二次函数(最全的中考二次函数知识点总结

01
知识点总结
02
学习口诀
二次函数图像与性质口诀
二次函数抛物线，图象对称是关键;
开口、顶点和交点，它们确定图象限;
开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联;
顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;
顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。

若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

03
易错分析
函数是初中数学知识的主线，而二次函数是这条主线上的高潮.我们通过探索二次函数与方程的关系，让我们领悟到事物之间相互联系的辨证关系.我们能够利用二次函数解决实际问题，培养数学建模的能力。

1、知识结构
2、知识梳理
3、性质
注意：二次函数的性质要结合图象，认真理解，灵活应用，不要死记硬背．
4、二次函数与一元二次方程的关系
【易错点剖析】
一、忽略二次项系数不等于0
二、忽略隐含条件
三、忽略数形结合思想方法的应用
四、求顶点坐标时混淆符号
五、忽视根的判别式的作用
04
巧选解析式
二次函数解析式的确定是中考的高频考点，在压轴题的第一问就难倒了不少小伙伴。

那么如何巧选表达式来确定二次函数的解析式呢？
【小试牛刀】
【几种特殊情况】
05
动态最值专题
06
解题技巧
学好函数还是有诀窍的，要结合图像说性质，结合性
质画图像，正所谓数形结合，函数无敌！。

.二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分二次函数基础知识相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如 2y ax bx c（a，b ，c是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数 2y ax bx c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二次函数各种形式之间的变换2二次函数y ax bx c2用配方法可化成：y a x h k 的形式，其中hb2a24ac b，.k4a二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① 2 2y ax ；②y ax k ；③2y a x h ；2④y a x h k；⑤y ax2 bx c .二次函数解析式的表示方法一般式： 2y ax bx c （a ，b ，c 为常数， a 0 ）；顶点式： 2y a(x h) k （a ，h ，k 为常数， a 0 ）；两根式：y a(x x1 )( x x2 ) （a 0，x1 ，x2 是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即函数解析式的这三种形式可以互化.2b 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次二次函数 2y ax 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质y 随x 的增大而增大；x 0时，y a 向上0，0 y 轴x 0 时，随x的增大而减小；x 0 时，y 有最小值0 ．a 向下0，0 y 轴x 时，y 随x 的增大增大而减小；x 0 0时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值0 ．二次函数 2y ax c 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质a 向上0，c y 轴0 x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 有最小值 c ．a 向下0，c y 轴0 x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随x 的增大而增大；x 0时，y 有最大值 c ．二次函数 2y a x h 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 向上h ，0 X=h0 x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值0 ．..a 0 向下h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值0 ．二次函数 2y a x h k 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上h ，k X=h x h 时，y 随x的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k ．a 向下h ，k X=h0 x h 时，y 随x的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k ．抛物线 2y ax bx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当 a 0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作x b2a. 特别地，y 轴记作直线x 0.2b 4ac b顶点坐标坐标：（，）2a 4a顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.2抛物线y ax bx c 中，a,b,c与函数图像的关系二次项系数 a二次函数 2y ax bx c中， a 作为二次项系数，显然 a0 ．⑴当a 0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵当a 0 时，抛物线开口向下， a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a 0 的前提下，b当 b 0时，2a，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；b当 b 0时，2a，即抛物线的对称轴就是y 轴；b当 b 0 时，2a，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即b当 b 0时，2a，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；b当 b 0时，2a，即抛物线的对称轴就是y 轴；b当 b 0 时，2a，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在 a 确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：常数项 c⑴当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；..⑶当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要 a ，b，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：y 2ax bx c a xb2a24ac4a2b2b 4ac b，∴顶点是（，），对称轴是2a 4a直线xb2a.2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x h k( h, k ) ，对称轴是直线x h .的形式，得到顶点为运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式2 . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.一般式：y ax bx c2顶点式：y a x h k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 、x2 ，通常选用交点式：y a x x1 x x2 .1直线与抛物线的交点2 得交点为(0, c ). y轴与抛物线y axbx c2 有且只有一个交点( h, ah 2 bh c ). 与y 轴平行的直线x h与抛物线y ax bxc2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标抛物线与x 轴的交点: 二次函数y ax bx c x、x2 ，是1对应一元二次方程ax2 bx c 0 的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0 抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）0 抛物线与x 轴相切；③没有交点0 抛物线与x 轴相离.平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0 个交点、1 个交点、2 个交点. 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax2 bx c k 的两个实数根.2 bx c a一次函数y kx n k 0 的图像l 与二次函数y 0 的图像G 的交点，由ax方程组y kx n2y ax bx c的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点；③方程组无解时l 与G 没有交点.2 与x 轴两交点为0 0A x ，1，，B x ，抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y ax bx c2由于 2 bx cx 、x2 是方程ax 0的两个根，故1bx x , x xa c aAB x1 x2x1x22 x1x22 4x x1 22b 4c 2b 4aca a a a二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x轴对称2y a x b x 关c于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c；2y a x h k 关于x轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；关于y 轴对称..2y a x b x 关c于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c；2y a x h k 关于y 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；关于原点对称2y a x b x 关c于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c；2y a x h 关k 于原点对称后，得到的解析式是2y a x h k ；关于顶点对称2y a x b x 关c于顶点对称后，得到的解析式是2y ax bx c2b2a；2y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是2y a x h k ．关于点m，n 对称2y a x h k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是2y a x h 2m 2n k总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图象的平移平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式 2y a x h k ，确定其顶点坐标h，k ；⑵保持抛物线 2y ax 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2 y=ax2+k向右( h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)( h<0)【或左】平移|k|个单位向上( k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右( h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a( x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

