C05级高等数学(本科少学时)期末试卷(A)

2005级《高等数学A-2》期末试卷一、 单项选择题（将答案写在括号内,每题4分，共 48分）1．微分方程20y y y '''-+=的一个解是( ).(A) 2y x = (B) x y e = (C) sin y x = (D) x y e -=2．微分方程 x e x y y y 228644+=+'-'' 的一个特解应具形式 ( ).（a,b,c,d 为常数）(A) x ce bx ax 22++ (B) x e dx c bx ax 222+++(C) x x c x e be ax 222++ (D) x e cx bx ax 222)(++3． 若0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，则在点),(00y x 处，函数),(y x f ( ).)A (连续. )B (取得极值. )C (可能取得极值. )D (全微分0d =z .4．设()f u 可微,⎰⎰≤++=222x 22d )()(t y y x f t F σ,则()F t '=( ).(A) ()tf t π (B) 22()tf t π (C) 22()tf t (D) 2()tf t π5．设曲面06333=-+++xyz z y x ，则在点)1,2,1(-处的切平面方程为( ).)A ( 018511=-++z y x )B ( 018511=-+-z y x)C ( 018511=--+z y x )D ( 018511=+++z y x6．)(d d 12222==⎰⎰≤++y x e I y x y x . (A))1(-e π (B)e π (C)1-e π (D)e π27. 函数),(y x f 在点),(00y x 处连续，且两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x存在是),(y x f 在该点可微的( ).)A ( 充分条件，但不是必要条件. )B (必要条件，但不是充分条件.)C ( 充分必要条件. )D (既不是充分条件，又不是必要条件.8. 已知)0,0(，)1,1(为函数22442),(y xy x y x y x f ---+=的两个驻点，则(). )A ()0,0(f 是极大值. )B ()0,0(f 是极小值.)C ()1,1(f 是极小值. )D ()1,1(f 是极大值.9. 周期为2的函数)(x f ，它在一个周期上的表达式为x x f =)(11 <≤-x ，设它的傅里叶级数的和函数为)(x S ，则=)23(S ( ). (A) 0 (B) 1 (C) 21 (D) 21- 10．设∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分=⎰⎰∑S y d ( ). (A)34 (B)π34 (C)0 (D) π11．下列级数收敛的是( ).∑∞=1!)(n n n n n e A ∑∞=1!2)(n n n n n B ∑∞=1!2)(n n n n n C ∑∞=1!)(n nn n D . 12. 设幂级数∑∞=-1)2(n n n x a 在2-=x 时收敛，则该级数在5=x 处( ).)(A 发散 )(B 条件收敛 )(C 绝对收敛 )(D 不能判定其敛散性.二、 填空题（将答案填在横线上，每题4分，共24分）1.=-+=)1,(,arcsin )1(),(x f yx y x y x f x 则设 2． ⎰⎰=∑S x I d 2＝ .(其中∑是2222R z y x =++) 3．分表达式为化为球坐标下的三次积z z y x y x y x x d d d 22222221010⎰⎰⎰--+-4．=+⎰⎰≤+y x x y y x y x d d )sin sin (1225．设z yx z y x f 1)(),,(=，则=)1,1,1(df 6．=++⎰⎰⎰≤++1222222d d d )(z y x z y x z y x三、（6分）求幂级数∑∞=--111)1(n n n x n的收敛半径、收敛域及和函数. 四、（5分）计算I=y x z x x z z y z y y x ⎰⎰∑-+-+-d d )33(d d )3(d d )2(,其中:0,0,0x y z ∑===及1=++z y x 所围立体表面的外侧.五、（5分） 设,)(22ba z y e u ax ++=而b a x b z x a y ,,cos ,sin ==为常数，求.d d x u 六、（6分）设L 为x y x =+22从点)0,1(A 到点)0,0(O 的上半圆弧，求曲线积分⎰-++-L x x y y e x y y e d )1cos (d )1sin ( .七、（6分）设)(x f 有连续的二阶导数且满足[]0d )(d )(ln ='+'-⎰y x f x xy x f x c 其中c 为xoy 面上第一象限内任一简单闭曲线，且,0)1()1(='=f f 求)(x f。

