面面垂直的判定与性质

面面垂直的条件
一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。

如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相
垂直。

定义：若两个平面的二面角为直二面角，则面面垂直
判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直
性质定理：
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个
平面内
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直
如何证明面面垂直
面与面的垂直，其实就是两个面法向量的的垂直关系。

即是读者要找到两个面的法向量，然后判别两个法向量的位置关系即可。

分别算出两个平面的法向量，n1,n2.找法向量一般根据平面的书写形似即可找到。

两个面的法向量之间的向量积结果是零的话，就说明两个平面是垂直的。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

授课内容 面面垂直的判定性质教学内容知识梳理一、面面垂直的判定定理1、文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2、符号语言：βααβ⊥⇒⊥⊂l l ,3、图形语言：二、面面垂直的性质定理1、文字语言：两个平面垂直，如果其中一个平面存在垂直于交线的直线，则这条直线也垂直于另一个平面。

2、符号语言：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥l m l l m ,,,3、图形语言：三、二面角1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做半平面。

2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

3、二面角的大小：以二面角棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条射线组成的角，叫做二面角的平面角。

4、二面角的找法：①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线。

②垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，平面与二面角所成的两条射线组成的角，即为二面角的平面角。

③垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角专题精讲二、面面垂直的判定定理4、文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

5、符号语言：βααβ⊥⇒⊥⊂l l ,6、图形语言：三、面面垂直的性质定理4、文字语言：两个平面垂直，如果其中一个平面存在垂直于交线的直线，则这条直线也垂直于另一个平面。

5、符号语言：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥l m l l m ,,,6、图形语言：三、二面角1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做半平面。

2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

3、二面角的大小：以二面角棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条射线组成的角，叫做二面角的平面角。

4、二面角的找法：①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线。

②垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，平面与二面角所成的两条射线组成的角，即为二面角的平面角。

线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。

简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。

由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。

线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。

该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。

而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。

线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。

同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。

由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。

它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。

面面垂直性质
性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交
线的直线垂直于另一个平面。

如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平
面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。

面面垂直
定义
若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两
个平面互相垂直。

性质定理
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直
线垂直于另一个平面。

2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于
第二个平面的直线在第一个平面内。

3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于
第三个平面。

4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。

（判定定理推论1的逆定理）
线面垂直
定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与
此平面互相垂直。

是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立
体几何数学思想方法。

在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。

判定定理
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

高三数学序号070 高三年级班教师方雄飞学生面面垂直的判定与性质〖学习要求〗理解两个平面垂直的定义，会用两个平面垂直的判定、两个平面垂直的性质定义。

〖知识回顾〗1、平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2、平面与平面垂直的判定与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α〖典型例题〗例1、(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．证明面面垂直的主要方法①利用判定定理．在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等．②用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．练习：1、如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点，若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.例2、如图，在四棱锥P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．练习2、如图，平行四边形ABCD中，60DAB︒∠=，2,4AB AD==将CBD∆沿BD折起到EBD∆的位置，使平面EDB⊥平面ABD，求证：AB DE⊥BOβαlA课后作业：（请同学们独立、规范完成作业）1、在三棱锥A —BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么必有（ ）A.平面ABD ⊥平面ADCB.平面ABD ⊥平面ABCC.平面ADC ⊥平面BCDD.平面ABC ⊥平面BCD 2、设n m ,是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题其中正确的命题是 ：①γβγαβα//////⇒⎭⎬⎫；②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m //；③βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥//m m ；④αα////m n n m ⇒⎭⎬⎫⊂；3、如图所示，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是________(填序号)． ①平面ABC ⊥平面ABD ；②平面ABC ⊥平面BCD ； ③平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ； ④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE .4、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD ，证明:AB ⊥平面V AD ；6. 如图，一简单几何体的一个面ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形， 且DC ⊥平面ABC ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ADE ； （2）若2AB =，1BC =，tan 2EAB ∠=V ．7．如图，在三棱锥P -ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ， P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .8、如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD (3)平面BEF ⊥平面PCD .8．如图所示，已知在四棱锥P -ABCD 中，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，BC ⊥PC ，且AD ＝DC ＝P A ＝12AB ＝a .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面P AD ，并说明理由； (3)若点M 是由(2)中确定的，且P A ⊥AB ，求四面体MP AC 的体积．VD C BA。

面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

推论：1、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。

2、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。

（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）面面垂直性质定理
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。

3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。

2面面垂直定理证明
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。

设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角
∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β。

面面垂直的判定与性质定理一.面面垂直的判定定理：符号表示：1.（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,1AB AA==1A(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.2．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD-中,//AB CD,AB AD⊥,2CD AB=,平面PAD⊥底面ABCD,PA AD⊥,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)//BE平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD3．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥P ABCD -中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面;(Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面4.（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点.(Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ; (Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;ABCD 图2BACD 图1二. 面面垂直的性质定理：符号表示：5. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ； （Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.6.如图1,在直角梯形A B C D 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ；(Ⅱ) 求几何体D ABC -的体积.CDFE。

线面、面面垂直的判定与性质知识回顾1．直线与平面垂直的判定（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．（2）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．平面与平面的垂直的判定（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（2）面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．题型讲解题型一例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案：C例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案：A例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．题型二例4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C例5、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． ∴ON12CD 12AB ， ∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．题型三例6、直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( )A ．40°B ．50°C ．90°D ．150°答案：B例7、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________． 答案：(1)45° (2)30° (3)90° 题型四例6、在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．32答案：B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角． ∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]例7、过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．答案：45° 题型五例8、下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β答案：C例9、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．9．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．题型六例10、平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能答案：D例11、如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．11．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24． ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝163．跟踪训练1．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )A ．33B ．22C ． 2D ． 3答案：C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1AAO＝2，∴选C.2．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在答案：C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 答案：A[解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C. 又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C.而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C.又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C.故选A. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________．答案：90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A －A′BB′的体积V ＝________.答案： 4[解析] ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′， ∴AA′⊥β，∴V ＝13S △A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.6. 如图所示，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .证明 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC . 而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .7．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE.证明 取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF. ∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE.则GF ∥AB. 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB.则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF. 又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， ∴AF ⊥平面CDE.∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE.∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．证明(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D是45°的二面角．6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，且BC1⊥A1C．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)若D、E分别是A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1.11解析： (1)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ， ∴ACC 1A 1为正方形， ∴A 1C ⊥AC 1.又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面ABC 1， 又∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC 1.(2)如图，取AA 1的中点F ，连接DF 、EF.∵D 、E 、F 分别为A 1C 1、BB 1、AA 1的中点， ∴DF ∥AC 1，EF ∥AB ，DF∩EF ＝F ， ∴平面DEF ∥平面ABC 1， ∴DE ∥平面ABC 1.。