高中数学—16—对数反函数—学生版

第16讲对数函数及其性质1．理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域；2．初步掌握对数函数的图象与性质；3．能够利用对数函数的单调性比较大小、能够解简单的对数型不等式；4．了解反函数的概念及它们的图象特点；一、对数函数的概念1、定义：函数y =log a x （0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为()0,∞+．2、特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =.（2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =.二、对数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0当0＜x ＜1时，y ＞0；当x ＞1时，y ＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数【小结】当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势；当1a >时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；01a <<时，a 越小，图象向右越靠近x 轴.三、判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如log (01)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x四、利用对数函数的单调性比较大小常用方法1、同底数的两个对数值的大小比较，常利用对数函数的单调性进行比较；2、底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引用中间变量法比较，通常取中间变量为-1,0,1等；3、底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常利用数形结合思想来比较，也可利用换底公式化为同底，再进行比较。

考点一：对数函数概念及应用例1．下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a y x =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【变式训练】（多选）下列函数为对数函数的是（）A ．()()1log m f x x -=（1m >，且2m ≠）B ．()3lg f x x=C ．()ln f x x=D ．()ln ef x x =+考点二：求对数型函数的定义域例2．函数()1lg f x x=的定义域为__________.【变式训练】函数()()22log 2f x x x =-的定义域为（）A ．(),0∞-B ．()2,+∞C ．()0,2D ．()(),02,-∞+∞ 考点三：对数函数的图象判断例3．如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数15log y x =，17log y x =，5log y x =的一个是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）【变式训练】如图是对数函数log a y x =的图象，已知a 5，53，45，18，则相应的1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是（）A ．18，45，535B 553，45，18C ．53545，18D 553，18，45考点四：对数函数过定点问题例4．若函数()log (2)7a f x x =-+(0a >，且)1a ≠的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为______．【变式训练】函数()()lg 213f x x =-+的图象过定点P ，则点P 的坐标是______.考点五：对数型函数的单调性判断例5．函数()20.5log 2y x x =--的单调递增区间为（）A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式训练】已知函数()2()ln 344f x x x =-++，则()f x 的单调增区间为_______.考点六：利用对数函数的性质比较大小例6．下列不等式错误的是（）A ．0.50.5log 2.2log 2.3>B ．36log 4log 5>C ．35log 10log 20>D ．πe log e log π>【变式训练】（多选）已知22log e,ln 2,log πa b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a>B ．a b>C ．c a>D ．a c>考点七：解简单的对数型不等式例7．不等式()3log 212x -≤的解集为（）A ．3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,52⎛⎤⎥⎝⎦C ．(],5∞-D ．7,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【变式训练】已知21log log 2aa a <（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为____________.考点八：对数型函数的奇偶性判断例8．设函数3()lg 11xf x x+=+--，则下列函数中为奇函数的是（）A ．(2)1f x --B ．(2)1f x -+C ．(2)1f x +-D ．(2)1f x ++【变式训练】若函数())2log f x x a =--为奇函数，则a =____________．考点九：对数型函数的值域求解例9．函数2log y x =在[]1,2上的值域是（）A ．RB ．(－∞，1]C ．[0，1]D ．[0，＋∞)【变式训练1】函数()()22log f x x x =-，[]2,5x ∈的值域为（）A ．[]21,2log 5+B ．[]1,2C ．[]22,log 10D ．[]22,1log 5+【变式训练2】函数())2log 2,f x x x =∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的最小值为________．考点十：反函数的概念及应用例10．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（）A ．4xy =B ．4xy -=C ．14log y x=D ．4log y x=【变式训练】已知函数()f x 为2log y x =的反函数，则(4)f =__________．1．若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f =（）A ．－2B ．－1C ．1D ．23．下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上是增函数的是（）A ．()lg f x x=B ．()0.3xf x =C ．()3f x x=D ．()21f x x =4．当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（）A．B ．C ．D．5．图中曲线是对数函数log a y x =的图象，已知a43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为()A 343，35，110B 343，110，35C ．43335，110D ．433110，356．若0.13a =，131log 2b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b<c<aD ．c b a<<7．函数()2)1lg(2e 2xf x x x =+--的定义域为___．8．函数log (27)2a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图像一定经过的点是________．9．函数2log (1)(2)y x x =--的单调递减区间是____________.10．若点()2,4P 在函数lo ()g a f x x =的图像上，点(),16Q m 在()f x 的反函数图像上，则m =______.11．若110x <<，2(lg )a x =，2lg b x =，lg(lg )c x =，则a ，b ，c 的大小关系是_____.12．函数21e x y -=的反函数为__________．13．已知函数()f x 为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，当0x >时，()log a f x x =的图象过点(5,2)．（1）求a 的值：（2）求()f x 的解析式；（3）求不等式()4f x >的解集．14．已知函数()()()log 3log 3,0a a f x x x a =+-->且1a ≠.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）若0a >，指出函数的单调性，并求函数()f x 在区间[]0,1上的最大值.15．已知函数()log a f x x =过(2,1)-点．（1）求()f x 解析式；（2）若2()(45)g x f x x =-++，求()g x的值域．1．下列函数是对数函数的是()A ．2log y x =B ．ln(1)y x =+C ．log ex y =D ．log x y x=2．函数()f x =）A ．(]0,2B ．()0,2C ．()(]0,11,2 D ．()()0,11,2 3．函数()()log 352(0a f x x a =-+>且1)a ≠恒过定点（）A ．()2,0B ．()2,2C ．()1,0D ．()1,24．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<5．函数22log (2)y x x =+≥的值域为（）A ．(3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]6．已知0.3113211log 2log 32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则有（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．c a b<<7．已知()f x 为对数函数，122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则f=______．8．已知函数()f x 是函数x y a =(0a >且1)a ≠的反函数，且()f x 的图象过点()5,2，则=a _______.9．已知()()0.60.6log 2log 1x x +>-，则实数x 的取值范围是_______.10．函数()()1ln 102y x x =->的单调递增区间是________．11．函数()212log 617y x x =-+的值域是__________．12．比较下列各组中两个数的大小：（1） 1.2log 1.6， 1.2log 1.7；（2）23log 0.5，23log 0.6；（3）log 0.9a ，log 0.8a ．13．求下列函数的反函数．（1）13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）51y x =+；（3）2y x =（0x ≤）．14．已知函数42()lg(1)lg(1)2f x x x x x =-+++-．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性．15．已知2a >，函数()y f x =的表达式为44()log (2)log ()f x x a x =---．（1）求()f x 的定义域；（2）当4a =时，求不等式(25)(3)f x f -≤的解集．。

