趋势外推预测方法

M t(2) ( M t(1) M t(1) 1 ˆ t T at btT y at 2 M t(1) M t(2) bt
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2 ( M t(1) M t(2) ) N 1
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– (2)二次指数平滑预测法
St(1) yt (1 ) St(1) 1 St(2) St(1) (1 ) St(2) 1 ˆ t T at btT y at 2 St(1) St(2) bt
i 1 4
, i 1, 2,3, 4;
t为独立的随机变量序列，服从N(0, )分布。
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求yn+T的预测值，预测步骤如下：
第一步，对样本序列做时段长为3的滑动平均，消去随机 yt 干扰，记滑动平均后的序列为
yt ( yt yt 1 yt 2 ) / 3
这就达到了保留季节性，消除随机性的目的。
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表7.1.4
例如，有表7.1.4的 St e 数值表，将该表的春季这一栏的值相加求平均值， 就得到了消除随机性的春季季节指数。类似可以求出夏、秋、冬各季的 季节指数。分别记为：
t
Si 113.32, S2 109.86, S3 76.74, S4 104.72
St(1) yt (1 ) St(1) 1 ˆ t 1 St(1) yt (1 ) y ˆt y
3、样本序列具有线性趋势的外推预测法
– （1）二次移动平均值预测法（即趋势移动平均法）
M t(1) ( yt yt 1
yt N 1 ) / N M t(1) N 1 ) / N
4
4
第六步，运用已求得的Tt，Si 即可进行预测，由于 t 是不可预 测的随机干扰，由此得到
ˆ S [a b(n T )] S ˆ n T T y n T n T n T [a b(n T )] Si 4 n [a b(n T )] Si
– (2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不变，即假定根据过去 资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况。
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由以上两个假设条件可知，趋势外推预测法是事物发展渐 进过程的一种统计预测方法。简言之，就是运用一个数学 模型，拟合一条趋势线，然后用这个模型外推预测未来时 期事物的发展。 趋势外推预测法主要利用描绘散点图的方法(图形识别)和 差分法计算进行模型选择。 主要优点是：可以揭示事物发展的未来，并定量地估价其 功能特性。 趋势外推预测法比较适合中、长期新产品预测，要求有至 少5年的数据资料。
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表7.1.1
对表7.1.1各列算出平均值，依序记为 S1, S2 , S3 , S4 ，分 别表示样本序列的季节指数。
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第五步，对样本季节指数进行检验，若 Si 0 ，则符合季节 指数的条件，否则 Si 0
§7.1
趋势外推预测法概述
统计资料表明，大量社会经济现象的发展主要是渐进型的， 其发展相对于时间具有一定的规律性。 趋势外推预测方法，是根据事物的历史和现实数据，寻求事 物随时间推移而发展变化的规律，从而推测其未来状况的一 种常用的预测方法。 趋势外推法的假设条件是：
– (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型 的。
i 1 4 i 1
4
，则需对样本季节指数进行修正。
修正的方法是：若 准化的季节指数为Si：
S
i 1
4
i
3 ，则将每个 S i 减去3/4，即令标
Si Si 3 / 4
那么有
S ( S 3 / 4) S 3 0
i 1 i i 1 i i 1 i
4
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4
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第四步，运用(2-2)式的滑动平均后得到的数据序列，建立 线性趋势方程，记为
ˆ ˆ a ˆ T bt t
第五步，根据第三、四两步得到的季节指数St和Tt，即可按 要求进行预测，预测公式是
ˆ S ˆ ˆ n T T y n T i 4 m Tn T Si 其中： i 1, 2,3, 4 n T i 4m, m为整数
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趋势外推预测可以分为两大类：
– 时间序列趋势外推预测 – 增长型曲线外推预测 本章主要讲述增长型曲线外推预测，并对时间序列趋势外 推预测进行简单回顾（ §7.1 ）。
时间序列趋势外推预测又可以分为：
– 样本序列具有水平趋势的外推预测法
– 样本序列具有非水平趋势的外推预测法
t 3,
, n 1
ˆt , t 3, 第二步，对 y
, n 1 求出趋势线
ˆ a bt T t
第三步，将序列yt消除线性趋势因素的影响，求出消去趋 势影响后的序列值Mt
ˆ M t yt T t
第四步，将Mt值按季节次序重排，如下表1所示，在此假 定t=1代表春季，n=20.
