高中数学必修一北师大版学案2.5 对数函数的图像与性质(2)(学生版)

《对数函数y =log 2x 的图像和性质》《对数函数y =log2x 的图像和性质》是北师大版高中数学必修一第三章第5节的内容。

本节是第二课时对数函数x y 2log =的图像和性质。

通过图形、实例进行具体分析、观察、归纳，由具体到抽象，得出指数函数的图像和性质，并能进行简单的应用。

【知识与能力目标】（1） 由前面学习指数函数的基础上,根据函数的定义引入对数函数。

（2） 能够理解指数函数与对数函数的关系,理解反函数的定义。

（3） 会求指数函数与对数函数的反函数。

【过程与方法目标】（1）让学生掌握指数函数与对数函数之间的关系。

（2）学会问题的转化,常规思维的迁移。

【情感态度价值观目标】使学生通过学习对数函数,了解指数函数与对数函数之间的关系。

在学习的过程中体会研究函数要紧扣函数的定义去理解对应关系。

增强学习对数函数的积极性和自信心。

对数函数的定义的理解以及对数函数与指数函数的关系。

【教学难点】x y a =对数函数与指数函数之间的关系。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分复习：1．对数函数是怎么定义的?对数函数与指数函数之间的关系是什么?2．指数函数的图像和性质是什么?二、研探新知，建构概念[互动过程1]你能画出对数函数xy2log=的图像吗?采用什么方法?传统的作图方法有哪些?描点法:先列出的对应值表:再用描点法画出图像对数函数xy2log=的性质:观察对数函数xy2log=的图像（1）过点（1,0）,即x1=时,y0=；（2）函数图像都在轴右边,表示了零和负数没有对数;（3）当时, xy2log=的图像位于轴上方,即时, y>0；x,yyx1>x x1>当0<x <1时，x y 2log =的图像位于轴下方，即0<x <1,y <0； （4）函数x y 2log =在上是增函数。

三、质疑答辩，发展思维 例1.观察在同一坐标系内函数x y 2log =与函数x y 2=的图像，分析它们之间的关系。

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

对数函数图像与性质前言高中数学教学的核心理念是训练学生的逻辑思维，培养学生认识世界的独特思维方式。

科学地引导学生掌握数学中的基本思想和基本方法是实现该理念最重要的途径。

三角不等式这节内容引导学生巧妙地利用构造法和逆向思维，将一条平凡的结论进行量化，深化了数学思维。

教材分析《对数函数的图像与性质》是北师大版高中数学必修1第三章第五节第三部分的内容。

是学生在学习完指数函数和对数后的内容。

从内容上来看，它是对数的延伸与拓展，从知识结构上来看，它是高中函数内容中必不可少的一部分。

学习对象分析1.学习对象本课是普通高中高一必修1第三章第五节第三部分第四节内容。

学生经过之前对指数、指数函数的图像与性质、对数的学习，这对学生进一步学习对数函数的图像与性质奠定了基础。

学生可以对比指数函数的图像与性质来学习对数函数的图像与性质。

2.知识基础学生已经学习了指数、指数函数的图像与性质、对数、及其运算性质等，初步了解了研究对数函数图像与性质的一般思路。

3.能力基础（1）学生在前面的学习过程中，已了解了指数函数的概念及性质、以及指数函数的图像与性质、它是后续学习的基础，并且对解决一些数学问题有了一定的能力，已初步具有观察总结的思想。

（2）高一学生基本上能通过观察以及小组讨论，合作交流、自主总结概念的的能力。

这些对于本节课的学习是十分有帮助的，通过教师启发式引导，学生可以自主探究完成本节课的学习。

4.学习风格分析（1）处在高一的学生思维敏捷、灵活，能积极去认识新事物，以及能主动探究新知识。

（2）此时的学生对学习具有浓厚的兴趣，并希望通过学习得到周围人的认可。

（3）学生广泛接触网络，对网络非常熟悉，这为我们使用信息化教学打好良好的基础。

教学目标分析1.知识技能掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实际中的简单应用，培养学生数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。