基础例题1.函数f （x ）=|log 2x|的图象是CD2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x+1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y=f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y=x 7zC.y=7x zD.y=z x 5.已知1＜m ＜n ，令a=（log n m ）2，b=log n m 2，c=log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22 C.41 D.21 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21B.－21 C.2D.－28.函数f （x ）=log2|x|，g （x ）=－x2+2，则f （x ）·g（x ）的图象只可能是ABCD9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x+1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a+b ）的值为 A.1 B.2 C.3 D.log 23 10.方程lgx+lg （x+3）=1的解x=___________________. 典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为A.31B.61C.121D.241 【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.【例4】已知y=log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.【例6】 求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x ）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x探究创新1.若f （x ）=x 2－x+b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y= f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y= f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y=g （x ）的图象，若2 f－1（x+m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.。

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图像；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.1.对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1，N >0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图像与性质a >10<a <1图像性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log a m b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1，0)，且过点(a ，1)函数图像只在第一、四象限.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)log 2x 2＝2log 2x .()(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.()(3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.()(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .()2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.63.(2021·天津卷)设a ＝log 20.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b4.(易错题)函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图像恒过的定点是________.5.(易错题)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy＝________.6.若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________.考点一对数的运算1.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝()A.116B.19C.18D.162.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10－10.13.(2021·天津卷)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝()A.－1B.lg 7C.1D.log 7104.计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.考点二对数函数的图像及应用例1(1)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图像大致为()(2)若方程4x ＝log a x 0，12上有解，则实数a 的取值范围为________.训练1(1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是()A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)已知函数f (x )log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.考点三解决与对数函数的性质有关的问题角度1比较大小例2(1)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则()A.a >b >cB.a >c >bC.c>b>aD.c>a>b(2)若实数a，b，c满足log a2<log b2<log c2<0，则下列关系中正确的是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b(3)(2021·衡水中学检测)已知a，b＝log120.2，c＝a b，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a角度2解对数不等式例3(1)(2022·太原质检)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________.(2)不等式log a(a2＋1)<log a(2a)<0，则a的取值范围是________.角度3对数型函数性质的综合应用例4已知函数f(x)＝log(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.训练2(1)(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c <b <aB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为________.(3)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.1.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是()A.d ＝acB.a ＝cdC.c ＝adD.d ＝a ＋c2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝x ＋43x ＋的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是()A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]3.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f (lg 5)＋()A.2B.4C.6D.84.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是()A.c <b <aB.b <a <cC.a <c <bD.a <b <ca>0，且a≠1)的图像可能是5.在同一直角坐标系中，函数y＝1a x，y＝log()6.已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法：①f(x)的图像关于原点对称；②f(x)的图像关于y轴对称；③f(x)的最大值为0；④f(x)在区间(－1，1)上单调递增.其中正确的是()A.①③B.①④C.②③D.②④7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝log a(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则b＝________.8.计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝________.9.函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________.10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝log a(x＋1)(a>0，且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式；(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围.11.已知函数f(x)＝log21＋ax(a为常数)是奇函数.x－1(1)求a的值与函数f(x)的定义域；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln5≈1.609)()A.11hB.21hC.31hD.41h13.已知函数f(x)log2（x－1），x>1，2x，x≤1，且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围为()A.(0，1)B.(0，1]C.(1，2)D.(0，2]14.(2022·郑州调研)在①f(x)＋f(－x)＝0，②f(x)－f(－x)＝0，③f(－2)＝－f(2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.已知函数f(x)＝log2(x2＋a＋x)(a∈R)满足________.(1)求a的值；(2)若函数g(x)＝2f(－x)＋1－x2＋1，证明：g(x2－x)≤54.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.。

