第3章 确定性推理方法

第三章确定性推理方法习题参考解答3.1 练习题3.1 什么是命题？请写出3个真值为T 及真值为F 的命题。

3.2 什么是谓词？什么是谓词个体及个体域？函数与谓词的区别是什么？3.3 谓词逻辑和命题逻辑的关系如何？有何异同？3.4 什么是谓词的项？什么是谓词的阶？请写出谓词的一般形式。

3.5 什么是谓词公式？什么是谓词公式的解释？设D= {1,2} ，试给出谓词公式（ x）（ y）（P（x,y） Q（x,y））的所有解释，并且对每一种解释指出该谓词公式的真值。

3.6对下列谓词公式分别指出哪些是约束变元？哪些是自由变元？并指出各量词的辖域。

（1）( x)(P(x, y) ( y)(Q(x, y) R(x, y)))（2）( z)( y)(P(z, y) Q(z, x)) R(u, v)（3）( x)(~ P( x, f (x )) ( z)(Q(x,z) ~ R(x,z)))（4）( z)(( y)(( t)(P(z, t) Q(y, t)) R(z, y))（5）( z)( y)(P(z, y) ( z)(( y)(P(z, y) Q(z, y) ( z)Q(z, y))))什么是谓词公式的永真性、永假性、可满足性、等价性及永真蕴含？3.7什么是置换？什么是合一？什么是最一般的合一？3.8判断以下公式对是否可合一；若可合一，则求出最一般的合一：3.9（1）P(a,b) ，P(x, y)（2）P(f(z),b) ，P(y, x)（3）P(f(x), y) ，P(y, f(a))（4）P(f(y), y,x) ，P(x, f(a), f(b))（5）P(x, y) ，P(y, x)什么是范式？请写出前束型范式与SKOLEM 范式的形式。

3.10什么是子句？什么是子句集？请写出求谓词公式子句集的步骤。

3.113.12谓词公式与它的子句集等值吗？在什么情况下它们才会等价？3.13 把下列谓词公式分别化为相应的子句集：(1)( z)( y)(P(z, y) Q(z, y))(2)( x)( y)(P(x, y) Q(x, y))(3)( x)( y)(P(x, y) (Q(x, y) R(x, y)))(4)( x)( y)( z)(P(x, y) Q(x, y) R(x, z))(5)( x)( y)( z)( u)( v)( w)(P(x, y,z,u,v,w) (Q(x, y, z,u, v, w) ~R(x, z, w)))3.14 判断下列子句集中哪些是不可满足的：(1)S {~ P Q,~ Q,P,~ P}(2)S {P Q,~ P Q,P ~ Q,~ P ~ Q}(3)S {P(y) Q(y), ~ P(f(x)) R(a)}(4)S {~ P(x) Q(x), ~ P(y) R(y), P(a),S(a),~ S(z) ~ R(z)}(5)S {~ P(x) ~ Q(y) ~ L(x, y), P(a), ~ R(z) L(a, z), R(b), Q(b)}(6)S {~ P(x) Q(f(x), a), ~ P(h(y)) Q(f(h(y)), a) ~ P(z)}(7)S {P(x) Q(x) R(x),~ P(y) R(y),~Q(a),~ R(b)}(8)S {P(x) Q(x),~ Q(y) R(y), ~ P(z) Q(z),~ R(u)}3.15 为什么要引入Herbrand 理论？什么是H 域？如何求子句集的H 域？3.16 什么是原子集？如何求子句集的原子集？3.17 什么是H 域解释？如何用域D 上的一个解释I 构造H 域上的解释I *呢？3.18 假设子句集S＝{P(z) ∨Q(z),R(f(t))} ，S 中不出现个体常量符号。

