第1节二次函数1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.2.让学生学习了二次函数的定义后,能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.1.从学生感兴趣的问题入手,能使学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.3.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养大家的合作意识.【重点】1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.【难点】列二次函数关系式表示简单变量之间的关系,并能利用尝试求值的方法解决实际问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.导入一:课件出示:观察下面的函数关系式:(1)y=2x+5;(2)y=x2+5.这两个函数关系式有什么相同点和不同点?【师生活动】复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.【学生活动】学生独立思考后小组交流,观察新函数的特征,尝试给新函数下定义.[设计意图]通过与一次函数的对比,让学生初步感知二次函数的特征,让学生类比一次函数的概念构建出二次函数的概念.导入二:课件出示:赵州桥,又称大石桥、安济桥,是位于河北省赵县城南五里洨河上的一座石拱桥,是我国古代石拱桥的杰出代表,其设计者是隋代杰出的工匠李春,建造于公元605年.赵州桥的设计构思和工艺的精巧,在我国古桥中是首屈一指的,据世界桥梁的考证,像这样的敞肩拱桥,欧洲到19世纪中期才出现,比我国晚了一千二百多年,赵州桥的雕刻艺术,包括栏板、望柱和锁口石等,其上狮象龙兽形态逼真,琢工的精致秀丽,不愧为文物宝库中的艺术珍品.问题请同学们观察赵州桥的桥拱的形状,它的形状可以近似地看成一种函数图象,这和我们之前所学的函数图象一样吗?[设计意图]通过视频,让学生再次了解赵州桥,在对学生进行爱国主义教育的同时,引出本节课的课题,激发了学生的好奇心和探求新知的欲望.结合课本给出的引例、做一做和想一想中的问题,设出未知数,列出关于x的函数关系式.课件出示:【引例】某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.师要求同学们认真分析题目,回答以下问题:(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.【学生活动】独立思考,代表回答:(1)自变量:橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等;因变量:橙子的个数、橙子的质量等.(2)如果设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.(3)果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000.【师生活动】观察关系式y=-5x2+100x+60000中的y是不是x的函数,并对比所学的函数,感受它们的相同点和不同点:根据函数的定义,y是x的函数,自变量x的最高次数是2,所以通过类比,猜想此函数为二次函数.[设计意图]利用学生熟悉的身边情境,小梯度地设计问题,逐步引导学生分析题目,列出关系式,提高学生分析问题的能力,同时培养学生的建模能力.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y (元)的表达式.【师生活动】师生共同回忆与存款有关的知识:1.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.2.利息=本金×利率×期数(时间).3.本息和=本金+利息.【学生活动】根据上面的提示,独立完成后,小组交流,得出关系式,代表展示.解:y =100(x +1)2=100x 2+200x +100.观察y =100x 2+200x +100与y =-5x 2+100x +60000的相同点.【学生活动】通过观察,寻找它们的相同点,并与同伴相互交流,统一答案.【教师点评】自变量的最高次数都是2.[设计意图]通过对生活中熟悉情境的分析,让学生初步感知函数的模型思想,尝试归纳二次函问题1已知矩形的周长为40cm ,它的面积可能是100cm 2吗?可能是75cm 2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?【师生活动】师生先复习一元二次方程及其解法,然后由学生先独立解决,再小组交流,最后代表展示.解:(1)设其中一边长为x cm ,则x =-x 2+20x =100,解得x 1=x 2=10.x =-x 2+20x =75,解得x 1=5,x 2=15.这个矩形的面积与其一边长的关系为S =x =-x 2+20x.【教师点评】只要和为20的两数都可以作为该矩形的长和宽,所以其面积还可以为64,51,36,….问题2两数的和是20,设其中一个数是x ,你能写出这两数之积y 的表达式吗?【学生活动】学生独立解答,同伴交流.解:y =x (20-x )=-x 2+20x.[设计意图]在几何和代数的背景中再次体会函数的模型,为下一步归纳总结二次函数的定义奠定良好的基础.二、二次函数的定义【对比观察】让学生再一次观察三个式子的共同点:(1)y=-5x2+100x+60000;(2)y=100x2+200x+100;(3)y=-x2+20x.