专题四 曲线运动和万有引力定律(教辅图书《新思路》第四章,附第一章到第四章的答案)

专题四曲线运动和万有引力定律一、知识梳理说明：1．对于平抛运动，除了熟练掌握其运动规律外，还要重视平抛实验中根据轨迹求平抛初速度的方法.（Ⅱ）2．对于圆周运动，熟练分析向心力的来源并熟练掌握其运动规律.（Ⅱ）3．万有引力定律，侧重于卫星问题，紧紧把握住万有引力是卫星做圆周运动的向心力，同时注意区分环绕问题和变轨问题. （Ⅱ）二、技能探究1．例题讲解**精例1：小船在d =200m 宽的河中横渡，水流速度是2m/s ，船在静水中的航行速度为4m/s ，求：（1）小船渡河的最短时间？（2）要使小船航程最短，又应该如何航行？问题1：当水流速度为零，即该船在静水中航行时，它的运动情况如何？答：由于在静水中，水对船的航行不会产生影响.因此船的航行情况由它相对于静水的航行速度船v ＝4m/s 决定，船v 的方向（即船头的方向）就是船实际运动的方向，其速度大小就是4m/s.如图4－1所示.问题2：当水流速度不为零，而船在静水中的航行速度＝0时，它的运动情况又如何？答：由于水在流动，即使船“自身不动”，即船在静水中的航行速度船v ＝0，该船也不会保持静止，它仍然会被流水向下游方向冲走，在岸边的观察者看来，船将以水流速度往下游方向移动. 如图4－2所示.问题3：当水流速度不为零，船在静水中的航行速度也不为零时，它的运动情况又如何？ 答：此时船同时参与两个运动：一个是船本身航行的运动，其速度为船在静水中的航行速度船v ；另一个是被水冲往下游的运动，其速度为水v .岸边的观察者看到的船的实际运动是这两个运动的合运动，而不是其中的任一个分运动.其实际速度（即合速度）是船v 和水v 的矢量和. 如图4－3所示.问题4：问题3中船的实际运动方向与船头的方向一致吗？ 答：多数情况下都不一致.如图4-3所示.问题5：问题3中根据运动的合成与分解，可不可以再把船速船v 分解呢？答：可以.如可以把船速船v 分解到平行于河岸方向（//v ）和垂直于河岸方向（⊥v ）.图4－1 0=船v 图4－2图4－3此时船的实际运动可看成三个分运动的合成. 如图4－4所示.问题6：怎样调整船头方向，才能使渡河的时间最短？答：由于河岸宽度一定，因此只要垂直于河岸方向的分运动速度取最大即可.显然，当船头垂直于河岸时，垂直河岸方向的分速度最大，渡河时间最短，其最短时间为s v d t 50==船.如图4－5所示.问题7：船过河时航程最短指的是什么？理想情况下的最短航程是多少？ 答：指实际运动（即合运动）的路程最短.理想情况下的最短航程就是河岸宽度. 问题8：怎样才能使航程最短呢？答：应该使实际运动（合运动）的方向垂直于河岸的方向.这就要求船头方向（即船速船v 的方向）朝上游方向倾斜.如图4－6所示.或者让船速的平行于河岸方向的速度分量（//v ）等于水速水v ，即水船v v v ==αcos //.本题中，5.042cos ＝＝船水v v =α，即030=α.如图4－7所示.问题9：船要能垂直于河岸渡河需要满足一定的前提条件吗？ 答：显然需满足水船v v v ==αcos //，即船速船v 大于水速水v . 问题10：若船速船v 小于水速水v ，怎样才能使航程最短呢？答：应该使实际运动（合运动）的方向尽量靠近垂直于河岸的方向，如图4-8所示，即θ越小越好.怎样讨论这个问题呢？其实用矢量合成的三角形法则最好，平移矢量船v ，使船v 和水v 首尾相接于点P ，如图4-9所示.为了讨论何种情况下θ取最小，我们可以以P 点为圆水船v //v 图4－4 水v 船v 合v 图4－5水船v 图4－6//v =水船v //v 图4－7心，船v 大小为半径画圆，船v 矢量以P 点为圆心转动，即表示船v 可取的若干种可能方向，而合运动速度合v 方向的可能性自然一目了然. 如图4－10所示.显然当合运动速度合v 方向与圆弧相切时θ取最小，即航程最短.此时，船速与上游河岸的夹角水船v v =αcos .如图4－11所示.*精例2：如图4－12所示，站在岸上的人通过跨过定滑轮的不可伸长的绳子拉动停在平静湖面上的小船，若人拉着自由端Q 以水平速度0v 匀速向左前进，试分析图示位置时船水平向左的运动速度v .