确定性与不确定性推理主要方法1.确定性推理：推理时所用的知识与证据都是确定的，推出的结论也是确定的，其真值或者为真或者为假。

2.不确定性推理：从不确定性的初始证据出发，通过运用不确定性的知识，最终推出具有一定程度的不确定性但却是合理或者近乎合理的结论的思维过程。

3.演绎推理：如：人都是会死的（大前提）李四是人（小前提）所有李四会死（结论）4.归纳推理：从个别到一般：如：检测全部产品合格，因此该厂产品合格；检测个别产品合格，该厂产品合格。

5.默认推理：知识不完全的情况下假设某些条件已经具备所进行的推理；如：制作鱼缸，想到鱼要呼吸，鱼缸不能加盖。

6.不确定性推理中的基本问题：①不确定性的表示与量度：1)知识不确定性的表示2)证据不确定性的表示3)不确定性的量度②不确定性匹配算法及阈值的选择1)不确定性匹配算法：用来计算匹配双方相似程度的算法。

2)阈值：用来指出相似的“限度”。

③组合证据不确定性的算法最大最小方法、Hamacher方法、概率方法、有界方法、Einstein方法等。

④不确定性的传递算法1)在每一步推理中，如何把证据及知识的不确定性传递给结论。

2)在多步推理中，如何把初始证据的不确定性传递给最终结论。

⑤结论不确定性的合成6.可信度方法：在确定性理论的基础上，结合概率论等提出的一种不确定性推理方法。

其优点是：直观、简单，且效果好。

可信度：根据经验对一个事物或现象为真的相信程度。

可信度带有较大的主观性和经验性，其准确性难以把握。

C－F模型：基于可信度表示的不确定性推理的基本方法。

CF（H，E）的取值范围: [-1,1]。

若由于相应证据的出现增加结论 H 为真的可信度，则 CF（H，E）> 0，证据的出现越是支持 H 为真，就使CF（H，E) 的值越大。

反之，CF（H，E）< 0，证据的出现越是支持 H 为假，CF（H，E）的值就越小。

若证据的出现与否与 H 无关，则 CF（H，E）= 0。

明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．反证法在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相冲突，或与命题中的已知条件相冲突，或与假定相冲突，从而说明命题结论的反面不行能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．2．反证法的证题步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出冲突；(3)否定假设，确定结论．[情境导学]王戎小时候，爱和小伴侣在路上玩耍．一天，他们发觉路边的一棵树上结满了李子，小伴侣一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小伴侣们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子肯定是苦的．”这就是有名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．探究点一反证法的概念思考1通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最终得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这样的证明方法称为反证法．思考2反证法证明的关键是经过推理论证，得出冲突．反证法引出的冲突有几种状况？答(1)与原题中的条件冲突；(2)与定义、公理、定理、公式等冲突；(3)与假设冲突．思考3反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清楚；②假如从正面证明，需要分成多种情形进行分类争辩，而从反面进行证明，只要争辩一种或很少的几种情形．探究点二用反证法证明几何问题例1已知直线a，b和平面α，假如a⃘α，bα，且a∥b，求证：a∥α.证明由于a∥b，所以经过直线a，b 确定一个平面β.由于a⃘α，而aβ，所以α与β是两个不同的平面．由于bα，且bβ，所以α∩β＝b.下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，则P∈α∩β＝b，即点P 是直线a与b的公共点，这与a∥b冲突．所以a∥α.反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论假如难以直接证明时，可考虑用反证法．跟踪训练1 如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.求证：直线b与平面α必相交．证明假设b与平面α不相交，即bα或b∥α.①若bα，由于b∥a，a⃘α，所以a∥α，这与a∩α＝A相冲突；②如图所示，假如b∥α，则a，b确定平面β.明显α与β相交，设α∩β＝c，由于b∥α，所以b∥c.又a∥b，从而a∥c，且a⃘α，cα，则a∥α，这与a∩α＝A相冲突．由①②知，假设不成立，故直线b与平面α必相交．探究点三用反证法证明否定性命题例2 求证：2不是有理数．证明假设2是有理数．于是，存在互质的正整数m，n，使得2＝mn，从而有m＝2n ，因此m2＝2n2，所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有4k2＝2n2，即n2＝2k2，所以n也为偶数．这与m，n互质冲突．由上述冲突可知假设错误，从而2不是有理数．反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不行能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．跟踪训练2已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列冲突，故a，b，c不成等差数列．探究点四含至多、至少、唯一型命题的证明例3 若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．证明假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．由于α≠β，不妨设α<β，又由于函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)冲突，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．反思与感悟当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，留意精确写出命题的假设．跟踪训练3若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0冲突，故a、b、c中至少有一个大于0.1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°答案B3．“a <b ”的反面应是( ) A ．a ≠b B ．a >b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a >b 答案 D4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( ) A ．a 不垂直于c B ．a ，b 都不垂直于c C ．a ⊥bD ．a 与b 相交答案 D5．已知a ≠0，证明：关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．证明 由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝ba.