第一章-三角形的证明教案

北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。

通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。

八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。

在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。

具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。

二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。

本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：1.构建本章知识内容框架，发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

《直角三角形全等的判定》教学设计第一章三角形的证明2．直角三角形（二）一、学情分析及内容解析学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法、勾股定理以及用尺规作三角形，且在一系列的实践活动中，积累了一定的探索与推理经验，已经具备了进一步探索并证明判定直角三角形全等定理的基础。

本节课探索直角三角形全等的判定定理的过程中，通过探究活动，使学生在实践中学习，是培养学生自主学习、合作交流的好素材。

三角形全等是贯穿这一章的主线，是初中阶段证明线段相等和角相等的主要工具。

而探索斜边与直角边长度之比则是学习三角函数的基础。

因此，这节课有利于学生形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力，是学习后续几何课程的基础。

二、教学任务分析本节课内容是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。

本课时在学生现有知识和活动经验的基础上，提出具体教学及学习任务：经历探索直角三角形全等条件的过程，用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形，掌握判定直角三角形全等的条件，能熟练选择判定方法判定两个直角三角形全等，并解决一些简单的实际问题。

在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。

三、教学目标1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。

②熟练利用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。

2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

②经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题的方法。

3、情感目标①让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。

②通过定理的证明，范例的分析过程的教学，培养观察分析问题、把实际问题抽象概括成数学问题、并加以论证解决的能力。

③通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。

三角形的证明教案一、教学目标1、让学生掌握三角形全等的判定定理，如 SSS（边边边）、SAS （边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）和RHS（直角、斜边、边）。

2、培养学生运用三角形全等的证明解决实际问题的能力。

3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展学生的空间观念和逻辑思维能力。

二、教学重难点1、重点（1）掌握三角形全等的判定方法，并能熟练运用。

（2）能够准确地找出全等三角形的对应边和对应角。

2、难点（1）灵活运用三角形全等的判定定理进行证明。

（2）理解证明的思路和方法，规范书写证明过程。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法、练习法四、教学过程（一）导入同学们，大家还记得我们之前学过的三角形吗？今天呀，老师要带大家走进三角形的神秘世界，一起来探索三角形的证明。

我先给大家讲个小故事。

前几天我去逛街，路过一个建筑工地，看到工人们正在搭建一个三角形的架子。

我就好奇地问他们：“师傅，你们怎么能保证这个架子是稳固的呀？”其中一个师傅笑着说：“这你就不懂了吧，我们是根据三角形的特性来搭建的，只要三条边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定了，绝对稳固！”同学们，你们想想，为什么三条边确定了，三角形就稳固了呢？这就涉及到我们今天要学习的三角形的证明啦！（二）新课讲授1、三角形全等的定义两个三角形能够完全重合，就说这两个三角形全等。

2、三角形全等的判定定理（1）SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如，我们有两个三角形，一个三角形的三条边分别是3cm、4cm、5cm，另一个三角形的三条边也是 3cm、4cm、5cm，那么这两个三角形就是全等的。

（2）SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

举个例子，一个三角形的两条边分别是 6cm 和 8cm，它们的夹角是60°，另一个三角形的两条边也是 6cm 和 8cm，夹角也是 60°，那么这两个三角形就是全等的。

