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离散系统的极小值原理

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高中数学竞赛专题讲座---离散极值

高中数学竞赛专题讲座---离散极值

离 散 极 值一. 知识与方法所谓离散极值，就是指以整数、集合、点、线、圆等离散对象为背景，求它们满足某些约束条件的极大值或极小值。

这类问题的解法与一般函数（连续变量）极值的解法有很大的差异。

对于这类非常规的极值问题，要针对具体问题，认真分析，细心观察，选用灵活的策略与方法，通常可以从论证与构造两方面予以考虑。

先论证或求得该变量的上界或下界，然后构造一个实例说明此上界或下界可以达到，这样便求得了该离散量的极大值或极小值。

在论证或求解离散量的上界或下界时，通常要对离散量做出估计，在估计的过程中，构造法、分类讨论法、数学归纳法、反证法、极端原理、抽屉原理等起着重要的作用。

二. 范例选讲例1. m 个互不相同的正偶数和n 个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n ，问3m+4n 的最大值是多少？请证明你的结论。

（1987年第二届全国数学冬令营试题）思路分析：先根据题设条件求得3m+4n 的一个上界，然后举例说明此上界可以达到，从而得到3m+4n 的最大值。

解：设a 1,a 2,…,a m 是互不相同的正偶数，b 1,b 2,…,b n 是互不相同的正奇数，使得a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+… +b n =1987 ①，这时分别有：a 1+a 2+…+a m ≥2+4+…+2m=m(m+1) ②，b 1+b 2+…+b n ≥1+3+…+(2n -1)=n 2 ③，由①,②,③得m²+m+n 2≤1987,因而有（m+21）2+n 2≤119874+ ④，由④及柯西不等式，得3（m+21）+4n≤4119875)21(.432222+≤+++n m ,由于3m+4n 为整数，所以3m+4n 221≤ ⑤，另一方面，当m=27,n=35时，m 2+m+n 2=1981<1987,且3m+4n=221。

故3m+4n 的最大值为221。

评注：在论证过程中用到了柯西不等式与一般二元一次不定方程的求解方法。

最优控制课件第3章

最优控制课件第3章
第三章 极小值原理及应用
经典变分法局限性： 1、应用前提： a ）控制量 u(t)的取值无约束。 b ） f、L、Φ等函数对其自变量二次连续可微，要求哈密 尔顿函数关于控制变量的偏导数存在 。 2、实际控制要求：
a ）控制量u受不等式约束，如：M i (u ) 0 ，i=1,2,3……
b ）性能指标有时关于u并不可微，要求哈密尔顿函数 关于控制变量的偏导数不存在 。
一般:对于实际系统根据物理意义有最优解 极小值原理 有唯一解－－ 最优解
－－－－－－－－
－－－－－－－－
但是，对于线性系统可以证明极小值原理既是泛函取最小 值的必要条件，也是充分条件。
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.
Date: File:
05.04.2015 OC_CH3.6
Optimal Control Theory & its Application
②在最优轨线上，与最优控制u*相对应的H函数取绝对极小 值，即 或 沿最优轨线
③H函数在最优轨线终点满足
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.
Optimal Control Theory & its Application
取哈密尔顿函数为
则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线x* 和最优协态矢量λ*满足下列关系式： ①沿最优轨线满足正则方程
当g中不含x时
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.

第7章 极小值原理

第7章 极小值原理

−1≤ u ≤1
求最优控制和最优轨迹，使如下性能指标取得极小值。
T H = L(x,u,t) +λ f (x,u, t) 解：哈密尔顿函数为 − x1 +u = [λ λ2] 1 1 = λ (−x1 +u) +λ2x1 x1 & λ* = λ* −λ* 2 1 1 & = − ∂H −(∂g )T γ 协状态方程： λ & ∂x ∂x λ* = 0 2
m H[x*， *， ， ] = H[x*， *， *， ] in λ u t λ u t
u∈ U
∂H ∂g = −( )T γ ∂u ∂u
§7－1 极小值原理
3) H 函数在最优轨线终点处的值决定于
∂Φ T ∂N +µ =0 H + ∂t f ∂t f t =t f
J = x1(1 )
§7－1 极小值原理
* * 运用极小值原理： H[x*,u*, λ ] = m H[x*, u, λ ] in u≤ 1 * * * * = m {λ (u − x1 ) +λ2x1} in 1 u≤ 1 * * * * = −λ x1 +λ2x* + m {λ u} in 1 1 1 u≤ 1
求满足如下不等式约束条件
u ≤1
t ∈[0, t f ]
x0 = [x10 x20]T
tf
的控制 u(t) ，使系统自某一初始状态
转移到状态空间原点的时间最短。即使如下性能指标取极小值：
J = ∫ dt
0
§7－2 时间最优控制问题
哈密尔顿函数为：
H[x(t)， (t)， (t)] =1+λ (t)x2(t) +λ2(t)u(t) u λ 1

