解析2022届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(五)数学试卷及答案

2022届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学试题一、单选题1．设集合{}3A x x =>，104x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = A ．∅ B ．(]3,4C ．()3,4D ．()4,+∞答案：C【解析】把分式不等式转化为等价不等式组，求出集合B ，即可求出A B . 不等式104x x -≤-等价于()()14040x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得14x ≤<. {}{}14,3B x x A x x ∴=≤<=>.{}34A B x x ∴⋂=<<.故选：C .本题考查解分式不等式和集合的运算，属于基础题. 2．若1a >，则“x y a a >”是“log log a a x y >”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A先找出x y a a >及log log a a x y >的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．由a>1,得x y a a > 等价为x>y; log log a a x y >等价为x>y>0 故“x y a a > ”是“log log a a x y >”的必要不充分条件 故选A本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指对函数的单调性，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3．下列各组函数中，()f x ，()g x 是同一函数的是（ ）A ．()2f x x =，()4g x =B ．()2log a f x x =，()2log a g x x =C ．()4121x x f x -=-，()21xg x =+D ．()f x ()g x 答案：D函数是同一函数的条件为：定义域相同，对应关系一致，由此逐项判断，即可得出结果.解：对于A 选项，()2f x x =的定义域为R ，()4g x =的定义域为[)0,∞+，故不满足；对于B 选项，()2log a f x x =的定义域为{}0x x ≠，()2log a g x x =的定义域为()0,∞+，故不满足；对于C 选项，()4121x x f x -=-的定义域为{}0x x ≠，()21xg x =+的定义域为R ，故不满足；对于D 选项，()f x ，()g x 的定义域均为{}1，对应关系均为0y =，故是同一函数. 故选：D4．已知x y >，a b <，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．x b y a ->- B ．ax by ay bx +<+ C ．ay bx < D ．ax by >答案：B根据题意，取特殊值判断ACD ，做差法判断B 选项即可得答案. 解：对于A 选项，当1,0,0,2x y a b ====时，x b y a -<-，故错误； 对于B选项，由于x y>，a b <，故0,0x y a b ->-<，故()()()()0ax by ay bx a x y b x y x y a b +--=---=--<，即ax by ay bx +<+，故正确；对于C 选项，当0,1,0,2x y a b ==-==，则ay bx =，故错误； 对于D 选项，当1,0,0,2x y a b ====，则ax by =，故错误. 故选：B5．国内生产总值（GDP ）指按市场价格计算的一个国家（或地区）所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果.下图是我国2014~2018年连续5年的GDP 及增速图，则下列结论错误的是（ ）A ．连续5年中我国GDP 保持6%以上的增长B ．2014~2018年我国GDP 增速整体呈现下降趋势C ．2018年GDP 为这5年最高，GDP 增速为这5年最低D ．2018年GDP 相对2014年GDP 增长了一倍以上 答案：D根据表中的数据，依次分析各选项即可得答案.解：根据表中数据，对于A 选项，2018年国民生产总值增长率最低，为6.6%左右，故连续5年中我国GDP 保持6%以上的增长，正确；对于B 选项，根据增长率折线图可知，2014~2018年我国GDP 增速整体呈现下降趋势，故正确； 对于C 选项，2018年GDP 为90万亿，为5年最高，GDP 增速为6.6%左右，为5年最低，故正确； 对于D 选项，由表中数据，2014年GDP 为64万亿左右，2018年GDP 为90万亿左右，故没有增长一倍以上，故错误. 故选：D6．函数2ln y kx x =-有两个零点1x ，2x （120x x <<），则下列说法正确的是（ ） A ．1x e B ．1x e <C ．2x e > D ．2x e <答案：C根据题意设y kx =与()2ln f x x =相切于()00,P x y ，进而求得()e,2P ，切线方程为2ey x =，再数形结合求解即可得答案.解：设y kx =与()2ln f x x =相切于()00,P x y ，()2'f x x= 所以()00002ln 2x k f x x x ==='，即0ln 1x =，解得0e x = 所以函数()2ln f x x =在点()e,2P 处的切线方程为2ey x =， 因为函数函数2ln y kx x =-有两个零点1x ，2x （120x x <<），所以y kx =与()2ln f x x =的图像如图所示，由上图可知121x e x <<<. 故选：C7．某校对初三毕业生成绩进行抽样调查得到下表： 样本人数 语文成绩A 等的人数 英语成绩A 等的人数 语文和英语成绩都是A 等的人数1000880836748用样本频率来估计概率，现随机抽取一位初三毕业生调查，若该生的语文成绩不是A 等，那么他的英语成绩是A 等的概率为（ ）A ．1115B ．1720 C ．1719D ．1130答案：A设1A 为“语文A 等”，2A 为“英语A 等”，则()1288n A A =，()1120n A =，进而根据条件概率求解即可. 解：设1A 为“语文A 等”，2A 为“英语A 等”，则()1288n A A =，()1120n A =， 所以()()()12211881112015n A A P A A n A ===∣. 故选：A8．已知圆锥的表面积为2π，则其体积的最大值为（ ） A ．3πB ．2π C ．πD ．2π答案：A根据给定条件设出圆锥底面圆半径，将圆锥体积表示为此半径的函数，求出函数最值作答. 设圆锥底面圆半径为r ，母线长为l ，高为h ，依题意，22r rl πππ+=，则2l r r =-，由l r >得01r <<，h圆锥体积212333V r h πππ====，当且仅当212r =，即22r时取“=”， 所以圆锥体积的最大值为3π. 故选：A 二、多选题9．已知i 为虚数单位，复数11i z =+，22i z =-，则下列结论正确的是（ ）A ．1zB ．2z 的虚部为1-C ．12z z ⋅对应的点位于复平面第一象限D ．1z 的共轭复数为1i --答案：ABC根据复数的相关概念依次讨论各选项即可得答案.解：对于A 选项，1z 的模为1z 对于B 选项，2z 的虚部为1-，故正确；对于C 选项，()()121i 2i 3i z z ⋅=+-=+，对应的点的坐标为()3,1，在第一象限，故正确； 对于D 选项，1z 的共轭复数为1i -，故错误. 故选：ABC10．关于函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，下列说法正确的是（ ）A ．由sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到B ．对称轴为212k x ππ=+，k ∈Z C ．在区间,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．在区间2,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点 答案：BD根据正弦函数的图象性质一次分析判断各选项即可得答案.对于A 选项，sin 2y x =的图象向左平移6π得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故错误；对于B 选项，令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得212k x ππ=+，k ∈Z ，故正确；对于C 选项，,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，220,33x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数sin y x =不单调，故错误；对于D 选项，2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，42,33x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，恰有,0,ππ-对应的三个零点，故正确. 故选：BD11．平行六面体ABCD A B C D ''''- 中，各棱长均为2，设A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=，则下列结论中正确的有（ ）A ．当2πθ=时，23AC '=B ．AC '和BD 总垂直 C ．θ的取值范围为2(0,)3πD ．θ=60°时，三棱锥C C B D -'''的外接球的体积是6π 答案：ABC对于A ，求正方体对角线即可判断；对于B ，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C ，由正三棱锥A A BD '-的高与斜高的关系即可计算判断；对于D ，求出正四面体C CB D -'''外接球体积判断作答.平行六面体ABCD A B C D ''''- 中，各棱长均为2，设A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=， 对于A ，2πθ=时，该平行六面体为正方体，其体对角线长3AC '=A 正确；对于B ，AC AB AA AD '=++'，BD AD AB =-，因此，22()()AC BD AB AA AD AD AB AD AB AA AD AA AB'⋅++--⋅'''=-⋅⋅=+22224cos 4cos 0θθ=-+=-，B 正确；对于C ，连接,,BD A B A D ''，如图，依题意，A A BD '-为正三棱锥，取BD 中点E ， 令O 为正A BD '的中心，连,,AE AO EO ，有AO ⊥平面A BD '，正三棱锥A A BD '-的斜高cos 2cos22AE AB θθ==，2sin4sin22BD AB θθ==，则3232OE BD θ==， 显然，AE OE >，即232cos 22θθ>，则tan 32θ<(0,)23θπ∈，从而得2(0,)3πθ∈，C 正确；对于D ，当60θ=时，三棱锥C C B D -'''为正四面体，三棱锥A A BD '-也是正四面体，它们全等， 由C 选项知，2222322(3)()33AO AE OE --A A BD '-的外接球球心在线段AO 上，设球半径为r ，则有222()r AO r OB =-+，整理得222(2)AO r AO OE ⋅=+，解得6r = 于是得三棱锥C C B D -'''外接球的体积346(63V ππ=⨯=，D 不正确. 故选：ABC关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.12．已知数列{}n a ､{}n b 都是等比数列，且111b a -=，222b a -=，333b a -=，若等比数列{}n a 唯一，则在下列各值中，1a 不可能为（ ） A ．1 B ．12-C ．13D ．1-答案：ABD设数列{}n a 的公比为q ，由题意得21114310a q a q a -+-=有唯一非零解，进而当Δ0=时得{}{}n n a b ､不满足等比数列，故Δ0>时，0q =为方程的一根，进而得113a =，再判断选项即可.解：设数列{}n a 的公比为q ，由题意得2132b b b =，将条件代入得：()()()2221111111324310a a q a q a q a q a ++=+⇒-+-=，因为等比数列{}n a 唯一，所以上述关于q 的方程有唯一非零解.则当2111Δ4400a a a =+=⇒=或11a =-，均不满足{}{}n n a b ､是等比数列的条件；当Δ0>时，必有0q =为方程的一根，解得113a =，经检验符合题意.故113a =，故选：ABD 三、填空题13．已知向量,a b 满足1,||||2a b a b ⋅===，则||a b +=___________.根据向量模的数量积表示计算即可得答案. 解：因为1,||||2a b a b ⋅===， 所以()222210a b a ba b a b +=+=++⋅=.14．动圆P 的圆心在抛物线24y x =上运动，且保持与直线116y =-相切，则动圆P 经过定点的坐标为___________. 答案：10,16⎛⎫⎪⎝⎭结合抛物线的定义求得定点坐标. 214x y =，焦点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线116y =-，由抛物线的定义知其上一点到准线的距离等于其到焦点的距离，结合题意可知动圆必过焦点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,16⎛⎫⎪⎝⎭15．清华大学有6名同学准备在北京2022年冬奥会期间担任志愿者，去A ，B 两个场馆进行工作.现需制定工作方案，将6人分成2组，每组3人，每组各指定一名组长，再将两组分别指派到A ，B 两个场馆，则不同的工作方案数为___________. 答案：180先根据平均分组问题将6人分成两组，再选出各组队长，最后分配到两个场馆即可.解：根据平均分组问题将6人分成两组，每组3人，有3336102C C =种不同的分法；再选各组的组长，有11339C C ⋅=种情况，最后将两组分配到A ，B 两个场馆，则有222A =种可能，所以，根据乘法原理得共有31126332331802C C C A C ⋅⋅⋅=种不同的方案. 