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二○○五年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，适当划分档次评分，55分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x 的不等式36x x k -+-³有解的实数k 的最大值是（的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 解：令36,36,y x x x =-+-££则2(3)(6)2(3)(6)2[(3)y x x x x x =-+-+--£-(6)] 6.x +-=06,y k \<£\实数的最大值为6。
选D 。
2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====D A CD B C AB 则BD AC ×的取值（取值（ ）A ．只有一个．只有一个B ．有二个．有二个C ．有四个．有四个D ．有无穷多个．有无穷多个解：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++DA CD BC AB 则22DA DA == -=×+×+×+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB+++-=×+×+×+++AB CD BC AB AB CD CD BC BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +×即BD AC CD AB BC AD BD AC ×\=--+=×,022222只有一个值得0，故选A 。
2005小学数学奥林匹克试题和解答PAGE1-NUMPAGES152005年小学数学奥林匹克预赛试卷(A)2005年3月20日上午8：30—9：301．计算：8-1.2×1.5+742÷（2.544÷2.4）＝______。
2．计算：=______。
3．已知，那么x=______。
4．设ab表示a/b＋b/a＋1/2，计算：(1992996)(996498)＝______。
5．图中大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中的阴影面积为______。
6．按英国人的记法，2005年1月8日记作1-8-2005；按美国人的记法，2005年1月8日记作8-1-2005。
那么，2005年全年中共有______天会让英、美两国人在记法上产生误会。
7．某班在一次数学测验中，平均成绩是78分，男、女各自平均成绩是75.5与81分。
这个班男女生人数之比是______。
8．将+、－、×、÷四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是______。
1/2□1/9，1/3□1/8，1/4□1/7，1/5□1/69．有四个正方体，棱长分别是1，1，2，3。
把它们的表面粘在一起，所得的立体图形的表面积可能取得的最小值是______。
10．已知两个不同的单位分数的和是1/2004，且这两个单位分数的分母都是四位数，那么这两个单位分数的分母的差最小值是______。
11．用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线铺黑色（如图所示），其他地方铺成白色的瓷砖。
如果铺满这个地面共用了97块黑色的瓷砖，那么白色的瓷砖用了______块。
12．A、B两人以相同的速度先后从车站出发，10点钟时A与车站的距离是B与车站距离的5倍，10点24分时B正好位于A与车站距离的中点，那么A是在______时______分出发的。
2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。
证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。
（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
） 证明：（1）先证DE 过△ABC 的内心。
如图，连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DC 于G 、DE 于I ，连IC ，则由AD=AC ， 得，AG ⊥DC ，ID=IC. 又D 、C 、E 在⊙A 上， ∴∠IAC=21∠DAC=∠IEC ，∴A 、I 、C 、E 四点共圆， ∴∠CIE=∠CAE=∠ABC ，而∠CIE=2∠ICD ， ∴∠ICD=21∠ABC.∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+21∠ABC ，∴∠ACI=21∠ACB ，∴I 为△ABC 的内心。
（2）再证DF 过△ABC 的一个旁心.连FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于I 1，连II 1、B I 1、B I ，由（1）知，I 为内心， ∴∠IBI 1=90°=∠EDI 1，∴D 、B 、l 1、I 四点共圆， ∵∠BI l 1 =∠BDI 1=90°－∠ADI 1=（21∠BAC+∠ADG ）－∠ADI=21∠BAC+∠IDG ，∴A 、I 、I 1共线. I 1是△ABC 的BC 边外的旁心二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+求函数zz y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值. 