n 22004～2005 学年第一学期《高等数学》期末考试试题 A 卷（216 学时） 专业班级学号 姓名一、填空题：（4×5 分）♣a (1 - cos x ) ♠ x > 0 ♠ x 21、设 f (x ) = ♦4 x = 0 连续，则常数 a = ， b =♠b sin x + ⎰ x e t d t ♠ 0 ♥♠ x x < 0∞∞2、设∑ a xn的收敛半径为 3, 则∑ n a (x -1)n +1的收敛半径 R ＝n n =1nn =13、已知 f (x ) = x (1 - x )(2 - x )…(2005 - x ) ，则 f '(0) ＝∞14、级数∑ nn =1的和 S =二、选择题：（4×4 分）1、函数 f (x ) = (x 2- x - 2) x 3- x 不可导点的个数是A 、 0B 、1C 、2D 、32、设周期函数 f (x ) 在(-∞,+∞) 内可导，其周期为4，且limf (1) - f (1 - x )= -1，x →02x则曲线 y = f (x ) 在点(5, f (5)) 处的切线的斜率为A 、 2B 、－2C 、1D 、－1∞n -11 k3、对于常数k > 0 ，级数∑(-1)tan n + n 2n =1A 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、收敛性与 k 的取值相关4、设函数 f (x ) 有任意阶导数且 f '(x ) = f 2(x ) ,则 f(n )(x ) = (n > 2) .A 、n ! fn +1(x ) B 、nfn +1(x ) C 、f 2n(x ) D 、n ! f 2n(x )x ⎰ ♥三、计算下列各题：（6×6 分）arctan x - x1、求极限： lim3x →0ln(1 + 2x )2、设 y = tan2x + 2sin x，求： d y x =π23、设函数 y = y (x ) 由方程e y+ 6xy + x 2- 1 = 0 确定,求： y '(0)e x + e - xf '(x ) f (x )4、已知 f (x ) =,计算不定积分： 2+ f (x ) f '(x )d x5、设函数 y = y (x ) 由参数方程4 ln x♣♠x = t 3 + 9t ♦♠ y = t 2- 2t 确定，求曲线 y = y (x ) 的下凸区间。

共 4 页 第 1 页 东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷） 共4页 第1页 课程名称 高等数学 考试学期 05-06-2 得分 适用专业 选学C 的各专业 考试形式 半开卷 考试时间长度 120分钟一．填空题（本题共7小题，每小题4分，满分28分） 1． ()2030e 1d lim x t x t x →-=⎰ ； 2．曲线322(1)x y x =+的斜渐近线方程是 ； 3．曲线32635y x x x =-++的拐点是 ； 4．曲线232y x x =+-在点 处的切线平行于直线52y x =+； 5．设21cos ,0(),0x x f x x ax b x -⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩在0x =处可导，则a = ，b = ； 6．级数1sin p n n n ∞=∑当且仅当参数p 满足条件 时绝对收敛； 7．2212d x x x --=⎰ 。

二．计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，满32分）1．111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 2．sin cos d sin cos x x x x x +⎰共 4 页 第 2 页 第2页3．40x x ⎰ 4．21d 1x x x +∞++⎰三．（本题满分8分）计算由曲线e x y -=与直线1,2y x ==所围图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积。

共 4 页 第 3 页 四．（本题共2小题，满分18分） 第3页1．（本题满分8分）求微分方程322xy y x '-=的通解。

2．（本题满分10分）求微分方程sin y y x x ''+=+满足初始条件3(0)1,(0)2y y '==的特解。

共 4 页 第 4 页 五．（本题满分7分） 第4页 求函数10()d f x x t t =-⎰在区间[0,1]上的最大值和最小值。

六．（本题满分7分）判别级数2211(1)11n n n n n ∞=⎡⎤--⎢⎥++⎣⎦∑是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？。

