沪科版九年级数学上第21章二次函数与反比例函数教案

第21章二次函数与反比例函数续表续表自学指导知识模块一二次函数y=ax2+k的图象阅读教材P11~12,完成下面内容:画出y=2x2+1,y=2x2-1图象,根据图象答复以下问题:〔1〕抛物线y=2x2+1,y=2x2-1开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标分别为〔0,1〕,〔0,-1〕.〔2〕抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与y=2x2之间有什么关系?答:可以发现y=2x2+1是由y=2x2向上平移一个单位长度得到的,而y=2x2-1是由y=2x2向下平移1个单位长度得到的.知识模块二二次函数y=ax2+k的性质继续观察知识模块一中y=2x2+1,y=2x2-1图象,说说它们的增减性.答:两个图象都是当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.学生看书,老师巡视,催促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.续表续表大,开口越小.2.归纳小结:〔1〕二次函数y=a〔x+h〕2〔a≠0〕的图象性质:开口方向:a>0时,开口向上,a<0时,开口向下,顶点〔-h,0〕,对称轴x=-h .最值:a>0时,有最小值y=0 .当a<0时,有最大值y=0 .增减性:a>0且x>-h时,y随x的增大而增大;x<-h时,y 随x的增大而减小;a<0且x>-h时,y随x的增大而减小,x<-h时,y随x的增大而增大.〔2〕y=ax2和y=a〔x+h〕2的图象有如下关系:y=ax2y=a〔x+h〕2.3.方法规律:〔1〕解决二次函数y=a〔x+h〕2〔a≠0〕的性质的问题要熟记性质,同时注意多运用数形结合的思想方法来考虑.〔2〕由抛物线y=ax2的图象通过平移得到y=a〔x+h〕2的图象,左右平移的规律是〔四字口诀〕左加右减.续表自学指导知识模块一掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质阅读教材P18~19,完成下面的内容:填空:y=-2x2-8x-7=-2〔x2+4x〕- 7=-2〔x2+4x+ 4 〕- 7 + 8=-2〔x+ 2 〕2+ 1知识模块二二次函数图象与性质的应用【例1】二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,那么以下结论中,正确的选项是〔 C 〕〔A〕ab>0,c>0 〔B〕ab>0,c<0〔C〕ab<0,c>0 〔D〕ab<0,c<0【例2】二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象与x 轴交于〔-1,0〕,那么以下结论错误的选项是〔 D 〕〔A 〕当x=2时,有最大值〔B 〕当x<2时,y 随x 的增大而增大 〔C 〕-b2a =2〔D 〕抛物线与x 轴的另一个交点为〔2,0〕 合作探究1.将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学指导〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题互相释疑. 续表2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论〞展示在黑板上,通过交流“生成新知〞. 老师指导 1.易错点: 用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴时,首先要把二次项系数化为1. 2.归纳小结:〔1〕一般式化为顶点式的思路:①二次项系数化为 1 ;②加、减一次项系数 一半 的平方;③写成 平方 的形式.〔2〕二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是 x=-b2a ,顶点坐标是 -b 2a ,4ac -b 24a.假设a>0:当x<-b2a 时,y 随x 的增大而 减小 ;当x>-b2a 时,y 随x 的增大而 增大 ;当x=-b2a 时,y 最小值=4ac -b 24a;假设a<0:当x<-b 2a 时,y 随x 的增大而 增大 ;当x>-b2a 时,y 随x 的增大续表旧知回忆:1.一次函数y=kx+b的图象经过〔0,3〕,〔4,0〕,那么方程kx+b=0的解是x=4 .2.如图,一次函数y=kx+b的图象如下图,那么方程kx+b=1的解是x=-2 .考虑:对于二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕,当y取一个确定值时,它就变成了一个一元二次方程,由此可知一元二次方程与二次函数有着亲密的关系.那么,二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕与一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕之间到底有怎样的关系呢?通过本节课的学习我们将能解决这个问题.观察二次函数y=x2+3x+2的图象,并答复以下问题.〔1〕函数图象与x轴有几个交点?〔2〕二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?归纳:二次函数与一元二次方程的关系:知识模块二利用二次函数图象解一元二次方程阅读教材P31~32,完成以下问题2.作出二次函数y=x2-x-6的图象,根据图象答复以下问题:〔1〕图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么;〔2〕当x取何值时,y=0?这里x的取值与方程x2-x-6=0有什么关系.学生看书,老师巡视,催促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究1.将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学指导〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题互相释疑.续表1.假设方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两个根分别为x1=1,x2=2,那么抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的交点坐标分别为.2.二次函数y=x2-6x+n的部分图象如下图,假设关于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1,那么另一个解x2= .3.二次函数y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B,与x轴交于A, C 两点. 求△ABC的周长和面积.1.利用配方法求函数y=-4x2+80x的最大值.y=-4〔x2-20x+102-102〕=-4〔x-10〕2+400,当x=10时,y最大值=400.2.