实际问题的函数建模ppt(北师大版高中数学)(必修1)

[解析] 设每天应从报社买 x 份，易知 250≤x≤400. 设每月赚 y 元，得 y＝0.5·x·20＋0.5×250×10＋(x－ 250)×0.08×10－0.35·x·30＝0.3x＋1050， x∈[250,400]． 因为 y＝0.3x＋1050 是定义域上的增函数， 所以当 x＝400 时，ymax＝120＋1050＝1170(元)． 可知每天应从报社买 400 份报纸，获得利润最大，每月 可赚 1170 元．
[方法总结] (1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容 易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方 法来处理．
(2)这是一个一次函数在实际问题中的应用的题目，认真 读题，审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借 助图像，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．
某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本 2 元，铅笔每 支 0.5 元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一支 铅笔；(2)按总价的 92%付款．现在买软皮本 4 本，铅笔若干 支(不少于 4 支)，若购买铅笔数为 x 支，支付款数为 y 元，试 分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式，并说明使 用哪种优惠办法更合算？
病毒细胞总数 N 1 2 4 8 16 32
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在 何时注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠 的生命？(精确到天，已知：lg2＝0.3010)
[分析] 根据题意，建立病毒细胞个数 y 与时间 t 的函数 关系 y＝2t－1，然后利用不等式求解．
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言， 恰当地设出符号或字母，将总结出来的文字语言表示的等量 关系，转化为数学符号表示的函数等量关系．

甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升 到第6年2万只． 乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个． 请你根据提供的信息说明： (1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数； (2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还 是缩小了？说明理由； (3)哪一年的规模最大？说明理由．
[精解详析] (1)f(t)＝－2t－t＋30300，0，2000≤<t≤t≤20300，0. 设 g(t)＝a(t－150)2＋100(a≠0)， 将 t＝50，Q＝150 代入得 a＝2100. ∴g(t)＝2100(t－150)2＋100(0≤t≤300)．
(2)设纯收益为 y 元，当 0≤t≤200 时， y＝f(t)－g(t)
解：(1)由图可知，直线 y 甲＝kx＋b 经过(1,1)和(6,2)，可求得 k＝0.2，b＝0.8. ∴y 甲＝0.2(x＋4)． 同理可得 y 乙＝4(－x＋127)． 故第二年甲鱼池的个数为 26 个，平均生产量为 1.2 万只，全 县出产甲鱼的总数为 26×1.2＝31.2(万只)； (2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数 30 万只，而第 6 年出产甲鱼总数为 20 万只；
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不 知投资A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个 资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的 方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两 个有效数字)
[思路点拨] 先画出投资额与获利的图像，再选择函数 模型．
[精解详析] 设投资额为x万元时， 获得的利润为y万元．在直角坐标系中 画出散点图并依次连接各点，如图所示， 观察散点图可知图像接近直线和抛物线， 因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元 与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资 B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系．

【方法指导】(1)结合分段函数P(x)，用销售价格乘以产量，再减去成本，求得利润f(x)的解析式；
(2)根据二次函数的性质，求得利润f(x)的最大值以及此时的月产量.
学以致用
【解析】(1)由题意，当0≤x≤450时，


f(x)= − x-15000-20x=300x-x2-15000；
故污染物减少50%所需的时间为35个小时.

，
探究：建立指数、对数函数模型解决实际问题
【探究小结】已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代数函数模
型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
【针对训练】一种药在病人血液中的量保持1500 mg以上才有疗效；而低于500 mg病人就有危险.现给某病
【解析】(1)此人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，需要的时间为
以50千米/小时的速度从B地返回A地，需要的时间为
则当0≤x<2.5时，y=60x；当2.5≤x≤3.5时，y=150；
当3.5<x≤6.5时，y=150-50(x-3.5)=-50x+325.


