课标版2021高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第1讲曲线运动运动的合成与分解教案202005061226

2021年高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第1讲曲线运动运动的合成与分解学案20210806262微知识1 曲线运动1．曲线运动的速度特点质点做曲线运动时，在某一时刻的瞬时速度的方向确实是通过这一点的切线方向，因此曲线运动一定是变速运动，然而变速运动不一定是曲线运动。

2．做曲线运动的条件(1)从运动学角度说：物体的加速度的方向跟它的速度方向不在同一直线上，物体就做曲线运动。

(2)从动力学角度说：假如运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上，物体就做曲线运动。

专门提醒注意区分物体做曲线运动的条件和物体做匀变速运动的条件，假如物体所受合力为恒力，且合力与速度方向不共线，则物体做匀变速曲线运动。

微知识2 运动的合成与分解1．分运动和合运动一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动差不多上分运动，物体的实际运动确实是合运动。

2．运动的合成已知分运动求合运动，叫做运动的合成。

(1)同一条直线上的两分运动的合成：同向相加，反向相减。

(2)不在同一条直线上的两分运动合成时，遵循平行四边形定则。

3．运动的分解已知合运动求分运动，叫做运动的分解。

(1)运动的分解是运动的合成的逆过程。

(2)分解方法：依照运动的实际成效分解或正交分解。

一、思维辨析(判定正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

)1．曲线运动一定是变速运动。

(√)2．做曲线运动的物体受到的合外力一定是变化的。

(×)3．做曲线运动的物体所受的合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。

(√)4．只要两分运动是直线运动，合运动一定是直线运动。

(×)5．两分运动的时刻一定与它们合运动的时刻相等。

(√)6．合速度一定比分速度大。

(×)二、对点微练1．(曲线运动的性质)做曲线运动的物体( )A．速度一定改变B．动能一定改变C．加速度一定改变D．机械能一定改变解析物体做曲线运动时速度的方向一定变化，速度的大小不一定变化，A项正确；而动能是标量，大小与速度的平方成正比，与速度的方向无关，B项错误；若物体运动中所受合外力是恒力，则加速度不变，如平抛运动，C项错误；除重力外若物体不受其他外力或其他外力不做功，则其机械能不变，D项错误。

第四单元曲线运动万有引力与航天一、考情分析运动的合成与分解是解决曲线运动的基本思想和方法，高考着重考查的知识点有：曲线运动的特点、平抛运动和圆周运动的规律、万有引力与天体运动规律、宇宙速度与卫星运行及变轨问题．二、知识特点本单元概念多，规律多，高考题型比较全面，考查灵活，与实际生活、新科技等结合考查的应用性题型较多．三、复习方法(1)深刻理解向心加速度的概念，明确向心加速度的作用只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．(2)掌握圆周运动和平抛运动的规律，关注与其他知识点的综合应用．(3)牢牢地抓住天体运动的基本规律，建立天体运动的模型．复习万有引力定律的应用时分两条主线展开，一是万有引力等于天体运动的向心力，二是物体在地球表面的重力近似等于万有引力．第1讲曲线运动运动的合成与分解考纲考情核心素养►曲线运动Ⅰ►运动的合成与分解Ⅱ►曲线运动的速度特点、受力特点以及物体做曲线运动的条件．►合运动、分运动的相关概念，位移、速度和加速度的分解满足平行四边形定则.物理观念全国卷5年2考高考指数★★★☆☆►应用运动的合成与分解分析小船过河问题．►绳或杆相关联的物体速度的分解方法.科学思维知识点一曲线运动1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．如图所示的曲线运动，v A、v C的方向与v的方向相同，v B、v D的方向与v的方向相反．2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．3．曲线运动的条件知识点二运动的合成与分解1．基本概念(1)运动的合成：已知分运动求合运动．(2)运动的分解：已知合运动求分运动．2．分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解．3．遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．1．思考判断(1)合速度一定大于分速度．( ×)(2)运动的合成与分解的实质是对描述运动的物理量(位移、速度、加速度)的合成与分解．( √)(3)两个直线运动的合运动一定是直线运动．( ×)(4)做曲线运动的物体受到的合外力一定是变力．( ×)(5)做曲线运动的物体所受的合外力的方向一定指向轨迹的凹侧．( √)2．如图所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动．若在铁球运动的正前方A处或旁边B 处放一块磁铁，下列关于小铁球运动的说法正确的是( D )A．磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动B．磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动C．磁铁放在B处时，小铁球做匀速圆周运动D．磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动解析：磁铁放在A处时，小铁球受磁力作用向前加速，逐渐靠近磁铁，磁力增大，加速度增大，故A、B均错误；磁铁放在B处时，小铁球受到的磁力与速度方向不共线，做曲线运动，因磁力的大小和方向均随距离的变化而变化，故加速度大小是变化的，C错误，D正确．3．(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目．如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响．下列说法中正确的是( BC )A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害C．运动员下落时间与风力无关D．运动员着地速度与风力无关解析：水平方向的风力对竖直方向的运动没有影响，运动员下落时间与风力无关．无风时，运动员在水平方向速度为零，有风时，运动员在水平方向上因风力作用做加速运动，风力越大，着地时水平方向速度越大，着地速度也越大，故B、C正确，A、D错误．4．内壁光滑的牛顿管被抽成真空，现让牛顿管竖直倒立，如图所示，同时水平向右匀速移动，则管中羽毛的运动轨迹可能是图中的( C )解析：羽毛在水平方向做匀速运动，在竖直方向做自由落体运动，加速度方向向下，根据合力方向指向轨迹曲线的凹侧可知，羽毛的运动轨迹可能是C.5．(多选)一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则( BC )A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同D．