第一章 三角形的证明教案

八年级数学·下新课标[北师]第一章三角形的证明1.经历探索、猜想、证明的过程,进一步体会证明的必要性,提高推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容,掌握基本的证明方法,结合实例体会反证法的含义.3.能够证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及判定定理.4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.5.结合具体例子了解原命题及逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并明确原命题成立其逆命题不一定成立.6.已知底边及底边上的高线,能用尺规作出等腰三角形;已知一条直角边和斜边,能用尺规作出直角三角形;能用尺规过一点作已知直线的垂线.经历探索、猜测、证明的过程,进一步体会证明的必要性,培养学生的推理论证能力.发展勇于质疑、严谨求实的科学态度.“三角形的证明”是新旧教材转换中变化比较大的一部分内容,无论是《标准》对证明的要求上,还是对“证明”在数学教学中价值的重新定位,以及证明在整套教材中的编排顺序,都和我们传统几何教学中的证明大有不同.本章是平行线的证明的继续,首先给出作为继续进行证明基础的几条公理,并与平行线的证明中给出的几条公理一起展开这一章对命题的逻辑证明.本章中所涉及的很多命题(如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件、勾股定理及其逆定理等)在前几册教材中学生们已经通过一些直观的方法进行了探索,所以学生们对这些结论已经有所了解.对于这些命题,教材力争将证明的思路展现出来.教材中首先利用提问题的方式使学生们回忆这些结论,并回忆用来探索这些结论的方法和过程,因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发,然后再利用公理和已有的定理去证明.上述过程将抽象的证明与直观的探索联系起来,本章中还涉及一些以前没有探索过的命题,这些命题的获得,有些是直接通过证明得到的,而对于有些命题,教材则尽可能地创设一些问题的情境,为学生提供自主探索发现的空间,然后再进行证明,从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展,使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用.此外,教材还注意渗透数学思想方法,如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比思想、转化思想等.一方面为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间,将探索发现和证明有机地结合起来.另一方面教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法,并进行适当的比较和讨论,开阔学生的视野,提高学生的思维能力.【重点】1.等腰三角形的性质.2.等腰三角形的判定.3.直角三角形的性质.4.直角三角形的判定.5.线段的垂直平分线的性质定理.6.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理.7.角平分线的性质定理.8.角平分线的性质定理的逆定理.【难点】1.等腰三角形的性质的证明.2.添加辅助线的方法.3.勾股定理的证明.4.勾股定理的逆定理的证明.5.三线共点的证明方法.6.用尺规作等腰三角形.7.应用本章的知识证明或者解决有关的问题.推理与论证的学习方法是在不同层次中展开的,在探索图形性质的活动中,学习合情推理;在交流的过程中,学习有条理思考;在积累了一定的活动经验与掌握一些图形的性质的基础上,从几个基本事实出发,证明一些有关三角形、四边形的基本性质,从而体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握演绎推理的基本格式.这些内容有利于学生主动地进行观察、试验、猜测、验证、推理、交流与反思等数学活动.因此在前几册的学习中,学生们已经经历了探索图形性质的过程,并且发现了图形的很多性质,但没有给出严格的证明.从平行线的证明开始,逐渐地开始证明已探索过的图形的性质,同时也证明一些新的结论.在本章的教学中应重点注意在证明思路和方法上对学生的引导,帮助学生分析如何添加辅助线、如何构造辅助图形.在这个过程中,原来在进行图形的折叠、拼剪等探索图形性质时所使用的方法对证明的思路也是很重要的,应注意引导和启发.很多图形的性质及结论的证明方法和途径都不是唯一的,辅助线的添加方法也是多样的,因此,在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同,发散逻辑思维.另外,通过一定数量的推理证明的训练,逐步使学生掌握证明方法和思路.具体建议如下:1.等腰三角形:教材直截了当地提出等腰三角形的性质,进而去探讨证明的思路,我认为创设问题的情境不足,学生准备不充分.我采用先折纸,再复习等腰三角形的性质,而后提出证明,并分析证明的思路,让学生在循序渐进的过程中学习.2.直角三角形:利用图形割补的方法可以证明勾股定理,但证明有一定的难度,因此在“读一读”中介绍了两种方法,可供有兴趣的学生阅读,而不作为对所有学生的要求.3.勾股定理的逆定理的证明方法新颖,对学生来说有一定难度,教学中只要学生能接受证明的方法和过程即可,不必做更多要求.4.线段的垂直平分线:对于作图学生没有困难,但要求学生会写已知、求证、及说明作图的理由,学生就会感到困难,在教学中,应注意引导学生会说明理由,学生的思路可能较多,应鼓励学生多种思维发展;应让学生在作图的基础上,学会用尺规作已知直线的垂线(过直线上一点或直线外一点)、已知底边和底边上的高作等腰三角形,作三角形三边的垂直平分线.注意利用线段的垂直平分线的性质及判定定理解决有关的实际问题及简单的证明与计算.5.角平分线:学生已经探索过角平分线上的点的性质,此处可先让学生回顾其性质和探索过程,并尝试证明.在前面的学习中,学生已经了解了如何构造一个命题的逆命题.