3.2.3指数函数与对数函数的关系习题课学生版

指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称定义图象定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况变化对图象的影响指数函数函数且叫做指数函数图象过定点，即当时，.非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小 .对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称定义函数对数函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性图象过定点，即当非奇非偶时，.单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，看图象，逐渐减小 .逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向指数函数习题一、选择题aa ≤ b，则函数 f ( x ) ＝1?2x 的图象大致为 ()1．定义运算 a ?b ＝>b a b2．函数 f ( x ) ＝ x 2－bx ＋ c 满足 f (1 ＋ x ) ＝f (1 － x ) 且 f (0) ＝3，则 f ( b x ) 与 f ( c x ) 的大小关系是()xxA ． f ( b ) ≤ f ( c ) x xB ． f ( b ) ≥ f ( c )xxC ． f ( b )> f ( c )D ．大小关系随 x 的不同而不同3．函数 y ＝ |2 x － 1| 在区间A ． ( － 1，＋∞ )C ． ( － 1,1)( k － 1， k ＋ 1) 内不单调，则 k 的取值范围是 ()B ． ( －∞， 1)D ． (0,2)4．设函数 f ( x ) ＝ln [( x －1)(2 －x)] 的定义域是 ，函数 ( ) ＝ lg(x － 2x －1) 的定义域是 ，Ag xaB若 ?，则正数a 的取值范围 ()ABA ． a >3B ． a ≥ 3C ． a > 5D ． a ≥ 5．已知函数 f (x ＝ 3－ a x －3， x ≤ 7，若数列 { a n 满足 a n ＝ f (n )(n ∈ * ，且 {a n }是递5 ) a x － 6， x >7. } N) 增数列，则实数a 的取值范围是 ()A ． [ 9， 3)B ． ( 9， 3) 44C ． (2,3)D ． (1,3)2x16．已知 a >0 且 a ≠ 1，f ( x ) ＝ x － a ，当 x ∈ ( － 1,1) 时，均有 f ( x )< 2，则实数 a 的取值范围 是( )1 1 A ． (0 ， 2] ∪ [2 ，＋∞ ) B ． [ 4， 1) ∪ (1,4]11C ． [ 2， 1) ∪ (1,2]D ． (0 ， 4) ∪ [4 ，＋∞ )二、填空题xa7．函数 y ＝ a ( a >0，且 a ≠ 1) 在 [1,2] 上的最大值比最小值大 2，则 a 的值是 ________．8．若曲线 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是 ________．| x|的定义域为9． (2011 ·滨州模拟 ) 定义：区间 [x 1，x 2 ]( x 1<x 2) 的长度为 x 2－ x 1. 已知函数 y ＝ 2 [a ， b] ，值域为 [1,2] ，则区间 [a ， b] 的长度的最大值与最小值的差为 ________．三、解答题10．求函数y＝2x2 3x 4 的定义域、值域和单调区间．11．(2011 ·银川模拟 ) 若函数y＝a2x＋ 2a x－1( a>0 且a≠ 1) 在x∈ [－ 1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x) ＝ 3x，(a＋ 2) ＝ 18， (x) ＝λ·3ax－4x的定义域为 [0,1] ．f g(1)求 a 的值；(2) 若函数g( x) 在区间 [0,1] 上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1. 解析：由? ＝ a a≤ b x2x x≤0，b a>b x>0 .1答案： A2. 解析：∵f (1 ＋x) ＝f (1 －x) ，∴f ( x) 的对称轴为直线x＝1，由此得 b＝2.又 f (0)＝3，∴c＝3.∴f ( x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．x≥2x≥ 1，∴ (3 x) ≥(2 x) ．若 x≥0，则3f f若 x<0，则3x<2x<1，∴f (3x)> f (2x)．∴f (3x)≥ f (2x)．答案： A3.解析：由于函数 y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间 ( k－ 1，k＋ 1) 内不单调，所以有答案： Ck－1<0<k＋1，解得－1<k<1.4.解析：由题意得： A＝(1,2)x x>1x x>1在(1,2)上恒成立，即，a－ 2且 a>2，由 A? B知 a－ 2x x上恒成立，令x x xln a－2xln2>0 ，所以函数a－2 － 1>0 在 (1,2)u( x)＝a－ 2－ 1，则u′( x) ＝au ( x ) 在 (1,2) 上单调递增，则 u ( x )> u (1) ＝ a － 3，即 a ≥ 3.答案： B*f ( n ) 为增函数，5. 解析： 数列 { a } 满足 a ＝ f ( n )( n ∈ N ) ，则函数nna >18－ 6－ ) × 7－ 3，所以 3－ a >0注意 a>(3，解得 2<a <3.aa8－6> 3－ a × 7－3答案： C1 2x1 21 x x21的图象，6. 解析： f ( x )<? x －a < ? x － <a ，考查函数 y ＝ a与 y ＝x － 2222当 a >1 时，必有 a－1≥1，即 1<a ≤ 2，21 1当 0<a <1 时，必有 a ≥ ，即 ≤a <1，2 2 1 综上， 2≤ a <1 或 1<a ≤ 2. 答案： C7. 解析： 当 a >1 时， y x在 [1,2] 上单调递增，故 2a3x＝ a a － a ＝ ，得 a ＝ . 当 0<a <1 时， y ＝ a2 22a在 [1,2] 上单调递减，故 a －a ＝ 2，得 a ＝ 2. 故 a ＝2或 2.1131 3答案： 2或28. 解析： 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．x＋1 与直线 y ＝ b 的图象如图所示，由图象可得：如果x＋ 1 与直线 y ＝ b曲线 | y | ＝ 2 | y | ＝ 2没有公共点，则 b 应满足的条件是 b ∈ [－ 1,1] ．答案： [－ 1,1]9. 解析： 如图满足条件的区间 [a ， b] ，当 a ＝－ 1， b ＝ 0 或 a ＝ 0， b ＝ 1 时区间长度最小，最小值为 1，当 a ＝－ 1，b ＝ 1 时区间长度最大，最大值为2，故其差为 1.答案： 110. 解： 要使函数有意义，则只需－ x 2－3x ＋ 4≥ 0，即 x 2＋ 3x －4≤ 0，解得－ 4≤ x ≤ 1.∴函数的定义域为 { x | －4≤ x ≤ 1} ．223225 令 t ＝－ x － 3x ＋ 4，则 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ ) ＋4，2253∴当－4≤ x ≤ 1 时， t max ＝ 4 ，此时 x ＝－ 2， t min ＝ 0，此时 x ＝－ 4 或 x ＝1.∴0≤t ≤ 25 . ∴0≤ －x 2－ 3x ＋ 4≤ 5 .4 2∴函数 y ＝ ( 1)x 23 x4的值域为 [ 2 ， 1] ．8223 225由 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ )＋4( － 4≤ x ≤ 1) 可知，23当－ 4≤ x ≤－ 2时， t 是增函数，3当－ 2≤ x ≤1 时， t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝ ( 1 )x 23 x 4在 [ － 4，－ 3 3] 上是减函数，在 [ － ，1] 上是增函数．22 233∴函数的单调增区间是 [ － 2， 1] ，单调减区间是 [ － 4，－ 2] ． 11. 解： 令x22tt >0y＝ t＋ 2t1＝ ( t＋ 1)2，其对称轴为t ＝－ 1.该二次函数a ＝ ，∴ ，则－－在[ － 1，＋ ∞ ) 上是增函数．x12①若 a >1，∵x ∈ [ － 1,1] ，∴t ＝ a ∈ [ a ， a ] ，故当 t ＝ a ，即 x ＝1 时， y max ＝a ＋ 2a － 1＝14，解得 a ＝ 3( a ＝－ 5 舍去 ) ．②若 0<a <1，∵x ∈ [ － 1,1] ，∴ ＝ x∈1 1＝－时，a [ a ， ] ，故当 t ＝ ，即 1t a ax12y max ＝ (a ＋ 1) － 2＝ 14.11∴a ＝3或－ 5( 舍去 ) ．