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例3 :
Z
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
E
A' F (1,1, 2),
DB (2, 2,0), DE (0, 2,1)
F
Y
A' F • DB (1,1, 2) • (2, 2,0) 0,X
A' F • DE (1,1, 2) • (0, 2,1) 0 A' F DB, A' F DE,又DB DE D. A' F 平面BDE
方能减少运算量。本题选用了坐标法。
9
（二）用向量处理垂直问题 Z
例3 :
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
E
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
证明:如图
Y
F
取DA, DC, DD '分别为x轴,y轴,z轴X 建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2.
A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0) 10
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（。回到图形 问题）
2
2、平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
（1）平行关系
线线平行 l // m
a
//
b
a b
线面平行 面面平行
l // //
a u //
u v
a u
u 0
平面A1BD // 平面CB1D1.
8
例2.在正方形ABCD - A1B1C1D1中,
求证 : 平面A1BD // 平面CB1D1
Z
D
C
B
A
C1
D1
评注： 由于三种平行关系可以相互转化， X
A1
Y
B1
所以本题可用逻辑推理来证明。
用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，
在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，
用向量讨论垂直与平行
1
一、复习
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为 向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件 是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。
C D
7
例2.在正方形ABCD - A1B1C1D1中,
求证 : 平面A1BD // 平面CB1D1
证明: 如图分别以D1A1、D1C1、D1D
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A
A
2
1
a c•b
2
BC'• AB' (c a b) • (b a)
(c a 2a b) • (b a) (2a b) • (b a)
2
2
22
2a a • b b 2a b 11 0
14
练习：
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
B'
C'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
11
例3 :
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
Z
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
评注：
E
本题若用一般法证明，
容易证A’F垂直于BD，
而证A’F垂直于DE，
F
Y
或用证建立A’空F间垂坐直标于系EF的则方较法难，X
能使问题化难为易。
12
练习：
B'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
A'
A'C AB ',求证：BC ' AB ' 设底面边长为2,高为h, 坐标法
如图建立空间直角坐标系.
C
B
A
A( 3,0,0), B(0,1,0),C(0,1,0).
A'( 3,0, h), B'(0,1, h),C'(0,1, h). AB ' ( 3,1, h), A'C ( 3, 1, h), BC ' (0, 2, h) 0 AB ' • A'C 3 1 h2, h2 2.
BC' BA AC CC' c a b
13
练习：
B' C'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
0 A'C • AB ' (c a) • (b a)
C
B
2
c•b c•a a•b a
直角坐标系.设正方体的棱长为1,
Z
DC
B
则A1(1, 0, 0), B1(1,1, 0), C(0, 0,1), D(0, 0,1) 则A1D (1, 0,1), B1C (1, 0,1)
D1
A1
B1
X
C1
Y
A1D // B1C.即直线A1D // B1C，
则A1D // 平面CB1D1.同理右证：A1B // 平面CB1D1.
C' A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
证明：, c AC C
B
A
a • b 0, a • c 0, b • c 1/ 2.
A'C A' A AC c a
向量法
AB' AB BB' b a
例1: 如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
MN分别在其对角线BF上,
FM
B
C
且FM AN.求证：MN // 平面EBC
N
证明: 在正方形ABCD与ABEF中, A
D
BE AB, FM AN, FB AC,
存在实数,使FM FB, AN AC.
MN MF FA AN BF EB AC
v
3
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
（2）垂直关系
线线垂直 l m
线面垂直 l 面面垂直
a b a b
a// u a u
u v uv
0
0
4
二、新课
（一）用向量处理平行问题 （二）用向量处理垂直问题
5
（一）用向量处理平行问题
(BE BA AB AD) EB (BE AD) EB
(BE BC) BE ( 1)BE BC.
6
例1: 如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
MN分别在其对角线BF上,
FM
B
且FM AN.求证：MN // 平面EBC
N
MN、BE、BC共面.
A
M 平面EBC,MN // 平面EBC