质点单位时间内速率的变化量总是不变解析：质点一开始做匀速直线运动，处于平衡状态，施加恒力后，则该质点所受的合力为该恒力．若该恒力方向与质点原运动方向不共线，则质点做曲线运动，此情况下质点速度方向时刻与恒力方向不同，A项错误；若F的方向某一时刻与质点运动方向垂直，之后质点做曲线运动，力与运动方向之间的夹角会发生变化，例如平抛运动，B项正确；由牛顿第二定律可知，质点加速度方向与其所受合力方向相同，C项正确；根据加速度的定义，相等时间内速度变化量相同，速率变化量不一定相同，D项错误．考点1 曲线运动性质、轨迹的判断1．运动轨迹的判断(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动．(2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间．2．速率变化的判断3．合运动的性质的判断合运动的性质由合加速度的特点决定．(1)根据合加速度是否恒定判定合运动的性质：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动．(2)根据合加速度的方向与合初速度的方向关系判定合运动的轨迹：若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动．1．一个质点受两个互成锐角的恒力F 1和F 2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F 1突然增大到F 1＋ΔF ，则质点以后( B )A ．继续做匀变速直线运动B ．在相等时间内速度的变化一定相等C ．可能做匀速直线运动D ．可能做非匀变速曲线运动解析：F 1、F 2为恒力，质点从静止开始做匀加速直线运动，F 1突变后仍为恒力，合力仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再共线，所以质点将做匀变速曲线运动，故A 、D 错误；由加速度的定义式a ＝Δv Δt知，在相等时间Δt 内，Δv ＝a Δt 一定相等，故B 正确；做匀速直线运动的条件是F 合＝0，所以质点不可能做匀速直线运动，故C 错误．2.如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针转动)．某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( C )解析：因为做曲线运动的物体所受的合力要指向轨迹凹侧，圆盘转速不断增大，且橡皮块仍相对圆盘静止，故橡皮块所受的合力其分力一是指向圆心充当向心力，二是与运动的方向相同，故正确答案为C.3．如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是( A )A．质点经过C点的速率比D点的大B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°C．质点经过D点时的加速度比B点的大D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小解析：质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，C错误；由于在D点速度方向与加速度方向垂直，则在A、B、C点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，所以质点由A到B到C 到D速率减小，所以C点速率比D点的大，A正确，B错误；质点由B到E的过程中，加速度方向与速度方向的夹角一直减小，D错误．考点2 运动合成与分解1．分运动与合运动的关系等时性各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)等效性各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果独立性一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响2.两个直线运动的合运动性质的判断(不共线)分运动合运动两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动(续表)两个初速度不为零的匀变速直线运动若v0合与a合共线，则合运动为匀变速直线运动若v0合与a合不共线，则合运动为匀变速曲线运动1.在光滑无摩擦的水平面上有一冰球以速度v0沿直线匀速从a点运动到b点，忽略空气阻力，如图为俯视图．当冰球运动到b点时受到图示中黑箭头方向的快速一击，这之后冰球有可能沿如下哪一条轨迹运动( B )解析：当冰球运动到b点时受到图示中黑箭头方向的快速一击，由动量定理可知瞬间产生与ab垂直的速度，与原来ab方向的速度合成后仍然做匀速直线运动，故B正确，A、C、D 错误．2．根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置．但实际上，赤道上方200 m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm处．这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比．现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球( D )A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零C．落地点在抛出点东侧D．落地点在抛出点西侧解析：小球在上升过程中，水平方向的“力”向西，竖直方向受到竖直向下的重力，当小球运动到最高点时竖直方向的速度为零，由水平方向小球受到的“力”与竖直方向的速度大小成正比知，到最高点时小球在水平方向上受到的力为零，故水平方向的加速度为零，由于小球在上升过程中水平方向的“力”方向不变，故到最高点时小球在水平方向的速度最大，不为零，选项A、B错误；小球在下落过程中，水平方向的“力”向东，则小球在水平方向上做减速运动，由对称性知，小球返回地面时水平方向的速度为零，故小球落在抛出点的西侧，选项C错误，D正确．3．(多选)在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图甲、乙所示，下列说法中正确的是( AD )- 11 -A ．前2 s 内物体沿x 轴做匀加速直线运动B ．后2 s 内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y 轴方向C ．4 s 末物体坐标为(4 m,4 m)D ．4 s 末物体坐标为(6 m,2 m)解析：前2 s 内，物体在y 轴方向没有速度，由题图甲可以看出，物体沿x 轴方向做匀加速直线运动，A 正确；在后2 s 内，物体在x 轴方向做匀速直线运动，y 轴方向做匀加速直线运动，根据运动的合成知，物体做匀加速曲线运动，加速度沿y 轴方向，B 错误；在前2 s内，物体在x 轴方向的位移为x 1＝v x 2t ＝22×2 m＝2 m ．在后2 s 内，物体在x 轴方向的位移为x 2＝v x t ＝2×2 m＝4 m ，y 轴方向位移为y ＝v y 2t ＝22×2 m＝2 m ，则4 s 末物体的坐标为(6 m,2 m)，C 错误，D 正确．名师点睛运动的合成与分解是研究曲线运动规律最基本的方法，在解决实际物体运动的合成与分解问题时，一定要注意合运动与分运动具有等时性，且分运动相互独立，但每一个运动的变化都会影响到合运动的效果.。