高一反函数知识点随着数学课程的深入学习，高中一年级的学生将接触到更多的数学概念和知识点。

在这篇文章中，我将为大家介绍高一学生将学习的一个重要内容，那就是反函数（Inverse Function）。

一、反函数的定义及性质反函数指的是由一个函数得到的新函数，其输入和输出之间的关系与原函数相反。

如果一个函数f的定义域与值域分别为A和B，那么对于B中的每一个元素b，存在一个唯一的元素a，使得f(a) = b。

这时候我们将这个新函数称为f的反函数，记作f^-1。

一个函数与其反函数之间存在以下几个性质：1. 函数f与其反函数f^-1互为关联：f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。

即使用一个函数后再使用其反函数，或者先使用反函数再使用原函数，最终结果都会回到原来的输入。

2. 函数与其反函数的图像关于直线y = x对称：如果一个点(x, y)在函数f的图像上，那么点(y, x)则会在反函数f^-1的图像上。

3. 函数的定义域和值域互换：如果f的定义域为A，值域为B，那么f^-1的定义域就是B，值域就是A。

二、求反函数的方法在学习反函数时，我们面临的主要问题就是如何求得一个函数的反函数。

下面是几种常见的求反函数的方法：1. 代数法对于一些简单的函数，我们可以使用代数法求取其反函数。

具体的步骤是：- 将函数表示为y = f(x)的形式；- 将原方程中的y替换为x，将x替换为y，并且解出y；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。

2. 图像法对于一些能够绘制出函数图像的函数，我们可以使用图像法求取其反函数。

具体的步骤是：- 绘制出函数f的图像；- 将图像关于直线y = x进行对称；- 根据对称后的图像，确定反函数的图像。

3. 复合函数法对于一些较为复杂的函数，我们可以使用复合函数法求取其反函数。

具体的步骤是：- 假设函数f的反函数为f^-1(x)，即y = f^-1(x)；- 将f(y)替换为x，并解出关于y的方程；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。

所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。

通俗点即原函数：y=3x-1 反函数：。

由此可以得出解决反函数的第一种方法：反表示法。

就是将原函数反表示后，再写成函数形式。

例如：y=3x-1求此反函数。

可以这样做：原函数y=3x-1但是这种反表示法限于一定范围之类，就是只能反表示一示简单的函数，对于比较复杂的如二次函数，就不行了，因此还有另外方法：配方法。

但是为什么此题有两解。

这是引发了定义域的问题。

从定义上我们发现反函数中自变量x即为原函数变量y。

所以，原函数定义域为反函数值域。

所以上题中“”这一答案需要舍去因为它不符合原函数定义域，值域。

因此在今后解题中需要注意，原函数的定义域。

还有一种解决反函数问题的方法：求解法。

就是把函数方程x当未知数来解。

例如“”求反函数原方程:原方程解：所以解决反函数问题时需要三者兼用，方可收到显著效果。

在往常练习中同学们还会遇到某些问题，如“已知”遇此类问题时，不妨这样解。

填空或大题中还有此类题“已知，求实数a。

”有些同学初拿此题不知从何处下手。

其实只需写出，一切都可解开。

解：反函数与原函数最大连联还不在于解析式，而在于图象关于y=x对称。

所以有些题可利用图象即数形结合求解。

如“奇函数y=f(x)(x∈R)有反函数y=f-1(x)，则必有在y=f-1(x)的图象上点是：A. (-f(a),a)B. (-f(a),-a)C. (-a,-f-1(a))D. (-a,-f-1(a))此题被老师打上星号，因为它将众知识联合起来。