实例引入:如图,用长20米的篱笆,一面靠墙〔墙长不限〕围成一个长方形的园子,怎么围才能使园子的面积最大?最大面积是多少?解:设与墙垂直的一边为x米,园子面积为S平方米,由题意得S=x〔20-2x〕=-2x2+20x=-2〔x-5〕2+50〔0<x<10〕.因为-2<0,所以当x=5〔在0<x<10的范围内〕时,园子面积S的最大值为50平方米.自学指导知识模块二用二次函数解决拱桥类问题【例题】如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥.当水面宽为4米时,拱顶〔拱桥洞的最高点〕离水面2米,水面下降1米时,水面宽度为多少米?学生看书,老师巡视,催促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究请同学们回忆解题过程,讨论、交流,归纳解题步骤〔1〕先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;〔2〕研究自变量的取值范围;〔3〕研究所得的函数;〔4〕检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值:〔5〕解决提出的实际问题.续表1.如下图,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB 和BC 分别在两直角边上,设AB=x m,长方形的面积为y m 2,要使长方形的面积最大,其边长x 应为〔 〕 〔A 〕254m 〔B 〕6 m 〔C 〕15 m 〔D 〕52m2.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,那么绳子的最低点距地面的间隔 为 米. 3.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤〔岸堤足够长〕为一边,用总长为40 m 的围网在水库中围成了如下图的①②两块矩形区域.设BC 的长度为x m,矩形区域ABCD 的面积为y m 2.〔1〕求y 与x 之间的函数关系式;〔2〕x 为何值时,y 有最大值?最大值是多少?如下图从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度h〔单位:米〕与小球运动时间t〔单位:秒〕的函数关系式是h=9.8t-4.9t2,那么小球运动中的最大高度h最大= 4.9 米.解:h=9.8t-4.9t2=-4.9〔t2-2t〕=-4.9〔t-1〕2+4.9当t=1时,小球运动最大高度为4.9米.利用二次函数还可以解决日常生活中一些常见的问题,下面就让我们一起去看看吧!自学指导知识模块一二次函数与高度问题阅读教材P38~39,答复以下问题:1.当初始速度为10 m/s,问题中得到哪两个量之间的二次函数关系式?如何求解?2.第2个问题属于什么问题?怎样求解?【例题】如图,小明在一次高尔夫球争霸赛中,从山坡下O点打出一球向洞A点飞去,球的飞行道路为抛物线,假如不考虑空气阻力,当球到达最大高度12米时,球挪动的程度间隔为9米,山坡OA与程度方向OC的夹角为30°,O,A两点相距8√3米.〔1〕求出点A的坐标及直线OA的解析式;〔2〕求出球的飞行道路所在抛物线的解析式;〔3〕判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点.知识模块二二次函数与刹车间隔阅读教材P39~40,答复以下问题:1.如何明确汽车刹车的制动间隔与车速成二次函数关系式?通过描点观察,图象可近似地以二次函数来模拟.2.通过本例的解决,你认为利用二次函数解决实际问题的方法是什么?通过实际问题中数据建立坐标系,求出二次函数解析式,再利用二次函数来解答相应问题.续表续表续表自学指导反比例函数与图形面积上一点,AB⊥x轴,AC⊥y轴,设A点的坐标为〔a,b〕,如图,点A为反比例函数y=kx,不管A点在何处它那么ab=k,所以S矩形ABOC=|OB|·|OC|=|a|·|b|=|k|,S△ABO=|k|2们的面积都不变.一次函数与反比例函数的综合运用【例题】〔k2≠0〕相交于A〔1,m〕,B〔-2,-1〕如图,直线y=k1x+b〔k1≠0〕与双曲线y=k2x两点.〔1〕求直线和双曲线的解析式;〔2〕假设A1〔x1,y1〕,A2〔x2,y2〕,A3〔x3,y3〕为双曲线上的三点,且x1<x2<0<x3,请直接写出y1,y2,y3的大小关系;〔3〕根据图象答复,一次函数大于反比例函数值时x的取值范围.合作探究1.的图象相交于A,B两点,其中点B 正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2x的横坐标为-2,当y1<y2时,x的取值范围是〔 B 〕〔A〕x<-2或x>2 〔B〕x<-2或0<x<2〔C〕-2<x<0或0<x<2 〔D〕-2<x<0或x>2续表上,分别过A,B两点向坐标轴作垂线段,S阴影=1,那么2.如图,A,B两点在双曲线y=4xS1+S2= 6 .的图象上的一点,AB⊥x轴于点B,且△ABO的面积是3,那3.如图,A是反比例函数y=kx么k的值是 6 .解:根据题意可知:S△AOB=1|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k>0,那么k=6.2第2题图第3题图老师指导过双曲线y=k〔k≠0〕上一点P〔m,n〕分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,那x么S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|k|.1.图象上一点,过A作AB⊥x轴于点B,连接OA,那么△ABO 如图,点A为反比例函数y=-4x的面积为〔〕〔A〕-4 〔B〕4 〔C〕-2 〔D〕22.如图,A,B,C为反比例函数图象上的三个点,分别从A,B,C向x,y轴作垂线,构成三个矩形,它们的面积分别是S1,S2,S3,那么S1,S2,S3的大小关系是〔〕〔A〕S1=S2>S3〔B〕S1<S2<S3〔C〕S1>S2>S3〔D〕S1=S2=S33.如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=m与直线y=-2x+2交于点A〔-1,a〕.x〔1〕求a,m的值;〔2〕求该双曲线与直线y=-2x+2另一个交点B的坐标.续表〔A〕4 000元〔B〕4 250元〔C〕4 500元〔D〕5 000元2.一件工艺品进价为100元,标价135元出售,每天可售出100件.根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,那么每天可多售出4件,要使每天利润最大,每件需降价的钱数为〔〕〔A〕5元〔B〕10元〔C〕0元〔D〕3 600元3.某种商品每天的销售利润y〔元〕与销售单价x〔元〕之间满足关系:y=ax2+bx-75.其图象如下图.〔1〕销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?〔2〕销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?。

