第一讲等腰与等边三角形
【优秀学生必知的数学那点事】
等腰三角形
1、定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。
2、等腰三角形是三角形家族中最为匀称、俏丽的成员，等腰三角形的基本性质有：
①等腰三角形的底角相等且必为锐角。即为“等边对等角”。
②等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的平分线重合。即有“三线合一”，且重心，外心，内心，垂心共线。
③等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线，这条直线把等腰三角形分成两部分，以这条直线为轴，把其中一部分翻转，能使两部分重合，两个底角也重合在一起。
等边三角形
1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°.
2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对的角平分互相重合。（三线合一）
3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。
4、等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
5、等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。（等于其高）
6、等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。（等边三角形是特殊的等腰三角形）
【精选精讲】
例题1.如图所示，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在三边上，且CE=BD，CD=BF,若∠A=40°，求∠EDF。
例题2、如图，△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，求证：AB+BD=AC
，⊥ADD，过B作BE3、如图，在△ABC中，AB=3AC，∠A的平分线交BC于点例题。，求证：AD=DE垂足为E
【基础达标】）1、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长
度的一半，则其顶角等于（
°、30°或150 A、30° B °或120150°150°D、30°或°或 C、120 ，则三角形的底边长为（）2、等腰三角形的周长为a cm,一腰的中线将周长分成5:343a3a D、、 B、C、 A aaa或55656等EDF，则∠AB上，若BD=CE，CD=BF、、，，
△3、如图3ABC中，AB=ACD、EF分别在BCAC、）于（
1A °－∠90、 A90°－∠A B、2A
∠2°－180、A D°－∠180、 C．
4、如图4，已知△ABC中，∠B与∠C的平分线交点P恰好在BC边的高AD上，那么△ABC一定是（）
A、直角三角形
B、等边三角形
C、等腰三角形
D、等腰直角三角形
5、如图5所示，在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，∠BDC=75°，则∠BAC= 。
5 4 图图 3 图
°，则∠∠B=27C= 。，∠、在△6ABC中，AB=ACA-
。°，则其他两个内角的度数为7、等腰三角形的一个内角是50
为等边三角形，求证AD=CE。BDEABC8、如右图，已知：△，△
9、已知：△ABC，△BDE为等边三角形，C,B,D三点共线，求证AD=EC。
G,H,K依次交于。ABC10、已知：△为等边三角形，AF=BD=CE,AD,BE,CF 为等边三角形GHK求证：△
【能力提升】
1、在△ABC中，AB=AC,D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A= 。
2、在△ABC中，AB=AC，AB边上的高CD等于腰长的一半，求顶角。
【课后练兵】
1、如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=108°,BD平分∠ABC交AC于点D,求证：BC=AC+CD
2、如图，已知在等边三角形ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且AF=BD=CE。求证：三角形DEF是等边三角形。
3、已知：△ABC，△BDE为等边三角形，A、D、E共线。求证：AE=BE+EC。
第二讲直角三角形【优秀学生必知的数学那点事儿】一、直
角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余；、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；2 （斜边上的中线正好把直角三角形分成两个等腰三角形）
222、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（称为勾股定理）+ba=c3 （反之，一个三角形中，有一条边的平方等于其他两边的平方和，那么它是直角三角形）
二、直角三角形的其他特殊性质，那么它们存在这样h，斜边为c，斜边上的高为b1、直角三角形中，如果两条直角边为a、ab h=的关系：ab=ch或c
°、直角三角形中，如果一个锐角等于230°或45
30°45°a?3a2?