2021年度高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第1讲曲线运动运动的合成与分解学案一、曲线运动1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，因此曲线运动一定是变速运动.3.运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上.4.合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧.自测1(多选)一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是( )A.质点速度方向时刻在改变B.质点加速度方向时刻在改变C.质点速度方向一定与加速度方向相同D.质点速度方向一定沿曲线的切线方向答案AD自测2已知物体运动的初速度v0的方向及恒力F的方向如下列各图所示，则图中运动轨迹可能正确的是( )答案 B自测3(多选)关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是( )A.它所受的合外力一定不为零B.它所受的合外力一定是变力C.其速度能够保持不变D.其速度的大小能够保持不变答案AD二、运动的合成与分解1.遵循的法则位移、速度、加速度差不多上矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则. 2.合运动与分运动的关系(1)等时性：合运动和分运动经历的时刻相等，即同时开始、同时进行、同时停止. (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的阻碍. (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的成效. 3.运动性质的判定⎩⎨⎧加速度或合外力⎩⎪⎨⎪⎧变化：非匀变速运动不变：匀变速运动加速度或合外力方向与速度方向⎩⎪⎨⎪⎧共线：直线运动不共线：曲线运动4.两个直线运动的合运动性质的判定标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动 假如v 合与a 合共线，为匀变速直线运动 假如v 合与a 合不共线，为匀变速曲线运动自测4 教材P7第2题改编(多选)跳伞表演是人们普遍喜爱的观赏性体育项目，如图1所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的阻碍，下列说法中正确的是( )图1A.风力越大，运动员下落时刻越长，运动员可完成更多的动作B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成损害C.运动员下落时刻与风力无关D.运动员着地速度与风力无关 答案 BC命题点一曲线运动的条件和特点1.条件物体受到的合外力方向与速度方向始终不共线.2.特点(1)运动学特点：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动.(2)动力学特点：由于做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动的条件).合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小.(3)轨迹特点：曲线运动的轨迹始终夹在合外力的方向与速度的方向之间，而且向合外力的一侧弯曲.(4)能量特点：假如物体所受的合外力始终和物体的速度垂直，则合外力对物体不做功，物体的动能不变；若合外力不与物体的速度方向垂直，则合外力对物体做功，物体的动能发生变化.例1下列说法正确的是( )A.做曲线运动的物体的速度一定变化B.速度变化的运动一定是曲线运动C.加速度恒定的运动不可能是曲线运动D.加速度变化的运动一定是曲线运动答案 A解析做曲线运动的物体，速度方向一定改变，选项A正确；速度大小改变而方向不变的运动是直线运动，选项B错误；平抛运动是加速度恒定的曲线运动，选项C错误；加速度大小改变，但加速度方向与速度方向始终相同，这种运动是直线运动，选项D错误.例2一个物体在光滑水平面上沿曲线MN运动，如图2所示，其中A点是曲线上的一点，虚线1、2分别是过A点的切线和法线，已知该过程中物体所受的合外力是恒力，则当物体运动到A点时，合外力的方向可能是( )图2A.沿F1或F5的方向B.沿F2或F4的方向C.沿F2的方向D.不在MN曲线所确定的水平面内答案 C变式1如图所示，“嫦娥号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐步减小，在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的( )答案 C命题点二运动的合成与分解1.分析运动的合成与分解问题时，一样情形下按运动成效进行分解.2.要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解.3.两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点.例3(2020·新课标全国Ⅱ·16)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道通过调整再进入地球同步轨道.当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行.已知同步卫星的围绕速度约为3.1×103m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103m/s，现在卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图3所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )图3A.西偏北方向，1.9×103m/sB.东偏南方向，1.9×103m/sC.西偏北方向，2.7×103m/sD.东偏南方向，2.7×103m/s答案 B解析附加速度Δv与卫星飞经赤道上空时的速度v2及同步卫星的围绕速度v1的矢量关系如图所示.由余弦定理可知，Δv＝v21＋v22－2v1v2cos30°≈1.9×103m/s，方向为东偏南方向，故B正确，A、C、D错误.变式2(2020·广东理综·14)如图4所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )图4A.帆船朝正东方向航行，速度大小为vB.帆船朝正西方向航行，速度大小为vC.帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为2vD.帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为2v答案 D解析以帆板为参照物，帆船具有正东方向的速度v和正北方向的速度v，因此帆船相对帆板的速度v相对＝2v，方向为北偏东45°，D正确.变式3(多选)如图5甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图象如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图象如图丙所示.若以地面为参考系，下列说法正确的是( )图5A.猴子的运动轨迹为直线B.猴子在2s内做匀变速曲线运动C.t＝0时猴子的速度大小为8m/sD.猴子在2s内的加速度大小为4m/s2答案BD解析猴子在竖直方向做初速度为8m/s、加速度为4 m/s2的匀减速运动，水平方向做速度大小为4m/s的匀速运动，其合运动为曲线运动，故猴子在2s内做匀变速曲线运动，选项A错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝v0x2＋v0y2＝42＋82m/s＝45m/s，选项C错误；猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2，选项D正确.命题点三小船渡河模型1.船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.2.三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.3.