高中数学-函数模型的应用实例(一)

《函数模型的应用实例》一、教学内容分析：本节课选自人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解决问题．例5所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建立数学模型的方法．例6与例5有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确这一点．整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团队合作能力．二、教学目标：知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图．2．会利用选择或建立的函数模型．3．会运用函数模型解决实际问题．过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．3．提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度．三、学生学情分析：1．已掌握了一些基本初等函数的相关知识，有相应的数学基础知识储备．2．在前面的学习中，初步体会了利用给定函数模型解决实际问题的经历，为本节课积累解决问题的经验．3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转化较弱；应用意识和应用能力不强；抽象概括和局部处理能力薄弱．四、教学重点、难点重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．五、教学策略分析：基于新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者的教学理念和最近发展区理论，结合本节课的教学目标，采用如下教学方法：1．问题教学法．在例1的教学中，提出如何能更为直观的发现函数模型，引导学生思考，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，从而让学生有收获，有成就感．在例2的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的剖析，直达问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，并使学生从中体会学习的兴趣．这样可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力．2．分组讨论法．在例2的教学中，遇到难以选择模型时，通过小组讨论，拓展思维，加强合作，解决问题；在获得函数模型后和课堂总结中，组织小组讨论，相互交流成果，扩大成果影响力．这样不仅能够培养学生对数学知识的探索精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培养其学习的主动性．3．多媒体辅助教学法：在教学过程中，采用多媒体教学工具，通过动态演示有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。

3.4.2函数模型及其应用（1）教学目标：1．能根据实际问题的情境建立数学模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答；2．通过实例，理解一次函数、二次函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；3．在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：一次函数、二次函数以及指、对数函数等常见函数的应用．教学难点：从生活实例中抽象出数学模型.教学过程：一、问题情境某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问:（1）写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式;（2）计算10年后该城市的人口数；（3）计算大约多少年后，该城市人口将达到120万?（4）如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少？二、学生活动回答上述问题，并完成下列各题：1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为．2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，其定义域为．三、数学应用例1某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C (万元)、单位成本P (万元)、销售收入R (元)以及利润L (万元)关于总产量x 台的函数关系式．例2 大气温度y (℃)随着离开地面的高度x (km)增大而降低，到上空11 km 为止，大约每上升1 km ，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．求：（1） y 与x 的函数关系式；（2）x ＝3.5 km 以及x ＝12km 处的气温．变式：在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度． 四、建构数学利用数学某型解决实际问题时，一般按照以下步骤进行：1．审题：理解问题的实际背景，概括出数学实质，尝试将抽象问题函数化；2．引进数学符号，建立数学模型，即根据所学知识建立函数关系式，并确定函数的定义域；3．用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果；4．将数学问题的解代入实际问题进行检验，舍去不合题意的解，并作答.五、巩固练习1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x 件时的成本函数是C (x )＝200＋10x ＋0.5x 2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到 元．2．有m 部同样的机器一起工作，需要m 小时完成一项任务．设由x 部机 器（x 为不大于m 的正整数）完成同一任务，求所需时间y (小时)与机器的 部数x 的函数关系式．3．A ，B 两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A 到B ，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A ，则汽车离开A 地的距离x 与时间t的函数关系式为．4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需16min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？5．某产品总成本C(万元)与产量x(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240．若每台产品售价25万元，要使厂家不亏本，则最少应生产多少台？六、要点归纳与方法小结1．利于函数模型解决实际问题的基本方法和步骤；2．一次函数、二次函数等常见函数的应用．七、作业课本P100－练习1，2，3．。

函数模型的应用实例教案教案：函数模型的应用实例一、课程背景在数学教学中，函数是一个非常重要的概念，在实际生活中也有许多应用。

函数模型是数学中一种常用的模型方法，它可以很好地描述和解决一些实际问题。

本课程将以函数模型的应用实例为切入点，帮助学生理解函数模型的概念和运用方法。

二、教学目标1.知识与能力目标：-理解函数模型的基本概念；-掌握函数模型的建立方法；-运用函数模型解决实际问题。

2.过程与方法目标：-引导学生发现问题和解决问题的方法；-培养学生的创新思维和实际应用能力；-培养学生的合作学习和表达能力。

3.情感态度和价值观目标：-培养学生对数学的兴趣和热爱；-培养学生的团队协作和分享精神；-培养学生的实际问题解决能力。

三、教学过程1.引入（10分钟）-介绍函数的概念和作用，以及函数模型在实际中的应用；-分享一个有关函数模型的实际问题，如汽车行驶的距离与时间的关系。

2.探究（20分钟）- 提出一个问题：假设一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶时间为t小时，求行驶的距离d；-学生们自主讨论解决此问题的思路和方法；-指导学生建立函数模型：行驶距离d与行驶时间t之间的关系可以用函数d(t)表示，其中d(t)=60t。