最优控制第2章 极小值原理

最优控制第2章 极小值原理

(1) 最优状态x*和最优协态 λ* 满足正则方程:
x&(t) =
∂H ∂λ
=
f [ x(t), u(t), t]
λ& = − ∂H
∂x
2015-03-24
10
(2) 在最优状态x*和最优控制u*上哈密顿函数取极小值：
H
(
x
*
(t ),
u
*
(t ),
λ*(t),
t)
=
min
u∈U
H[x
*
(t ),
u(t ),
2015-03-24
20
u
*
(t
)
=
⎧ −1, ⎪⎨−0.5λ2
(t
λ2 (t ), | λ2
)> (t)
2 |≤
2
(∗)
⎪⎩ 1, λ2 (t) < −2
由伴随方程 λ& = −∂H / ∂x 得到：
求解得到：
λ&1(t) = 0, λ&2 (t) = −λ1(t)
λ1(t) = c1, λ2 (t) = −c1t + c2 本例tf自由，因此H函数在最优终端时刻 t*f满足横截条件:
e t −1 H
=
λT
f
(.)
=
λ1(− x1
+
u)
+
λ2 x1
由极小值原理，最优控制应使哈密顿函数取极小值：
H ( x* , u* , λ* , t ) = min H[ x* , u, λ* , t] u∈U
= -m1≤uin≤1{λ1(− x1* + u) + λ2 x1* }
2015-03-24

极小值原理(一)

极小值原理(一)

