自由末端的极小值原理

u ( t )∈V
4) 在最优轨线末端哈密顿 函数应满足 H ( x ( t ), u ( t ), λ ( t ), t )＝－
* * f * * f * f * f
* ∂φ x * ( t * ), t f f
(
)
∂t f
5) 沿最优轨线哈密顿函数 应满足
* * * * ), ( ), λ ( ), H ( x * ( t ), u* ( t )，λ ( t ), t ) = H ( x * ( t * u t t t f f f f ) tf
* * * ), ( ) ( H ( x * ( t ), u* ( t )，λ ( t )) = H ( x * ( t * u t ， λ t f f f )) * * * * ), ( ), ( ), ) ( 即 H ( x * ( t ), u* ( t ), λ ( t ), t )＝H ( x * ( t * u t λ t t + λ t f f f f n+1 f )－λ n + 1 ( t )
3
一、推广到时变问题 定理 4.2 对于时变系统 和t *f 为使性能指标 & = f ( x , u, t )，x ( t 0 ) = x0 , u( t ) ∈ V , 若u* ( t ) x J = φ ( x ( t f ), t f )取最小值的最优解， x * ( t )为对
应的最优轨线，则必存 在非零的 n维函数向量 λ ( t )，使得 u* ( t )、t *f 、 x * ( t )和λ ( t )满足如下必要条件： ）正则方程 1 & ( t ) = f ( x , u, t ) = x & ( t )＝ − λ ∂H ∂λ
u ( t )∈V
于是定理 4.2的条件 3)得证。
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再由定理 4.1的条件 4 ），t f自由时，哈密顿函数
* * * * * * * * * * H ( x * (t * u t λ t H x t u t λ t t λ t ), ( ) ( )) ( ( ), ( ), ( ), ) ( ， = + f f f f f f f n+1 f )= 0
二、推广到积分型性能 指标的情况 定理 4.3 对于定常系统 和 t *f 为使性能指标 J = & = f ( x , u )， x ( t 0 ) = x 0 , u( t ) ∈ V , 若 u * ( t ) x
∫
tf
t0
L[ x ( t ), u( t )] dt 取最小值的最优解， x * ( t )
t* f
( 8)
∂H ( x(τ ), u(τ ), λ (τ ),τ ) －∫ dτ t ∂τ 于是定理 4.2的条件 5)得证。 定理 4.2证明完毕。
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* * * * λ ), ( ), ( ), H ( x * ( t ), u* ( t )，λ ( t ), t ) = H ( x * ( t * u t t t f f f f )
为相应的最优轨线，则 必存在非零的 n 维函数向量 λ ( t )，使得 u * ( t )、 t *f 、 x * ( t )和 λ ( t )满足如下必要条件： 1 ）正则方程 & (t ) = f ( x , u) = x & ( t )＝ − λ ∂H ∂λ
∂H ∂x 其中 H ( x , u , λ ) = L[ x ( t ), u( t )] + λT ( t ) f ( x , u ) 2 ）边界条件 3 ）极值条件 4) x(t0 ) = x0
6
根据定理 4.1的条件 1 ）有 : ⎡ ∂H ( x , u, λ , t ) ⎤ ⎡ ∂H ( x , u, λ , t ) ⎤ & ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ λ ⎢ ⎥ ∂H ( x , u, λ ) ∂ x & ∂ x = − ⎢ ∂H ( x , u, λ , t ) ⎥ = − ⎢ λ ＝⎢ ⎥=− ⎥ & λ ∂ H x u t ( , , , ) ∂ x λ ⎢ ⎥ ⎣ n+1 ⎦ ⎢ ⎥ ∂x n + 1 ⎢ ⎥ ∂t ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∂H ( x , u, λ , t ) ( 3) ∂x ∂H ( x , u, λ , t ) & λ n+1 = − (4) ∂t ∂H ( x , u, λ , t ) &＝ 由( 2 )式，显然 x ＝ f ( x , u, t ) ∂λ ∴ 定理 4.2的条件 1)得证。 即 &=− λ
λ (t f ) =
∂φ ( x ( t f ), t f ) ∂x ( t f )
( 5) ( 6)
λn+1 ( t f ) =
φ ( x( t f ), t f )
∂t f
于是定理 4.2的条件 2)得证。
8
根据定理 4.1的条件 3 ）有 : H ( x * ( t ), u* ( t )，λ ( t )) = min H ( x * ( t ), u( t )，λ ( t ))
