1)2-4n2=4n+1.验证：∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边，等式成立.方法归纳：探究等式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中变与不变的部分;二是分析出变的规律即等式的个数之间存在的规律.1.(2019东营)将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行，第一列，与有序数对(2，1)对应;数5与( 1，3)对应;数14与(3，4)对应;根据这一规律，数2 014对应的有序数对为 .2.(2019菏泽)下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n行(n是整数，且n3)从左至右数第n-2个数是 (用含n的代数式表示).3.(2019滨州)计算下列各式的值：观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得 = .4.(2019巴中)如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为杨辉三角.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!杨辉三角中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n(n为非负整数)的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数.例如，(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字;再如，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出(a-b)4的展开式为 .5.(2019黄石)观察下列等式：第一个等式：a1= = -第二个等式：a2= = -第三个等式：a3= = -第四个等式：a4= =1 -按上述规律，回答以下问题：用含n的代数式表示第n个等式：an= =式子a1+a2+a3++a20= .6.(2019烟台)将一组数，，3,2 , ,，3 ，按下面的方法进行排列：若2 的位置记为(1，4)，2 的位置记为 (2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( )A.(5，2)B.(5，3)C.(6，2)D.(6，5)类型之二图形的变化规律例2 (2019金华)一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接.(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人?(2)若有餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张? 【思路点拨】由拼图可知，每多拼一张餐桌，可坐的人数就增多4人，依次规律可探究出餐桌的个数与可坐人数之间的关系.从而就可解决问题.【解答】(1)根据图中的规律我们可以发现，每多拼接一张餐桌，可坐的人数就增多4人.即：拼接x张餐桌可以就餐的人数为：6+4(x-1)=4x+2(人). 所以，拼4张可以坐44+2=18(人)，拼8张可以坐48+2=34(人).(2)由题意可知4x+2=90.解得x=22.答：这样的餐桌需要拼接22张.方法归纳：当图形在变换时，图形的个数与对应的另一个变换的量的关系很难直接观察出规律时，可以通过建立这两个变量之间的函数关系，利用已知的几对对应值求出函数关系式，然后去论证.1.(2019重庆A卷)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为( )A.20B.27C.35D.402.(2019武汉)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图片共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，按此规律第5个图中共有点的个数是( )A.31B.46C.51D.663.(2019重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A.22B.24C.26D.284.(2019宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2，,An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A.nB.n-1C.( )n-1D. n5.(2019鄂州)如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b,且ACBD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的是( ) ①四边形A4B4C4D4是菱形;②四边形A3B3C3D3是矩形;③四边形A7B7C7D7周长为;④四边形AnBnCnDn面积为 .A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④6.(2019内江)如图，已知A1、A2、、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3==AnAn+1=1，分别过点A1、A2、、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、、Pn，△A1B1P1、△A2B2P2、、△AnBnPn的面积依次为S1、S2、、Sn，则Sn为( )A. B. C. D.7.(2019内江)如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2 014个图形是 .8.(2019娄底)如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，，则第n(n为正整数)个图案由个▲组成.9.(2019盐城)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，，Sn，则Sn的值为 .(用含n的代数式表示，n为正整数)类型之三点的坐标的变化规律例3 (2019泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去，若点A( ,0),B(0,4),则点B2 014的横坐标为 .【思路点拨】先根据勾股定理求出AB的长度，再根据第4个图形与第1个图形的位置相同，可知每三个三角形为一个循环依次循环，然后求出每个循环组中B点坐标的变化规律即可.【解答】由题意可得：∵AO= ，BO=4，AB= ，OA+AB1+B1C2= + +4=6+4=10，B2的横坐标为10，B4的横坐标为210=20，点B2 014的横坐标为： 10 =10 070.故答案为：10 070.方法归纳：由于图形在坐标系中的运动而导致的点的坐标的变化情况，先应该分析图形的运动规律，然后结合点在图形中的位置找出点的坐标的变化规律.1.如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形.若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2 014的坐标为 .2.(2019湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，，顶点依次用A1、A2、A3、A4、表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、均相距一个单位，则顶点A3的坐标是，A22的坐标是 .3.(2019孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置.点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是 .4.(2019德州)如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1，A2，A3，An ，.将抛物线y=x2沿直线l：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，Mn，都在直线l：y=x上;②抛物线依次经过点A1，A2，A3，An，.则顶点M2 014的坐标为 .查字典数学网为大家推荐的九年级数学专题复习规律与猜想试题，.还满意吗?相信大家都会仔细阅读，加油哦!。