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高等数学（本科少学时类型）同济第三、四版课后习题答案选解1第一章函数与极限1.1函数P.17习题1.11..005.0:01.0;05.0:1.0,222,1),,1(<=<=<<-<-∈δεδεεδδδx x U x 1..3.下列函数是否为同一函数？为什么？（1）2()2ln ()ln f x x x x j ==与；（2）()f x =()x x j =；（2）（3）()f x =与()g x x =；（4）()f x =与()sin g x x =；解：（1）否；因为定义域不同；（2）否；因为对应关系不同；（2）否；因为函数的定义域不同；（3）是；因为定义域和对应关系及值域都相同；（4）否；因为对应关系及值域都相同；4.求下列函数的定义域：（1）1y x =（2）2232x y x x =-+；（3）arcsin(3)y x =-；（4）1arctan y x =；（5）ln(1)y x =+；（6）1x y e =；解：（1）要使1y x=有意义，需使20,10x x ¹-³故函数的定义域为[-1,0)[(0,1].（2）要使2232x y x x =-+有意义，需使2320x x -+¹故函数的定义域为(-,-2)(-2,1)[1,+.) （3）要使arcsin(3)y x =-有意义，需使31x -£故函数的定义域为[2,4].（4）要使1arctan y x=有意义，需使30,0x x ->¹故函数的定义域为(-,0)(0,3].¥（5）要使ln(1)y x =+有意义，需使10x +>故函数的定义域为+).(1,-¥（6）要使1xy e =有意义，需使0x ≠故定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .5.6.7.8.9.10.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是非奇函数又非偶函数？（1）22(1)y x x =-；（2）233y x x =-；（3）(1)(1)y x x x =-+；（4）2x xa a y -+=；（5）2x xa a y --=；（6）sin cos 1y x x =-+；解：（1）按运算：偶函数与偶函数的和差积仍是偶函数；也可以按定义判定；（2）定义域对称，但()();()()f x f x f x f x -¹-¹-所以是非奇非偶函数；（3）按运算：奇函数与奇函数的积是偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数；所以是奇函数；也可以按定义判定；（4）定义域对称，()()f x f x -=所以函数是偶函数；（5）定义域对称，()()f x f x -=-所以函数是奇函数；（6）定义域对称，但()();()()f x f x f x f x -¹-¹-所以是非奇非偶函数；11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(,)l l -内的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数；两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
《高等数学》课程标准《高等数学》课程是本科非数学类各理科专业的重要专业基础课，在大学教育及高素质人才的培养过程中占有十分重要的地位。
随着时代的发展、科学的进步、经济的腾飞，数学科学已与自然科学、社会科学并列为三大基础科学，数学地位的巨大变化必将影响到高等数学课程在整个高等教育中的地位与作用。
同时，《高等数学》课程还担负着培养学生严谨的思维、求实的作风、创新的意识等任务。
因此，《高等数学》不仅要向学生传授数学知识，更要注重培养学生的数学修养。
但是，不同学科和专业对高等数学知识的需求不同，同时，为了满足我校学生将来考研的需要，根据专业需求的特点和考研《数学一》至《数学三》的要求，将《高等数学》课程划分为如下三个层次。
《高等数学I》（第一层次）一、课程说明：《高等数学I》由微积分、线性代数和概率论与数理统计三部分构成，本课程是物理教育专业和计算机等专业的一门必修的基础课程，也可供将来考研时需要考《数学一》的其它专业同学选修。
课程总学时为276学时，分四个学期行课，其中，第一学期78学时，4学分，第二学期90学时，5学分，第三学期54个学时，3学分，第四学期54个学时，3学分，共15学分。
1．参考专业：物理教育和计算机等专业。
2．课程类别：专业基础课3．参考教材与参考书目教材：1 《高等数学》第六版，同济大学高等数学教研室编，高等教育出版社，2007年。
2 居余马等编著，线性代数（第2版），北京，清华大学出版社，2002年9月第2版3 盛骤等，概率论与数理统计（第二版），北京：高等教育出版社，1989。
参考书目：1 四川大学数学系高等数学教研室编，高等数学（第一、二、三、四册），北京，高等教育出版社，1997。
2 同济大学应用数学系编，线性代数（第4版）北京，高等教育出版社，2003年7月。
3 高世泽，概率统计引论，重庆：重庆大学出版社，2000年。
4．课程教学方法与手段以教师讲授为主，学生自学为辅的教学方式进行教学，课堂上的教学以启发式的方式进行讲授，学生作适当的课内练习。
高等数学第3版教材高等数学是一门研究函数、极限、微分、积分等数学概念和方法的学科，是理工科学生必修的一门课程。
作为大学数学的一部分，高等数学的教材在不断更新和改进中，第3版教材是其中的一份。
教材特点高等数学第3版教材是一本综合性的教材，涵盖了高等数学的各个知识点和应用。
与前两版相比，第3版教材在内容上进行了更新和扩充，更加注重理论与实际应用的结合，同时更加注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
第3版教材的内容分为多个章节，每个章节都涵盖了一个或多个相关的数学概念和方法。