故答案为：18016．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，点()1,1,B P -为圆222x y +=上一动点，则PBPA的最大值是____________. 答案：2 设P （x ，y ），PBPA=t ，则（1﹣t 2）x 2+（1﹣t 2）y 2﹣2x+（2﹣4t 2）y+2﹣4t 2=0， 圆x 2+y 2=2两边乘以（1﹣t 2），两圆方程相减可得x ﹣（1﹣2t 2）y+2﹣3t 2=0，（0，0）到直线的距离d=()222232112t t-≤+-，∵t ＞0，∴0＜t≤2， ∴PBPA的最大值是2， 故答案为:2． 四、解答题17．如图，在凸四边形ABCD 中，AC 为对角线.已知3AD =， 2AC =，45D ∠=，cos cos AC B BC CAB ∠∠⋅=⋅.(1)判断ABC 的形状特点； (2)若2AB =，求CD .答案：(1)等腰三角形或者直角三角形 (2)62CD +=（1）根据正弦定理边角互化和正弦二倍角公式得sin2sin2B CAB ∠∠=，进而得∠=∠B CAB 或90B CAB ∠+∠=，即可得答案；（2）解法一：根据题意，结合（1）得ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=，进而结合正弦定理求解得CD =解法二：在ACD △中，由余弦定理得CD =1）得ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=，故cos 0DCA ∠>，可得1CD >排除CD =. (1)解：ABC 中，cos cos AC B BC CAB ∠∠⋅=⋅，由正弦定理得：sin cos sin cos B B CAB CAB ∠∠∠∠=， 所以sin2sin2B CAB ∠∠=，所以∠=∠B CAB 或90B CAB ∠+∠=， 故ABC 为等腰三角形或者直角三角形. (2)解：ACD △中，由正弦定理得：sin sin AC AD D DCA ∠∠=，解得sin DCA ∠=2,AB AC ==，由（1）知ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=.由凸四边形条件得90,60,75DCA DCA DAC ∠∠∠<∴==，再由正弦定理得sin sin AC CD D DAC ∠∠=，解得CD =另解：（2）ACD △中，由余弦定理得：2222cos CD AD AC CD AD D ∠+-=⋅⋅，解得CD =2,AB AC ==，由（1）知ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=.由凸四边形条件得90,cos 0DCA DCA ∠∠<∴>，即22201CD AC AD CD +->⇒>，故CD =18．已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34S a =，523a a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)是否存在n *∈N ，使1371222n n n S n a a +⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭？若存在，求出所有符合条件的n ；若不存在，说明理由.答案：(1)12,(),23,().n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⋅⎩是奇数是偶数 (2)存在，2n =（1）设奇数项公差为d ，偶数项公比为q ，进而根据题意得2,3.d q =⎧⎨=⎩，进而得答案；（2）分n 为偶数和奇数两种情况，结合等差数列与等比数列的求和公式分别讨论求解即可. (1)解：设奇数项公差为d ，偶数项公比为q ，由条件得：则34523,42,123,S a d q a a a d d =⎧+=⎧⇒⎨⎨=++=+⎩⎩解得2,3.d q =⎧⎨=⎩ 所以12,(),23,().n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⋅⎩是奇数是偶数 (2)解：当n 为偶数时，()222213112312134nn n n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤+-⋅⎣⎦⎝⎭=+=+--； n 为奇数时，11122122211(1)(1)31233144n n n n n n n n S S a ++--++++=-=+--⋅=+-.则当n 为奇数时，由条件得11222(1)1733422n n n n n --+⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭，化简得2*51230n n n -+=⇒=N . 当n 为偶数时，由条件得()2113723142222n n n n n +++=--+，化简得()1228302n n n n -⎛⎫-+⋅=⇒= ⎪⎝⎭.综上，存在2n =符合条件.19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，D 为棱AC 上一点，1AB //平面1BDC .(1)求证：D 为AC 中点； (2)若二面角11B BC D --的大小为23π，求1CC . 答案：(1)证明见解析 (2)22（1）连1B C ，使11B CBC E =，连DE ，进而根据线面平行的性质定理得1//AB DE ，进而根据E为1B C 中点证明结论；（2）设1CC a =，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，进而根据二面角11B BC D --的大小求解即可. (1)证明：如图，连1B C ，使11B C BC E =，连DE ，由条件得E 为1B C 中点.1//AB 平面1BDC ，平面1AB C 平面11,//BDC DE AB DE =∴，又E 为1B C 中点，D ∴为AC 中点.(2)解：设1CC a =，以D 为坐标原点如图建系，则())()113,0,,3,0,0,0,1,B a BC a .设平面11BB C 的法向量()111,,m x y z =，则1111110,0,030,az m BB m BC x y az ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩故可取()1,3,0m =；设平面1BC D 的法向量()222,,n x y z =，则2122230,0,030x n DB n BC x y az ⎧⎧=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩，故可取()0,,1n a =-； 因为二面角11B BC D --的大小为23π， 所以2cos3m n m nπ⋅=⋅，即：213221a a =⨯+2a =. 12CC ∴=.20．庞大集团拥有数十万员工，年龄在25周岁以下的占40%.调研部为研究员工的日平均生产量是否与年龄有关，按“25周岁以下组”和“25周岁以上组（含25周岁）”，用分层抽样的方法抽取了100人的样本进行调研.将两组员工的日平均生产件数分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，设其中为“25周岁以下组”的人数为X，求X的分布列；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”.调研部想通过独立性检验的方法来研究“工人的年龄”与“是否是生产能手”是否有关.请完成下列2×2列联表.生产能手非生产能手合计25周岁以上组6025周岁以下组40合计30 70 100(3)调研部利用上表求得K 2≈1.79.从而得出结论：某员工所属年龄组与是否为生产能手无关，可视为独立事件进行研究.已知庞大集团所有员工中，生产能手占30%，现从庞大集团所有员工中随机抽取2人，设其中为25周岁以下组的生产能手的人数为Y ，求Y 的期望和方差. 答案：(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)期望625，方差132625（1）由分层抽样，结合频率分布直方图得日平均生产件数不足60件的人中，25周岁以上组有3人，25周岁以下组有2人，再根据超几何分布求解即可； （2）根据频率分布直方图计算数据，完善列联表；（3）由题知，从集团随机抽取1人为25周岁以下组的生产能手的概率是325，进而结合二项分布的求解即可. (1)解：由分层抽样得样本中“25周岁以下组”和“25周岁以上组（含25周岁）”人数分别为40和60. 则其中日平均生产件数不足60件的人中，25周岁以上组有600.053(⨯=人),25周岁以下组有400.052⨯=（人），所以X 的可能取值为0,1,2，所以()()()2l 123322222555C C C C 3310,1,2C 10C 5C 10P X P X P X =========， 故X 的分布列为：(2)解：由频率分布直方图得25周岁以上组生产能手有()0.020.005160150+⨯⨯=人，25周岁以下组生产能手有()400.03250.0051015⨯+⨯=人，故填表如下：(3)从集团随机抽取1人，设事件A 为“此人在25周岁以下组”，事件B 为“此人是生产能手”，由条件知()()23,510P A P B ==，且,A B 独立，得()()()325P AB P A P B ==，因庞大集团拥有员工数十万，从中抽取2人的实验可视为重复独立实验，故32,25Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，数学期望()625E Y np ==，方差()()1321625D Y np p =-=.21．已知椭圆22221x y a b +=的离心率为e =Q ⎭为椭圆上一点.直线l 不经过原点O ，且与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两点. (1)求椭圆的方程；(2)求OAB 面积的最大值，并求当OAB 面积最大时AB 的取值范围. 答案：(1)2214x y +=(2)最大值为1，AB ∈（1）根据离心率，待定系数求解即可；（2）根据题意设():0l x ty m m =+≠，与椭圆联立方程，结合韦达定理得OABS=再结合基本不等式即可得最大值，再讨论当t 不存在时，求得1OABS h =≤，再综合即可得面积最大值；最后结合t 存在与t 不存在两种情况求解即可. (1)解：22222224,,33c c e a b c a c b a ===+∴==，22223314x y c c ∴+=.将2Q ⎭代入得22223314,122c a b c c +=⇒==， ∴椭圆方程为2214x y +=. (2)解：设():0l x ty m m =+≠，与椭圆联立得：()2224240t y tmy m +++-=，所以()22212122224,,Δ164044tm m y y y y t m t t --+===+->++.则12122OABSm y y =⋅-==因为2204t m +->，故22014m t <<+，所以22221144m m t t ⎛⎫+-= ⎪++⎝⎭当且仅当22142m t =+时取等号，此时2Δ160m =>，符合题意. 所以1OABS≤，即OAB 面积的最大值为1.当t 不存在时，设():0l y h h =≠，则1OABS h =≤，当h =. 综上，OAB 面积的最大值为1 当OAB 面积最大时：若t 存在，则此时2222402t m m =-≥⇒≥，则AB ==， 若t不存在，则此时AB ==.综上，AB ∈.22．已知函数()()1ln 15af x x a x a x=++-+，其中0a <. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)设函数()()()32223646e ,1e ,1xx ax ax a a x g x f x x ⎧-++--≤⎪=⎨⋅>⎪⎩，（e 是自然对数的底数），是否存在a ，使()g x 在区间[],a a -上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案：(1)答案见解析 (2)存在，[]3,2a ∈--（1）求得()f x 的定义域和导函数，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）依题意得()'0g x ≤在[],a a -恒成立，由()'g x 构造函数()p x ，通过()'p x ，结合对a 分类讨论来求得a 的取值范围. (1)()()()210,x a x x f x x +-='>.当(),1a ∞∈--时，()f x 在区间()()()'0,1,,,0a f x -+∞>，()f x 递增；在区间()()()'1,,0,a f x f x -<递减.当1a =-时，()f x 在区间()()()'0,,0,f x f x +∞≥递增.；当()1,0a ∈-时，()f x 在区间()()()()'0,,1,,0,a f x f x -+∞>递增，在区间()()()',1,0,a f x f x -<递减. (2)()g x 在区间[],a a -上为减函数，()0g x '∴≤在[],a a -恒成立.当1x ≤时，()()322e 232124x g x x a x ax a ⎡⎤=-'+--+⎣⎦，设()()322232124p x x a x ax a =+--+，则()02p a a ≥⇒≤-.()()()62p x x x a =+'-，则当2a <-时，()p x 在区间[)()()',2,0,a p x p x -<递减；在区间(]()()'2,1,0,p x p x ->递增.当2a =-时，()p x 在[]()()',1,0,a p x p x >递增..[],1x a ∴∈时，()()()min ()24120p x p a a =-=++≥，符合题意.当(]1,,2x a a ∈-≤-时，由（1）可知()()e g x f x =⋅单调递减，符合题意.根据分段函数跨分段区间单调递减得()()()()21e 1432e e 161g f a a a ≥⋅⇒-+-≥+241330a a ⇒++≤，解得134a -≤≤-.综上，[]3,2a ∈--.。