极小值原理(一)极小值什么是极小值？•极小值是数学中的一个概念，用于描述函数的最小值或局部最小值。

•在函数的定义域中，如果一个点的函数值比其周围任意点的函数值都要小或相等，那么这个点就被称为极小值点。

•极小值点是函数图像中的一个相对低谷。

极小值定理•极小值定理是研究函数极值的一个重要定理，可以帮助我们判断函数的极值点。

•极小值定理可以分为费马定理和魏尔斯特拉斯定理两种。

–费马定理：如果函数在某一点处有极值，且该点处可导，则导数值为0。

–魏尔斯特拉斯定理：如果函数在某一闭区间内连续，那么一定会在该区间内取到最大值和最小值。

寻找极小值的方法1.导数法–对于可导函数，可以通过判断导数的零点来确定极值点。

–导数为0的点可能是函数的极小值点，但不一定。

–还需要通过二阶导数或其他方法来进行进一步的判断。

2.区间法–如果函数在某一闭区间内连续，那么一定会在该区间内取到最大值和最小值。

–可以通过将区间等分，逐个求函数值，找到最小值所在的区间。

3.迭代法–通过迭代计算，逐步接近极小值点。

–可以使用梯度下降等优化算法进行迭代计算。

4.其他方法–如果函数具有特殊的性质或特定的定义域，可以运用专门的方法来求解极小值。

极小值的应用•在数学领域中，极小值的研究是重要的。

–极小值可以帮助我们了解函数的性质和行为。

–极小值的存在性和唯一性问题是函数论和变分法中的关键问题。

•在其他领域中，极小值也具有广泛的应用。

–在优化问题中，求解极小值可以帮助我们寻找最优解。

–在经济学和管理学中，极小值可以帮助我们进行决策和优化资源分配。

–在机器学习和深度学习中，极小值是优化模型参数的目标。

总结•极小值是数学中的一个重要概念，用于描述函数的最小值或局部最小值。

•极小值定理可以帮助我们判断函数的极值点。

•寻找极小值的方法包括导数法、区间法、迭代法和其他方法。

•极小值具有广泛的应用，不仅在数学领域，还在其他领域中发挥着重要作用。

当我们研究函数的极值时，常常关注的是极小值。

4.3离散变分原理与离散极小值原理

4.3离散变分原理与离散极小值原理

其中H ( k ) H ( x , u, , k ) L x ( k ), u( k ), k T ( k 1) f x ( k ), u( k ), k
x ( N ), N 0
( x ( N ), N ) T ( x ( N ), N ) (N ) x ( N ) x ( N )
的最优控制，x * ( k )为相应的最优状态序列 ，则必存在非零的函数 向量 ( k ) 及常向量，使u* ( k )、x * ( k )、 ( k )和满足下列必要条件： 1)正则方程 x ( k 1) f x ( k ), u( k ), k H ( k ) ( k 0,1, , N 1) ( k 1) H ( k ) (k ) x ( k ) 2)边界条件 x ( 0) x 0
(N ) 0
( 4) ( 5)
12
2.用离散极小值原理求解 将状态方程和性能指标 用一阶差分近似，令T为采样周期，则 x(k 1) x(k ) Tf x(k ), u (k ), k x(0) x0 J T Lx(k ), u (k ), k
k 0 N 1
tf t0
f ( x, u , t )，x(t0 ) x0 , 求u * (t )， x
使性能指标J Lx(t ), u (t ), t dt取最小值。 1.用连续极小值原理求解 根据连续极小值原理， 最优解的必要条件为 H x (t ) f ( x, u, t ) T x(t ), u (t ), t (t ) H L x ( t ), u ( t ), t f (t )＝ x x x 其中H ( x, u , , t ) Lx(t ), u (t ), t T (t ) f ( x, u , t ) x(t0 ) x0

教材第3章极小值原理

教材第3章极小值原理

（3—13） （3—14）
∫ δ J t f
=∂ ∂tf
⎢⎣⎡Φ + μ T N +
tf tf
+δ
tf
Ψdt
⎤ ⎥⎦
t=t f
δ
tf
=
⎡ ⎢ ⎢⎣
∂Φ ∂t f
+ ∂N T ∂t f
⎤ μ + Ψ⎥ δ t f
⎥⎦ t =t f
（3—15）
[ ] ∫ δ
Jx
=d
xT (t f
)∂ ∂x
Φ + μT N
dt
∫ δ
Jw
=
δ
wT
(t
f
)
∂Ψ ∂ w
t=t f
−
tf t0
δ
wT
d dt
∂Ψ ∂ w
dt
∫ δ
Jz
=δ
zT
(t f
)
∂Ψ ∂ z
t=t f
−
tf t0
δ
zT
d dt
∂Ψ ∂ z
dt
把式（3—15）～式（3—19）代入式（3—11）整理可得
（3—17） （3—18） （3—19）
δ J '=δ Jt f +δ Jx +δ Jw +δ Jz
x = f [x(t) , u(t) , t]
x(t) ∈ Rn
（3—44）
始端条件为
x(t0 ) = x0
终端约束为
（3—45）
N [x(t f ) , t f ] = 0 N ∈ Rm m ≤ n
控制约束为
，t f 待定
（3—46）
g[x(t) , u(t) , t] ≥ 0 u(t) ∈ Rr g ∈ Rl l ≤ r ≤ n

高等教育《最优控制理论》课件 第四章

高等教育《最优控制理论》课件 第四章

即:
上式表明,沿最优轨线函数H相对最优控制u*(t)取绝对极小值,这是极小值原理的一 个重要结论.
由
∂Φ ∂H ∂G T ) Γ = 0 = 0 ⇒ + ( & & & ∂ω ∂ω ∂ω ∂H ∂G T ⇒ = −( ) Γ ∂u ∂u
∂H = 0 不再成立 上式表明,在有不等式约束的情况下,沿最优轨线 ∂u
初始条件
x (t 0 ) = x ( 0 ) , x ∈ Rn , u ∈ Ω ∈ R p ,
为有界闭集,不等式约束为
m≤ p
G [ x (t ), u (t ), t ] ≥ 0, G为m维连续可微的向量函数,
系统从x0转移到终端状态x(tf)，tf未给定,终端状态x(tf)满足等式约束
M [ x(t f ), t f ] = 0
M为q 维连续可微向量函数, q ≤ n 性能指标:
J = θ [ x ( t f ), t f ] +
∫
t
f
t0
F [ x ( t ), u ( t ), t ] dt
最优控制问题就是要寻找最优容许控制u(t)使J为极小
令
& ω (t ) = u (t ) ω (t 0 ) = 0
Z T (t ) = [ z1 (t ), z 2 (t ),L z m (t )] & 且 [ Z (t )]2 = G[ x(t ), u (t ), t ] Z (t0 ) = 0
设控制变量被限制在某一闭集内 即u(t)满足 G [ x ( t ), u ( t ), t ] ≥ 0
u ∈Ω
满足限制条件的u(t)称为容许控制，由于δu不能是任意的,
∂H = 0 的条件已不存在 ∂u