(2)当0≤x<2.5时，60x=100，解得x= ；
【问题3】刻画应用问题的关键是什么?
【答案】将实际问题抽象为数学问题.
抽象概括
1.实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有
依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画.
2.常用的函数模型
(1)一次函数模型，直线上升或下降，单位长度内增长或减少量固定不变.
【针对训练】经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：百件)和价格(单位：元)均

元， 卖出的价格是每份 0.50 元， 卖不掉的报纸还可以每份 0.08 元的价格退回报社．在一个月(30 天)里，有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份．设每天从报社买进 的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使 每月所获得的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得 多少元？
[解析]
由优惠办法(1)得到 y 与 x 的函数关系式为 y＝
2×4＋0.5(x－4)＝0.5x＋6(x≥4 且 x∈N)． 由优惠办法(2)得到 y 与 x 的函数关系式为： y＝(0.5x＋2×4)×92% ＝0.46x＋7.36(x≥4，且 x∈N)． 令 0.5x＋6＝0.46x＋7.36，解得 x＝34， 且当 4≤x<34 时，0.5x＋6<0.46x＋7.36， 当 x>34 时，0.5x＋6>0.46x＋7.36.
(2)文理关： 将实际问题的文字语言转化为数学符号语言， 恰当地设出符号或字母，将总结出来的文字语言表示的等量 关系，转化为数学符号表示的函数等量关系． (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识 进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问 题向数学问题的转化．构建了数学模型之后，要真正解决数 学问题就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力．
[ 分析]
每月所赚得的钱＝卖报收入的总价－付给报社
的总价，而收入的总数分为 3 部分：(1)在可卖出 400 份的 20 天里，收入为 0.5x· 20；(2)在可卖出 250 份的 10 天里，在 x 份报纸中，有 250 份报纸可卖出，收入为 0.5×250×10；(3) 没 有 卖 掉 的 (x － 250) 份 报 纸 可 退 回 报 社 ， 报 社 付 出 (x － 250)×0.08×10 的钱，注意写出函数式的定义域．

北师大版必修1高一数学课件:实际问题的函数建
模
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北师大版高中数学(必修1）4.2《实际问题的函数建模》ppt函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.
例1 某公司一年需要一种计算机元件8 000个,每天需同样多的元件用于组装整机. 该元件每年分n次进货,每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元.已购进而未使用的元件要付库存费,可以认为平均库存量为0.5x件,每个元件的库存费是一年2元.请核算一下,每年进货几次花费最小?
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④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
• （1）认真审题：弄清题意，分清条件与结论，抓 住关键词语和量，理顺数量关系；
• （2）建立函数模型：在理解题意的基础上，通过 列表、画图、引入变量等手段把实际问题转化为 数学问题，把文字语言转化为数学符号语言，建 立符合题意的函数模型；
• （3）求解函数模型得出结论；
1．可用一、二次函数模型解决的实际问题
例6:小王是某房产开发公司的一名工程师，该房地产公 司要在如图所示的矩形拆迁地ABCD上规划出一块矩形地 面PQRC建造住宅小区，但市文物局规定，在三角形AEF 地区内有文物，不得使用三角形AEF内的部分，这可给公 司经理犯难了，设计不好会给公司带来损失的，其实，在 经理为难之际，小王早已经想好了对策！你知道小王是怎 样设计才能使建造住宅小区的面积达到最大的吗？ 已测量出AB长为200米，BC长为160米，AE长为60米， AF长为40米。
• 当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降 为51元？
• 设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为y元，写出 y关于X的函数解析式；
• 当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多 少元？如果订购1000个，利润又是多少元？
例3.《中华人民国和国个所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过起 征点的部分不必纳税，超过起征点的部分为全月应纳税所得额，此项税款按 下表分段累计计算：

做一做1 某地为了改善生态环境,政府决心绿化荒山,计划第一 年先植树0.5万亩,以后每年比上年增加1万亩,结果植树总亩数是时 间(年数)的一次函数,这个函数的图像是下图中的( )
解析:由题意知该一次函数的图像必过(1,0.5)和(2,1.5)两点,故排 除B,C,D. 答案:A
二、用函数模型解决实际问题 函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定 是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解 决. 通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐 标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一 种函数图像,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表 达式,求出具体的函数表达式,再做必要的检验,基本符合实际,就可 以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合.在 自然科学和社会科学中,很多规律、定律都是先通过实验,得到数 据,再通过数据拟合得到的.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
0 < ������ < 100,������∈ N+, (100-������)(1 + 2������%)������ ≥ 100������, 0 < ������ < 100,������∈ N+, 故 2 ∴0<x≤50,x∈N+ . ������ -50������ ≤ 0, 因此当 0<x≤50,x∈N+时 ,能保证第二产业的产值不减少. (2)设该市第二、三产业的总产值每年增加 f(x)(0<x≤50, x∈N+)万元 ,则 f(x)=(100-x)(1+2x%)a-100a+1.2ax ������ ������ =- (x2-110x)=- [(x-55)2-3 025]. 解 :(1)由题意得