二次函数二次函数说课稿一、教材分析：1、教材的地位和作用这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上,来学习二次函数的概念。

二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数,也是最重要的,在历年来的中考题中占有较大比例。

同时,二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。

进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径,并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。

而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础,是为后来学习二次函数的图象做铺垫。

所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。

2、教学目标和要求：（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念,掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法。

（2）过程与方法：通过学生的学与教师的引,经历二次函数概念的探索过程,通过当堂练习提高学生解决问题的能力．（3）情感、态度与价值观：通过观察、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解,发展学生的数学思维,增强学好数学的愿望与信心．3、教学重点：对二次函数概念的理解。

4、教学难点：由实际问题确定函数解析式。

二、说教法学法：1、先学后教,当堂训练2、利用研究学习,通过思维深入,领悟教学过程三、说教学过程：1.自我学习展示学习目标：1.认识二次函数2.会列出二次函数关系式自学指导：看课本P2-P3页,看清三个问题中函数的表示方法,熟记二次函数的概念及后面的满足条件。

思考二次函数为什么要满足这样的要求？5分钟完成。

中间给1分钟讨论。

【设计意图】首先展示学习目标和自学指导,让学生明确本节课要学习的内容和要达到的目标,自学指导可以让学生清楚的知道要做什么,要想什么,2.（1）用周长为20m的篱笆围成矩形场地,场地面积y(m²)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么？由一名学生上黑板演版,其他同学在学案上做,做完后由学生找错误,教师点评。

然后教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？【设计意图】通过具体事例,让学生列出关系式,进一步提高学生由实际问题列出函数关系式的能力,并启发学生观察,思考,归纳出二次函数与一次函数的联系： (1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)。

21.1 二次函数教学目标：（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯重点难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：一、试一试1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边得出矩形的面积2．试将计算结果填写在下表的空格中，BC的长，进而3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。

形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。

将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)]4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

