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3.2.2对数函数【学习要求】1.理解对数函数的概念;2.掌握对数函数的性质;3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.【学法指导】通过画函数y＝log2x和y＝log x的图象,观察其图象特征及由图象归纳函数的性质,进一步培养由特殊到一般、由具体到抽象的思维方法,以及数形结合的数学思想,养成善于观察、归纳的学习习惯.填一填：知识要点、记下疑难点1.对数函数的概念:函数y＝log a x (a>0,a≠1,x>0) 叫做对数函数.2.a:(1)对数函数的定义域是正实数集,即(0,＋∞) ,值域是实数集R;(2)在定义域内,当a>1 时是增函数, 当0<a<1 时是减函数;(3)图象都通过点(1,0) .研一研：问题探究、课堂更高效探究点一对数函数的概念问题1在现实生活的细胞分裂过程中,细胞个数y是分裂次数x的指数函数y＝2x,只要知道了x就能求出y.现在反过来研究,知道了细胞个数,如何确定分裂次数？问题2在问题1得出的关系式中,x是y的函数吗？为什么？问题3我们把函数x＝log a y(a>0,a≠1)叫做对数函数,但习惯上自变量用x表示,所以这个函数就写成y＝log a x.这样一来,你能给对数函数下一个定义吗？问题4你能说出在指数函数y＝2x和对数函数x＝log2y中,x,y两个变量之间的相同点及不同点吗？问题5函数y＝log a x与函数y＝a x(a>0,a≠1)的定义域、值域之间有什么关系？例1求下列函数的定义域(a>0,a≠1):(1)y＝log a x2; (2)y＝log a(4－x).跟踪训练1求下列函数的定义域(a>0,a≠1):(1)y＝log a(9－x2); (2)y＝log2(16－4x).探究点二对数函数的图象及性质问题1如何作出函数y＝log2x及y＝log x的图象？问题2观察作出的函数y＝log2x及y＝log x的图象,指出这两个函数有哪些相同性质和不同性质？问题3从描出的点及作出的图象中能看出函数y＝log2x及y＝log 12x的图象的对称关系吗？问题4由具体的函数y ＝log 2x 及y ＝log 12x 的性质,你能抽象出对数函数y ＝log a x (a>0,a≠1,x>0)的哪些性质？探究点三 对数函数性质的应用 例2(1)比较log 23与log 23.5的大小;(2)已知log 0.7(2m)<log 0.7(m －1),求m 的取值范围.跟踪训练2 比较下列各组数中两个值的大小:(1)log 23.4,log 28.5; (2)log 0.31.8,log 0.32.7; (3)log a 5.1,log a 5.9(a>0,a≠1).例3证明:函数f(x)＝log 2(x 2＋1)在(0,＋∞)上是增函数.跟踪训练3求证:函数f(x)＝log 2x1－x在(0,1)上是增函数.练一练：当堂检测、目标达成落实处 1.函数y ＝log 2x －2的定义域是 ( ) A.(3,＋∞) B.[3,＋∞) C.(4,＋∞) D.[4,＋∞)2.已知log a <1,那么a 的取值范围是 ( )A.0<a<12B.a>12C.12<a<1D.0<a<12或a>13.函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为________.课堂小结：1.在对数函数y ＝log a x(a>0,且a≠1)中,无论a 取何值,对数函数y ＝log a x(a>0,且a≠1)的图象均过点(1,0),函数图象落在第一、四象限,且当0<a<1时函数单调递减,当a>1时函数单调递增.2.比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小,若“底”的范围不明确,则需分两种情况讨论;二看真数,底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象,或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小;三找中间值,底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较.。
.1.对数函数的图像和性质2.对数型复合函数的单调性复合函数y ＝f [g (x )]是由y ＝f (x )与y ＝g (x )复合而成，若f (x )与g (x )的单调性相同，则其复合定义形如log a y x =（a 0>且1a ≠）的函数叫做对数函数定义域()0,+∞ 值域(),-∞+∞图像性质奇偶性 非奇非偶函数单调性在()0,+∞上是增函数()0,+∞上是减函数范围当1x >时，0y >；当01x <<时，0y < 当01x <<时，0y >；当1x >时，0y <定点 ()1,0知识梳理函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．3.数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．例题解析题型一函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例1求下列函数的定义域：(1)； (2).[跟踪训练]1.求下列函数的定义域. (1) y= (2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a ).1[跟踪训练]2.函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.例2 求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log1(3＋2x－x2)．2[跟踪训练]3 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)题型二解对数不等式注意：两类对数不等式的解法(1)形如log a f(x)<log a g(x)的不等式.①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；①当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x).(2)形如log a f(x)<b的不等式可变形为log a f(x)<b＝log a a b.①当0<a<1时，可转化为f(x)>a b；①当a>1时，可转化为0<f(x)<a b.例3 已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为()A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，12 C.