《对数函数及其性质》本节内容是在学习了指数函数后，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景，学习对数的概念进而学习对数函数．教材的编写中反映了指数函数与对数函数的很多对应关系，为反函数的提出作为铺垫．本本节的重难点是对数函数的定义、图像和性质．解决有关对数函数的问题时，一要注意对数函数的定义域，二要注意底数的取值范围的限制，需要分类讨论时一定要分类讨论．1．对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质规律．掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题．2．让学生通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质．学生通过观察和类比函数图像，体会两种函数的单调性差异．3．培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力，体会指数函数与对数函数互为反函数，培养学生严谨的科学态度．【教学重点】理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质．理解指数函数与对数函数内在联系．【教学难点】底数a对图像的影响及对数函数性质的作用．回顾指数与指数函数的性质和对数与对数的运算，阅读材料《对数的发明》．1．设置情境在2．2．1的例6中，考古学家利用logP 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log xa y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log xa y x =关于的函数． 2．探索新知一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解．答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为ya x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．下面我们来研究函数的图像，并通过图像来研究函数的性质：先完成P 81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数2log xy =的图象, 再利用xx2log y x =注意到：122log log y x x ==-，若点2(,)log x y y x =在的图像上，则点12(,)log x y y x -=在的图像上． 由于（,x y -）与（,x y -）关于x 轴对称，因此，12log y x=的图像与2log y x =的图像关于x 轴对称． 所以，由此我们可以画出12log y x =的图像．先由学生自己画出12log y x =的图像，再由电脑软件画出2log y x =与12log y x =的图像．探究：选取底数(a a ＞0，且a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的14x 性质又由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：3．例题讲解例1 求下列函数的定义域（1）2log a y x = （2）log (4)a y x =- （a ＞0且a ≠1） 分析：由对数函数的定义知：2x ＞0；4x -＞0，解出不等式就可求出定义域． 解：（1）因为2x ＞0，即x ≠0，所以函数2log x a y =的定义域为{}|0x x ≠．（2）因为4x -＞0，即x ＜4，所以函数(4)log x a y -=的定义域为{|x x ＜}4．例2 比较下列各组数中的两个值大小（1）22log 3.4,log 8.5（2）0.30.3log 1.8,log 2.7（3）log 5.1,log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1）分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数2log y x =的图像．在图像上，横坐标为3、4的点在横坐标为8．5的点的下方：所以，22log 3.4log 8.5<解法2：由函数2log y x R =在+上是单调增函数，且3．4＜8．5，所以22log 3.4log 8.5<． 解法3：直接用计算器计算得：2log 3.4 1.8≈，2log 8.5 3.1≈ （2）第（2）小题类似（3）注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小． 解法1：当a ＞1时，log a y x =在（0，＋∞）上是增函数，且5．1＜5．9． 所以，log 5.1a <log 5.9a当a <1时，log a y x =在（0，＋∞）上是减函数，且5．1＜5．9． 所以，log 5.1a >log 5.9a解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一， 令 11log 5.1, 5.1,ba b a ==则 令22log 5.9, 5.9,b a b a==则 则2 5.9b a =则当a ＞1时，xy a =在R 上是增函数，且5．1＜5．9 所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＜log 5.9a当0＜a ＜1时，xy a =在R 上是减函数，且5．1＞5．9 所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＞log 5.9a 说明：先画图像，由数形结合方法解答4．课堂练习：教材对应习题．5．反函数探究：在指数函数2xy =中，x 为自变量，y 为因变量，如果把y 当成自变量，x 当成因变量，那么x 是y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论．在指数函数2xy =中，x 是自变量， y 是x 的函数（,x R y R +∈∈），而且其在R 上是单调递增函数．过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2xy =的图像有且只有一个交点．由指数式与对数式关系，22log xy x y ==得，即对于每一个y ，在关系式2log x y =的作用之下，都有唯一的确定的值x 和它对应，所以，可以把y 作为自变量，x作为y 的函数，我们说2log 2()xx y y x R ==∈是的反函数．从我们的列表中知道，22log xy x y ==与是同一个函数图像． 引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数．由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数．如3log 3xx y y ==是的反函数，但习惯上，通常以x 表示自变量，y 表示函数，对调3log x y =中的3,log x y y x =写成，这样3log (0,)y xx =∈+∞是指数函3()x y x R =∈的反函数．以后，我们所说的反函数是,x y 对调后的函数，如2()xy x R =∈的反函数是2log (0,)y xx =∈+∞．同理，(1xy a a =≠且a ＞1）的反函数是log (a y x a =＞0且1)a ≠． 课堂练习：求下列函数的反函数 （1）5xy = （2）0.5log y x = 补充练习1．已知函数(2)xy f =的定义域为[-1，1]，则函数2(log )y f x =的定义域为 ．2．求函数22log (1)y x x =+≥的值域．3．已知log 7m ＜log 7n ＜0，按大小顺序排列m ， n ， 0， 1． 4．已知0＜a ＜1， b ＞1， ab ＞1． 比较1log ,log ,log a a b b b 1的大小b． 6．归纳小结：（1）对数函数的概念必要性与重要性； （2）对数函数的性质，列表展现． （3）反函数． 7．布置作业 教材对应习题．略．。

