历届西部数学奥林匹克试题

2007年中国西部数学奥林匹克第一天 11月10日 上午8：00－12：00每题15分一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？,A T A ⊆≠∅()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：2221115411541154114a ab bc c ++−+−+−+1≤．四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<uuu r uuu r uuu r ．M广西 南宁第二天 11月11日 上午8：00－12：00每题15分五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足⎩⎨⎧=++=++.,022211ny x x x x n n L L七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心．八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．解 答一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？,A T A ⊆≠∅()S A ()S A 解 对于空集∅，定义.令()0S ∅=012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于，令，则A T ⊆001I I 122,,A A T A A T A A T ===I 01212()()()()(mod 3)S A S A S A S A A A =++≡−， 因此，3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况：1111112222220,0,3,3,1,2,0,3,0,3,1,2,A A A A A A A A A A A A ⎧=⎧=⎧=⎧=⎧=⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨=====⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⎩⎩= 从而满足3(的非空子集A 的个数为)S A 20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++−＝87.若3(，)S A 5(，则)S A 15.()S A =由于S T ，故满足()363(，)S A 5(的S A 的可能值为15，30.而)S A ()15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2＝5＋4＋3＋2＋1，36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1. 故满足3(，)S A 5(，)S A A ≠∅的A 的个数为17.所以，所求的A 的个数为87－17＝70.二、如图，⊙O 与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙O ,⊙O 相交于点A ，B ，点P 在⊙O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 的12O 1212弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．MN ⊥证 设三角形ABC 的外接圆O 的半径为R ，从N 到圆O 的切线为NX ，则2222R NB NC R NX NO +⋅=+=， ①同理 . ②22R MA MC MO +⋅=因为A ，C ，D ，P 四点共圆，所以MP MD MA MC ⋅=⋅， ③因为Q ，D ，C ，B 四点共圆，所以NQ ND NB NC ⋅=⋅，④ 由①，②，③，④得MP MD NQ ND MO NO ⋅−⋅=−22)()(DP MD MD DQ ND ND +−+=,)(22DP MD DQ ND MD ND ⋅−⋅+−=所以， ODMN ⊥⇔2222MD ND MO NO −=−DP MD DQ ND ⋅=⋅⇔⇔P ,Q ,M ,N 四点共圆.三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：2221115411541154114a a b b c c ++−+−+−+1≤．证 若a ，b ，c 都小于95，则可以证明211(3)541124a a a ≤−−+．（*） 事实上， （*）⇔2(3)(5411)24a a a −−+≥ ⇔ 32519239a a a 0−+−≤⇔2(1)(59)0a a −−≤ 95a ⇐<同理，对b ，c 也有类似的不等式，相加便得222111541154115411a a b b c c ++−+−+−+111(3)(3)(3)2424244a b c ≤−+−+−=1． 若a ，b ，c 中有一个不小于95，不妨设95a ≥，则 2454115(15a a a a 1−+=−+ 9945()112555≥⋅⋅−+=0， 故 211541120a a ≤−+． 由于 2222454115()4()111110555b b −+≥−⋅+=−>，所以21154111b b <0−+，同理，211541110c c <−+，所以 222111541154115411a a b b c c ++−+−+−+11120101041<++=． 因此，总有 2221115411541154114a a b b c c ++−+−+−+1≤，当且仅当时等号成立．1a b c ===四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<uuu r uuu r uuu r ． 证法一 先证一个引理：设α，β都是正实数，N 是任意一个大于max{βα1,1}的整数，则存在正整数1,2p p 和,使得,且q 21q N ≤≤1211,q p q p N N αβ−<−< 同时成立.引理的证明：考虑平面个点组成的集合T ={({i α}，{i β})|i =0,1,…, },这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x -[x ].现在将正方形点集{(x ,y )|0≤x ,y <1}沿平行于坐标轴的直线分割为个小正方形(这里的每个正方形都不含右边和上边的两条边)，则T 中必有两点落在同一个小正方形内，即存在0≤j <i ≤N 21N +2N 2N 2,使得|{i α}-{j α}|<N 1，|{i β}-{j β}|<N 1.令q =i -j ,p 1=[i α]-[j α],p 2=[i β]-[j β],则1211,q p q p N N αβ−<−<． 如果p 1≤0,那么N1>|q α|≥α,与N 的选择矛盾，故p 1为正整数.同理p 2也是正整数.引理获证. 回到原题，由条件知存在正实数α，β使得0=++OC OB OA βα，利用引理的结论知对任意大于max{βα1,1}的正整数N ,存在正整数p 1,p 2和q ,使得 1211,q p q p N Nαβ−<−< 同时成立，于是，由=++q q q βα可得|)()(|||2121q p q p q p p βα−+−=++≤|)(||)(|21q p q p βα−+−<N 1(||||+). 取N 充分大即可知命题成立.=++γβ证法二 由条件可知存在正实数β,γ使得,于是对任意正整数k ,都有0=++OC k OB k OA k γβ,记m (k )=[k β],n (k )=[k γ],这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x －[x ].利用β,γ都是正实数可知m (kT )与n (kT )都是关于正整数k 的严格递增数列，这里T 是某个大于max{γβ1,1}的正整数.因此， |}{}{||)()(|kT kT kT n kT m kT γβ−−=++ ≤||}{||}{OC kT OB kT γβ+≤||||OC OB +.这表明有无穷多个向量OC kT n OB kT m OA kT )()(++的终点落在一个以O 为圆心，||||OC OB +为半径的圆内，因此，其中必有两个向量的终点之间的距离小于20071，也就是说，这两个向量的差的模长小于20071.即存在正整数k 1<k 2,使得 |(T k n T k m T k )()(222++)－(T k n T k m T k )()(111++)|<20071.于是，令p =(k 2－k 1)T ,q =m (k 2T )－m (k 1T ),r = n (k 2T )－n (k 1T ),结合T 与m (kT ),n (kT )的单调性可知p ,q ,r 都是正整数. 命题获证.五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？解 不存在这样的三角形，证明如下：不妨设∠A ≤∠B ≤∠C ,则∠C =2∠A ,且a =2007.过C 作∠ACB 的内角平分线CD ,则∠BCD =∠A , 结合∠B =∠B .可知△CDB ∽△ACB 。