1综上可得 a ＝ 3 或 3.12. 解： 法一： (1) 由已知得 a2 aa ＝log 32.3 ＋＝ 18? 3 ＝ 2?(2) 此时 g ( x ) ＝ λ·2x － 4 x ，设 0≤ x 1<x 2≤ 1，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，所以 g ( x ) － g ( x ) ＝ (2 x － 2x )( λ－ 2x － 2x )>0 恒成立，即 λ<2x ＋ 2x 恒成立．1 2 1 2 2 1 2 1由于 2x 2＋ 2x 1>2 ＋ 2 ＝ 2，所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.法二： (1) 同法一．(2) 此时 g ( x ) ＝ λ·2x － 4x ，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，所以有 g ′( x ) ＝ λln2 ·2x － ln4 ·4x ＝ ln2 [－ 2 ·(2x )2＋ λ·2x] ≤0 成立．x2 设 2 ＝ u ∈ [1,2] ，上式成立等价于－2u＋ λu ≤0 恒成立．因为 u ∈ [1,2] ，只需 λ≤2u 恒成立，所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知 3a2 ，那么 log3 8 2log 3 6 用 a 表示是（）A 、 a 2B 、 5a2C 、 3a (1 a)2D 、 3a a 22、 2log a (M 2N ) log a Mlog a N ，则M的值为（）A 、1NB 、4C 、1D 、 4 或 1413 、 已 知 x 2 y 2 1, x0, y 0 ， 且 log a (1 x) m,log a n,则 log a y 等 于1 x（）A 、 m nB 、 m nC 、 1m nD 、 1m n224、如果方程 lg 2 x (lg5lg 7)lgx lg5 glg 7 0 的两根是 ,，则 g的值是（）A 、 lg5 glg 7B 、 lg35C 、 35D 、13515、已知 log 7[log 3 (log 2 x)] 0，那么 x2等于（ ）A 、1B 、13 C 、1D 、1322 2336、函数 ylg2 1 的图像关于（）1 xA 、 x 轴对称B 、 y 轴对称C 、原点对称D 、直线 yx 对称7、函数 ylog (2 x 1) 3x2 的定义域是（）A 、 2,1 U 1,B 、 1,1 U 1,32C 、 2,D 、 1,328、函数 ylog 1 (x 2 6x17) 的值域是（）2A 、 RB 、 8,C 、, 3D 、 3,9、若 log m 9 log n 9 0 ，那么 m, n 满足的条件是（ ）A 、 m n 1B 、 n m 1C 、 0 n m 1D 、 0 m n 110、 log a 2 1，则 a 的取值范围是（）3A 、 0, 2U 1,B 、 2,C 、 2,1D 、 0, 2U 2,3333 311、下列函数中，在 0,2 上为增函数的是（）A 、 ylog 1 ( x1)B 、 y log 2 x 2 12C 、 ylog 2 1D 、 ylog 1 ( x 2 4x 5)x212、已知 g( x) log a x+1 ( a 0且a 1) 在 10， 上有 g( x)0 ，则 f ( x)a x 1 是（ ）A 、在 ,0上是增加的 B 、在 ,0 上是减少的C 、在, 1 上是增加的D 、在,0 上是减少的二、填空题13、若 log a 2 m,log a 3 n, a 2 m n 。

2021年高中数学 3.2.3指数函数与对数函数的关系课时作业 新人教A 版必修1课时目标 1.了解反函数的定义.2.知道指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1).3.通过描点法作出指数函数、对数函数的图象，掌握它们的性质．1．反函数(1)互为反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的________，而把这个函数的自变量作为新的函数的________．称这两个函数互为反函数．(2)反函数的记法：函数y ＝f (x )的反函数通常用________表示．函数y ＝f (x )与y ＝ f －1(x )______反函数．2．指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x ________.(2)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 的图象关于______对称．一、选择题1．函数f (x )＝3x (0<x ≤2)的反函数的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)2．下列函数中，反函数是其自身的函数为( )A ．f (x )＝x 2，x ∈[0，＋∞)B ．f (x )＝x 3，x ∈(－∞，＋∞)C ．f (x )＝e x ，x ∈(－∞，＋∞)D ．f (x )＝1x，x ∈(0，＋∞) 3．若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点( )A ．(1,1)B ．(1,5)C ．(5,1)D ．(5,5)4．已知f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (3)g (3)<0，则f (x )与g (x )在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )5．函数y ＝3x (－1≤x <0)的反函数是( )A ．y ＝x (x >0)B ．y ＝log 3x (x >0)C ．y ＝log 3x (13≤x <1) D ．y ＝x (13≤x <1) 6．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足f (27)＝3，则f －1(log 92)的值是( ) A ．log 3 2 B.22C. 2 D ．2题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．函数y 1＝log 3x 与函数y 2＝3x ，当x 从1增加到m 时，函数的增量分别是Δy 1与Δy 2，则Δy 1________Δy 2(填“>”，“＝”或“<”)8．函数y ＝3＋x (x ≥1)的反函数的定义域为__________．9．已知函数f (x )＝(12)x 的图象与函数g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝g (1－|x |)，则关于h (x )有下列命题：(1)h (x )的图象关于原点对称；(2)h (x )为偶函数；(3)h (x )的最小值为0.其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题10．求下列函数的反函数．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ；(2)y ＝log 2x ，x ∈(1,8)； (3)y ＝x 2＋1，x ∈(0，＋∞)．11．设方程2x ＋x －3＝0的根为a ，方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ，求a ＋b 的值．能力提升12．已知y ＝12x ＋a 与函数y ＝3－bx 互为反函数，求a ，b 的值．13．已知f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0)．(1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数图象上是否存在不同的两点，使过两点的直线平行于x 轴．学习本节内容要发现指数函数与对数函数的对立统一关系，能正确比较指数函数和对数函数的性质，能以它们为例对反函数进行解释和直观理解，掌握互为反函数的两个函数图象关于y ＝x 对称．在解题中反函数的某个函数值，常转化为求原函数的x 值，注意转化思想和数形结合、分类讨论思想的应用．求反函数的一般步骤：(1)将y ＝f (x )看作方程，解出x ＝f －1(y )；(2)将x 、y 对称，得y ＝f －1(x )；(3)写出反函数的定义域(即原函数的值域)．3．2.3 指数函数与对数函数的关系知识梳理1．(1)自变量 因变量 (2)y ＝f －1(x ) 互为2．(1)互为反函数 (2)y ＝x作业设计1．B [f (x )的值域即为其反函数的定义域．]2．D3．C [互为反函数图象关于y ＝x 对称，(1,5)点关于直线y ＝x 对称点为(5,1)．]4．C [∵f (3)＝a 3>0，由f (3)·g (3)<0，得g (3)<0，∴0<a <1，∴f (x )与g (x )均为单调递减函数，选C.]5．C [由y ＝3x (－1≤x <0)得反函数是y ＝log 3x (13≤x <1)．] 6．C [由f (27)＝3，得a ＝3，∴f －1(x )＝3x ，∴f －1(log 92)＝＝ 2.]7．