学习线段的垂直平分线时,也经历了构造其逆命题的过程,因此,学生会类比构造角平分线性质定理的逆命题.在叙述其逆命题时,可不加什么条件,但验证其真假时,教师应引导学生注意角平分线是在角的内部的射线,所以就要附加“在角的内部”这个条件.回顾与思考1课时1等腰三角形1.理解并能说出全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质.2.能够证明判定三角形全等的“角角边”定理和等腰三角形的性质,掌握证明的基本步骤和书写格式.3.能用三角形全等的判定定理和等腰三角形的性质证明或解决有关的问题.4.理解并能说出等腰三角形的判定定理,且能用其判定一个三角形是否为等腰三角形.5.能说出并能够证明等边三角形的性质和判定方法,且能够用其证明或解决有关的问题.6.能说出并能够证明在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,且能够应用其证明或解决有关的问题.7.了解反证法的思想和方法.1.经历“角角边”定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定的探索证明过程,感受数学的严谨性.2.在探索和证明中,提高学生的数学语言表达能力.在探索证明中,培养学生严谨求学的态度和尊重理论事实的正确价值观.【重点】1.等腰三角形的性质定理及判定定理的证明及其应用.2.等边三角形的性质定理和判定定理的证明及其应用.【难点】1.对本节定理的证明方法和辅助线的添加方法的探索.2.对反证法的认识和了解.第课时1.了解作为证明基础的几条公理的内容.2.使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.经历作辅助线的证明过程,进一步发展学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.【重点】等腰三角形的性质及推论.【难点】命题的书写格式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习三角形全等的判定方法.导入一:请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条:1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).在此基础上回忆三角形全等的另一个判别条件:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明.已知:如图所示,在△ABC和△DEF中,有∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证△ABC≌△DEF.证明:∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知),又∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°),∴∠C=180°-(∠A+∠B),∠F=180°-(∠D+∠E),∴∠C=∠F(等量代换).又∵BC=EF(已知),∴△ABC≌△DEF(ASA).[设计意图]经过一个假期,学生对上学期所学知识难免有所遗忘,因此,在第一课时,回顾有关内容,既是对前面学习内容的一个简单梳理,也为后续有关证明做足了知识准备.导入二:我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论.我们已学过的部分基本事实:1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).通过上面的这些结论,我们能否证明等腰三角形的底角相等呢?[设计意图]帮助学生理解公理在证明定理过程中的作用,同时通过设问引入本课时的学习内容.定理:等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为:等边对等角.已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC.求证∠B=∠C.〔解析〕我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.证明:取BC的中点D,连接AD.(如图所示)∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD△≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).[设计意图]通过折纸活动,获得有关命题的证明思路,并通过进一步的整理,再次感受证明是探索的自然延伸,熟悉证明的基本步骤和书写格式.等腰三角形性质定理的推论,这一结论通常简述为“三线合一”.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.证明:过顶点A作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,∵AD是△ABC中的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中,AD=AD(公共边),∠BAD=∠CAD,AB=AC(已知),∴△ABD≌△ACD(SAS),∴BD=CD(全等三角形的对应边相等),∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等).∴AD是BC边上的中线,∠BDA=90°,∴AD是BC边上的高,∴等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.[设计意图]教师和学生一起完成证明,可以让学生经历自主命题的证明过程.同时,对学生书写格式的规范起到引领作用.[知识拓展]“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等腰三角形”作为一个前提条件得到的三个真命题,在学习等腰三角形的性质定理后,可将该定理作如下的延伸.如图所示,已知△ABC,①AB=AC,②∠1=∠2,③AD⊥BC,④BD=DC中,若其中任意两组成立,可推出其余两组成立.