⎝⎛⎭⎫－12，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12[跟踪训练]4 不等式log 12(2x ＋3)<log 12(5x －6)的解集为( )A.(－∞，3)B.⎝⎛⎭⎫－32，3 C.⎝⎛⎭⎫－32，65 D.⎝⎛⎭⎫65，3题型三 对数型复合函数的单调性1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y ＝f (u )，u ＝φ(x )的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．例4证明函数上是增函数.例5 求函数y ＝log 0.3(3－2x )的单调区间；例6 讨论函数f(x)＝log a(3x2－2x－1)的单调性．[跟踪训练]5 (1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.（2）函数f(x)＝log13题型四对数型复合函数的奇偶性注意：判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．例7 判断下列函数的奇偶性.(1) (2).例8 已知函数f(x)＝log a(x＋1)－log a(1－x)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．[跟踪训练]6 设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是() A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数题型五对数函数的综合应用例9已知函数()()22log 32f x mx mx =-+，m R ∈.（1）若1m =，求函数()f x 的单调递减区间； （2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.例10已知函数1()log 1axf x x -=+，（0a >且1a ≠）. （1）求()f x 的定义域及2(log )f x 的定义域. （2）判断并证明()f x 的奇偶性.例11已知函数()2()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠. (1)当2a =时,求(2)f ；(2)求解关于x 的不等式()0f x >；(3)若[2,4],()4x f x ∀∈≥恒成立,求实数a 的取值范围.复合函数y ＝f [g (x )]及其里层函数μ＝g (x )与外层函数y ＝f (μ)的单调性之间的关系(见下表).函数 单调性y ＝f (μ) 增函数 增函数 减函数 减函数 μ＝g (x ) 增函数 减函数 增函数 减函数 y ＝f [g (x )]增函数减函数减函数增函数1.思考辨析1. 函数f(x)=ln(x 2−2x −8)的单调递增区间是( )A.B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (4,+∞)2. 若log a 23<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A. (0,23)B. (1,+∞)C. (0,23)⋃(1,+∞)D. (23,1)反思总结随堂检测3. 设函数f(x)=log 2(2x −1)，则方程f(2x)=f −1(x)的解是( )A. x =1B. x =2C. x =3D. x =44. 已知函数f(x)=log 2(mx 2+mx +1)的值域是R ，则实数m 的取值范围为( )A. 0<m ≤4B. 0≤m ≤4C. m ≥4D. 0≤m <45. 函数y =1−lgx1+lgx (x ≥1)的值域是 ( )A. [−1,1]B. [−1,1)C. (−1,1]D. (−1,1)6. “m ∈{1,2}”是“lnm <1”成立的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件7. 已知，则4a +b 的最小值等于 ( )A. 13B. 15C. 18D. 118. 已知a =log 20.3，b =0.31.3，c =21.3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. c <a <bC. b <c <aD. b <a <c9. 设a =213，b =log 32，c =cosπ，则( )A. c >b >aB. a >c >bC. c >a >bD. a >b >c10. 已知a =log 25，b =2−0.2，c =0.2−1.2，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. b <a <cD. b <c <a11. 已知函数f(x)=(13)x 和函数g(x)=log 13x ，则函数f(x)与g(x)的图象关于( ) A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称D. 直线y =x 对称12. 已知a >1，函数y =a −x 与y =log a (−x)的图象只可能是()A. B.C. D.13.不等式log0.25(x−1)>1的解集是______．14.给出下列命题： ①直线x=a与函数y=f(x)的图像至少有两个公共点; ②函数y=x−2在(0,+∞)上是单调递减函数; ③幂函数的图像一定经过坐标原点; ④函数f(x)=a x−2(a>0,a≠1)的图像恒过定点(2,1); ⑤设函数y=f(x)存在反函数，且y=f(x)的图像过点(1,2)，则函数y=f−1(x)−1的图像一定过点(2,0)．其中，真命题的序号为．15.设函数f(x)=lgx，则函数的定义域是__________，若f(2x)>f(2)，则实数x的取值范围是__________．16.x1x2分别是方程x+lgx=3和方程x+10x=3的一个根，则x1+x2=______．17.已知函数f(x)=(a2−3a+3)a x是指数函数，(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断F(x)=f(x)−f(−x)的奇偶性，并加以证明；(3)解不等式：log a(1−x)>log a(x+2)．18.已知函数f(x)=|log a x|(a>0,a≠1)．(1)若f(2)=1，求实数a的值；2(2)若0<x1<x2，且f(x1)=f(x2)，求x1x2的值；,3]的最大值与最小值之和为2，求实数a的值．(3)若函数f(x)在[1219. 已知函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)．(1)若f(a)+f(2a)=3，求实数a 的值；(2)若f(2)>f(3)+2，求实数a 的取值范围．