问题1：在相同时间内，滑轮左侧绳子水平部分伸长量与滑轮右侧倾斜部分缩短量是否相等？答：由于绳子不可伸长，因此相等. 问题2：绳子拴在船头的端点P 沿绳子方向“缩短”的速度等于自由端Q 前进的速度吗？ 答：由问题1，它们显然相等，即端点P 沿绳子方向“缩短”的速度为0v .问题3：在一段时间t ∆内，自由端Q 前进的位移与船前进的位移相等吗？ 答：如图所示，小船前进到图中虚线位置，绳子拴在船头的端点P 到达P '位置，以O P '为半径画圆交OP 于P ''，显然P P ''等于自由端Q 前进的距离，而船前进的距离P P '与P P ''并不相等. 如图4－13所示.在t ∆很小且趋于零的情况下，090≈'''∠P P P ，则θc o s P P P P '=''.所以，在一段时间t ∆内，自由端Q 前进的位移小于船前进的位移，即自水船v 图4－8水v 图4－9图4－10v 图4－11图4－12由端Q 前进的速度小于船前进靠岸的速度.问题4：如图4－15所示.把端点P 沿绳子方向“缩短”的速度0v 分解到水平方向和竖直方向，水平分量就是船靠岸的速度吗？答：不是.因为，通过问题3的分析可知，船靠岸的速度应该大于0v .而如果如图所示分解的话，θcos 0v v = 反而是船靠岸的速度应该小于0v .问题5：由于船不断靠岸，端点P 不断左移，使得绳子的倾斜部分发生了哪些变化呢？ 答：倾斜部分一方面沿绳子方向不断缩短；另一方面与竖直方向的夹角越来越小，即以O 点为轴顺时针摆动.因此绳子端点从P 到达P '的过程，可以这样来看：先沿绳子缩短到P ''，在垂直于绳子从P ''摆动到P '.问题6：绳子端点P 的运动可看成哪几个运动的合成？哪个是合运动？哪些是分运动？ 答：岸边的观察者实际看到的端点P 的运动应该是水平向左靠近岸边的运动，这就是合运动.由问题5的分析可知，这个运动可以看出沿绳子方向的收缩的分运动和垂直与绳子摆动的分运动的合成.问题7：怎样分解端点P 的合运动（实际运动）呢？ 答：分解如图4－15所示.即：θcos 0v v =问题8：问题3中分析的结果与问题7中分析的结果一致吗？答：问题3中分析到，在t ∆很小且趋于零的情况下，θcos P P P P '=''而tP P v ∆'=tP P v ∆''=θcos 0v v =∴ 即θcos 0v v =因此问题3与问题7中分析的结果是一致的.图4－13图4－14**精例3：如图4－16所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v 1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为1α；当抛出速度为v 2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为2α，则（ ）A ．当v 1>v 2时，1α>2αB ．当v 1>v 2时，1α<2αC ．无论v 1、v 2关系如何，均有1α=2αD ．1α、2α的关系与斜面倾角θ有关问题1：平抛运动一般可以怎样进行处理？答：平抛运动一般分解成两个直线运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.这样我们就把平抛运动这种曲线运动变成了两个简单的直线运动的合成，处理起来变得比较简单.这就是我们常说的“变曲为直”.问题2：在研究平抛运动时我们经常会分析的角度是哪个？这样分析？答：在研究平抛运动时我们经常分析某一时刻的瞬时速度v 与平抛初速度0v 之间的夹角β.关于此角度我们常常这样来处理：平抛运动的某一时刻的瞬时速度v 由水平方向匀速运动的速度0v 和竖直方向自由落体的速度y v 合成，如图4-17所示，因此0tan v v y =β.问题3：题目中出现的小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角α可能与问题2中所分析的角度有什么联系呢？答：本题中出现的小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角α与问题2中所分析的v 与0v 之间的夹角β并非同一角度.