【新试题】雅礼中学2022届高三月考试卷（五）一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：我们究竟应怎样来把握意境的丰富的美学内涵呢？这里我们根据古人的论述和今人的研究，加以吸收融合，认为意境是人活跃的生命力所开辟的，寓含人生哲学意味的，情景交融的，具有张力的诗意空间。

这种诗意空间是在有读者参与下创造出来的，它是抒情型文学作品的审美理想。

我认为“生命力的活跃”是意境最核心的美学内涵。

现在学界都承认中国古代意境说的最后总结者是王国维。

据我考察，王国维《人间词话》中以下几条最为重要：词以境界为最上。

有境界则自成高格，自有名句。

五代北宋之词所以独绝者在此。

境非独谓景物也。

喜怒哀乐，亦人心中之一境界。

故能写真景物、真感情者，谓之有境界。

否则谓之无境界。

尼采谓：“一切文学，余爱以血书者。

”后主之词，真所谓以血书者也。

诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。

入乎其内，故能写之；出乎其外，故能观之。

入乎其内，故有生气；出乎其外，故有高致。

诗人必有轻视外物之意，故能以奴仆命风月。

又必有重视外物之意，故能与花鸟共忧乐。

这些论述表达的意义有：（1）诗词以“境界”为上，可以理解为意境是抒情诗的理想；（2）无论是写景的还是写情的，只要是“真”的，都是有境界的；（3）所谓“真”，不仅是真实的“真”，而且是指生命力的高扬，因为他相信尼采的话“一切文学，余爱以血书者”，这可以看作是德国生命哲学在文学上的体现；（4）对诗人来说，只有有生命力的人，才能在写诗之时既能入乎其内又能出乎其外，才能与花鸟共忧乐，才能有生气。

由此可见，王国维作为“意境”说的最后总结者，把生命力的“弥满”，看作是“意境”说的核心。

他所讲的生命力观念不但来自古代的“气韵生动”“生气远出”的理想，更重要的是吸收了德国生命哲学的精神。

意境的灵魂是所描写对象的生命活跃与高扬，使读者不能不为之动情而进入那特定的诗意时空中去。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。

2．请在答题卡上各题号对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答 题区域均无效。

3．选择题用 2B 铅笔把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔作答。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合=+<∈=P x x x N Q |log (1)1,,1,3,56}{}{，M ＝P ∪Q ，则集合M 中的元素共有（ ） A ．4个B ．6个C ．8个D ．无数个2．设函数f x mx mx =−−2()1，命题“x ∃∈1,3][，f x m ≤−+()2是假命题”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．,37−∞⎛⎝⎤⎦⎥ B ．−∞,3]( C ．37,+∞⎛⎝ ⎫⎭⎪ D ．3,+∞)(3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面积计算问题， 计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积的计算公式为：弧田面积=21（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长AB 等于6m ，其弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为2m 72，则∠=AOB cos （ ）A ．251 B ．−257C ．51D ．257 4．已知⎝⎭ ⎪+=⎛⎫απ32sin 1，则⎝⎭ ⎪+⎛⎫απ6sin 2的值为（ ）A ．21B ．−21CD5．如图，在棱长为2的正方体−ABCD A B C D 1111中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过BE 的平面α与直线A F 1平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ） AB．C ．4D ．56．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x 的图象在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝4x －3，则函数y ＝f (x)湖南省雅礼中学高三年级第一次月考 数学试卷的极大值为（ ） A ．1B ．527−C ．−2527D ．－17. 20222022202232022322022212022020202222C C C C C +−+−的值为A ．0B ．1C ．－1D ．202228．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，均有(2)()f x f x +=且(1)0f =，当[0,1)x ∈时，()21x f x =−，则方程()1||0f x g x −=的实根个数为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知由样本数据点集合{}(,)123,i i x y i n =，，，，求得的回归直线方程为 1.50.5y x =+，且3x =，现发现两个数据点12,2(2)..和4.8,(7)8.误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（ ）A ．变量x 与y 具有正相关关系B ．去除后y 的估计值增加速度变快C ．去除后与去除前均值x ，y 不变D ．去除后的回归方程为 1.2 1.4y x =+10．如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A 1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A 2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A 3：挑出的数字里含有数字1.下列说法正确的是（ ）12 B ．事件A 1，A 2是独立事件 C ．P (A 1|A 3)＝P (A 2|A 3)D ．P (A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)11．在正四面体ABCD 中，若AB = ） A ．该四面体外接球的表面积为3πB ．直线与平面BCDC ．如果点M 在CD 上，则AM BM +D ．过线段一个三等分点且与 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()2f x x =（R x ∈），()1g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =−在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增B ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1−C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为1−三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量X 服从正态分布()28,X N σ~，(10)P x m ≥=，(68)P x n ≤≤=，则182m n+的最小值为____________．14．某中学元旦晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在节目乙的前面,节目丙不能排在最后一位,则该晚会节目演出顺序的编排方案共有_________． 15．=−−20cos 6420cos 120sin 3222_________． 16．已知函数()eln 2x f x x =，()22x g x x m=−，若函数()()()h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，则()()()1232f x f x f x ++的取值范围是_________．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知.2,4,53)4sin(,4,0,553cos sin ⎪⎭⎫⎝⎛∈=−⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+ππβπβπααα （1）求α2sin 和α2tan 的值； （2）求()βα2cos +的值.18．已知2mx⎛⎝的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.（1）求m 的值；（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和； （3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.19．已知函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,2]−. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式mf(x)>2(x −m −1)；（3）设g(x)=2f(x)+3x−1，若对于任意的x 1,x 2∈[−2,1]都有()()12g x g x M −≤，求M 的最小值.20．某学校共有2000名学生，其中女生1200人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了200名学生进行调查，月消费金额分布在550～1050元之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示，将月消费金额不低于850元的学生称为“高消费群”．(1)求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)若样本中属于“高消费群”的男生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%以上的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．（()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ）21．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，CD ∥AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =．（1）证明：GF ∥平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A -BE -D 的余弦值．22．已知函数()e cos x f x x x =+．(1)判断函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，并说明理由；(2)对任意的0x ≥，e sin cos 2x x x x ax ++≥+，求实数a 的取值范围．湖南省雅礼中学高三年级第一次月考数学试卷参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．B 8．D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．ACD 10．AC 11．ACD 12．AD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．25 14．300种 15．-32 16．()11002⎛⎫−⋃ ⎪⎝⎭，，四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．18．（1）展开式的通项为()152222122rrm m rrr r r mm T C x x C x −−−+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， ∴展开式中第4项的系数为332m C ⋅，倒数第4项的系数为332m m m C −−⋅，33332122m m m m C C −−⋅∴=⋅，即611,722m m −=∴=. （2）令1x =可得展开式中所有项的系数和为732187=，展开式中所有项的二项式系数和为72128=.（3）展开式共有8项，由（1）可得当522rm −为整数，即0,2,4,6r =时为有理项，共4项， ∴由插空法可得有理项不相邻的概率为484485 114A A A =. 19．（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]−，所以20x bx c ++=的根为1−，2， 所以1b −=，2c =−，即1b =−，2c =−；所以2()2f x x x =−−；（2）mf(x)>2(x −m −1)，化简有()222(1)m x x x m −−>−−，整理得(2)(1)0mx x −−>，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)−∞，当02m <<时，不等式的解集为2(,1),⎛⎫−∞+∞ ⎪⎝⎭m ，当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)−∞+∞， 当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,−∞+∞m，（3）因为[2,1]x ∈−时2()3123f x x x x +−=+−，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +−=+−∈−， 则有2()3123()22f x x xx g x +−+−==，所以，1(),116⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g x ，因为对于任意的x 1,x 2∈[−2,1]都有()()12g x g x M −≤， 即求()()12max g x g x M −≤，转化为()()−≤max min g x g x M ， 而()(1)1==max g x g ， 1()(1)16min g x g =−=， 所以，此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516. 20．（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得a ，再根据频率分布直方图中平均数计算公式计算可得；（2）按照分层抽样求出样本中男生、女生的人数，再由频率分布直方图求出“高消费群”的人数，即可完善列联表，计算出卡方，即可判断； （1）解：由频率分布直方图可得()1000.00150.00350.00150.0011a ⨯++++=，解得0.0025a =， 所以样本的平均数为()6000.00157000.00358000.00259000.001510000.001100770⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（元）（2）解：依题意知，样本中男生20001200200802000−⨯=人，女生12002001202000⨯=人，属于“高消费群”的有()0.00150.00110020050+⨯⨯=人，列出下列22⨯列联表：所以22001080407011.1110.828 5015080120K⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%以上的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．21．（1）取AB，EB中点M，N，连接CM，MN，ND．在梯形ACDE中，DC∥EA且DC=12EA，且M，N分别为BA，BE中点，∴MN//EA，MN=12EA，∴MN//CD，MN=CD，即四边形CDNM是平行四边形，∴CM//DN，又14EG EB=，N为EB中点，∴G为EN中点，又F为ED中点，∴GF//DN，即GF//CM，又CM⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC．（2）在平面ABC内，过B作BH⊥AC交AC于H．∴平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，BH⊂平面ABC，BH⊥AC，∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B-ACDE的高，又底面ACDE 面积确定，要使多面体ABCDE 体积最大，即BH 最大，此时AB =BC过点H 作HP ∥AE ，易知HB ，HC ，HP 两两垂直，以{HB ,HC ,HP }为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H -xyz ，∴A (0,−1,0)，B (1,0,0)，E (0,−1,2)，D (0,1,1)，则AB =(1,1,0)，BE =(−1,−1,2)，DE =(0,−2,1)．设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,x 1)为平面ABE 的一个法向量，则1100n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111020x y x y z +=⎧⎨−−+=⎩，取n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，设n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面DBE 的一个法向量，则220n DE n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222222020y z x y z −+=⎧⎨−−+=⎩，取n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,1,2)， ∴1212127cos ,7n n n n n n ⋅<>==⋅，由图知：二面角A −BE −D 为钝二面角，∴二面角A −BE −D 的余弦值为. 22．(1)解：函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数，理由如下： 因为()e cos x f x x x =+，所以()e cos (sin )x f x x x x =+−'+． 记()e 1x g x x =−−，则()e 1x g x '=−，令()0g x '=，得0x =． 当0x >时，()0,()'>g x g x 为单调增函数； 当0x <时，()0,()g x g x '<为单调减涵数，所以min ()(0)0g x g ==，所以()e 10x g x x =−−≥，即e 1x x ≥+． 又sin 1,cos 1x x ≤≥−，所以()1cos (sin )(1sin )(1cos )0f x x x x x x x x ≥+++−=−++≥'， 所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数． (2)解：记()e sin cos 2(0)x p x x x ax x =++−−≥，是()e cos x p x x x a =+−'． 由（1）知，()e cos x p x x x a =+−'为[0,)+∞上的单调增函数．1°当10a −≥时，(0)10p a =−≥'，所以()(0)0p x p ''≥≥，所以()p x 为[0,)+∞上的单调增函数，所以()(0)0p x p ≥=，即e sin cos 2x x x x ax ++≥+．所以1a ≤符合题意． 2°当10a −<时，(0)10p a =−<'，又()e cos e 2a a p a a a a a =−≥'+−． 记()e 2(1)x q x x x =−>，则()e 2e 20x q x =−>−>'，所以()q x 为(1,)+∞上的单调增函数，所以()(1)e 20q x q >=−>， 所以e 20(1)x x x −>>，所以()e 20a p a a ≥−>'．又()p x 在[0,)+∞上的图象不间断，且()p x 为[0,)+∞上的单调增函数， 根据零点存在性定理知，存在唯一的零点0(0,)x ∈+∞，使得()00p x =． 所以当00x x ≤≤时，()0p x '≤，()p x 单调递减，所以()0(0)0p x p <=， 这与任意的0x ≥，e sin cos 2x x x x ax ++≥+矛盾， 所以1a >不符合题意 综上可得1a ≤．。