第21章二次函数与反比例函数21．1二次函数1．掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)2．能根据实际情况建立二次函数模型．(难点)一、情境导入已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？二、合作探究探究点一：二次函数的概念【类型一】二次函数的识别下列函数哪些是二次函数？(1)y＝2－x2; (2)y＝1x2－1；(3)y＝2x(1＋4x); (4)y＝x2－(1＋x)2.解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式不符合二次函数的定义，故y＝1x2－1不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．解：二次函数有(1)和(3)．方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值如果函数y＝(k＋2)xk－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？解析：紧扣二次函数定义求解．注意易错点为忽视k＋2≠0.解：根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2＝2，k ＋2≠0，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝±2，k ≠－2，∴k ＝2. 方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a ≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax 2＋bx ＋c .【类型三】 与二次函数系数有关的计算已知一个二次函数，当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝12；当x ＝－1时，y ＝18.求这个二次函数中各项系数的和．解析：解：设二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．把x ＝0，y ＝0；x ＝2，y ＝12；x ＝－1，y ＝18分别代入函数表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝12，a －b ＋c ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝0，c ＝0.所以这个二次函数的表达式为y ＝18x 2.所以a ＋b ＋c ＝18＋0＋0＝18，即这个二次函数中各项系数的和为18. 方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解决这类问题要根据x ，y 的对应值，列出关于字母a ，b ，c 的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a ，b ，c 的值．探究点二：建立二次函数模型某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元．(1)请写出y 与x 的函数表达式，并求出自变量x 的取值范围； (2)当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为多少元？解析：根据题意可以知道：实际每件商品的利润为(60－x －40)，每星期售出商品的数量为(300＋20x )，则每星期售出商品的利润为y ＝(60－x －40)(300＋20x )元，化简，注意要求出自变量x 的取值范围．解：(1)由题意，得： y ＝(60－x －40)(300＋20x ) ＝(20－x )(300＋20x ) ＝－20x 2＋100x ＋6000，自变量x 的取值范围为0≤x ≤20；(2)把x ＝15代入y ＝－20x 2＋100x ＋6000得y ＝3000(元)，即当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为3000元．方法总结：销售利润＝单件商品利润×销售数量；单件商品利润＝售价－进价．三、板书设计二次函数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1.概念：一般地，表达式形如y ＝ax 2＋bx ＋c（a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的函数叫做 x 的二次函数，其中x 是自变量2.二次函数的识别3.确定二次函数中待定字母的取值（范围）4.求函数值5.建立二次函数模型6.确定自变量的取值范围教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法．21．2 二次函数的图象和性质 1．二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．正确理解抛物线的有关概念；(重点)2．会用描点法画出二次函数y ＝ax 2的图象，概括出图象的特点；(重点) 3．掌握形如y ＝ax 2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点)4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力．一、情境导入我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？ 二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2的图象 【类型一】 画二次函数y ＝ax 2的图象在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y ＝12x 2；②y ＝2x 2；③y ＝－12x 2；④y ＝－2x 2.根据图象回答下列问题：(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O 为中心，对称地选取x 的值，列出函数的对应值表．解：列表：描点、连线，函数图象如图所示．(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y 轴；(2)函数y ＝2x 2和y ＝12x 2的图象有最低点，函数y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)．方法总结：(1)画形如y＝ax2(a≠0)的图象时，x的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取．(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线．(3)抛物线的概念：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y＝ax2.(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点．【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断当ab>0时，抛物线y＝ax与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是()解析：根据a、b的符号来确定．当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限．当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．故选D.方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．探究点二：抛物线y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为()A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．b>a>d>c答案：A方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；(3)△AMB 的面积．解析：直线与二次函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB 的面积，一般应画出草图进行解答．解：(1)∵点A (1，b )是直线y ＝2x －3与二次函数y ＝ax 2的图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1； (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)；(3)如图所示，作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，根据点的坐标的意义，可知MD ＝3，MC ＝1，CD ＝1＋3＝4，BD ＝9，AC ＝1，∴S △AMB ＝S 梯形ABDC －S △ACM －S △BDM ＝12×(1＋9)×4－12×1×1－12×3×9＝6.方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．探究点四：二次函数y ＝ax 2的性质【类型一】 二次函数y ＝ax 2的增减性作出函数y ＝－x 2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比较y 1与y 2的大小； (2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小．解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法． 解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1＞y 2； (2)由图象可知y 3<y 4.方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】 二次函数y ＝ax 2的最值已知函数y ＝(1－n )xn ＋n －4是关于x 的二次函数，当n 为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解：∵函数y ＝(1－n )xn 2＋n －4是关于x 的二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋n －4＝2，1－n ≠0.解得n ＝2或n＝－3.∵抛物线有最低点，∴1－n >0，即n <1.∴n ＝－3.∴当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的二次项系数a 的符号决定的；当a >0时，抛物线有最低点；当a <0时，抛物线有最高点．而此题常错误地认为n >0时，抛物线有最低点．正确的答案应为1－n >0，即n <1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是(1－n )．探究点五：利用二次函数y ＝ax 2的图象和性质解题 【类型一】 利用二次函数y ＝ax 2的性质解题当m 为何值时，函数y ＝mxm －m 的图象是开口向下的抛物线？当x 为何值时，y随x 的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？解：由题意，得m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m 2－m ＝2，解得m ＝－1.当x <0时，y 随x 的增大而增大．这个函数有最大值，最大值是0.方法总结：本题主要考查函数y ＝ax 2(a ≠0)的有关性质．当a >0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a <0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a <0且x <0时，y 随x 的增大而增大．【类型二】 二次函数y＝ax 2的图象和性质的实际应用如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m ，水面CD 的宽为10m.(1)建立如图所示的坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶了1h 时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD 处，当水位涨到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行)．问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ≠0)，拱桥最高点O 到水面CD 的距离为h m ，则D (5，－h )，B (10，－h －3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝－h ，100a ＝－h －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，h ＝1.