1.设a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log 20.3，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．c <b <aD ．c <a <b2.函数f (x )＝log 12 (x 2－3x －10)的单调递增区间为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，32)C ．(－2，32)D ．(5，＋∞) 3.函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是( )课后练习A.0B.1C.2D.a4.函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( ) A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减D.先减后增5．已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________． 6.讨论函数f (x )＝log a (3x 2－2x －1)的单调性.7.已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1).(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并求函数的单调区间.8.若函数y ＝log a (2－ax )在x ①[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞)9.函数f (x )＝lg(1x 2＋1＋x)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数 10.设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A.c >b >a B.b >c >a C.a >c >bD.a >b >c11.若定义域为(－2，－1)的函数f (x )＝log (2a －3)(x ＋2)，满足f (x )<0，则实数a 的取值范围是________.12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________.13..已知f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________.14. 已知f (x )＝ln 1－mxx －1是奇函数．(1)求m ；(2)判断f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．15.已知函数f(x－1)＝lgx 2－x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1)．。
必修1第三章对数函数的运算法则对数函数是数学中的一种常见函数，它与指数函数是对应关系。
在学习对数函数的运算法则之前，我们先来了解一下对数的定义及其性质。
1.对数的定义：设a为大于0且不等于1的实数，对任意正数x，称满足方程a^y = x的实数y为以a为底x的对数，记作y=log_a(x)。
其中，a称为对数的底数，x称为真数，y称为对数。
2.对数的性质：①对数的底数不为1，大于0，且不等于1② 对数的定义就是一个等式，如果a^b=x，则b=log_a(x)。
③ 对数的值域为全体实数，即：log_a(x)对任何正数x都有定义。
④ 对数函数是一个递增函数，即：当x_1<x_2时，log_a(x_1)<log_a(x_2)。
⑤对数函数的图像关于y轴对称。
⑥ 特殊的对数值：当a>1时，log_a(1)=0；当a<1时，log_a(1)=0。
了解了对数的一些基本概念之后，我们可以来学习对数函数的运算法则了：1.换底公式：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)换底公式是对数运算中的重要公式，它可以将一个对数转化为以另一个底数的对数。
利用这个公式，我们可以在计算对数时灵活选择适用的底数。
2.对数函数的四则运算：①和差公式：log_a(b*c)=log_a(b)+log_a(c)；log_a(b/c)=log_a(b)-log_a(c)和差公式可以将对数函数中的乘法和除法转化为加法和减法。
②幂公式：log_a(b^c)=c*log_a(b)幂公式可以将对数函数中的指数转化为乘法。
3.对数函数的指数与对数的互化：指数运算和对数运算是互为逆运算的，即：a^log_a(x)=x；log_a(a^x)=x这个性质在实际运算中经常会用到，可以帮助我们方便地进行对数函数的简化。
4.公式法则：①log_a(b^n)=n*log_a(b)；②log_a(b)=log_a(c)+log_c(b)；③log_a(b^n)=1/n*log_a(b^)；④log_a(x^n)=n*log_a(x)；⑤log_a(b)=1/log_b(a)。
第2课时 对数的运算性质及换底公式1.了解对数的换底公式．2.理解对数的运算性质．3.掌握用对数的运算性质进行化简与证明．[学生用书P49]1．如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． 2．换底公式一般地，称log a N ＝log c Nlog c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，N >0)为对数的换底公式.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积、商的对数可以化为这两个正数的对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log （－2）blog （－2）a.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知a >0且a ≠1，则log a 2＋log a 12＝( )A ．0B ．12 C ．1 D ．2答案：A3．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea＝________．答案：(1)12(2)0.84.log 29log 23＝________． 答案：2对数的运算性质及应用[学生用书P49]计算下列各式：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8；(3)lg 25＋23lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2.