教学设计y＝log2x的图像和性质对数函数的图像和性质(1)导入新课思路1.复习以下内容：(1)对数函数的定义；(2)对数函数的反函数．这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题．推进新课新知探究下面研究对数函数y＝log2x的图像和性质．可以用两种不同方法画出函数y＝log2x的图像．方法一：描点法．先列出x，y的对应值表如下：x (1)4121248…y＝log2x …－2－10123…图2方法二：画出函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像．由于指数函数y＝a x和对数函数x＝log a y所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数x＝log2y和y＝2x的图像是一样的(如图3(1))．用x表示自变量，把x轴、y轴的位置互换，就得到y＝log2x的图像(如图3(2))．(1) (2)图3图4 习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把图3(2)翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y＝log2x的图像(如图4)．观察对数函数y＝log2x的图像，过点(1,0)，即x＝1时，y＝0；函数图像都在y轴右边，表示了零和负数没有对数；当x＞1时，y＝log2x的图像位于x轴上方，即x＞1时，y＞0；函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)，在其底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性质可以总结如下表．a＞10＜a＜1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0(4)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0(5)是(0，＋∞)上的增函数(5)是(0，＋∞)上的减函数(1)根据你掌握的知识目前比较数的大小有什么方法？(2)判断函数的单调性有哪些方法和步骤？(3)判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．问题(1)学生回顾数的大小的比较的方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，就用到某些函数的图像和性质，要分别对待，具体问题具体分析．问题(2)学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定．问题(3)学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定．讨论结果：(1)比较数的大小：①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．③计算出每个数的值，再比较大小．④是两个以上的数，有时采用中间量比较．⑤利用图像法．⑥利用函数的单调性．(2)常用的方法有定义法、图像法、复合函数的单调性的判断．利用定义证明单调性的步骤：①在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2.②作差或作商(同号数)，注意变形．③判断差的符号，商与1的大小．④确定增减性．对于复合函数y＝f可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f是减函数．又简称为口诀“同增异减”．(3)有两种方法：定义法和图像法．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．图像法：偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶性的依据．下面看它们的应用．应用示例思路1例1 比较下列各组数中的两个值的大小：(1)log25.3，log24.7；(2)log0.27，log0.29；(3)log3π，logπ3；(4)log a3.1，log a5.2(a＞0，a≠1)．活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价．对(1)与(2)由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成，直接利用对数函数的单调性；作出图像，利用图像法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质．对(4)因为底数的大小不确定，因此要分别讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．对(3)两个对数式的底数和真数均不相同．设法找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小，题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x的图像，如图5.图5在图像上，横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方，所以log24.7＜log25.3.解法二：由函数y＝log2x在R＋上是单调增函数，且4.7＜5.3，所以log24.7＜log25.3.(2)因为0.2＜1，函数y＝log0.2x是减函数，7＜9，所以log0.27＞log0.29.(3)解法一：因为函数y＝log3x和函数y＝logπx都是定义域上的增函数，所以logπ3＜logππ＝1＝log33＜log3π.所以logπ3＜log3π.解法二：直接利用对数的性质，logπ3＜1，而log3π＞1，因此logπ3＜log3π.(4)解法一：当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，且3.1＜5.2，所以log a3.1＜log a5.2.当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，且3.1＜5.2，所以log a3.1＞log a5.2.点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.变式训练比较log 20.7与log 130.8两值的大小． 解：考查函数y ＝log 2x .因为2＞1，所以函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数．又0.7＜1，所以log 20.7＜log 21＝0.再考查函数y ＝log 13x ，因为0＜13＜1，所以函数y ＝log 13x 在(0，＋∞)上是减函数． 又1＞0.8，所以log 130.8＞log 131＝0.所以log 20.7＜0＜log 130.8.点评：题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较，这里的中间量是0.例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝log a x 2；(2)y ＝log a (4－x )．活动：学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡导，及时评价学生．此题主要利用对数及对数函数的定义及y ＝log a x 的定义域(0，＋∞)求解．教师引导，学生回答，求函数定义域时应首先考虑函数解析式，这两类题既有二次根式，又有对数和指数式，且真数和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负；零和负数没有对数等；转化为不等式来解．