【学生活动】观察思考后,小组交流想法,组长发言:共同特点是:①这些式子都是最高次数为2的函数;②表达式右边都是关于x的整式.【教师引导】类比一次函数与反比例函数的表达式,归纳出二次函数的定义及一般形式.【师生总结】二次函数的定义.一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.【师生活动】探讨a≠0的原因.[设计意图]让学生通过观察、思考、分析等数学活动,从不同实际背景的实例中抽象出二次函数的概念,使之经历概念的形成过程,培养其抽象思维和归纳概括的能力,感受从特殊到一般的数学思想方法,从而突破本节课的难点.[知识拓展]理解二次函数概念的注意事项:①常数a≠0;②自变量x的最高次数为2;③等号的右边是整式;④要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.【思考】二次函数的表达式y=ax2+bx+c中的a≠0,系数b,c可以等于0吗?【学生活动】学生思考并交流,得出结论:系数b,c可以等于0.【教师点评】1.二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0,c≠0).2.系数a≠0,但是b,c都可以为0.3.二次函数的几种不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0).(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).(4)一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0,c≠0).(二)二次函数自变量的取值范围【议一议】本节课的上述问题中,自变量能取哪些值?学生讨论各题的取值范围.【教师点评】自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.[设计意图]通过对二次函数一般形式的了解,进一步加深了学生对二次函数概念的理解,是对数学符号语言应用能力的提升,同时强调了易错点.1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c都是常数,a≠0)的函数.2.理解二次函数概念的注意事项:(1)常数a≠0;(2)自变量x的最高次数为2;(3)等号的右边是整式;(4)要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.1.(2014·兰州中考)下列函数解析式中,一定为二次函数的是()A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1D.y=x2+解析:A,y=3x-1是一次函数,故A错误;B,y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,故B错误;C,s=2t2-2t+1是二次函数,故C正确;D,y=x2+不是二次函数,故D错误.故选C.2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是()A.a=1,b=-3,c=5B.a=1,b=3,c=5C.a=5,b=3,c=1D.a=5,b=-3,c=1解析:∵函数y=1-3x+5x2是二次函数,∴a=5,b=-3,c=1.故选D.3.已知二次函数y=x2+3x-5,当x=2时,y=.解析:当x=2时,y=22+3×2-5=4+6-5=10-5=5.故填5.4.(2014·安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=.解析:∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金为a×(1+x),∴三月份的研发资金y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2.故填a(1+x)2.1二次函数二次函数的定义:一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的形式,则称y是x的二次函数.一、教材作业【必做题】1.教材第30页随堂练习第1,2题.2.教材第30页习题2.1第1,2题.【选做题】教材第31页习题2.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.已知函数:①y=3x-1;②y=3x2-1;③y=3x3+2x2;④y=2x2-2x+1.其中二次函数的个数为()A.1B.2C.3D.42.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是()A.3B.5C.-3或5D.3或-53.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是.4.一个边长为2cm的正方形,将它的边长增加x cm后,增加的面积为y cm2,写出y与x的函数关系式:.5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增加赢利,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利y元,每件衬衫降价x元,请你写出y与x之间的关系式.【能力提升】6.某工厂一种产品的年产量是20件,如果每一年都比上一年的产品增加x倍,两年后产品的年产量y 与x的函数关系是()A.y=20(1-x)2B.y=20+2xC.y=20(1+x)2D.y=20+20x2+20x7.已知y=(m-1)是关于x的二次函数,则m的值是.8.