《锐角三角函数第3课时》课件
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教学课件_锐角三角函数(第3课时)_3
∵ tan α ＞0，∴ tanα =1，∴ α = 45°. ∴ 2 sin2 α + cos2 α － 3tan (α +15°) = 2 sin245°+cos245°－ 3 tan60°
- 3. 2
课堂检测
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC，M为AB的中点，∠B=30°，
cos ACD
AB 6 2
6
3
∴ ∠A = 45°.
A
C
探索新知
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO 3OB，求
α 的度数.
A
解：在 Rt△ABO中
∵ tan α AO 3OB 3， BO OB
∴ α = 60°.
O B
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC 7, AC 21，
2. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出 30°，45°，60°角的三角函数值.
1. 理解特殊角的三角函数值的由来.
探索新知
知识点 特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值
两块三角尺中有几个不同的 60° 锐角？分别求出这几个锐角的正
弦值、余弦值和正切值？
30° 45°
45°
解：设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，
tan 45
1 2
2
3 2
2
2 2 1 22
= 1;
=0.
探索新知
方法点拨
含特殊角三角函数值的计算注意事项： （1）熟记特殊角的锐角三角函数值是关键； （2）注意运算顺序和法则； （3）注意特殊角三角函数值的准确代入．
巩固练习
计算： (1) sin30°+ cos45°； (2) sin230°+ cos230°－tan45°.
- 3. 2
课堂检测
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC，M为AB的中点，∠B=30°，
cos ACD
AB 6 2
6
3
∴ ∠A = 45°.
A
C
探索新知
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO 3OB，求
α 的度数.
A
解：在 Rt△ABO中
∵ tan α AO 3OB 3， BO OB
∴ α = 60°.
O B
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC 7, AC 21，
2. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出 30°，45°，60°角的三角函数值.
1. 理解特殊角的三角函数值的由来.
探索新知
知识点 特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值
两块三角尺中有几个不同的 60° 锐角？分别求出这几个锐角的正
弦值、余弦值和正切值？
30° 45°
45°
解：设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，
tan 45
1 2
2
3 2
2
2 2 1 22
= 1;
=0.
探索新知
方法点拨
含特殊角三角函数值的计算注意事项： （1）熟记特殊角的锐角三角函数值是关键； （2）注意运算顺序和法则； （3）注意特殊角三角函数值的准确代入．
巩固练习
计算： (1) sin30°+ cos45°； (2) sin230°+ cos230°－tan45°.
28.1 锐角三角函数 第3课时
(2)sin30°×cos60°＋12； 解：sin30°×cos60°＋12＝12×12＋12
＝34；
(3) 3sin60°＋tan60°－2cos230°； 解： 3sin60°＋tan60°－2cos230°＝ 3×23＋ 3－2×( 23)2＝ 3；
(4)1－sinco6s03°0°＋tan30°. 解：1－sinco6s03°0°＋tan30°＝ 3－1.
11.李红同学遇到了这样一道题： 3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐 角α 的度数应是( D ) A.40° B.30° C.20° D.10°
12.菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC ＝45°，OC＝ 2，则点 B 的坐标为( C ) A.( 2，1) B.(1， 2) C.( 2＋1,1) D.(1， 2＋1)
＝(12)2＋( 23)2＝14＋34＝1； (2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC 中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°－α，∴sin2α＋sin2(90°－α)＝(BACB)2＋ (AACB)2＝BC2A＋BA2 C2＝AABB22＝1.