<8．(－∞，3]解析 求函数y ＝3＋x (x ≥1)的反函数的定义域，即求原函数的值域．∵x ≥1，∴x ≤0.∴3＋x ≤3.9．(2)(3)解析 根据题意，得g (x )＝x ，∴h (x )＝g (1－|x |)＝(1－|x |)(－1<x <1)．∴h (x )是偶函数，h (x )不关于原点对称．∴(1)不正确；(2)正确．∵h (x )＝(1－|x |)≥1＝0，∴(3)正确．10．解 (1)由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，得x ＝y ，且y >0， ∴f －1(x )＝x ，x ∈(0，＋∞)．(2)由y ＝log 2x ，得x ＝2y ，又x ∈(1,8)，∴0<y <3，∴f －1(x )＝2x ，x ∈(0,3)．(3)由y ＝x 2＋1，x >0，得x ＝y －1，又x ∈(0，＋∞)，∴y >1，∴f －1(x )＝x －1，x ∈(1，＋∞)．11.解 将方程整理得2x ＝－x ＋3，log 2x ＝－x ＋3.如图可知，a 是指数函数y ＝2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点A 的横坐标，b 是对数函数y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点B 的横坐标．由于函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，所以它们的图象关于直线y ＝x 对称， 由题意可得出A 、B 两点也关于直线y ＝x 对称，于是A 、B 两点的坐标为A (a ，b )，B (b ，a )．而A 、B 都在直线y ＝－x ＋3上，∴b ＝－a ＋3(A 点坐标代入)，或a ＝－b ＋3(B 点坐标代入)，故a ＋b ＝3.12．解 ∵y ＝12x ＋a 的反函数为y ＝2x －2a 应与函数y ＝3－bx 为同一函数， ∴－2a ＝3，且2＝－b ，∴a ＝－32，b ＝－2. 13．解 (1)由a x －b x >0，得(a b )x >1＝(a b )0.∵a b>1，∴x >0.∴函数的定义域为(0，＋∞)．(2)先证明f (x )是增函数．对于任意x 1>x 2>0，∵a >1>b >0，∴>，<.∴－>－.∴lg(－)>lg(－)．∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．假设y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．∴y ＝f (x )的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴．) #29171 71F3 燳_23644 5C5C 屜-0r36677 8F45 轅X24537 5FD9 忙31234 7A02 稂34360 8638 蘸20687 50CF 像。

1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)叫做对数函数，其中x 是自变量．．．，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对于对数函数的概念应注意以下三个方面：①定义域：因为对数函数y ＝log a x 是由指数函数y ＝a x变化而来的，对数函数的自变量x 恰好对应指数函数的函数值y ，所以对数函数y ＝log a x 的定义域是指数函数y ＝a x的值域，即x ∈(0，＋∞)．②底数：对数函数y ＝log a x 的底数a ＞0，且a ≠1. ③形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1，x ＞0)中，log a x 前面的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则不是对数函数．【例1】下列函数是对数函数的序号是________．(1)y ＝4x；(2)y ＝log x 2；(3)y ＝－log 3x ；(4)y ＝log 0.4x ；(5)y ＝log (2a －1)x 1,12a a x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，是自变量；(6)y ＝log 2(x ＋1)． 解析：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数，其中x 是自变量，a 是常数．易知，(1)式是指数函数；(2)式中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；(3)式中313=log =log y x x -是对数函数；(4)式中20.40.4log log y x x ==是对数函数；(5)中对数的底数2a －1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义；(6)中函数在对数的真数处不只是自变量x ，而是关于x 的表达式x ＋1，故不是对数函数．由此可知只有(3)(4)(5)是对数函数．答案：(3)(4)(5)点技巧 利用概念准确判断对数函数判断一个函数是否为对数函数时，要紧扣对数函数解析式的三个特征，三者缺一不可． 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)的图象与性质(1)在同一直角坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，12=log y x ，13=log y x 的图象，如图所示，观察图象可以看出：①这些图象都在y 轴右侧，且向y 轴的正、负方向无限延伸；②图象都经过点(1,0)；③函数y ＝log 2x 和y ＝log 3x 的图象从左向右逐渐上升；函数12=log y x 和13=log y x 的图象从左向右逐渐下降．0＜a ＜1a ＞1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0在(0，＋∞)上是减．函数 在(0，＋∞)上是增．函数 析规律 对对数log a x 的值的符号判断由表格中的关系易知：当a ，x 在同一个区间(0,1)或(1，＋∞)取值时，log a x ＞0；当a ，x 分别取自不同的区间(0,1)和(1，＋∞)，log a x ＜0，简记为“同正，异负”．【例2－1】函数y ＝log 11x 的定义域和值域分别是( ) A ．R ，R B ．R ，(0，＋∞)C ．(0，＋∞)，RD ．(0，＋∞)，(0，＋∞)解析：函数y ＝log 11x 的定义域是(0，＋∞)，值域是R . 答案：C【例2－2】图中的曲线C 1，C 2，C 3，C 4都是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a 取3,2，13，15四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( )A ．3,2，13，15B ．3,2，15，13 C ．2,3，13，15D ．2,3，15，13解析：方法1：当a ＞1时，自左向右看，图象上升；当0＜a ＜1时，自左向右看，图象下降．又当a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；0＜a ＜1时，a 越小，图象向右越靠近x 轴，所以曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次为2,3，15，13.方法2：作直线y ＝1，设C 1，C 2，C 3，C 4与直线y ＝1的交点分别为(a 1,1)，(a 2,1)，(a 3,1)，(a 4,1)，由图象知：a 3＜a 4＜1＜a 1＜a 2.所以a 1，a 2，a 3，a 4的值分别为2,3，15，13. 答案：D 3．反函数当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．一般地，如果函数y ＝f (x )存在反函数，那么它的反函数通常用y ＝f －1(x )表示，反函数也是函数，它具有函数的一切特性．反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数．(1)对数函数的反函数指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． (2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线．．．．y ．＝．x ．对称．．．． (3)函数y ＝f (x )的反函数的求法 ①确定原函数的值域．因为函数是由定义域和对应法则构成的，一个函数的反函数是对换原函数的自变量和因变量而得到的新函数，新函数的自变量就是原函数的因变量，新函数的定义域就是原函数的值域，因此，只有确定了原函数的值域，才能确定新函数的定义域．②把原函数y ＝f (x )视为方程，用y 表示出x .因此y 是新函数的自变量，x 是它的函数值．③把x ，y 互换，同时标明反函数的定义域．