江苏省昆山市兵希中学2012-2013学年八年级上数学期末复习(3)《等腰三角形》教学案(苏科版)

（第6题图） 江苏省昆山市兵希中学八年级数学下学期期末检测试题（A ） 苏科版 班级 姓名一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，若拼成下列四边形：①平行四边形；②梯形；③矩形；④菱形；⑤正方形，则可以拼成的四边形序号是 ．2．若2,3a b =则a a b =+ ．3．计算x y x y x y-=-- ． 4．命题“直角都相等”的条件是： ，结论是： ．5．已知如图，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=6．如图所示的是用大小相同（黑白两种颜色）的正方形砖铺成的地板，一宝物藏在某一 块正方形砖下面，宝物在白色区域的概率是 ．7．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BD 平分∠CBE ，则∠ADB=______°．9．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E F ，分别是AB CD ，的中点，18AD BC PEF =∠= ，，则PFE ∠的度数是 ．8．反比例函数2y x=的图象同时过A (2,)a -、B (3,)b -两点，则a 、b 的大小关是 ． 10．炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x 台，根据题意，列出方程 。

11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，△ADE 与△BCE 面积之比为4 ：9，那么△ADE 与△ABE 面积之比为________ 12．如图，A 、B 分别是反比例函数106,y y x x ==图象上的点， 过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OB 、OA ，OA交BD 于E 点，△BOE 的面积为1S ，四边形ACDE 的面积为2S ，则21S S -= ．二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）13．若分式12x x +-的值为0，则x 的值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2（第5题图A BC D E（第11题图 第7题图 第12题图C FD BE A P 第8题图14．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =3，BC =5．DE ⊥CD ，且DE =CD ，连AE ，则△ADE 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．反比例函数6y x=-的图象位于 （ ） A ．第一、二象限 B ．第三、四象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限16．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm 和4cm ，如果它们的周长和为84cm ，那么较大多边形的周长为 （ ）A ．54cmB ．36 cmC ．48 cmD ．42 cm17．小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果他第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（ ）A ．12B ．14C ．1D ．3418．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点， MN⊥AC 于N 点，则MN ＝（ ）A ．65B ．95C ．125D ．165 三、解答题（本大题共10小题，共计76分）19．（ 6分）先化简，再求值：2239(1)x x x x---÷，其中2x =．20．（ 6分）解方程：xx x -=+--23123.21．（6分）如图，在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，下面有4个判断：（1）AD=CB ；（2）AE=FC ；（3）∠B=∠D ；（4）AD ∥BC ．请用其中3个作为已知条件，余下1个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程．A B MN （第18题图）22．（ 6分）小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2m ，CE ＝0.8m ，CA ＝30m （点A 、E 、C 在同一直线上）．已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB （结果精确到0.1m ）．23．（6分）如图，在△ABC 中，∠CAB 、∠ABC 的平分线交于点D ，DE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交AC 于点F ．求证：四边形DECF 为菱形．24．（8分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F ．（1）求证：△ACB ∽△DCE ；（2）求证：EF ⊥AB ．25．（8分）如图所示，有两个不同形状的计算器（分别记为A ，B ）和与之匹配的保护盖（分别记为a ，b ）散乱地放在桌子上．（1）若从计算器中随机取一个，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率．（2）若从计算器和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率．AB C 26．（8分）如图，ABC △在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使(23)(62)A C ，，，，并求出B 点坐标；（2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC △放大，画出放大后的图形A B C '''△；（3）计算A B C '''△的面积S ．27．（10分）为了预防流感，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空 气中的含药量y （mg ）与燃烧时间x （分钟）成正比例；燃烧后，y 与x 成反比例（如图所示）．现 测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg ．据以上信息解答下列问题：（1）求药物燃烧时y 与x 的函数关系式． （2）求药物燃烧后y 与x 的函数关系式．（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？28．（12分）如图，一条直线与反比例函数k y x=的图象交于A （1，4）、B （4，n ）两点，与x 轴交于D 点，AC ⊥x 轴，垂足为C ．（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n 的值及D 点坐标；（2）如图乙，若点E 在线段AD 上运动，连结CE ，作∠CEF=45°，EF 交AC 于F 点．①试说明△CDE ∽△EAF ；时，直接写出单元调研试卷数学（八下）期末检测（A）参考答案25.（1）从计算器中随机取一个，再从保护盖中随机取一个，有Aa,Ab,Ba,Bb四种情况．恰好匹配的有Aa，Bb两种情况，21 ()42 P∴==恰好匹配．（2）用树形图法表示：所有可能的结果有：AB、Aa、Ab、BA、Ba、Bb、aA、aB、ab、bA、bB、ba．可见，从计算器和保护盖中随机取两个，共有12种不同的情况．其中恰好匹配的有4种，分别是Aa，Bb ，aA ，bB ，41()123P ∴==恰好匹配． 26.（1）画出原点O ，x 轴、y 轴．(21)B ，，（2）画出图形A B C '''△．（略）（3）148162S =⨯⨯=． 27.（1）x y 54= （2）xy 80= （3）由6.180<x 得 x>50 所以经50分钟后学生可以回教室.28.（1）①xy 4=； ②n=1；由A （1，4），B （4，1）可求得直线AB 解析式为y=-x+5，所以点D 坐标为（5，0）（2）∵ AC=CD=4, ∠ACD=90°， ∴ ∠CDE ＝∠FAE=45°． ∵∠CEF=45° ∴ ∠AEF+∠CED=135°又∵ ∠AEF ＋∠AFE =135°，∴∠CED=∠AFE ．∴ △CDE ∽△EAF ．（3）点F 坐标为：（1，2）或（1，4）或（1，248-）.。