解：f(x)为奇函数∴f(-a)=-f(a)f(x)必有（a,f(a)),也必有（-a,-f(a))f(x)与-f(x)关于y=x 对称，∴f-1(x)上必有（-f(a),-a).“设函数的反函数为φ（x),又函数φ（x)与φ（x+1)图象关于直线y=x对称，求g （2）。

”此题关键在于反函数φ（x)。

多次反函数，可求解。

专题13 对数函数(对数函数的定义与图像，对数函数的性质）知识梳理一、对数函数1、对数函数定义：O y(0,1)x y a a a =>≠互为反函数。

2、性质：（1）对数函数log a y x =的图像都在y 轴的右方；（2）对数函数log a y x =的图像经过点（1,0）；（3）对数函数log (1)a y x a =>,当x>1时，y>0；当0<x<1时， y<0；对数函数log (01)a y x a =<<,当x>1时，y<0；当0<x<1时， y>0；（4）对数函数log (1)a y x a =>在（0，+∞）上是增函数，对数函数log (10)a y x a =>>在（0，+∞）上是减函数。

（5）对数函数图像在第一象限的规律是：以直线x=1把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，C 1，C 2，C 3，C 4对应1log a y x =，2log a y x =，3log a y x =，4log a y x =，则0<a 4<a 3<1<a 2<a 1。

3、复合函数的单调性在复合函数[()]y f g x =中，如果()u g x =和()y f x =的增减性相异，则[()]y f g x =为减函数，如果()()u g x y f x ==和的增减性相同，则[g()]y f x =为增函数。

例题解析一、对数函数的概念与简单运用【例1】求下列函数的定义域（1）2log (162)x x y +=- （2）1lg(23)y x =+【例2】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数1[log (3)]y f x =-的定义域。

【例3】若132log >a ，则a 的取值范围是（ ） A ．231<<a B ．23110<<<<a a 或C ．132<<a D ．1320><<a a 或【例4】函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16]【例5】已知函数2()lg(1)f x ax ax =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

对数运算及对数函数应用一、基础知识精析1.对数的概念：如果(01)x a N a a >≠＝，且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N ＝，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2.对数的运算法则:如果0,1,0,0a a N M >≠>>有:log ()log log a a a MN M N=+log log log aa a MM NN =-log log n m a a m M M n = 3.对数换底公式：aNN m m a log log log =( 0 ,10 ,1,0)a a m m N >≠>≠>，4.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mnb a na m log log =, 01a b >（且均不为）5.对数函数的性质：a>10<a<1图像1111性质定义域：（0，+∞）值域：R过定点（1，0），即当1=x 时，0=y6.同底的指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数7.指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()()()log , log f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）()()()()()(), log log ()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)()log ()log ()log log ()/log a b a a a f x g x f x g x b =⇔= (换底法) 二．基础强化训练1．计算：(1)2log 210＋log 20.04＝________； (2)lg3＋2lg2－1lg1.2 ＝________；(3)lg 23－lg9＋1＝________； (4)13log 168＋2log 163＝________； (5)log 6112－2log 63＋13log 627＝________.（6）421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++=____________(7)若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，m =______________2．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b1－a3．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pq B.qp ＋qC.pp ＋qD.pq1＋pq4．当1>a 时，函数x y a log = 和x a y )1(-= 的图像只可能是（ ）5．设0>a 且1≠a ，则函数x a y =和 xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1的图像关于_________对称；函数x y a log = 与x y a1log = 的图像关于__________对称；函数 x a y =和 x y a log =的图像关于________对称． 6、比较大小：（1）log 60.8 ,log 69.1; (2)log 1.07 , log 1.09；（3）log 1.0 5 ，log 3,2 5 ； （4）log a 4 ,log a 6(a>0,a ≠1)(5)log 34 ，log 43 ； （6）log 34 ，log a 6；7．如图，曲线是对数函数x y a log = 的图像，已知a 的取值 10153343，，，，则相应于曲线4321,,,C C C C 的a 值依次为( )．A ．10153343，，，B ．53101343，，，C ．10153334，，，D ． 53101334，，，8．如果 03log 3log >>b a ，那么a ，b 之间的关系是（ ） A ．10<<<b a B ．b a <<1 C ．10<<<a b D ．a b <<19．已知2log log log 532-===z y x ，则x ，y, z 由小到大的排列顺序是___________．10．已知函数)42(log 221++=x x y ，则()1996-f 与()1995-f 的大小关系是_______．11.已知0<x<1，()3log 1x x f += ，()2log 2x x g = ，试比较()x f 与()x g 的大小．12．已知函数()2ln2ln)(2--+=x x x f ，证明：()x f 的图像关于原点对称13．函数()25.04log x x y -=的值域为__________14．求函数 ()32log 221--=x x y 的单调区间．15．设函数()x f y =且 ()()x x y -+=3lg 3lg lg lg ． （1）求()x f 的解析式，定义域；（2）讨论()x f 的单调性，并求()x f 的值域．三．高考在线1.（2011北京）为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 2.（2011重庆)设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<3.（2011北京）如果1122log log 0x y <<，那么（ ）()1A y x << ()1B x y << ()1C x y << ()1D y x <<4．（2011天津）已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6ab c 则（ ）A.a b c >> B ．a c b C.b a c >> D.c a b >>5.（2011江苏）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________6．（2011陕西）设lg ,0()10,0xx x f x x>⎧=⎨⎩，则((2))f f -=______7.(2011四川)计算121(lg lg 25)100=4--÷ .8.（2013浙江）已知y x ,为正实数,则（ ）A.y x y x lg lg lg lg 222+=+B.y x y x lg lg )lg(222•=+C.y x y x lg lg lg lg 222+=•D.y x xy lg lg )lg(222•=四．课后作业1、求下列函数的值域：（1）2log (3)y x =+； （2）22log (3)y x =-；2、（1）求函数2132log (32)y x x =-+的单调区间。