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表7.1.3
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– （2）乘法型序列的外推预测法
设 yt Tt St et 样本序列为 （2 -1 ）
y1, y2 ,
, yt ，外推预测公式可表示为
ˆ ˆ S ˆt T y t t
4
Si 400 有差 将这些值相加，得到 Si 404.64 ，与标准的季节指数和 i 1 i 1 异，这是由于样本的随机性所致。为使所求的季节指数比较接近标准的 季节指数，必须对上述样本季节指数进行调整，使调整后的季节指数总 和恰为400。通过调整，季节指数的含义更加明显了。
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第三步，进行预测， y ˆnT [a b(n T )] SnT
ˆ 21 25 2 21 S21 67 S1 67 5.35 61.65 y ˆ 22 25 2 22 S22 67 S2 69 4.65 73.65 y ˆ 23 25 2 23 S23 67 S3 71 6.45 77.45 y ˆ 24 25 2 24 S24 67 S4 73 5.75 67.25 y
该式只含季节因素和随机因素两个分量。 第三步，从 St et 中分解出季节因素St。
（2 -3 ）
由于 E( t ) 0 ，故可采用平均的方法可以消除随机性影
响。但简单的平均可能把季节影响也消除掉，因此，为保留
季节性影响，可将序列(2-3)式按春、夏、秋、冬顺序逐年逐 季排列，然后，将各年相同季节的 St e t 相加起来进行平均，
则滑动平均后的序列，即为线性趋势因素，故有
yt ( yt yt 1 yt 2 yt 3 ) / 4 Tt
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第二步，对yt分解出季节因素与随机因素，根据 yt Tt St et
以 yt 去除yt，得到
yt / yt Tt St et / Tt St et
Y=TC+SI
– 下面，分别介绍加法型和乘法型序列的趋势外推预测 方法。
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– （1）加法型序列的外推预测法 假设样本序列为 y1, y2 ,
, yn 序列yt是加法型，即
yt Tt St t 式中，Tt，St， t 均具有相同的量纲; Tt 有线性趋势; S1，S2，S3，S4为季节分量，服从N(0, )分布, 满足 Si 0，Si Si 4t , t 1, 2,
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i 1,2,3,4
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例：某市的啤酒销售量有如表7.1.2的数据序列，试求出第 21，22，23，24季度的啤酒销售量的预测值。 表7.1.2
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解：第一步，按滑动时段长N=3，求出序列的滑动平均
值，削去随机干扰，显出趋势求出趋势线的方程
第七章
§7.1
趋势外推预测方法
趋势外推预测法概述
§7.2
§7.3
多项式曲线法
指数曲线法
§7.4
§7.5
修正指数曲线法和双指数曲线法
生长曲线法
§7.6
§7.7 §7.8
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增长型曲线模型的识别方法
增长型曲线模型的参数估计 包络曲线法
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1
yt Tt St e
t
试求2000年春、夏、秋、冬各季某种服装的销售量 预测值。
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表7.1.5
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– 样本序列具有线性趋势的外推预测法 – 样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预测法
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1、样本序列具有水平趋势的外推预测法
– （1）朴素预测法
ˆt 1 yt y
– （2）平均数预测法
ˆ n1 ( yn yn1 y
y1 ) / n y
ˆ 25 2t T t
ˆ ，并将M 按季节排列，如表7.1.3 第二步，计算 M t yt T t t 4 所示，由于 Si 5.6 4.4 6.2 6 1 ，
i 1
故需对 S i 进行修正，修正后的 Si Si 1/ 4 ，即wk.baidu.com
S1 5.35, S2 4.65, S3 6.45, S4 5.75
ˆ 的传统分解方法。 ˆ,S 现介绍求 Tt , St 估计值 T t t
第一步，对yt序列值分解出长期趋势因素。假设季节长度
为4，只要将序列作滑动长度为4的滑动平均时，即可消 除随机干扰和季节波动影响。记滑动平均值为
yt ( yt yt 1 yt 2 yt 3 ) / 4
（2 -2 ）

1
( St(1) St(2) )
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4、样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预 测法
– 经济时间序列一般可以分解为四个因素：长期趋势T、 周期变动C、季节因素S和随机因素I，并有如下三种 模型：
乘法模型：
加法模型：
Y=TCSI
T=T+C+S+I
混合模型：
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趋势外推法首先由R.赖恩（Rhyne）用于科技预测。他认 为，应用趋势外推法进行预测，主要包括以下6个步骤： （1）选择预测参数； （2）收集必要的数据； （3）拟合曲线； （4）趋势外推； （5）预测说明； （6）研究预测结果在制订规划和决策中的应用。 趋势外推法是在对研究对象过去和现在的发展作了全面分 析之后，利用某种模型描述某一参数的变化规律，然后以 此规律进行外推。 为了拟合数据点，实际中最常用的是一些比较简单的函数 模型，如线性模型、指数曲线、生长曲线、包络曲线等。
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例：某地某种服装的销售量有下述季度销售数据， 见表7.1.5。根据表5的数据，绘制出销售量依时 间变化的图形(见图7.1.1)。 从图形可以明显地看出，序列呈季节性变化，季节 长度为4。此外，序列有线性长期趋势，按乘法型 序列外推预测法的基本原理，其模式为
2、样本序列具有非水平趋势的外推预测法
– （1）加权移动平均法
ˆn1 0 yn 1 yn1 y
式中，0 , 1,
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N 1 ynN 1
, N 1 为加权因子，满足
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i 0
N 1
i
1
6
– （2）一次指数平滑预测法