23 a:b:c=1::2 a:b:c=1:1:
【精选精讲】、判断下列各组线段为边能否构成直角三角形例题11112
（3））（1）9 41 40 （25 5 53452 22235534（） 4 5 （）
EF
，求证：AE⊥BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF2例题、如图，已知正方形ABCD，E是
2222 c=5，则最大边上的高是多少？中，若例题3、在△ABCa+b=25,a-b=7,又
2532 ,BC边上的中线是什么三角形？,BC=AD=、△例题4ABC中，AB=ABC，则△
，，AB=5cmDC=2cmRtB5例题、已知如图，四边形ABCD中，∠，∠D是∠，∠A=45°若的长BC求AD和
【基础达标】）、下列各组数中不能构成直角三角形的一组是（1
7 24 25 、5 12 13 B、 A4 6 9 、 C8 15 17 D、
）、适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ 2111°）a=b ∠
A=45）a= b= c= （21 （543a=7 b=24 c=25 ）（4）∠A=32°∠B=58°（3a=25 b=2 c=3
）（5 、5个43个 C、个 D A、2个 B、 3、下列语句222，则△+bABC≠ca （1）若△ABC中，不是直角三角形222+b°，则a=c 为直角三角形，∠（2）若△ABCC=90222C=90=c°a （3）若△ABC中，，则∠+b 4）勾股定理的逆定理：若两边的平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形（）其中正确的个数是（个个 D、4个 B、2个
C、3 A、1 ）Rt△，则它们的比为（、若线段a、b、c组成44:6:7 、5:12:13
D、 A、2:3:4 B、3:4:6 C ）RtRt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则△的周长为（5、 132 D、不能确定、121 B、120 C、 A ）△两直角边的比为5:12，则斜边上
的高与斜边的比为（ Rt6、如果60:169
、5:12 C、12:13 D、 A60:13 B、22K，则它的三个内角分别是，。K， 7、三角形三边长分别为2K8、直角三角形的面积为2，斜边上的中线为2，则直角三角形的周长
是。
9、如图，在四边形ABCD中，AB=3cm，CD=12cm，BD=13cm，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。
22+16(n>4),求证：∠C=90°，a=n. -16，b=8n,c=nc10、已知△ABC三边上分别
为a、b、
11、如图，已知四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°
求证：∠A+∠C=180°
三角形全等的证明 【知识梳理】 （一）三角形概述： 1．定义（包括内、外角） 2．性质：三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n 边形内角和;④n 边形外角和。 ⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 ⑶角与边：在同一三角形中 3．三角形的主要线段 （1）定义：高线、中线、角平分线、中垂线 （2）××线的交点—-- 三角形的×心及性质 4．特殊三角形（等腰三角形、等边三角形）的判定与性质 等腰三角形： 定理：等腰三角形的两个底角相等，（简称：“等边对等角”） 定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，（简称：“三线合一”） 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等角对等边”）。 等边三角形的性质及判定： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 5．全等三角形 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等的判定：SAS 、ASA 、AAS 、SSS ： 注意问题： （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； （2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA ；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA 。 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 寻找对应元素的方法： （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 翻折 如图（1），?BOC ≌?EOD ，?BOC 可以看成是由?EOD 沿直线AO 翻折180?得到的； 等边 等角 大边 大角 小边 小角
专题：三角形的有关计算与证明 三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系. 例如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB 交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE. 【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到； (2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可. 【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC. ∴∠BCG＝∠CAB＝45°. 又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC， ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴CF＝BG，AF＝CG. (2)延长CG交AB于点H. ∵AC＝BC，CG平分∠ACB， ∴CH⊥AB，H为AB中点. 又∵AD⊥AB，∴CH∥AD, ∴G为BD中点，∠D＝∠EGC. ∵E为AC中点，∴AE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEG， ∴△AED≌△CEG(AAS), ∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE. 由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE. 方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解. 1.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.