新北师大版八下数学第一章三角形的证明教案教学目标：1.理解三角形的定义，掌握三角形分类的方法。

2.掌握使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

3.培养学生的逻辑思维和推理能力。

教学重点：1.理解三角形的定义，掌握三角形分类的方法。

2.使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

教学难点：使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

教学过程：一、导入（10分钟）1.师生互动：提问学生对三角形的定义和分类的了解。

2.引入新知：向学生介绍本课的学习内容，即三角形的证明。

二、讲解与示范（20分钟）1.讲解三角形的定义和分类的方法，并通过图示进行解释。

2.讲解三角形的基本性质（如角的度数和等于180度等）。

3.示范使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

三、练习与训练（30分钟）1.学生个别或分组完成教材上的练习题，巩固理论知识。

2.学生在小组内互相出题，进行三角形证明的练习。

四、展示与评价（15分钟）1.学生展示自己的练习成果，分享自己的解题思路。

2.教师评价学生的表现，指出不足之处并给予指导。

五、拓展与应用（15分钟）1.针对一些高阶问题进行拓展，引导学生思考和推理。

2.学生在小组内或以个体形式，解答拓展问题。

六、总结与归纳（10分钟）1.学生和教师一起总结本节课所学的内容，梳理知识点。

2.教师对本节课的教学进行总结，并提醒学生下节课的学习安排。

教学资源：1.新北师大版八年级数学教材。

2.黑板、彩色粉笔、投影仪等教学工具。

教学延伸：本节课主要讲解了三角形的定义和分类，并引导学生使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

在教学过程中，教师可以使用多媒体教学、思维导图等方式，增加学生的参与度和理解能力。

同时，教师还可以设计一些趣味性的活动，激发学生的学习兴趣和求知欲。

三角形的证明教案一、教学目标1、让学生掌握三角形全等的判定定理，如“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）。

2、能够运用三角形全等的判定定理进行简单的证明和计算。

3、培养学生的逻辑推理能力和空间观念。

二、教学重难点1、重点掌握三角形全等的判定定理。

能够运用判定定理进行证明。

2、难点灵活运用判定定理解决复杂的几何问题。

正确书写证明过程，逻辑清晰，推理严谨。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过展示两个形状相同但大小不同的三角形，引发学生思考如何判断两个三角形全等。

2、知识讲解（1）“边边边”（SSS）判定定理给出两个三角形，三条边对应相等，让学生观察并猜测它们是否全等。

通过几何画板进行演示，验证学生的猜测，得出“边边边”判定定理：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。

（2）“边角边”（SAS）判定定理展示两个三角形，两条边及其夹角对应相等，引导学生思考它们是否全等。

同样利用几何画板演示，得出“边角边”判定定理：如果两个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。

（3）“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定定理以类似的方式，分别介绍“角边角”和“角角边”判定定理。

3、例题讲解给出一些简单的例题，如已知三角形的某些边和角的条件，要求学生判断两个三角形是否全等，并说明理由。

详细讲解例题的解题思路和证明过程，强调书写规范。

4、课堂练习让学生完成一些课堂练习题，巩固所学的判定定理。

巡视学生的练习情况，及时给予指导和纠正。

5、小组讨论安排学生分组讨论一些较复杂的几何问题，鼓励他们运用所学的判定定理进行分析和证明。

每组选派代表进行发言，分享小组的讨论结果。

6、总结归纳与学生一起回顾三角形全等的判定定理，并强调在证明过程中需要注意的事项。

解答学生在学习过程中遇到的疑问。

7、布置作业布置适量的课后作业，包括书面作业和拓展性作业，让学生进一步巩固所学知识。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-三角形的证明授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握等腰三角形、直角三角形的概念与性质；②掌握线段的垂直平分线与角平分线的性质与定理；③掌握各种思想的运用。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。

即等边对等角。

（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

即三线合一。

（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

体系搭建2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。

即等角对等边。

（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。

5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

7、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。

8、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。

9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

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三角形相似的判定数学教学教案第一章：三角形相似的概念引入教学目标：1. 让学生理解三角形相似的基本概念。