• y第五1级.01 e0.115x (105 Pa)
把 x=6.712代入上述函数式，得 y 1.01 e0.1156.712 ≈0.4668 (105Pa)
答：7 (km)高空的大气压强为0.4516 (105Pa).
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(2)由1.01·e-0.115x=0.5066
• 单击此为处r编，设辑本母利版和文为本y，样存式期为x，写出本利和y随存期x变化
• 第二的级函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计 • 第算三5级期后的本利和是多少？
• 第四级
思路•分第析五级
（1）复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本
金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P，每
总• 第金四额级最大？
• 第五级
(2)如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围.
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解：(1)设商品现在定价为a元，卖出的数量为b个。由题设：
• 单击此当处价编格辑上母涨版x%文时本，销样售式总额为
• 第二级y a(1 x%) b(1 kx%)
•
• 第如三表级所示：
• 第四级
销售• 单第价五级/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获 得最大利润？
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单击此分析处：编由表辑中信母息可版知①标销售题单样价每式增加1元，
有计算器计算得 y=63.98， 由于 78 1.22 1.2
63.98

第十页，共33页。
数学(shùxué)建 模过程：
实际(shíjì)问题
抽象(chōuxiàng)概括
数学模型
推 理 演 算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
第十一页，共33页。
例1 某公司一年需要一种计算机元件 8000个,每天需同样多的元件用于组装 整机.该元件每年分n次进货,每次购买(gòumǎi) 元件的数量均为x,购一次货需手续费 500元.已购进而未使用的元件要付库 存费,可以认为平均库存量为 x件1 , 每个元件的库存费是一年2元.请2核算一下,每年进货几次花 费最小?
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取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx
得：
7.9
a
b70
用计算4器7.得25：a
a
2b,16b0
1.02
这样就得到(dé dào)函数模型：y=2 1.02x
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(2)若体重超过相同身高(shēn ɡāo)男性体重的平均值的1.2倍为偏 胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高(shēn ɡāo)为175㎝, 体重为78㎏的在校男生的体重是否正常?
当x=4时，y2
0.8
(1)4 2
1.4
1.35
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由四月份的实际(shíjì)产量为1.37万件,
| y2 1.37 | 0.02 0.07 | y1 1.37 | ∴选用(xuǎnyòyng)函0数.8 ( 1 )x 1.作4 模拟函数较好。
2
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4.(2012· 马鞍山高一检测)某公司生产一种电 子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需要增加投入 100 元，

【解】 (1)设药物释放过程中即 t∈(0,0.1)时，y 与 t 的函数关系式为 y＝kt， 将(0.1,1)代入 y＝kt，得 1＝0.1k，所以 k＝10，y＝10t. t∈[0.1，＋∞)时，将(0.1,1)代入 y＝116t－a，得116110－a＝1，a＝110.
10t，t∈0，0.1， 故所求函数关系式为：y＝116t－110，t∈[0.1，＋∞.
幂函数模型
y＝ axn＋b
a＞0 且 a≠1 ， b≠0 m≠0 ， a＞0 且 a≠1
a≠0
第七页，共63页。
2.数据拟合 通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的 点，观察这些点的整体特征，看它们接近我所熟悉的哪一种函数 图像(tú，xià选nɡ定) 函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数 表达式， 再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律， 这种方法称为数据拟合．
当 200＜t≤300 时， y＝f(t)－g(t)＝(2t－300)－[2010(t－150)2＋100]＝－2100t2＋72t－1 0225＝－2100 (t－350)2＋100. 当 t＝300 时取到最大，最大值为 87.5. 故从 2 月 1 日起第 50 天上市的西红柿纯收益最大．
第二十四页，共63页。
第二十页，共63页。
【精彩点拨】 本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征， 抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题．
第二十一页，共63页。
【尝试解答】 (1)f(t)＝－ 2t－t＋330000，，200≤ 0＜t≤t＜20300， 0. 设 g(t)＝a(t－150)2＋100(a≠0)， 将 t＝50，Q＝150 代入得 a＝2100. ∴g(t)＝2100(t－150)2＋100(0≤t≤300)．