两类问题、三种情形渡河时刻最短当船头方向垂直河岸时，渡河时刻最短，最短时刻t min＝dv船渡河位移最短假如v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d假如v船<v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于dv水v船4.分析思路例4 小船在200m 宽的河中横渡，水流速度为2m/s ，船在静水中的航速是4 m/s ，求： (1)若小船的船头始终正对对岸行驶，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达河的正对岸，应如何航行？历时多长？ (3)小船渡河的最短时刻为多长？(4)若水流速度是5m/s ，船在静水中的速度是3 m/s ，则如何样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？ 答案 见解析解析 (1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动.因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时刻等于垂直于河岸方向的分运动的时刻，即t ＝d v 船＝2004s ＝50s 小船沿水流方向的位移x 水＝v 水t ＝2×50m＝100m 即船将在正对岸下游100m 处靠岸.(2)要使小船到达正对岸，合速度v 应垂直于河岸，如图甲所示，则cos θ＝v 水v 船＝24＝12，故θ＝60° 即船的航向与上游河岸成60°角，渡河时刻t ＝d v ＝2004sin60°s ＝10033s. (3)考虑一样情形，设船头与上游河岸成任意角β，如图乙所示.船渡河的时刻取决于垂直于河岸方向的分速度v ⊥＝v 船sin β，故小船渡河的时刻为t ＝dv 船sin β.当β＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时刻最短，最短时刻t min ＝50s.(4)因为v 船＝3m/s<v 水＝5 m/s ，因此船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游.如图丙所示，设船头(v 船)与上游河岸成θ角，合速度v 与下游河岸成α角，能够看出：α角越大，船漂向下游的距离x ′越短.以v 水的矢尖为圆心，以v 船的大小为半径画圆，当合速度v 与圆相切时，α角最大.则cos θ＝v 船v 水＝35，故船头与上游河岸的夹角θ＝53° 又x ′d ＝v v 船＝v 水2－v 船2v 船，代入数据解得x ′≈267m. 变式4 (2020·云南保山模拟)如图6所示，一艘轮船正在以4m/s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v 1＝3 m/s ，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同.某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消逝，轮船相关于水的速度逐步减小，但船头方向始终未发生变化.求：图6(1)发动机未熄火时，轮船相关于静水行驶的速度大小. (2)发动机熄火后，轮船相关于河岸速度的最小值. 答案 (1)5 m/s (2)2.4 m/s解析 (1)发动机未熄火时，轮船运动速度v 与水流速度v 1方向垂直，如图所示.故现在轮船相关于静水的速度v 2的大小为v 2＝v 2＋v 21＝42＋32m/s ＝5 m/s.(2)由(1)中，熄火前，设v 与v 2的夹角为θ，则cos θ＝vv 2＝0.8，轮船的牵引力沿v 2的方向，水的作用力与v 2的方向相反，熄火后，牵引力消逝，在水的作用力作用下，v 2逐步减小，但其方向不变，当v 2与v 1的矢量和与v 2垂直时，轮船的合速度最小，α＝θ，则v min ＝v 1cos α＝3×0.8m/s＝2.4 m/s.命题点四 绳(杆)端速度分解模型1.模型特点沿绳(杆)方向的速度重量大小相等. 2.思路与方法合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v分速度→⎩⎪⎨⎪⎧其一：沿绳杆的速度v 1其二：与绳杆垂直的分速度v 2方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则. 3.解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个重量，依照沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图7所示.图7模型1 绳端速度分解模型例5 如图8所示，人沿平直的河岸以速度v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行.当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为( )图8A.v sin αB.vsin αC.v cos αD.vcos α答案 C解析 将人的运动分解为沿绳方向的分运动(分速度为v 1)和与绳垂直方向的分运动(分速度为v 2)，如图所示.船的速率等于沿绳方向的分速度v 1＝v cos α，选项C 正确.变式5 A 、B 两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A 以v 1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图9所示，物体B 的运动速度v B 为(绳始终有拉力)( )图9A.v 1sin αsin βB.v 1cos αsin βC.v 1sin αcos βD.v 1cos αcos β答案 D解析 设物体B 的运动速度为v B ，速度分解如图甲所示，则有v B ＝v 绳Bcos β①物体A 的合运动对应的速度为v 1，它的速度分解如图乙所示，则有v 绳A ＝v 1cos α ② 由于对应同一根绳，其长度不变，故v 绳B ＝v 绳A③联立①②③式解得v B ＝v 1cos αcos β，选项D 正确. 模型2 杆端速度分解模型例6 如图10所示，AB 杆以恒定角速度绕A 点转动，并带动套在光滑水平杆OC 上的质量为M 的小环运动，运动开始时，AB 杆在竖直位置，则小环M 的速度将( )图10A.逐步增大B.先减小后增大C.先增大后减小D.逐步减小答案 A解析 设通过时刻t ，∠OAB ＝ωt ，则AM 的长度为h cos ωt ，则AB 杆上小环M 绕A 点运动的线速度v ＝ω·h cos ωt.将小环M 的速度沿AB 杆方向和垂直于AB 杆方向分解，垂直于AB 杆方向的分速度大小等于小环M 绕A 点运动的线速度v ，则小环M 的速度v ′＝v cos ωt＝ωh cos 2ωt，随着时刻的延长，小环的速度将不断变大，故A 正确，B 、C 、D 错误. 变式6 (2020·吉林公主岭调研)一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B (可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图11所示，当轻杆到达位置2时，球A 与球形容器球心等高，其速度大小为v 1，已知现在轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B 的速度大小为v 2，则( )图11A.v 2＝12v 1B.v 2＝2v 1C.v 2＝v 1D.v 2＝3v 1 答案 C变式7 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有两个小球a 和b ，小球a 、b 间用一细直棒相连，如图12所示.当细直棒与竖直杆夹角为θ时，求小球a 、b 实际速度大小之比.图12答案 tan θ解析 依照速度的分解特点，可作出两小球的速度关系如图所示.由图中几何关系可得，a 、b 沿棒方向的分速度分别为v a cos θ和v b sin θ，依照“关联速度”的特点可知，两小球沿棒的分速度大小相等，即有v a cos θ＝v b sin θ，解得：v av b＝tan θ.。