∴抛物线的函数表达式为y ＝－125x 2；(2)水位由CD 处涨到最高点O 的时间为h ÷0.25＝1÷0.25＝4(h)，货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x km/h ，即当4x ＋40×1＝280时，x ＝60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60km/h.方法总结：一般地，求二次函数y ＝ax 2的表达式时，只需一个已知点(坐标原点除外)的坐标即可．而此题由于点B ，D 的纵坐标未知，故需设出CD 到桥顶的距离h 作为辅助未知数．三、板书设计二次函数y ＝ax 2的图象和性质⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧图象⎩⎪⎨⎪⎧画y ＝ax 2图象y ＝ax 2图象的形状、特点性质⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a >0⎩⎪⎨⎪⎧当x <0时，函数y 随x 的增大而减小当x >0时，函数y 随x 的增大而增大当x ＝0时，函数取得最小值，y 最小值＝0，且y 没有最大值，即y ≥0a <0⎩⎪⎨⎪⎧当x <0时，函数y 随x 的增大而增大当x >0时，函数y 随x 的增大而减小当x ＝0时，函数取得最大值，y 最大值＝0，且y 没有最小值，即y ≤0教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质，体会数学建模的数形结合的思想方法．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质1．会用描点法画出y ＝ax 2＋k 的图象；2．掌握形如y ＝ax 2＋k 的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3．理解二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 之间的联系．(难点)一、情境导入边长为15cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x (cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y (cm 2)与x (cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质【类型一】 确定y＝ax 2＋k 的图象与坐标轴的交点抛物线y ＝x －4与x 轴的交点坐标是________．解析：因为抛物线y ＝x 2－4与x 轴的交点纵坐标是0，即y ＝0，此时x 2－4＝0，解得x ＝±2，所以抛物线y ＝x 2－4与x 轴的交点坐标是(2，0)与(－2，0)．方法总结：求抛物线与x 轴交点坐标时，可利用交点纵坐标为0构造关于x 的方程来求抛物线的横坐标．【类型二】 二次函数y＝ax 2＋k 增减性判断已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝x 2－1上，下列说法中正确的是( ) A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2 B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2 C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2 D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2解析：如图所示，选项A ：若y 1＝y 2，则x 1＝－x 2，所以选项A 是错误的；选项B ：若x 1＝－x 2，则y 1＝y 2，所以选项B 是错误的；选项C ：若0＜x 1＜x 2，则在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，则y 1＜y 2，所以选项C 是错误的；选项D ：若x 1＜x 2＜0，则在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，则y 1＞y 2，所以选项D 是正确的．故选D.【类型三】 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质的综合若二次函数y ＝ax ＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( ) A ．a ＝2B ．当x ＜0，y 随x 的增大而减小C ．顶点坐标为(2，0)D ．图象有最低点解析：把x ＝－2，y ＝10代入y ＝ax 2＋2可得10＝4a ＋2，所以a ＝2，抛物线开口向上，有最低点，当x ＜0，y 随x 的增大而减小，所以A 、B 、D 均正确，顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.方法总结：抛物线y ＝ax 2＋k (a ≠0)的顶点为(0，k )．【类型四】 在同一坐标系中确定y＝ax 2＋k 的图象与一次函数的图象在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 与二次函数y＝ax ＋c 的图象大致为( )解析：当a ＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升；当a ＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A ，C ，D ，故选B.探究点二：二次函数y ＝ax 2＋k 的平移【类型一】 利用平移确定y＝ax 2＋k 的解析式已知抛物线y ＝ax ＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－3x 2＋2.那么抛物线的解析式为____________．解析：因为抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－3x 2＋2.所以a ＝－3，c －2＝2，所以c ＝4，所以抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋4.【类型二】 确定y＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的关系抛物线y ＝ax ＋c 与y ＝－5x 的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y ＝－5x 2怎样得到的？解：抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－5x 2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a ＝－5. 又∵其顶点坐标为(0，3)，∴c ＝3.∴y ＝－5x 2＋3.它是由抛物线y ＝－5x 2向上平移3个单位得到的．方法总结：对于二次函数y ＝ax 2的图象来说，向上平移|c |个单位，就在ax 2后面加|c |，向下平移|c |个单位，就在ax 2后面减|c |.三、板书设计二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质⎩⎪⎨⎪⎧1.顶点坐标、对称轴、开口方向2.抛物线的增减性3.平移规律4.与一次函数、几何图形综合教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．第2课时 二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象和性质1．会用描点法画出y ＝a (x ＋h )2的图象；2．掌握形如y ＝a (x ＋h )2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3．理解二次函数y ＝a (x ＋h )2与y ＝ax 2之间的联系．(难点)一、情境导入涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象与性质 【类型一】 y ＝a (x ＋h )2的顶点坐标已知抛物线y ＝a (x ＋h )(a ≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a ，h 的值．解：∵抛物线y ＝a (x ＋h )2(a ≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h ＝2.又∵抛物线y ＝a (x ＋2)2经过点(－4，2)，∴a (－4＋2)2＝2.∴a ＝12.方法总结：二次函数y ＝a (x ＋h )2的顶点坐标为(－h ，0)．【类型二】 二次函数y＝a (x ＋h )2图象的形状顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x ＋2)2D ．y ＝－12(x －2)2解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x ＋h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x ＋h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12.而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2.把a ＝－12，h ＝2代入y ＝a (x ＋h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．【类型三】 二次函数y＝a (x ＋h )2的增减性及最值对于二次函数y ＝9(x －1)，下列结论正确的是( ) A ．y 随x 的增大而增大B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＝－1时，y 有最小值0D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大解析：因为a ＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h ＝－1，顶点坐标为(1，0)，所以当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．故选D.探究点二：二次函数y ＝a (x ＋h )2图象的平移 【类型一】 利用平移确定y＝a (x ＋h )2的解析式抛物线y ＝ax 向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．解析：y ＝ax 2向右平移3个单位后的关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a 的值．解：二次函数y ＝ax 2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把x ＝－1，y ＝4代入，得4＝a (－1－3)2，a ＝14，∴平移后二次函数关系式为y ＝14(x －3)2.方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移3个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．【类型二】 确定y＝a (x ＋h )2与y ＝ax 2的关系向左或向右平移函数y ＝－12x 2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能，理由如下：设平移后的函数为y ＝－12(x ＋h )2，将x ＝－9，y ＝－8代入得－8＝－12(－9＋h )2，所以h ＝5或h ＝13，所以平移后的函数为y ＝－12(x ＋5)2或y ＝－12(x ＋13)2.即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位．【类型三】 二次函数y ＝a (x ＋h )2图象的平移与几何图形的综合把函数y ＝12x 2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y ＝x 分别相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，求△ABC 的面积．解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C 点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y ＝x 组成的方程组，确定A 、B 两点坐标，最后求△ABC 的面积．