因为我们习惯用x 表示自变量，用y 表示函数值，所以把x ，y 互换．而反函数的定义域就是原函数的值域．也可简记为：反解—互换—求定义域． 析规律 理解反函数应注意的三点(1)只有一一映射确定的函数才有反函数．如一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)、反比例函数y ＝k x(k ≠0)、指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)、对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，它们都是一一映射确定的函数，因此都有反函数；像二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，在整个定义域上没有反函数，因为关于对称轴x ＝－b2a对称的两个不同自变量对应同一函数值，它不是一一映射下的函数，所以没有反函数．(2)反函数也是函数，是相对而言的，一个函数与它的反函数互为反函数．(3)互为反函数的两个函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，因此，如果原函数的图象经过定点(a ，b )，则其反函数的图象经过定点(b ，a )．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)与指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，且y ＝log a x (a＞0，且a ≠1)的图象经过定点(1,0)，而y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过定点(0,1)．【例3－1】函数12=1log y x +的反函数是( )A ．y ＝2xB ．1=2xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．y ＝log 2xD ．y ＝21－x解析：由12=1log y x +，得12log =1x y -且值域为R ，所以11=2y x -⎛⎫⎪⎝⎭.以x 代y ，以y 代x ，得11=2x y -⎛⎫⎪⎝⎭.故选D.答案：D【例3－2】若函数y ＝f (x )的反函数．．．的图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )图象必过点( )A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过(5,1)． 答案：A【例3－3】已知函数f (x )＝1＋lg x (x ＞0)，f (x )的反函数为f －1(x )，则f (1)＋f －1(1)＝______.解析：令y ＝f (x )＝1＋lg x ，∴y －1＝lg x .∴x ＝10y －1.∴f －1(x )＝10x －1.∴f (1)＋f －1(1)＝(1＋lg 1)＋101－1＝2. 答案：24．对数函数的解析式及求值问题对数函数的解析式y ＝log a x 中仅含有一个参数a ，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f (m )＝n 或图象过点(m ，n )等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f (x )＝log a x ，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n ＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n，则解得a ＝k ＞0.还可以直接写出1=n a m ，再利用指数幂的运算性质化简1nm .例如：解方程log a 4＝－2，则a －2＝4，由于4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2.所以a ＝±12，又a ＞0，所以a ＝12.当然，也可以直接写出124a -=，再利用指数幂的运算性质，得124a -=＝122(2)-＝2－1＝12.【4－1】已知f (e x)＝x ，则f (5)＝( )A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：方法1：令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ．所以f (5)＝ln 5.方法2：令e x＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5. 答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫ ⎪⎝⎭，试求f (3)的值． 分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， ∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11=log =299af ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴21=9a .∴11222111===933a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. ∴13()=log f x x .∴111331(3)=log 3=log =13f -⎛⎫- ⎪⎝⎭.5．对数函数的定义域、值域的应用(1)利用对数函数的定义域、值域求形如y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)型的函数的定义域和值域．对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，由于对数函数y ＝log a x 的定义域是(0，＋∞)，值域是R ，则利用换元法，设log a x ＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (t )有意义的解集是f (log a x )的定义域，函数f (t )(t ∈R )的值域就是f (log a x )的值域．(2)利用对数函数的定义域、值域，求形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的函数的定义域、值域．对于函数y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)，由于对数函数y ＝log a x 的定义域是(0，＋∞)，因此满足f (x )＞0的解集是函数log a f (x )的定义域．设u ＝f (x )，求出函数u ＝f (x )的值域E ，则函数y ＝log a u (u ∈E )的值域是函数log a f (x )的值域．【例5－1】求下列函数的定义域：(1)y ＝log x －1(5＋x )；(2)0.1=log (43)y x -.解：(1)要使函数有意义，需10,11,50,x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪+>⎩即1,2,5,x x x >⎧⎪≠⎨⎪>-⎩∴x ＞1，且x ≠2.∴所给函数的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)． (2)要使函数有意义，需0.1430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩即430,431,x x ->⎧⎨-≤⎩解得34＜x ≤1.∴所给函数的定义域为3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦. 点技巧 如何求对数函数的定义域求与对数函数有关的函数的定义域时，除遵循前面已学过的求函数定义域的方法外，对这种函数自身还有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．【例5－2】求函数y ＝log a (a －a x)(a ＞1)的值域．解：令u ＝a －a x ，∵u ＞0，a ＞1，∴a x＜a ，即x ＜1.∴y ＝log a (a －a x)的定义域为(－∞，1)．∵a x ＜a ，且a x ＞0，∴u ＝a －a x＜a . ∴y ＜log a a ＝1.∴所求函数的值域为(－∞，1)． 6．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0.这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝1的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)； ②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)； ③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――-------------------------→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)；④函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)y＝|log a x|(a＞0，且a≠1)．