中国西部数学奥林匹克（CWMO ）是经中国科协批准的由中国数学会奥林匹克委员会主持的数学竞赛活动，目的是鼓励更多的中西部地区的学生参加数学课外活动，促进西部地区数学教育事业的发展，为西部地区的学校提供相互学习和交流的机会。

第1届中国西部数学奥林匹克2001年由陕西省数学会和西北大学承办。

2011年10月28日上午9时，由江西省数学会和江西省玉山县第一中学承办的第11届中国西部数学奥林匹克在玉山一中开幕。

来自我国中西部地区15个省、市、自治区和中华人民共和国香港特别行政区、新疆生产建设兵团的23个参赛代表队，以及哈萨克斯坦、罗马尼亚、新加坡等国家的4个代表队参加了本次活动，参赛学生116名。

大赛共安排4天。

2011中国西部数学奥林匹克第 一 天1．已知0,1x y <<.求(1)()(1)(1)xy x y x y x y --+--的最大值．（刘诗雄 供题）2．设集合{}1,2,,2011M ⊆ ，满足：在M 的任意三个元素中，都可以找到两个元素a b 、，使得a b 或b a ．求M 的最大值（M 表示集合M 的元素个数）． （冯志刚 供题）3．给定整数2n ≥，(1) 证明：可以将集合{}1,2,,n 的所有子集适当地排列为122,,,n A A A ，使得i A 与1i A +的元素个数恰相差1，其中，1,2,,2n i = 且121n A A +=；(2) 对于满足(1)中条件的子集122,,,n A A A ，求()()211nii i S A =-∑的所有可能值，其中，()ii x A S A x ∈=∑，()0S ∅=． （梁应德 供题）4．如图1，线段AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H ．过点O 的直线l 分别与AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ．直线EF 与直线l交于点M . 证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线． （李秋生 供题）第 二 天5．是否存在奇数()3n n ≥及n 个互不相同的质数12,,,n p p p ，使得1i i p p ++（i =1，2，…，n ， 11n p p +=）都是完全平方数？请证明你的结论．（陶平生 供题）6．设0a b c >、、.证明：()()()()()()()()()()2222222a b b c c a a b c a c b a b a c b c b a a b c ----++≥++++++++．（李胜宏 供题）7．如图2，在∆ABC 中，AB >AC ，内切圆⊙I 与边BC 、CA 、AB 分别切于点D 、E 、F ，M 是边BC 的中点，AH ⊥BC 于点H ．∠BAC 的平分线AI 分别与直线DE 、DF 交于点K 、L ．证明：M 、L 、H 、K 四点共圆． （边红平 供题）8．求所有的整数对（a ，b ），使得对任意正整数n ，都有1()n n n a b ++． （陈永高 供题）B。