【解】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg （10×0.6×2）＝lg 12lg 12＝1.(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.(1)对于同底的对数的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数(逆用运算性质)； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)(正用运算性质)．(2)对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．1.计算下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0.01)－1；(2)2log 32－log 3329＋log 38－3log 55.解：(1)法一：原式＝lg[2512×2×1012×(10－2)－1] ＝lg (5×2×1012×102) ＝lg 1072＝72.法二：原式＝12lg 52＋lg 2＋12lg 10－lg 10－2＝(lg 5＋lg 2)＋12－(－2)＝lg 10＋12＋2＝1＋12＋2＝72.(2)法一：原式＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3 ＝log 3(22×32×2－5×23)－3 ＝log 332－3 ＝2－3＝－1.法二：原式＝2log 32－()5log 32－2＋3log 32－3 ＝2－3＝－1.换底公式的应用[学生用书P50](1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)； (2)已知log 189＝a ，18b＝5，求log 3645(用a ，b 表示)． 【解】 (1)法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二：原式 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13.(2)法一：因为18b＝5，所以log 185＝b ， 又log 189＝a ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a.法二：因为log 189＝a ，18b＝5，所以lg 9＝a lg 18， lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.法三：因为log 189＝a ，所以18a＝9. 又因为18b＝5，所以45＝5×9＝18b·18a＝18a ＋b.令log 3645＝x ，则36x＝45＝18a ＋b，即36x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫183·183x＝18a ＋b.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1829x＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a.(1)具有换底功能的另两个结论：①log a c ·log c a ＝1，②log an b n＝log a b .(a ＞0且a ≠1，b ＞0，c ＞0且c ≠1)(2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的对数式，进行求值；也可以从结论入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简条件和结论，直至找到它们之间的联系．(3)本题主要考查已知一些指数值或对数值，利用这些条件来表示所要求的式子，解决该类问题必须熟练掌握所学性质和法则，并学会运用整体思想．2.(1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________．(2)计算：log22＋log 279＝________．解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 34＋1log 38log 32＝⎝⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32log 32＝12＋13＝56.(2)原式＝log 22log 2212＋log 332log 333＝112＋23＝2＋23＝83.答案：(1)56 (2)83对数的综合应用[学生用书P50]若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 【解】 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0， 设t ＝lg x ，则原方程可化为2t 2－4t ＋1＝0.所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2＋（lg a ）2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12.即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法：解形如b ＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)的方程时，常借助对数函数的定义等价转化为f (x )＝a b 求解．(2)转化法：形如log a f (x )＝log a g (x )(a ＞0，a ≠1)的方程，等价转化为f (x )＝g (x )，且⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＞0，g （x ）＞0求解． (3)换元法：适用于f (log a x )＝0(a ＞0，a ≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．3.(1)方程log 4(3x －1)＝log 4(x －1)＋log 4(x ＋3)的解为________．(2)已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． 解：(1)原方程可化为3x －1＝(x －1)(x ＋3)， 即x 2－x －2＝0， 解得x ＝2或x ＝－1，而x ＝－1使真数3x －1和x －1小于0， 故方程的解是x ＝2.故填x ＝2. (2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x －2y ）（x ＋y ）＝0，所以x －2y ＝0，所以xy＝2.1．