离散系统的最小值原理

离散系统的最小值原理

So the first variation becomes
tf
J (u * (t ), u(t )) [ H ( x * (t ), u * (t ) u (t ), * (t ), t ) H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t )]dt
t0

The necessary condition for the optimal control u(t) to minimize J is that the first variation
So the first variation becomes
tf
J (u * (t ), u (t ))
t0

(
H )' u (t )dt u
This means that by definition
H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t ) ( )' u (t ) u H ( x * (t ), u * (t ) u (t ), * (t ), t ) H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t )
x(t 0 ) x0 ; x(t f ) is free and t f is free
H H ( x* (t ), u * (t ), * (t),t ) V ( x* (t ), u * (t ), t ) *' (t) f ( x* (t ), u * (t ), t )

L
x
)' | * tf
x f 0
L L(x * (t ), x (t ), u * (t ), (t), t )
* * H H ( x ( t ), u (t ), * (t),t ) S S * * * V ( x (t ), u (t ), t ) ( )' x (t ) ( ) * V ( x* (t ), u* (t ), t ) *' (t) f ( x* (t ), u* (t ), t ) x t

第八章 极小值原理

第八章 极小值原理
均自由。经过同变分法中的类似推导，最后得
Ja
x t x
f ，t tf
f
tf
T x
tf
x
tf t f
，t
f
H
x
tf
，u
tf
，
tf
，t f t f
tf t0
H
x，u，λ，t
x
&T
x
H
x，u，λ，t
u
T
u
H
x，u，λ，t λ
*T tbiu*i t *T tbiui t
由此可得最优控制规律为
L.S.Pontryagin
第一节 连续系统的极小值原理
设连续系统动态方程为：
x&t f xt，ut，t
(8-1)
边界条件可以固定、自由或受轨线约束，控制变量 ut 属于m维 有界闭集U，即
性能指标为：
utU Rm
(8-2)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
(8-3)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
为极小。
(8-9)
设对应于最优情况的性能指标为 J u* ，仅考虑由于 u* t 偏离 ut
时的性能指标为 J u ，则按最优的定义，下式必然成立
J u J u* J 0
设 u* t 偏离 ut 足够小 ut u* t ut
(8-10)
H x* t，u* t ，λ* t ，t c
t t0，t f
(8-31)
如果终端时刻 t f 自由，则
H x* t，u* t ，λ* t ，t 0

极小值原理——精选推荐

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§ 7. 3 极小值原理极小值原理是前苏联数学家庞特里亚金首提. 是变分法的延伸和推广,亦称极大值原理是解决控制和状态受约束最优控制问题的有力工具. 极小值原理的一种表述及其应用(不证) 1. 极小值原理 定理7.3 设==00()[(),(),],()xt f x t u t t x t x ， 指标=+⎰0[(),(),]d [()]Tt J F x t u t t t S x T ，约束∈()()u t U 容许控制集，Hamilton 函数=+(,,,)[,,][,,]TH x u λt F x u t λf x u t ，则*()u t 是最优控制的必要条件是:*()u t 和相应的*()x t , *()λt 满足系统方程，∂=∂H x λ； (7.16)伴随方程，∂=-∂H λx； (7.17) 极值条件，******≤∈[,,,][,,,],,H x u λt H x u λt u u U ；(7.18)边界条件，∂=∂()()x T SλT x 。

(7.19)对(7.12)~(7.15’)，改变的只是极值条件和边界条件。

说明：1) 只有*()u t 才能使Hamilton 函数为全局最小(故名)若无控制约束, 则有∂∂=/0H u .2)边值条件自然含=00()x t x →确定状态和伴随向量. 3)非充要条件。

对线性系统，条件是充要的。

4)解题步骤类似§2中用变分法<1> 作Hamilton 函数→极值条件→待定u (t )； <2> 若伴随方程中无x ，则求出λ；<3>若待定最优控制中不含x →即已求得()u t ；(否则就要解规范方程组)，<4>求出,x J **(若要计算)。

2. 自由终端状态的最优控制举例例 7.5 求状态方程为==,(0)1xu x ， 指标为=⎰1min ()d J x t t ，控制约束为()[1,1]u t ∈-，的最优控制。