西部数学奥林匹克竞赛试题集西部数学奥林匹克竞赛试题集，其题目涵盖数论、代数、几何和组合四个方面的知识点。

以下是部分试题：数论：1. 若 a, b, c 都是不为零的整数，且 abc | (a + b + c)，则证明 ab + bc + ac | 3(a + b + c)。

2. 设 p 是一个素数，且 2p + 1 = a^2，其中 a 是一个整数。

证明：p ≡ 1 (mod 4)。

3. 证明：任意正整数 n 在其阶乘表示式中素因子 2 的次数大于等于素因子 5 的次数。

代数：1. 设 a, b, c 均为非零实数，且满足 1/a + 1/b + 1/c = 3。

证明：a + b + c ≥ 3 (1/abc)^(1/3)。

2. 若复数 z 满足 z^2 + (a + b + i)c^2 = (a + bi)c^2，其中 a, b, c 均为实数且c ≠ 0。

则证明：|z| ≤ |a + bi|。

3. 已知 p(x) 是一个一元四次实系数多项式，其根的平方之和为 5。

设 r, s 均为 p(x) 的根，则证明：rs 的取值区间为 [1, 4]。

几何：1. 在凸 n 边形中，设其中不存在任意三个点共线，则该凸 n 边形的对角线条数为多少？2. 已知三角形 ABC 中∠A = 60°，以 AB, AC 为边分别作等边三角形ABD, ACE，则证明：BD + CE ≤ BC。

3. 在正方形 ABCD 中，取 E 为 AB 的中点，F 为 AE 的延长线与 CD 的交点。

则证明∠DFA = ∠CAF。

组合：1. 在一个 4*4 的格子中，任意填充正整数 1-16。

则证明：必有至少两个行之和相等，或者两个列之和相等。

2. 对于所有n ≥ 3 且 n ∈ N，定义一个大小为 n 的 "好排列" 为：一个由n 个互不相同的自然数组成的序列，满足任意一对相邻的数之中至少有一个是质数。

2011年中国西部数学奥林匹克试题江西 玉山第一天 10月29日 上午 8:00~12:00每题15分1、已知0,1x y <<，求(1)()(1)(1)xy x y x y x y --+--的最大值．2、设集合{1,2,,2011}M ⊆，满足：在M 的任意三个元素中，都可以找到两个元素,a b 使得|a b 或|b a ．求||M 的最大值（其中||M 表示集合M 的元素个数）．3、给定整数2n ≥， （I ）求证：可以将集合{1,2,,}n 的所有子集适当地排列为122,,,n A A A ，使得i A 与1i A +的元素个数恰相差1，其中1,2,3,,2n i =，且121n A A +=;(II)对于满足（I ）中条件的子集122,,,n A A A ，求21(1)()ni i i S A =-∑的所有可能值，其中()ii x A S A x ∈=∑，()0S ∅=.4、如图，线段AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 的交点为E ，⊙I内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 相切于点G 、H ．过点O 的直线l 分别交AB 、CD 于点P 、Q ，使得EP EQ =．直线EF 与直线l 交于点M ，求证：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线．第二天 10月30日 上午 8:00~12:00每题15分5、是否存在奇数3n ≥及n 个互不相同的质数12,,,n p p p ，使得111(1,2,,,)i i n p p i n p p +++==其中都是完全平方数？请证明你的结论．6、设,,0a b c >，求证：2222222()()()()()()()()()()a b b c c a a b c a c b a b a c b c b a a b c----++≥++++++++．7、如图，在ABC ∆中，AB AC >，内切圆⊙I 于边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,M 是边BC 的中点，AH BC ⊥于点H .BAC ∠的平分线AI 分别于直线DE 、DF 交于点K 、L .求证：,,,M L H K 四点共圆．8、求所有的整数对(,)a b ，使得对任意正整数n ，都有1|()nn n a b ++．。