假如方程不止一个根，不妨设x 1，x 2是它的两个不同的根，即ax 1＝b ， ① ax 2＝b . ②①－②，得a (x 1－x 2)＝0.由于x 1≠x 2，所以x 1－x 2≠0，所以应有a ＝0，这与已知冲突，故假设错误． 所以，当a ≠0时，方程ax ＝b 有且只有一个根． [呈重点、现规律] 1．反证法证明的基本步骤(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设动身，经过规律推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实冲突；(推缪) (3)由冲突判定假设不正确，从而确定原命题的结论是正确的．(结论) 2．反证法证题与“逆否命题法”的异同反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到冲突即可，可以与题设冲突，也可以与假设冲突，还可以与定义、定理、公式、事实冲突．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．一、基础过关1．反证法的关键是在正确的推理下得出冲突．这个冲突可以是( )①与已知条件冲突 ②与假设冲突 ③与定义、公理、定理冲突 ④与事实冲突A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④答案 D2．否定：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数 答案 D解析 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数”．3．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 B解析 ①错：应为a ≤b ；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a 、b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除答案 B解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为______________．答案 a ，b ，c 都不是偶数解析 a ，b ，c 中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a ，b ，c 都不是偶数． 6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________． 答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 、b 、c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根． 证明 设f (x )＝0有一个整数根k ，则 ak 2＋bk ＝－c .①又∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 均为奇数，∴a ＋b 为偶数，当k 为偶数时，明显与①式冲突；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为偶数，也与①式冲突，故假设不成立，所以方程f (x )＝0无整数根． 二、力量提升8．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( ) A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1 B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1 C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1 D ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1 答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个”．9.设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2，则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )<6.又(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相冲突，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10.若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是__________________． 答案 a ≤－2或a ≥－1解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1. 11．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0. 求证：a >0，b >0，c >0. 证明 用反证法：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0， 可得c >－(a ＋b )，又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )， ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab ， 即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2， ∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0， 即ab ＋bc ＋ca <0，这与已知ab ＋bc ＋ca >0冲突，所以假设不成立． 因此a >0，b >0，c >0成立．12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不行能都大于14.证明 假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，①又由于0<a <1，所以0<a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14.同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，②①与②冲突，所以假设不成立，故原命题成立．三、探究与拓展13.已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.证明(1)由于a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，又由于f(x)是R上的增函数，所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，由于f(x)是R上的增函数，所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)冲突，所以假设不正确，所以原命题成立．。

湖南师范大学硕士研究生招生考试自命题科目考试大纲考试科目代码：【999】考试科目名称：人工智能导论考试内容及要点《人工智能导论》课程是培养学生对人工智能的整体认识性，使学生在具备数学与编程基本能力的基础上，对人工智能的多个分支有较全面的了解，具备一定的人工智能算法实现能力。