中考数学复习专项知识总结—二次函数（中考必备）1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

2、二次函数的图象是一条抛物线。

当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。

|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。

3、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的联系：(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根；(2)抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根的关系1、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。

2、会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。

3、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。

4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

1、二次函数的基本概念。

2、结合已知条件确定二次函数的表达式，利用待定系数法求二次函数的解析式。

3、根据二次函数的图象及性质解决相关问题，如不等式、一元二次方程。

4、二次函数图象的平移。

5、二次函数与实际问题，二次函数与综合问题(与几何、函数、方程等的综合)。

1、下列各点中，在函数y =-x 2图象上的点是（ ）A 、(-2，4)B 、(2，-4)C 、(-4，2)D 、(4，-2)2、二次函数y =(3m -2)x 2+mx +1的图象开口向上，则m 的取值范围是 。

3、抛物线21(3)52y x =---的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与x 轴的交点个数是 个。

4、二次函数21522y x x =+-的图象的顶点坐标是 。

5、二次函数y =2(x -1)2+5图象的对称轴和顶点P 的坐标分别是（ ） A 、直线x =-1，P(-1，5) B 、直线x =-1，P(1，5) C 、直线x =1，P(1，5) D 、直线x =1，P(-1，5) 6、把抛物线y =-4x 2向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A 、y =-4(x +3)2+2B 、y =-4(x +3)2-2C 、y =-4(x -3)2+2D 、y =-4(x -3)2-27、在平面直角坐标系中，将二次函数y =-2(x -1)2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点变为（ ）A 、（0,0）B 、（1，-2）C 、（0，-1）D 、（-2,1）8、二次函数y=(x-1)2+2的最小值是（）A、2B、1C、-1D、-29、已知二次函数y=3x2+2x+a与x轴没有交点，则a的取值范围是。

二次函数知识点总结二次函数是初中数学的重要内容之一，也是中考数学的重点和难点。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理、经济等其他学科中也经常出现。

下面我们来详细总结一下二次函数的相关知识点。

一、二次函数的定义一般地，形如\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a ≠ 0\））的函数，叫做二次函数。

其中\（x\）是自变量，＼（a\）叫做二次项系数，＼（b\）叫做一次项系数，＼（c\）叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的最高次必须是二次，并且二次项系数\（a\）不能为\（0\）。

如果\（a ＝ 0\），那么函数就变成了一次函数。

二、二次函数的图象二次函数的图象是一条抛物线。

抛物线的形状由二次项系数\（a\）决定：1、当\（a ＞ 0\）时，抛物线开口向上；当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下。

2、＼（｜a|＼）越大，抛物线的开口越窄；＼（｜a|＼）越小，抛物线的开口越宽。

抛物线是轴对称图形，对称轴为直线\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）。

二次函数的顶点式为\（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\），其中\（（h, k)＼）是抛物线的顶点坐标。

当抛物线的顶点坐标已知时，通常使用顶点式来表示二次函数，这样可以更方便地求出函数的最值等性质。

四、二次函数的一般式与顶点式的转化由一般式\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）通过配方法可以转化为顶点式：＼＼begin{align}y&＝ax^2 ＋ bx ＋ c\＼＆＝a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x) ＋ c\＼＆＝a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋＼frac{b^2}｛4a^2} ＼frac{b^2}｛4a^2}）＋ c\＼＆＝a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＼frac{b^2}｛4a} ＋ c\＼＆＝a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＋＼frac{4ac b^2}｛4a}＼end{align}＼所以顶点坐标为\（（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＼）。