解：(1)要使函数有意义，则需x 2＞0，即x ≠0，所以定义域为{x |x ≠0}；(2)因为4－x ＞0，即x ＜4，所以函数定义域为{x |x ＜4}．点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可．思路2例1 已知f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．活动：学生先思考讨论，再交流回答，教师要求学生展示自己的思维过程，教师根据实际，可以提示引导．学生回忆数的大小的比较方法，选择合适的．要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较；作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小．因为本题中的f (x )与g (x )的正负不确定，所以采取作差比较法．解：f (x )，g (x )的定义域都是(0,1)∪(1，＋∞)．f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 3－log x 4＝log x 34x . (1)当0＜x ＜1时，若0＜34x ＜1，即0＜x ＜43，此时log x 34x ＞0，即0＜x ＜1时，f (x )＞g (x )；若34x ≥1，即x ≥43，这与0＜x ＜1相矛盾． (2)当x ＞1时，若34x ＞1，即x ＞43，此时log x 34x ＞0，即x ＞43时，f (x )＞g (x )； 若34x ＝1，即x ＝43，此时log x 34x ＝0，即x ＝43时，f (x )＝g (x )； 若0＜34x ＜1，即0＜x ＜43，此时log x 34x ＜0，即1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )． 综上所述，当x ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞时，f (x )＞g (x )； 当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，43时，f (x )＜g (x )． 点评：对数值的正负取决于对数的底数和真数的关系．而已知条件并未指明时，需要对底数和真数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握，注意体会和运用. 变式训练已知log m 5＜log n 5，比较m ，n 的大小．活动：学生观察思考，交流探讨，教师提示，并评价学生的思维过程．已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系，若变量在真数位置上，我们就可以解决这个问题了，我们设法对原式进行变换使变量在真数位置上，我们知道log 5m 和log m 5的关系是倒数关系，有了这个关系，题中已知条件就变为1log 5m ＜1log 5n，由已知条件知道m 、n 都大于0，且都不等于1，据此确定m ，n 的大小关系．解：因为log m 5＜log n 5，所以1log 5m ＜1log 5n. ①当m ＞1，n ＞1时，得0＜1log 5m ＜1log 5n， 所以log 5n ＜log 5m .所以m ＞n ＞1.②当0＜m ＜1,0＜n ＜1时，得1log 5m ＜1log 5n＜0， 所以log 5n ＜log 5m .所以0＜n ＜m ＜1.③当0＜m ＜1，n ＞1时，得log 5m ＜0，log 5n ＞0，所以0＜m ＜1，n ＞1.所以0＜m ＜1＜n .综上所述，m ，n 的大小关系为m ＞n ＞1或0＜n ＜m ＜1或0＜m ＜1＜n .点评：分类讨论是解题的关键.例2 求函数y ＝log 2(x 2－x －6)的单调区间，并证明．活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导．求函数的单调区间一般用定义法，有时也利用复合函数的单调性．定义法求函数的单调区间，其步骤是：①确定函数的定义域，在定义域内任取两个变量x 1和x 2，通常令x 1＜x 2；②通过作差比较f (x 1)和f (x 2)的大小，来确定函数的单调递增区间和单调递减区间(注意保持变量x 1和x 2的“任意性”)；③再归纳结论．解法一：由x 2－x －6＞0，得x ＜－2或x ＞3，不妨设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(x 21－x 1－6)－log 2(x 22－x 2－6)＝log 2x 21－x 1－6x 22－x 2－6＝log 2(x 1－3)(x 1＋2)(x 2－3)(x 2＋2). 因为x 1＜x 2＜－2，所以x 1－3＜x 2－3＜0，x 1＋2＜x 2＋2＜0.所以(x 1－3)(x 1＋2)(x 2－3)(x 2＋2)＞1. 所以log 2x 21－x 1－6x 22－x 2－6＝log 2(x 1－3)(x 1＋2)(x 2－3)(x 2＋2)＞0， 即f (x 1)－f (x 2)＞0，f (x 1)＞f (x 2)．所以函数f (x )＝log 2(x 2－x －6)在区间(－∞，－2)上是减函数．同理，函数f (x )＝log 2(x 2－x －6)在区间(3，＋∞)上是增函数．解法二：令u ＝x 2－x －6，则y ＝log 2u .因为y ＝log 2u 为u 的增函数，所以当u 为x 的增函数时，y 为x 的增函数；当u 为x 的减函数时，y 为x 的减函数．由x 2－x －6＞0，得x ＜－2或x ＞3，借助于二次函数的图像，可知当x ∈(－∞，－2)时，u 是x 的减函数，当x ∈(3，＋∞)时，u 是x 的增函数．所以原函数的单调减区间是(－∞，－2)，单调增区间是(3，＋∞)．点评：本题考查复合函数单调性的判定方法．一般地，设函数y ＝f (u )，u ＝g (x )都是给定区间上的单调函数．若y ＝f (u )，u ＝g (x )在给定区间上的单调性相同，则函数y ＝f 是增函数；若y ＝f (u )，u ＝g (x )在给定区间上的单调性相反，则函数y ＝f 是减函数．知能训练1．函数y ＝log 2x －2的定义域是( )．A ．(3，＋∞)B ．．∵x 2＞x 1＞3，∴x 2－x 1＞0,2－(x 1＋x 2)＜0.∴(x 21－2x 1－3)＜(x 22－2x 2－3)．又底数0＜12＜1， ∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.∴y 在(3，＋∞)上是减函数．同理可证y 在(－∞，－1)上是增函数．3．已知y ＝log a (2－a x )在上是x 的减函数，求a 的取值范围．解：因为a ＞0且a ≠1，(1)当a ＞1时，函数t ＝2－a x ＞0是减函数；由y ＝log a (2－a x )在上是x 的减函数，知y ＝log a t 是增函数，所以a ＞1；由x ∈时，2－a x ≥2－a ＞0，得a ＜2，所以1＜a ＜2.(2)当0＜a ＜1时，函数t ＝2－a x ＞0是增函数；由y ＝log a (2－a x )在上是x 的减函数，知y ＝log a t 是减函数，所以0＜a ＜1.由x ∈时，2－a x ≥2－1＞0，所以0＜a ＜1.综上所述，0＜a ＜1或1＜a ＜2.设计感想本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容，对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广，容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．(设计者：路致芳)。