知识讲解： 1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理： （1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论： 性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等． 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°； 等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等． 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）与直角三角形有关的结论： 勾股定理的逆定理； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL) （3）与一般三角形有关的结论：
在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）． 2．命题的逆命题及其真假： 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理． 3．尺规作图 线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形 角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线． 课堂练习： 考点一：等腰三角形 【例题】 1、【14外国语期中】等腰三角形的一边为5另一边为9，这这个三角形的周长为（）A．19 B.23 C .14 D.19或23 2、【14外国语月考】等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（） A．有一个内角是600 B.有一个外角是1200 C．有两个角相等 D.腰与底边相等 3、【经开一中月考】将两个全等的有一个角为３００的直角三角形拼成如图所示，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（） Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１ 4、【14外国语月考】腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为。 5、【经开一中月考】一个等腰三角形有一角是７００，则其余两角分别为。 6、【经开一中月考】等腰直角三角形一条边长是1cm,那么它斜边上的高是 cm. 7、【经开一中月考】已知：如图ＡＢ＝ＡＣ，DE∥AC求证：△ＤＢＥ是等腰三角形。 8、【14外国语月考】如图，等边△ABC中，AO是BC边上的中线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD 下方作等边△CDE，连结BE。 （1）求证：AD＝BE
2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 一、三角形中的计算和证明综合题 1.（2020贵州黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现 （1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长． （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长． 2.（2020黑龙江牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC， 交射线CA于点F．请解答下列问题：
（1）当点E 在线段AB 上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图①，求证：AE +BC ＝CF ；（提示：延长CD ，FE 交于点M ．） （2）当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图②；当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE ，BC ，CF 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若DE ＝2AE ＝6，则CF ＝ ． 3.（2020武汉）问题背景：如图（1），已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ； 尝试应用：如图（2），在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上， AD BD = √3，求 DF CF 的值； 拓展创新 如图（3），D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝2√3，直接写出AD 的长． 4.（2020湖南常德）已知D 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，过点D 作Rt △DEF 使∠DEF ＝90°，∠DFE ＝30°，连接CE 并延长CE 到P ，使EP ＝CE ，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ． （1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证： ①EB ＝EP ； ②∠EFP ＝30°； （2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元练习 一、单选题 1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（） A. 线段CD的中点 B. OA与OB的中垂线的交点 C. OA与CD的中垂线的交点 D. CD与∠AOB的平分线的交点 2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=8,则CD的长为（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4.如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN 上，则点O是△ABC的（）
A. 垂心 B. 重心 C. 内 心 D. 外心 5.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 6.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( ) A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm 8.如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（）． A. B. C. D.
一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E
11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH
《回顾与思考》 教学目标 1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思 路和方法，尺规作图等。 2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规 范的数学语言表达论证过程的能力。 教学重点 通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固 教学难点 本章知识的综合性应用。 教学过程 知识回顾 1、等腰三角形的性质：（边）_______________ ；（角）_______________ ；“三线合一”的 内容____________________________________ 。 2、等边三角形的性质：（边）_______________ ;（角）__________________ 。 3、判定等腰三角形的方法有：（边）_______________ ;（角）________________________ 。 4、判定等边三角形的方法有：（边）_______________ ;（角）________________________ 。 5、_________________________________________________ 线段垂直平分线的性质定理：。 逆定理：____________________________________________________________________ 。 三角形的垂直平分线性质：___________________________________________________ 。 6、_____________________________________________________________ 角的性质定理：。 逆定理：____________________________________________________________________ 。 三角形的角平分线性质：_____________________________________________________ 。 7、___________________________________________________ 三角形全等的判定方法有：。 8 30°锐角的直角三角形的性质： ______________________________________________ 。 9、方法总结： （1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性 质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 （2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。
专训一：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等． 证明数量关系 题型1证明线段相等 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF. (第1题) 题型2证明角相等 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD 于F交BC于E. 求证：∠ADB＝∠CDE. (第2题) 证明位置关系 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，点G是EF的中点，求证：DG⊥EF.
(第3题) 证明倍分关系 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD. (第4题) 证明和、差关系 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC. (第5题) 证明不等关系 6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB ＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC.
(第6题) 专训二：构造全等三角形的六种常用方法 名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形． 构造基本图形法 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF. 求证：∠ADC＝∠BDF. (第1题) 翻折法
三 角 形 的 证 明 【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1．判定和性质 2? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ?????????????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（） 找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（） 找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】 1．下列说法中，正确的是（ ） A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D ．面积相等的两个三角形全等 2．如图，△ABC ≌ΔAD E ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°， 则∠EAC 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 3．已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM . 【知识点二：等腰三角形的判定与性质】 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； ②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等． 【典型例题】 1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18 2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（） A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20° 3．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D， 求证：MD=MA. 【巩固练习】 1．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（） A．30°B．40°C．50°D．70° 2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9， 则线段MN的长为（） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE， 过D作DG∥AC交BC于G．求证： （1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形．
以圆为背景的相似三角形的计算与证明 【经典母题】 如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长． 图Z13－1 经典母题答图解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AB＝AC2＋BC2＝15.