组合训练题_西部数学奥林匹克1.若集合A的n个子集A1, A2, …, A n同时满足：①A1∪A2∪…∪A n= A；②A i∩A j≠∅(1≤i< j≤n)，则称A1, A2, …, A n为A的一个n划分.求最小的正整数m，使得对集合A = {1, 2, …, m}的任意一个14划分A1, A2, …, A14，一定存在某个集合A i (1≤i≤14)，在A i中有两个元素a, b满足b < a≤!! ! .2.设n为正整数，集合A1, A2, …, A n+1是集合{1, 2, …, n}的n + 1个非空子集.证明：存在{1, 2, …, n + 1}的两个不交的非空子集{i1, i2, …, i k}和{j1, j2, …, j m}，使得A!!∪A!!∪…∪A!!= A!!∪A!!∪…∪A!!.3.设S = (a1, a2, …, a n)是一个由0, 1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续的5项不同，即对任意1≤i < j≤n – 4，a i, a i+1, a i+2, a i+3, a i+4与a j, a j+1, a j+2, a j+3, a j+4不相同. 证明：数列S最前面的4项与最后面的4项相同.4.将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10. 求每一个面上四个数之和的最小值.5.1650个学生排成22行、75列. 已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对. 证明：男生的个数不超过928.6.将m×n棋盘（由m行n列方格构成，m≥3, n≥3）的所有小方格都染上红蓝二色之一. 如果两个相邻（有公共边）的小方格异色，则称这两个小方格为一个“标准对”. 设棋盘中“标准对”的个数为S. 试问：S是奇数还是偶数由哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S 为偶数？说明理由.7.设n个新生中，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不认识. 试求n的最大值.8.给定正整数n (n≥2)，求|X|的最小值，使得对集合X的任意n个二元子集B1, B2, …, B n，都存在集合X的一个子集Y，满足：(1) |Y| = n；(2) 对i = 1, 2, …, n，都有|Y∩B i|≤1.这里|A|表示有限集合A的元素个数.9.设O为△ABC内部一点. 证明：存在正整数p, q, r，使得| p·OA+ q·OB+ r·OC| <! !""#.10.将n个白子与n个黑子任意地放在一个圆周上. 从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2, …, n. 再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1, 2, …, n. 证明：存在连续n个棋子（不计黑白），它们的标号所成的集合为1, 2, …, n.11.在一直线上相邻两点的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.12.设n为给定的正整数，求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集A = {x1, x2, …,x k}，B = {y1, y2, …, y k}和C = {z1, z2, …, z k}满足：对任意1≤j≤k都有x j + y j + z j = n.13.给定整数n≥3，求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n个两两不同的实数x1, x2, …, x n，满足x1 + x2, x2 + x3, …, x n–1 + x n, x n + x1均属于A.14. 有n (n > 12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由15个填空题组成，每答对1题得1分，不答或答错得0分. 分析每一种可能的得分情况，发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少3个同样的题. 求n 的最小可能值.15. 求所有的正整数n ，使得集合{1, 2, … , n }有n 个两两不同的三元子集A 1, A 2, … , A n ，满足对任意1≤i < j ≤n ，都有| A i ∩A j |≠1.16. 有n (n ≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场. 