第1节 曲线运动 运动的合成与分解【自我诊断】判一判(1)曲线运动的物体速度大小一定发生变化．( )(2)曲线运动的物体加速度一定是变化的．( )(3)曲线运动一定是变速运动．( )(4)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等．( )(5)合运动的速度一定大于分运动的速度．( )(6)两个直线运动的合运动一定是直线运动．( )提示：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×做一做(2020·金华联考)春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图甲所示，孔明灯在竖直Oy 方向做匀加速运动，在水平Ox 方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的()A ．直线OAB ．曲线OBC ．曲线OCD ．曲线OD【基础梳理】提示：切线 方向 变速 不在同一条直线上 不在同一条直线上 实际 平行四边形提示：D曲线运动【题组过关】1．(2020·杭州质检)如图，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图．已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是( )A．C点的速率小于B点的速率B．A点的加速度比C点的加速度大C．C点的速率大于B点的速率D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大解析：选C.物体做匀变速曲线运动，B到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，C点的速率比B点速率大，故A错误，C正确；物体做匀变速曲线运动，则加速度不变，所以物体经过C点时的加速度与A点相同，故B错误；若物体从A运动到C，物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，故D错误．2．(多选)(2020·宁波月考)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力F x和沿y轴正方向的恒力F y，则( )A．因为有F x，质点一定做曲线运动B．如果F y＜F x，质点向y轴一侧做曲线运动C．如果F y＝F x tan α，质点做直线运动D．如果F x＞F y cot α，质点向x轴一侧做曲线运动解析：选CD.如果F x、F y二力的合力沿v0方向，即F y＝F x tan α，则质点做直线运动，选项A错误，C正确；若F x＞F y cot α，则合力方向在v0与x轴正方向之间，则轨迹向x轴一侧弯曲而做曲线运动，若F x＜F y cot α，则合力方向在v0与y轴之间，所以运动轨迹必向y轴一侧弯曲而做曲线运动，因不知α的大小，所以只凭F x、F y的大小不能确定F合是偏向x轴还是y轴，选项B错误，D正确．运动的合成与分解【题组过关】1．对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是( )A ．合运动的速度大于两个分运动的速度B ．合运动的速度一定大于某一个分运动的速度C ．合运动的方向就是物体实际运动的方向D ．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小解析：选C.根据平行四边形定则，合速度的大小和方向可由平行四边形的对角线表示，而两邻边表示两个分速度，由几何关系知，两邻边和对角线的长短关系因两邻边的夹角不同而不同，当两邻边长短不变，而夹角改变时，对角线的长短也将发生改变，即合速度也将变化，故A 、B 、D 错误，C 正确．2．(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，现用一支铅笔贴着细线的左侧水平向右以速度v 匀速移动，运动过程中保持铅笔的高度不变，悬挂橡皮的那段细线保持竖直，1．物体做曲线运动的条件与轨迹分析曲线运动的特点 曲线运动的条件 内容 物体在某一点的速度沿曲线上该点的切线方向物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上 深入 理解 (1)速度方向时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动(2)速度大小可以不变，相应的动能就不变，如匀速圆周运动 (3)加速度可以是不变的，即物体做匀变速曲线运动，如平抛运动(4)加速度可以是变化的，即物体做非匀变速曲线运动，如匀速圆周运动 (1)合力指向曲线的凹侧，所以合力与速度分居曲线两侧 (2)合力可以是不变的，如平抛运动中物体所受合力为重力，大小、方向都不变(3)合力可以是变化的，如匀速圆周运动中物体所受合力为向心力，方向时刻在变化间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．3．速率变化情况判断(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，速率增大；(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，速率减小；(3)当合力方向与速度方向垂直时，速率不变．则在铅笔未碰到橡皮前，橡皮的运动情况是( )A ．橡皮在水平方向上做匀速运动B ．橡皮在竖直方向上做加速运动C ．橡皮的运动轨迹是一条直线D ．橡皮在图示虚线位置时的速度大小为v cos 2θ＋1解析：选AB.悬挂橡皮的细线一直保持竖直，说明橡皮水平方向具有和铅笔一样的速度，A 正确；在竖直方向上，橡皮的速度等于细线收缩的速度，把铅笔与细线接触的地方的速度沿细线方向和垂直细线方向分解，沿细线方向的分速度v 1＝v sin θ，θ增大，沿细线方向的分速度增大，B 正确；橡皮的加速度向上，与初速度不共线，所以做曲线运动，C 错误；橡皮在题图虚线位置时的速度v t ＝v 21＋v 2＝v sin 2θ＋1，D 错误．1．合运动的性质判断(1)加速度(或合外力)⎩⎪⎨⎪⎧变化：变加速运动不变：匀变速运动 (2)加速度(或合外力)与速度方向⎩⎪⎨⎪⎧共线：直线运动不共线：曲线运动 2．两个直线运动的合运动性质的判断 两个互成角度的分运动合运动的性质 两个匀速直线运动匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动如果v 合与a 合不共线，为匀变速曲线运动运动分解中的两类模型【知识提炼】一、小船渡河模型1．模型特点：两个分运动和合运动都是匀速直线运动，其中一个分运动的速度大小、方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，研究其速度方向不同时对合运动的影响．这样的运动系统可看做小船渡河模型．2．模型分析(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)．(3)两个极值①过河时间最短：v 1⊥v 2，t min ＝d v 1(d 为河宽)．②过河位移最小：v ⊥v 2(前提v 1＞v 2)，如图甲所示，此时x min ＝d ，船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v 2v 1；v 1⊥v (前提v 1＜v 2)，如图乙所示，过河最小位移为x min ＝d sin α＝v 2v 1d . 二、绳(杆)端速度分解模型1．模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．2．模型分析(1)合运动→绳拉物体的实际运动速度v(2)分运动→⎩⎪⎨⎪⎧其一：沿绳（或杆）的分速度v 1其二：与绳（或杆）垂直的分速度v 2 3．解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见实例如下：【典题例析】(多选)如图所示，做匀速直线运动的小车A 通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B ，设重物和小车速度的大小分别为v B 、v A ，则( )A ．v A ＞v BB ．v A ＜v BC ．绳的拉力等于B 的重力D ．绳的拉力大于B 的重力[审题指导] (1)重物B 沿绳方向运动，速度与绳速相等，小车速度与绳不在一条直线上，车沿绳方向的分速度与绳速相等；(2)小车匀速运动，B 是否匀速上升，需根据v B 的表达式分析．[解析] 小车A 向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知v B ＝v A cosθ，则v B ＜v A ，小车向左运动的过程中θ角减小，v B 增大，B 向上做加速运动，故绳的拉力大于B 的重力．故选项A 、D 正确．[答案] AD【题组过关】考向1 小船渡河问题1．(多选)一条河宽100 m ，船在静水中的速度为4 m/s ，水流速度是5 m/s ，则( )A ．该船能垂直河岸横渡到对岸B ．当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短C ．当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，是100 mD ．该船渡到对岸时，船沿岸方向的位移可能小于100 m解析：选BD.据题意，由于船速为v 1＝4 m/s ，而水速为v 2＝5 m/s ，船速小于水速，则无论船头指向哪个方向，都不可能使船垂直驶向对岸，A 选项错误；据t ＝L v 1sin θ(θ为船头指向与水流方向的夹角)，知道使t 最小需要使sin θ 最大，即使船头与河岸垂直，B 选项正确；要使船的渡河位移最短，需要使船速方向与合运动方向垂直，则有合速度为v ＝3 m/s ，渡河时间为t ＝L 35v 1＝1253 s ，则船的合位移为vt ＝125 m ，C 选项错误；船的渡河位移最小时，船沿岸方向的位移为：⎝⎛⎭⎪⎫v 2－45v 1t ＝75 m ，D 选项正确． 考向2 关联速度问题2．(2020·杭州调研)如图所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A 和B ，两球的质量均为m ，两球半径忽略不计，杆AB 的长度为l ，现将杆AB 竖直靠放在竖直墙上，轻轻振动小球B，使小球B在水平地面上由静止向右运动，求当A球沿墙下滑距离为l2时A、B两球的速度v A和v B的大小．