解：由条件得，0)()()(=-+--++-+a bz cy a c ay bx c b cx az b ，即02222=--+c b a bcx ，bca cb x 2222-+=∴，同理，得.2,2222222ab c b a z ac b c a y -+=-+=a 、b 、c 、x 、y 、z 为正数，据以上三式知，222222222,,c b a b c a a c b >+>+>+，故以a 、b 、c 为边长，可构成一个锐角三角形ABC ，C z B y A x cos ,cos ,cos ===∴，问题转化为：在锐角△ABC 中，求函数A f (cos 、B cos 、C cos ）=CCB B A A cos 1cos cos 1cos cos 1cos 222+++++的最小值.令,cot ,cot ,cot C w B v A u ===则,1,,,=++∈+wu vw uv R w v u且).)((1),)((1),)((1222w v w u w w v v u v w u v u u ++=+++=+++=+1)1()1(1111cos 1cos 2222222222+-+=+++=+++=+∴u u u u u u u u u u u u AA),11(2))((13232232w u v u u u w u v u u u u u u +++-≥++-+-=同理，).11(2cos 1cos ),11(2cos 1cos 322322wv w u w w C C w u v u v v B B +++-≥++++-≥+)[(21)(2122222333333222v uv u w v u w u w u w v w v v u v u w v u f +--++=++++++++-++≥∴+.21)(21)]()(2222=++=+-++-uw vw uv w uw u w vw v （取等号当且仅当w v u ==，此时，.21)],,([),21,min ======z y x f z y x c b a三、（本题满分50分）对每个正整数n ，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧=.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当n n n n f（其中[x ]表示不超过x 的最大整数，]).[}{x x x -= 试求：∑=2401)(k k f 的值.解：对任意*,N k a ∈，若22)1(+<<k a k ，则k k a 212≤-≤，设,10,<<+=θθk a则].2[]}{1[,12211}{12222k a ka k a k k a k k a k a ka a -=∴+-<-+=-+=-==θθ让a 跑遍区间22)1(,(+k k ）中的所有整数，则∑∑+<<==22)1(21],2[]}{1[k a k ki i ka于是∑∑∑+====2)1(1121]2[)(n a n i ki ik a f ……①下面计算∑=ki ik21],2[画一张2k×2k 的表，第i 行中，凡是i 行中的位数处填写“*”号，则这行的“*”号共]2[i k 个，全表的“*”号共∑=ki i k21]2[个；另一方面，按列收集“*”号数，第j 列中，若j 有T （j ）个正因数，则该列使有T （j ）个“*”号，故全表的“*”号个数共∑=kj j T 21)(个，因此∑=ki i k21]2[=∑=kj j T 21)(. 示例如下：则)]2()12([)]4()3()[1()]2()1([)()(1121n T n T T T n T T n j T a f ni ni kj +-+++-++==∑∑∑===……②由此，∑∑==+--=1512561)]()12()[16()(k k k T k T k k f ……③记,15,,2,1),2()12( =+-=k k T k T a k 易得k a 的取值情况如下：因此，∑∑===-=151161783)16()(k kk ak k f n……④据定义0)16()256(2==f f ，又当)3016(15},255,,242,241{2≤≤+=∈r rk k 设 ，301515311515151515222rr r r r rr k <++<⋅++=-+=-，231}15{13012<<+<≤r r r ，则}255,,242,241{,1]}{1[∈=k k ……⑤从则.76815783)(783)(25612401=-=-=∑∑==i i k f k f。
2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案1、 计算：11024 +1512 +1256 + (12)+1+2+4+8+……+1024= 2、 计算：1+10+41035 +22463 +15199 +17143= 3、有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是（ ）。
4、设M 、N 都是自然数，记PM 是自然数M 的各位数字之和，PN 是自然数N 的各位数字之和。
又记M*N 是M 除以N 的余数。
已知M+N=4084，那么(PM+PN)*9的值是（ ）。
5、如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB 将图形分成左右两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG 的面积是（ ）。
6、某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是（ ）。
7、已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。
如果每种酒精取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了（ ）升。
8、在下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