【例6－1】若a＞0，且a≠1，则函数f(x)2log a(5x－10)＋2恒过定点P的坐标是__________．解析：令5x－10＝1，解得11 =5 x，所以函数f(x)恒过定点11,25⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：11,2 5⎛⎫ ⎪⎝⎭【例6－2】作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．解：第一步：作y＝log2x的图象，如图①.第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②.第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③.第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④.7．对数函数单调性的应用(1)比较两个对数式的大小比较两个对数式大小的方法有以下几种：①单调法：比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．②中间量法：比较不同底数对数的大小，常借助于中间值0进行比较．利用口诀：“同大异小”，判断对数的符号．对于对数log a x，a和x均与1比较大小，当a和x都同大于(小于)1时，log a x大于0，否则log a x小于0.③分类讨论：比较同底数(不是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；分类讨论对数函数的底数与1的大小；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)复合函数单调区间的求法求复合函数的单调区间时，一要注意定义域，二要利用“同增异减”法则，三要注意某些情况下区间端点的取舍．(3)利用函数单调性求解简单的对数不等式根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)； ③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)． 辨误区注意对数自身的性质解对数不等式时，要注意保证真数大于0，另外，为了方便解题，要尽量统一底数． 【例7－1】比较下列各组数的大小：(1)log 2π与log 29；(2)log 20.3与log 0.20.3；(3)log a 2.7与log a 2.8(a ＞0，且a ≠1)；(4)148log 7与156log 5. 解：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，又π＜9，所以log 2π＜log 29.(2)因为log 20.3＜log 21＝0，log 0.20.3＞log 0.21＝0，所以log 20.3＜log 0.20.3.(3)当a ＞1时，由函数y ＝log a x 的单调性知log a 2.7＜log a 2.8；当0＜a ＜1时，由函数y ＝log a x 的单调性知log a 2.7＞log a 2.8.(4)设148=log 7m ，156=log 5n ，则1816=,=4755m n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以754=,5=86mn .因为75>86，所以4m ＞5n，两边取常用对数得m ·lg 4＞n ·lg 5.因为lg 4＞0，所以lg5>>lg 4m n n ⋅，即114586log >log 75. 【例7－2】函数f (x )＝log 2(x 2－x －6)的单调递减区间是__________．分析：将所给函数分解为两个简单函数，利用复合函数的单调性求解．解析：令u ＝x 2－x －6，则y ＝log 2u . ∵y ＝log 2u 为(0，＋∞)上的增函数，∴当u ＝x 2－x －6为x 的减函数时，y 为x 的减函数．为使函数有意义，需x 2－x －6＞0，即定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． 由二次函数u ＝x 2－x －6的对称轴为直线1=2x ， 知当x ∈(－∞，－2)时，u ＝x 2－x －6是减函数，于是原函数的单调递减区间为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)【例7－3】若22log <13a⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的取值范围． 解：∵22log <13a⎛⎫⎪⎝⎭，∴21<log<13a-，即12log<log<log3a a aaa.当a＞1时，y＝log a x为增函数．∴12<<3aa，∴3>2a，结合a＞1，可知3>2a.当0＜a＜1时，y＝log a x为减函数．∴12>>3aa，∴2<3a，结合0＜a＜1，知20<<3a.∴a的取值范围是2332a a a⎧⎫⎫<<>⎨⎬⎪⎭⎩⎭或.8．互为反函数的两个函数所遵循的原则和规律(1)定义域与值域互换、对应法则互逆的原则，即原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，反映到解析式上，即f－1(a)＝b f(b)＝a.(2)图象关于直线y＝x对称的原则．(3)单调性相同的原则，即若原函数是增函数(或减函数)，它的反函数一定是增函数(或减函数)．(4)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数；若一函数为偶函数，则它没有反函数．奇函数不一定有反函数，偶函数一定没有反函数．【例8】已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图象如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤12的解集是( )A．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C．[－2,0)∪112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D．[－1,0]∪112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，解析：由题意可得f－1(x)的图象如图所示．由图象知－1≤f－1(x)＜0的解为－2≤x＜0,0≤f－1(x)≤12的解为12≤x≤1.故不等式－1≤f－1(x)≤12的解集为[－2,0)∪112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.答案：C9．对数函数与函数单调性、奇偶性的综合问题(1)判断与对数函数有关的函数的奇偶性也是根据奇、偶函数的定义进行判断．(2)对数函数的单调性与底数的大小有关系，因此讨论对数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与对数函数有关的函数的单调性往往也与底数有关系，其解决手段就是函数单调性的定义．判断或证明函数单调性的步骤是：①在所给的区间上任取两个自变量x 1和x 2，通常令x 1＜x 2； ②比较f (x 1)和f (x 2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、判断正负．③再归纳结论．(3)对形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)函数的单调性，通常要根据a 的取值进行讨论： ①当a ＞1时，函数y ＝log a f (x )在定义域内的单调性与函数y ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性相同．②当0＜a ＜1时，函数y ＝log a f (x )在定义域内的单调性与函数y ＝f (x )(f (x )＞0)单调性相反．【例9－1】下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )A ．(－∞，1]B ．413⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．302⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．[1,2) 答案：D【例9－2】已知函数1()=log 1amxf x x --(a ＞0，a ≠1，m ≠1)是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并给出证明．解：(1)由已知条件得f (－x )＋f (x )＝0对定义域中的x 均成立．∴11log log =011aa mx mxx x +-+---， 即11=111mx mx x x +-⋅---， ∴m 2x 2－1＝x 2－1对定义域中的x 均成立． ∴m 2＝1，即m ＝1(舍去)或m ＝－1.(2)由(1)得1()=log 1a xf x x +-. 设1122===1111x x t x x x +-++---， ∴当x 1＞x 2＞1时，t 1－t 2＝2112122()22=11(1)(1)x x x x x x ------＜0， ∴t 1＜t 2.当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴当a ＞1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数．同理当0＜a ＜1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．。