已知:;求证:;证明:.例如:已知②∠1=∠2,④BD=DC,求证①AB=AC,③AD⊥BC.根据等腰三角形的“三线合一”定理即可得证.证明:延长AD至E,使DE=AD,连接CE.(如图所示)在△ABD和△ECD中,AD=ED,∠3=∠4,BD=CD,∴△ABD≌△ECD(SAS).∴AB=EC,∠1=∠E.∵∠1=∠2,∴∠E=∠2,∴CE=AC,∴AC=AB.∴AD⊥BC.1.定理:等腰三角形的两底角相等.2.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.1.一个等腰非等边三角形中,它的角平分线、中线及高线的条数共为(重合的算一条)()A.9B.7C.6D.5解析:等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是一条.故选B.2.在△ABC中,如果AB=AC,那么在这个三角形中,重合的线段是()A.∠A的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线B.∠A的平分线,BC边上的中线,BC边上的高线C.∠B的平分线,AC边上的中线,AC边上的高线D.∠C的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线解析:本题主要考查等腰三角形三线合一的性质.故选B.3.若等腰三角形中有一个角为110°,则其余两角分别为.解析:因为110°的角只能是顶角,所以其余两角均为35°.故填35°,35°.4.如果等腰三角形的一边长为6 cm,周长为14 cm,那么另外两边的长分别为.解析:边长为6 cm的边有可能是腰也有可能是底.答案:6 cm,2 cm或4 cm,4 cm5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且AD=BD=BC.求∠A的度数.解:设∠A=x°,∵AD=BD,∴∠1=∠A.∴∠2=∠1+∠A=2x°.∵BD=BC,∴∠C=∠2=2x°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2x°.由三角形内角和定理可知∠A+∠ABC+∠C=180°,即5x=180,解得x=36.∴∠A的度数为36°.6.(2015·佛山中考)如图所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC.请你用尺规作图将△ABC分成两个全等三角形,并说明这两个三角形全等的理由.(保留作图痕迹,不写作法)解:由作图可知∠BAD=∠CAD,又AB=AC,AD=AD,则△ABD≌△ACD(SAS).第1课时一、等腰三角形的两底角相等二、三线合一一、教材作业【必做题】教材第3页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在△ABC中,若AB=AC,∠A=44°,则∠B=度.2.已知等腰三角形两条边的长分别是3和6,则它的周长等于.3.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,延长BC到D,使CD=AC,则∠CDA=度.4.如图所示,已知AB=AC,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,若∠AFD=145°,则∠EDF=度.5.等腰直角三角形中,若斜边长为16,则直角边的长为.【能力提升】6.一个等边三角形的边长为a,它的高是()A.3aB.32aC.12aD.34a7.至少有两边相等的三角形是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形8.如图所示,△ABC中,AC=BC,直线l经过点C,则()A.l垂直ABB.l平分ABC.l垂直平分ABD.l与AB的位置关系不能确定9.(2015·宜昌中考)如图所示,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有()A.1个B.2个C.3个D.4个10.若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°,则这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【拓展探究】11.如图所示,点D是△ABC内一点,AB=AC,∠1=∠2.求证AD平分∠BAC.12.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15 cm和11 cm两部分,求此三角形的底边长.【答案与解析】1.68(提示:等腰三角形的两底角相等.)2.15(解析:腰长是6,底边长是3,故周长为6+6+3=15.)3.154.55(解析:易求出∠CFD=35°,因为AB=AC,所以∠B=∠C=55°,从而求出∠A=70°,再根据四边形内角和是360°可求出∠EDF=55°.)5.82(解析:由勾股定理可求.)6.B7.B8.D9.C(解析:要使△ABP与△ABC全等,点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,故点P1,P3,P4均符合条件,共3个.故选C.)10.D(解析:有一个底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形.)11.证明:∵∠1=∠2,∴BD=DC.∵AB=AC,AD=AD,∴△ADB≌△ADC.∴∠BAD=∠CAD.即AD平分∠BAC.12.提示:分两种情况,底边长为6 cm或343 cm.本节通过学生对已学知识的回顾,经历了“探索——发现——猜想——证明”的活动过程,关注了学生自主探究过程,学生发挥了主体作用,取得了较好的教学效果.注重在学期初对以往知识的整合和串联,从整册教材的角度构想本课时的教学.在具体活动中,如何在学生活动与结论总结之间建立一个恰当的衔接,各部分时间比例的分配需要根据班级学生具体状况进行适度地调整.在等腰三角形的性质定理的运用上,让学生猜想、实践、探索、反思,提出自己的见解,在教学中鼓励学生积极合作,充分交流,感受学生在学习活动中获得成功的喜悦,促使学生学习方式的改变.