如果选手A 的手下败将不都是B的手下败将，则称A 不亚于B . 试求所有可能的n ，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.17. 已知集合M ⊆{1, 2, … , 2011}，满足：在M 的任意三个元素中，都可以找到两个元素a , b ，使得a |b 或b | a . 求|M |的最大值（其中|M |表示集合M 的元素个数）.18. 给定整数n ≥2.(1) 证明：可以将集合{1, 2, … , n }的所有子集适当地排列为A 1, A 2, … , A !!，使得A i 与A i +1的元素个数恰相差1，其中i = 1, 2, … , 2n 且A !!!! = A 1；(2) 对于满足(1)中条件的子集A 1, A 2, … , A !!，求−1!S (A !)!!!!!的所有可能值，其中S (A i ) =x !∈!!，S (∅) = 0.19. 证明：在正2n – 1 (n ≥3)边形的顶点中，任意取出n 个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形.20. 设E 是一个给定的n 元集合，A 1, A 2, … , A k 是E 的k 个两两不同的非空子集，满足：对任意的1≤i < j ≤k ，要么A i 与A j 的交集为空集，要么A i 与A j 中的一个是另一个的子集. 求k 的最大值.21. 一张n ×n 的方格表，称有公共边的方格是相邻的. 开始时每个方格中都写着+1，对方格表进行一次操作是指：任取其中一个方格，不改变这个方格中的数，而将所有与这个方格相邻的方格中的数都改变符号. 求所有的正整数n ≥2，使得可以经过有限次操作，将所有方格中的数都变成–1.22. 把n (n ≥2)枚硬币排成一行. 如果存在正面朝上的硬币，那么可以从中选取一枚，将以这枚硬币为左起第一枚的连续奇数枚硬币同时翻面，这称为一次操作. 当所有硬币正面朝下时，停止操作. 若开始时硬币全部正面朝上，试问：是否存在一种方案，使得可以进行[!!!!!]次操作？23. 若非空集合A ⊆{1, 2, 3, … , n }满足|A |≤min !∈!x ，则称A 为n 级好集合. 记a n 为n 级好集合的个数. 证明：对一切正整数n ，都有a n +2 = a n +1 + a n + 1.24. 将一个正n 边形的n 条边按顺时针方向依次标上1, 2, … , n . 求所有的整数n ≥4，使得可以用n –3条在内部不交的对角线将这个n 边形分成n – 2个三角形区域，并且在这n – 3条对角线上分别标上一个整数，满足每个三角形的三边所标之数的和都相等.25. 给定正整数n ，设a 1, a 2, a 3, … , a n 是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只有一项）的算术平均值不小于1，则称这些项组成一条“龙”，其中第一项称为“龙头”，最后一项称为“龙尾”.已知a 1, a 2, a 3, … , a n 中每一项都是“龙头”或“龙尾”，求a !!!!!的最小值.26. 对平面上的100条直线，用T 表示由这些直线中的某三条直线围成的直角三角形的集合. 求|T |的最大可能值.27. 对数列a 1, a 2, … , a m ，定义集合A = {a i | 1≤i ≤m }, B = {a i + 2a j | 1≤i , j ≤m , i ≠j }. 设n 为给定的大于2的整数，对所有由正整数组成的严格递增的等差数列a 1, a 2, … , a n ，求集合A △B 的元素个数的最小值.（其中，A △B = (A ∪B )\(A ∩B ).）28.定义n元整数组的一次变换为(a1, a2, …, a n) →(a1 + a2, a2 + a3, …, a n + a1)，求所有的正整数对(n, k) (n, k≥2)，满足：对于任意的n元整数组(a1, a2, …, a n)，在有限次变换后所得数组中的每一个数都是k的倍数.29.给定整数n, k，n≥k≥2. 甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的n×n的方格纸上玩游戏：两人轮流选择一个白色小方格将其染为黑色，甲先进行. 如果某个人染色后，每个k×k的正方形中都至少有一个黑色小方格，则游戏结束，此人获胜. 问谁有必胜策略？30.设9个正整数a1, a2, …, a9（可以相同），满足：对任意1≤i < j < k≤9，都存在与i, j, k不同的l (1≤l≤9)，使得a i + a j + a k + a l = 100. 求满足上述要求的有序9元数组(a1, a2, …, a9)的个数.。