3.2.3 指数函数与对数函数的关系【选题明细表】1.设f(x)=3x+9,则f-1(x)的定义域是( B )(A)(0,+∞) (B)(9,+∞)(C)(10,+∞) (D)(-∞,+∞)解析:因为f(x)=3x+9>9,所以反函数的定义域为(9,+∞),故选B.2.设a=,b=,c=lo x,若x>1,则a,b,c的大小关系为( C )(A)a<b<c (B)b<c<a(C)c<a<b (D)b<a<c解析:因为x>1,所以a=<=,b=>=1,所以0<a<b,而y=lo x是减函数,所以c=lo x<lo1=0.所以c<a<b.故选C.3.若函数f(x)是函数y=a x(a>0,a≠1)的反函数,其图象过点(,a),则f(x)等于( B )(A)log2x (B)lo x (C) (D)x2解析:y=a x的反函数是y=log a x,因为图象过点(,a),所以a=log a,所以a=,即f(x)=lo x.故选B.4.已知y=f(x)在R上单调递增,且满足f(1)=2,则y=f(x)的反函数的图象恒过点( D )(A)(1,2) (B)(0,2) (C)(2,0) (D)(2,1)解析:由反函数定义可知恒过点(2,1),故选D.5.若函数f(x)的反函数为f-1(x)=x2(x>0),则f(4)= .解析:设f(4)=b,则4=f-1(b)=b2且b>0,所以b=2.即f(4)=2.答案:26.已知函数f(x)=则f-1= .解析:设f-1=x,则f(x)=.①令x2+1=,得x=±,因为0≤x≤1,所以x=.②令2x=,得x=,与-1≤x<0矛盾.综上得f-1=.答案:7.(2018·河南实验中学期中)已知函数f(x)与g(x)=e x互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,若h(a)=1,则实数a的值为( C )(A)-e (B)- (C) (D)e解析:因为函数f(x)与函数g(x)=e x互为反函数,所以f(x)=ln x.因为函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以h(x)= -ln x.因为h(a)=1,所以a=,故选C.8.如图,已知f(x)=a x,g(x)=log a x(a>0且a≠1),若f(3)·g (3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( C )解析:因为f(x)=a x,g(x)=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,所以它们具有相同的单调性.所以排除A和D.又f(3)·g(3)<0,所以f(3)>0,g(3)<0,所以排除B,选C.9.已知函数f(x)=的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题:(1)h(x)的图象关于原点对称;(2)h(x)为偶函数;(3)h(x)的最小值为0;(4)h(x)在(0,1)上为减函数.其中正确命题的序号为.(将你认为正确的命题的序号都填上)解析:g(x)=lo x,则h(x)=g(1-|x|)=lo(1-|x|)(-1<x<1),所以h(x)是偶函数,故(1)错,(2)正确.又h(x)=lo(1-|x|)≥lo1=0,所以(3)正确.因为u=1-|x|在(0,1)上为减函数,h(x)=lo u为减函数,所以h(x)在(0,1)上为增函数,(4)错.答案:(2)(3)10.设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,试求a+b 的值.解:(数形结合法)将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.由图可知,a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3交点B的横坐标.由于函数y=2x与y= log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,由题意可得出A,B 两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标分别为A(a,b), B(b,a),而A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3,或a=-b+3,故a+b=3.。

3.2.3指数函数与对数函数的关系【目标要求】1. 掌握反函数的概念,会求一些简单函数的反函数.2. 掌握指数函数与对数函数的关系【巩固教材——稳扎马步】1.函数y=(0.2)-x+1的反函数是()A.y=log 5x+1B.y=klog x 5+1C.y=log 5(x-1)D.y=log 5x-12.设f(x)=3412++x x （x ≠-43），则f -1(2)值是（）A 、65-B 、52-C 、52D 、115 3.函数y=x 2+2x （x<-1）的反函数是（） A 、y=11-+x （x<-1）B 、y=11-+x （x>-1）C 、y=-11-+x （x<-1）D 、y=-11-+x （x>-1）4.指数方程022542=+⋅-⋅xx的解集是（）A ．{1}B ．}121{，C ．}211{，-D ．{-1，1}【重难突破——重拳出击】 5.方程4123log =x 的解是()A ．91B ．33C ．3D ．96.函数f(x)=2log 21x 的值域是［-1，1］，则函数f -1(x)的值域是()A.［22，2］ B.［-1，1］C.［21，2］ D.(-∞，22)∪(2，+∞) 7.若函数y=3+a x-1(a ＞0，且a ≠1)的反函数的图像恒过定点P ，则P 点的坐标为() A.(3，1) B.(3+a,2) C.(4,2) D.(4,1) 8.设函数f （x ）=1－21x -（－1≤x ≤0），则函数y =f －1（x ）的图象是（）图3-59.已知21log a＜1,那么a 的取值范围是（） A.0＜a ＜21B.a ＞21C.21＜a ＜1D.0＜a ＜21或a ＞110.函数y ＝ｌg ｜x ｜（）A.是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增B.是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减C.是奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递增D.是奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递减11.函数y =2－x＋1（x ＞0）的反函数是（）A.y =log 211-x ，x ∈（1，2） B.y ＝－1og 211-x ，x ∈（1，2） C.y =log 211-x ，x ∈（1，2] D.y ＝－1og 211-x ，x ∈（1，2] 12.当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y =a －x与y ＝log a x 的图象是（）图3-6【巩固提高——登峰揽月】13.函数f （x ）=x 2+1（x ≤0）的反函数f －1（x ）=_____. 14.函数y ＝lg210-x 的定义域是 .【课外拓展——超越自我】 15.已知f(x)=11010+x x ，求f -1(x)的表达式及其定义域、值域。

