2-3-4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)

2．用空间向量解决立体几何问题的步骤 (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉 及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它 们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
题型一 求空间平面的法向量 【例 1】 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点，求平面 EFBD 的一个法向量．
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名师点睛 1．求平面法向量的步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标 系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： 设平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，1，1)， b c b＝(a2，b2，c2)；
(2)根据法向量的定义建立关于 x、y、z
同理设平面 EGF 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， → n2·EF＝0 y2＋z2＝0， 由 ⇔ → n ·EG＝0 x2＋y2＋z2＝0， 2 令 y2＝1 可得：x2＝0，z2＝－1， ∴n2＝(0，1，－1)， ∴n1＝n2⇒n1∥n2， ∴平面 EGF∥平面 ABD. 方法点评 利用等价转化思想将立体几何问题转化为空间向量 的坐标运算，大大降低了思维的难度，同学们只要运算仔细就 可以了，这种思想的运用必须掌握好．
证明
法一 如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则有 D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1， 2，0)． → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， → → → → ∴A1P·DM＝0，A1P·DN＝0. ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN， 又 DM∩DN＝D， ∴A1P⊥平面 DMN.
x－2y－4z＝0， 令 2x－4y－3z＝0，
y＝1，则 x＝2，z＝0.
∴平面 α 的一个法向量是 n＝(2，1，0)．
题型二 用向量证明平行问题 【例 2】 如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝4，AD ＝3，AA1＝2，P、Q、R、S 分别是 AA1、D1C1、AB、CC1 的中 点，证明：PQ∥RS.
a⊥b
⇔
a· b＝0
(2)线面垂直 设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面α 的法向量是 v ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔ u∥v ⇔ u＝λv a1 b1 c1 ⇔a ＝ b ＝c (a2b2c2≠0)． 2 2 2 (3)面面垂直 若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2， v＝0 ⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ． b ， )， α⊥β ⇔ u⊥v ⇔ u· c 则
【示例】 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ABC＝90°，BA＝BC ＝2，CC1＝4，点 E 在线段 BB1 上，且 EB1＝1，D、F、G 分别 为 CC1、C1B1、C1A1 的中点．求证：平面 EGF∥平面 ABD. [思路分析] 建系 → 求相关点坐标 → 求出相关向量坐，则有
D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1，2， 0)， → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， 设 n＝(x，y，z)是平面 DNM 的一个法向量，
→ n· ＝0， （x，y，z）· DM （0，2，1）＝0， 则 即 → （1，2，0）＝0， n· ＝0， （x，y，z）· DN 令 y＝1 得 x＝－2，z＝－2，∴n＝(－2，1，2)， → → ∴A1P＝n，∴A1P∥n， ∴A1P⊥平面 DMN.
面的法向量不是唯一的，它有无数多个，但所有的法向量都是 平行的．
【训练 1】 已知平面 α 经过三点 A(1，2，3)、B(2，0，－1)、 C(3，－2，0)，试求平面 α 的一个法向量． 解 ∵A(1，2，3)、B(2，0，－1)、C(3，－2，0)， → → ∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)． 设平面 α 的法向量是 n＝(x，y，z)， → → 依题意，得 n· ＝0 且 n· ＝0，即 AB AC
→ 1 1 OC1＝－2，2，0.

设平面 ODC1 的法向量为 n＝(x0，y0，z0)，
1 1 → n· ＝0， －2x0－2y0－z0＝0， OD 则 得 n·→ ＝0， －1x ＋1y ＝0. OC1 2 0 2 0 令 x0＝1，得 y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1，1，－1)． → 又B1C·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， → ∴B1C⊥n，∴B1C∥平面 ODC1.