3.拓展（30分钟）-提出更多有关函数模型的实际问题，如货物运输成本与距离的关系、人口增长与时间的关系等；-学生们自主讨论解决这些问题的方法，并建立相应的函数模型；-学生们分为小组，互相分享并比较各自的解决方法和函数模型。

4.总结（15分钟）-引导学生总结函数模型的建立方法：观察题目中的各种因素，确定变量及其之间的关系，建立函数模型；-引导学生总结函数模型的应用领域：经济、物理、生物等各个领域均有函数模型的应用。

5.展示（20分钟）-邀请几个学生上台演示他们解决实际问题的步骤和函数模型；-学生们展示自己的函数模型，分享成功的经验和困惑；-整理和归纳学生们的展示内容，进行点评和讨论。

六、教学评价1.形成性评价：观察学生的探究过程和成果，给予及时的反馈和指导；2.自评和互评：学生们根据课堂表现、参与度和拓展能力进行自我评价和互评；3.总结性评价：布置作业，让学生运用函数模型解决其他实际问题，并提交书面报告。

《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。

1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。

（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。

1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。

（2）函数模型在实际问题中的应用实例。

第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。

2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。

2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。

（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。

第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。

3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。

3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。

（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。

第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。

4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。

4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。

（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。

第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。

5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。

（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。

5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。

（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。

3．4 函数的应用(一)学习目标初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．知识点一一次函数模型形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.知识点二二次函数模型1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．知识点三幂函数模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．预习小测自我检验1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C解析 由题意，先匀速行驶，位移时间图象应是直线，停留一段时间，应该是平行于x 轴的一段线段，之后加速，应该是上凸的曲线．2．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y (g/m 3)与大气压强x (kPa)成正比例函数关系．当x ＝36 kPa 时，y ＝108 g/m 3，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝3x (x ≥0)B ．y ＝3xC ．y ＝13x (x ≥0)D ．y ＝13x答案 A一、一次函数模型的应用实例例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大． 解 设每天从报社买进x 份(250≤x ≤400)报纸；每月所获利润是y 元，则每月售出报纸共(20x ＋10×250)份； 每月退回报社报纸共10×(x －250)份．依题意得，y ＝(0.40－0.24)×(20x ＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x －250)． 即y ＝0.16(20x ＋2 500)－0.16(10x －2 500)， 化简得y ＝1.6x ＋800，其中250≤x ≤400， 因为此一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)的k ＝1.6>0， 所以y 是一个单调增函数，再由250≤x ≤400知， 当x ＝400时，y 取得最大值， 此时y ＝1.6×400＋800＝1 440(元)．所以买进400份所获利润最大，获利1 440元． 反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．跟踪训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y (元)是行李质量x (kg)的一次函数，其图象如图所示．(1)根据图象数据，求y 与x 之间的函数关系式． (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？ 解 (1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b . 由图象可知，当x ＝60时，y ＝6； 当x ＝80时，y ＝10.所以⎩⎪⎨⎪⎧60k ＋b ＝6 ，80k ＋b ＝10.解得k ＝15，b ＝－6.所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧15x －6，x >30，0，x ≤30.(2)根据题意，当y ＝0时，x ≤30.所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg. 二、二次函数模型的应用实例例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y 只和实际蓄养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值) (1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围． 解 (1)根据题意，由于最大蓄养量为m 只，实际蓄养量为x 只，则蓄养率为x m ，故空闲率为1－x m，由此可得y ＝kx ⎝⎛⎭⎪⎫1－x m(0<x <m )．(2)对原二次函数配方，得y ＝－k m(x 2－mx )＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km4.即当x ＝m 2时，y 取得最大值km4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量， 即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km4， 所以0<m 2＋km4<m ， 解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.