那么“新年好”所代表的三位数是（ ）。
9、有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。
那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的（ ）倍。
10、从1~9这9个数字中取出三个，由这三个数字可以组成六个不同的三位数。
如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是（ ）。
11、有A 、B 、C 、D 、E 五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场。
当比赛快要结束时，统计到的成绩如下：队名 获胜场数 平局场数 失败场数 进球个数 失球个数A 2 1 0 4 1B 1 2 0 4 2C 1 1 1 2 3D 1 0 3 5 5E 0 2 1 1 5已知A 与E 以及B 与C 都赛成平局，并且比分都是1：1，那么B 与D 两队之间的比分是（ ）。
12005年全国初中数学联赛决赛试卷一、选择题：(每题7分，共42分)1459+302366402＋＋－－A ．无理数B ．真分数C ．奇数D ．偶数2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿．A ．78.5B ．97.5C ．90D ．1023、设4r ≥，111a r r =-+，1b r r =+，()1c rr r =++下列各式一定成立的是＿ ＿．A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿．A 5B 6 PA D2C 21252－πD 21162－π5、已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象如图所示，记2p a b c a b =-+++，2q a b c a b =+++-，则 ．A ．p q >B ．p q =C ．p q <D ．p 、q 大小关系不能确定6、若1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数，满足()()()()()2123452005200520052005200524x x x x x -----=，则2222212345x x x x x ++++的未位数字是＿＿．A ．1B ．3C ．5D ．7二、填空题(共28分)1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿．222791375137x x x x x ++-+，则x =＿＿＿．3、若实数x ,y 满足3333=13+43+6x y ＋，3333=15+45+6x y＋，则x y +=＿＿．4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A ．B ．C 满足：A B C >>，用a 表示A B -，B C -以及90A -o13中的最小者，则a 的最大值为＿＿＿．三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)1、a ，b ．c 为实数，0ac <2350a b c =，证明：一元二次方程20ax bx c ++=有大于34而小于1的根．2、锐角ABC △中，AB AC >，CD ．BE 分别是AB ．AC 边上的高，过D 作BC 的垂线交BE 于F ，交CA 的延长线于P ，过E 作BC 的垂线，交CD 于G ，交BA 的延长线于Q ，证明：BC 、DE 、FG 、PQ 四条直线相交于一点．3、a ，b ，c 为正整数，且234a b c +=，求c 的最小值．2005年全国联赛决赛试卷详解一、选择题：(每题7分，共42分)1．【解析】 459+302366402450+24509350280016=++＋＋＋－－＋－－47527521445233524752752+=-++－＋＋＋＋－＋－所以选D2．【解析】 由题意得：()22225142514cos 101121011cos 180αα+-⨯⨯-=+-⨯⨯⨯-o∴221140cos 221220cos αα-=+∴cos 0α=∴90α=o∴四边形的面积为：5751190⨯+⨯=∴选C3．【解析】解法1：用特值法，取4r =，则有1114520a ==－，(252515525 1.03622020b --===≈－ ，)55252 1.1820204(2+5)c -==≈α180°-α51011145∴c b a >>，选D解法2：()11111a r r r r ==++－， ()()()11111r r b r r r r r r r r+-==+++++－ r(r +r+1)c =Q 4r ≥，∴()()111r r r r r r +++()()111r r r r r r ⎡=+++⎣())111110r r r r ⎤=++->⎦∴()()111r r r r r r +++，故a b <()(())111110r r r r rr r r rr r r ++-+=++>∴()(111r r r r rr r ++>+故b c <，综上所述：a b c <<，选D ．解法3：∵4r ≥ 11r r <+ ∴111a b r r r r r r =<=+++ 1111r r r r c b r r r r +-+->==++ ∴a b c <<，选D64．【解析】 由图形割补知圆面积等于矩形ABCD 的面积∴2π12AB ⋅=，π2AB =由垂径定理得公共弦为222216162124πππ--⎛⎫- ⎪⎝⎭∴选D5．