2007年中国西部数学奥林匹克（广西南宁，11月10日）第一天 11月10日 上午8：00－12：00每题15分一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ⊆≠∅，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P 在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：22211115411541154114a ab bc c ++≤-+-+-+．四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<．O 2O 1ON QP DCBA广西 南宁第二天 11月11日 上午8：00－12：00每题15分五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,，满足⎩⎨⎧=++=++.,022211ny x x x x n n七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心．八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,,n ．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,,n .证明：存在连续n 个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{}1,2,,n ．解 答一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ⊆≠∅，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？解 对于空集∅，定义()0S ∅=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ⊆，令001122,,A A T A A T A A T ===，则01212()()()()(mod3)S A S A S A S A A A =++≡-，因此，3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况：1111112222220,0,3,3,1,2,0,3,0,3,1,2,A A A A A A A A A A A A ⎧=⎧=⎧=⎧=⎧=⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨======⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⎩⎩ 从而满足3()S A 的非空子集A 的个数为20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-＝87.若3()S A ，5()S A ，则15()S A .由于()36S T =，故满足3()S A ，5()S A 的()S A 的可能值为15，30.而 15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2 ＝5＋4＋3＋2＋1，36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1.故满足3()S A ，5()S A ，A ≠∅的A 的个数为17. 所以，所求的A 的个数为87－17＝70. 二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P 在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的O 2O 1ONQPDCBA弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN ⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．证 设三角形ABC 的外接圆O 的半径为R ，从N 到圆O 的切线为NX ，则2222R NB NC R NX NO +⋅=+=， ①同理 22R MA MC MO +⋅=. ② 因为A ，C ，D ，P 四点共圆，所以MP MD MA MC ⋅=⋅， ③因为Q ，D ，C ，B 四点共圆，所以NQ ND NB NC ⋅=⋅， ④由①，②，③，④得MP MD NQ ND MO NO ⋅-⋅=-22)()(DP MD MD DQ ND ND +-+= )(22DP MD DQ ND MD ND ⋅-⋅+-=, 所以， OD MN ⊥⇔2222MD ND MO NO -=-DP MD DQ ND ⋅=⋅⇔⇔P ,Q ,M ,N 四点共圆.三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：22211115411541154114a ab bc c ++≤-+-+-+． 证 若a ，b ，c 都小于95，则可以证明211(3)541124a a a ≤--+． （*） 事实上， （*）⇔ 2(3)(5411)24a a a --+≥ ⇔ 325192390a a a -+-≤ ⇔ 2(1)(59)0a a --≤95a ⇐<同理，对b ，c 也有类似的不等式，相加便得222111541154115411a ab bc c ++-+-+-+1111(3)(3)(3)2424244a b c ≤-+-+-=． 若a ，b ，c 中有一个不小于95，不妨设95a ≥，则2454115()115a a a a -+=-+9945()1120555≥⋅⋅-+=，故 211541120a a ≤-+． 由于 2222454115()4()111110555b b -+≥-⋅+=->，所以211541110b b <-+，同理，211541110c c <-+，所以 222111541154115411a a b b c c ++-+-+-+11112010104<++=．因此，总有 22211115411541154114a ab bc c ++≤-+-+-+，当且仅当1a b c ===时等号成立．四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<． 证法一 先证一个引理：设α，β都是正实数，N 是任意一个大于max{βα1,1}的整数，则存在正整数12,p p 和q ,使得21q N ≤≤,且1211,q p q p N Nαβ-<-< 同时成立.引理的证明：考虑平面21N +个点组成的集合T ={({i α}，{i β})|i =0,1,…,2N },这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x -[x ].现在将正方形点集{(x ,y )|0≤x ,y <1}沿平行于坐标轴的直线分割为2N 个小正方形(这里的每个正方形都不含右边和上边的两条边)，则T 中必有两点落在同一个小正方形内，即存在0≤j <i ≤N 2,使得|{i α}-{j α}|<N 1，|{i β}-{j β}|<N1.令q =i -j ,p 1=[i α]-[j α],p 2=[i β]-[j β],则1211,q p q p N Nαβ-<-<． 如果p 1≤0,那么N1>|q α|≥α,与N 的选择矛盾，故p 1为正整数.同理p 2也是正整数.引理获证.回到原题，由条件知存在正实数α，β使得=++βα，利用引理的结论知对任意大于max{βα1,1}的正整数N ,存在正整数p 1,p 2和q ,使得1211,q p q p N Nαβ-<-< 同时成立，于是，由0=++OC q OB q OA q βα可得|)()(|||2121OB q p OA q p OC q OB p OA p βα-+-=++ ≤|)(||)(|21q p q p βα-+-<N1(||||OB OA +). 取N 充分大即可知命题成立. 证法二 由条件可知存在正实数β,γ使得=++γβ,于是对任意正整数k ,都有=++k k k γβ,记m (k )=[k β],n (k )=[k γ],这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x －[x ].利用β,γ都是正实数可知m (kT )与n (kT )都是关于正整数k 的严格递增数列，这里T 是某个大于max{γβ1,1}的正整数.因此，|}{}{||)()(|kT kT kT n kT m kT γβ--=++ ≤||}{||}{kT kT γβ+≤||||+.这表明有无穷多个向量kT n kT m kT )()(++的终点落在一个以O 为圆心，||||+为半径的圆内，因此，其中必有两个向量的终点之间的距离小于20071，也就是说，这两个向量的差的模长小于20071.即存在正整数k 1<k 2,使得 |(T k n T k m T k )()(222++)－(T k n T k m T k )()(111++)|<20071.于是，令p =(k 2－k 1)T ,q =m (k 2T )－m (k 1T ),r = n (k 2T )－n (k 1T ),结合T 与m (kT ),n (kT )的单调性可知p ,q ,r 都是正整数. 命题获证.五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？解 不存在这样的三角形，证明如下：不妨设∠A ≤∠B ≤∠C ,则∠C =2∠A ,且a =2007.过C 作∠ACB 的内角平分线CD ,则∠BCD =∠A , 结合∠B =∠B .可知△CDB ∽△ACB 。