下载文档原格式
§2实际问题的函数建模2・1实际问题的函数刻画2・2用函数模型解决实际问题2. 3函数建模案例学业层测评1.了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用.（重点）2.掌握求解函数应用题的基本步骤.（难点）［基础•初探］教材整理1实际问题的函数刻画阅读教材P|20〜P122整个本节课内容，完成下列问题• 在现实世界里，生物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画.------- 0微体验0 -----------“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S], S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，f为时间，则与故事情节相吻合的是（）【解析】乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间，后又更快的增A B C D加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B.【答案】B教材整理2用函数模型解决实际问题阅读教材比3〜弘5整节课的内容，完成下列问题.1.常用的函数模型2•数据拟合通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘岀这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我所熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求岀具体的函数表达芬再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合.。
微体验。
一辆汽车在某段路上的行驶路程S关于时间t变化的图像如图4-2-1,那么图像所对应的函数模型为（图4-2-1A.分段函数C.指数函数B・二次函数D・对数函数【解析】由图像知，在不同时段内, 型为分段函数.【笞案】A路程折线图不同，故对应的函数模教材整理3函数建模案例阅读教材卩125〜P130整节课的内容，完成下列问题* 函数建模1.定义用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模•2.过程实际情境不合乎实际0微体验 ---------如图4-2-2给岀了红豆生长时间f（月）与枝数y（枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（）y（枝）A・指数函数：y=2l c.幕函数：尸F B.对数函数：D.二次函数：严2『y=log2（【解析】本题考查指数函数模型, 模型拟合效果最好，故选A.【答案】A 根据图像中的点，经验证用指数函数［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:__________________________________________ 解惑：_____________________________________________ 疑问2： ________________________________________ 解惑：_____________________________________________疑问3： ________________________________________ 解惑:［小组合作型］某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的 300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图4-2-3(1)的一条折线表示；西 红柿的种植成本与上市时间的关系用图4-2-3(2)的抛物线表示.一次、二次、分段函数模型 ►fill⑴(2)图4-2-3⑴写出图423(1)表示的市场售价与上市时间的函数关系式P二加; 写岀图4-2-3(2)表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q二g(f). (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大.(注：市场售价和种植成本的单位：元/倍kg,时间单位：天)【导学号：04100078]【精彩点劇本题由函数图像给岀基本条件，解题时要抓住图像特征, 抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题.一汁300, 0GW200, 2f-300, 200<K 300. 【尝试解答】（iw）=-设g⑴二曲T50)2+100@H0),将 /二50, Q—150 代入得"=20(y・：g(f)二点(L150)2 +1 Do® § / § 300).(2)设纯收益为y元，当0©W200时,M)-煎)=(—/+300)—］亦庆—150)2+1001 2丄1丄175=——r+_/-r—200 T2 T 2=—^5(L50)?+100.当f=50时，y取到最大值，且最大值为100.当200VW300 时,「 1 2 , 1 2|7 1 025 1 ),=AO_^(0=(2^-300)-[^-150)"+100] = 二一顽(L 350)2+100.当f=300时取到最大，最大值为87.5.故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大.名师处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数.［再练一题］1.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人, 飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解】（1）设旅行团人数为X,飞机票价格为y元，则）-900, 0X30,900-10(x-30), 30X75,900, 0X30,1 200-10%, 30X75.（2）设旅行社获得利润为S元,j900x-15 000, 0<x<30,x(l 200—10x)—15 000> 30GW75.900x-15 000, 0<x<30, -10(X-60)2+21000,30<X<75.即S=因为S=900x-15 000在区间©30］上单调递增,当x=3Q时，S取最大值12 000,又5=-10(X-60)2+21 000在区间(30,75］上,当尸60时，S取最大值21 000.故当兀=60时，旅行社可获得最大利润.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现, 两岁燕子的飞行速度可以表示为函数。
§4.2.3 《函数建模案例》教学设计一、教材分析课题：北京师范大学出版社数学必修1第四章《函数应用》第二节《实际问题的函数建模》第三课《函数建模案例》教学内容：数学建模是数学核心素养的重要内容，是数学学习的本质，掌握数学建模能促使学生用数学知识表达世界，改造世界。
本节课是在学生掌握了实际问题的函数刻画和用函数模型解决实际问题的基础上，进一步学习函数建模案例。
本课通过创设问题情境，对问题进行分析、数学实验、函数模型建立与求解、模型的检验、练习巩固、总结提升，使学生理解和把握函数建模的一般过程。
在解决问题的过程中,使学生领会科学运用信息技术处理数据（例如画散点图、解方程组等），将数学与信息技术进行整合。