命题方式： 教研组命题佛山科学技术学院2004—2005学年第二学期 《高等数学》(经济类)课程期末考试试题（A 卷）专业、班级： 姓名： 学号：一、单项选择题：（每小题3分，共15分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在该题括号内） 1.下列积分⑴ ⎰50231+x dxx ， ⑵⎰11-2-1x xdx， ⑶⎰402235-)(/x xdx， ⑷⎰1ee xx dx/ln中，可直接使用牛顿——莱不尼兹公式的有 （ ）A . ⑴B . ⑴⑶C . ⑴⑷D . ⑴⑵⑶⑷2.下面叙述中⑴ 发散级数加括号后所成的级数一定发散；⑵ 发散的正项级数加括号后所成的级数一定发散； ⑶ 交换级数的项的次序不会影响级数的敛散性，正确的有 （ ） A . ⑴ B . ⑵ C . ⑶ D . ⑵⑶3.设∑∞1=n n u 为任意项级数，且∑∞1=n n u ｜｜ 发散，则 （ ）A . 原级数绝对收敛B . 原级数发散C . 原级数敛散性不定D . 原级数条件收敛 4.设 ⎰⎰2=Ddxdy I ，其中｝｜），（｛4≤+≤1=22y x y x D ，则=I （ ） A . π B . π2 C . π6 D . π15 5.曲线3=x y 与直线2=x 、0=y 所围成的图形绕y 轴旋转产生立体的体积是（ ） A . π7128 B . π596 C . π564D . π32二、填空题：（每小题3分，共12分.） 1.幂级数∑∞1=n nnnx 的收敛区间为 .2.二元函数22---4=y x y x z )(在点（ ， ）处取得极 值 .3.交换二次积分⎰⎰2-21y ydx y x f dy ),(的次序得.共6页第1页4.微分方程 0=3+'4+''y y y 满足初始条件 2=0=x y，6='0=x y 的特解为.三、解答题（每小题6分，共12分）：1.设y z z x ln =确定函数),(y x f z =，求xz∂∂.2.设 v e z u sin =，xy u =，y x v +=，求xz∂∂.四、解答题（7分）： 计算⎰∞+0-dx e x .共6页第2页五、解答题（7分）：试判断下面级数的敛散性：∑∞1=2⋅3nnnn.六、解答题（7分）：级数∑∞1=1-1 1-nnn)( 是否收敛？若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.共6页第3页七、解答题（7分）：求微分方程x y y ='-''的通解.八、解答题（7分）：求下面微分方程满足初始条件的特解：0=+1-+1dy xy dx y x，0=0=x y.共6页第4页九、解答题（7分）：将函数2--=2x x xx f )( 展成 x 的幂级数，并确定其收敛区间.十、解答题（7分）： 计算二重积分⎰⎰Dxy d xe σ，其中｝,｜），（｛1≤≤01≤≤0=y x y x D .共6页第5页十一、解答题（7分）： 计算二重积分⎰⎰Dxdxdy ，其中D 是由直线 x y = 和圆 1=1-+22)(y x所围成且在直线x y = 下方的平面区域.十二、解答题（5分）：设可微函数)(x y 满足⎰-+=xx dt t y e x y )()(，求)(x y .共6页第6页。