(7)
10
∂H ( x , u , λ , t ) 对4 ）式 n+1 = − ∂t 两边从 t到t * f 积分，得 & λ
* f t* f
∂H ( x (τ ), u(τ ), λ (τ ),τ ) λn+1 ( t ) − λn+1 ( t ) = − ∫ dτ t ∂τ 将(8)式代入 (7 )式，可得
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证明：引入新的辅助变 量x0，使其满足 & 0 = L( x ( t ), u( t ))，x0 ( t 0 ) = 0 x x0 ( t ) = ∫ L( x ( t ), u( t ))dt
t0 t
x0 ( t f ) = ∫ L( x ( t ), u( t ))dt = J
t0
tf
⎡0⎤ ⎡ L⎤ ⎡ x0 ⎤ 令 x = ⎢ ⎥，f = ⎢ ⎥，x ( t 0 ) = ⎢ ⎥ = x0 ⎣f⎦ ⎣x⎦ ⎣ x0 ⎦ 则原积分型性能指标问 题转化为如下末值型性 能指标问题 : min J = x0 ( t f )＝φ ( x ( t f ))
∂H ∂x 其中H ( x , u, t , λ ) = λT ( t ) f ( x , u, t ) ）边界条件 2 x( t 0 ) = x0 ∂φ ( x ( t f ), t f ) ∂x ( t f )
4
λ (t f ) =
3 ）极值条件 H (t ) = min H ( x * ( t ), u( t )，λ ( t ), t )
根据(6)式λn +1 ( t f ) =
φ ( x( t f ), t f )
∂t f
，得
* * * * H ( x* (t * f ), u ( t f ), λ ( t f ), t f )＝－
φ ( x( t *f ), t *f )
∂t f
从而定理 4.2的条件 4)得证。 又由定理 4.1的条件 4 ），有
u ( t )∈V
s .t . 设
& = f ( x , u)，x ( t ) = x ，t ∈ t , t x f 0 0 0
[
]
λ ( t )＝⎢
⎡ λ 0 ( t )⎤ ，则上述末值型性能指 标问题的哈密顿函数为 ⎥ ⎣ λ (t ) ⎦
T
⎡ λ 0 ( t )⎤ ⎡ L ⎤ T = λ0 ( t ) L( x( t ), u( t )) + λT ( t ) f ( x , u) H ( x , u, λ ) = λ f = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ λ (t ) ⎦ ⎣ f ⎦
第四章
极小值原理及其应用
1
4.1 自由末端的极小值原理 & = f ( x, u )，x(t0 ) = x0 , u (t ) ∈ V , 若u * (t ) 定理4.1 对于定常系统 x 和t *f 为使性能指标 J = φ ( x(t f ))取最小值的最优解，x* (t )为相应 的最优轨线，则必存在非零的n维函数向量λ (t )，使得u * (t )、t *f 、 x* (t )和λ (t )满足如下必要条件： 1 ）正则方程 & (t ) = f ( x, u ) = x & (t )＝ − λ ∂H ∂λ
λ (t f ) = 0
(自然边界条件 )
u ( t )∈V
H ( x * ( t ), u * ( t )， λ ( t )) = min H ( x * ( t ), u( t )， λ ( t ))
⎧ 常数， t f 固定 H ( x * ( t ), u * ( t )， λ ( t )) = H ( x * ( t *f ), u * ( t *f )， λ ( t *f )) = ⎨ ⎩ 0， t f自由
∂H ∂x 其中H ( x, u , λ ) = λT (t ) f ( x, u ) 2）边界条件 x(t0 ) = x0 ∂φ ( x(t f )) ∂x(t f )
u ( t )∈V
λ (t f ) =
3）极值条件
H ( x* (t ), u * (t )，λ (t )) = min H ( x* (t ), u (t )，λ (t ))
u ( t )∈V
s .t . 设
& = f ( x , u )， x ( t 0 ) = x 0， t ∈ t 0 , t f x
[
]
⎡ λ (t ) ⎤ λ ( t )＝⎢ ⎥，则上述定常问题的哈 密顿函数为 λ ( t ) ⎣ n+1 ⎦
T
⎡ λ (t ) ⎤ ⎡ f ⎤ T H ( x ( t ), u ( t ), λ ( t )) = λ f = ⎢ = λT ( t ) f ( x , u , t ) + λ n + 1 ( t ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ λ n + 1 ( t )⎦ ⎣ 1 ⎦ (1 ) = H ( x ( t ), u ( t ), λ ( t ), t ) + λ n + 1 ( t ) 其中 H ( x , u , λ , t )＝ λT f ( x , u , t ) ( 2)