二、学情分析学生已经掌握了函数的概念，掌握了二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象和性质，逐步建立应用函数知识的能力。
本课是解决与实际生活密切相关的数学问题，学生表现出浓厚的学习兴趣，同学们的积极性和主动性都很高。
学生良好的学习兴趣是培育数学建模能力的重要基础。
但限于学生们对数学知识掌握的局限性，且综合应用意识、应用能力比较弱。
函数建模案例体现的是数学知识的实际应用，是函数学习的重要内容，而这又是大多数学生的数学学习的难点。
数学建模需要正确运用数学知识解决实际问题，通过数学建模的学习不断提高学生的分析问题能力、抽象概括能力，较好的全局运筹能力和局部处理能力，这些要求对学生的学习造成了一定的困难。
因此在教学中要循序渐进，同时学生还要掌握基本的信息技术知识，能利用信息技术处理一些简单的数学问题。
三、设计思想课程标准提出高中数学六大核心素养其中数学建模是其重要内容，因此课程设置要提供实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程，使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。
§2实际问题的函数建模1．初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．2．了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用______的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．【做一做1－1】一辆匀速行驶的火车90min 行驶了180km ，则这辆火车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数关系式为()．A ．y ＝2tB ．y ＝120tC ．y ＝2t (t ≥0)D ．y ＝120t (t ≥0)【做一做1－2】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年的冬季冰雪覆盖面积为m ，从2000年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是()．A ．y ＝500.95x m ⋅B ．y ＝50(10.05)x m -⋅C ．y ＝0.9550－x ·mD ．y ＝(1－0.0550－x )·m2．用函数模型解决实际问题函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数的____________把握问题，使问题得到解决．通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的___________，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的____________，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过__________，得到__________，再通过数据__________得到的．【做一做2－1】某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用()．A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数【做一做2－2】一个水池每小时注入水量是全池的110，水池还没有注水部分的总量y随时间x 变化的关系式为__________．3．函数建模(1)定义：用数学思想、_________、_________解决实际问题的过程叫作数学建模．(2)过程：如图所示．【做一做3－1】(2010福州三中期中)某地区土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则与沙漠增加数y (万公顷)关于年数x 的函数关系较为近似的是()．A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x ) C ．y ＝2x 10D ．y ＝0.2＋log 16x 【做一做3－A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t －2C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2答案：1．函数【做一做1－1】D【做一做1－2】A2．性质 整体特征 函数表达式 实验 数据 拟合【做一做2－1】D【做一做2－2】y ＝1－x10，x ∈[0,10] 设满池为1，则有水的部分为1－y ， 于是1－y ＝110·x ，即y ＝1－x 10，x ∈[0,10]． 3．(1)方法 知识 (2)问题 检验【做一做3－1】C【做一做3－2】C 可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示，由散点图可知，图像不是直线，排除D 项；图像不符合对数函数的图像特征，排除A 项；当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6，t 2－12＝32－12＝4，由表格知当t ＝3时，u ＝4.04，模型u ＝t 2－12能较好地体现这些数据关系．1．应用数学模型解决实际问题的步骤剖析：(1)认真审题．读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学问题，尤其是理解叙述中的名词、概念，以及题中单位之间的关系．分析出已知是什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数的关系．审题时要抓住题目中的关键量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想，实现实际问题向数学问题的转化．(2)引进数学符号，建立数学模型．设自变量为x ，函数为y ，用含x 的表达式表示各相关变量，根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识以及其他相关知识建立函数关系式，即建立数学模型．(3)用数学方法将所得到的函数模型问题予以解答，求得结果．(4)再转化成实际问题，进行检验作出规范解答．简言之，可概括为“四步八字”，即审题——建模——求解——还原．2．常见的几种函数模型剖析：(1)直线模型：一次函数模型y ＝kx ＋b (k ≠0)，图像增长特点是直线式上升(x 的系数k ＞0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y ＝kx (k ＞0)．(2)反比例函数模型：y ＝k x(k ＞0)型，增长特点是y 随x 的增大而减小．(3)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (b ＞0，b ≠1，a ≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b ＞1，a ＞0)，常形象地称为指数爆炸．(4)对数函数模型，即y ＝m log a x ＋n (a ＞0，a ≠1，m ≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢(底数a ＞1，m ＞0)．