中考数学二次函数超全知识点记忆口诀二次函数是中考数学的重点内容之一，掌握二次函数的知识点对于解题非常重要。

下面是二次函数的超全知识点记忆口诀：一、二次函数的定义：二次函数ax^2 + bx + c (a≠0)二次项的系数a必定不为零。

二、二次函数的图像：对于二次函数抛物线开口向上会往上抛物线开口向下会往下。

三、二次函数的对称轴：对称轴方程形如x=k(k为常数)k代表横坐标的平移，可随意。

四、二次函数的顶点坐标：顶点坐标是（h，k）h=k值的相反数这一点是要记牢的。

五、二次函数的平移：纵坐标加减h，横坐标加减k这样可以让函数平移动。

六、二次函数的判别式：Δ=b^2-4acΔ大于零，则两根实数Δ等于零，有相同根Δ小于零，则无实根。

七、二次函数的根公式：x1,x2=(-b±√(b^2-4ac))/2a这个公式是非常重要的。

八、二次函数的零点：根就是函数与x轴的交点交点的个数和Δ有关。

九、二次函数的单调性：(a>0)函数开口朝上(a<0)函数开口朝下。

十、二次函数的最值：(a>0)最小值在顶点处(a<0)最大值就能看出。

十一、二次函数的增减性：判断增减很简单大于发散，小于集中。

十二、二次函数的平行与垂直关系：两二次函数平行斜率a相等；两二次函数垂直倒数互为相等。

十三、二次函数与轴交点：与x轴交点，就是求解方程ax^2+bx+c=0；与y轴交点，就是求函数的常数项c。

十四、二次函数的最后性质：函数图像至少有一个对称中心这个中心是顶点。

十五、二次函数的图象变换：求法很简单向下平移，顶点往下移；向上平移，顶点往上飞；向左平移，顶点往左飞；向右平移，顶点往右眯。

十六、二次函数图像的缩放：记住就好系数a的绝对值在接近0时会减小即图像变窄；系数a的绝对值大于1时会增大即图像变胖。

总结：以上是二次函数口诀掌握了这些基本没错。

记住平移和缩放的特点解题顺利不费力。

忘了记不住的可以偷懒做题时再仔细分析。

二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础知识✧ 相关概念及定义➢ 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．➢ 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换➢ 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法➢ 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；➢ 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；➢ 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.➢ 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ➢ 二次函数2ax y =的性质✧ 二次函数2y ax c =+的性质✧ 二次函数y a x h =-的性质：✧ ✧ 二次函数()2y a x h k =-+的性质✧ 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.➢a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.➢ 对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . ➢ 顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--➢ 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. ✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 ➢ 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大 小．➢ 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：➢ 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法➢ 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.➢ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式➢ 一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ➢ 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.➢ 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. ✧ 直线与抛物线的交点➢y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).➢ 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).➢ 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.➢ 平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.➢ 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.➢ 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故a cx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达➢ 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；➢ 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；➢ 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；➢ 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．➢ 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-➢ 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．✧ 二次函数图象的平移➢ 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： ➢【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

二次函数知识点归纳一、二次函数概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：oo结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：2. 2y ax c =+的性质：结论：上加下减。

a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．总结：3. ()2y a x h =-的性质：结论：左加右减。

总结：4. ()2y a x h k =-+的性质：总结： a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。

中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

2.二次函数的系数a与开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

3. 二次函数的零点：二次函数的零点即函数的解，即满足方程y=ax²+bx+c=0的x的值。

4.二次函数的顶点：二次函数的顶点是函数图像的最低点（a>0，开口向上）或最高点（a<0，开口向下）。

二、图像与性质1. 平移变换：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将函数向左平移h个单位，记作y=a(x-h)²+bx+c；向上平移k个单位，记作y=a(x-h)²+bx+(c+k)。

2. 对称轴：对于二次函数y=a(x-h)²+bx+c，其对称轴为x=h。

3.最值：当二次函数开口向上时，最小值等于顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，最大值等于顶点的纵坐标。

4.单调性：若a>0，则二次函数是单调递增的；若a<0，则二次函数是单调递减的。

1. 因式分解：二次函数可以通过因式分解的方法求解，对于形如y=x²+bx+c的二次函数，可以通过找到满足(x+p)(x+q)=0的p和q来求解。

2. 二次方程的解与二次函数的零点：对于二次函数y=ax²+bx+c，当y=0时，可以得到ax²+bx+c=0，即二次方程。

所以二次函数的零点就是二次方程的根。

3.二次函数与坐标变换：二次函数可以通过坐标变换的方法进行图像的绘制与分析。

根据函数中的系数和平移变化，我们可以找到相关的坐标点，进而绘制出图像。

四、易错点1.没有注意二次函数系数与开口方向之间的关系，导致图像的绘制错误。

2.对于二次函数的平移变换不够熟练，不能正确确定平移的方向和单位。

3.没有理解二次函数的最值和单调性，导致在题目中的应用出现错误。

初中数学二次函数知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。