【解析】 由题意得：0a <，0b >，0c =∴2p a b a b =-++，2q a b a b =+++又12ba->，∴2b a ->，∴20a b +>，从而0a b a +>-> ∴222p a b a b b a a b b a =-++=-++=+，222q a b a b a b b a b a =++-=++-=-∴p q <，选C6．【解析】 因为1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数，所以()12005x -、()22005x -、()32005x -、()42005x -、()52005x -为互不相等的偶数7而将224分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：()()22422466=⋅-⋅⋅⋅-．所以()12005x -、()22005x -、()32005x -、()42005x -、()52005x -分别等于2、()2-、4、6、()6-所以()()()()()222221234520052005200520052005x x x x x -+-+-+-+-()()232222246696=+-+++-=展开得：()()222222123451234552005401096x x x x x x x x x x ⋅-+++++++++=∴()()2222221234512345965200540101mod10x x x x x x x x x x ++++=-⋅+++++≡， 选A ．二、填空题(共28分)1．【解析】 ()()()31323335152520151152156⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯-⨯+⨯++⨯L L L168310503152418=+-=2．【解析】 分22779137513x x x x x ++--+，∵0x ≠，822791375132x x x x ++-+=22791375132x x x x ++=-+两边平方化简得：27227513x x x -=-+ 再平方化简得：2218480x x --=，解之得127x =或43x =-（舍去） 3．【解析】解法1：假设x y a +=，则y a x =-∴()()()()()3333333336343634x a x ++=+++-，即()()()23333333333364343343646x a -++=+⋅+⋅+⋅ ①∴()()()()()3333333356545654x a x ++=+++-即()()()23333333333364545545646x a -++=+⋅+⋅+⋅ ②②-①得：()()()()()2233333333335353534536a -=-+-⋅+-⋅ ∴33333456432a =+++=．解法2：易知33、35是关于t 的方程33146x yt t +=++的两根 化简得：()()23333334664460t x y t x y -+---+-⋅=由韦达定理得33333546x y +=+--，9∴33333456432x y +=+++=4．【解析】 Q {}min 90A B B C A α=--︒-，，∴A B α-≤，B C α-≤，90A α-o ≤∴()()()62390A B B C A α-+-+-o ≤()27090A B C =-++=o o∴15αo ≤．另一方面，当9015A B B C A -=-=-=o o 时，有75A =o ，60B =o ，45C =o 满足题设条件，故α可取得最大值15o ．三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)1．【解析】 设()2f x ax bx c =++由()()()()3931191216416416f f a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⋅=++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 2350a b c =，∴615a cb --=()()()615912169461516a b c a b c a a c c a c ⎛⎫∴++++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭10)(363158196256240a c ⎡⎤--⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦23631581962562400a a c c⎡--⎡⎤=+<⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ∴()3104f f ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＜∴一元二次方程20ax bx c ++=有大于34而小于1的根. 2．【解析】证法1：设过D 、E 的垂线分别交BC 于M 、N ，在Rt BEC △ 与Rt BDC △中，由射影定理得：2CE CN CB =⋅，2BD BM BC =⋅∴22CN CE BM BD = 又Rt Rt CNG DCB △∽△，Rt Rt BMF BEC △∽△，∴BD GN CN CD =⋅，CEFM BM BE=⋅ ∴22GN BD BE CN BD BE CE BE CEFM CD CE BM CD CE BD BD CD⋅⋅⋅=⋅=⋅=⋅⋅⋅ ① 在Rt BEC △与Rt BDC △中，由面积关系得：BE CE EN BC ⋅=⋅，BD CD DM BC ⋅=⋅，∴BE CE EN TNBD CD DM TM⋅==⋅ ②GFCN MEDTBA11由①②得：GN TNFM TM=，又GN FM ∥，∴F 、G 、T 三点共线． 