（一）绪论１．智能与人工智能的基本概念；２．人工智能研究的基本内容和方法；３．人工智能主要应用领域介绍。

（二）知识表示１．知识与知识表示的基本概念；２．谓词逻辑表示法；３．知识图谱及应用。

（三）确定性推理方法１．推理的概念、分类与基本策略；２．命题逻辑与谓词逻辑支持的基本推理方法；３．自然演绎推理与应用；４．归结原理与应用。

（四）不确定性推理方法１．不确定性的表示与不确定性推理的概念、分类；２．概率推理与主观贝叶斯推理方法；３．基于可信度的不确定性表示与推理方法；４．基于证据理论的不确定性表示与推理方法；５．模糊逻辑、模糊集、模糊关系及合成、模糊推理及其应用。

（五）搜索求解策略１．搜索的概念、分类与评价标准；２．状态空间的表示与启发式搜索应用；３．与或树的表示与启发式搜索应用；４．博弈树的概念、极大极小过程以及 α-β剪枝。

（六）智能计算基础１．智能计算的概念；２．进化算法的概念、框架与设计准则；３．遗传算法的基本概念及其应用；４．群智能算法的概念及典型的群智能算法。

（七）人工神经网络与深度人工神经网络１．神经元数学模型与人工神经网络基本原理；２．人工神经网络基本学习算法３．BP神经网络结构与学习算法；４．卷积神经网络与深度学习。

（八）专家系统与机器学习１．专家系统概述；２．专家系统的工作原理；３．专家系统的建立；４．知识获取的主要过程与模式；５．机器学习的发展与基本概念；６．机器学习分类：监督学习、无监督学习、半监督学习与强化学习。

（九）自然语言处理及其应用１．自然语言处理与理解概述；２．语言处理过程的层次；３．机器翻译、自然语言人机交互、智能问答原理及应用；４．语音增强、识别、合成和转换处理技术及应用。

可编辑修改精选全文完整版（一）教学内容结构关系图（二）具体教学内容（2）教学要求了解人工智能的研究方法、发展简史。

理解人工智能的基本概念、基本技术。

掌握人工智能研究的基本内容和应用领域。

（3）重点人工智能概念（4）难点人工智能的研究方法（5）对毕业要求的支撑本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求5 能够针对本学科领域复杂问题，开发、选择与使用恰当的技术、方法、现代工程工具和信息技术工具，包括对本学科领域问题的预测与模拟，并能够理解其局限性。

”中的“指标点5.2掌握管理学理论与研究的前沿知识，培养具有持续适应社会和能力和及时了解新准则、新法规的能力。

”2.知识工程（1）教学内容知识工程概述、谓词逻辑表示法、产生式表示法、层次结构表示法、网络结构表示法、知识获取与管理、基于知识的系统（2）教学要求了解基于知识的系统、知识获取与管理。

理解知识工程的概念。

掌握逻辑谓词表示法及其应用，会用框架去描述一些具体问题，能用脚本来描述特定范围内的一些事件的发生顺序。

（3）重点经典谓词逻辑表示法、产生式表示法、层次结构表示法、网络结构表示法。

（4）难点层次结构表示法、网络结构表示法（5）对毕业要求的支撑本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求5 能够针对本学科领域复杂问题，开发、选择与使用恰当的技术、方法、现代工程工具和信息技术工具，包括对本学科领域问题的预测与模拟，并能够理解其局限性。

”中的“指标点5.2掌握管理学理论与研究的前沿知识，培养具有持续适应社会和能力和及时了解新准则、新法规的能力。

”3.确定性推理（1）教学内容推理的基本概念及归结、演绎等确定性推理方法。

推理的基本概念，了解正向推理、逆向推理、混合推理及其推理的冲突消解策略、推理的逻辑基础、自然演绎推理、归结演绎推理、基于规则的演绎推理、规则演绎推理的剪枝策略。

（2）教学要求理解推理的概念，了解正向推理、逆向推理、混合推理及其推理的冲突消解策略，了解自然演绎推理的概念以及三段论推理规则。