首页) 专业班级： 学号： 姓名： 教务处试卷编号：A3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线大连海事大学2004——2005第二学期 《高等数学》试卷（A3）一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 由方程2222=+++zy x xyz 所确定的函数),(y x z 在点(1,0,-1)处的全微分=dz dy dx 2-2. 函数)ln(22y x z +=在点(1,0)处的梯度为_}0.2{ 3.数项级数∑∞=121n nn 的和为2ln4.设)(x f 以2π为周期，它在(-π,π)上定义为⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(2,则)(x f 的傅里叶级数在x=π处收敛于22π5.通解为21c e c x+的微分方程是0'''=-y y 二、选择题（每小题3分，共15分）1. 函数),(y x f 在点),(00y x 处连续是函数),(y x f 在该点处（ D ）（A ）偏导存在的必要条件 (B) 偏导存在的充分条件 (C) 可微的充分条件 (D) 可微的必要条件2. 设有空间闭区域{}0,1|),,(2221≥≤++=Ωz z y x z y x ，{}0,0,0,1|),,(2222≥≥≥≤++=Ωz y x z y x z y x ,则 ( C )(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdv xdv (B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=114zdv ydv ( C)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=114ydv xdv (D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdv xyzdv3. 函数322)(3x y x z -+=的极值点是( A )(A)(0,0) (B)(2,0) (C)(0,0) 与(2,0) (D) 无极值点 4.将=I ⎰⎰-22021),(xx dy y x f dx 改变积分次序，则=I ( C )(A) ⎰⎰-+11102),(ydx y x f dy (B)⎰⎰--11102),(ydx y x f dy( C)⎰⎰-+11112),(ydx y x f dy (D)⎰⎰+-11112),(ydx y x f dy5. 设∑为球面1222=++z y x 的外侧，则⎰⎰∑zdydx =( B )(A)π32 (B)π34 ( C)1 (D)0三、计算下列各题（每题9分，共18分） 1.已知f 具有二阶连续偏导,),(22xy y x f z +=,求yx z ∂∂∂22.求微分方程23''2y y =满足初始条件1)2(',1)2(-=-=-y y 的特解解：'2'12yf xf xz +=∂∂………………………………………………….3分 解： 设p y =',则dydp py =''…………………………………………..3分)2()2(2''22''21'2''12''112xf yf y f xf yf x yx z ++++=∂∂∂ …………………3分 原方程变形为：232y dydp p=,解得132C y p+=因为f 具有二阶连续偏导，所以 ''21''12ff = 将初始条件代入得：01=C ,所以23y p -=, ………………….3分故''22'2''1222''112)(24xyff fy x xyfyx z ++++=∂∂∂……………….3分, 解得,2212C x y+-=--,将初始条件代入得:42-=C所以，所求特解为y x )4(2+=………………………..……………3分试卷A3 第1页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：A3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线四、计算dxdy y x D)(+⎰⎰,其中D 是由1=+y x 所围成的闭区域.(8分)解：由对称性知： 原式=⎰⎰≥≥≤+)0,0(18y x y x xdxdy………………………………..2分⎰⎰-=10108xdy xdx………………………………2分⎰-=10)1(8dx x x ………………………………2分34=……………………………………………2分五、计算⎰-+-=L x x dy y e dx y y e I )2cos ()2sin (,其中L 为上半圆周0,1)1(22≥=+-y yx ,沿逆时针方向 (8分).解：设y y e P x2sin -=,2cos -=y e Q x,点)0,2(A ,点)0,0(O ,则 d x d y yP xQ D)(∂∂-∂∂=⎰⎰…………………………..3分2c o s ,c o s -=∂∂=∂∂y e yP y e xQ xx………………………….3分 d x d y D⎰⎰=2(D 为曲线所围区域)⎰⎰+-+=+OAOAL Qdy PdxQdy PdxI π=……………………………………………..2分六、计算⎰⎰∑++222zy x dS ,其中∑是界于平面z=0及z=1之间的圆柱面122=+y x .（8分）解：设区域D 为{}11,10|),(≤≤-≤≤x z z x ，21x y -±=原式dS z⎰⎰∑+=2112…………………………..2分 dz zdx x⎰⎰+-=-1211211112…………………………..2分d x d z xxzD22211112-++=⎰⎰…………….2分 22π=……………………………………..……………..2分七、将)2ln(+x 展开为含1-x 的幂级数.(8分)解：)13ln()2ln(-+=+x x ……………………………………………..………..…...2 )311(3ln -+=x (2)nn n x n∑∞=---+=11)31()1(3ln )42(≤<-x (4)八、求原点到1)(22=--z y x 的最短距离(8分) 解：设曲面上一点为),,(z y x .原点到此点的距离为222zy x d ++=则问题转化为:在1)(22=--z y x 条件下,求d 的最小值……………………………….2分试卷A3 第2页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：A3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线令]1)[(222---+=z y x d F λ,则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=∂∂=∂∂1)(00022z y x z FyF x F……………………………….…..2分 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=--=-+1)(0220)(220)(2222z y x z z y x y y x x λλλ…………………………………….2分解得:21±=x , 21=y ,0=z ，故所求最短距离为22…………………………………….2分九、求方程xe y y y -=++3'4''的通解(7分)解：特征方程为:0342=++r r ，其根为3,121-=-=r r ………………………………. 1分 故可设非齐次方程的特解为x ae y x -=*, .故齐次方程03'4''=++y y y 的通解为x x e C e C Y 321--+=…………………………..……2分 将其代入到原方程中，得21=a ………………….……2分因x e x f -=)(，1-=λ是单根, 故原方程的通解为=y x x e C e C 321--++x ex-21……….2 分十、设)(x f 在0=x 的某一邻域内具有二阶连续偏导，且0)(lim=xx f ，证明)1(1∑∞=n n f 绝对收敛 (5分)证明：由所给条件0)(lim=∞→xx f n 知,0)0(=f (因f(x)在x=0连续),xx f n 2)('lim=∞→又xf x f f n )0()()0('lim-=∞→ 2)0(''f =………………………….