1995年比利时数学奥林匹克

苏联中学生数学奥林匹克集训队试题及其解答(1984—1992)《苏联中学生数学奥林匹克集训队试题及其解答（1984—1992）》是一本收录了苏联时期中学生数学奥林匹克竞赛试题及其解答的书籍。

其中，1984-1991年称为全苏联数学奥林匹克集训队，1992年苏联已经解体，故称为跨共和国数学奥林匹克集训队。

这本书包含了第1-330题的详细解答。

需要注意的是，这本书并非官方出版物，而是由民间爱好者整理汇编的资料。

以下是部分试题的示例：1. （1984年第1题）设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1。

求f'(x)，并求f'(x)的零点。

答案：f'(x) = 6x^2 - 6x + 1。

f'(x)的零点为x = 1/2。

2. （1985年第2题）设a、b、c是等差数列的三项，a、b、c、d是等比数列的四项。

已知a + b + c = 12，a * b * c = 24，求d的值。

答案：由等差数列性质，a + c = 2b。

由等比数列性质，b^2 = ac。

联立这两个方程，可以解得a = 4，b = 4，c = 4。

因此，d = 4。

3. （1986年第3题）设平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B在x 轴上，点C在y轴上。

求△ABC面积的最大值。

答案：设点B的坐标为(x, 0)，点C的坐标为(0, y)。

则△ABC的面积S = 1/2 * |x * 3 - 2 * y|。

为使S最大，需要使x * 3 - 2 * y最大。

当x = 2，y = 3时，S取得最大值，最大值为6。

1995年中国数学奥林匹克试题解答常庚哲;苏淳【期刊名称】《中等数学》【年(卷),期】1995(000)002【摘要】一、证明（i）如果a₁≤b₁,则由递推关系式立知a_i≤b_i,i=2,…,n,结论显然成立。

（ii）如果存在2≤i₀≤n-1,使a_i₀≤b_i₀且a_i₀+1≤b_i₀+1,则当i₀=n-1时,立得结论;而当2≤i₀≤n-2时,由递推关系式亦知,对一切i≥i₀+2,均有a_i≤b_i,从而结论亦成立。

【总页数】3页(P14-16)【作者】常庚哲;苏淳【作者单位】[1]第十届全国数学冬令营主试委员会;[2]第十届全国数学冬令营主试委员会【正文语种】中文【中图分类】G634.605【相关文献】1.2006年中国数学奥林匹克（第21届全国中学生数学冬令营）试题解答 [J],2.第2届中国东南地区数学奥林匹克试题解答 [J], 吴伟朝3.2004年中国数学奥林匹克冬令营试题解答 [J], 陶平生4.1995年中国数学奥林匹克(第10届全国中学生数学冬令营,合肥) [J],5.1994中国数学奥林匹克试题解答 [J],因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

奥运会中的数学知识2004年雅典奥运会上德国的二分之一相当于美国金牌数的五分之一，又相当于中国的三十五分之七，已知美国比中国多3枚金牌。

求美国，中国，德国各得金牌多少枚.（用方程解答）解答：美国35枚，中国32枚，德国14枚。

奥运起源古希腊是一个神话王国，优美动人的神话故事和曲折离奇的民间传说，为古奥运会的起源蒙上一层神秘的色彩。

传说：古代奥林匹克运动会是为祭祀克勒斯有关。

赫拉克斯因力大无比获“大力神”的美称。

他在伊利斯城邦完成了常会无法完成的任务，不到半天功夫便扫干净了国王堆满牛粪的牛棚，但国王不想履行赠送300头牛的许诺，赫拉克斯一气之下赶走了国王。

为了庆贺胜利，他在奥林匹克举行了运动会。

关于古奥运会起源流传最广的是佩洛普斯娶亲的故事。

古希腊伊利斯国王为了给自己的女儿挑选一个文武双全的驸马，提出应选者必须各自己比赛战车。

比赛中，先后有13个青年丧生于国王的长矛之下。

而第14个青年正是宙斯的孙子和公主的心上人佩洛普斯。

在爱情的鼓舞下，他勇敢的接受了国王的挑战。

终于以智取胜。

为了庆贺这一胜利，佩洛普斯与公主在奥林匹克的宙斯庙前举行盛大的婚礼，会上安排了战车、角斗等项比赛，这就是最初的古奥运会，佩洛普斯成了古奥运会传说中的创始人。

2.奥运会中运用了什么数学知识田径比赛的跑道也很有学问，像400米起跑时，运动员并不在同一条起跑线上，这里就有数学中圆的周长的知识.有些比赛是有比分的，比如篮球比赛几比几，就是数学中比的知识.比赛中会出现很多数，比如运动员的号码是整数，射击的环数会精确到小数，另外我们经常听到的1/8决赛、1/4决赛就是分数.赛场还有很多名数.比如说200米、100千克等等.有些比赛的成绩需要求平均数，这里就既有计算的知识，又有求平均数的知识.3.奥运中存在哪些数学知识奥运会会徽是奥运会最有权威性的形象标志。

根据《奥林匹克宪章》规定，各主办国设计的会徽，未经奥运会组委会同意，不得用于广告和商业服务。

目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题）4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格 ，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1−12008<a2006<1.1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民 供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张 雷 供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M图2其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平 供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax−2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =�x n−12+x n−1+x n−1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张 雷 供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1） 求证：AD +CF =DF ；（2） 设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君 供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k <a k 时，可以从第k 堆拿走b k 枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张 利 供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金 供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009−2008(x−1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨 贾应红 供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n −1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n−1+2n2n(n=2,3,⋯).求通项a n(n=1,2,⋯). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：�a2+b22+2�b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x−x|≤12，|x−y|≤12，|y−x|≤12.试求W=x+x+y−xx−xy−yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,⋯,A n是集合A={1,2,⋯,29}的一个分划，且A i(i=1,2,⋯,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,⋯,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=∅(i≠j)，A1∪A2∪⋯∪A n=A，则称A1,A2,⋯,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏 供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒 供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平 供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足�1−|2−⋯|(n −1)−|n −x ||⋯|�=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,⋯,x n(n∈ℕ+)，满足x12+x22+⋯+x n2=111，求S=x1+x2+⋯+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈ℤ}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m⋅n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n−1−2,n∈ℕ+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n−1+1b n−1,n∈ℕ+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明�1+13��1+13�⋯�1+13�<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)�a+1,a p+1a+1�=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.。