∵AC 切半圆O 于点E ，∴OE ⊥AC ， ∴∠OEA ＝90°＝∠C ，∴OE ∥BC ， ∴△AEO ∽△ACB ， ∴OE BC ＝AO AB ，∴R 9＝15－R 15，解得R ＝458， ∴AO ＝AB －OB ＝15－R ＝758 . 【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO 的长． 【中考变形】 1．如图Z13－2，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，O 是AC 边上的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连结OD . (1)求证：△ADO ∽△ACB ； (2)若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD ·BC . 证明：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB ， ∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∵∠A ＝∠A ， ∴△ADO ∽△ACB ； (2)由(1)知，△ADO ∽△ACB .∴AD AC ＝OD BC ， ∴AD ·BC ＝AC ·OD ，∵OD ＝1，∴AC ＝AD ·BC . 2．[2017·]如图Z13－3，已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E . (1)求证：DE 是⊙O 的切线； 图Z13－2
第一章三角形的证明 1等腰三角形 第1课时全等三角形及等腰三角形的性质 1．理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理． 2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步掌握证明的基本步骤和书写格式． 3．掌握等腰三角形性质定理的推论． 重点 掌握等腰三角形的性质定理及推论． 难点 证明等腰三角形的相关性质． 一、复习导入 1．请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： (1)两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； (2)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； (3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； (4)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)； (5)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)． 2．在此基础上回忆全等三角形的判定定理：(推论)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明． 3．回忆全等三角形的性质． 二、探究新知 1．等腰三角形的性质定理 问题1：什么是等腰三角形？ 问题2：你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来． 问题3 ：试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质． 引导学生得出等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等．(简称为“等边对等角”) 问题4：你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗？ 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 分析：方法一：作∠BAC的平分线，交BC边于点D；方法二：过点A作AD ⊥BC于点D；方法三：取BC的中点D. 证法一：取BC的中点D，连接AD. ?? ? ?? AB＝AC BD＝CD AD＝AD ?△ABD≌△ACD?∠B＝∠C.
三角形中角度的证明与计算 类型一：三角形中两个角的角平分线的夹角 1、两个内角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，求∠O 与∠A 之间的关系。 2、一个内角平分线与一个外角平分线的夹角 如图，在?ABC 中，D 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，求∠D 与∠A 之间的关系。 3、两个外角平分线的夹角 如图，在?ABC 中，E 点是∠ABC 和∠ACD 的角平分线的交点，求∠E 与∠A 之间的关系。 练习1、如图，在?ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ，BC IH ⊥于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小 练习2、如图，在?ABC 中，∠A=n o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交 于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2， 得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ， 求2015A ∠ = 。 类型二：三角形中两条边的高线的夹角 如图，在?ABC 中，O 点是BC 和AC 边上高的交点，求∠AOB 与∠ D C
类型三：三角形中同一顶点的高线与角平分线的夹角 如图，在 ABC 中，AD 是BC 边上高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 与∠B 和∠C 之间的关系。 练习3、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC. (1)若点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数； (2)若点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数； (3)若点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 的度数会变化吗？是多少？ 类型四：三角形中两边中垂线的交点（锐角、直角、钝角三角形分类讨论） 如图，在△ABC 中，OD 垂直平分AB 交AB 于点D ，OE 垂直平分AC 交AC 于点E ，连接OB ，OC ，求∠BOC 与∠A 之间的关系。 练习4 （1）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，ME 和NF 分别垂直平分AB 和AC ，求∠MAN?的度数． （2）在（1）中，若无AB=AC 的条件，你还能求出∠MAN 的度数吗？若能，请求出；?若不能，请说明理由． 类型五：“8”字形图案的两条角平分线的夹角 如图，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD ，CB ，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于点M ，N 如图2，试回答下列问题： 在图1中，直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系 在图2中，∠D 与∠B 为任意角，试探究∠P 与∠D 、∠B 之间是否存在一定的数量关系，若存在，写出它们之间的关系并证明，若不存在，说明理由。