随堂练习(教材第3页)1.提示:(1)70°.(2)36°.2.(1)证明:∵BC=CD,AC=AC,∠ACB=∠ACD=90°,∴△ACB≌△ACD(SAS),∴AB=AD,即△ABD是等腰三角形.(2)提示:90°.习题1.1(教材第4页)1.已知已知公共边SSS全等三角形对应角相等2.证明:∵BE=CF,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF.∴∠A=∠D.3.解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD.∵∠BAC=108°,∴∠BAD=12×108°=54°.4.解:∠BAD=∠CAD,∠BEA=∠CEA,∠ABE=∠ACE,∠BED=∠CED,∠EBD=∠ECD,∠BDE=∠CDE,∠ABC=∠ACB.由图中易得△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,△BED≌△CED,继而得到以上各组相等的角.5.已知:如图所示,在等腰三角形ABC和等腰三角形DEF中,∠A=∠D,BC=EF.求证△ABC≌△DEF.证明:∵△ABC和△DEF都是等腰三角形,∠A=∠D,∴∠B=∠E,∠C=∠F,∵BC=EF,∴△ABC≌△DEF(AAS或ASA).6.解:BD=CE,证明如下:如图所示,过点A作AF⊥BC于点F,∵AB=AC,∴BF=CF,∵AD=AE,∴DF=EF,∴BD=CE..在“八年级上册第七章平行线的证明”中,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证明过程,得出了一些基本的证明方法并积累了一定的证明经验;在七年级下册的学习中,学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题,这些都为证明本节有关命题做了铺垫.本节回顾了判定三角形全等的有关定理,并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的性质定理.由于具备了上面所说的活动经验和认知基础,本节可以让学生在回顾的基础上,自主地寻求命题的证明.如图所示,已知∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,求∠DEF的度数.解:∵∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,∴∠CBD=∠BAC+∠BCA=30°,∴∠BCD=120°,∴∠DCE=∠CED=180°-15°-120°=45°,∴∠EDF=∠A+∠AED=15°+45°=60°,∴∠DEF=60°.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AE∥BC.求证AE平分∠DAC.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AE∥BC,∴∠C=∠EAC,∠B=∠DAE.∴∠DAE=∠EAC,∴AE平分∠DAC.第课时使学生能用多种方法证明等腰三角形两底角的平分线相等.引导学生分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和规范的书写格式.经历作辅助线的证明过程,进一步增强学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.【重点】等腰三角形的性质.【难点】命题书写的格式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习等腰三角形的性质.导入一:在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗?试作图,写出已知、求证和证明过程.还可以有哪些证明方法?通过学生的自主探究和同伴的交流后得出:等腰三角形两底角的平分线相等;等腰三角形两腰上的高相等;等腰三角形两腰上的中线相等.并对这些命题给出多种方法的证明.[设计意图]让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,进一步体会证明的必要性,感受证明方法的多样性.导入二:在回忆上节课学习的等腰三角形性质的基础上,在等腰三角形中作出一些线段(利用多媒体课件演示),观察后解答下列问题:(1)你能从图中发现一些相等的线段吗?(2)你能用一句话概括你所得到的结论吗?(3)你能结合图形分别写出已知、求证和证明过程吗?[设计意图]通过知识的回顾,直接提出新的问题,过渡自然,引入本课研究内容,而新的问题是原有性质的一个自然拓广,有助于培养学生自主提出问题的能力.[过渡语]同学们对于“等腰三角形两底角的平分线相等”我们如何来证明呢?(教材例1)证明:等腰三角形两底角的平分线相等.已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.求证:BD=CE.证法1:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB,∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中,∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).证法2:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠3=12∠ABC,∠4=12∠ACB,∴∠3=∠4.在△ABD和△ACE中,∵∠3=∠4,AB=AC,∠A=∠A,∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).在证明过程中,学生的思路一般还较为清楚,但严格证明表述经验尚显不足,因此,教师应注意对证明过程提出一定的要求,可以让学生板书其中部分证明过程或借助多媒体课件展示部分证明过程.同时注意对证明有困难的学生给予帮助和指导.如何证明等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高线也分别相等呢?同学们可以自己来证明.