反思感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．跟踪训练2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 解 由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元， 在此情况下的日均销售量为480－40(x －1)＝(520－40x )(桶)． 令520－40x >0，则0<x <13.y ＝(520－40x )x －200＝－40x 2＋520x －200＝－40(x －6.5)2＋1 490,0<x <13. 易知，当x ＝6.5时，y 有最大值．所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润． 三、幂函数与分段函数模型例3 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x (万元)与药品利润y (万元)存在的关系为y ＝x α(α为常数)，其中x 不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元． 答案 125解析 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y ＝x α中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y ＝x 3，所以当x ＝5时，y ＝125.(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费． ①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？ ③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？解 设上网时间为x 分钟，由已知条件知所付费用y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x <1，0.5x ，1≤x ≤60，30，60<x ≤500，30＋0.15x －500，x >500.①当x ＝20×60＝1 200，即x >500时，应付y ＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．②90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由30＋0.15(x －500)＝90可得，上网时间为900分钟．③令60＝30＋0.15(x －500)， 解得x ＝700.故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个月使用量不超过700分钟)时选择手机上网． 反思感悟 (1)处理幂函数模型的步骤 ①阅读理解、认真审题．②用数学符号表示相关量，列出函数解析式． ③根据幂函数的性质推导运算，求得结果． ④转化成具体问题，给出解答． (2)应用分段函数时的三个注意点①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．跟踪训练3 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )． (1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解 (1)根据题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋200⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45－2t ＋200，31≤t ≤50，t ∈N ，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， 当t ＝20时，S 的最大值为6 400.②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，当t＝31时，S的最大值是6 210.因为6 210<6 400，所以当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A．200副B．400副C．600副D．800副答案 D解析每天的利润W(x)＝10x－y＝10x－(5x＋4 000)＝5x－4 000.令W(x)≥0，∴5x－4 000≥0，解得x≥800.所以为了不亏本，日产手套至少为800副．2．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )A．100 km B．125 kmC．150 km D．225 km答案 C解析t＝2时，汽车行驶的路为s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km)．3．按复利计算利率的储蓄，存入银行5万元，年息为6%，利息税为20%,4年后支取，可得利息税为人民币( ) A ．5(1＋0.06)4万元 B ．(5＋0.06)4万元 C ．[(1＋0.06)4－1]万元 D ．[(1＋0.06)3－1]万元 答案 C解析 由已知4年利息和为5×(1＋6%)4－5，扣除20%的利息税，即得利息税为人民币5×[(1＋6%)4－1]×20%＝(1＋6%)4－1＝(1＋0.06)4－1.4．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______ m. 答案 3解析 设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2， 则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x＝－2(x －3)2＋18,0<x <6， 所以当x ＝3时，S 有最大值为18.5．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解 设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680,0≤x ≤210.∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴当x ＝210时，R (x )max ＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．1．知识清单：实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，分段函数模型．2．方法归纳：解函数应用题的基本步骤：审题，建模，求模，还原． 3．常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域．1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2 000，x ∈N *) B ．y ＝0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000，x ∈N *) C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2 000，x ∈N *) D ．y ＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000，x ∈N *) 答案 D解析 由题意知，变速车存车数为(2 000－x )辆次， 则总收入y ＝0.5x ＋(2 000－x )×0.8 ＝0.5x ＋1 600－0.8x＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000，x ∈N *)．2．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本( ) A ．18% B ．20% C ．24% D ．36%答案 B解析 设平均每年降低成本x ， 则(1－x )2＝0.64，得x ＝0.2＝20%.3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量的收入是( )A ．310元B ．300元C ．290元D ．