苏科版八年级上册数学期末复习 等腰三角形 专题巩固一.单选题1．如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB=AD ，记∠CAD=α，∠ABC=β．若α=10°，则β的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．不能确定2．如果一个等腰三角形的一个角为30°，则这个三角形的顶角为（ ）A ．120°B ．30°C ．120°或30°D ．90°3．如图，直线m ∥n ，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，顶点B 在直线n 上，直线m 交AB 于点E ，交AC 于点F ，若∠1=α，则∠2的度数是（ ）A ．α−110°B ．α−100°C ．α−70°D ．α−40°4．如图，在△ABC 中，∠A=20°，∠B=40°，若一条直线将△ABC 分成两个等腰三角形，满足上述条件的直线有（ ）条．A ．1B ．2C ．3D ．无数5．如图，AB ＝AD ，点B 关于AC 的对称点E 恰好落在CD 上．若∠BAD ＝a （0°＜a ＜180°），则∠ACB 的度数为（ ）A ．45°B ．a ﹣45°C ．12aD ．90°﹣12aAC的长为半径画弧，两6．如图，在△ABC中，∠B=68°，∠C=28°，分别以点A和点C为圆心，大于12弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．50°B．52°C．54°D．56°7．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．若AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AC于E，且交A于O，连接OC．则下列说法中正确的是（）①AD⊥BC；②OC平分BE；③OE＝CE；④△ACD≌△BCE；⑤△OCE的周长＝AC的长度A．①②③B．②④⑤C．①③⑤D．①③④⑤8．如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE=DF=AD，点D从B运动到C的过程中，△BED周长的变化规律是（）A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大二.填空题9．如图，若∠BAC=108°，∠DAC=72°，∠B=36°，则图中有个等腰三角形．10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角为.11．如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是。

期末复习（6）：图形与证明（二）一．知识梳理二、基础训练：1.平行四边形的周长是25cm,对边的距离分别是2cm 、3cm,则这个平行四边形的面积 为2.已知平行四边形ABCD 的一边长为10，则对角线AC 、BD 的长可取以下数组为：（ ）A 、4,8B 、6,8C 、8,10D 、11,133.菱形的一个内角为60°，一边长为2，则它的面积为：4.梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 。

5.若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 度。

2.直角三角形全等的判定：HL ，（SSS ），SAS ，ASA ，AAS 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线 三角形的中位线，梯形中位线1.等腰三角形等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定角的平分线的性质和判定3.平行四边形平行四边形的性质和判定：矩形的性质和判定： 菱形的性质和判定： 正方形的性质和判定： 注留意：（1）中点四边形①依次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ②依次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 ；③依次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ④依次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 。

（2）菱形的面积公式：ab S 21= （b a ,是两条对角线的长） 留意：（1）解决梯形成绩的基本思绪:经过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。