(补充例题)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC.(1)如果∠ABD=13∠ABC,∠ACE=13∠ACB呢?由此,你能得到一个什么结论?(2)如果AD=12AC,AE=12AB,那么BD=CE吗?如果AD=13AC,AE=13AB呢?由此,你能得到什么结论?解:(1)BD=CE.这和证明等腰三角形两底角的平分线相等类似.证明如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).∵∠ABD=13∠ABC,∠ACE=13∠ACB,∴∠ABD=∠ACE.在△BDA和△CEA中,∵∠ABD=∠ACE,BA=CA,∠A=∠A,∴△BDA≌△CEA(ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).由此我们可以发现:在△ABC中,AB=AC,∠ABD=1n∠ABC,∠ACE=1n∠ACB,就一定有BD=CE成立(n≥1).(2)在△ABC中,AB=AC,如果AD=12AC,AE=12AB,那么BD=CE;如果AD=13AC,AE=13AB,那么BD=CE.由此我们得到了一个结论:在△ABC中,AB=AC,AD=1n AC,AE=1n AB,那么BD=CE(n≥1).证明如下:∵AB=AC,AD=1n AC,AE=1n AB,∴AD=AE.在△ADB和△AEC中,∵AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,∴△ADB≌△AEC(SAS).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).[设计意图]提高学生解决变式问题的能力,并培养学生学习的自主性.上,思考等边三角形的特殊性质.定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC=BC.求证:∠A=∠B=∠C=60°.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).又∵AC=BC(已知),∴∠A=∠B(等边对等角).∴∠A=∠B =∠C.在△ABC中,∵∠A+∠B +∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.[设计意图]让学生规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等,并且每个角都等于60°”的证明过程.1.等腰三角形两底角的平分线相等.2.等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.1.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是()A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°解析:这个角可能是顶角也可能是底角.故选B.2.(2015·衡阳中考)已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为()A.11B.16C.17D.16或17解析:分两种情况:当三边长为5,5,6时,周长为16;当三边长为5,6,6时,周长为17.故选D.3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,若∠ADE=48°,则下列结论中不正确的是()A.∠B=48°B.∠AED=66°C.∠A=84°D.∠B+∠C=96°答案:B4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外角∠DAC=130°,则∠B=.解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DAC=130°,∴∠BAC=50°,∴∠C=∠B=65°.故填65°.5.如图所示,在△PBQ中,BP=6,点A,C,D分别在BP,BQ,PQ上,且CD∥PB,AD∥BQ,∠QDC=∠PDA,则四边形ABCD的周长为.答案:126.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD=.解析:根据已知求得底角∠ABC=72°,再根据三角形内角和定理求得∠ABD=54°,从而求得∠DBC=18°.故填18°.第2课时一、等腰三角形的性质.二、等边三角形的性质.一、教材作业【必做题】教材第6页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第7页习题1.2的2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于()A.顶角B.顶角的一半C.顶角的2倍D.底角的一半2.已知一等腰三角形的两边长x,y满足方程组2x-y=3,3x+2y=8.则此等腰三角形的周长为()A.5B.4C.3D.5或43.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB边的取值范围是()A.1 cm<AB<4 cmB.5 cm<AB<10 cmC.4 cm<AB<8 cmD.4 cm<AB<10 cm4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,连接AD,AE,若只添加一个条件使∠DAB=∠EAC,则添加的条件不能为()A.BD=CEB.AD=AEC.DA=DED.BE=CD5.(2014·苏州中考)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为()A.35°B.45°C.55°D.60°【能力提升】6.如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则下列四个结论正确的是()①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△CSP.A.全部正确B.仅①和②正确C.仅②③正确D.仅①和③正确。