…………………2 分所以 因此有0)0('=f ……………………………….2分|)0(''|211|)1(|2limf nnf n =∞→ 而2)(limxx f n ∞→ 由比较法极限形式知：)1(1∑∞=n nf 绝对收敛………………….1分试卷A3 第3页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：B3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线大连海事大学2004——2005第二学期 《高等数学》试卷（B3）一、填空题（每小题3分，共15分）1.由方程1=++z e y x 所确定的函数),(y x z 全微分)(dy dx e dz z +-=-2.函数y x e z +=在点(1,0)处的梯度向量为},{e e3.数项级数∑∞=131n nn 的和为2ln 3ln -4.设)(x f 以2π为周期，它在(-π,π)上定义为⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(,则)(x f 的傅里叶级数在x=π-处收敛于2π5.通解为21c e c x +-的微分方程是0'''=+y y 二、选择题（每小题3分，共15分）1.函数),(y x f 在点),(00y x 处偏导存在是函数),(y x f 在该点处（ B ）（A ）可微的充分条件 (B) 可微的必要条件 (C) 连续的必要条件 (D) 连续的充分条件2. 设有空间闭区域{}1|),,(2221≤++=Ωz y x z y x ，{}0,0,0,1|),,(2222≥≥≥≤++=Ωz y x z y x z y x ,则 ( D )(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdv xdv (B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydv ydv ( C)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=224zdv ydv (D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=114yzdv xzdv3. 函数322)(3x y x z ++=的极值点是( B )(A)(-2,0) (B)(0,0) (C)(0,0) 与(-2,0) (D) 无极值点4.将=I ⎰⎰--22221),(xx xdy y x f dx 改变积分次序，则=I ( A )(A) ⎰⎰-+-11122),(yydx y x f dy (B)⎰⎰--11102),(ydx y x f dy( C)⎰⎰-+11112),(ydx y x f dy (D)⎰⎰++-12112),(yydx y x f dy5. 设∑为球面1222=++z y x 的外侧，则⎰⎰∑dydx z 2=( D )(A)41 (B)21 ( C)1 (D)0三、计算下列各题（每题9分，共18分） 1.已知f 具有二阶连续偏导,),(22xy y x f z -=,求yx z ∂∂∂22.求微分方程y y =''满足初始条件1)0(',1)0(-==y y 的特解解：'2'12yf xf xz +=∂∂………………………………………………….3分 解： 设p y =',则dydp py =''…………………………………………..3分)2()2(2''22''21'2''12''112xf yf y f xf yf x yx z +-+++-=∂∂∂ ………………3分 原方程变形为：y dydp p=,解得122C y p+=因为f 具有二阶连续偏导，所以 ''21''12f f = 将初始条件代入得：01=C ,所以y p -=, ………………….3分 故''22'2''1222''112)(24xyff f y x xyf yx z ++-+-=∂∂∂…………… .3分, 解得,xeC y -=2,将初始条件代入得：12=C所以，所求特解为xe y -=………………………………..…………3分试卷B3 第1页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：B3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线四、计算dxdy x y x D)(++⎰⎰,其中D 是由1=+y x 所围成的闭区域.(8分)解：由对称性知： 原式=⎰⎰≥≥≤+)0,0(18y x y x xdxdy………………………………..2分⎰⎰-=10108xdy xdx………………………………2分⎰-=10)1(8dx x x ………………………………2分34=……………………………………………2分五、计算⎰-+-Lxxdy y e dx y y e )2cos ()2sin (,其中L 为上半圆周0,4)2(22≥=+-y y x ,沿逆时针方向 (8分).解：设y y e P x 2sin -=,2cos -=y e Q x,点)0,4(A ,点)0,0(O ,则 d x d y yP xQ D)(∂∂-∂∂=⎰⎰…………………………..3分2c o s ,c o s -=∂∂=∂∂y e yP y e xQ xx………………………….3分 d x d y D⎰⎰=2⎰⎰+-+=+OAOAL Qdy PdxQdy PdxI π4=……………………………………………..2分六、计算⎰⎰∑++222zy x dS ,其中∑是界于平面z=1及z=2之间的圆柱面122=+y x .（8分）解：设区域D 为{}11,21|),(≤≤-≤≤x z z x ，21x y -±=原式dS z⎰⎰∑+=2112…………………………..2分 dz zdx x⎰⎰+-=-21211211112………………………………………………..2分d x d z xxzD22211112-++=⎰⎰…………….2分 =)1a r c t a n 2(a r c t a n 2-π……………………………………..……………..2分七、将)2ln(+x 展开为含x 的幂级数.(8分) 解：)21(2ln )2ln(x x +=+ (2))21l n (2ln x ++= (2)nn n xn∑∞=--+=11)2()1(2ln )22(≤<-x (4)八、求2x y =和直线x+y+2=0之间的最短距离(8分)解：设2x y =上一点为),(y x .此点到直线x+y+2=0之间的距离为2|2|++=y x d则问题转化为:在2x y =条件下,求2d 的最小值……………………………….2分 令)(22x y d F -+=λ,则试卷B3 第2页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：B3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂200x y y Fx F………………………………………..….…..2分 即⎪⎩⎪⎨⎧==+++=-++202022xy y x x y x λλ…………………………………….2分 解得:21=x , 41=y ,故所求最短距离为287………………………………………….…….2分九、求方程xey y y 22'3''-=++的通解(7分)解：特征方程为:0232=++r r ，其根为1,221-=-=r r ………………………………. 1分 故可设非齐次方程的特解为x ae y x2*-=,.故齐次方程02'3''=++y y y 的通解为xxeC e C Y 221--+=…………………………..……2分 将其代入到原方程中，得1-=a ………………….……2分因xe xf 2)(-=，2-=λ是单根, 故原方程的通解为=y x x eC e C 221--+x e x2--……….2 分十、设偶函数)(x f 的二阶导数在0=x 的某一邻域内连续，且2)0('',1)0(==f f ，证明)1)1((1-∑∞=n nf 绝对收敛 (5分)证明：因为)(x f 为可导的偶函数 =2)(''l i mx f n ∞→所以，0)0('=f ,又2)0('',1)0(==f f ， 2)0(''f =)(x f 的二阶导数在0=x 的某一邻域内连续，………………2分 1=……………………………………2分所以21)(l i mxx f n -∞→ 从而=-∞→2)1(|1)1(|limnnf n |21)(lim x x f n -∞→|=1 =xx f n 2)('lim∞→ 故由正项级数的比较法知)1)1((1-∑∞=n nf 绝对收敛……1分..试卷B3 第3页 共3页。