第32课时 指数函数与对数函数的关系课时目标1.知道同底的指数函数与对数函数互为反函数，能以具体函数为例对反函数进行解释和直观理解．2．了解函数与其反函数的图象关于直线y ＝x 对称．识记强化1．函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1，x ∈R )与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1，x ＞0)互为反函数．2．函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数y ＝log 12x 的反函数为( )A ．y ＝x 12，x ＞0 B ．y ＝(12)x ，x ∈R C ．y ＝x 2，x ∈R D ．y ＝2x ，x ∈R答案：B解析：对数函数y ＝log 12x 的反函数为指数函数y ＝(12)x ，其定义域为R . 2．已知f (x )＝10x －1－2，则f －1(8)的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：根据互为反函数的两个函数的关系，f －1(8)的值就是原函数函数值为8时对应的自变量x 的值．由8＝10x －1－2解得x ＝2，即f －1(8)＝2.故选B.3．已知函数f (x )＝(12)x ，则f －1(4－x 2)的单调减区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0)C ．(0,2)D ．(－2,0)答案：D解析：由题意知f －1(x )＝log 12x ，∴f －1(4－x 2)＝log 12 (4－x 2)，定义域为(－2,2)，单调减区间是函数y ＝4－x 2的单调增区间(－2,0)．4．如图，当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象是( )答案：A解析：首先把y ＝a －x 化为y ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，∵a ＞1，∴0＜1a＜1.因此y ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，即y ＝a －x 的图象是下降的，y ＝log a x 的图象是上升的．5．设f (x )＝2x ＋3x －1的图象与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则g (x ＋2)为( ) A ．1＋5x B ．1＋5x －2C ．1－5x ＋3D ．1－5x ＋5答案：A解析：由题知g (x )是函数y ＝f (x )的反函数，∴g (x )＝x ＋3x －2，将x ＋2代入g (x )中，可求出 g (x ＋2)＝(x ＋2)＋3(x ＋2)－2＝x ＋5x ＝1＋5x . 6．已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则( )A ．f (2x )＝e 2x (x ∈R )B ．f (2x )＝ln2·ln x (x ＞0)C ．f (2x )＝2e x (x ∈R )D ．f (2x )＝ln2＋ln x (x ＞0)答案：D解析：由y ＝f (x )是y ＝e x 的反函数，得f (x )＝ln x ，∴f (2x )＝ln2x ＝ln2＋ln x (x ＞0)．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7. 若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 答案：log 2x解析：y ＝a x 的反函数y ＝f (x )＝log a x ，则1＝log a 2，∴a ＝2，∴f (x )＝log 2x .8．已知函数f (x )＝2x ＋1，则f －1(4)＝________.答案：1解析：由2x ＋1＝4，得x ＝1，∴f －1(4)＝1.9．设函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过点(0,0)，其反函数的图象过点(1,2)，则a ＋b ＝________.的图象上，即f (－2)＝4，∴f －1(4)＝－2.13．(15分)设方程2x ＋x －3＝0的根为a ，方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ，求a ＋b 的值． 解：将方程整理得2x ＝－x ＋3，log 2x ＝－x ＋3，函数y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝－x ＋3的图象如图所示，a 是指数函数y ＝2x 的图象与直线y ＝－x ＋3的交点A 的横坐标，b 是对数函数y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x ＋3的交点B 的横坐标．由于函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，所以它们的图象关于直线y ＝x 对称，由题意可得A ，B 两点也关于直线y ＝x 对称，于是A ，B 两点的坐标为A (a ，b )，B (b ，a )．而A ，B 都在直线y ＝－x ＋3上，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ＋3a ＝－b ＋3， 故a ＋b ＝3.。

第三章 3.2 3.2.3一、选择题1．函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为( ) A ．x ＝2－y B ．x ＝y －2 C ．y ＝2－x ，x ∈R D ．y ＝x －2，x ∈R[答案] D[解析] 由y ＝x ＋2得，x ＝y －2，∴y ＝x －2.∵x ∈R ，∴y ＝x ＋2∈R ， ∴函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为y ＝x －2，x ∈R . 2．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( ) A ．y ＝1100e xB ．y ＝100·ln xC ．y ＝lg xD ．y ＝100·2x[答案] A[解析] ∵指数函数图象的增长速度越来越快，而对数函数图象的增长速度逐渐变缓慢，又∵e>2，∴y ＝1100e x 的图象的增长速度比y ＝100·2x 的图象的增长速度还要快，故选A.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤0)log 2x (x >0)，则f [f (12)]＝( )A ．－1B ．log 2 3 C. 3D ．13[答案] D[解析] f [f (12)]＝f [log 212]＝f (－1)＝3－1＝13.4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( )A ．－eB ．－1eC ．1eD ．e[答案] C[解析] ∵函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数， ∴f (x )＝ln x ，又∵函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，∴g (x )＝－ln x ， ∴g (a )＝－ln a ＝1，∴ln a ＝－1，∴a ＝1e.5．函数y ＝f (x )的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(1,3) D ．(3,1)[答案] D[解析] ∵互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称， ∴点(1,3)关于直线y ＝x 的对称点为(3,1)，故选D. 6．函数y ＝1－x －1(x ≥2)的反函数为( ) A ．y ＝(x －1)2＋1(x ≥1) B ．y ＝(x －1)2－1(x ≥0) C ．y ＝(x －1)2＋1(x ≤1) D ．y ＝(x －1)2＋1(x ≤0)[答案] D[解析] ∵y ＝1－x －1，∴x －1＝1－y ， ∴x －1＝(1－y )2，∴y ＝(1－x )2＋1＝(x －1)2＋1. 又∵x ≥2，∴x －1≥1，∴x －1≥1， ∴－x －1≤－1，∴1－x －1≤0.∴函数y ＝1－x －1(x ≥2)的反函数为y ＝(x －1)2＋1(x ≤0)． 二、填空题7．函数y ＝π－x 的反函数为________．[答案] y ＝－log πx (x >0)[解析] 由y ＝π－x ，得－x ＝log πy ，∴y ＝－log πx .∵π－x >0，∴函数y ＝π－x 的反函数为y ＝－log πx (x >0)．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (x ≤1)log 81x (x >1)，则满足f (x )＝14的x 值为__________．[答案] 3[解析] 由f (x )＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12－x ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧x >1log 81x ＝14，∴x ＝3. 三、解答题9．已知f (x )＝1－3x 1＋3x ，求f －1(45)的值． [解析] 令y ＝1－3x 1＋3x，∴y ＋y ·3x ＝1－3x ，∴3x ＝1－y1＋y ，∴x ＝log 31－y 1＋y ，∴y ＝log 31－x1＋x ，∴f －1(x )＝log 31－x 1＋x.∴f －1(45)＝log 31－451＋45＝log 319＝－2.故f －1(45)的值为－2.一、选择题1．