即需求掌握常作的辅助线。

（2）梯形的面积公式：()lh h b a S =+=21（l -中位线长）6.以下条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A.AB=CD ，AD ∥BC B.AB=CD ，AB ∥CD C.AB ∥CD ，AD ∥BC D.AB=CD ，AD=BC7..在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是 ．（写出一种情况即可）8..菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点0，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）．9.依次连接等腰梯形四边中点所得四边形是 三、例题讲解：1、如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点， DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延伸线于点F ， 连接CF ．(1)求证：AD ⊥CF ；(2)连接AF ，试判断△ACF 的外形，并阐明理由．2、如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB DC ∥，90A ∠=，CD AD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF 是正方形；（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG CD =，试阐明四边形GBCE 是等腰梯形．4、如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1=∠2=∠3，BD=CD ，∠ADB=90°，CH⊥AB 于H ，CH 交AD 于F ．(1)求证：CD∥AB；(2)求证：△BDE≌△ACE；E C BDA GF(3)若O为AB中点，求证：OF=1BE．2四、巩固练习：1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为2.两个全等的直角三角形ABC和DEF堆叠在一同，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：(1) 如图11(1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内挪动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的外形在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2) 如图11(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF 的外形，并阐明理由.五、作业1、以下平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆D．等腰梯形2、如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是 (0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）3、已知菱形的两条对角线长分别为10、24，则它的周长等于( )A．34 B．240 C．52 D．1204、正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相平分；B．对角线相等；C．对角线互相垂直；D．对角线平分对角。

等腰三角形重难点易错点解析题面：下列说法正确的是( )A.两腰相等的三角形是等腰三角形B.等腰三角形的中线、高、角分线三线合一C.“等边对等角”和 “等角对等边”都是等腰三角形的性质D.等腰三角形的外角中一定有钝角等腰三角形的定义：两边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一等腰三角形的判定：等角对等边金题精讲题一题面：已知如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C ，求证：AD =CD ．CBD题二题面：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，求三角形三个内角的度数．题三题面：已知：如图，AB =AC ，CE ⊥BC ，BD ⊥BC .过点A 的直线DE 交BD 于D ，交CE 于E . 求证：AD =AE .B题四题面：如图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点(M 与A 不重合)MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA ．B C思维拓展题面：如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB ＝15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ，···，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根． HOB讲义参考答案重难点易错点解析答案：D金题精讲题一答案：略题二答案：30°，75°，75°或150°，15°，15°题三答案：略题四答案：略思维拓展答案：5。

1.5 等腰三角形的轴对称性（3）班级姓名学号等第学习目标1.由等腰三角形的性质推出等边三角形的特殊性质2.等边三角形性质的运用3.一个三角形是等边三角形的条件学习重点等边三角形性质、一个三角形是等边三角形的条件及应用学习难点等边三角形的性质的综合应用学习过程一．温故知新1.等腰三角形具有哪些性质？2.如何识别一个三角形是否是等腰三角形?3.有一个等腰三角形，它的底边恰好与腰相等，这样的三角形具有什么性质？二．新知探索____________________叫等边三角形或正三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有哪些特殊的性质？判别一个三角形是等边三角形的方法1、2、3、三．例题讲解例1.如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE, △ADE是等边三角形吗？试说明理由.2.如图，P、Q是△ABC的BC边上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数.AB P Q CA,C,E在一条直线上.（1）AD与BE相等吗？为什么？（2）连接MN，试说明△MNC为等边三角形.总结反思:1.5等腰三角形的轴对称性（3）作业设计班级姓名学号等第____1．的三角形是等边三角形或 .2．等边三角形除具有等腰三角形的一切性质外，还有特殊性质：（1）等边三角形是图形，并且有条对称轴.（2）等边三角形的每个角都等于度.3.等边三角形的识别方法：三个角都的三角形是等边三角形；两个角都等于60°的三角形是；有一个角是的等腰三角形是等边三角形.4．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为( )A ．120°B ．130°C ．150°D ．160°5．等腰三角形的周长为80 cm ，若以它的底边为边的等边三角形周长为30 cm ，则该等腰三角形的腰长为( )A ．25 cmB ．35 cmC ．30 cmD ．40 cm6．下列命题中，①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形，正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如 图，在ABC ∆中，090=∠C ，DE 是AB 的垂直平分线，且3:1:=∠∠CAB BAD ，则B ∠＝__________.8．如 图，等边三角形ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点F ，则∠AFE 的度数为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°9.（2005．北京）用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图2），在∆ABC 的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN 中，∠MDN 的度数为（ ）A. 100︒B. 110︒C. 120︒D. 130︒10.如图，△ABC 是等边三角形，D 为AC 边上的一点，且∠1=∠2，BD=CE ． 求证：△ADE 是等边三角形．B D EF C A选做习题以△ABC的边AB、AC为边在△ABC的外部分别作等边△ABE和等边△ACF，CE与BF相交与点O.求∠EOB的度数.。

2012—2013学年八年级(上)期末数学复习(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1.等腰三角形的一边长是8，另一边长是5，则周长为 ________________2.在实数－32，0，2，π，9中，无理数有_____个.3.若20n 是整数，则正整数n 的最小值为________________．4.把多项式a 3—2a 2+a 分解因式的结果是 5.若2x －3的立方根5，则x 的平方根是____.6.如图，直线l 1，l 2交于点A 。