一、填空题 1.lim x→+∞x −2x x=.2. 设arctan y =，则0x dy == .3. 曲线211ln (1)42y x x x e =−≤≤的弧长等于 . 4. 设112y x=+，则(6)()f x = .5. 设()f x ''在[0,1]连续,(0)1(1)3,(1)0f f f '===,,则10()xf x dx ''=⎰ .二、选择题1．下列函数中，在0=x 处连续的是（ ）.（A ）xx y 2sin =（B ）12−=x y （C ）x y cos 11−= （D ）1=y2．若)(x f 是偶函数，且(0)f '存在，则(0)f '的值为（ ）.（A ）–1 （B ）1 （C ）0 （D ）以上都不是3．下列函数中，不是sin 2x 原函数的函数是（ ）.（A ）2sin x （B ）2cos x − （C ）cos 2x − （D ）225sin 4cos x x + 4．设()f x 在[,]a b 上连续，则[()]b a dx f x dx dx=⎰（ ）.（A ）()b af x dx ⎰（B ）()()bf b af a −（C ）[()()]()b ax f b f a f x dx −+⎰ （D ）()()b axf x f x dx +⎰5．设12(),()x x ϕϕ是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个线性无关的特解，则该方程的通解为（ ）.（A ）12[()()]C x x ϕϕ+ （B ）12[()()]C x x ϕϕ− （C ）122[()()]()C x x x ϕϕϕ−+ （D ）122[()()]()x x C x ϕϕϕ−+三、计算下列各题1．求sin cos30lim x x x x e e x →−． 2．求不定积分． 3．求31(1)xdx x +∞+⎰． 4．求曲线x y xe −=在拐点处的切线方程．5．设y =求y ¢． 6．求微分方程322xy y y xe'''−+=的通解．四、设)()()()(1)b x b f x x a x −−=−−有无穷间断点10x =，有可去间断点21x =，求常数,a b 的值．五、设220()1xxt f x dtt =+⎰．⑴证明当0x >时，()f x 单调增加；⑵证明方程1()10f x =在(0,1)内有且仅有一个实根．六、设2y x =定义在闭区间[0,1]上，t 是[0,1]上的任意一点，当t 为何值时，图中的阴影部分面积和为最小.七、设0ab >，()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在,(,)a b ξη∈,使得2()()f f abηηξ''=.x2019－2020《高等数学》参考答案一填空题：12e-24dx 3214e +4()()676!212x -+5.-2二选择题：1．D2．C 3．C4．A5．C三1.sin cos 30limx x xx e e x →-解原式sin cos sin sin 0332000(1)cos sin cos (sin )cos 1lim lim lim 33x x x x x x x e e x x x x x x x e x x x -→→→--+---+==⋅==2.求不定积分⎰令cos x t =原式⎰⎰-=-=tdtdt tt tsec sin cos sin cxx x c t t +-+-=++=211ln tan sec ln -3．计算()311xdxx +∞+⎰解()()()()332311111111111xx dx dx dx x x x x +∞+∞+∞⎛⎫+-==-⎪ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰()()221111113lim 11128821211b b b →+∞⎛⎫--=+--=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭或83)1(21)1(11111x 1211131123113=+=++-=+=+∞+--+∞-+∞-+∞⎰⎰⎰x x d x dx x x dx x ）（）（）（4．求曲线xy xe -=在拐点处的切线方程解：()()11xx x y exe x e ---'=+-=-，()()(1)12x x xy e x e x e ---''=-+--=-令0,2y x ''=⇒=，由于2x >时0y ''>，2x <时0y ''<，2(2,2)e -为拐点故要求的切线为：()222222,4y ee x y e e x-----=--=-5．设y =，求)(x y '解：等式两边取对数111ln ln ln sin 248y x x x =++求导得到211cos 248sin y x y x x x¢=-++所以）（xxx x x x e x y xsin 8cos 4121-sin )(21++='6．求微分方程322xy y y xe '''-+=的通解特征方程为2320r r -+=，解得1212r ,r ==．设方程的特解2()()*x x yx ax b e ax bx e =+=+，代入方程有2(2)=2ax a b x-+-由此可得12a ,b =-=-．故2(2)*x y x x e =--．所以原方程的通解为2212+(2)x x xy Ce C e x x e =-+．四设)()()()()1b x b f x x a x --=--有无穷间断点10x =，有可去间断点21x =，求,a b 的值.解由()()()1(1)lim01x a f x b b →--==--，得0,0,1a b b =≠≠因()1lim x f x →存在，故()()())()()11lim 1lim120x x x b b x f x b b x→→--==--=从而2b =五．设220()1xxt f x dtt =+⎰．⑴证明当0x >时，()f x 单调增加；⑵证明方程1()10f x =在(0,1)内有且仅有一个实根．证明：⑴()2201xt f x x dt t =+⎰连续且可导23220()011xt x f x dt t x'=+>++⎰，且连续可导从而()f x 在()∞+，0上单调增(2)令1()()10g x f x =-则()g x 在[]0,1上单调增,因此()g x 在[]0,1上若有零点则必为惟一的一个零点又()()1100,11arctan110.110.80.10.1010104g g π=-<=--=->--=>由闭区间上连续函数的零点定理，()g x 在()0,1上确有零点，因此()g x 在()0,1上确有惟一零点，也即方程2201110xxt dt t =+⎰在()0,1内有且仅有一个实根.六.设2y x =定义在闭区间[0,1]上，t 是[0,1]上的任意一点，当t 为何值时，图中的阴影部分面积和为最小.阴影部分面积最小时，故当，，得：令阴影部分面积和为解： 2132)1( 41)21( 31)0( 210 0)( 24)( 3134 )31()31( )()()( 223123032122 0 22====⇒==='-='⇒+-=-+-=-+-=⎰⎰t S S S t t t S t t t S t t x t x x x t dxt x dx x t t S t t tt01t2x y =xy七．设0ab >，()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在(),,a b ξη∈，使得()2()f f abηηξ''=.解：()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则由拉格朗日定理，存在(),a b ξ∈，使得()()'()(1)f b f a f b aξ-=-由()f x 和()1g x x=在[],a b 上连续，在(),a b 内可导且()0g x '≠则由柯西定理，存在(),a b η∈使得2'()()()=-(2)111f f b f a b aηη--(1)式除以(2)式整理之后，就得到我们要证明的等式.。