(不计一切摩擦)解析：A、B两球速度的分解情况如图所示，由题意知，θ＝30°，由运动的合成与分解得v A sin θ＝v B cos θ①又A、B组成的系统机械能守恒，所以mgl2＝12mv2A＋12mv2B②由①②解得v A＝123glv B＝12gl.答案：123gl12gl[随堂检测]1．做曲线运动的物体所受合外力突然消失后，物体将( )A．立即停止运动1．求解小船渡河问题的方法求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移．无论哪类都必须明确以下三点：(1)正确区分分运动和合运动．在船的航行方向也就是船头指向方向的运动，是分运动；船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线．(2)运动分解的基本方法是按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解．(3)渡河时间只与船垂直河岸的分速度有关，与水流速度无关．2．解决绳(杆)端速度分解问题的技巧(1)明确分解谁——分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度．(2)知道如何分解——沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向分解．(3)求解依据——因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．B ．沿原路返回出发点C ．沿速度方向前进，但速度逐渐变小直至停下D ．保持匀速直线运动解析：选D.由牛顿第一定律可得，当外力全部消失时，物体将保持原来的运动状态，因物体原来是运动的，则合外力消失后，物体将保持合外力消失时的速度沿直线运动下去．2.如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE 匀速运动．现从t ＝0时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动，甲启动后t 1时刻，乘客看到雨滴从B 处离开车窗，乙启动后t 2时刻，乘客看到雨滴从F 处离开车窗，F 为AB 中点，则t 1∶t 2为( )A ．2∶1B ．1∶ 2C ．1∶ 3D ．1∶(2－1)解析：选A.由题意可知，在乘客看来，雨滴在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向做匀加速直线运动，因分运动与合运动具有等时性，则t 1∶t 2＝AB v ∶AF v＝2∶1.3．(2020·绍兴质检)一快艇从离岸边100 m 远的河中向岸边行驶，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，河水流动的速度图象如图乙所示，则( )A ．快艇的运动轨迹一定为直线B ．快艇的运动轨迹可能为曲线，也可能为直线C ．快艇到达岸边的最短时间为20 sD ．快艇以最短时间过河时经过的位移为100 m解析：选A.快艇在静水中做匀速直线运动，河水流动速度为匀速，故无论快艇向哪个方向行驶，只要方向恒定，其轨迹必为直线；快艇的实际位移为合位移，故A 正确，B 错误；快艇到达岸边最快的办法为船头垂直于河岸行驶，最短时间为t ＝1004s ＝25 s ，故C 错误；快艇以最短时间过河时，合速度为5 m/s ，故经过的位移s ＝5×25 m ＝125 m ，故D 错误．[课后达标]一、选择题1．如图所示，舰载机“歼－15”沿辽宁号夹板曲线MN 向上爬升，速度逐渐增大．下列画出表示舰载机受到合力的四种方向中可能正确的是( )答案：B2．(2020·舟山质检)下列说法中正确的是( )A．抛出的石子在空中的运动一定是曲线运动B．让撑开的带有水的伞绕着伞柄旋转(伞柄竖直)，伞边缘上的水滴离开伞后做曲线运动C．水平飞行的飞机上跳出的跳伞运动员，在空中的运动是直线运动D．火箭发射时，竖直上升阶段也是曲线运动答案：B3．如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )A．帆船朝正东方向航行，速度大小为vB．帆船朝正西方向航行，速度大小为vC．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为2vD．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为2v答案：D4.(2020·嘉兴质检)如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是( )A．从A到B速率逐渐增大B．D点的速率比C点的速率大C．A点的加速度比D点的加速度大D．A点的加速度与速度的夹角小于90°解析：选B.质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，选项C错误；由于在B点速度方向与加速度方向垂直，则在D 点、C 点时速度方向与加速度方向的夹角为锐角，质点由C 到D 速率增大，选项B 正确；A 点的加速度方向与速度方向的夹角为钝角，选项D 错误；由于从A 到B 的过程中速度方向与加速度方向的夹角为钝角，合外力为阻力，所以速率不断减小，A 错误．5．如图所示，从广州飞往上海的波音737航班于上午10点到达上海浦东机场．若飞机在降落开始时的水平分速度为60 m/s ，竖直分速度为 6 m/s ，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s 2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s 2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )A ．飞机的运动轨迹为曲线B ．经20 s 飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等C ．在第20 s 内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等D ．飞机在第20 s 内，水平方向的平均速度为21 m/s解析：选D.飞机初速度大小为602＋62 m/s ，与水平方向夹角为θ，有tan θ＝660，飞机合加速度大小为22＋0.22 m/s 2，与水平方向夹角为α，有tan α＝0.22，所以初速度的方向与合加速度的方向共线，故飞机的运动轨迹为直线，A 错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s 末的水平分速度为20 m/s ，竖直方向的分速度为2 m/s ，B 错误；飞机竖直方向的分速度和水平方向的分速度不相等，故水平方向的位移和竖直方向的位移不可能相等，故C 错误；飞机在第20 s 内，x 1＝v x t 1－12a 1t 21＝800 m ；飞机在前19 s 内，x 2＝v x t 2－12a 2t 22＝779 m ；v ＝Δx Δt＝21 m/s ，D 正确． 6．(2020·宁波月考)某电视台举办了一期群众娱乐节目，其中有一个环节是让群众演员站在一个旋转较快的大平台的边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球．如果群众演员相对平台静止，则下面各俯视图中的篮球可能被投入球筐的是(图中箭头指向表示投篮方向)( )答案：B7．如图所示，塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A ，小车下装有吊着物体B 的吊钩，在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速向右运动的同时，吊钩竖直向上(设为正方向)的运动规律为d＝H－2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中d为A、B之间的距离，H为吊臂离地面的高度)，则物体( )A．做加速度大小、方向均变化的曲线运动B．做速度增大的曲线运动，加速度为4 m/s2C．受到的合力竖直向上，加速度为－4 m/s2D．受到的合力向上偏右，加速度大于4 m/s2解析：选B.物体B参与水平方向的匀速运动和竖直向上的匀加速运动，加速度的大小为4 m/s2，方向竖直向上，加速度不变，合运动为曲线运动，速度一直增大，B正确．8．(2020·温州质检)如图所示，一个固定汽缸的活塞通过两端有转轴的杆AB与圆盘边缘连接，半径为R的圆盘绕固定转动轴O点以角速度ω逆时针匀速转动，形成活塞水平左右振动．在图示位置，杆与水平线AO夹角为θ，AO与BO垂直，则此时活塞速度为( )A．ωR B．ωR cos θC．ωR cot θD．ωR tan θ解析：选A.由图示位置转过90°的过程中，由图可知，B点右移，带动活塞右移，在图示位置时，B点的合速度v B＝ωR，沿切线方向；则沿AB杆的分速度为v1＝v Bcos θ；而在A点沿汽缸方向的分量v2＝v1cos θ；故活塞的速度为ωR，选项A正确．9．(多选)(2020·金华调研)质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是( )A．质点的初速度为5 m/sB．质点所受的合外力为3 N，做匀加速曲线运动C ．2 s 末质点速度大小为6 m/sD ．2 s 内质点的位移大小约为12 m解析：选ABD.由x 方向的速度图象可知，在x 方向的加速度为1.5 m/s 2，受力F x ＝3 N ，由y 方向的位移图象可知在y 方向做匀速直线运动，速度为v y ＝4 m/s ，受力F y ＝0.因此质点的初速度为5 m/s ，A 选项正确；受到的合外力为3 N ，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，B 选项正确；2 s 末质点速度应该为v ＝62＋42m/s ＝213 m/s ，C 选项错误；2 s 内水平方向上位移大小x ＝v x t ＋12at 2＝9 m ，竖直方向上位移大小y ＝8 m ，合位移大小l ＝x 2＋y 2＝145 m ≈12 m ，D 选项正确．10．