第一章三角形的证明 1.等腰三角形（一） 一、教学目标如： 1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。 2．能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； 3．情感与价值目标：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系； 二．教学重、难点 重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法； 难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。 三、教学过程分析 第一环节：回顾旧知导出公理 请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实。其中证明三角形全等的有以下三条： .两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）； .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； 三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明； 2.回忆全等三角形的性质。 已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， 又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)， ∠F=180°-(∠D+∠E)， ∴∠C=∠F（等量代换）。 又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）。D B A
专题07 三角形及四边形的计算与证明 一、三角形 1．三角形的概念及性质 概念：（1）由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．（2）三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形． 性质：（1）三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．（2）三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边． 2．三角形中的重要线段 （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心． （2）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点． （3）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点． 3．全等三角形的性质与判定 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 判定：（1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）； （2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）； （3）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）； （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）； （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL）． 4．等腰三角形 等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形． 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）； （3）等腰三角形是轴对称图形．
第一章《三角形的证明》 1、性质和判定 2、尺规作图 垂直平分线的应用： （1）确定到两点（三点）距离相等的点的位置 （2）确定线段的中点 （3）过一点作已知直线或线段的垂线 角平分线的应用 （1）把一个角分成n2等份 （2）确定到角的两边或三角形三边距离相等的点 （3）与垂直平分线结合，解决实际问题 3、全等三角形的判定（AAS，SSS，SAS，ASA，HL） 双基训练： 1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是____________. 2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是________________. 3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是________________. 4．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 . 5．已知⊿ABC中，∠A = 090，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC = . 6．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC 的度数为． 7．Rt⊿ABC中，∠C=90o，∠B=30o，则AC与AB两边的关系
是 ， 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300 ，腰长为6，则其底边上的高是 。 9. 如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ， 要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 10．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ） A.30° B.36° C.45° D.70° 11．如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12． 如图， DC ⊥CA ，EA ⊥CA ， CD=AB ，CB=AE ．求证：△BCD ≌△EAB ． 13.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ； 14．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式： ①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE ．以其中．．三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程。 已知： . 求证： . 证明： 提升练习 16.如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上. D E C B A
第一章三角形的证明单元测试卷 一．选择题（共12小题） 1．（2016?当涂县四模）在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上）．这个等腰三角形有几种剪法？（） A．1 B．2 C．3 D．4 (第1题) (第3题) (第4题) 2．（2016春?盐城校级月考）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（﹣4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（） A．9 B．7 C．5 D．3 3．（2016春?重庆校级月考）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=30°，DE垂直平分BC，则∠ACD的度数为（） A．30°B．45°C．55°D．75°4．（2015?达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（） A．48°B．36°C．30°D．24°5．（2015?德阳）如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（） A．150°B．160°C．130°D．60°