对对数的运算性质的理解(1)利用对数的运算性质可以把求正数的乘、除、乘方的对数的运算转化为这些正数的对数的加、减、乘运算，反之亦然．但两个正数的和或差的对数没有运算性质．(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． (3)能用语言准确叙述对数的运算性质log a (M ·N )＝log a M ＋log a N →积的对数等于对数的和． log a M N＝log a M －log a N →商的对数等于对数的差．log a M n＝n log a M (n ∈R )→真数的n 次幂的对数等于对数的n 倍． 2．关于换底公式的两点说明(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义．(2)利用换底公式，可以“随意”地改变对数的底，应注意选择适当的底数，一般转化为常用对数或自然对数，化简和证明中常常用到换底公式．已知lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，求log 2a b的值． [解] 因为lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )， 所以lg ab ＝lg(a －2b )2，ab ＝(a －2b )2，a 2－5ab ＋4b 2＝0，即(a －b )(a －4b )＝0， 所以a ＝b 或a ＝4b . 又因为a －2b >0，所以a ＝4b ，log 2a b＝log 24＝2.(1)错因：易忽视真数大于0的限制，导致出现增解． (2)防范：将对数化简、变形，不能忘记真数大于0的限制．1．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3D ．12 解析：选C.原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2解析：选A.log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝log 32－2＝a －2. 3．(1)log 52·log 79log 513·log 734＝________．(2)log 2()3＋5－ 3－5＝________．解析：(1)原式＝log 132·log 349＝12lg 2－lg 3·2lg 323lg 2＝－32.(2)原式＝12log 2(3＋5－ 3－5)2＝12log 2[]（3＋5）＋（3－5）－2（3＋5）（3－5） ＝12log 2(6－4) ＝12log 22＝12. 答案：(1)－32 (2)124．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：(1)lg(xyz ); (2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z； (4)lg x y 2z .解：(1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ；(2)lg xy 2z ＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ；(3)lg xy 3z＝lg(xy 3)－lg z＝lg x ＋3lg y －12lg z ；(4)lgx y 2z＝lg x －lg(y 2z ) ＝12lg x －2lg y －lg z . [学生用书P111(单独成册)])[A 基础达标]1．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选D.lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg125＝lg1 000＝3. 2．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.12B ．9C ．18D ．27解析：选B.由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝log 416＝log 442＝2， 所以lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9，选B.3．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( ) A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 解析：选D.因为lg x ＝m ，lg y ＝n ，所以lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102＝12lg x －2lg y ＋2＝12m －2n ＋2.故选D.4．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b1＋a B ．a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－aD ．a ＋2b1－a解析：选C.log 512＝lg 12lg 5＝lg （22×3）lg （10÷2）＝lg 22＋lg 3lg 10－lg 2＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b1－a .故选C.5．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：选A.因为2x＝3，所以x ＝log 23. 又log 483＝y ，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43)＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23 ＝log 23＋3－log 23＝3.故选A.6．已知m >0，且10x＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝________．解析：lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1，所以10x ＝1＝100.所以x ＝0. 答案：07．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．解析：原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5.经检验知x ＝5.答案：x ＝58．已知2m ＝3n＝36，则1m ＋1n＝________．