极小值原理(离散与连续做对比)课件

极小值原理(离散与连续做对比)课件

末端自由离散系统与连续系统的区别
= L[x(k ), u(k ), k ] + λT (k + 1) f [x(k ), u(k ), k ]
H (k )∆H [x(k ), u(k ), λ (k ), k ]
注意：
x (t ) → x (k + 1) ∫ →∑
N −1 k =0
•
t →k =0 t →k=N x → x (N )
0 f tf
λ → λ (k )
•
λ1 (0 ) = λ1 (1), λ 2 (0 ) = 0.1λ1 (1) + λ 2 (1) λ1 (1) = λ1 (2 ), λ 2 (1) = 0.1λ 2 (2 ) + λ 2 (2 )
极值条件： 极值条件：
∂ H (k ) = λ 2 (k + 1) = 0 . 1 x 1 (k + 1) + λ 2 (k + 1) ∂ x 2 (k )
x 2 (2 ) = x 2 (1 ) − 0 . 1 λ 2 (2 ),
不难解出最优解：
u ∗ (0 ) = −100,
1 x (0) = , 0
∗ ∗
u ∗ (1) = 100
1 x (1) = , − 10 2000 λ (0) = , 100 0 x (2) = , 0
δ (0) = 0 可得： 可得：
是任意的，可得： 令 δJ a = 0 ，考虑到变分 δx(k ) 和 δx(N ) 是任意的，可得：
∂H (k ) λ (k ) = , ∂x(k ) ∂ϕ ∂ψ T λ (N ) = + γ ∂x( N ) ∂x[N ]
对于： 对于：

现代控制理论离散系统

现代控制理论离散系统

数字信号处理系统
数字信号处理系统
数字信号处理算法
数字信号处理系统的应 用
数字信号处理系统是一种基于计算机 技术的信号处理平台，可以对各种信 号进行采集、分析、处理和传输。
数字信号处理算法包括滤波、频谱分 析、频域变换、逆变换等。这些算法 能够对信号进行精确的分析和处理， 以满足各种应用需求。
数字信号处理系统广泛应用于音频、 图像、视频处理等领域。在音频处理 方面，数字信号处理系统可以对声音 进行降噪、增强、混响等处理；在图 像和视频处理方面，可以对图像和视 频进行压缩、增强、识别等处理，以 满足各种应用需求。
感谢您的观看
THANKS
信号处理
对数字信号处理算法进行离散化仿 真，验证其效果和性能。
数字电路设计
对数字电路设计进行离散化仿真， 验证电路的功能和性能。
04
05
离散系统的优化设计
离散系统优化设计的方法
数学规划法
01
通过建立离散系统的数学模型，利用数学优化方法（如线性规
划、整数规划等）来求解最优解。
智能优化算法
02
如遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等，通过模拟自然界
LabVIEW
由美国国家仪器公司开发的图形化编程环境， 适用于离散系统仿真和测试。
Modelica
基于方程的仿真语言，适用于多领域物理系 统建模和仿真。
Scilab
开源工程计算软件，支持离散系统仿真和数 值计算。
离散系统仿真的步骤
参数设置
设置仿真时间、步 长等参数。
仿真运行
根据设定的参数进 行仿真，并记录输 出结果。
最优控制
最优控制是在满足一定约束条件下，寻找使某个性能指标达到最优的控制 策略。