280元答案 B解析 设y ＝kx ＋b (k ≠0)，代入(1,800)和(2,1 300)，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝500，b ＝300.所以y ＝500x ＋300，当x ＝0时，y ＝300.4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x <10，x ∈N *，2x ＋10，10≤x <100，x ∈N *，1.5x ，x ≥100，x ∈N *.其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( ) A ．15 B ．40 C ．25 D ．130 答案 C解析 令y ＝60，若4x ＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意，故拟录用人数为25.5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A．30元B．42元C．54元D．越高越好答案 B解析设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)(162－3x)．上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.所以当x＝42时，利润最大．6．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产机器________台．答案50解析设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500.故当x＝50台时，获利润最大．7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为________________．答案 y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，0≤x ≤30，2，30<x <40，110x －2，40≤x ≤60解析 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，0≤x ≤30，2，30<x <40，110x －2，40≤x ≤60.8．某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2021年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率相同，则2020年预计经营总收入为________万元． 答案 1 300解析 设从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率为x . 由题意，得2019年经营总收入为40040%＝1 000(万元)，则有1 000(1＋x )2＝1 690. 解得x ＝0.3，故2020年预计经营总收入为 1 000(1＋0.3)＝1 300(万元)．9．某游乐场每天的盈利额y 元与售出的门票张数x 之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？ 解 (1)由图象知，当x ∈[0,200]时，可设y ＝kx ＋b ， 代入点(0，－1 000)和(200,1 000)， 解得k ＝10，b ＝－1 000， 从而y ＝10x －1 000，x ∈[0,200]．当x ∈(200,300]时，代入点(200,500)和(300,2 000)， 解得k ＝15，b ＝－2 500，x ∈(200,300]． 从而y ＝15x －2 500，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －1 000，x ∈[0，200]，15x －2 500，x ∈200，300].(2)每天的盈利额超过1 000元，则x ∈(200,300]， 由15x －2 500>1 000得，x >7003，故每天至少需要卖出234张门票．10．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．(1)设甲地调运x 台至B 地，该公司运往A ，B 两地的总运费为y 元，求y 关于x 的函数解析式； (2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？ 解 (1)甲地调运x 台到B 地， 则剩下(6－x )台电脑调运到A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N )，则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，所以y＝20x＋960(x∈N，且0≤x≤6)．(2)若使y≤1 000，即20x＋960≤1 000，得x≤2.又0≤x≤6，x∈N，所以0≤x≤2，x∈N.所以x＝0,1,2，即有3种调运方案．11．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( )A．①B．①②C．①③D．①②③答案 A解析由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡？( ) A ．3人 B ．4人 C ．5人 D ．6人答案 B解析 水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ， 当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，28965≈4.4，故至多可供4人洗澡．13.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x ，y 应分别为________．答案 15,12解析 由题干图知x ，y 满足关系式x 20＝24－y16，即y ＝24－45x ，矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫24－45x ＝－45(x －15)2＋180，故x ＝15，y ＝12时，S 取最大值．14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米． 答案 14.59 9解析 设出租车行驶x 千米时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋ 2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋ 2.85x －8＋1，x >8，当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6， 解得x ＝9.15．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－30答案 A解析 设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.16．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解 (1)设旅行团人数为x ，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，x ∈N *，900－10x －30，30<x ≤75，x ∈N *，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，x ∈N *，1 200－10x ，30<x ≤ 75，x ∈N *.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，x ∈N *，x 1 200－10x －15 000，30<x ≤75，x ∈N *.即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，x ∈N *，－10x －602＋21 000，30<x ≤75，x ∈N *.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上单调递增， 当x ＝30时，S 取最大值12 000.又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上的对称轴为x ＝60， 当x ＝60时，S 取最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．。