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |log 2x >1}，B ={x |0<x <4}，则A ∩B =( )A. {x |2<x <4}B. {x |2⩽x <4}C. {x |0<x⩽2}D. {x |x⩽2}2.已知复数z 满足(1―i )z =2i ，且z +ai (a ∈R )为实数，则a =( )A. 1B. 2C. ―1D. ―23.设向量a =(1,0)，b =(12,12)，则下列结论中正确的是( )A. |a |=|b | B. a ⋅b = 22 C. a ―b 与b 垂直 D. a //b4.已知a 是函数f (x )=2x ―log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A. f (x 0)=0B. f (x 0)>0C. f (x 0)<0D. f (x 0)的符号不确定5.若sinx +cosx =13，x ∈(0,π)，则sinx ―cosx 的值为( )A. ± 173 B. ― 173 C. 13 D. 1736.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A. 8B. 24C. 48D. 1207.函数y =f (x )的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f (1―12x )B. y =―f (1―12x )C. y =f (4―2x )D. y =―f (4―2x )8.刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF ，四边形ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，△ADE 和△BCF 是全等的等腰三角形.若AB =25m ，BC =AD =10m ，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为145.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为( )A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（五）数学试题一、单选题1．已知全集R U =，集合{(1)(2)0}M xx x =-+≥∣，{13}N x x =-≤≤∣，则()U M N ⋂=（ ） A ．[1,1)- B ．[1,2]- C ．[2,1]-- D ．[1,2]【答案】A【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合M ，再由集合的补集、交集运算求得答案.【详解】解：由题意可得：由(1)(2)0x x -+≥得1x ≥或2x ≤-，所以(][)21M =-∞-+∞，，，则 ：()C 2,1U M =-，又{13}N xx =-≤≤∣，所以()U M N ⋂= [)1,1-. 故选：A ．2．若复数z 满足()()11i 22i z -+=-，则z =（ ） A ．5 B ．3 C ．5 D ．2【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z 的值. 【详解】由复数的四则运算可得()()()()()2221i 21i 111i 112i 1i 1i 1i z --=+=+=-+=-++-， 因此，()22125z =+-=. 故选：A.3．如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，2AG GD =，则用向量,AB AC 表示BG 为（ ）A ．2133BG AB AC =-+B ．1233BG AB AC =-+C ．2133BG AB AC =- D ．2133BG AB AC =+ 【答案】A【解析】先根据题意，得到()12AD AB AC =+，23AG AD =，再由向量的加减运算，即可得出结果. 【详解】因为点D 是边BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， 又2AG GD =，所以23AG AD =， 因此()21123333BG AG AB AD AB AB AC AB AC AB =-=-=+-=-. 故选：A.【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.4．在普通高中新课程改革中，某地实施”3＋1＋2“选课方案，该方案中的“2”该指的是政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是（ ） A ．16B ．12C ．23D ．56【答案】D【分析】分别查出4门科目任选2门总共结果数，再选出政治和地理至少有一门的结果数，然后根据古典概率计算概率即可.【详解】在政治、地理、化学、生物4门科目中任选2门共有6种情况，分别为：政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物、化学+生物. 其中政治和地理至少有一门的情况包含5种，分别为：政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物. 故政治和地理至少选一门的概率为56P =.故选：D5．已知三棱台111ABC A B C 中，三棱锥111A A B C -的体积为4，三棱锥1A ABC -的体积为8，则该三棱台的体积为（ ）A ．12+B ．12+C ．12+D ．12+【答案】B 【分析】设11112,ABCA B C SSS S ==，棱台高为h ，由已知得212S h=，124S h=，根据棱台的体积公式可得三棱台的体积V ．【详解】设11112,ABCA B C SSS S ==，棱台高为h ，由已知1112143A A B C V S h -==，得212S h=，11183A ABC V S h -==，得124S h =，三棱台111ABC A B C 的体积为()221121224122412113423V h S h h h h S S S ⎛⎫⨯++=+ ⎪ ⎪=⎭+⎝+=， 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查了三棱台、三棱锥的体积的求法，解题的关键点是利用底面积与高的转化．6．将函数sin 64y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位，所得函数图象的一个对称中心是（ ）． A ．,016π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先利用三角函数的图像变换，可以得到变换后的函数解析式sin 2y x =，再由正弦函数的对称性代入计算即可.【详解】函数sin 64y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），则得到：sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移8π个单位，则得到：sin 2sin 284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2x k =π即,2k x k Z π=∈ 故选：D【点睛】本题考查了三角函数图像的变换以及三角函数的对称性，属于一般题.7．设0.70.820232020,2021,log 2022a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b<c<aD ．c<a<b【答案】D【分析】根据指数函数、幂函数和对数函数的单调性可得出0.70.8120202021<<，2023log 20221<，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系【详解】00.70.80.812020202020202021=<<<，20232023log 2022log 20231<=，c a b ∴<<．故选：D ．8．边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）A ．23π9B ．43π9C ．()843π- D ．(823)π-【答案】B【分析】设底面边长为2x ，可求得此四棱锥的高为12x -，根据外接球与正四棱锥的关系，利用勾股定理可求出外接球半径，再利用导数求得半径的最小值即可. 【详解】如图所示，设围成的四棱柱为P ABCD -，PF 为正四棱锥P ABCD -的高，作FE BC ⊥交BC 于E ，连接PE ，设FE x =，则1PE x =-，在直角三角形PFE 中由勾股定理得2212PF PE FE x -- 又因为正四棱锥P ABCD -的外接球球心在它的高PF 上， 记球心为O ，半径为R ，连接,OB FB ，则2FB x ， 则在直角三角形OFB 中()22222OB OF FB PF OP FB =+=-+，即()()222122R x Rx =--+，解得22221(12)1212412x x x R x x-+-+==--，令12x t -=(01)t <<，则414t R t +=，4212416t R t -'=，令0R '=解得233t =，所以R 在4103⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在4113⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增， 所以当233t =时R 取最小值，所以242min 1349t R t ⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 所以该四棱锥外接球的表面积的最小值为2min 43π4π9R =， 故选：B二、多选题9．如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，点M ，N 分别为棱BC ，AD 的中点．则（ ）A ．12MN =B ．AB CD ⊥C 3D ．直线AM 与CN 所成角的余弦值为13【答案】BC【分析】把,,,MN AM NC CD 分别用,,AB AC AD 表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断ABD ，连接DM ，在DM 上取点O ，使得2OD OM =，连接OA ，则OA ⊥平面BCD ，解ADM △即可判断C.【详解】解：由正四面体ABCD ，可得π3BAC BAD DAC ∠=∠=∠=， 对于A ，()()1122MN AN AM AN AB AC AD AB AC =-=-+=--，则()212MN AD AB AC ⎡⎤=--⎢⎥222222AD AB AC AB AC ABAD AD AC =+++⋅-⋅-⋅ ==A 错误； 对于B ，CD AD AC =-，则()11022AB CD AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅=-=， 所以AB CD ⊥，故B 正确； 对于D ，111,222AM AB AC NC AC AN AC AD =+=-=-， 则32AM NC ==111222AM NC AB AC AC AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211112424AB AC AB AD AC AD AC =⋅-⋅+-⋅ 1111148282=-+-=， 设直线AM 与CN 所成角为θ，则12cos cos ,33AM NC AM NC AM NCθ⋅====， 所以直线AM 与CN 所成角的余弦值为23，故D 错误；对于C ，连接DM ，在DM 上取点O ，使得2OD OM =，连接OA ， 则OA ⊥平面BCD ，则ADM ∠即为直线AD与平面BCD 所成角的平面角， 在ADM △中，1AM DM AD ===，则331cos ADM +-∠=由正四面体的结构特征可得，直线,,AB AC AD 与平面BCD 所成角的相等， C 正确 故选：BC10．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是（ ） A ．()()1122x f x x f x +<+ B ．()()2112x f x x f x <C ．当211ex x >>时，()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+D ．若方程()f x a =有一个根，则1a e=-【答案】BC【分析】构造函数()()ln g x f x x x x x =+=+，利用导数判断函数的单调性，可判断A 选项；由函数ln y x =的单调性可判断B 选项；利用函数()y f x =在区间 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调性可判断C 选项；取特例可判断D 选项.【详解】对于A 选项，构造函数()()ln g x f x x x x x =+=+，定义域为(0)+∞，，()ln 2g x x '=+， 当 210e<<x 时，()0g x '<；当 21e x > 时，()0g x '>． 所以，函数()ln g x x x x =+的单调递减区间为 210,e ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间为 21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当 12210e x x <<< 时，()()12g x g x >，即()()1122x f x x f x +>+，A 选项错误；对于B 选项，()ln f x x x= ，由于函数ln y x =在(0)+∞，上单调递增， 当120x x <<时，12ln ln x x <，即 1212()()f x f x x x < ，所以()()2112x f x x f x <，B 选项正确； 对于C 选项，函数()ln f x x x =，定义域为()0,∞+，()ln 1f x x '=+ 令()0f x '<，则10ex <<；令0fx，可得 1ex >所以，函数()ln f x x x =的单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.