6.为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥一侧修建了40 m长的斜道(如图所示)， 我们可以借助科学计算器求这条A 斜道倾斜角的 度A数. 2，ndF具si体n 0按·2键5 顺＝ 序是( )
B. sin 2ndF 0 ·2 5 ＝ C. sin 0 ·2 5 ＝ D. 2ndF cos 0 ·2 5 ＝
第二十八章 锐角三 角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
知识点1 特殊角的三角函数值
知识点2 由三角函数值求特殊角
知识点3 用计算器计算三角函数值或锐角的
《锐角三角函数》课件
锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
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锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
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锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
初三数学《锐角三角函数》优秀教学课件
3 应用
锐角三角函数广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
三角函数的定义及分类
定义பைடு நூலகம்
正弦、余弦、正切、正割和 余割是根据三角形的边长关 系定义的函数。
分类
三角函数可分为基本三角函 数和带角的三角函数，每个 函数都有不同的性质和应用。
图像
不同函数在坐标系上的图像 展示了它们的周期性、对称 性和变化规律。
角度制与弧度制的转换
1 角度制
2 弧度制
常用角度单位，用度数表示。
另一种角度单位，用弧长与半径的比值表示。
3 转换方法
角度制与弧度制之间可通过一定的换算公式进行转换。
正弦函数的图像及基本性质
图像
正弦函数在坐标系中呈现出一条 连续变化的波浪线。
性质
正弦函数的定义域是全体实数， 值域是[-1, 1]，具有周期性和对 称性。
正切函数的图像及基本性质
1
图像
正切函数在坐标系中形成一系列连续交叉的直线。
2
性质
正切函数的定义域是所有切点的横坐标全体，值域是所有实数。
3
特性
无定义点、无界性和奇偶性是正切函数的特别性质。
正割函数、余割函数的图像及基本性质
1 正割函数
正割函数形成一组连续的 曲线，与余弦函数图像对 称。
2 余割函数
余割函数形成一组连续的 曲线，与正弦函数图像对 称。
3 性质
正割和余割函数分别是余 弦和正弦函数的倒数。
三角函数的周期性质
周期
三角函数的图像在一定范围内 呈现出重复的模式，这个范围 称为函数的周期。
周期公式
不同三角函数的周期可通过一 定的公式进行计算。
变化规律
周期性质决定了三角函数的重 复模式和增减变化规律。
锐角三角函数广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
三角函数的定义及分类
定义பைடு நூலகம்
正弦、余弦、正切、正割和 余割是根据三角形的边长关 系定义的函数。
分类
三角函数可分为基本三角函 数和带角的三角函数，每个 函数都有不同的性质和应用。
图像
不同函数在坐标系上的图像 展示了它们的周期性、对称 性和变化规律。
角度制与弧度制的转换
1 角度制
2 弧度制
常用角度单位，用度数表示。
另一种角度单位，用弧长与半径的比值表示。
3 转换方法
角度制与弧度制之间可通过一定的换算公式进行转换。
正弦函数的图像及基本性质
图像
正弦函数在坐标系中呈现出一条 连续变化的波浪线。
性质
正弦函数的定义域是全体实数， 值域是[-1, 1]，具有周期性和对 称性。
正切函数的图像及基本性质
1
图像
正切函数在坐标系中形成一系列连续交叉的直线。
2
性质
正切函数的定义域是所有切点的横坐标全体，值域是所有实数。
3
特性
无定义点、无界性和奇偶性是正切函数的特别性质。
正割函数、余割函数的图像及基本性质
1 正割函数
正割函数形成一组连续的 曲线，与余弦函数图像对 称。
2 余割函数
余割函数形成一组连续的 曲线，与正弦函数图像对 称。
3 性质
正割和余割函数分别是余 弦和正弦函数的倒数。
三角函数的周期性质
周期
三角函数的图像在一定范围内 呈现出重复的模式，这个范围 称为函数的周期。
周期公式
不同三角函数的周期可通过一 定的公式进行计算。
变化规律
周期性质决定了三角函数的重 复模式和增减变化规律。
《锐角三角函数》课件PPT3
∴ BD = CD = 3，
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA =
2 6 5 课时2 余弦、正切函数 ∴sinα= ， cosα= . tan70°＜cos70°＜sin70°
， 求 sinA、tanA 的值．
7 7 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C=∠F = 90°，则
A
·O
B
C
新课讲解
知识点3 锐角三角函数
典例精析 如图，在 如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数. Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，
sinB=______，cosB=______，tanB=____.
∴∠B+ ∠A=90°， sin70°＜cos70°＜tan70°
2. 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5， 在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切
求 tanB 的值.
α为其最小的锐
cosA=
B.
角，求α的正弦值和余弦值． 知识点3 锐角三角函数
如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.
10
6
如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O
AC = AB BC = 10 6 =8， 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C=∠F = 920°，则
sin70°＜cos70°＜tan70°
2 成立吗？2 为什么？2
如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C=∠F = 90°，则
解：∵直角三角形的斜边与一直角边的比为7:5，令斜边为7x，则该直角边为5x，另一直角边为
沪科版九年级数学上册《锐角的三角函数》课件
长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)， 记作i，即i＝ h .
l
2．坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记 作α，于是有i＝tan α＝ h .
l
感悟新知
知3－导
3. 拓展：(1)坡度等于坡角的正切值，所以坡角越大， 坡度越大，坡面越陡． (2)坡度一般写成1∶m的形式，比的前项是1，后项可 以是小数或带根号的数．
∠A=30°，∠B=60°.