目录函数的应用(Ⅰ) (1)【学习目标】 (1)【要点梳理】 (1)【典型例题】 (3)【巩固练习】 (11)函数的应用(Ⅰ)撰稿：柏兴增 审稿：柏兴增【学习目标】1.通过实例理解有关一次函数和二次函数的有关问题，会解数学模型为一次函数和二次函数的有关应用问题.2.学会独立思考，提高分析问题、解决问题的能力.【要点梳理】要点一：一次函数模型的应用1.一次函数的一般形式：(0)y kx b k =+≠，其定义域是R ，值域是R .要点二：二次函数模型的应用1.二次函数的一般形式是2(0)y ax bx c a =++≠，其定义域为R . 2.若0a >，则二次函数2y ax bx c =++在2b x a =-时有最小值244ac b a -； 若0a <，则二次函数2y ax bx c =++在2b x a =-时有最大值244ac b a -.3.建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答.要点三：数学建模1．数学建模的过程2.数学建模的步骤：第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息.第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果.第四步：再转译为具体问题作出解答.3．函数模型的综合应用函数的应用题是利用函数模型解决实际问题。

在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段：第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的。

3.2.2函数模型的应用实例练案1.一般地，家庭用电量（k W ·h）与气温（℃）有一定的关系，如图3 -2-17所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（）A.气温最高时，用电量最多B.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加2.如图所示，直角梯形OABC 中，AB∥OC，AB =1，OC =BC =2，直线l：x=t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S = f（t）的图象大致为图中的（）3.某厂有形状为直角梯形的边角料，现从中截取矩形铁片（如图），当矩形面积最大时，矩形的两边x、y分别应为（）A.x=15，y=12B.x=14，y=10C.x=12，y=15D.x=10，y=144.某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20% ，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为0.8万元，第二年起与老工人的年薪相同，若以今年为第一年，那么第n年企业付给工人的工资总额y（万元）表示成n的函数，其表达式为（）A.y=（3n+5）·1.2n+2.4B.y=8 ×1.2n+2.4nC.y=（3n+8）·1.2n+1+2.4D.y=（3n+5）×1.2n-1+2.45.设在海拔x m处的大气压强是y P a，y与x之间的函数关系式是y=e kx，其中c，k 为常量，已知某地某天在海平面的大气压为 1.01 × 105P a，1000 m高空的大气压为0.9 × 105P a，则600 m高空的大气压强为.6.某批发商批发某种商品的单价P（单位：元/kg）与一次性批发数量Q单位：kg）之间的函数图象如图，一零售商仅有现金 2 700元，他最多可购买这种商品kg（不考虑运输费等其他费用）.7.某市原来的民用电价为0.52元/k W ·h，换装分时电表后，峰时段的电价为0.55元/k W ·h，谷时段的电价为0.30元/k W ·h，对于一个平均每天用电量为15 k W ·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的20% ，则这个家庭每天在峰时段的平均用电量至多为k W ·h.8.某债券市场发行三种债券：A 种面值100 元，一年到期本利共103元；B 种面值50元，半年到期，本利共50.9元；C 种面值为100元，但买入时只需付97元，一年到期拿回100元，则三种投资收益比例从小到大排列为.9.“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1 000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过 1 000元部分需征税，设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为x，x=全月总收入-1 000元，税率见下表：级数全月应纳税所得额x税率1 不超过500元部分5%2 超过500元至2000元部分10%3 超过2000元至5000元部分15%9 超过100000元部分45%（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示 1 -3级纳税额f（x）的计算公式；（2）某人2004年10月份工资总收入为 4 200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？10.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量a（m3）只付基本费8元和每户每月定额损耗费c元；若用水量超过a（m3）时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元.该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：月份用水量（m3）水费1 9 92 15 193 22 33根据表中的数据，求a、b、c.11.如图所示铁路线上AB 段的长为100 km，工厂C 到铁路的距离CA 为20 km，现要在AB 上某一点 D 处，向 C 修一条公路，已知铁路每吨·千米的运费与公路每吨·千米的运费之比为3∶5，为了使原料从供应站B 运到工厂C 的运费最少，D 点应3.A 点 拨：由 比 例 关 系, 23162082482020=+--=-y x y x 得∴ y =⎪⎭⎫ ⎝⎛-2023x ·16，∴ S=xy = -54（x -15）2+180，当 x =15，y =12时 S 最大=5.0.943 × 105P a 点拨：先将已知数据代入函数式 y = c e kx 得 c =1.01 ×105，k = -1.15 ×10-4，故 y =1.01 ×105× e -1.15 ×10 -4x ，再将 x =600代入即得.6.90 点拨：由图可知，当 50 <Q ≤100时，单价为 30，当 100 < Q ≤150时单价为 27，但购货款只有 2 700，则不能享受单价 27，而只能享受单价 30，可以购买商品的数量为 2 700 ÷30 =90（kg ）.7.6.96 点拨：设这个家庭每天平均用电量至少为 x ，则 15 × 0.52 ×80% =x ×0.55 +（15 -x ）×0.3 6.24 =4.5 +0.25x x =6.96.8.ACB 点拨：A 种投资收益为 3% ，B 种面值收益 2 ×50509.09.0++=3.6% ，C 种面值收益973=3.09% ，比较可得由小到大为 A 、C 、B. 9.（1）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+⋅≤<+≤≤000500021750002150000250025500105000 050 x ) (. x)?x-.x x . （2）355元 点拨：这个人 10 月份纳税所得额 x = 4 200 - 1 000 =3 200，f （3 200）=0.15（3 200 -2 000）+175 =355.10.a =10，b =2，c =1 点拨：设每月用水量为 x m 3，支付费用为 y 元，则 y =8 08⎩⎨⎧>++≤≤+②①a x cb(x-a) a x c 由题意知 0 <c <5，∴ 8 +c ≤13.由表知第二、三月份该户水费超过 13元，故用水量为 15 m 3、22 m 3，均大于 最 低 限 量 a m 3，将 x = 15，x = 22 分 别 代 入 ② 中 得：⎩⎨⎧++=++=c-a b c -a b )22(833)5(819，得 b =2.∴ 2a =c +19.③。