(5)幂函数模型，即y ＝a ·x n ＋b (a ≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：y ＝ax 2＋bx＋c (a ≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a ＞0)．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分析变量x 的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．题型一用函数刻画实际问题【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图像．反思：在解决实际问题的过程中，函数图像能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题涉及到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型．题型二已知函数模型的应用题【例2】我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？分析：(1)转化为当v＝0时，求Q的值；(2)转化为当Q＝80时，求v的值．反思：一般来说，若题中已给出数学模型，只要解数学模型即可，较常用的方法是待定系数法解模型，然后再利用相应的解析式及对应函数的性质解决实际问题．题型三建立函数模型的应用题【例3】某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将房间租金提高多少时，每天客房的租金总收入最高？分析：列出函数的解析式，转化为求函数的最大值．反思：当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时，其解题步骤是：(1)认真读题，审题，确切理解题意，明确问题实际背景；(2)恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；(3)运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；(4)将所得函数问题的解还原成实际问题的结论．题型四拟合函数模型的应用题【例4】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示．(1)(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y ＝f (x )，并画出图像．(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25cm ，则可以灌溉土地多少公顷？ 分析：首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图像判断问题所适用的函数模型． 反思：对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考查散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是一件十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．答案：【例1】解：(1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360. 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.(2)根据题图，有s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 50t ＋2 004，80(t －1)＋2 054，90(t －2)＋2 134，75(t －3)＋2 224，65(t －4)＋2 299，0≤t <1，1≤t <2，2≤t <3，3≤t <4，4≤t ≤5. 这个函数的图像如图所示．【例2】解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，可得0＝5log 2Q 10， 解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入所给公式，得 v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.【例3】解：设客房租金每间提高2x 元时，客房租金总收入为y 元，由题意得，y ＝(20＋2x )(300－10x )＝－20x 2＋400x ＋6000＝－20(x －10)2＋8000(0≤x ＜150，x ∈N )，则当x ＝10时，y 有最大值为8000，即将客房租金提高到20＋2×10＝40(元/间)时，每天客房租金总收入最高为8000元．【例4】解：(1)描点作图如下：(2)从图①中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x 满足线性函数模型y ＝a ＋bx .取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y ＝a ＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 21.1＝a ＋10.4b ，45.8＝a ＋24.0b ，用计算器可算得a ≈2.4，b ≈1.8.这样，我们得到一个函数模型y ＝2.4＋1.8x ，作出函数图像如图②，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y ＝2.4＋1.8×25，求得y ＝47.4，即当积雪深度为25cm 时，可以灌溉土地47.4公顷．1某物体一天中的温度T (℃)是时间t (h)的函数，T ＝t 3－3t ＋60.当t ＝0时表示12：00，其后t 取值为正，则上午8：00的温度是()．A ．112℃B ．58℃C ．18℃D ．8℃2下图是某种豆类生长枝数y(枝)与时间t(月)的图像，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是()．A．y＝2t2B．y＝log2t C．y＝t3D．y＝2t3某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利()．A．25元B．20.5元C．15元D．12.5元4用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是__________．5某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元．分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(万元)以及利润L(万元)关于总产量x台的函数关系式．答案：1．D 当t＝－4时，T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8.故选D.2．D 根据图像特征可直接得：用y＝2t近似刻画最好．故选D.3．D 每件获利100(1＋25%)×0.9－100＝100(1.25×0.9－1)＝12.5(元)．4．9m2设矩形的长为x m，则宽为1222xm，∴面积S＝x(6－x)＝－x2＋6x(0＜x＜6)，当x＝3时，S最大＝9.5．解：总成本与总产量的关系为C＝200＋0.3x，x∈N＋.单位成本与总产量的关系为P＝200x＋0.3，x∈N＋.销售收入与总产量的关系为R＝0.5x，x∈N＋.利润与总产量的关系为L＝R－C＝0.2x－200，x∈N＋.。