解：平移后的函数为y ＝12(x －4)2，顶点C 的坐标为(4，0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x －4）2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8. ∵点A 在点B 的左边，∴A (2，2)，B (8，8)，∴S △ABC ＝S △OBC －S △OAC ＝12OC ×8－12OC×2＝12.方法总结：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．三、板书设计二次函数y ＝a （x ＋h ）2的图象和性质⎩⎪⎨⎪⎧1.顶点坐标、对称轴、开口方向2.抛物线的增减性3.抛物线的平移4.确定抛物线的解析式教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．第3课时 二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象和性质1．会用描点法画出y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象；2．掌握形如y ＝a (x ＋h )2＋k 的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3．理解二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2之间的联系．(难点)一、情境导入前面我们是如何研究二次函数y ＝ax 2、y ＝ax 2＋k 、y ＝a (x ＋h )2的图象与性质的？如何画出y ＝12(x －2)2＋1的图象？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象与性质【类型一】 抛物线y ＝a (x ＋h )2＋k 的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性对于抛物线y ＝3(x －3)＋6，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝3；③顶点坐标为(3，6)；④x >0时，y 随x 的增大而增大．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：根据二次函数的性质对各小题分析判断即可．①∵a ＝3>0，∴抛物线的开口向上，正确；②对称轴为直线x ＝3，正确；③顶点坐标为(3，6)，正确；④∵x >3时，y 随x 的增大而增大，即x >0时，图象的增减性不同．故选C.方法总结：对于抛物线y ＝a (x ＋h )2＋k ，其对称轴为x ＝－h ，顶点坐标为(－h ，k )．当a >0时，对称轴左边的图象，y 随x 的增大而减小，对称轴右边的图象，y 随x 的增大而增大，当a <0时，反之．【类型二】 利用顶点确定y＝a (x ＋h )2＋k 的解析式已知抛物线y ＝ax ＋bx ＋c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为__________________．解析：由题意可设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋2)2＋3，把x ＝－1，y ＝5代入得5＝a (－1＋2)2＋3，所以a ＝2，所以抛物线的表达式为y ＝2(x ＋2)2＋3.【类型三】 利用y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象解决问题如图，点A ，B 的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y ＝a (x －m )2＋n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点(C 在D 的左侧)，点C 的横坐标最小值为－3，则点D 的横坐标最大值为( )A．－3 B ．1 C ．5 D ．8解析：C 、D 两点是抛物线与x 轴的交点，当C 的横坐标取得最小值时，抛物线的顶点在A 处，把C (－3，0)，A (1，4)代入解析式，可得0＝a (－3－1)2＋4，求得a ＝－14，当抛物线的顶点在B 处时，D 的横坐标取得最大值，其解析式y ＝－14(x －4)2＋4，易得最大值为8.故选D.探究点二：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象的平移将抛物线y ＝13x 2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A ．y ＝13(x －2)2－1B ．y ＝13(x －2)2＋1C ．y ＝13(x ＋2)2＋1D ．y ＝13(x ＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y ＝13x 2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y ＝13(x －2)2－1.故选A.探究点三：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象与几何图形的综合如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y ＝(x －h )2＋k .所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，顶点为D .(1)求h ，k 的值；(2)判断△ACD 的形状，并说明理由．解析：(1)按照图象平移规律“左加右减，上加下减”可得到平移后的二次函数的解析式；(2)分别过点D 作x 轴和y 轴的垂线段DE ，DF ，再利用勾股定理，可说明△ACD 是直角三角形．解：(1)∵将抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y ＝(x ＋1)2－4，∴h ＝－1，k ＝－4；(2)△ACD 为直角三角形．理由如下：由(1)得y ＝(x ＋1)2－4.当y ＝0时，(x ＋1)2－4＝0，x ＝－3或x ＝1.∴A (－3，0)，B (1，0)．当x ＝0时，y ＝(x ＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，∴C 点坐标为(0，－3)．顶点坐标为D (－1，－4)．作出抛物线的对称轴x ＝－1交x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，如图所示．在Rt △AED 中，AD 2＝22＋42＝20；在Rt △AOC 中，AC 2＝32＋32＝18；在Rt △CFD 中，CD 2＝12＋12＝2.∵AC 2＋CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形．三、板书设计二次函数y ＝a （x ＋h ）2＋k 的图象和性质⎩⎪⎨⎪⎧1.顶点坐标、对称轴、开口方向2.抛物线的增减性3.函数的最值4.抛物线的平移教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．第4课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象；2．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握二次函数的性质；(重点)3．二次函数性质的综合应用．(难点)一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 【类型一】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最值已知0≤x ≤12，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是( )A ．－10.5B ．2C ．－2.5D ．－6解析：y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∵自变量取值范围为0≤x ≤12，∴图象都在对称轴的左侧，且y 随x 的增大而增大．∴当x ＝12时，y 有最大值，最大值为y ＝－2x 2＋8x －6＝－2×(12)2＋8×12－6＝－2.5.故选C.方法总结：二次函数求最值最常用的方法是配方法和公式法，需要注意的是，当自变量限制范围时，如果对称轴取值不在范围内，则可以根据二次函数图象的增减性在取值范围内求最值．【类型二】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的增减性如图，已知二次函数y ＝－x ＋2x ，当－1＜x ＜a 时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．－1＜a ≤1C ．a ＞0D ．－1＜a ＜2解析：抛物线的对称轴为x ＝－22×（－1）＝1，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x 的增大而增大，∴a ≤1.∵－1＜x ＜a ，∴a >－1，∴－1<a ≤1.故选B.方法总结：抛物线的增减性：当a ＞0时，开口向上，对称轴左降右升；当a ＜0时，开口向下，对称轴左升右降．【类型三】 在同一坐标系中确定二次函数与一次函数的图象在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和y ＝－mx ＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )解析：当二次函数图象开口向上时，－m >0，即m <0，对称轴x ＝22m ＝1m <0，这时抛物线的对称轴在y 轴左侧．当m <0时，一次函数y ＝mx ＋m 的图象经过第二、三、四象限．故选D.方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．探究点二：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的平移在同一平面直角坐标系内，将函数y ＝2x 2＋4x －3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )A ．(－3，－6)B ．(1，－4)C ．(1，－6)D ．(－3，4)解析：二次函数y ＝2x 2＋4x －3配方得y ＝2(x ＋1)2－5，将y ＝2(x ＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y ＝2(x ＋1－2)2－5＝2(x －1)2－5，将抛物线y ＝2(x －1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y ＝2(x －1)2－5－1＝2(x －1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)．故选C.方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向上平移k (k >0)个单位所得的函数关系式为y ＝ax 2＋k ，向下平移k (k >0)个单位所得函数关系式为y ＝ax 2－k ；向左平移h (h >0)个单位所得函数关系式为y ＝a (x ＋h )2；向右平移h (h >0)个单位所得函数关系式为y ＝a (x －h )2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．探究点三：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的位置与系数a 、b 、c 的关系如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，x ＝－1是对称轴，有下列判断：①b －2a ＝0；②4a －2b ＋c <0；③a －b ＋c ＝－9a ；④若(－3，y 1)，(32，y 2)是抛物线上两点，则y 1>y 2.其中正确的是( )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④解析：∵－b2a ＝－1，∴b ＝2a ，即b －2a ＝0，∴①正确；∵当x ＝－2时点在x 轴的上方，即4a －2b ＋c >0，∴②不正确；∵4a ＋2b ＋c ＝0，∴c ＝－4a －2b ，∵b ＝2a ，∴a －b ＋c ＝a －b －4a －2b ＝－3a －3b ＝－9a ，∴③正确；∵(32，y 2)关于对称轴x ＝－1的对称点为(－72，y 2)，x <－1时，y 随x 的增大而增大，∵－3>－72，∴y 1>y 2，∴④正确．综上所述，选B.方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a 、b 、c 的符号确定：抛物线开口方向决定了a 的符号，当开口向上时，a ＞0，当开口向下时，a ＜0；抛物线的对称轴是x ＝－b 2a ；当x ＝2时，二次函数的函数值为y ＝4a ＋2b ＋c ；函数的图象在x 轴上方时，y >0，函数的图。

沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计1一. 教材分析《二次函数》是沪科版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要让学生了解二次函数的定义、性质和图像，以及会运用二次函数解决实际问题。

二次函数是中学数学中的重要内容，也是高考的热点，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对于函数的概念和图像是有一定的了解的。

但是二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生有良好的数学思维能力和抽象思维能力。

同时，学生对于实际问题的解决能力也需要加强。

三. 教学目标1.了解二次函数的定义，掌握二次函数的性质和图像；2.学会运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质；2.二次函数图像的特点；3.运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的定义和性质；2.使用多媒体展示二次函数的图像，帮助学生直观理解二次函数的特点；3.通过实际例题，让学生运用二次函数解决实际问题；4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.二次函数的PPT；3.实际问题的例题；4.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如抛物线射击、最大利润等问题，引导学生思考如何解决这些问题，从而引出二次函数的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数的定义、性质和图像，让学生直观地了解二次函数的特点。

同时，教师进行讲解，让学生理解二次函数的概念和性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固二次函数的知识。

教师选取一些题目进行讲解，纠正学生的错误。

5.拓展（10分钟）让学生思考一些拓展问题，如二次函数在实际生活中的应用等。

沪科版数学九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》复习教学设计一. 教材分析《二次函数与反比例函数》是沪科版数学九年级上册第21章的内容，本章主要让学生掌握二次函数和反比例函数的性质、图象和应用。

内容涵盖了二次函数的定义、开口方向、对称轴、顶点坐标的求法，以及反比例函数的定义、图象、性质等。

这一章内容在初中数学中占有重要地位，对于学生来说，理解掌握二次函数和反比例函数的知识，对于高中阶段的学习有着重要的铺垫作用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过一次函数和二次函数的基础知识，对于函数的概念、图象和性质有一定的了解。

但是，对于二次函数和反比例函数的性质、图象和应用，部分学生可能还存在着一定的困难。

因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，进行有针对性的教学设计，帮助学生理解和掌握二次函数和反比例函数的知识。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数和反比例函数的定义、性质、图象和应用，能够熟练运用二次函数和反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方式，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学素养，使学生认识到数学在生活中的重要性。

四. 教学重难点1.重点：二次函数和反比例函数的定义、性质、图象和应用。

2.难点：二次函数和反比例函数的性质、图象和应用的理解和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数和反比例函数的定义和应用。

2.自主学习法：鼓励学生自主探究二次函数和反比例函数的性质、图象，培养学生的自主学习能力。

3.合作交流法：学生进行小组讨论，共同解决问题，培养学生的合作交流能力。

4.案例教学法：通过分析实际问题，引导学生运用二次函数和反比例函数解决问题，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助教学。

2.教学素材：准备相关的实际问题，作为教学案例。

第21章二次函数与反比例函数小结与复习二、知识填空1．二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象和性质：抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的大致形状b2-4ac>0b2-4ac=b2-4ac<0开口方向对称轴顶点坐标函数y=ax2+bx+c（a>0）增减情况函数y=ax2+bx+c（a>0）的最值2.反比例函数y=xk（k≠0）的图象和性质：函数y=xk（k≠0）的图象大致形状k>0 k<0 函数y=（k≠0）的图象：教学思路（纠错栏）增减情况☆知识整合提升☆1、已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积S△MCB.2、如图所示：已知直线ｙ＝21x与双曲线y=xk（k>0）交于Ａ、Ｂ两点，且点Ａ的横坐标为4.⑴求ｋ的值.⑵若双曲线y=xk（k>0）上的一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积xyABO☆ 达标检测 ☆1．抛物线y=2x 2-12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 2．在反比例函数xk y 1+=的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是 ． 3.如图为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0； ②方程ax 2＋bx ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。