教材采用了逐步深入的方式，由基础概念引入，逐步展开，形成完整的数学体系。
每个章节都包括了理论知识的介绍、基本公式的推导以及大量的例题和习题，以便学生巩固和应用所学的知识。
在教学方法上，第3版教材注重启发式教学，通过引导学生主动思考和解决问题，提高学生的学习主动性和创造性。
教材还加入了一些趣味性的问题和案例，以增加学生的兴趣和动力。
教材内容丰富多样，包括但不限于以下几个方面：1. 数列与极限：介绍了数列的概念和性质，引入了极限的概念和计算方法，以及一些典型的极限问题，如无穷小量和无穷大量的比较等。
2. 无穷级数：介绍了级数的概念和判敛法则，包括正项级数、一般项级数以及幂级数等。
教材给出了一些常用的级数收敛和计算方法，以及级数应用于实际问题的案例。
3. 微分学：包括了函数的极限、连续性、可导性和微分中值定理等内容。
教材详细介绍了常见函数的导数计算方法，以及一些典型问题的求解方法。
4. 积分学：介绍了定积分和不定积分的概念、性质和计算方法。
教材还介绍了曲线的弧长、曲线旋转体的体积和曲线下面积等应用问题。
5. 多元函数微分学：包括了多元函数的偏导数、全微分以及多元函数的极值问题等。
教材给出了一些常见函数的偏导数计算方法，以及一些典型问题的求解方法。
6. 多元函数积分学：介绍了二重积分和三重积分的概念、性质和计算方法。
教材还介绍了曲面的面积和曲线围成的曲面的体积等应用问题。
1、求函数29x y -=的定义域 解：092≥-x解得：33≤≤-x2、求函数x x y 53++=的定义域 解:3+X>=0, 解得： X>=-3 X.>=05X>=0 X>=03函数)2)(3(-+=x x y 的定义域解：(X+3)(X-2)>=0 解得：X ≤-3，X ≥24函数213--=x x y 的定义域 解： 3X-1>=0 解得： X ≥31 2.,231><≤x x X-2≠0 X ≠25、求函数211x xy --=的定义域 解： X ≠0 解得: X ≠0 012≥-x 11≤≤-x6、求函数212--=x x y 的定义域解：022>--x x 解得;x<-1,x>27、求极限237135lim 424+-+-∞→x x x x x =5/7 12、求极限3711129lim 2436+-+-∞→x x x x x = ∞ 13、求极限3711127lim 2523+-+-∞→x x x x x =0 14、求极限xx x 1sinlim 0→=1 15、求极限x x x 1sin lim ∞→=∞16、求极限x x x )51(lim -∞→=e 5- 17、求极限x x x 10)31(lim -→=e 3-18、求极限x x x3)21(lim -∞→=e 6- 19、求极限xx x )1ln(lim 0+→ =1 20、求极限ax a x a x --→sin sin lim =cos a 21、、求极限)1311(lim 31x x x ---→=1- 22、5)(0='x f ，则h x f h x f h )()2(lim000-+→=10 23、3)2(='f ，则h f h f h )2()52(lim0--→=-15 24、函数x e y 5=，求y y ''',，)0(),0(y y '''y’=e x 55 y ’’ =e x 525y ’(0)=5 y ’’(0)=25 25、函数)13(cos 2+=x y ，求dy y ,'，y’=-6COS(3X+1)SIN(3X+1) dy= -6cos(3x+1)sin(3x+1)dx26、函数)1(sin 22+=x y ，求dy y ,'y’ =4XSIN(x 2+1)COS(x 2+1) dy=4xsin(x 2+1)cos(x^2+1)dx 27、函数)35(tan 22+=x y ，求dy y ,'y’=20xtan(x 25+3)sec^2(x 25+3) dy=20xtan(5x^2+3)sec^2(5x^2+3)dx 28、函数n x y =，求)1(+n yy’=nx^(n-1)y ’’=n(n-1)x^(n-2)y ’’’=n(n-1)(n-2)x^(n-3)y(4)=n(n-1)(n-2)(n-3)x^(n-4)...y(n)=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)…….1=n!y(n+1)=029、求由方程0333=-+xy y x 所确定的隐函数的导数dxdy x y dx dy y x 333322--+dx dy =0 3y 2dx dy -3x dx dy =3y-3x 2 x y dx dy y x 333322--==xy y x --2230、求由方程xy e xy =所确定的隐函数的导数dxdy e e e e e xyxy xy xy xy x x y y dx dy y y x x dxdy dxdy x y dx dy x y --=-=-+=+)()( 31、求由方程y xe y +=1所确定的隐函数的导数dxdy )1('x y dx dy dx dy x e ee y y y y +=+= 32、用对数求导法求0,sin >=x x y x 的导数。
)sin (cos )sin (cos sin cos sin sin xx Inx x x xInx y dx dy xxxInx y dx dyxInxIny x x +=+=+== 33、用对数求导法求)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数。