(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m ，水的阻力恒为f ，当轻绳与水平面的夹角为θ时，人的速度为v ，人的拉力为F (不计滑轮与绳之间的摩擦)，则以下说法正确的是( )A ．船的速度为vcos θB ．船的速度为v sin θC ．船的加速度为F cos θ－fm D ．船的加速度为F －fm解析：选AC.船运动的速度是沿绳子收缩方向的速度和绕定滑轮转动速度的合速度，如图所示，根据平行四边形定则有v ＝v 船cos θ，则船的速度v 船＝vcos θ，A 正确，B 错误；对小船受力分析，则有F cosθ－f ＝ma ，因此船的加速度大小a ＝F cos θ－fm，C 正确，D 错误．11．(多选)(2020·台州质检)如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v －t 图象如图乙所示，人顶杆沿水平地面运动的x －t 图象如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是( )A ．猴子的运动轨迹为直线B ．猴子在2 s 内做匀变速曲线运动C ．t ＝0时猴子的速度大小为8 m/sD ．t ＝2 s 时猴子的加速度大小为4 m/s 2解析：选BD.由题图乙、丙看出，猴子在竖直方向做初速度v y ＝8 m/s 、加速度a ＝－4 m/s2的匀减速直线运动，人在水平方向做速度v x ＝－4 m/s 的匀速直线运动，故猴子的初速度大小为v ＝82＋42m/s ＝4 5 m/s ，方向与合外力方向不在同一条直线上，故猴子做匀变速曲线运动，故选项B 正确，A 、C 均错误；由题图乙、丙可得，t ＝2 s 时，a y ＝－4 m/s 2，a x ＝0，则合加速度大小a 合＝4 m/s 2，故选项D 正确．二、非选择题12．(2020·湖州质检)一物体在光滑水平面上运动，它在x 方向和y 方向上的两个分运动的速度—时间图象如图所示．(1)判断物体的运动性质； (2)计算物体的初速度大小；(3)计算物体在前3 s 内和前6 s 内的位移大小．解析：(1)由题图可知，物体在x 轴方向做匀速直线运动，在y 轴方向做匀变速运动，先减速再反向加速，所以物体做匀变速曲线运动．(2)v x 0＝30 m/sv y 0＝－40 m/sv 0＝v 2x 0＋v 2y 0＝50 m/s.(3)x 3＝v x t ＝90 m ，|y 3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪v y 02t ＝60 m则s 1＝x 23＋y 23＝3013 mx 6＝v x t ′＝180 m y 6＝v t ＝40－402×6 m ＝0 则s 2＝x 6＝180 m.答案：(1)匀变速曲线运动 (2)50 m/s (3)3013 m 180 m13．船在静水中的速度v 1＝3 m/s ，河宽l ＝300 m ，水速 v 2＝1 m/s ，欲分别按下列要求过河时，船头应与河岸成多大角度？过河时间是多少？(1)以最短时间过河； (2)以最小位移过河； (3)到达正对岸上游100 m 处．解析：(1)以最短时间渡河时，船头应垂直于河岸航行，即与河岸成90°角．最短时间为t ＝l v 1＝3003s ＝100 s.(2)以最小位移过河，船的实际航向应垂直河岸，即船头应指向上游河岸．设船头与上游河岸夹角为θ，有v 1cos θ＝v 2，θ＝arccos v 2v 1＝arccos 13sin θ＝1－cos 2θ＝223渡河时间为t ＝l v 1sin θ＝3003×sin θs ≈106.1 s. (3)设船头与上游河岸夹角为α，则有 (v 1cos α－v 2)t ＝xv 1t sin α＝l两式联立得：α＝53°，t ＝125 s. 答案：见解析第2节抛体运动【基础梳理】提示：水平重力匀变速抛物线匀速直线自由落体斜向上方斜向下方匀变速抛物线匀速直线匀变速直线【自我诊断】判一判(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．( )(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化．( )(3)平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大．( )(4)平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向速度越大．( )(5)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化是相同的．( )(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．( )提示：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√做一做(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( )A．B的加速度比A的大B．B的飞行时间比A的长C．B在最高点的速度比A在最高点的大D．B在落地时的速度比A在落地时的大提示：选CD.两球加速度都是重力加速度g ，A 错误；飞行时间t ＝ 22hg，因h 相同，则t 相同，B 错误；水平位移x ＝v x t ，在t 相同情况下，x 越大说明v x 越大，C 正确；落地速度v ＝ v 2x ＋v 2y ，两球落地时竖直速度v y 相同，可见v x 越大，落地速度v 越大，D 正确．平抛(或类平抛)运动的基本规律与应用【知识提炼】1．平抛(或类平抛)运动所涉物理量的特点 物理量 特点飞行时间由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关水平射程x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关落地速度v t ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，以θ表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tanθ＝v y v x ＝2gh v 0，所以落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A 点和B 点所示，即x B ＝x A2.(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.【典题例析】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A 点以初速度v 0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B 点，不计空气阻力．则：(1)抛出后经多长时间物体与斜面间距离最大？ (2)A 、B 间的距离为多少？ [解析] 法一：(1)以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x 轴，垂直于斜面方向为y 轴，建立坐标系，(如图甲所示)v x ＝v 0cos θ，v y ＝v 0sin θ， a x ＝g sin θ，a y ＝g cos θ.物体沿斜面方向做初速度为v x 、加速度为a x 的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为v y 、加速度为a y 的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．令v ′y ＝v 0sin θ－g cos θ·t ＝0，即t ＝v 0tanθg. (2)当t ＝v 0tan θg 时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T ＝2t ＝2v 0tan θg， AB 间距离s ＝v 0cos θ·T ＋12g sin θ·T 2＝2v 20tan θg cos θ.法二：(1)如图乙所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v 的切线反向延长与v 0交点为此时横坐标的中点P ，则tan θ＝y 12x ＝12gt 212v 0t ，t ＝v 0tan θg .(2)AC ＝y ＝12gt 2＝v 20tan 2θ2g ，而AC ∶CD ＝1∶3，所以AD ＝4y ＝2v 20tan 2θg，AB 间距离s＝ADsin θ＝2v 20tan θg cos θ. 法三：(1)设物体运动到C 点离斜面最远，所用时间为t ，将v 分解成v x 和v y ，如图丙所示，则由tan θ＝v y v x ＝gt v 0，得t ＝v 0tan θg.(2)设由A 到B 所用时间为t ′，水平位移为x ，竖直位移为y ，如图丁所示，由图可得 tan θ＝yx，y ＝x tan θ①y ＝12gt ′2② x ＝v 0t ′③由①②③得：t ′＝2v 0tan θg而x ＝v 0t ′＝2v 20tan θg，因此A 、B 间的距离s ＝xcos θ＝2v 20tan θg cos θ.[答案] (1)v 0tan θg (2)2v 20tan θg cos θ【题组过关】考向1 速度偏向角表达式的应用1.如图所示，P 是水平面上的圆弧凹槽．从高台边B 点以某速度v 0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧道的左端A 点沿圆弧切线方向进入轨道．O 是圆弧的圆心，θ1是OA 与竖直方向的夹角，θ2是BA 与竖直方向的夹角．则( )A.tan θ2tan θ1＝2B ．tan θ1·tan θ2＝2 C.1tan θ1·tan θ2＝2D.tan θ1tan θ2＝2化曲为直思想求解平抛(或类平抛)运动(1)求解平抛(或类平抛)运动的基本思想是将平抛(或类平抛)运动分解为两个直线运动，即水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动．此类问题一般画出合位移与两个分位移、合速度与两个分速度的矢量分解图，依据三角形知识即可求解． (2)在解题过程中要注意：两个分运动具有等时性、独立性，即时间相等、独立进行互不影响．分运动的时间就是合运动的时间．两个分运动与合运动遵循平行四边形定则．。