设BC=1，则AB=2，AC= 3 （为什么？）. 于是有
sin 30°=
，cos 30°=
，tan 30°=
;
sin 60°=
，cos 60°=
，tan 60°=
.
课时导入
如图(2)，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A=∠B=45°.
设BC=1，则AC=1,AB= 2（为什么？）. 于是有
解：
cos A AC 12 , AB 13
tan A BC 5 . AC 12
知2－练
感悟新知
知2－练
1．如图，已知在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，
BC＝3，则 cos B 的值是( A )
3
4
3
4
A.5
B.5
C.4
D.3
感悟新知
知2－练
2．如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，
所以它没有单位．
感悟新知
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,
15
则tan A＝____8____．
AB 17 BC 15
知1－练
导引：由正切定义可知tan A＝ BC ，在本题已知两边之比
AC
的情况下，可运用参数法，由
l
2．坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记 作α，于是有i＝tan α＝ h .
l
感悟新知
知3－导
3. 拓展：(1)坡度等于坡角的正切值，所以坡角越大， 坡度越大，坡面越陡． (2)坡度一般写成1∶m的形式，比的前项是1，后项可 以是小数或带根号的数．
∠A=30°，∠B=60°.
设BC=1，则AB=2，AC= 3 （为什么？）. 于是有
sin 30°=
，cos 30°=
，tan 30°=
;
sin 60°=
，cos 60°=
，tan 60°=
.
课时导入
如图(2)，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A=∠B=45°.
设BC=1，则AC=1,AB= 2（为什么？）. 于是有
解：
cos A AC 12 , AB 13
tan A BC 5 . AC 12
知2－练
感悟新知
知2－练
1．如图，已知在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，
BC＝3，则 cos B 的值是( A )
3
4
3
4
A.5
B.5
C.4
D.3
感悟新知
知2－练
2．如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，
所以它没有单位．
感悟新知
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,
15
则tan A＝____8____．
AB 17 BC 15
知1－练
导引：由正切定义可知tan A＝ BC ，在本题已知两边之比
AC
的情况下，可运用参数法，由
人教版九年级下册数学第3课时 特殊角的锐角三角函数值课件
试着用计算器求出下面的三角函数值。 （1）sin18°; 0.309016994 （2）tan30°36'. 0.591398351
你是如何操作的呢？
以求sin18°为例.
sin键 输入角度值18° 得到sin18°结果
以求tan30°36'为例.
tan键 输入角度值30°36'或将其化为30.6°
解 : sin A BC 3 2 , AB 6 2
A 45 .
例2 （2）如图，AO是圆锥的高，OB是底 面半径，AO= 3OB，求α的度数.
解 : tan AO 3OB 3,
OB OB
60.
练习
1.求下列各式的值： （1）1-2sin30°cos30°；2 3
2
（2）3tan30° - tan45°+2sin60°；2 3 1
cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°= 1 .
sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=
1. 2
2
（2）若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A， B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和 ∠B的大小.
因此，这块木板的面积约为1280.30 cm2.
拓广探索 9. 用计算器求下列锐角三角函数值，并填入 表中：
随着锐角A的度数的不断增大，sinA有怎样的 变化趋势？cosA呢？tanA呢？你能证明你的结 论吗?
解：sinA不断增大，cosA不断减小，tanA不断 增大.
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的正弦、 余弦之间有什么关系？（提示：利用锐角三角 函数的定义及勾股定理.）
你是如何操作的呢？
以求sin18°为例.
sin键 输入角度值18° 得到sin18°结果
以求tan30°36'为例.
tan键 输入角度值30°36'或将其化为30.6°
解 : sin A BC 3 2 , AB 6 2
A 45 .
例2 （2）如图，AO是圆锥的高，OB是底 面半径，AO= 3OB，求α的度数.
解 : tan AO 3OB 3,
OB OB
60.
练习
1.求下列各式的值： （1）1-2sin30°cos30°；2 3
2
（2）3tan30° - tan45°+2sin60°；2 3 1
cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°= 1 .
sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=
1. 2
2
（2）若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A， B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和 ∠B的大小.
因此，这块木板的面积约为1280.30 cm2.
拓广探索 9. 用计算器求下列锐角三角函数值，并填入 表中：
随着锐角A的度数的不断增大，sinA有怎样的 变化趋势？cosA呢？tanA呢？你能证明你的结 论吗?