一、填空题1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]L x y y ds +−=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ−−<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ．4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ．5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ． 二、选择题1、设222z x y ze ++=,则11x y dz===( ))(A 2(dx dy)−+ )(B 22(z 1)e (z 1)ez zdx dy −−+++ )(C 22dx dy +)(D 22dx dy −+2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（ ）drr F d D drr F d C drr F d B dr r F d A ),(2)(),()(),()(),()(cos 202cos 2022cos 20cos 200θθθθθθθθθπθππθππθπ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰−−3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z −+−==−++=−与平面2的位置关系是（ ） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π)(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）． （A ）0xdS ∑=⎰⎰（B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、设(,)sin xz f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂．四、求22(,)2f x y x y =−+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、计算二重积分：2DI y x d σ=−⎰⎰，其中:11,02D x y −≤≤≤≤．六、已知积分22(5())()x x Ly ye f x dx e f x dy −−−+⎰与路径无关,且6(0)5f =.求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy −−=−+⎰.七、计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdyI x y z ∑+−++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、求幂级数∑∞=−−−12112)1(n n n x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=−−−1112)1(n n n 的和．九、设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+−+∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解答一、填空题１. 28x y z ++=；２. 2π ；３. 22π；４. 12(cos sin )x y e c x c x −=+；５. （2，2，3）．二、选择题１.A ；２.C ；３.A ；４.D ；５.B ．三、解答：：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂ 2111122212222211[()][()]z x x f y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅−−+⋅+⋅−∂∂111222231.xf xyf f f y y''''''=+−−四、解答：（1）区域D 内部：''2020x yf x f y ⎧==⎪⎨=−=⎪⎩ 得点（0,0） (0,0)2f =（2）区域D 边界：222(,)(44)252f x y x x x =--+=- (11)x −≤≤ 得点±±(1,0) 及（0，2） (1,0)3f ±=，(0,2)2f ±=− 所以最大值是3，最小值是-2.五、解答：：设2212:11,2;:11,0,D x x y D x y x −≤≤≤≤−≤≤≤≤ 则12222d d d DD D I y x y x y x σσσ=−=−+−⎰⎰⎰⎰⎰⎰1222221212211()d ()d ()d ()d 225D D x xy x x y dx y x y dx y x yσσ−−=−+−=−−−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰六、解答：由已知得Q Px y∂∂=∂∂即 2222()()15()x x x e f x e f x e f x −−−'−+=−，2()3()e x f x f x '+=.332351()[dx c]e (e c)5dx dx x x x f x e e e −−⎰⎰=+=+⎰.将6(0)5f =代入得1c =.故231()5x x f x e e −=+,234461010110(e e )dy 3(e )55I dx e −−−=++=+⎰⎰七、解答：()()2232212I xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy a ∑=+−++⎰⎰ 记()()223212I xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑=+−++⎰⎰添加1:0z ∑= ()222x y a +≤ ，取下侧 则：111I ∑+∑∑=−⎰⎰⎰⎰又：()1222x y z dv ∑+∑Ω=++⎰⎰⎰⎰⎰224000sin ad d d ππθϕρϕρ=⎰⎰⎰ 525a π= 又：()111222xy y z dxdy xydxdy ∑∑∑=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 20xyD xydxdy =−=⎰⎰312125I I a a π∴==八、解答：12)1(1−−=−n a n n ,1lim 1==+∞→n n n a a R ,1±=x 时原级数为∑∞=−−−1112)1(n n n 收敛，故此幂级数的收敛域为[],11−。