但是，它们之间却有确定的关系即：θαβ+=.问题4：怎样找出与夹角α有关的物理关系式呢？ 答：由问题3的分析可知0)tan(tan v v y =+=θαβ，因此只需找出y v 即可.而由竖直方向的自由落体运动规律：gt v y =，我们应该进一步找出从抛出至达到斜面所经历的时间t .问题5：一般怎样确定平抛运动的时间呢？ 答：平抛运动的时间一般由下落高度来决定.即221gt y =.问题6：本题中由于下落高度也不确定，怎样求出时间呢？答：我们考虑到水平分运动：t v x 0=.并且本题中有斜面作为“背景”，水平位移与竖直位移之间有确定的关系：xy =θtan ，即002221tan v gt tv gt xy ===θ，gv t θtan 20=∴.如图4－18所示.问题7：根据上述分析可以找出与夹角α有关的物理关系式了吗？ 答：可以.根据问题4的分析，0)tan(tan v gt v v y ==+=θαβ，再根据问题6的分析，gv t θtan 20=，所以，θαθtan 2)tan(=+，这说明夹角α只与斜面倾角θ有关，与平抛初速度无关.故本题的正确答案选C .问题8：本题还有其他的解决办法吗？答：此题也可把平抛运动分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向.沿斜面方向：初速度为θcos v ，加速度为θsin g ；垂直于斜面方向：初速度为θsin v ，加速度为θcos g .这样从抛出到落回斜面，由垂直于斜面方向的分运动就能确定，gv g v t θθθtan 2cos sin 2==.同样可以解决.如果熟练，此法在类似问题中更简洁.同学们注意领会.**精例4：如图4－19所示，在“研究平抛物体的运动”的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长25.1=l cm ，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的a 、b 、c 、d 所示，则小球平抛的初速度的计算式为0v = （用l 、g 表示），其值是 （取g =9.8m/s 2），小球在b 点的速率是 ．问题1：在学生分组实验中利用平抛轨迹求平抛初速度的常用办法是什么？答：知道抛出点的情况下，只需在轨迹上任找一个点，测出该点的横、纵坐标（即从抛出到此时的水平、竖直位移），利用221gt y =，t v x 0=，即可求出yg xv 20=问题2：本题可否用问题1中的办法求解？答：不能.因为本题中并不知道平抛抛出点.问题3：本题中求平抛初速度我们首先应该考虑到如何入手呢？答：我们应该首先考虑与平抛初速度有关的水平方向的分运动，t v x 0=.比如，我们知道轨迹上a 、b 两个点的水平距离l x 2=∆，只需再求出从a 点运动到b 点的时间T 即可.图4－19问题4：可否利用从a 点运动到b 点过程中的竖直分运动来求解从a 点运动到b 点的时间T 呢？答：不能.我们虽知道从a 点运动到b 点过程竖直方向的位移为l y =1，但由于a 点不是抛出点，即经过a 点时速度的竖直分量0≠ay v ，是未知量，因此我们没办法通过2121gT T v y ay +=来求出时间T .问题5：怎样求解从a 点运动到b 点的时间T 呢？答：从题目提供的数据来看，除了知道a 点运动到b 点过程竖直方向的位移l y =1外，我们还知道b 点运动到c 点过程竖直方向的位移l y 22=， c 点运动到d 点过程竖直方向的位移l y 33=.这些数据很容易让我们联想到匀变速运动的规律2aT s =∆，而平抛运动的竖直分运动就是匀变速运动，加速度g a =.a 点运动到b 点过程、b 点运动到c 点过程及c 点运动到d 点过程由于水平位移相等，因此这三段时间相等.因此有22312gTl y y y y ==-=-，即gl T =.问题6：能够求出平抛初速度了吗？答：可以.gl gll T x v 220===，代入数据得：7.00=v m/s 问题7：怎样求b 点的速率？