当 211ex x >> 时，()()12f x f x <，则()()()()121122x x f x x x f x ->-，即()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+，C 选项正确；对于D 选项，当0a =时，若方程()0f x =也只有一个根1x =，D 选项错误. 故选：BC11．设F 是抛物线C ：24y x =的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A ．||4AB ≥ B ．||||8OA OB +>C ．若点(2,2)P ，则||||PA AF +的最小值是3D ．OAB 的面积的最小值是2 【答案】ACD【解析】讨论直线l 是否有斜率，分别计算|AB |和△OAB 的面积或其范围，判断A ，D ，举特例判断B 错误，根据抛物线性质和三点共线判断C ． 【详解】解：F （1，0），不妨设A 在第一象限， （1）若直线l 无斜率，则A （1，2），B （1，−2），则|AB |＝4，|OA |＋|OB |＝2|OA |＝14122OABS=⨯⨯=，显然B 错误； （2）若直线l 存在斜率，设直线l 斜率为k ，则直线l 的方程为：y ＝k （x −1），显然k ≠0，联立方程组()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，消元得：()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212222442k x x k k++==+， ∴|AB |＝12x x +＋2＝4＋24k＞4，原点O 到直线l 的距离d =∴21144222OABSAB d k ⎛⎫=⨯⨯=⨯+= ⎪⎝⎭， 综上，|AB |≥4，OABS ≥2，故A 正确，D 正确，过点A 向准线作垂线，垂足为N ，则|P A |＋|AF |＝|P A |＋|AN |，又P （2，2）在抛物线右侧，故当P ，A ，N 三点共线时，|P A |＋|AF |取得最小值3，故C 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的简单性质，属于中档题． 12．已知函数1()3x p f x -=，2()3x p g x -=，12p p ≠，则下列四个结论中正确的是（ ）． A ．()y f x =的图象可由()y g x =的图象平移得到 B ．函数()()f x g x +的图象关于直线122p p x +=对称 C ．函数()()f x g x -的图象关于点12,02p p +⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．不等式()()f x g x >的解集是12,2p p +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】由()()1213x p g x p f x p -+-==可知A 正确；设()()()F x f x g x =+，证明()()12F x p F p x +=-即可判断B ；设()()()H x f x g x =-，证明()()120H x p H x p ++-+=即可判断C ；利用指数函数的单调性解不等式，分类讨论不等式的解，即可判断D. 【详解】对于A ，因为()()1213x p g x p f x p -+-==，所以()y f x =的图象可由()y g x =的图象平移得到，所以A 正确；对于B ，设()()()F x f x g x =+，则()12||133x p p x F x p +-+=+，()2211||||23333x p p x p p x x F x p -+-+---+=+=+，因为()()12F x p F p x +=-，所以()()f x g x +的图象关于直线122p p x +=对称，B 正确； 对于C ，设()()()H x f x g x =-，则()12||133x p p x H x p +-+=-，()2112||||23333x p p x p p x x H x p -+-+---+=--=-，因为()()120H x p H x p ++-+=，所以()H x 的图象关于点12,02p p +⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以C 正确； 对于D ，由()()f x g x >，得12x p x p ->-，化为2212x p x p ->-，()2221212p p x p p ->-，若12p >p ，则212p p x +>；若21p p <，则212p p x +<，所以D 错误． 故选：ABC【点睛】本题考查指数与指数函数、函数的基本性质，属于中档题.三、填空题13．在()5(1)21x x -+的展开式中，3x 项的系数为______．【答案】10【分析】利用二项定理展开5(1)x -，再利用多项式乘法法则求出3x 项即可作答.【详解】依题意，52345(1)1510105x x x x x x -=-+-+-，因此5(1)(21)x x -+展开式中3x 项为23310210110x x x x ⋅-⋅=，所以3x 项的系数为10. 故答案为：1014．已知圆22:2O x y +=，M 是直线l ：40x y -+=上的动点，过点M 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，则MA MB ⋅的最小值为______. 【答案】3【分析】画出图形，设2AMB θ∠=,利用数量积公式将MA MB ⋅转化为求2||cos 2MA θ的最小值，从而分析图形可知当 OM l ⊥ 时, 这时2||cos 2MA θ最小，即MA MB ⋅ 最小. 【详解】设2AMB θ∠=, 则 2||||cos 2||cos 2MA MB MA MB MA ⋅==θθ,可知当 OM l ⊥ 时, ||MA 最小且 2θ 最大, cos2θ 最小, 这时 MA MB ⋅ 最小.设点 O 到直线 l 的距离为 d , 则 d =因为圆 O 的半径为, 所以当 OM l ⊥ 时, 1sin 2θ=, 可得 21cos 2,||2MA =θ 226d =-=, 所以 MA MB ⋅ 的最小值为3. 故答案为：3 .15．已知曲线()ln f x x =在点()()1,1P f 处的切线也是曲线()e x g x a =的一条切线，则=a ____________．【答案】2e -##21e 【分析】首先利用导数的几何意义得到切线为1y x =-，设()e x g x a =的切点为()00,e xB x a ，从而得到01lnx a =，代入切线得到切点为()2,1B ，再结合01ln x a=即可得到答案. 【详解】()ln f x x =，()10f =，所以切点()1,0.()1f x x'=，()11k f '==，切线()011y x -=⋅-，即1y x =-. 设()e x g x a =的切点为()00,e xB x a ，()e x g x a '=，()001e x k g x a '===，所以01lnx a=. 所以切点为()0,1B x ，将B 点代入切线1y x =-得：02x =， 又因为01lnx a=，解得：=a 2e -. 故答案为：2e -.16．已知椭圆222:1x C y a+=的一个焦点为F ，若过焦点F 的弦AB 与以椭圆短轴为直径的圆相切，且2AB =，则该椭圆的离心率为______.3132【分析】根据直线AB 与单位圆相切、2AB =列方程，求得,a c ，从而求得椭圆的离心率. 【详解】椭圆1b =，焦距为c,以椭圆短轴为直径的圆为221x y +=，圆心为原点，半径为1. 由于过焦点F 的弦AB 与以椭圆短轴为直径的圆相切，所以直线AB 与x 轴不平行，设直线AB 的方程为,0x my c x my c =+--=，原点到直线AB221,1c m ==+①，由2221x my c x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并化简得()222210m a y mcy ++-=， ()2222440m c m a ∆=++>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1222122221mc y y m a y y m a ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以ABc =2222ac m a =+ 222221ac c a==-+，()()()22221,111ac c a a c a a =+--=+-， 由于1a >，所以2221,11,20c a a a a a =+-=+--=， 解得2a =（负根舍去），则2213,c c =+==所以椭圆的离心率为c a =四、解答题17．已知函数()()()()πsin πf x x x x -∈R 的所有正的零点构成递增数列{}()*n a n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1223nn n b a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)()*23n a n n =-∈N (2)222n nn T +=-【分析】（1）首先利用辅助角公式化简()f x ，再求出所有正的零点，利用等差数列即可求解通项. （2）首先求出n b ，再利用错位相减法求解即可.【详解】（1）()()()πsin π2cos π6f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，由题意令()ππππ62x k k +=+∈Z ，解得()13x k k =+∈Z . 又函数()f x 的所有正的零点构成递增数列{}n a ，所以当0k =时，{}n a 是首项113a =，公差1d =的等差数列，因此()()*121133n a n n n =-⨯+=-∈N .（2）由（1）知121232n nn n b a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()123111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()23411111111231222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②由①-②得()12311111111111221212222222212n n n n n n n n T n +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-+⋅ ⎪⎝⎭-，所以222n nn T +=-. 18．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝5AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 【答案】（1）37AC =；（2）26BD 【分析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可求BD 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin ∠ADB 35=，进而可求cos ∠ADC 的值，在△ACD 中，利用余弦定理可求AC 的值．（2）由（1）得：BD 2＝14﹣5，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．SABCD＝7152+sin （θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ2π=时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ2π+，此时cosφ=sinφ=，从而可求BD 的值．【详解】（1）在ABD ∆中，由2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅，得214BD θ=-，又cos θ=∴BD =∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴sin θ=由sin sin BD AB BAD ADB =∠∠3sinADB =∠，解得：3sin 5ADB ∠=，∵BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴3cos cos sin 25ADC ADB ADB π⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠ (2232375⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，解得：AC =（2）由（1）得：214BD θ=-，2113sin 22ABCD ABD BCD S S S BD θ∆∆=+=⨯+⨯ 7sin θθ=-)()157sin 2cos 7sin2θθθφ=-=+-，此时sin φ=cos φ=0,2πφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当2πθφ-=时，四边形ABCD 的面积最大，即2πθφ=+，此时sin θ=cos θ=∴2141426BD θ⎛=-=-= ⎝，即BD =答：当cos θ=小路AC 草坪ABCD 的面积最大时，小路BD 百米．【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．