离散数学极大项和极小项

离散数学极大项和极小项

离散数学极大项和极小项1. 离散数学中的极大项和极小项离散数学中，极大项和极小项是一个非常重要的概念，它可以用来求解更多复杂的数学问题。

极大项和极小项也是研究最优化问题的基础。

本文将详细介绍离散数学中极大项和极小项的定义、特点以及基本性质。

2. 极大项的定义极大项指的是一个函数在某一个点处取得极大值的一组变量。

特别的，如果函数在某一点取极小值的一组变量称为极小项。

在极大项定义当中，极大值指的是函数在某一点比起其他任意点都更大。

这里的极大值是指最大的全局最优解。

比如，用f(x)来确定变量极大项，那么f(x)在函数最大化的时候会收敛到一个固定的点。

3. 极小项的定义极小项指的是一个函数在某一个点处取得极小值的一组变量。

如果函数在某一点取极大值的一组变量称为极大项。

极小项也是指最小的全局最优解。

同样的，极小值也是指函数在某一点比起其他任意点都更小。

在求解极小值时，函数会收敛到极小值点，及最小全局最优解处。

4. 特点(1)极大项和极小项是离散数学中最常见的问题，涉及范围很广。

(2)极大项和极小项都具有很强的最优性，并且它们之间是相关联的。

(3)极大项和极小项可以用来求解复杂的数学问题，以解决实际应用中的最优化问题。

5. 基本性质(1) 平行性：如果两个不同的目标函数存在相同的极大值的那么这两个目标函数的极大值是相同的。

(2) 超过极大：已知极大值的话，如果一个目标函数的值超过了这个极大值的话，那么这个目标函数的极大值肯定就是这个极大值，并且它还满足平行性。

(3) 储备原理：对于任意一个已知极小值的函数，如果一个函数可以更小，那么它将是一个极小项。

(4) 优先性：一个函数的极大项比它的极小项重要。

极小值原理及其应用

极小值原理及其应用

假设同定理5-1。
若 u* (t) 和 t f * 是使性能指标取最小值的最优解，x* (t)
为相应的最优轨线，则必存在n 维向量函数
，
使得 (t )
x*(t)和, u*(t), t f满* 足如(下t)必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
(t) H
x
式中哈密顿函数
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x* (t), (t), u* (t), t]
min
u (t )
H[x* (t
x(t f
)
（5-4）
③ 哈密顿函数相对最优控制为极小值
H (x*, u*, ) min H (x*, u, ) （5-5） u (t )
④ 哈密顿函数沿最优轨线保持为常数
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)]
（5-6）
H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
x为* (为t) 为相应的最优轨线，则必存在非零常向量 及 n 维向量函数 (t) ，使得 x*(t), u*(t), t f * 和 (t) 满足如下必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
式中哈密顿函数
(t) H
x
H (x, ,u) T (t) f (x,u)
H (x, ,u) L(x,u) T (t) f (x,u)
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t f ) 0
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x*(t), (t), u*(t)] min H[x*(t), (t), u(t)] u (t )

高等教育：极小值原理

高等教育：极小值原理
x
当t f 1时(t f ) (1) 0,C e,故切换点：令 1,得t 1 ln 2 0.307
1, 对应t 0.307,u* 1
1, 对应t 0.307,u* 1
3)求状态轨迹x(t)
2
解状态方程x x u
当0 t 0.307时u* 1得x 1 C1et考虑x(0) 5故x*(t) 4et 1
2、特点：1）计算量减小 2）逆向递推 3）自后向前的多 级决策 二、离散系统的动态规划
1、问题描述
x(k 1) f [x(k),u(k),k)],k 0,1,N 1, x(0) x0, x(N ) xN控制约束g[x(k),u(k)] 0
N 1
J [xN ] L[x(k),u(k),k] k 0

min u1
L[
x1,
u1 ]

J
* N
2[
x2
]
,
x2

f [x1, u1]
由上式可以确定u*1, 又必须知道J *N 2[x2 ]。
依此类推得递推方程
J

*
N

K
[
xK
]

min uk
L[xk , uk ]
J *N (k 1)[ xk 1]

xk1 f [xk , uk ]
1 c
1 2c
最优轨迹为x*(0) x0
x*(1) 1 c x(0) 1 2c
x*(2) 1 x(1) 1 x(0)
1 c
1 2c
最优性能泛函为J *

J
* 2
[
x(0)]