对数函数的图像与性质（）☆学生版☆
学习目标：
.掌握对数函数函数的图像与性质.
.对数函数性质的应用.
重点：对数函数函数的图像与性质
难点：对数函数性质的应用
学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。

将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。

一、自主学习
二、我的疑惑（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，在课堂上与老师和同学们探究解决。

）
三、合作探究
★、教材页例
★、教材页例
★★、函数的图像一定经过的定点是什么？
四、课堂检测
教材页练习。

对数函数的图像和性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质．(2)能初步运用对数的性质解决问题．2．过程与方法让学生通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质．3．情感、态度与价值观(1)培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；(2)培养学生严谨的科学态度．●重点难点重点：掌握对数函数的图像和性质．难点：利用对数函数的图像和性质解决问题．本节课重点的突破方法是让学生认识底数对函数值变化的影响，借助于信息技术，调动学生积极主动地参与获得性质的过程；在利用图像和性质解决问题时，尤其是比较大小时，对于学生以小组为单位自主探究有一定的挑战性，教师应调整角色，让学生成为学习的主人，教师在其中起引导作用即可．(教师用书独具)●教学建议新课程强调教师要调整自己的角色，改变传统的教育方式，在教育方式上，以学生为中心，让学生成为学习的主人，教师在其中起引导作用即可．基于此，本节课重点采用问题探究和启发引导式的教学方法．从预习交流心得出发，到探索新问题，再到题后的回顾总结，一切以学生为中心，处处体现学生的主体地位，让学生多讨论、多分析、多思考、多总结，引导学生运用自己的语言阐述观点，加强理解，在生生合作、师生互动中解决问题，为提高学生分析问题、解决问题的能力打下基础．本节课采用多媒体辅助教学，节省时间，加快课程进度，增强了直观形象性．●教学流程复习函数y ＝log 2x 和y ＝log 12x 的图像和性质，引出底数为a 时函数图像问题⇒通过几何画板作出函数的图像，当底数变化时，直观感受图像的变化情况⇒归纳出对数函数的性质，借助性质解决比较大小问题，完成例1及其变式训练⇒根据函数的单调性解决解不等式问题，尤其对于底数含参数的情况进行分类讨论问题，完成例2及其变式训练⇒结合对数函数的性质，研究和对数函数有关的奇偶性和单调性问题，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第54页)作出函数y ＝log 2x 和y ＝log 12x 的图像如下：1．函数y ＝log 2x 的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？ 【提示】 定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)． 函数值变化情况：x >1时，y >0；x ＝1时，y ＝0； 0<x <1时，y <0.单调性：在(0，＋∞)上是增函数．2．函数y ＝log 12x 的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？【提示】 定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)， 函数值变化情况：x >1时，y <0；x ＝1时，y ＝0； 0<x <1时，y >0.单调性：在(0，＋∞)上是减函数． 3．它们的图像有什么关系？ 【提示】 关于x 轴对称．(见学生用书第54页)比较下列各组数的大小：(1)log2π与log20.9；(2)log20.3与log0.20.3；(3)log0.76,0.76与60.7.【思路探究】(1)利用对数函数的单调性；(2)寻求中间量或利用函数图像；(3)一般先看正负，再利用中间量．【自主解答】(1)∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，∴log2π>log20.9.(2)∵log20.3<log21＝0，log0.20.3>log0.21＝0，∴log20.3<log0.20.3.(3)∵60.7>60＝1,0<0.76<0.70＝1，log0.76<log0.71＝0，∴60.7>0.76>log0.76.1．比较两个对数值大小的方法：(1)单调性法：当底数相同时，构造对数函数利用其单调性来比较大小，如本题(1)；(2)中间量法：当底数和真数都不相同时，通常借助常数(常用－1,0,1)为媒介间接比较大小，如本题(2)；(3)分组法：当三个(或以上)数式比较大小时，可先据其正、负，大于1或小于1分为两组，然后再用单调性或图像或中间差法比较大小，如本题(3)．。