三角形的证明教案一、教学目标1、让学生掌握三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并能运用这些方法证明两个三角形全等。

2、通过对三角形全等的证明，培养学生的逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力。

3、让学生在探索三角形全等的过程中，体会数学的严谨性和科学性，激发学生对数学的兴趣。

二、教学重难点1、教学重点掌握三角形全等的判定方法。

能正确运用三角形全等的判定方法进行证明。

2、教学难点灵活运用三角形全等的判定方法解决实际问题。

证明过程的书写规范和逻辑推理的严谨性。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过展示两个形状相同、大小相等的三角形模型，让学生观察并思考如何证明这两个三角形全等。

引导学生回忆之前学过的三角形的相关知识，为学习三角形全等的判定方法做好铺垫。

2、知识讲解边边边（SSS）判定方法展示三根长度分别相等的小木棒，让学生动手拼成一个三角形。

然后，再让学生用同样长度的小木棒拼成另一个三角形。

观察两个三角形是否能够完全重合。

从而得出边边边（SSS）判定方法：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。

边角边（SAS）判定方法画出两个三角形，其中一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角相等。

让学生通过测量、裁剪等方式，验证这两个三角形是否全等。

得出边角边（SAS）判定方法：如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

角边角（ASA）判定方法展示两个三角形，其中一个三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其夹边相等。

让学生思考如何证明这两个三角形全等。

引导学生通过作辅助线等方法，得出角边角（ASA）判定方法：如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等。

角角边（AAS）判定方法通过对前面判定方法的推导和总结，引导学生思考如果两个三角形的两个角分别相等，其中一条边相等，这两个三角形是否全等。

三角形的证明教案一、教学目标1、让学生掌握三角形全等的判定定理，如 SSS（边边边）、SAS （边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）和RHS（直角、斜边、边）。

2、培养学生运用三角形全等的证明解决实际问题的能力。

3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展学生的空间观念和逻辑思维能力。

二、教学重难点1、重点（1）掌握三角形全等的判定方法，并能熟练运用。

（2）能够准确地找出全等三角形的对应边和对应角。

2、难点（1）灵活运用三角形全等的判定定理进行证明。

（2）理解证明的思路和方法，规范书写证明过程。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法、练习法四、教学过程（一）导入同学们，大家还记得我们之前学过的三角形吗？今天呀，老师要带大家走进三角形的神秘世界，一起来探索三角形的证明。

我先给大家讲个小故事。

前几天我去逛街，路过一个建筑工地，看到工人们正在搭建一个三角形的架子。

我就好奇地问他们：“师傅，你们怎么能保证这个架子是稳固的呀？”其中一个师傅笑着说：“这你就不懂了吧，我们是根据三角形的特性来搭建的，只要三条边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定了，绝对稳固！”同学们，你们想想，为什么三条边确定了，三角形就稳固了呢？这就涉及到我们今天要学习的三角形的证明啦！（二）新课讲授1、三角形全等的定义两个三角形能够完全重合，就说这两个三角形全等。