最优控制02

最优控制02

（2） T b i 通过0时，u i 由一个边界值变为另一个边界值。
（3） * T b i
某一时间段持续为0，则
u
i
为不确定值。
极小值原理求解最优控制问题
1、乒乓（bang-bang）原理 上面的系统如果属于平凡情况，则其最短时间控制为
u *(t)M sign(B T*(t))
该原理也适用于非线性系统 x A (x ， t) B (x ， t)u (t)
2、最短时间控制存在定理 设给定的线性系统为完全可控，并且系统矩阵A的特征值均具
有非正实部，控制变量满足不等式约束：u(t) M
则最短时间控制存在！
极小值原理求解最优控制问题
3、最短时间控制存在唯一性定理 设该系统属于平凡情况，若时间最优控制存在，它必定唯一。 4、开关次数定理 设该系统属于平凡情况，u(t) M，并且系统阵A的特征值全部为负实数 ， 则如果最短时间控制存在，必为bang-bang控制，并且每个控制分量在两个 边界值之间的切换次数最多不超过n-1次。
又因 xn1 0 ,因此在所有时间内必须满足 xn1 0
形成新的状态方程:
x (t)f(x ,u ,t)
x n 1 (t)fn 1 (x ,t) 1 (x ,l)2l(1 ) l(x ,l)2l(l)
可解！
极小值原理求解最优控制问题
三、离散系统的极小值原理
设离散系统：
x(k+1)=f(x(k),u(k),k), k=0,1,2,…..N-1
式中 x(k) Rn , u(k) URm
k为常数，N为总参数。初始状态x(0)=x 0 ,终端状态x(N)自由。
性能指标：
N1
J＝Q[x(N),N]+F(x(k),u(k),k)
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u * (k ) = 0.2
x* (k ) = 1 − 0.2k
k = 0,1, 2,3, 4,
总结 应用离散欧拉方程求解等式约束和不等式约束 的离散极值问题比较麻烦，而用离散极小值原理处 理这种约束问题却很方便。特别是，当控制序列受 约束时，离散变分法不再适用，只能用离散极小值 原理或离散动态规划来求解离散极小值问题。
2 离散极小值原理
庞特里亚金发表极小值原理时，只讨论了连续系 统的情况。为了获得离散系统的极小值原理，有 人曾经从离散系统与连续系统比较接近这一事实 出发，设想把连续极小值原理直接推广到离散系 统中去，但除了采样周期足够小的情况外，结果 是失败的。 离散极小值原理的普遍论述比较复杂，证明过程 也十分冗长。为了简单起见，下面介绍控制向量 序列不受约束情况下的离散极小值原理，然后不 加证明地推广到控制向量序列受约束的情况。
因为： ∂Lk = λ (k + 1)
∂x(k )
∂Lk = u (k ) + λ (k + 1) ∂u (k )
∂Lk −1 = −λ ( k ) ∂x(k )
所以由离散欧拉方程（3-6）可得：
λ ( k + 1) = λ ( k ) = c
u ( k ) = −λ ( k + 1) = −c
其中 c为待定的常数。 将 u (k ) = −c 代入状态差分方程，有
离散极小值原理可以叙述如下： 定理3 [定理3-7] （关于离散系统末端状态受约束） [定理3-8] （关于离散系统末端状态自由） 定理3
[定理3-7] 定理3 7]（关于离散系统末端状态受约束） 设离散系统状态方程
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]
k = 0,1,L , N − 1 x(0) = x0
离散最优控制问题中，性能指标取为如下：
J = ∑ L [ x (k ), u ( k ), x (k + 1), k ] = ∑ Lk
k =0 k =0
k
N −1
N −1
（3-2）
式中 L = L [ x(k ), u(k ), x(k + 1), k ] 是第 k 个采样周期 内性能指标 J 的增量。
x (k + 1) = x (k ) − c
用迭代法求解上述差分方程，有：
x (1) = x (0) − c
x (2) = x (1) − c = c(0) − 2c
M
x( k ) = x(0) − kc
代入已知边界条件 x(0) = 1, x(5) = 0 ，解得：
c = 0.2
因此，该离散系统的最优控制与最优轨线 分别为：
λ (2) = 2 x(2) λ (1) = 2( x(1) + x(2)) λ (0) = 2( x(0) + x(1) + x(2))
因此： u (0) = − x(1) − x(2)
u (1) = − x(2) u (2) = 0
根据状态方程
∂u (k )
[定理3-8] 定理3 8]（关于离散系统末端状态自由） 设离散系统状态方程
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]
k = 0,1,L , N − 1 x(0) = x0
性能指标
J = ϕ [ x( N ), N ] + ∑ L [ x(k ), u ( k ), k ]
H x* (k ), u * ( k ), λ (k + 1), k = min H x* (k ), u (k ), λ ( k + 1), k u ( k )∈Ω
（3-17） 若控制变量不受约束，即u (k )可以在整个控制空 间 R m中取值，则极值条件为 ∂H (k ) （3-18） =0