证法2：设CD 、BE 相交于点H ，则H 为ABC △的垂心，记DF 、EG 、AH 与BC 的交点分别为M 、N 、R∵DM AR EN ∥∥∴DF AH EGFM HR GN==由合比定理得：DM EN FM GN =，∴GN EN TNFM DM TM==，故F 、G 、T 共点三线． 证法3：在ABC △中，直线DET 分别交BC 、CA 、AB 于T 、E 、D ，由梅涅劳斯定理得：1BT CE ADTC EA DB⋅⋅= ①设CD 、BE 相交于点H ，则H 为ABC △的垂心，AH BC ⊥∵DF BC ⊥、EG BC ⊥∴AH DF EG ∥∥∴CE CG EA GH =，AD HF DB FB =，代入①得1BT CG HFTC GH FB⋅⋅=由梅涅劳斯定理的逆定理得：F 、G 、T 三点共线.证法4：连结FT 交EN 于G '，易知''DF EG FM G N=HA BTD E MN CFG G FCN ME D TBA H12为了证明F 、G 、T 三点共线，只需证明DF EGFM GN=即可 ∵1212sin sin sin sin BDFBMF BD BF ABE DF S BD ABE FM S BM BF CBE BM CBE∆∆⋅∠∠===⋅⋅∠∠ 1212sin sin sin sin CEG CMG S CE CG ACD EG CE ACD GN S CN CG BCD CN BCD∆∆⋅∠∠===⋅⋅∠∠ 又BD BC BM BD =，CE BCCN CE=∴sin sin DF BC ABE FM BD CBE ∠=∠，sin sin EG BC ACDGN CE BCD∠=∠ ①∵CD AB ⊥．BE CA ⊥，∴B 、D 、E 、C 四点共圆∴ABE ACD ∠=∠ ②又sin sin BD CEBC BCD CBE==∠∠，∴sin sin BD CBE CE BCD ∠=∠ ③将②③代入①得：DF EGFM GN=，故F 、G 、T 三点共线.3．【解析】 显然1c >.由题设得：()()223c a c a b -+=，若取222c a b c a b ⎧-=⎨+=⎩，则()212b b c += 由大到小考察b ，使()12b b +为完全平方数，易知当8b =时，236c =，则6c =，从而28a =．下G‘A BTDEMN CFG面说明c没有比6更小的正整数解，列表如下：c4c()334x x x<43c x-2 16 1，8 17，83 81 1，8，27，64 80，73，54，174 256 1，8，27，64，125，216 255，248，229，192，131，405 625 1，8，27，64，125，216，343，512624，617，598，561，500，409，282，11343c x-的值均不是完全平方数．故c的最小值为613。
解一题一方一法一一∞２００５年一鼍学数学奥耥匹竟预赛题解新２００５年小学数学奥林匹克预赛试题，突出体现了基础性、发展性和挑战性，难易适中，有利于调动参与者的积极性。
本文就其中的几道题解析如下，与同行共商。
题目１图中大长方形分别由面积为１２平方厘米、２４平方厘米、３６平方厘米、４８平方厘米的四个小长方形组成，那么图中的阴影面积为。
１２二／／ｒ‘４８１４分析此题旨在从多方面对学生进行综合性考查：①对“积的变化规律”等知识点理解的深度；②图形变换能力；⑧假设思想方法掌握情况。
解把上面的两个小长方形和下面的两个小长方形分别看作较大的长方形，由“积的变化规律”知，在长相等（不变）的情况下，下面长方形的宽是上面长方形宽的（２４＋４８）÷（１２＋３６）＝１．５倍。
由此知，（如下图）Ｄ的面积是２４＋１．５＝１６（平方厘米）。
把Ｄ分成左、右两个小长方形，则右边的小长方形的面积是１６—１２＝４（平方厘米１。
根据上、下两个较大长方形宽的倍数关系，假设上面较大长方形的宽是２厘米，则下面较大长方形的宽是２ｘ１．５＝３（厘米）。
由此知，阴影三角形的底（公用）是４÷２＝２（厘米）。
陕西宝鸡市教师进修学校宫正升ＤＢＣＡ故知，图中的阴影面积为２ｘ２＋２＋２ｘ３÷２＝５（平方厘米）题目２某班在一次数学测验中，平均成绩是７８分，男、女各自平均成绩是７５．５与８１分。
这个班男女生人数之比是分析此题旨在考查学生对求平均数基本思路的掌握情况。
解求平均数的基本思路是移多补少。
由题意知，男生的平均成绩比男女生平均成绩少７８—７５．５＝２．５（分），而女生的平均成绩比男女生平均成绩多８１—７８＝３（分）。
将女生５人多出的分数补给男生６人，可使这６名男生的成绩达到男女生的平均成绩。
故知，这个班男女生人数之比是６：５。
题目３将＋、一、Ｘ、÷四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是。
2005年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题：(每题7分，共42分)1、化简：11459+302366402＋＋－－的结果是＿＿。
A 、无理数B 、真分数C 、奇数D 、偶数 解：1111459+302366402450+24509350280016=++＋＋＋－－＋－－111175275214495045233524752752+====--++－＋＋＋＋－＋－所以选D2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A 、78.5 B 、97.5 C 、90 D 、102 解：由题意得：52＋142－2×5×14×cos α＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α) ∴221－140cos α＝221＋220 cos α ∴cos α＝0 ∴α＝90°∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90 ∴选C3、设r ≥4，a ＝11rr+1－，b ＝11r r+1－，c ＝1r(r +r+1)，则下列各式一定成立的是＿＿。