)41312111()4)(3()2)(1(21)4(21)3(21)2(21)1(21)4(21)3(21)2(21)1(21)4)(3()2)(1(-----+-----=-----+-=-----+-=----=x x x x x x x x dx dy x x x x y dx dyx In x In x In x In Iny x x x x InIny 34、求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 22所确定的函数的导数dx dy tdx dy 1= 35、求由参数方程⎩⎨⎧==t y t x cos sin 所确定的函数的导数dx dy x tt dx dy tan cos sin -=-= 36、求由参数方程⎩⎨⎧==2θθey e x 所确定的函数的导数dx dy e e dx dy θθθ22=37、求由参数方程⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 所确定的函数的导数dx dy tt dx dy cos 2sin 2-= 在3π=t 处的值，及曲线在该点的切线和法线方程。
4523)23(232123......4163)23(632121.23.63,32-=-=+=--=--=+-==-==x y x y x y x y y x k t k 切线方程时π38、判断函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=21210)(2x x x x x f 的连续性。
右极限故函数连续左极限=∴=∴==-++→→→→lim lim lim lim 111111_x x x x39、函数在一点连续是函数在该点可导的 充分非必要 条件，函数在一点可导是函数在该点连续的 充要 条件40、函数在一点可导是函数在该点可微的 充分非必要 条件。
41、求函数23122+--=x x x y 的间断点，并判断其类型。
是函数可去间断点是函数的间断点。
是函数没有定义，故12211,21,21,20)2)(1(21)2)(1()1)(1(lim 1=∴-=-+====∴≠≠∴≠---+=--+-=→x x x x x x x x x x x x x x x x x y x 42、求函数⎩⎨⎧>-≤-=1311x x x x y 的间断点，并判断其类型。
函数是跳跃间断点右极限左极限∴≠∴==-+→→0121lim lim x x46、函数⎩⎨⎧≥+<+=003)(2x k x x x x f 在0=x 连续，求k 的值。
.30)(3),0()()(3)3(0)()(0)()(03)(,000lim 0lim 022=∴====∴=+===+=<∴+=<-+→-→+-+k x x f k f f f f kk x f x f X x f x x x x x 处连续。
在时，即而是连续的。
时在是初等函数当47、函数⎩⎨⎧≥+<-=0202)(2x k x x x x f 在0=x 连续，求k 的值。
2)0()()(0)(2)2(0)()2(0)()(02)(00lim 0lim 02-=∴==∴=≡-=-==+=<∴-=-+→-→+-+k f f f x x f x f kk f x f x x x f x x x 处连续在右极限时当左极限是连续的。
时在是初等函数当 48、计算极限)112(lim 2x x x +-∞→=2 49、计算极限xx x arctan lim ∞→=0 50、计算极限 xx x 5sin lim 0→=5 51、计算极限 x x x 35sin lim 0→=35 52、计算极限x x x 3sin 5sin lim 0→3553、计算极限xx x 35tan lim 0→=35 54、计算极限32lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=e 6- 55、计算极限x x x 11lim 0-+→=21 56、计算极限2)11(lim x x x+∞→=e 21 57、计算极限122lim x x x x →∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭=1 58、计算极限3lim 1x x x x -→∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭=e1 59、计算极限313lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x =e 4 60、计算极限xx x 3tan tan lim2π→ 32cos 26cos 62sin 6sin (3(lim lim)3sec )sec lim22222====→→→xx x x x x x x x πππ解：原式61、计算极限xx x ln cot ln lim 0+→=-1 62、计算极限2112lim()11x x x →---=21 63、函数2arctan x y =，求y '。
x y x4'12+=64、函数2)(arcsin x y =，求dy y ,'dxxdy xx x y 22'1arcsin 21arcsin 2-=-= 65、函数x x e y 352-= ，求dy y ,'。
dxx x dy x x e e y x x3535'22)310()310(---=-= 66、求函数7186223---=x x x y 的单调区间和极值；拉格朗日中值定理。
61)3()(3)1()(.)(31--)(3,1-3,10'''2'3103,1.018126-===-=∞+∞∴>-<><<-<=-==--=f x f f x f x f x f x x y y y x y x x x x 极小值：极大值：为增函数），函数，），（，在（为减函数，）区间内，函数在（即即解得：令解： 67、 求函数xx y 82+= 的单调区间和极值。
8)2(:,8)2(:),2(),2,)2,2()(2,2082'2'-=-=+∞-∞--∴=-==-=f f x f x x y x y 极小值极大值区间内是减函数。
区间内是增函数，在（在，解得：令 68、 求函数)1ln(2x x y ++= 的单调区间。
区间内是单调递增在恒成立恒大于零),1()(0)(0)0(0111112)(11min '222''+∞-∴>∴==∴>+=++++=->∴>++x f x f f x xx f y x x x y x x x69、求函数)1ln(x x y +-= 的单调区间和极值。