(3)面面平行 设平面 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)， 则 α∥β⇔ u∥v ⇔ u＝kv a1 b1 c1 ⇔ ＝ ＝ (a2b2c2≠0) ． a2 b2 c2
2．空间中垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b ＝(b1，b2，b3)，则 l⊥m⇔ ⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ．
[ 思 路 探 索 ]
求出相应 建立空间直角坐标系 → → 点的坐标
→ → → → PQ、RS的坐标 → PQ∥RS ⇒ 结论
解
建系如图：
则 P(3，0，1)、Q(0，2，2)、R(3，2，0)、S(0，4，1)， → → ∴PQ＝(－3，2，1)，RS＝(－3，2，1)， → → → → ∴PQ＝RS⇒PQ∥RS，∴PQ∥RS.
a a 系，则有：A0，－2，0、B0，2，0、C a a D0，2，2、E 3 a，0，a，(2 分) 2 3 a，0，0、 2
a → 3 a → 3 a → ∴AD＝0，a，2，AC＝ a， ，0，AE＝ a， ，a. 2 2 2 2
解
建系如图：
则 D(0，0，0)、B(2，2，0)、E(1，0，2)， → → ∴DB＝(2，2，0)，DE＝(1，0，2)． 设平面 EFBD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， → n· ＝0 DB ∴ ⇔ → n· ＝0 DE
2x＋2y＝0， x＋2z＝0，
y＝－x， ∴ 1 z＝－2x. 令 x＝2，则可解得：y＝－2，z＝－1， ∴n＝(2，－2，－1)即为所求平面 EFBD 的一个法向量． 规律方法 本题是考查了法向量的基本的求解方法和步骤，平
方法技巧
等价转化思想的应用
用等价转化的思想方法研究数学问题时，要从一种情形转化到 一种较为简单的情形，使问题得到解决．在立体几何线面平行 和垂直的证明和讨论中，利用几何方法证明时，比较强调逻辑 思维能力，不容易总结规律和方法，引进了空间向量的运算之 后，我们可以将几何问题转化成为向量问题，利用向量的运算 证明立体几何中的线面之间位置关系， 使问题的思路更加简单， 更容易掌握．
设面 ADE 的一个法向量为 n1＝(x，y，z)， a → n· ＝0 ay＋2z＝0， AD 由 ⇔ (6 分) → n· ＝0 3ax＋ay＋az＝0. AE 2 2 令 y＝1 可得：x＝ 3，z＝－2，∴n1＝( 3，1，－2)．同理可 以求出平面 ACC1A1 的一个法向量为 n2＝(－1， 3，0)． ∵n1·n2＝( 3，1，－2)· (－1， 3，0)＝－ 3＋ 3＝0，(10 分) ∴n1⊥n2.∴平面 ADE⊥平面 ACC1A1.(12 分)
n·a＝0， 的方程组 n· b＝0，
(3)解方程组，取其中的一组解，即得法向量． 注意
n·a＝0， 在利用以上步骤求解的过程中，方程组 有无 n· b＝0，
数组解，利用赋值法只要给 x，y，z 中的一个变量赋一特值(常 赋－1，0，1)，即可确定一法向量，赋值不同，所求法向量不 同，但(0，0，0)不能作为法向量．
题型三 用向量证明垂直问题 【例 3】 (12 分)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长 a 为 2a， 在侧棱 BB1 上取 BD＝2， 在侧棱 CC1 上取 CE＝a， 求证： 平面 ADE⊥平面 ACC1A1. 审题指导 要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直． 要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直 线垂直． 要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
【题后反思】 本题的一个关键点是如何建立坐标系， 图形不是 长方体而是一个正三棱柱，首先要找到三条两两垂直的线，同 时本题还可以利用几何方法证明，请同学们自己去尝试．
【训练 3】
已知 M、N、P 分别是正方体 ABCD- 1B1C1D1 中 A
的棱 CC1、BC、CD 的中点，求证：A1P⊥平面 DMN.
→求出面 ABD 和面 EGF 的法向量 n1， 2 的坐标→ n → 结论 .
解 建系如图，则 A(2，0，0)，D(0，2，2)，E(0，0，3)，F(0， 1，4)，G(1，1，4)， → → ∴BA＝(2，0，0)，BD＝(0，2，2)， → → EF＝(0，1，1)，EG＝(1，1，1)． 设平面 ABD 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)， → n1·BA＝0 2x1＝0， 由 ⇔ → n ·BD＝0 2y1＋2z1＝0， 1 令 y1＝1 可得：x1＝0，z1＝－1，∴n1＝(0，1，－1)．
自学导引 1．空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)且(a2b2c2≠0)，则 l∥m⇔ a∥b b1 c1 ＝ ＝ (a2b2c2≠0)． b2 c2 (2)线面平行 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u u＝0 ⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2 ＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔ a⊥u ⇔a· ＝0． ⇔a＝λb a1 ⇔ a2