A 、a>b>cB 、b>c>aC 、c>a>bD 、c>b>a 解法1：用特值法，取r=4，则有a=1114520=－，b ＝()252515525 1.03625102020--==≈－ ， c ＝()552152 1.18420204(2+5)--==≈∴c>b>a ，选D 解法2：a ＝()11111rr r r =++－， b ＝()()()11111111r r r r r r r r r r+-==+++++－ c ＝1r(r +r+1)5101114180︒-αα()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()4,11111111111111,111110111,:,Dr r r r r r rr r r r r rr r r r r r r r r r a br r r r r r rr rr r r r r r r r rrb c a b c≥∴+-+++⎡⎤=++-+-⎣⎦⎡⎤=+-+-->⎣⎦∴+>+++<+++-++=+++->∴+++>++<<< 故又 故综上所述选 解法3：∵r ≥ 4 ∴111r r ++＜1∴111111111a b rr r r r r ⎛⎫⎛⎫=+-<-=⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭c ＝111111r r r r b r r r r r +-+->=-=++∴a<b<c ，选D4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
2005年小学数学奥林匹克预赛题解析
宫正升
【期刊名称】《小学教学研究(教学版)》
【年(卷),期】2005(000)008
【摘要】2005年小学数学奥林匹克预赛试题，突出体现了基础性、发展性和挑战性，难易适中，有利于调动参与者的积极性。
本文就其中的几道题解析如下，与同行共商。
【总页数】2页(P41-42)
【作者】宫正升
【作者单位】陕西宝鸡市教师进修学校
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
【相关文献】
1.2005年莫斯科数学竞赛预赛题（八年级组 2005年1月22日举行）
2.2004年全国小学数学奥林匹克预赛试卷
3.2005年莫斯科数学竞赛预赛题
4.2003年小学数学奥林匹克预赛试题
5.2002小学数学奥林匹克预赛试题
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２００５年北方数学奥林匹克数学邀请赛试题解答
Linchang
一.AB 是圆O 的一条弦，它的中点为M ，过M 作一条非直径的弦CD ，过C 和D 作圆O 的两条切线，分别与直线AB 相交于,P Q 两点．求证：.PA QB =
证:由于CD 过M,C 与D 在直径OM 的两侧,故P 与Q 在直线AB 上位于线段AB 外的不同侧.OM ⊥AB,OC ⊥PC,故O,M,C,P 四点共圆,∠OPM=∠OCM,同理∠OQM=∠ODM.但OC=OD,∠OCM=∠ODM.因此∠OPM=∠OQM, OP=OQ,从而 PM=QM, PA=QB.
二.定义在R 上的函数()f x 满足：
１.()00f =；
２.对任意()(),,11,x y ∈−∞−∪+∞，都有111x y f f f x y xy ⎛⎞⎛⎞+⎛⎞+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠⎝⎠
； ３.当()1,0x ∈−时，都有()0.f x >
求证；21111...19297112f f f f n n ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++>⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
，其中*n N ∈． 解: x>1时(x+1)/(x-1)>1.对任意的x,y>1,根据条件2,有
1111111()()()()11111111
x y x y xy x y f f f f x y x y xy x y +++−−−−−+==++++++−−.由此对n 归纳可证:当x 1,x 2,...,x n >1时成立等式 121121...1()(1 (1)
n k n k k n x x x x f f x x x x =−−=++∑ 现在令x k =(k 2+7k+12)/(k 2+7k+10), 则 (x k -1)/(x k +1)=1/(k 2+7k+11).故题中不等式的左边就等于f((x 1x 2…x n -1)/(x 1x 2…x n +1)).由于x k =(k+3)(k+4)/(k+2)(k+5),连乘约分得
x 1x 2…x n =5(n+3)/(3(n+5)),
(x 1x 2…x n -1)/(x 1x 2…x n +1)=n/(4n+15)=(2-u)/(1-2u),其中u=(7n+30)/(2n+15)>1. 最后根据条件3,f(-1/u)>0,所以,左边等于f(n/(4n+15))=f(1/2)+f(-1/u)> f(1/2).
顺便指出:题目中的条件1是多余的.又容易证明f(x)在(-1,0),(0,1)中递减,可以得到更强的结果:2111(
)().711
4n k f f k k =>++∑ 三.在公差为d ()0d >的正数等差数列()123,,...2n a a a n ≥中，任取2n +个数，证明其中必存在两个数,i j a a ()i j ≠，满足不等式1 2.i j
a a nd −<<
证: (a i -a j )/nd=(i-j)/n.因此只要证明:从集合{1,2,3,…,3n-1,3n}中任取n+2个元素u 1<u 2<…<u n+2 ,必有1≤i<j ≤n+2使得n+1≤u j -u i ≤2n-1.注意u 1≥1,u n+2≤3n, u n+2-u 1≥n+1.