第1讲曲线运动运动的合成与分解一、曲线运动1．速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的________．2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是________运动．3．运动的条件：二、运动的合成与分解1．分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即________，物体的实际运动即________．2．运动的合成：已知________________，包括位移、速度和加速度的合成．3．运动的分解：已知________________，解题时应按实际效果分解或正交分解．4．遵循的法则位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循________________．,生活情境右图为建筑工地塔吊示意图，在驾驶工人的操作下，小车A可在起重臂上左右移动，同时又可使重物上下移动，若起重臂不转动，则(1)小车A向左匀速运动，同时拉重物的绳子匀速缩短，则重物相对地面为直线运动．( )(2)小车A向左匀加速运动，同时拉重物的绳子匀速缩短，则重物相对地面为曲线运动．( )(3)小车A向左运动的速度v1，重物B向上运动的速度v2，则重物B对地速度为v＝√v12+v22.( )(4)做曲线运动的物体．其速度时刻变化，所以物体所受合力一定不为零．( )(5)两个互成角度的初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动．( )考点一物体做曲线运动的条件及轨迹分析1．合力方向与轨迹的关系无力不拐弯，拐弯必有力．曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧．2．合力方向与速率变化的关系跟进训练1.[人教版必修2P6演示实验改编]在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其速度方向上放置条形磁铁，第二次在其速度方向上的一侧放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小球的运动轨迹．观察实验现象，以下叙述正确的是( )A．第一次实验中，小钢球的运动是匀变速直线运动B．第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其轨迹是一条抛物线C．该实验说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上2．(多选)一个质点在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿图示中( )A．F1的方向 B．F2的方向C．F3的方向 D．F4的方向3．春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福．如图所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动．孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的( )A．直线OA B．曲线OBC．曲线OC D．曲线OD考点二运动的合成与分解运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则．跟进训练4.如图所示，乒乓球从斜面上滚下，它以一定的速度做直线运动，在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口时，对着乒乓球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是( )A．乒乓球将偏离原有的运动路径，但不能进入纸筒B.乒乓球将保持原有的速度方向继续前进C．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒5．2020年3月3日消息，国网武汉供电公司每天用无人机对火神山医院周边线路进行巡检，一次最长要飞130分钟，它们是火神山医院的电力“保护神”．如图所示，甲、乙两图分别是某一无人机在相互垂直的x方向和y方向运动的v­t图象．在0～2 s内，以下判断正确的是( )A．无人机的加速度大小为10 m/s2，做匀变速直线运动B．无人机的加速度大小为10 m/s2，做匀变速曲线运动C．无人机的加速度大小为14 m/s2，做匀变速直线运动D．无人机的加速度大小为14 m/s2，做匀变速曲线运动6．[2022·广东深圳模拟]我国五代战机“歼­20”再次闪亮登场．表演中，战机先水平向右，再沿曲线ab向上(如图所示)，最后沿陡斜线直入云霄．设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不变，则沿ab段曲线飞行时，战机( )A．所受合外力大小为零B．所受合外力方向竖直向上C．竖直方向的分速度逐渐增大D．水平方向的分速度不变考点三小船渡河模型和关联速度模型素养提升角度1小船渡河问题1.合运动与分运动合运动→船的实际运动v合→平行四边形对角线分运动→船相对静水的运动v船水流的运动v水→平行四边形两邻边．两类问题、三种情景例1.如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝3400直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是( ) A．小船渡河的轨迹为直线B．小船在河水中的最大速度是5 m/sC．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度D．小船渡河的时间是160 s角度2关联速度问题例2. 如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车以速度v向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是( )A．货箱向上运动的速度大于vB．缆绳中的拉力F T等于(m0＋m)gC．货箱向上运动的速度等于v cos θD．货物对货箱底部的压力等于mg[思维方法]绳(杆)关联问题的解题技巧(1)先确定合速度的方向(物体实际运动方向)．(2)分析合运动所产生的实际效果；一方面使绳(杆)伸缩；另一方面使绳(杆)转动．(3)确定两个分速度的方向：沿绳(杆)方向的分速度和垂直绳(杆)方向的分速度，而沿绳(杆)方向的分速度大小相同．跟进训练7．如图所示，小球a、b用一细直棒相连，a球置于水平地面，b球靠在竖直墙面上，释放后b球沿竖直墙面下滑，当滑至细直棒与水平面成θ角时，两小球的速度大小之比为( )A．v av b ＝sin θ B．v av b＝cos θC．v av b ＝tan θ D．v av b＝1tanθ8．如图所示，一船夫以摇船载客为生往返于河的两岸．若该船夫摇船从河岸A点以v1的速度用最短的时间到对岸B点．第二次该船以v2的速度从同一地点以最短的路程过河到对岸B点，船轨迹恰好与第一次船轨迹重合．假设河水速度保持不变，则该船两次过河所用的时间之比是 ( )A．v1∶v2 B．v2∶v1C.v:12v22D.v22 v12第1讲曲线运动运动的合成与分解必备知识·自主排查一、1．切线方向2．变速二、1．分运动合运动2．分运动求合运动3．合运动求分运动4．平行四边形定则生活情境(1)√(2)√(3)√(4)√(5)√关键能力·分层突破1．解析：本题考查曲线运动的轨迹问题．第一次实验中，小钢球受到沿着速度方向的吸引力作用，做直线运动，并且随着距离的减小吸引力变大，加速度变大，则小钢球的运动是非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，方向与大小均改变，是变力，故小钢球的运动不是类似平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向，故选项C错误，D正确．答案：D2．解析：曲线运动受到的合力总是指向曲线凹的一侧，但和速度永远不可能达到平行的方向，所以合力可能沿着F3的方向、F4的方向，不可能沿着F1的方向或F2的方向，C、D 正确，A、B错误．答案：CD3．解析：孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，则合外力沿Oy方向，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知运动轨迹可能为曲线OD，故D正确．答案：D4．解析：当乒乓球经过筒口时，对着乒乓球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，故一定不会进入纸筒，要提前吹气才会进入纸筒，故A正确，B、C、D错误．答案：A5．解析：在0～2 s内，由速度－时间图象可知，x方向初速度为v0x＝0，加速度为a x ＝6 m/s2，y方向初速度为v0y＝0，加速度为a y＝8 m/s2，根据平行四边形定则可以得到合初速度为v＝0，合加速度为a＝10 m/s2，而且二者方向在同一直线上，可知合运动为匀变速直线运动，故A正确，B、C、D错误．答案：A6．解析：战机在同一竖直面内做曲线运动，且运动速率不变，由于速度方向是变化的，则速度是变化的，故战机的加速度不为零，根据牛顿第二定律可知，战机所受的合力不为零，故A错误；战机在同一竖直平面内做匀速率曲线运动，所受合力与速度方向垂直，由于速度方向时刻在变化，则合外力的方向也时刻在变化，故B错误；由以上分析可知，战机所受合力始终都与速度方向垂直，斜向左上方，对合力和速度进行分解，竖直方向上做加速运动，水平方向上做减速运动，即竖直分速度增大，水平分速度减小，所以选项C正确，D错误．答案：C例1 解析：小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，速度与加速度不共线，小船的合运动是曲线运动，选项A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，v水＝3 m/s，此时小船的合速度最大，最大值v m＝5 m/s，选项B正确；小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，选项C错误；小船的渡河时间t＝dv船＝8004s＝200 s，选项D错误．答案：B例2 解析：将货车的速度进行正交分解，如图所示．由于绳子不可伸长，货箱和货物整体向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等，有v1＝v cos θ，故选项C正确；由于θ不断减小，v1不断增大，故货箱和货物整体向上做加速运动，加速度向上，故选项A错误；拉力大于(m0＋m)g，故选项B错误；货箱和货物整体向上做加速运动，加速度向上，属于超重，故箱中的物体对箱底的压力大于mg，故选项D错误．答案：C7．解析：如图所示，将a球速度分解成沿着杆与垂直于杆方向，同时b球速度也是分解成沿着杆与垂直于杆两方向．对于a球v＝v acos θ，对于b球v＝v bsin θ，由于同一杆，则有v acosθ＝v bsin θ，所以v av b＝tan θ，故选C.答案：C8．解析：由题意可知，船夫两次驾船的轨迹重合，知合速度方向相同，第一次船的静水速度垂直于河岸，第二次船的静水速度与合速度垂直，如图所示．船两次过河的合位移相等，则渡河时间之比等于船两次过河的合速度之反比，则t1 t2＝v2合v1合＝v2tanθv1sinθ＝v2v1cos θ，而cos θ＝v2v1可得t1t2＝v22v12，故D项正确．答案：D。