2. 让学生掌握三角形相似的判定方法。

教学内容：1. 引入三角形相似的概念，让学生通过观察图形，理解相似三角形的定义。

2. 讲解三角形相似的判定方法，包括AA相似定理、SAS相似定理和SSS相似定理。

教学活动：1. 通过展示两组三角形图形，让学生观察并判断它们是否相似。

3. 讲解AA相似定理，让学生通过例题理解并掌握该定理的应用。

4. 讲解SAS相似定理，让学生通过例题理解并掌握该定理的应用。

5. 讲解SSS相似定理，让学生通过例题理解并掌握该定理的应用。

巩固练习：1. 让学生完成一些判断三角形相似的练习题，加深对相似三角形概念的理解。

2. 让学生完成一些应用AA相似定理、SAS相似定理和SSS相似定理的练习题，提高解题能力。

教学评价：1. 通过课堂提问，检查学生对三角形相似概念的理解程度。

2. 通过练习题的完成情况，评估学生对三角形相似判定方法的掌握程度。

第二章：三角形相似的性质与应用教学目标：1. 让学生理解三角形相似的性质。

2. 让学生掌握三角形相似的应用。

教学内容：1. 讲解三角形相似的性质，包括相似三角形的对应边成比例、对应角相等。

2. 讲解三角形相似在实际问题中的应用，如计算未知角度或边长。

教学活动：2. 讲解相似三角形的性质，包括对应边成比例、对应角相等。

3. 讲解三角形相似在实际问题中的应用，如通过已知三角形的相似关系，计算未知角度或边长。

巩固练习：1. 让学生完成一些判断三角形相似的练习题，加深对相似三角形性质的理解。

2. 让学生完成一些应用相似三角形解决实际问题的练习题，提高解题能力。

教学评价：1. 通过课堂提问，检查学生对三角形相似性质的理解程度。

2. 通过练习题的完成情况，评估学生对三角形相似应用的掌握程度。

第三章：三角形相似的证明教学目标：1. 让学生理解三角形相似的证明方法。

1.1等腰三角形（1）教师寄语：良好的开端是成功的一半学习目标：1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤步骤和书写格式。

2、经历“探索---发现---猜想---证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理。

3、通过探究，养成严谨的科学态度、不懈的探究精神和良好的说理方法。

学习过程：一、前置准备：1、请你用自己的语言说一说证明的基本步骤。

2、列举我们已知道的公理：、（1）公理：同位角，两直线平行。

（2）公理：两直线，同位角。

（3）公理：的两个三角形全等。

（4）公理：的两个三角形全等。

（5）公理：的两个三角形全等。

（6）公理：全等三角形的对应边，对应角。

注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。

二、自主学习：利用已有的公理和定理证明：“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

”三、合作交流；议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2）你能利用已有的公理及定理证明这些结论吗？四、归纳总结：1、我的收获？2、我不明白的问题？五、例题解析：在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想。

六、当堂训练：1、下列各组几何图形中，一定全等的是（）A、各有一个角是550的两个等腰三角形；B、两个等边三角形；C、腰长相等的两个等腰直角三角形；D、各有一个角是500，腰长都为6cm的两个等腰三角形.2、如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A、∠A=∠B ;B、BF=CE;C、AE∥DF;D、AE=DF.3、如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为。