正确的说法有_____________。

(把正确的答案的序号都填在横线上)。

21.5 反比例函数 第1课时 反比例函数教学目标：1．理解反比例函数的概念，会求比例系数。

2．感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型，能够列出实际问题中的反比例函数关系.教学重点：理解反比例函数的概念，会求比例系数。

难点：正确列出实际问题中的反比例函数关系。

教学过程中可能会用到的某些量之间的关系：，R U I = ,vs t = 长方形的面积＝长⨯宽，总人口数总耕地面积人均耕地面积＝ 教学过程：一、自主教学1、自学课本新课内容并完成课本的题目。

（做在课本上。

）2、明确概念：反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系式可以表示成的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数的自变量x 不能为 。

*说明：（1）反比例函数)0(≠=k x k y 有时也写成)0(≠=k y 或)0(≠=k的形式。

（2）反比例函数中，三个量x 、y 、k 均不能为0.二、合作教学，共同探索1、订正自主教学内容。

2、完成课本做一做。

先独立完成，再小组交流。

三、全班交流，知识应用1、下列关系式中的y 是x 的反比例函数吗？如果是，比例系数k 是多少？①4y x =；②12y x =-；③1y x =-；④1xy =；⑤2x y =；⑥13y x -=；⑦21y x=- 解：上述关系式中y 是x 的反比例函数的有： ；它们的比例系数k 分别是 。

2、已知y 是x 的反比例函数，且当x =2时，y =9.（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）当27=x 时，求y 的值；（3）当y =3时，求x 的值。

3、已知函数22(1)m y m x -=+当m 为何值时，y 是x 的反比例函数？并求出函数的表达式。

四、课堂小结。

这节课我们主要教学了，你的收获是： 。

五、当堂检测必做题：1．下列函数中，y 与x 成反比例函数关系的是（ ）A.5xy =B.21y x =-C. 3y x =D. 11y x =-+ 2.在下列关系式中：①x y 5= ②xy 4.0= ③2x y = ④1-=xy ⑤x y -=5 ⑥x y 65= ⑦2=xy ⑧12-=x y 其中y 是x 的反比例函数的有： ；它们的比例系数k 分别是 。

21.5 反比例函数第1课时反比例函数的概念【知识与技能】理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.一、情景导入，初步认知1.复习小学已学过的反比例关系，例如：(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积S一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)2.电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR.当U=220V时，你能用含R的代数式表示I吗？【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础.二、思考探究，获取新知问题1：某村有耕地200km2，人口数量x逐年发生变化，该村人均耕地面积y与人口数量x之间有怎样的函数关系？问题2：某市距省城248千米，汽车行驶全程所需的时间th与平均速度vkm/h之间有怎样的函数关系？问题3：在一个电路中，当电压U 一定时，通过电路的电流I 的大小与该电路的电阻R 的大小之间有怎样的函数关系？思考：观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？上面的函数关系式，都具有xk y =的形式，其中k 是常数. 【归纳结论】一般地，表达式形如x k y =（k 为常数且k ≠0）的函数叫作反比例函数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式.教师组织学生讨论，提问学生，师生互动.例：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p/Pa 是它的受力面积Sm2的反比例函数，如图.（1）求p 与S 之间的函数表达式；（2）当S=0.5时，求物体承受的压强p 的值.解：（1）根据题意设Sk p =， 函数图象经过点（0.1,1000）代入上式，得k=100.所以p 与S 之间的函数表达式为S p 100=，（p ＞0,S ＞0) (2)当S=0.5时，5.0100=p ,解得，p=200. 三、运用新知，深化理解1.下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？（1）一个游泳池的容积为2000m 3，注满游泳池所用的时间随注水速度u 的变化而变化；（2）某立方体的体积为1000cm 3，立方体的高h 随底面积S 的变化而变化； （3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p 随物体与地面的接触面积S 的变化而变化.2.下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？解：只有xy=123是反比例函数.xk y =，当x ＝1时，y ＝-3，那么这个函数的解析式是( B )4.已知y 与x 成反比例，当x ＝3时，y ＝4，那么y ＝3时，x 的值等于( A )B.-4C.311-=m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝2，解析式为xy 1=. 6.写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别.(1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12000元，首付4000元，以后每月付y 元，x 个月全部付清，则y 与x 的关系式为，是函数.(2)某种灯的使用寿命为1000小时，它的使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的关系式为，是函数.(3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a 、h 、S.当a ＝10时，S 与h 的关系式为，是函数；当S ＝18时，a 与h 的关系式为，是函数.(4)某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为，是函数.7.已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6.(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)求当x=4时，y 的值.【分析】因为y 是x 的反比例函数，所以xk y =，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k 的值. 解：（1）设x k y =，因为x=2时，y=6，所以有6=2k ，解得k=12，因此xy 12= （2）把x=4代入x y 12=，得y=412=3 【教学说明】学生独立思考，然后小组合作交流.教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题”中第1、2、3题.反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解.在概念的形成过程中，从感性认识到理性认识.。