式中 ψ (•) ∈ R r , r ≤ n
若 u * (k )是使性能指标（3-9）为最小的最优控 x 制序列，* (k )是相应的最优状态序列，则必存 在 r 维非零常向量 γ 和 n 维向量函数 λ (k ) ，使 u (k ) 、 * ( k ) 和 λ ( k ) 满足如下必要条件： x 得
（3-5）
……
可得离散泛函极值的必要条件：
∂Lk −1 ∂Lk ∂x(k ) + ∂x(k ) = 0 ∂Lk =0 ∂u (k )
（3-6）
以及
∂Lk −1 ∂Lk −1 δ x( N ) + δ x(0) = 0 ∂x (k ) k =N ∂x( k ) k =0
4
则原泛函在状态差分方程等式约束下的条件极 小问题化为广义泛函的无条件极小问题。这时：
1 2 Lk = u (k ) + λ ( k + 1) [ − x(k + 1) + x(k ) + u (k ) ] 2
1 2 Lk −1 = u ( k − 1) + λ (k ) [ − x(k ) + x(k − 1) + u (k − 1) ] 2
② x(k ) 和 λ ( k )满足边界条件
ψ [ x( N ), N ] = 0
∂ϕ [ x( N ), N ] ∂ψ T [ x( N ), N ] λ(N ) = γ + ∂x( N ) ∂x( N )
x(0) = x0
（3-14） （3-15） （3-16）
③ 离散哈密顿函数对最优控制 u * (k ) 取极小值
k =0 N −1
ϕ 式中 f (•) 、 (•) 和 L(•) 都是其自变量的连续可微函 u u x( 数，k) ∈Rn ， (k ) ∈ R m 。控制有不等式约束： (k ) ∈ Ω ， 其中 Ω 为容许控制域。末端状态 x( N ) 自由。
x 若 u * (k )是使性能指标为最小的最优控制序列， (k ) 是相应的最优状态序列，则必存在 n 维向量函 x 数 λ ( k ) ，使得 u* (k ) 、 * (k )和 λ ( k )满足如下必要条件：
k =0 N −1
（3-4）
当不考虑式（3-1）所示的等式约束时，为了求得上 述离散拉格朗日问题的极值解，对式（3-4）取离散 一次变分：
T T ∂L T ∂Lk ∂Lk k δ J = ∑ δ x( k ) + δ u (k ) + δ x(k + 1) k = 0 ∂x ( k ) ∂u (k ) ∂x(k + 1) N −1
*
①x(k ) 和λ ( k ) 满足下列差分方程
x(k + 1) = ∂H ( k ) ∂λ (k + 1)
λ (k ) =
∂H (t ) ∂x( k )
式中离散哈密顿函数
H (k ) = H [ x(k ), u (k ), λ (k + 1), k ]
= L [ x(k ), u (k ), k ] + λ T (k + 1) f [ x(k ), u (k ), k ]
② x(k )和 λ ( k )满足边界条件
x(0) = x0 ∂ϕ [ x( N ), N ] λ(N ) =
∂x( N )
③离散哈密顿函数对最优控制取极小值
H x* (k ), u * (k ), λ (k + 1), k = min H x* (k ), u (k ), λ (k + 1), k u ( k )∈Ω
（3-8） （3-9）
性能指标
J = ϕ [ x( N ), N ] + ∑ L [ x(k ), u ( k ), k ]
k =0 N −1
ϕ 式中 f (•) 、 (•) 和 L(•) 都是其自变量的连续可微函 u u x( 数，k) ∈Rn ， (k ) ∈ R m 。控制有不等式约束： (k ) ∈ Ω ， 其中 Ω 为容许控制域。末端状态受下列等式约束限 制： ψ [ x( N ), N ] = 0 （3-10）
设式（3-1）和式（3-2）构成的离散最优控制 问题存在极值解，记为x* (k )和 u (k ) ，则在极值解 附近的容许轨线和容许控制可以表示为
*
x ( k ) = x* ( k ) + δ x ( k ) u (k ) = u * (k ) + δ u (k ) x(k + 1) = x* (k + 1) + δ x(k + 1)
1 离散欧拉方程
当控制序列不受约束时，可以采用离散变分法求 解离散系统的最优控制问题，得到离散极值的必 要条件——离散欧拉方程。 设描述离散系统的状态差分方程为：
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]
（3-1）
式中 x(k ) 是离散时刻 tk 的 n 维状态；u (k ) 是 tk 的 m f 维控制向量； (•)是 n 维向量函数序列，对于等间 N 隔采样， = kT ， 为采样周期； 为数据窗口长度。 T k
极小值原理
离散系统的极小值原理
目录
离散欧拉公式 离散极小值原理
随着数字计算机日益普及，计算机控制系统日 益增多，因此，离散系统最优控制问题的研究 显的十分重要，其原因是，一方面许多实际问 题本身就是离散的，另一方面，即时实际系统 是连续的，但为了对连续系统采用计算机控制， 需要把时间整量化，从而得到一离散化系统。
*
① x(k )和λ ( k ) 满足下列差分方程
x(k + 1) = ∂H ( k ) ∂λ (பைடு நூலகம் + 1)
（3-11） （3-12）