图1是直角梯形ABCD ，ABCD ，90D ∠=，2AB =，3DC =，AD =，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC 2.(1)求点D 到平面1BC E 的距离；(2)若113DP DC =，求二面角P BE A --的大小.【答案】(1)详见解析； (2)4π【分析】（1）连接AC ，交BE 于F ，易得四边形ABCE 是菱形，得到AC BE ⊥，再由2221AC AF CF =+，得到1C F AF ⊥，从而有1C F ⊥平面ABED ，然后利用11C DBE D C BE V V --=求解；（2）由（1）建立空间直角坐标系，求得平面BEP 的一个法向量为(),,m x y z =，易知平面BEA 的一个法向量为()0,0,1n =，由cos ,m n m n m n⋅=⋅求解.【详解】（1）解：如图所示：，连接AC ，交BE 于F ，因为90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =2CE ED =， 所以AE =2， 又ABCD ，所以四边形ABCE 是菱形， 所以AC BE ⊥，在ACD 中，2223AC AD CD +=所以3AF CF ==16AC =2221AC AF CF =+，所以1C F AF ⊥，又AF BE F ⋂=， 所以1C F ⊥平面ABED ， 设点D 到平面1BC E 的距离为h ， 因为1113233,13222C BEDBESS =⨯⨯==⨯⨯=， 且11C DBE D C BE V V --=，所以111133C BEDBEh SC F S ⨯⨯=⨯⨯，解得32h =； （2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则(()()()133,0,3,0,1,0,0,1,0,3,0,02D C B E A⎫--⎪⎪⎝⎭，所以()()3,1,0,0,2,0BA BE =-=-，因为113DP DC =，所以13313BP BD BD DP DC ⎛=++=- =⎝⎭， 设平面BEP 的一个法向量为(),,m x y z =， 则00m BE m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即203320y x y z -=⎧⎪⎨-=⎪， 令1x =，得()1,0,1m =-，易知平面BEA 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以2cos ,2m n m n m n⋅==-⋅则3,4m n π=， 易知二面角P BE A --的平面角是锐角， 所以二面角P BE A --的大小为4π. 20．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g .这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布. (1)已知如下结论：若()2,XN μσ，从X 的取值中随机抽取()*,2k k N k ∈≥个数据，记这k 个数据的平均值为Y ，则随机变量2,Y N k σμ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.利用该结论解决下面问题.（i ）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y ，求()980P Y ≤；（ii ）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在()950,1050上，并经计算25个面包质量的平均值为978.72g .庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望. 附：①随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσημσ-≤≤+=，()()220.9545,330.9973P P μσημσμσημσ-≤≤+=-≤≤+=；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i ）0.02275；（ii ）理由见解析. (2)()119188E ξ=【分析】（1）（i ）由正太分布的对称性及3σ原则进行求解；（ii ）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；（2）设取出黑色面包个数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望.【详解】（1）（i ）因为25010025=，所以()21000,10Y N ，因为()220.9545P μσημσ-≤≤+=，所以()10.954520.022752P ημσ-≤-==，因为9801000210=-⨯，所以()()98020.02275P Y P Y μσ≤=≤-=；（ii ）由第一问知()()98020.02275P Y P Y μσ≤=≤-=，庞加莱计算25个面包质量的平均值为978.72g ，978.72980<，而0.022750.05<，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由；（2）设取出黑色面包个数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,则()143154530265287140p ξ==⨯⨯+⨯⨯=；()124135449122265287840p ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()121132732265287840p ξ==⨯⨯+⨯⨯=，故分布列为：ξ 01 2 p53140 44984073840其中数学期望()5344973119012140840840188E ξ=⨯+⨯+⨯= 21．如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(22,0)±，过椭圆1C 上一点P（2，－1）作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点A ，B ，直线P A 、PB 的倾斜角互补，直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，分别记交点为M ，N .(1)求直线AB 的斜率；(2)若直线AB 与双曲线2C 的左，右两支分别交于Q ，R ，求NQNR的取值范围. 【答案】(1)12-(2)【分析】(1)先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解A ，B 坐标，直接计算直线AB 斜率即可.(2)联立直线与双曲线的方程，利用求根公式表示出Q ，R 的坐标，化简NQ NR 的表达式，整理求出NQNR的取值范围即可得出结果.【详解】（1）由题椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，顶点(±，可得a =又因为点(2,1)P -在椭圆1C 上，即24118b +=，得22b =，所以椭圆方程为22182x y +=，设等轴双曲线2C ：222x y m -=，0m >， 由题意等轴双曲线2C的顶点为(±，可得2=8m ，所以双曲线2C 的方程为：228x y -=， 因为直线P A 、PB 的倾斜角互补，且A ，B 是不同的点，所以直线P A 、PB 都必须有斜率，设直线PA 方程为(2)1y k x =--，联立22(2)1182y k x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(14)(168)161640k x k k x k k +-+++-=，A 和P 点横坐标即为方程两个根，可得221681+4A P k k x x k ++=，因为=2P x ，所以22882=14A k k x k +-+，代入直线PA 可得2244114A k k y k --=+，即 2222882441(,)1414k k k k A k k +---++，又因为直线P A 、PB 的倾斜角互补，将k 换成k -，可得2222882441(,)1414k k k k B k k --+-++，两点求斜率可得出12AB k =-所以直线AB 的斜率为12-（2）由(1)可设直线AB 的方程：12y x n =-+，又因为直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，则0n >，联立方程组2212182y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2224480x nx n -+-=，22Δ168(48)0n n =-->，解得02n <<. 联立直线AB 和双曲线方程221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得22344320x nx n +--=，利用求根公式可得x =，由题意可知Q NQ x =，R NR x =，所以1Q R x NQ NR x ===， 又因为204n <<，所以2632n >，则11>，即0<<1NQ NR << 所以NQ NR的取值范围为 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与圆锥曲线题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去一个未知数建立一元二次方程， 然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况. 22．已知函数()2sin ,R f x x ax a =-∈.(1)当1a =时，求()()ln(1)g x f x x =-+在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；(2)证明：11111sin sin sin sinln (12342n n n +++++>>且*n ∈N ）. 【答案】(1)0 (2)证明详见解析【分析】（1）利用导数判断出()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，从而求得最小值.（2）先证得()sin ln 1x x >+在区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，进而证得要证明的不等式成立.【详解】（1）()()π2sin ln 106g x x x x x ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭，()12cos 11g x x x '=--+，()00g '=，令()()()()21π12cos 10,2sin ,01161u x x x u x x u x x ⎛⎫''=--≤≤=-+= ⎪+⎝⎭+， 令()()()()231π22sin 0,2cos 0611v x x x v x x x x ⎛⎫'=-+≤≤=--< ⎪⎝⎭++， 所以()v x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，即()u x '在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. ()2π1π10,0066π16u u u ⎛⎫⎛⎫'''=-+<⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00u x '=， 所以()u x 在区间()00,x 单调递增，在区间0π,6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，π110π616g ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭+，所以在区间π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0g x '>， 所以()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，最小值为()00g =. （2）由（1）可知()()()2sin ln 100g x x x x g =--+≥=在区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立（1π26<）， 所以()2sin ln 1x x x -≥+，对于函数()()1ln 102h x x x x ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭，()()100,1011x h h x x x '==-=>++， 所以()h x 在区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以当102x <<时，()0h x >，即()()ln 10,ln 1x x x x -+>>+， 所以()()()2sin ln 1ln 1ln 1x x x x x ≥++>+++，即()sin ln 1x x >+在区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 所以1111sin sin sin sin 234n ++++ 3413411ln ln ln ln ln 23232n n n n n +++⎛⎫>+++=⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：不等式证明的可考虑综合法以及分析法，本题第2小问是分析法.在导数运用的题目中，第一问的结论可能会用到第二问.特殊不等式（常见不等式）()ln 1x x >+等，可以在平时做题中积累，解答过程中需要利用导数进行简单的证明.当一次求导无法求得函数的单调性时，可考虑利用多次求导来进行求解.。

雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在x ∈Z ，220x x m ++ ”的否定是A.存在x ∈Z ，220x x m ++>B.不存在x ∈Z ，220x x m ++>C.任意x ∈Z ，220x x m ++ D.任意x ∈Z ，220x x m ++>2.若集合{}2341,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B ⋂等于A.{}1- B.{}1 C.{}1,1- D.∅3.已知奇函数()()22cos x x f x m x -=+⋅，则m =A.-1B.0C.1D.124.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是A.m l ⊥，m β⊂，l α⊥ B.m l ⊥，l αβ⋂=，m α⊂C.m l ，m α⊥，l β⊥ D.l α⊥，m l ，m β5.已知函数()()4cos (0)f x x ωϕω=+>图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则6f ϕπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.0B.2ϕC.4D.2ϕ6.已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线2:30l nx my m n +--=（m ，n ∈R ，220m n +≠）相交于点P ，则PM 的取值范围为A.1,1⎤-+⎦ B.1⎤-⎦C.1,1⎤-⎦D.1⎤⎦7.P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，120PF PF ⋅= ，点Q 在12F PF ∠的角平分线上，O 为原点，1OQ PF ，且OQ b =.则C 的离心率为 A.12B.33C.63D.328.设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ++++ ”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数()f x 满足()()22f x f x ππ+=-，()()0f x f x ππ++-=，并且当()0,x π∈时，()cos f x x =，则下列关于函数()f x 说法正确的是A.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭B.最小正周期2T π=C.()f x 的图象关于直线x π=对称D.()f x 的图象关于(),0π-对称11.若双曲线22:145x y C -=，1F ，2F 分别为左、右焦点，设点P 是在双曲线上且在第一象限的动点，点I 为12PF F △的内心，()0,4A ，则下列说法不正确的是A.双曲线C 的渐近线方程为045x y±=B.点I 的运动轨迹为双曲线的一部分C.若122PF PF =，12PI xPF yPF =+ ，则29y x -=D.不存在点P ，使得1PA PF +取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________.13.ABC △各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足1b ca c a b+++ ，则角A 的取值范围为________.14.对任意的*n ∈N ，不等式11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭（其中e 是自然对数的底）恒成立，则a 的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21332S a a =+，416a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b =，1222log log n nn n b a b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -，BC AD ，1AB BC ==，3AD =，点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2DE PE ==.（1）若F 为线段PE 的中点，求证：BF平面PCD ；（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()21ln 2f x x x ax =+-有两个极值点为1x ，()212x x x <，a ∈R .（1）当52a =时，求()()21f x f x -的值；（2）若21e x x （e 为自然对数的底数），求()()21f x f x -的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，H 为E 上任意一点，且HF 的最小值为1.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知P 为平面上一动点，且过P 能向E 作两条切线，切点为M ，N ，记直线PM ，PN ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足123112k k k +=.①求点P 的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为()0,(0)Q λλ>，半径为1的圆，使得过P 可以作圆Q 的两条切线1l ，2l ，切线1l ，2l 分别交抛物线E 于不同的两点()11,A s t ，()22,B s t 和点()33,C s t ，()44,D s t ，且1234s s s s 为定值？若存在，求圆Q 的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量1a ，2a ，3a ，…，n a（N n ∈且3n ），令123n n S a a a a =++++ ，如果存在{}()1,2,3,,p a p n ∈ ，使得p n p a S a - ，那么称p a是该向量组的“长向量”.（1）设(),2n a n x n =+，n ∈N 且0n >，若3a 是向量组1a ，2a ，3a的“长向量”，求实数x 的取值范围；（2）若sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ∈N 且0n >，向量组1a ，2a ，3a ，…，7a 是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a均是向量组1a，2a，3a的“长向量”，其中()1sin ,cos a x x =，()22cos ,2sin a x x =.设在平面直角坐标系中有一点列1P ，2P ，3P ，…，n P ，满足1P 为坐标原点，2P 为3a的位置向量的终点，且21k P +与2k P 关于点1P 对称，22k P +与21k P +（k ∈N 且0k >）关于点2P 对称，求10151016P P 的最小值.参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C【解析】集合{}i,1,1,i A =--，{}1,1B =-，{}1,1A B ⋂=-.故选C.3.A 【解析】()f x 是奇函数，()()22cos xxf x m x -=+⋅，()()()2222xx x x f x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =，()()122cos 0x x m x -∴++=，10m ∴+=，1m =-.故选A.4.D【解析】有可能出现α，β平行这种情况，故A 错误；会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；m l ，m α⊥，l βαβ⊥⇒ ，故C 错误；l α⊥，m l m α⇒⊥ ，又由m βαβ⇒⊥ ，故D 正确.故选D.5.C【解析】设()f x 的最小正周期为T ，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得12T =，则有212πω=，解得6πω=，所以()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.6.B 【解析】依题意，直线()()1:310l m x n y ---=恒过定点()3,1A ，直线()()2:130l n x m y -+-=恒过定点()1,3B ，显然直线12l l ⊥，因此，直线1l 与2l 交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：22(2)(2)2x y -+-=，圆心()2,2N ，半径2r =，而圆C 的圆心()0,0C ，半径11r =，如图：12NC r r =>+，两圆外离，由圆的几何性质得：12min1PM NC r r =--=，12max1PMNC r r =++=，所以PM 的取值范围为1⎤-⎦.故选B.7.C【解析】如图，设1PF m =，2PF n =，延长OQ 交2PF 于点A，由题意知1OQ PF ，O 为12F F 的中点，故A 为2PF 中点，又120PF PF ⋅= ，即12PF PF ⊥，则2QAP π∠=，又由点Q 在12F PF ∠的角平分线上得4QPA π∠=，则AQP △是等腰直角三角形，故有2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩化简得2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩即,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩代入2224m n c +=得222()()4a b a b c ++-=，即2222a b c +=，又222b ac =-，所以2223a c =，所以223e =，63e =.故选C.8.D 【解析】因为0i x =或1i x =，所以若1234513x x x x x ++++ ，则在()1,2,3,4,5i x i =中至少有一个1i x =，且不多于3个.所以可根据i x 中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为2315C 2N =⋅，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为3225C 2N =⋅，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为435C 2N =⋅，所以共有23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为422616-=，故A 正确；1070%7⨯=，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即353836.52+=，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为。