若f (10x )＝x ，则f (5)＝( ) A ．log 510 B ．lg5 C ．105 D ．510[答案] B[解析] 解法一：令u ＝10x ，则x ＝lg u ，∴f (u )＝lg u ，∴f (5)＝lg5. 解法二：令10x ＝5，∴x ＝lg5，∴f (5)＝lg5.2．若函数y ＝ax1＋x 的图象关于直线y ＝x 对称，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数[答案] B[解析] 因为函数图象本身关于直线y ＝x 对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知(1，a 2)与(a2，1)皆在原函数图象上，故可得a ＝－1.3．函数y ＝10x2－1(0<x ≤1)的反函数是( )A ．y ＝－1＋lg x (x >110)B ．y ＝1＋lg x (x >110) C ．y ＝－1＋lg x (110<x ≤1)D ．y ＝1＋lg x (110<x ≤1)[答案] D [解析] 由y ＝10 x 2－1(0<x ≤1)，得x 2－1＝lg y ，即x ＝lg y ＋1.又∵0<x ≤1，即－1<x 2－1≤0，∴110<10 x 2－1≤1，即原函数的值域为(110，1]． ∴原函数的反函数为y ＝lg x ＋1(110<x ≤1)．4．已知函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)，而且其反函数f －1(x )的图象过点(1,7)，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数[答案] A[解析] ∵函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)， ∴log a (4－k )＝0，∴k ＝3. ∴f (x )＝log a (x －3)，又反函数f －1(x )的图象过点(1,7)，∴f (x )过点(7,1)．∴log a 4＝1，∴a ＝4，∴f (x )为增函数． 二、填空题5．若点(1,2)既在y ＝ax ＋b 的图象上，又在其反函数的图象上，则a ＝________，b ＝________.[答案] －3 7[解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y ＝ax ＋b 的图象上，∴⎩⎨⎧2＝a ＋b 1＝2a ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝7.6．已知函数f (x )＝e 2(x －1)，y ＝f －1(x )为y ＝f (x )的反函数，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0f －1(x )，x >0，则g [g (－1)]＝________.[答案] 1[解析] 由题意，得g (－1)＝－1＋2＝1， g [g (－1)]＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t－1)＝1，∴t ＝1，∴g [g (－1)]＝1.三、解答题7．求下列函数的反函数． (1)f (x )＝12x ＋1；(2)f (x )＝1－1－x 2(－1≤x <0)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤1x 2.－1≤x <0.[解析] (1)设y ＝f (x )＝12x ＋1.∵x ≠－12，∴y ≠0.由y ＝12x ＋1，解得x ＝1－y 2y .∴f －1(x )＝1－x 2x (x ≠0)．(2)设y ＝f (x )＝1－1－x 2. ∵－1≤x <0，∴0<y ≤1.由y ＝1－1－x 2，解得x ＝－2y －y 2. ∴f －1(x )＝－2x －x 2(0<x ≤1)．(3)设y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤1x 2.－1≤x <0，当0≤x ≤1时，－1≤y ≤0， 由y ＝x 2－1，得x ＝1＋y ； 当－1≤x <0时，0<y ≤1，由y ＝x 2，得x ＝－y .∴f －1(x )＝⎩⎨⎧1＋x ，－1≤x ≤0－x .0<x ≤1.8．已知函数f (x )＝log a (2－x )(a >1)． (1)求函数f (x )的定义域、值域； (2)求函数f (x )的反函数f －1(x )；(3)判断f －1(x )的单调性．[解析] (1)要使函数f (x )有意义，需满足2－x >0，即x <2， 故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R . (2)由y ＝log a (2－x )得，2－x ＝a y ，即x ＝2－a y . ∴f －1(x )＝2－a x (x ∈R )．(3)f －1(x )在R 上是减函数．证明如下：任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，∵f －1(x 2)－f －1(x 1)＝2－ax 2－2＋ax 1＝ax 1－ax 2，∵a >1，x 1<x 2，∴ax 1<ax 2即ax 1－ax 2<0， ∴f －1(x 2)<f －1(x 1)，∴y ＝f －1(x )在R 上是减函数．9．设方程2x ＋x －3＝0的根为a ，方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ，求a ＋b 的值．[分析] 解答本题可先根据两个方程的形式特点，观察出从正面难以入手，可变换方程形式，用数形结合的方法解决．[解析] 将方程整理得2x ＝－x ＋3，log 2x ＝－x ＋3.如图可知，a 是指数函数y ＝2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点A 的横坐标，b 是对数函数y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点B 的横坐标．由于函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，所以它们的图象关于直线y ＝x 对称，由题意可得出A 、B 两点也关于直线y ＝x 对称，于是A 、B 两点的坐标为A (a ，b )，B (b ，a )．而A 、B 都在直线y ＝－x ＋3上， ∴b ＝－a ＋3(A 点坐标代入)， a ＝－b ＋3(B 点坐标代入)． 故a ＋b ＝3.。

1 / 1习题课一、基础过关 1．函数f(x)＝3x1－x ＋lg(2x －1)的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(0，＋∞) 2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 的值为( )A.10B ．10C ．20D ．100 3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x|B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－x D ．y ＝lg1x ＋15．已知函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则a ＝________.6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x>0，2x ， x≤0若f(a)＝12，则a ＝________.7．已知f(x)＝log a x (a ＞0，a≠1)，当0＜x 1＜x 2时，试比较f(x 1＋x 22)与12[f(x 1)＋f(x 2)]的大小．8．已知f(x)＝log a (3－ax)在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围． 二、能力提升9．函数f(x)＝log a |x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则有( )A ．f(2)>f(－2)B ．f(1)>f(2)C ．f(－3)>f(－2)D ．f(－3)>f(－4) 10．当a ＞1时，函数y ＝log a x 和y ＝(1－a)x 的图象只可能是( )11．已知函数f(x)＝lg ax ＋a －2x 在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．12．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a≠1.(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)若a>1，求使f(x)>0的x 的解集． 三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1)求y ＝f(x)的定义域；(2)在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．。