思考：
例3给我们带来了什么 启示？把这种处理数据方法 叫作什么呢？
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过 绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些 点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种 函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入 这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达 式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以 确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法 称为数据拟合。
阅读,分析,联 想,转化,抽象
建立数 学模型
练习Ｐ125 作业P130：A组：2； B组：1
小结：掌握解决应用题的步骤及 思维方式。
谢谢大家！
解：(1)以身高为横坐标,体重为纵坐 标,画出散点图
60
根据图的分布 50
特点,设y=a·bx 40
这一函数来近
30 20
似刻画其关系; 10
0
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60
取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx
例3 电器材厂在生产扬声
器的过程中，有一道重要
的工序：使用AB胶粘合
扬声器中的磁钢与夹板.思考如下问题：
长用溢已期量有;或以没一用来有些胶一 恰,由过个 当于少确 用对 ,定 胶产A的量B生是么胶（标的脱1否方的）准具胶磁具法体,,钢有可经影数数面函以常响关据积数确出了系.与关定现产？用系是用品胶？ 什胶质量用 么过量间什 函多.经,脱过水实外验,
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
磁钢面积
（2）确定函数类型后，如
/cm2
何求出具体的函数解析式？ 11.0 19.4 26.2 46.6 56.6 67.2 125.2 189.0 247.1 443.4

高中同步新课标·数学
在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻 画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注
意提高读图的能力．另外，本例题涉及到了分段函数，分段
函数是刻画现实问题的重要模型．
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练一练 1．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产
量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升 到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
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请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了 还是缩小了？说明理由； (3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？ 解：(1)由图可知，直线 y 甲＝kx＋b 经过(1,1)和(6,2)，可 求得 k ＝ 0.2 ， b ＝ 0.8. ∴ y 甲 ＝ 0.2(x ＋ 4) ．同理可得 y 乙 ＝ 17 4－x＋ 2 . 故第 2 年甲鱼池的个数为 26 个， 全县出产甲鱼的总数为 26×1.2＝31.2(万只)； (2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数 30 万只， 而第 6 年出产甲鱼总数为 20 万只； 高中同步新课标·数学
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提示：③可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识 变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图 所示， 由散点图可知，图像不是直线，排除④项；图像不符合 对数函数的图像特征，排除①项； 2 2 t － 1 3 －1 t 3 当 t＝3 时，2 －2＝2 －2＝6， 2 ＝ 2 ＝4， t2－1 由表格知当 t＝3 时，u＝4.04，模型 u＝ 2 能较好地 体现这些数据关系．

事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0<x<100).而分流出
的从事第三产业的人员平均每人每年可创造产值1.2a万元.
(1)若要保证第二产业的产值不减少,求x的取值范围;
(2)在(1)的条件下,问应分流出多少万人,才能使该市第二、第三产业的总
产值每年增加最多?
解 (1)由题意得
0 < < 100,∈N+ ,
(1)某种商品进价为每件360元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若
按九折出售,则每件还能获利.( × )
(2)某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出
20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为
y=-4x+200.( × )
(3)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( √ )
速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.(5)对数型函数模
型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增
大的速度越来越慢(底数a>1,m>0).(6)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0),其增长特
点是y随x的增大而增大(n>0,a>0,x>0).
0 < < 100,∈N+,
2 -50 ≤ 0,
∴0<x≤50,x∈N+.
因此当 0<x≤50,x∈N+时,能保证第二产业的产值不减少.
(2)设该市第二、三产业的总产值每年增加f(x)(0<x≤50,x∈N+)万元,则
2

f(x)=(100-x)(1+2x%)a+1.2ax-100a=-50(x -110x)=-50[(x-55)2-3