4、（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为。

（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为。

5、△ABC中， AB=AC, 且BD=BC=AD，则∠A的度数为。

三角形的证明教案教案标题：三角形的证明教案目标：1. 学生能够理解三角形的定义和性质。

2. 学生能够运用相关的定理和公式进行三角形的证明。

3. 学生能够运用逻辑推理和几何知识解决与三角形证明相关的问题。

教学步骤：1. 引入（5分钟）- 向学生介绍三角形的定义和性质，包括三边和三角形内角的关系。

- 提问学生，你们对三角形有什么了解？它有哪些性质？2. 探究（15分钟）- 教师给出一个三角形的图形，并提出一个证明问题，如证明三角形的两边之和大于第三边。

- 引导学生思考如何证明这个问题，鼓励他们用逻辑推理和几何知识来解决。

- 学生分组或个人进行讨论，尝试找到证明方法。

3. 指导（20分钟）- 教师向学生介绍一些常用的三角形证明定理和公式，如勾股定理、正弦定理和余弦定理等。

- 通过示例和练习，指导学生如何运用这些定理和公式来解决三角形的证明问题。

- 强调证明过程的逻辑性和准确性，鼓励学生进行严谨的推理和演算。

4. 实践（15分钟）- 学生个人或小组进行实践活动，选择一个三角形的证明问题，并尝试用所学的知识进行证明。

- 教师在此过程中提供必要的指导和帮助，鼓励学生积极探索和思考。

5. 总结（5分钟）- 教师与学生一起回顾本节课的学习内容，总结学生在三角形证明方面的收获和困惑。

- 解答学生提出的问题，并对他们的努力和成果给予肯定和鼓励。

- 鼓励学生在日常生活中运用所学的知识，发现和解决与三角形证明相关的问题。

教学资源：1. 三角形的图形和相关定理的示意图。

2. 练习题和实践活动的材料。

3. 教师提供的解答和指导材料。

评估方法：1. 观察学生在探究和实践活动中的表现，包括他们的思考过程、证明方法和解决问题的能力。

2. 批改学生完成的练习题和实践活动，评估他们对三角形证明的理解和应用能力。

3. 学生之间的互评和自评，鼓励他们分享和讨论自己的证明思路和策略。

拓展活动：1. 鼓励学生在课后进一步探索和研究三角形证明的相关问题，拓宽他们的数学视野。

第一章三角形的证明【单元分析】本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。

运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。

【单元目标】1.知识与技能（1）等腰三角形的性质和判定定理；（2）直角三角形的性质定理和判定定理；2.过程与方法（1）会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题；（2）直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题；3.情感态度与价值观（1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力；（2）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。

【单元重点】在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

【单元难点】明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

【教学思路】1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。

2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。

3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。

4.作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。

第一讲等腰与等边三角形【优异学生必知的数学那点事】等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。

2、等腰三角形是三角形家族中最为均匀、俊美的成员，等腰三角形的基天性质有：①等腰三角形的底角相等且必为锐角。

即为“等边平等角”。

②等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的均分线重合。

即有“三线合一”，且重心，外心，心里，垂心共线。

③等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线，这条直线把等腰三角形分红两部分，以这条直线为轴，把此中一部分翻转，能使两部分重合，两个底角也重合在一同。

等边三角形1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60° .2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对的角均分相互重合。

（三线合一）3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角的均分线所在的直线。

4、等边三角形重心、心里、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。

5、等边三角形内随意一点到三边的距离之和为定值。

（等于其高）6、等边三角形拥有等腰三角形的全部性质。

（等边三角形是特别的等腰三角形）【优选精讲】例题 1. 如下图，△ABC中，AB=AC，点 D、E、F 分别在三边上，且 CE=BD，CD=BF,若∠ A=40°，求∠ EDF。

例题 2、如图，△ ABC中，∠ B=2∠C，∠ BAC的均分线 AD交 BC于 D，求证： AB+BD=AC例题 3、如图，在△ ABC中， AB=3AC，∠ A 的均分线交 BC于点 D，过 B 作 BE⊥ AD，垂足为 E，求证： AD=DE。

【基础达标】1、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A、 30°B、30°或150°C、 120°或 150°D、30°或120°或150°2、等腰三角形的周长为 a cm, 一腰的中线将周长分红5:3 ，则三角形的底边长为（）A、aB、3a C、a或3a D、4a 656553、如图 3，△ ABC中， AB=AC，D、E、F 分别在 BC、 AC、AB上，若 BD=CE， CD=BF，则∠ EDF等于（）A、90°－1∠A B、90°－∠ A 2C、180°－∠ AD、180°－2∠ A4、如图 4，已知△ ABC中，∠ B 与∠ C 的均分线交点 P 恰幸亏 BC边的高 AD上，那么△ ABC一定是（）A、直角三角形C、等腰三角形5、如图 5 所示，在△B、等边三角形D、等腰直角三角形ABC中， AB=AC，BD是角均分线，∠BDC=75°，则∠ BAC=。