高考数学反函数知识点在高考数学中，反函数是一个重要的知识点。

通过学习反函数，我们可以更深入地理解函数概念，并在解决实际问题中灵活运用。

一、反函数的定义函数可以理解为一种映射关系，将一组自变量映射到一组因变量。

反函数则是指这个映射关系的逆过程，即将因变量映射回相应的自变量。

如果函数y=f(x)的定义域是X，值域是Y，那么反函数y=f^(-1)(x)的定义域是Y，值域是X。

二、反函数的性质1. 函数与反函数互为逆过程。

即函数f和反函数f^(-1)满足以下关系：f(f^(-1)(x))=x，f^(-1)(f(x))=x。

2. 函数与反函数的图像关于y=x对称。

这意味着函数的图像和其反函数的图像在y=x这条直线上对称。

三、求反函数的方法要求一个函数的反函数，可以按照以下步骤进行：1. 将函数中的自变量x和因变量y互换，得到y=f(x)。

2. 求解方程y=f(x)，将x表示为y的函数，得到y=f^(-1)(x)。

四、反函数的存在性和唯一性并非所有函数都存在反函数。

函数的反函数存在的条件是函数必须是一一对应的。

也就是说，函数中的每一个自变量对应一个唯一的因变量，且不同的自变量对应不同的因变量。

如果函数是一对一的，那么它的反函数存在且唯一。

五、反函数的应用1. 求解方程。

通过求解方程y=f(x)，可以将x表示为关于y的函数，从而求得该方程的解。

2. 函数关系的理解。

通过研究函数和反函数之间的关系，可以更深入地理解它们之间的性质和特点。

3. 函数图像的分析。

函数图像和其反函数图像在y=x上对称，通过对函数图像和反函数图像的分析，可以更好地理解函数的形态和性质。

六、注意事项在使用反函数时，需要注意以下几点：1. 函数必须是一对一的，否则反函数不存在。

2. 反函数的定义域和值域与原函数相反。

3. 在求解方程时，要注意是否使用了正确的反函数。

结语通过学习反函数知识点，我们可以更深入地理解函数的概念和性质。

掌握反函数的定义、性质、求解方法和应用，对于高考数学的考查和实际问题的解决都具有重要意义。

高中数学函数知识点总结一、. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 二、. 求函数的定义域有哪些常见类型？()()例：函数的定义域是y x x x =--432lg函数定义域求法：● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

●正切函数x y tan = ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

三、. 如何求复合函数的定义域？[]的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。

复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。

例 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。

四、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面.112..22222222ba y 型：直接用不等式性质k+xbxb. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx n x mx nd. y 型x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。