1).如u n+2≤2n,则n+1≤u n+2-u 1≤2n-1,1与n+2为所求.
2).如u n+2≥2n+2,所有小于u n+2的数可分为n+1个抽屉: (1, u n+2-n),(2, u n+2-n+1),…, (n, u n+2-1),{n+1,n+2,…, u n+2-n-1}.若有u i ∈{n+1,n+2,…, u n+2-n-1},则
u n+2-u i ≥u n+2-( u n+2-n-1)=n+1, u n+2-u i ≤3n-(n+1)=2n-1,故i 与n+2为所求.
若没有u i ∈{n+1,n+2,…, u n+2-n-1},则n+1个数u 1,u 2,…,u n+1全在前n 个抽屉中,必有两数u i <u j 在同一抽屉中,每个抽屉的两数之差都是u n+2-n-1,由于
u n+2-n-1≥2n+2-(n+1)=n+1 , u n+2-n-1≤3n-(n+1)=2n-1,故i 与j 为所求.
3).最后,若u n+2=2n+1,分n 个抽屉(1,n+2),(2,n+3),…,(n-1,2n),(n,n+1).同上必有两数u i <u j 在同一抽屉中.如在前n-1个抽屉之一,它们的差为n+1,i 与j 为所求;如在最后一个抽屉, u n+2与u i =n 的差为n+1,i 与n+2为所求.
四.已知n 位数的各位数字只能取集合{}1,2,3,4,5中的元素，设含有数字５且在５的前面不含３的n 位数个数为()f n ,求()f n ．
解:一位数只有一个(即5),故f(1)=1.n ≥2时n 位数的末位数字有两种可能:
1).末位不是5,有4种取法,前n-1位是题目要求的n-1位数,这种n 位数的个数是4f(n-1).
2).末位是5,前n-1位可在{1,2,4,5}中任取,这种n 位数的个数是4n-1. 于是得到递推关系f(n)=4f(n-1)+4n-1 (n ≥2). 令f(n)=4n-1g(n), 代入得g(1)=1, g(n)=g(n-1)+1 (n ≥2).故g(n)=n,f(n)=n ·4n-1.
五.如果三个正实数,,x y z 满足：2225,4x xy y ++=
2236y yz z ++=，221694
z zx x ++=．求xy yz zx ++的值． 解:从一点O 作三条线段OA=x,OB=y,OC=z 并使两两的夹角为120°.由已知条件用余弦定理得AB=5/2,BC=6,CA=13/2.因为(5/2)2+62=(13/2)2,ABC 是直角三角形.由面
积关系列式:1/2·5/2·6=1/2·(xy+yz+zx)·sin120°,故.
六．设0,2
π
≤α,β,γ≤222cos cos cos α+β+γ=1，求证： ()22421cos sin ≤+αα()2241cos sin ++ββ+()2241cos sin +γγ()()()2221cos 1cos 1cos .≤+α+β+γ 证:记x=2cos α,y=2cos β,z=2cos γ,注意到422sin (1cos )αα=−,本题等价于x+y+z=1, x,y,z ≥0时证明不等式2≤(1-x 2)2+(1-y 2)2+(1-z 2)2≤(1+x)(1+y)(1+z).
以下∑表示对x,y,z 循环求和,并记u=xy ∑,v=xyz.我们有∑x 2=1-2u, ∑x 4=(∑x 2)2-2∑x 2y 2=(1-2u)2-2(u 2-2v)=1-4u+2u 2+4v, (1+x)(1+y)(1+z)=2+u+v. 故∑(1-x 2)2=3-2∑x 2+∑x 4=2+2u 2+4v ≥2.(等号仅当x,y,z 中一个为1,两个为0时成立). 而(1+x)(1+y)(1+z)-∑(1-x 2)2=u(1-2u)-3v=u ∑x 2-3v,
∑x 2≥(x+y+z)2/3=(x+y+z)/3≥v 1/3 ,u ≥3v 2/3. 所以u ∑x 2≥3v ,此即右边的不等式.等号仅当x=y=z=1/3时成立.。