解：sinA不断增大，cosA不断减小，tanA不断 增大.
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的正弦、 余弦之间有什么关系？（提示：利用锐角三角 函数的定义及勾股定理.）
28章锐角三角函数全章ppt课件
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜
边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
B
由 sin A BC 得 AB
BC AB sin A 6sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
α
A
C
所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的 角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6， 求锐角a的度数
由于
B
cos a AC 2.4 0.4
AB 6
tan A BC 8k 8 AC 15k 15
例题示范
例3： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° B
1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA
2.求证：tan A sin A ;tan A 1
cos A
tan B
3.求证：sin2 A cos2 A 1
A
C
sin2 A sin A sin A
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
sin A BC ＜1
AB
sin B AC AB
＜1
A
C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1, 如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC , 那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
探究
精讲
如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，当锐角A确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确 定，此时，其他边之间的比 是否也确定了呢？为什么？
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B
直角三角形三边的关系.
直角三角形两锐角的关系. A
直角三角形边与角之间的关系.
c
a
┌
b
C
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值. 30° 互余两角之间的三角函数关系.
同角之间的三角函数关系 45°
45° ┌ 60° ┌
【例】求下列各式的值.
(1) cos260°+sin260°
(2)
cos45 sin45
-tan45
【解析】（1）cos²60°+sin²60°
cos²60°表示 （cos60°）²， 即cos60°的平方.
=（ ）²+12 （ ）²23
（2）cos 45 tan 45
sin 45
= 22÷
2 2
-1=0.
=1；
当A、B为锐角时， 若A≠B，则 sinA≠sinB， cosA≠cosB， tanA≠tanB.
1.（黄冈中考）cos30°=（
）
A．1
B． 2
2
2
C． 3
2
D． 3
【解析】选C.由三角函数的定义知cos30°= 3 .
2
2.（荆门中考）计算 2sin45 的结果等于（ ）
A．2 B．1 C．1 2
【答案】选B.
D． 2 2
3.（眉山中考）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB= 3 3 ，则下底BC的长为 __________．
A
D
30° B
60° C
【答案】10
4.（丹东中考）计算：
2(2 cos 45 sin 60) 24 4
【解析】 原式 2(2 2 3 ) 2 6 22 4
∴∠DAC=∠BCA，∴∠DCA=∠BCA
∴∠ACB=30°
cos∠ACB=cos30°=3
2
（2）AB＝AD＝DC＝8，∠ACB=30°，
∴∵BEC，=F2分A别B=是1A6B，，DC的中点，
∴EF= 1 (AD BC ) 1 (8 16)=12.
2
2
D C
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °的特殊值，及推导方式，可以 提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.
3
正切
3
9
27
3
3
1，2，3， 3，2，1， 3，9，27， 弦二切三作分母， 一顶帽子头上戴.
仔细观察右 表，回答下 面问题.
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3 3
1
3
1、你能得出互为余角的两个锐角A、B正切值的关系吗? 2、你能得出一个锐角A的正弦值、余弦值和正切值的关系吗?
sinA=cos(90°∠A); 一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值. cosA=sin(90°∠A) 一个锐角的余弦值等于这个角余角的正弦值. tanA·tan(90°∠A)=1 一个锐角的正切值与这个角余角的正切值互为倒数.
28.1 锐角三角函数
第3课时
B
c a
┌
A
b
C
1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值， 并能根据这些值说出对应锐角度数；
2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的 运算式.
B
斜边
∠A的对边
C
A ∠A的邻边
sinA A的对边 斜边
cosA A的邻边 斜边
tanA A的对边 A的邻边
思考 两块三角板中有几个不同的仔锐细角观？察分,别说求说出你这发几个锐角 的正弦值、余弦值和正切值.现这张表有哪些规律?
sinα cosα tanα
30°
1 2
3 2 3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
30°
sinα 1
2
正弦
45°
2 2
60°
3 2
cosα 3
2
余弦
2
1
2
2
tanα
2 6 6 22
2
5．（巴中中考）已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB＝AD＝DC＝8，∠B＝60°，连接AC． （1）求cos∠ACB的值； （2）若E，F分别是AB，DC的中点，连接EF，求线段EF的长.
A
D
B
C
【解析】（1）∵∠B＝60°，
A
∴∠BCD=60°，又∵AB＝AD＝DC ∴∠DAC=∠DCA，∵AD∥BC， B