2、三角形全等的判定定理（1）SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如，我们有两个三角形，一个三角形的三条边分别是3cm、4cm、5cm，另一个三角形的三条边也是 3cm、4cm、5cm，那么这两个三角形就是全等的。

（2）SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

举个例子，一个三角形的两条边分别是 6cm 和 8cm，它们的夹角是60°，另一个三角形的两条边也是 6cm 和 8cm，夹角也是 60°，那么这两个三角形就是全等的。

《2 直角三角形》第1课时教学目标1、知识与技能：（1）掌握直角三角形的性质和判定．（2）掌握勾股定理及其逆定理．2、过程与方法：通过本节的学习掌握勾股定理的推导和证明思想，灵活准确地应用勾股定理的推导和证明思想，灵活准确地应用勾股定理判定三角形为直角三角形．3、情感态度与价值观：（1）通过学习进一步培养动手操作的能力和锲而不舍的探索意识．（2）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满了探索性、知识性、趣味性，同时又具有严密的逻辑性，当然，许多数学问题又都源于生活实际，由此引出相关的内容，以培养大家应用数学的意识．教学重难点教学重点：直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理．教学难点：直角三角形的性质和判定以及勾股定理及其逆定理的应用．教学过程1、直角三角形的性质：（1）在直角三角形中，有一个角为90°．（2）在直角三角形中，两锐角互余．（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．2、直角三角形的判定：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形．（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．3、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2．4、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．5、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边．（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系．（3）用于证明线段平方关系的问题．6、勾股定理与勾股定理的逆定理是一对互逆定理，前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理．7、勾股定理的逆定理把数的特征（a2＋b2＝c2）转化为形的特征（三角形有一个角为直角），因此逆定理的作用是提供了一个判定三角形是不是直角三角形的方法，它与前面讲的判定方法不同，它需要通过代数运算“算”出来．第2课时教学目标1、掌握判定直角三角形全等的条件和方法．2、经历探索直角三角形全等条件的过程，把握直角三角形全等的条件，并能灵活地解决一些问题．教学重难点教学重点：直角三角形全等的判定．教学难点：HL定理（或简写成“斜边、直角边”）；直角三角形全等的判定定理及其应用．教学过程一、学习直角三角形全等的判定方法：（1）SAS定理（2）ASA定理（3）AAS定理（4）SSS定理（5）HL定理（或简写成“斜边直角边”）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．二、重点讲解重点讲解HL定理（或简写成“斜边直角边”）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．1、情景创设：（1）直角三角形全等的条件有哪些？（2）你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？2、合作探索：我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等．如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否可能全等呢？如图（1）：在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB＝A＇B＇，AC＝A＇C＇，∠C＝∠C＇＝90°，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？图1研究这个问题，我们先做一个实验：把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起（教师演示）如图1（2），因为∠ACB＝∠A＇C＇B＇＝90°，所以B、C（C＇）、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，可以知道∠B＝∠B＇．根据AAS公理可知Rt△A＇B＇C＇≌Rt△ABC．上面的实验和操作，说明“斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等”．这就是判定直角三角形的“斜边、直角边”公理（简称HL）．三、应用迁移B图2例：如图2，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF；求证：AB=AC．四、小结关于HL定理应用的注意：1、HL定理是判定直角三角形全等独有的方法，因此在应用这一性质时，必须点明“在Rt△×××和Rt△×××”中．2、由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等．所以判定两个直角三角形全等的方法有五种：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”和“HL”．。