(第5题) (第6题) (第7题) 6．（2015?香坊区三模）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，AD ∥BC，连接CD，则∠ADC的度数为（） A．50°B．60°C．70°D．80° 7．（2015?河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=58°，∠C=100°，连接BD，E是AD 上一点，连接BE，∠EBD=36°．若点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，则∠ADC 的度数为（） A．75°B．65°C．63°D．61° 8．（2015?昌平区二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接C D． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（） A．90°B．95°C．100°D．105° (第8题) (第10题) (第11题) 9．（2015?泰安模拟）直线y=x+1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（）个． A．4 B．5 C．7 D．8 10．（2015?罗田县校级模拟）如图，在∠AOB=30°的两边上有两点P和Q在运动，且点P 从离点O有1厘米远的地方出发，以1厘米每秒运动，点Q从点O出发以2厘米每秒运动，则△POQ为等腰三角形时，两点的运动时间为（）秒．
第01讲 三角形的证明 温故知新 三角形全等的条件 （1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。 注意：①在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。②“SSS ”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。 符号语言：已知△ABC 与△DEF 的三条边对应相等。 在△ABC 与△DEF 中，?? ? ??===DF AC EF BC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （SSS ） （2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。 注意：①用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等 ②在书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。 符号语言：已知∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ．求证：△ABD ≌△ACE ． 证明：在△ABD 和△ACE 中， ∠D=∠E AD=AE ∠BAD ＝∠CAE ∴△ABD ≌△ACE （ASA ） （3）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。 符号语言：如图：D 在AB 上，E 在AC 上，DC=EB,∠C=∠B ．求证：△ACD ≌△ABE 证明：在△ACD 和△ABE 中． ∠C=∠B ∠A=∠A DC=EB ∴△ACD ≌△ABE （AAS ）． 注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。 （4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。 符号语言：在△ABC 与△DEF 中，
全等三角形 性质 等腰三角形 等边三角形 判定 对应边相等 对应角相等 一般三角形全等的判定定理： SSS SAS ASA AAS 两直角三角形全等的判定定理： HL 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 SSS ：三边对应相等的两个三角形全等。 SAS ：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 ASA ：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 AAS ：两角及一组内角的对边对应相等的两个三角形全等。 可利用全等三角形的这一性质 证明线段或角相等。 性质 判定 ①轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线，底边上的高线）是对称轴。 ②两边相等（相等的边称为腰）→等边对等角。 ③两角相等（相等的两个角称为底角）→等角对等边。 ④“三线合一”：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合。 ⑤等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的高线相等，两腰上的中线相等。（对称性全等） ①根据定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②根据推论：有两内角相等的三角形是等腰三角形。 前提条件：在同一个三角形中，等角对等边，等边对等角。可用于证明线段或角相等（等腰三角形） ③“三线合一”的逆定理：三角形中只要高线.中线.角平分线任意有二线重合,这个三角形是等腰三角形. A 、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合B 、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合 C 、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。（不能直接使用结论证性质 判定 ①轴对称图形，内角平分线（各边中线，各边高线）都是对称轴。 ②三边都相等，三内角都相等且为60度。 ③“三线合一”且三角形三条中线高线角平分线交于一点O, 这点到三顶点的距离相等（OA=OB=OC ），到三边的距离相等（OD=OE=OF ）。 ①有三边相等的三角形是等边三角形 ②有三内角相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。 直角三角形 性质 判定 北 师 大 八 年 级 下 第 一 章 三 角 形 的 相 关 证 明 ①两锐角互余（两锐角相加为90度） ②勾股定理（a2+b2=c2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ③含有30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，60度角所对的直角边等于斜边的3/2倍，较长直角边是较短直角边的3倍。 ④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形三边垂直平分线交于斜边中点上，从而此点到三顶点的距离相等） ①两锐角互余（两锐角相加为90度）的三角形是直角三角形 ②有一个内角是90度的三角形是直角三角形。 ③勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。 特 殊 线 垂直 平分 线 角平 分线 性质:垂直平分线上的任意点到线段两端点的距离相等。（等腰三角形中三线合一的线段就是底边上的垂直平分线） 判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。（可用于证明点在直线上或三线共点的问题） 三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线交于一点，且这点到三顶点的距离相等（外心） ①作线段垂直平分线：以端点为圆心，以大于线段一半长为半径画弧，并连结四弧的交点的直线 尺规作图 作图 应用 ①到两定点的距离相等：连结两定点的线段，并做其中垂线与已知直线的交点。（图一） ②到两定点的距离最短：做短距离的点的对称点，并连结对称点与另一点与直线交点。（图二） ③到三定点的距离相等：做三点所成三角形的两边垂直平分线的交点即可。（图三） 性质:角平分线上的点到角两边的距离相等。（角也是轴对称图形，角平分线即是其对称轴） 判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 三角形三内角平分线的性质：三角形三内角平分线交于一点，并且这个点到三边的距离相等。（内心） 尺规作图：以角的顶点为圆心,以任意长为半径画弧交两边于两点,再以两交点为圆心,以相同长为半径画弧的交点与顶点的连线。