已知函数y =(m 2-m )x 2+(m -1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数,求m 的值;(2)若这个函数是二次函数,则m 的值应怎样?【拓展探究】9.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y 元,镜子的宽度是x m .(边框厚度忽略不计)(1)求y 与x 之间的关系式;(2)如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽.【答案与解析】1.B (解析:①y =3x -1为一次函数;②y =3x 2-1为二次函数;③y =3x 3+2x 2自变量最高次数为3,不是二次函数;④y =2x 2-2x +1为二次函数.故是二次函数的有2个.)2.D (解析:根据题意,得x 2+2x -7=8,即x 2+2x -15=0,解得x =3或x =-5.)3.a ≠-1(解析:根据二次函数的定义可得a +1≠0,即a ≠-1.)4.y =x 2+4x (解析:原边长为2cm 的正方形面积为2×2=4(cm 2),边长增加x cm 后边长变为(x +2)cm ,则面积变为(x +2)2cm 2,故y =(x +2)2-4=x 2+4x.)5.解:降价x 元后的销量为(20+2x )件,单件的利润为(40-x )元,故可得利润y =(40-x )(20+2x )=2(40-x )(10+x )=-2x 2+60x +800(0<x <40).6.C (解析:∵某工厂一种产品的年产量是20件,每一年都比上一年的产品增加x 倍,∴一年后产品的年产量是20(1+x ),∴两年后产品的年产量y 与x 的函数关系是y =20(1+x )2.)7.-3(解析:∵y =(m -1)是关于x 的二次函数,∴m 2+2m -1=2,解得m =1或m =-3.∵m -1≠0,∴m ≠1,∴m =-3.故填-3.)8.解:(1)根据一次函数的定义,得m 2-m =0,解得m =0或m =1.又∵m -1≠0,即m ≠1,∴当m =0时,这个函数是一次函数.(2)根据二次函数的定义,得m 2-m ≠0,解得m 1≠0,m 2≠1,∴当m ≠0且m ≠1时,这个函数是二次函数.9.解:(1)y =(2x +2x +x +x )×30+45+2x 2×120=240x 2+180x +45,所以y 与x 之间的关系式为y =240x 2+180x +45.(2)由题意可列方程为240x 2+180x +45=195,整理得8x 2+6x -5=0,即(2x -1)(4x +5)=0,解得x 1=0.5,x 2=-1.25(舍去).∴x =0.5,2x =1.答:镜子的长和宽分别是1m 和0.5m .本节课是二次函数概念的基本认识,知识比较简单,所以学生接受起来比较容易,学生通过自主探究基本上可以掌握本节课的重点知识.本节课的难点是通过实际应用问题认识二次函数的概念,所以在教学时,始终坚持以应用意识为主线,强调观察与思考,分析与归纳.在课堂上,从实际出发提出问题,引导学生从不同的角度分析问题,提出解决方案,并且互相交流,在学习数学的同时培养合作交流的意识.对于少部分基础不太好的学生,进行分层教学,多多引导他们运用类比的思想方法探究二次函数的概念,收到了非常好的效果.对于少部分基础不太好的学生估计不足,对他们的学习状况过于乐观,他们对于函数概念的理解比原来想象的要差,所以在复习回顾这个环节上还应加大力度.要在课前布置复习作业,要求学生复习函数的概念以及正比例函数、一次函数和反比例函数的相关内容,为新课学习做好知识储备.随堂练习(教材第30页)1.解:y=-+3x2与s=1+t+5t2是二次函数.2.解:(1)y=π(1+x)2-π·12=πx2+2πx.(2)当x=1时,y=π·12+2π·1=3π(cm2).当x=时,y=π·()2+2π·=2π(1+)(cm2).当x=2时,y=π·22+2π·2=8π(cm2).习题2.1(教材第30页)1.从左到右依次填:4.9,19.6,44.1,78.4,122.5.2.答案不唯一,如:篮球运动员投篮时,篮球出手后的高度与运行的时间之间是二次函数关系.3.解:(1)根据题意列式为S=2x2+4x(x+0.5)=6x2+2x.(2)y=5(6x2+2x)=30x2+10x.4.解:y=(x-20)t=(x-20)(-3x+70)=-3x2+130x-1400.1.对于本节课知识的学习,学生可以采用自主探究加合作交流的方法,利用“由一般到特殊”的方法去探究新知.2.利用类比一次函数、反比例函数概念的方法得出二次函数的概念及关系式,要重点把握二次函数概念的几个注意事项.在运用二次函数关系式表示数量关系时,要找出题目中的等量关系,这是解决问题的关键.已知函数y=(m2+m).(1)当函数是二次函数时,求m的值;(2)当函数是一次函数时,求m的值.〔解析〕(1)这个函数是二次函数的条件是m2-2m+2=2并且m2+m≠0.(2)这个函数是一次函数的条件是m2-2m+2=1并且m2+m≠0.解:(1)依题意,得m2-2m+2=2,解得m=2或m=0.又m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1,因此m=2.(2)依题意,得m2-2m+2=1,解得m1=m2=1.又m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1.因此m=1.[解题策略]本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式.。