新北师大版八下数学第一章三角形的证明教案教学目标：1.理解三角形的定义，掌握三角形分类的方法。

2.掌握使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

3.培养学生的逻辑思维和推理能力。

教学重点：1.理解三角形的定义，掌握三角形分类的方法。

2.使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

教学难点：使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

教学过程：一、导入（10分钟）1.师生互动：提问学生对三角形的定义和分类的了解。

2.引入新知：向学生介绍本课的学习内容，即三角形的证明。

二、讲解与示范（20分钟）1.讲解三角形的定义和分类的方法，并通过图示进行解释。

2.讲解三角形的基本性质（如角的度数和等于180度等）。

3.示范使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

三、练习与训练（30分钟）1.学生个别或分组完成教材上的练习题，巩固理论知识。

2.学生在小组内互相出题，进行三角形证明的练习。

四、展示与评价（15分钟）1.学生展示自己的练习成果，分享自己的解题思路。

2.教师评价学生的表现，指出不足之处并给予指导。

五、拓展与应用（15分钟）1.针对一些高阶问题进行拓展，引导学生思考和推理。

2.学生在小组内或以个体形式，解答拓展问题。

六、总结与归纳（10分钟）1.学生和教师一起总结本节课所学的内容，梳理知识点。

2.教师对本节课的教学进行总结，并提醒学生下节课的学习安排。

教学资源：1.新北师大版八年级数学教材。

2.黑板、彩色粉笔、投影仪等教学工具。

教学延伸：本节课主要讲解了三角形的定义和分类，并引导学生使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

在教学过程中，教师可以使用多媒体教学、思维导图等方式，增加学生的参与度和理解能力。

同时，教师还可以设计一些趣味性的活动，激发学生的学习兴趣和求知欲。

三角形的证明教案一、教学目标1、让学生掌握三角形全等的判定定理，如“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）。

2、能够运用三角形全等的判定定理进行简单的证明和计算。

3、培养学生的逻辑推理能力和空间观念。

二、教学重难点1、重点掌握三角形全等的判定定理。

能够运用判定定理进行证明。

2、难点灵活运用判定定理解决复杂的几何问题。

正确书写证明过程，逻辑清晰，推理严谨。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过展示两个形状相同但大小不同的三角形，引发学生思考如何判断两个三角形全等。

2、知识讲解（1）“边边边”（SSS）判定定理给出两个三角形，三条边对应相等，让学生观察并猜测它们是否全等。

通过几何画板进行演示，验证学生的猜测，得出“边边边”判定定理：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。

（2）“边角边”（SAS）判定定理展示两个三角形，两条边及其夹角对应相等，引导学生思考它们是否全等。

同样利用几何画板演示，得出“边角边”判定定理：如果两个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。

（3）“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定定理以类似的方式，分别介绍“角边角”和“角角边”判定定理。

3、例题讲解给出一些简单的例题，如已知三角形的某些边和角的条件，要求学生判断两个三角形是否全等，并说明理由。

详细讲解例题的解题思路和证明过程，强调书写规范。

4、课堂练习让学生完成一些课堂练习题，巩固所学的判定定理。

巡视学生的练习情况，及时给予指导和纠正。

5、小组讨论安排学生分组讨论一些较复杂的几何问题，鼓励他们运用所学的判定定理进行分析和证明。

每组选派代表进行发言，分享小组的讨论结果。

6、总结归纳与学生一起回顾三角形全等的判定定理，并强调在证明过程中需要注意的事项。

解答学生在学习过程中遇到的疑问。

7、布置作业布置适量的课后作业，包括书面作业和拓展性作业，让学生进一步巩固所学知识。

北师大版本八年级数学下第一章三角形的证明全章教案本章总体设计介绍本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论. 运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论.在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础.本章所证明的命题都和等腰三角形、直角三角形有关，主要包括：1.等腰三角形的性质和判定定理；2.直角三角形的性质定理和判定定理；3.线段的垂直平分线性质和判定定理；4.角平分线性质定理和判定定理。

本章教学建议对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。

对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。

证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。

作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。

1.等腰三角形（一）一、学生知识状况分析在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。

二、教学任务分析本节将进一步回顾和证明全等三角形的有关定理，并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，为此，本节可以让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明，为此，确定本节课的教学目标如下：1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。