§5 对数函数5．1 对数函数的概念5．2 对数函数y＝log2x的图像和性质1. 理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系．2. 了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数．(难点、易混点)3. 会画具体函数的图像．(重点)[基础·初探]教材整理 1 对数函数的概念阅读教材P89～P90“分析理解”以上部分，完成下列问题．1. 定义一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数．2. 两类特殊的对数函数常用对数函数：y＝lg x，其底数为10.自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数e.给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3(x－1)；③y＝log x＋1x；④y＝logπx.其中是对数函数的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ①②不是对数函数，因为真数不是只含有自变量x ；③不是对数函数，因为底数不是常数；④是对数函数．故选A. 【答案】 A 教材整理 2 反函数阅读教材P 90从“分析理解”～P 91“练习”间的部分，完成下列问题． 指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的反函数；同时对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)也是指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的反函数，即指数函数与对数函数互为反函数．函数y ＝x 的反函数是________．【解析】 y ＝x 的反函数是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .【答案】 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x教材整理 3 函数y ＝log 2x 的图像和性质 阅读教材P 91～P 93有关内容，完成下列问题.1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2log 2x 是对数函数．( )(2)函数y ＝3x的反函数是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.( )(3) 对数函数y ＝log 2x 在(1，＋∞)上是增函数．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√2. log 2π________log 2e.(用“>”“<”填空)【解析】 因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，π>e ，故log 2π>log 2e. 【答案】 >[小组合作型](1)y ＝lg(x ＋1)＋3x 21－x ；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．【精彩点拨】 由题意列出不等式组，再解不等式组，得出函数的定义域． 【尝试解答】 (1)要使函数有意义， 需⎩⎨⎧ x ＋1>0，1－x >0，即⎩⎨⎧x >－1，x <1， ∴－1<x <1，∴函数的定义域为(－1,1)． (2)要使函数有意义，需⎩⎨⎧5－x >0，x －2>0，x －2≠1，∴⎩⎨⎧x <5，x >2，x ≠3，∴定义域为(2,3)∪(3,5)．求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题.同时应注意求函数定义域的解题步骤.[再练一题]1. 求下列函数的定义域． (1)y ＝－log 2(1－x )；(2)y ＝lg(x －1)＋log (x ＋1)(16－4x )． 【解】 (1)要使函数有意义， 需有⎩⎨⎧1－x >0，－log 2(1－x )≥0，即⎩⎨⎧x <1，log 2(1－x )≤0， 解得0≤x <1，所以函数的定义域为[0,1)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎨⎧x －1>0，16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎨⎧x >1，x <2，x >－1，x ≠0，∴1<x <2，故所求函数的定义域为(1,2).(1)y ＝10x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ；(3)y ＝x; (4)y ＝log 7x . 【导学号：04100060】【精彩点拨】 根据指数式与对数式的互化写出．【尝试解答】 (1)指数函数y ＝10x ，它的底数是10，它的反函数是对数函数y ＝lg x .(2)指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ，它的底数是45，它的反函数是对数函数y ＝x .(3)对数函数y ＝x ，它的底数是13，它的反函数是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .(4)对数函数y ＝log 7x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数y ＝7x .反函数的求法： (1)由y ＝a x (或y ＝log a x )，解得x ＝log a y (或x ＝a y )； (2)将x ＝log a y (或x ＝a y )中的x 与y 互换位置，得y ＝log a x (或y ＝a x )； (3)由y ＝a x (或y ＝log a x )的值域，写出y ＝log a x (或y ＝a x )的定义域.