第3课时—三角函数的图象

1一．教学目标：了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，理解,,A ωϕ的物理意义，掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换原理． 二．教学重点：函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法．三．高考预测：近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法 （一）主要知识：1．三角函数线：正弦线、余弦线、正切线的作法；2．函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的两种主要途径． （二）主要方法：1．“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

2．给出图象求sin()y A x B ωϕ=++的解析式的难点在于,ωϕ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω．（三）例题分析：题型1：三角函数的图象 例1．（2009浙江理）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ()解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴< ，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．答案：D练：1.函数y = －x·cos x的部分图象是( D )2.【2010·铜鼓中学五月考】函数y＝sin x|cot x|（0＜x＜ ）的图像的大致形状是（）【答案】B【解析】当0<x<2π时，y＝sin x|cot x|=cosx，图像在x轴上方，排除C，D,当2π<x< 时，y＝sin x|cot x|=-cosx，图像也在x轴上方，排除A，选择B;题型2：三角函数图象的变换方法：由y＝sin x的图象变换出y＝sin(ωx＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sin x的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋ϕ)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y＝sin(ωx＋ϕ)的图象。

例2．试述如何由y=31sin（2x+3π）的图象得到y=sin x的图象解析：y=31sin（2x+3π）23）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x yxy sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的另法答案：（1）先将y =31sin （2x +3π）的图象向右平移6π个单位，得y =31sin2x 的图象；（2）再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =31sin x 的图象；（3）再将y =31sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y =sin x 的图象。

【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.例3．（1）将函数5sin(3)y x =-的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移3π，得到图象对应解析式是（ A ）()A 335sin()22xy π=-()B 735sin()102xy π=- ()C 5s i n (6)6y x π=- ()D 35c o s 2xy =（2）若函数()f x 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x轴向右平移2π个单位，向下平移3个单位，恰好得到1sin 2y x =的图象，则()f x =11sin(2)3cos 23222x x π++=+．（3）先将函数sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应解析式为2sin(2)3y x π=--．例4．已知函数2()2c o s s i n ()3s i n s i n c o s 23f x x x x x x π=+-++（x R ∈），该函数的图象可由sin y x =（x R ∈）的图象经过怎样的变换得到？解：213()2cos (sin cos )3cos sin cos 222f x x x x x x x =+-++222sin cos 3(cos sin )2x x x x =+-+4s i n 23c o s 222s i n (2)23x x x π=++=++①由sin y x =的图象向左平移3π个单位得sin()3y x π=+图象，②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12得sin(2)3y x π=+图象，③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得2sin(2)3y x π=+图象，④最后将所得图象向上平移2个单位得2sin(2)23y x π=++的图象．说明：（1）本题的关键在于化简得到2sin(2)23y x π=++的形式；（2）若在水平方向先伸缩再平移，则要向左平移6π个单位了．例5．函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为（ A ）()A 512π()B 116π()C 1112π()D 以上都不对略解：平移后解析式为sin(22)y x ϕ=-，图象关于6x π=对称，∴2262k ππϕπ⋅-=+（k Z ∈），∴212k πϕπ=--（k Z ∈），∴当1k =-时，ϕ的最小值为512π．例6． [2011·全国卷] 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 【解析】 将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.练：1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A.cos 2y x = B.22cosy x = C.)42si n(1π++=x y D.22sin y x =解析 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22cos y x x =+=,故选B.5答案:B2.（2009全国卷Ⅱ理）若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为A ．16B.14C.13D.12解析：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x πππππωωω⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位164()662k k k Z ππωπωπ+=∴=+∈∴-，又m in 102ωω>∴= .故选D答案 D3.【2010•辽宁理数】设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）（A ）23(B)43(C)32(D)3【答案】C 【解析】将y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后为4s i n [()]233y x ππω=-++4s i n ()233x πωπω=+-+，所以有43ωπ=2k π,即32k ω=，又因为0ω>，所以k ≥1,故32k ω=≥32，所以选C题型3；求sin()y A x B ωϕ=++的解析式方法：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

例7．右图为y=Asin (ωx+ϕ)的图象的一段，求其解析式。

解析 法1以M 为第一个零点，则A=3， 2=ω所求解析式为)2sin(3ϕ+=x y点M （)0,3π在图象上，由此求得32πϕ-=∴ 所求解析式为)322sin(3π-=x y6法2 由题意A=3，2ω=，则3sin(2)y x ϕ=+图像过点7(,3)12π 733sin()6πϕ∴=+733sin()6πϕ∴=+即72.62k ππϕπ+=+∴22.3k πϕπ=-+ 取2.3πϕ=-∴所求解析式为 23sin(2)3y x π=- 【点晴】1. 由图象求解析式时,”第一零点”的确定很重要,尽量使A 取正值. 2. 由图象求解析式k x A y ++=)sin(ϕω或由代数条件确定解析式时,应注意: (1) 振幅 A=)(21min max y y -(2) 相邻两个最值对应的横坐标之差,或一个单调区间的长度为T 21, 由此推出ω的值.(3) 确定ϕ值,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定.例8．[2011·辽宁卷] 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( )A ．2＋ 3 B. 3C.33D ．2－ 3 【解析】 由图象知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝3，故选B.例9．（2009辽宁卷理）已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =( )A.23-B.23C.－12D.12解析 由图象可得最小正周期为2π37于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称所以f(2π3)＝－f(π2)＝23答案 B例10．【2010•重庆理数】已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则（ ）A. ω=1 ϕ=6πB. ω=1 ϕ=- 6πC. ω=2 ϕ= 6πD. ω=2 ϕ= -6π【答案】C【解析】2=∴=ϖπT 由五点作图法知232πϕπ=+⨯，ϕ= -6π练：1.（2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则 ϕ=________________解析：由图可知，()544,,2,125589,510T x πωπϕππϕϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭⎛⎫+∴= ⎪⎝⎭把代入y=sin 有：1=sin答案：910π2. [2011·江苏卷] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．3. （2009江苏卷）函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象8如图所示，则ω= . 答案 3解析 考查三角函数的周期知识32T π=，23T π=，所以3ω=，4. 【2011•浙江文数】已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，02πϕ<<.()y f x =的部分图像如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及ϕ的值； （Ⅱ）若点R 的坐标为(1,0)，23P R Q π∠=，求A 的值.9（四）巩固练习：1．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,||A ϕπ><）的一段图象如下图所示，求函数的解析式． 解：由图得32,()2882T A πππ==--=，∴T π=，∴2ω=， ∴2sin(2)y x ϕ=+，又∵图象经过点(,2)8π-，∴22sin()4πϕ=-+，∴242k ππϕπ-=+（k Z ∈），∴324k πϕπ=+，∴函数解析式为32sin(2)4y x π=+．2. (2009湖南卷理)将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于 （D ） A ．6πB ．56π C.76π D.116π答案 D解析 由函数sin y x =向左平移ϕ的单位得到sin()y x ϕ=+的图象，由条件知函数sin()y x ϕ=+可化为函数sin()6y x π=-，易知比较各答案，只有11sin()6y x π=+sin()6x π=-，所以选D 项3. 【2010•全国卷2理数】为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【解析】sin(2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将sin(2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.4. （2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 38π8π-22-10C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。