答：b 点的速度由水平分速度0v 和竖直分速度by v 合成，即220by b v v v +=.因此只要求出竖直分速度by v 即可.问题8：怎样求出b 点的竖直分速度by v 呢？答：根据问题5的分析，我们还是充分利用竖直分运动是匀变速运动这个特点，根据匀变速运动的特点，某一过程中的平均速度等于该过程中间时刻的瞬时速度（在纸带问题中求瞬时速度也常用此法）. b 点是a 点运动到c 点过程的中间时刻，因此gl gl l l T y y v by 2322221=+=+=，b 点的速度为：875.0=b v m/s*精例5：如图4－20所示皮带传送装置，主动轮O 1的半径为R ，从动轮O 2的半径为r ，r R 23=.其中A 、B 两点分别是两轮缘上的点，C 点到主动轮轴心的距离R R 21='，设皮带不打滑，则有：=B A ωω:________；=C A ωω:________；=B A v v :________；=C A v v :________；=C B v v :________；向心加速度=B A a a :__________；=C B a a :__________.问题1：皮带传送装置中两轮边缘上的点（比如A 、B 两点）在运动上有什么关系？答：在皮带不打滑的情况下，主动轮上的点（如A 点）与从动轮上的点（如B 点）在相同时间内通过的弧长相等.匀速圆周运动的线速度间通过该段弧长所用的时弧长=，因此两轮轮缘上的点线速度相等.问题2：可以比较A 、B 两点的线速度、角速度和向心加速度了吗？ 答：根据问题1的分析，1:1:=B A v v ； 而r v ω=，所以32===R r r r A B B A ωω；又rva 2＝心，所以=BA a a 32==Rr r r AB （或根据v r a ωω=2＝心）问题3：同一轮上各点的运动情况有何特点？答：同一轮上各点都在绕同一圆心（或转轴）做匀速圆周运动，它们绕圆心运动一圈所用的时间相等，即运动周期T 相同.由于Tπω2=，所以它们运动的角速度也相同.问题4：可以比较A 、C 两点的线速度、角速度和向心加速度了吗？ 答：根据问题3的分析，=C A ωω:1:1， 而r v ω=，所以12='==R R r r v v C A CA ；又r a 2ω＝心，所以=CA a a 12='=R R r r CA （或根据v r a ωω=2＝心）问题5：怎样比较B 、C 两点的线速度、角速度和向心加速度呢？ 答：根据前面的分析，已知道=C A ωω:1:1，32=B A ωωC B ωω∴23==A B ωω12==CC B B CB r r v v ωω13=∴CB a a*精例6：如图4－21所示，用长为l 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是：A.小球过最高点时，绳子张力可以为零B.小球过最高点时的最小速度是零C.小球刚好过最高点时的速度是glD.小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反【答案】AC问题1：根据生活经验，小球要能够做完整的圆周运动通过最高点，它的速度是越大越好还是越小越好？答：应该是越大越好.问题2：如果小球能过最高点，在最高点时它的受力情况怎样？答：受力情况如图4－22所示，即受重力G 和绳子竖直向下的拉力T . 问题3：小球在最高点时受到绳子的作用力会不会向上？答：不会，因为绳子只会发生拉伸形变，只能产生拉力而不会产生支持力. 问题4：小球在最高点时受到的力所需满足的条件是什么？答：小球在最高点时受到的力应该提供小球在最高点时做圆周运动所需的向心力. 由牛顿第二定律和圆周运动的知识有：lvmT mg F 2=+=向显然，速度v 越大，T 越大；v 越小时，T 越小.问题5：根据问题4的分析，最高点时绳上拉力T 可否为零？若可以为零，则需满足的条件是什么？答：可以为零，由lvmT mg F 2=+=向，则：当T =0时，lvmmg F 2==向，得gl v =问题6：根据问题5的分析，我们怎样来看待拉力T 为零时的物理“涵义”？ 答：当最高点gl v =时，所需向心力mg lgl mlvmF ===22)(向，即重力刚好提供其所需向心力，不多也不少.