观察图象，点A 的坐标可以看作方程组 的解.二、选择题（每小题3分，共21分） 7.下列图案是轴对称图形的是 （ ）A ．B ．C ．D ．8.已知|a ﹣1|+=0，则a +b =（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．6D ．8 9.下列计算正确的是A ．a ＋a ＝2aB ．b 3·b 3＝2b 3C ．a 3÷a ＝a 3D ．(a 5)2＝a 7 10..函数1y=x 3的自变量x 的取值范围是（ ）A. x ＞3B. x ≥3C. x ≠3D. x ＜－311.在算式（）□（）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）A ．加号B ．减号C ．乘号D ．除号 12.下列各组图形中，是全等形的是 （ ）A ．两个含60°角的直角三角形B ．腰对应相等的两个等腰直角三角形C ．边长为3和4的两个等腰三角形D ．一个钝角相等的两个等腰三角形13.如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（）A B C D三、解答题（每小题6分，共18分）14求代数式（a+2b）（a－2b）+（a+2b）2－4ab的值，其中a=1，b=1 10.15.如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，求CE的长度16.在三个整式2222,2,x xy y xy x++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．四、(每小题8分，共24分）17如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合.求∠CEF的度数18.如图，一次函数2y=23x-+的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．19.将4个数a b c d，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a b c da db c=-，上述记号就叫做2阶行列式．若1 1811x xx x+-=-+，求x的值.五、（每小题9分，共27分）20、某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？21.感知：如图①，点E在正方形ABCD的BC边上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G．可知△ADG≌△BAF.（不要求证明）拓展：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E, F在∠MAN内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF.应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边B上．CD=2BD.点E, F在线段AD上．∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为_________.22. 图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．(1)在图1中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形(画一个即可)；(2)在图2中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD为等腰三角形(画一个即可)；23．某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？参考答案1. 18或21.2. 2个.3. 54. a(a－1)25. ±86.{y=－X+2 ;y=2X－1)7.D8.B9.A10.A11.D12.B13.B14.解：原式=a2－4b2+a2+4ab+4b2－4ab=2a2=215.解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，∴BC=AB=6，∵BC=3BD，∴BD=BC=2，∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD=2．故答案为：2．16.．解：222++=+=+(2)222();x xy x x xy x x y或222++=+(2)();y xy x x y或2222+-+=-=+-x xy y xy x y x y x y(2)(2)()();17.解：连接BO，∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB＝∠ABO＝25°，∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠OBC＝65°－25°＝40°，∵，∴△ABO≌△ACO，∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB＝40°，∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，∴∠CEF ＝∠FEO ＝＝50°，故答案为：50°． 18.解：一次函数2y=23x -+中，令x =0得：y =2；令y =0，解得x =3．则A 的坐标是（0，2），C 的坐标是（3，0）． 作CD ⊥x 轴于点D ．∵∠BAC =90°， ∴∠OAB +∠CAD =90°， 又∵∠CAD +∠ACD =90°， ∴∠ACD =∠BAO又∵AB =AC ，∠BOA =∠CDA =90° ∴△ABO ≌△CAD ，∴AD =OB =2，CD =OA =3，OD =OA +AD =5． 则C 的坐标是（5，3）． 设BC 的解析式是y =kx +b ， 根据题意得：，解得：．则BC 的解析式是：125y x =+．19.解：根据题意化简1 181 1x x x x +-=-+，得：22(1)(1)8x x +--= ，整理得：2221(12)8x x x x ++--+= ，即48x =， 解得：2x = ． 故答案为：220.解：（1）当x ≤20时，y =1.9x ；当x ＞20时，y =1.9×20+（x ﹣20）×2.8=2.8x ﹣18；（2）∵5月份水费平均为每吨2.2元，用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费． ∴用水量超过了20吨．2.8x ﹣18=2.2x ， 解得x =30．答：该户5月份用水30吨．21.证明：如图②∵∠1=∠2=∠BAC ∠1=∠BAE +∠EBA∠2=∠FCA +∠FAC ∠BAC =∠BAE +∠FAC ∴ ∠BAE =∠FCA ∠ABE =∠FAC ∵ AB =AC ∴△ABE ≌△CAF .解：如图③则△ABE 与△CDF 的面积之和为6. ∵由上题可知：△ABE ≌△CAF .∴△ABE 与△CDF 的面积之和=△CAF 与△CDF 的面积之和=△CAD 的面积 ∵ CD =2BD . △ABC 的面积为9。

要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。