解析：m ＝log 236，n ＝log 336，所以1m ＝log 362，1n ＝log 363，所以1m ＋1n ＝log 366＝12.答案：129．计算下列各式：(1)lg 8＋log 39＋lg 125＋log 319；(2)[log 2(log 216)](2log 36－log 34)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 4－lg 60lg 3＋lg 53－45×2－11. 解：(1)原式＝lg 8＋lg 125＋log 39＋log 319＝lg(8×125)＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫9×19＝lg 1 000＋log 31＝3＋0＝3. (2)原式＝(log 24)(log 336－log 34)＝2log 3364＝2log 39＝4.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 460lg 153－210×2－11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－lg 15lg 153－2－1 ＝－1－12＝－32.10．解下列关于x 的方程： (1)lg x －1＝lg(x －1)；(2)log 4(3－x )＋log 0.25(3＋x )＝log 4(1－x )＋log 0.25(2x ＋1)．解：(1)原方程等价于⎩⎨⎧x －1＝x －1，x －1＞0.解之得x ＝2. 经检验x ＝2是原方程的解，所以原方程的解为x ＝2.(2)原方程可化为log 4(3－x )－log 4(3＋x )＝log 4(1－x )－log 4(2x ＋1)．即log 43－x 3＋x＝log 41－x 2x ＋1. 整理得3－x x ＋3＝1－x 2x ＋1，解之得x ＝7或x ＝0. 当x ＝7时，3－x ＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x ＝0满足，所以原方程的解为x ＝0.[B 能力提升]1.若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________． 解析：由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 答案：1252.计算log 8(log 242)的值为________．解析：log 8(log 242)＝log 814＝－2log 82＝－23. 答案：－233．若log a b ＋3log b a ＝132，则用a 表示b 的式子是________． 解析：原式可化为1log b a ＋3log b a ＝132， 整理得3(log b a )2＋1－132log b a ＝0， 即6(log b a )2－13log b a ＋2＝0；解得log b a ＝2或log b a ＝16， 所以b 2＝a 或b 16＝a ， 即b ＝a 或b ＝a 6.答案： b ＝a 或b ＝a 64．(选做题)已知地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．若A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，求A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的多少倍．解：由R ＝23(lg E －11.4)， 得32R ＋11.4＝lg E ， 故E ＝10(32R ＋11.4)．设A 地和B 地地震释放的能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝10（32×9.0＋11.4）10（32×8.0＋11.4）＝1010， 即A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的1010倍．。
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【本讲教育信息】一. 教学内容：对数运算、对数函数二. 重点、难点：1. 对数运算,0,1,1,0,0>>≠≠>>N M b a b a （1）x N a =log Na x =⇔（2）01log =a (3）1log =a a （4）Na N a=log （5）NM N M a a a log log )(log +=⋅(6)N M NM a a a log log log -=（7）M x M a x a log log ⋅=(8）aM M b b a log /log log =（9)b xy b a y a xlog log =（10)1log log =⋅a b b a 2. 对数函数,且x y a log =0>a 1≠a 定义域（）+∞,0值域R单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a 奇偶性非奇非偶过定点（1，0）图象与关于轴对称x y a log =x y a1log =x【典型例题】［例1］ 求值（1） ；=7log391(（2) ；=-++4log 20log 23log 2log 15151515（3） ；=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626(4） ;=⋅81log 16log 329（5） ；=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384（6) .=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 解：（1）原式491733)3(27log 7log 27log 22333=====----（2）原式115log 15==(3)原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅= 236log 18log 2log 666==+=(4)原式58)3log 54()2log 24(23=⋅=（5)原式815)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅=（6)原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++= 2100lg 2lg 225lg ==+=［例2］ 若满足z y x ,,)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 5515=，试比较的大小关系.0=z y x 、、解：log 2〔log (log 2x ）〕＝0log (log 2x ）＝1log 2x ＝x ＝＝（215)。