若gl v >，则所需向心力大于小球所受的重力.重力不足以“维持”圆周运动了，小球有远离圆心的趋势（离心运动），但有绳子存在，绳子上将产生向下的拉力，从而弥补重力的不足. 若gl v <，则所需向心力小于小球所受的重力，重力提供向心力之外还有“剩余”，小球将奔圆心而去，圆周运动不能继续（其实，这种情况小球根本到不了最高点，在到达最高点之前就做斜抛运动离开圆轨迹了）.问题7：问题6的分析可以总结出小球能够过最高点继续做圆周运动的条件是什么？ 答：小球能够过最高点的临界速度（最小速度）为gl v =min .问题8：本题中若把绳子换成轻杆，又怎样呢？是否也需满足gl v =min 的条件呢？答：跟上述分析相似，只是杆上除了可产生对小球竖直向下的拉力外，还可产生竖直向上的支持力.所以不用担心小球会中途掉下来，只要小球达到最高点时还有速度即可过最高点，临界情况是速度为零时也恰好能过.上例中过最高点gl v =min 的条件不存在.**精例7：如图4－23所示，水平转盘（盘面垂直于纸面放置）的中心有个竖直小圆筒，质量为m 的物体A 放在转盘上，A 到竖直小圆筒中心的距离为r ，物体A 通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B 相连，B 与A 质量相同.物体A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ（μ<1）倍，则圆盘转动的角速度在什么范围内，物体A 才与转盘相对静？问题1：物体A 与转盘相对静止时，物体B 的状态怎样？答：物体B 应该保持静止状态.这就要求，绳子对物体B 的拉力T 与它所受重力mg 平衡.即为了保证物体A 与转盘相对静止，绳子上的弹力T 大小始终恒定，且T ＝mg .问题2：如果物体A 与圆盘不转动，物体A 与转盘能相对静止吗？答：不能. 物体A 受到绳子拉力T 与圆盘对它的摩擦力，摩擦力最大可达到μmg ，由于μ<1，所以T >μmg .因此不可能保持静止.问题3：圆盘转动过程中物体A 与转盘相对静止时，物体A 的受力情况怎样？需满足什么条件？答：受力情况如图4－24所示，由牛顿第二定律及圆周运动的知识r m f T 2ω=-，要保持相对静止则T ＝mg .所以，角速度越小，物体A 向圆心靠近的趋势越大，摩擦力越大.问题4：角速度最小可达到多少？答：由r m f T 2ω=-，当转盘角速度很小时，A 将要沿盘向圆心滑动时，A 所受的静摩擦力达到最大值mg f μ=max 且背离圆心， 可得rg )1(min μω-=.再小就不能保持相对静止.问题5：上述分析完善吗？如果角速度特别大呢？答：不完善.如果角速度很大，所需向心力r m F 2ω=心很大，大于绳子上的拉力T ＝mg .此时物体A 有背离圆心而去的趋势，静摩擦力将改变方向变为指向圆心方向，与拉力一起提供所需向心力，r m f T 2ω=+，如图4－25所示.显然，角速度越大，静摩擦力越大.问题6：角速度最小可达到多少？答：由r m f T 2ω=+，当转盘角速度很大时，A 将要沿盘向外滑时，A 所受的静摩擦力达到最大值mg f μ=max 且指向圆心，有：rg )1(max μω+=问题7：可以总结出角速度需满足的条件了吗？答：所以要使物体与盘相对静止随盘转动，圆盘转动的角速度应满足：rg rg )1()1(μωμ+≤≤-问题8：本题中若没有摩擦力，结果如何？若没有物体B ，结果又如何？ 答：若没有摩擦力，则r m T 2ω=，有rg =ω若没有挂物体B ，则r m f 2ω=，而mg f μ≤，有rg μω≥**精例8：如图4－26所示，A 、B 、C 三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因素均为μ，A 的质量为2m ，B 、C 质量均为m ，A 、B 离轴R ，C 离轴2R ，则当三个物体随圆台旋转时：（设A 、B 、C 都没有滑动）A ．C 物的向心加速度最大；B ．B 物的静摩擦力最小；C ．当圆台转速增加时，C 比A 先滑动；D ．当圆台转速增加时，B 比A 先滑动。