桂林电子科技大学2005级高等数学AⅡ期末考试试题桂林电子科技大学高等数学AⅡ期末考试2005级一、填空题（4分＊6＝16分）1.过点且垂直于平面的直线方程为。

2.函数的全微分。

3.周期为2的函数，，且，，则＝。

4.微分方程的通解。

二、（7分＊2＝14分）1.设，求，2.求曲面在点处的切平面及法线方程。

三、（7分＊2＝14分）1.改变二次积分的积分次序，并计算积分值。

2.求由上半球面及上半锥面所围成的立体体积。

四、（7分＊3＝21分）1.计算对弧长的曲线积分，其中为连接及两点的直线段。

2.计算，其中为正向圆周。

3.计算，其中为球面的外侧。

五、（7分＊2＝14分）1.判定级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？2.求幂级数的收敛域。

六、（7分＊2＝14分）1.求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于。

2.已知方程的两边乘上后便成为全微分方程，试求出，并解此微分方程。

七、（7分）证明函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。

参考答案一、1. 2. 3.二、1. ，2.，在点处，法线方程，切平面方程三、1. ＝＝＝＝2.四、1. ＝2. ＝＝3. ＝＝＝五、1.绝对收敛2.R＝1六、1.是一阶线性方程，通解＝＝＝由，求得曲线方程为2.方程两边同乘，得，，由，有观察知，满足方程解微分方程得七、，求得驻点，，判别式在点处，＝2，且，有极大值，在点处，＝－2，无极值，。

05级高数(2下学期期末试卷A高数模拟题05级高数(2-3)下学期期末试题(A卷)专业____________ 姓名______________ 学号________________《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位”一,填空题(每题4分,共32分)1.若平面x 2y kx 1与平面y z 3成t4角,则k ______ 1/4u2t2. 曲线x 0ecosudu,y sint cost,z 1 ex 0y 1z 2112在t = 0处的切线方程为zyz zz xe xyz3. 方程确定隐函数z = f(x,y)则为____________e xyz14.交换dyfx,y dx的积分次序为_________________________ 5．已知L是圆周x2 y2 1,则L x y2 ds _________ 级数6. sin 2 ____________ 收敛n 11n n 1n7. 设幂级数anxn 0的收敛半径是2,则幂级数axnn 02n 1的收敛半径是8. 微分方程1 x2 y 1的通解是1y arctanx ln x2 1 c1x c2_______________________ 2二．计算题(每题7分,共63分),221．讨论函数f ( x, y ) = 22 x y 0, f ( 0 , 0 ) = 0x y在点（0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。

P。

330222u x y 2z2．求函数在点P0(1,1,1)处沿P0方向的方向导数，其中O为坐标原点。

n3．判别级数2n 的敛散性. P．5441 nn 1n2高数模拟题f1 ydx f1x f2 dy f2dz4．设u=f(xy,y z)，f(s,t)可微，求du.5．欲造一无盖长方形容器,已知其底部造价为3元/m2,让嬖旒畚1元/m2,现想用36元造一容积最大的容器,求它的尺寸.答：长宽为2M，高为3M。