[再练一题]2. 求下列函数的反函数． ①y ＝ln x ；②y ＝log 5x ；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x .【解】 ①对数函数y ＝ln x ，底数为e ，它的反函数是y ＝e x ； ②对数函数y ＝log 5x ，底数为5，它的反函数是y ＝5x ； ③指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ，底数为45，它的反函数是y ＝x .[探究共研型]探究 1 2【提示】 函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }． 函数解析式可化为y ＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，log 2(－x )，x <0，其图像如图所示． (其特征是关于y 轴对称)．探究 2 画出函数y ＝|log 2x |的图像，并写出它的单调区间． 【提示】 y ＝|log 2x |＝⎩⎨⎧－log 2x ， 0<x ≤1，log 2x ， x >1，其图像如图所示，增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1)．根据函数f (x )＝log 2x 的图像和性质求解以下问题： (1)若f (x －1)>f (1)，求x 的取值范围； (2)求y ＝log 2(2x －1)在 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，52上的最值．【精彩点拨】 可依据y ＝log 2x 的图像，借助函数的单调性解不等式，求最值．【尝试解答】 作出函数y ＝log 2x 的图像如图．(1)由图像知y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数． 因为f (x －1)>f (1)，所以x －1>1，解得x >2，所以x 的取值范围是(2，＋∞)． (2)∵34≤x ≤52，∴12≤2x －1≤4，∴log 212≤log 2(2x －1)≤log 24，所以－1≤log 2(2x －1)≤2， 故函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，52上的最小值为－1，最大值为2.函数f (x )＝log 2x 是最基本的对数函数，它在(0，＋∞)上是单调递增的，利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小.[再练一题]3. 利用函数f (x )＝log 2x 的图像和性质解决以下问题： (1)比较log 245与log 2 34的大小； (2)若log 2(2－x )>0，求x 的取值范围．【解】 (1)函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， 又∵45>34，∴log 2 45>log 2 34.(2)log 2(2－x )>0，即log 2(2－x )>log 21， ∵函数y ＝log 2x 为增函数， ∴2－x >1，∴x <1.∴x 的取值范围为(－∞，1)．1. 函数y ＝log a13x ＋7的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－73，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－73D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－73 【解析】 由题意3x ＋7>0，x >－73，故函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，＋∞.【答案】 B2. 函数y ＝log 2(x 2＋2)的值域是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．(－1,0]【解析】 函数y ＝log 2x 是增函数，因为x 2＋2≥2，所以log 2(x 2＋2)≥log 22＝1.故选B.【答案】 B3. 若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为________． 【解析】 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，则2＝log a 4＝log a 22＝2log a 2，即log a 2＝1，∴a ＝2，故所求函数解析式为y ＝log 2x .【答案】 y ＝log 2x4. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (x >0)，3x (x ≤0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________.【导学号：04100061】【解析】 f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 214＝f (－2)＝3－2＝19.【答案】 195. 写出下列函数的反函数： (1)y ＝log 2(2x )；(2)y ＝e 3x .【解】 (1)对数函数y ＝log 2(2x )的底数是2，所以2x ＝2y ，即x ＝12·2y＝2y －1，因此，函数y ＝log 2(2x )的反函数为y ＝2x －1.(2)指数函数y ＝e 3x ，它的底数是e ，所以3x ＝ln y ，取x ＝13 ln y ，所以y ＝e 3x 的反函数是y ＝13ln x (x >0)．。