雅礼中学2025届高三月考试卷（二）数学得分：______本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21,A x x k k==-∈N，{}1,0,1,2,3B=-，则A B=（）A. {}1,3 B. {}0,1,3 C. {}1,1,3- D. {}1,0,1,2,3-2. 若复数()21i68iz-=+，则z z+=（）A. B.25C.35D.453. 设a，b是单位向量，则()2a b a b+-⋅最小值是（）A. 1-B. 0C.34D. 14已知()2cos23cos0αββ+-=，则()tan tanααβ+=（）A. 5B.15C. -5D.15-5. 巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X，且()2~30,2X N.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为0p，则0p的值约为（）（参考数据：若()2~,X Nμσ，有()0.683P Xμσμσ-<≤+≈，()220.954P Xμσμσ-<≤+≈，()330.997P Xμσμσ-<≤+≈）A. 0.977B. 0.9725C. 0.954D. 0.6836. 已知抛物线C：24x y=的焦点为F，过点F的直线与C相交于M，N两点，则122MF NF+的最小值为（）的.A.92B. 4C.72D. 37. 若x ，0y ≥，1x y +=+）A. ⎡⎣B. []1,2 C. 2⎤⎦D. 12⎡⎢⎣8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（ ）A. ()()()()23101111x xx x ++++ B. ()()()()11213110x x x x ++++ C. ()()()()()222222341011111x x x x x +++++ D. ()()()()22222232101111x x xx xxx xx++++++++++ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. (多选)下列选项中，正确的是（ ）A. 不等式220x x +->的解集为{|2x x <-或1}x >B. 不等式2112x x +≤-的解集为{|32}x x -≤<C. 不等式21x -≥的解集为{|13}x x ≤≤D. 设R x ∈，则“11x -<”是“405x x +<-”的充分不必要条件10. 如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（）A. 没有水部分始终呈棱柱形B. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值C. 随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行D. 当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值11. 已知奇函数()f x 在R 上单调递增，()()f x g x '=，()()g x f x '=，若()()()22f x f x g x =，则（ ）A. ()g x 的图象关于直线0x =对称B. ()()()222g x gx f x =+C. ()00g =或1D. ()()221gx f x -=第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 从14，13，12，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为m ，n ，记A =“log 0m n <”，则()P A =______.13. 如图，ABC V 中，6AB =，2AC BC =，D 为AB 中点，则tan BDC ∠的取值范围为______.14. 小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2a b -=，()sin sin sin 2A BA B +-=.（1）求c ；的（2）若ABC V 的内切圆在AB 上的切点为D ，求AD .16. 已知动圆P 过点()2,0A -且与圆B ：()22236x y -+=内切.（1）求动圆圆心P 轨迹E 的方程；（2）设动圆1C ：2221x y t +=，1C 与E 相交于,,,A B C D 四点，动圆2C ：()222212x y t t t +=≠与E 相交于,,,A B C D ''''四点.若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，求2212t t +的值.17. 为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18～64岁的市民数为随机变量X （2X ≥），且该市随机抽取的18～64岁的市民是达标成年人的概率为13，抽查结果相互独立.（1）求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；（2）若抽取的18～64岁的市民数X 不超过n 的概率大于13，求整数n 的最小值.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .19. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ满足：πx θα=+，其中α为常数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于2SR，S 为球面三角形面积，R 为球的半径）.的的（1）若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为π2，求此球面三角形内角和；（2）求α的值；（3）把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，试证明凸多面体欧拉示性数()ΩV E F χ=-+为定值，并求出()Ωχ.雅礼中学2025届高三月考试卷（二）数学命题人：周芳芳 张博 审题人：周芳芳 伊波得分：______本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21,A x x k k ==-∈N ，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （ ）A. {}1,3B. {}0,1,3 C. {}1,1,3- D. {}1,0,1,2,3-【答案】C 【解析】【分析】利用自然数集的含义描述集合A ，根据集合交集运算求解.【详解】根据题意，集合A 表示从1-开始的奇数的集合，即1,1,3,5,-L ，{}1,1,3A B ∴⋂=-.故选：C.2. 若复数()21i 68iz -=+，则z z +=（ ）A.B.25C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】利用复数的运算对复数z 化简，再求,z z ，即可求解.【详解】由()()()()()21i 2i 68i 1612i 43i 68i68i 68i 1002525z --⨯---====--++⨯-，则43i 2525z =-+，则15z z ===，因此25z z +=，故选：B.3. 设a，b 是单位向量，则()2a ba b +-⋅的最小值是（ ）A. 1-B. 0C.34D. 1【答案】D 【解析】【分析】设a，b 的夹角为[]0,πθ∈，则[]cos 1,1a b θ⋅=∈-r r ，结合数量积的运算律分析求解.【详解】设a ，b 的夹角为[]0,πθ∈，因为1==a b r r，则[]cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-r r r r ，可得()2222cos 1a b a b a b a b θ+-⋅=++⋅=+≥r r r r rr r r ，当且仅当cos 1θ=-时，等号成立，所以()2a ba b +-⋅的最小值是1.故选：D.4. 已知()2cos 23cos 0αββ+-=，则()tan tan ααβ+=（ ）A. 5 B.15C. -5D. 15-【答案】D 【解析】【分析】由角的变换()()2,αβααββαβα+=++=+-，利用余弦的和，差角公式和展开，从而可得答案.【详解】()2cos 23cos αββ+=，则()()2cos 3cos αβααβα++=+-则()()()()2cos cos 2sin sin 3cos cos 3sin sin ααβαβααβααβα+-+=+++，，即()()5sin sin cos cos αβααβα-+=+，所以()5tan tan 1αβα-+=，∴()1tan tan 5αβα+=-，故选：D5. 巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X ，且()2~30,2X N .记一天中旅客人数不少于26万人的概率为0p ，则0p 的值约为（ ）（参考数据：若()2~,X N μσ，有()0.683P X μσμσ-<≤+≈，()220.954P X μσμσ-<≤+≈，()330.997P X μσμσ-<≤+≈）A. 0.977B. 0.9725C. 0.954D. 0.683【答案】A 【解析】【分析】根据正态分布对称性求得答案.【详解】因为()230,2X N :，所以30μ=，2σ=，()26340.954P X ∴<≤=，根据正态曲线的对称性可得，()()()010.954262634340.9540.9772p P X P X P X -=≥=<≤+>=+=.故选：A.6. 已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线与C 相交于M ，N 两点，则122MF NF +的最小值为（ ）A.92B. 4C.72D. 3【答案】A 【解析】【分析】设过点F 的直线l 的方程为：1y kx =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出12y y 的值，再根据抛物线的定义知11MF y =+，21NF y =+，从而求出122MF NF +的最小值即可.【详解】由抛物线C 的方程为24x y =，焦点坐标为F (0,1)，设直线l 的方程为：()()11221,,,,y kx M x y N x y =+，联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，整理得2440x kx --=，则12124,4x x k x x +==-，故221212144x x y y =⋅=，又1112p MF y y =+=+，2212pNF y y =+=+，则()()121211155922112222222MF NF y y y y +=+++=++≥+=，当且仅当121,22y y ==时等号成立，故122MF NF +的最小值为92.故选：A.7. 若x ，0y ≥，1x y +=+）A. ⎡⎣B. []1,2 C. 2⎤⎦D. 12⎡⎢⎣【答案】B 【解析】【分析】三角换元后结合辅助角公式和正弦函数的值域求解即可；【详解】因为1x y +=，设22cos ,sin x y a a ==，又由x ，0y ≥，不妨取π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πsin 2sin 3a a a æöç÷=+=+ç÷èø，因为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π,336a éù+Îêúêúëû，所以[]π2sin 1,23a æöç÷+Îç÷èø，的取值范围为[]1,2，故选：B.8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（ ）A. ()()()()23101111x xx x ++++ B. ()()()()11213110x x x x ++++ C. ()()()()()222222341011111x x x x x +++++ D. ()()()()22222232101111x x x x x x x x x ++++++++++ 【答案】C 【解析】【分析】根据选的砝码个数可以分为一个砝码，两个砝码，三个砝码，四个砝码，五个砝码五种情况可求得m ，在分析各个选项9x 的系数，即可求解.【详解】一个砝码有，9一种情况，12C 2=种情况，两个砝码有1,8，2,7，36，，4,5几种情况1122C C 416⨯=种三个砝码有，1,1,7，1,2,6，1,3,5，1,4,4，2,2,5，2,3,4几种情况111122223C 3C C C 30⨯+⨯=种四个砝码有，1,1,2,5，1,1,3,4，1,2,2,4，1,2,3,3，11224C C 16⨯=种，五个砝码有，1,1,2,2,3，12C 2=种，总计66m =种.对A ，选项9x 系数为8，故不符合，所以A 错误；对B ，9x 的系数是选9个带x 的，其他的1个括号选常数项，可得910C 1066=>，故B 错误；对C ，()()()()()222222341011111x x x x x +++++ ()()()()()()()()()()23410234101111111111x x x x x x x x x x =++++++++++ 9x 系数为9x 单独组成，其他为常数，则有12C 2=种，系数为29x 有两项组成，系数为x 与8x 组成，其他为常数，1122C C 4⋅=，系数为4，9x 系数为2x 与7x 组成，其他为常数，1122C C 4⋅=，系数为4，9x 系数为3x 与6x 组成，其他为常数， 1122C C 4⋅=，系数为4，9x 系数4x 与5x 组成，其他为常数， 1122C C 4⋅=，系数为4，同理9x 由三项组成7,,x x x ，26,,x x x ，35,,x x x ，44,,x x x ，225,,x x x ，234,,x x x 几种情况，其他项为为常数，则系数为111122223C 3C C C 30⨯+⨯=同理9x 由四项组成25,,,x x x x ，34,,,x x x x ，224,,,x x x x ，233,,,x x x x 几种情况，其他常数，则系数11224C C 16⨯=，同理9x 由五项组成223,,,,x x x x x 其他项为常数，则系数为12C 2=，综上9x 系数为66m =，故C 正确；对D ，()()()()22222232101111x x x x xxx xx++++++++++ ()()()()2232101111x x x x x x x x x =++++++++++⨯()()()()2232101111x x x x x x x x x ++++++++++ ，5x 系数直接有5x 一项，其他是常数项，可有162C 12⨯=种情况，系数为12，5x 有x 与4x 组成，其他是常数项，可有11962C C 10860⋅=>,故D 错误.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. (多选)下列选项中，正确的是（ ）A. 不等式220x x +->的解集为{|2x x <-或1}x >B. 不等式2112x x +≤-的解集为{|32}x x -≤<C. 不等式21x -≥的解集为{|13}x x ≤≤D. 设R x ∈，则“11x -<”是“405x x +<-”的充分不必要条件【答案】ABD 【解析】【分析】解出各选项中的不等式后可判断．【详解】A 选项，220(1)(2)02x x x x x +->⇔-+>⇔<-或1x >，A 正确；B 选项，(3)(2)02121311003220222x x x x x x x x x x +-≤⎧+++≤⇔-≤⇔≤⇔⇔-≤<⎨-≠---⎩，B 正确；为C 选项，2121x x -≥⇔-≥或21x -≤-，即3x ≥或1x ≤，C 错误；D 选项，1102x x -<⇔<<，()()40450455x x x x x +<⇔+-<⇔-<<-，而{|02}x x <<是{|45}x x -<<的真子集，D 正确．故选：ABD ．10. 如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（）A. 没有水的部分始终呈棱柱形B. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值C. 随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行D. 当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值【答案】AD 【解析】【分析】想象容器倾斜过程中，水面形状（注意AB 始终在桌面上），可得结论．【详解】由于AB 始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A 正确；图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错；图（3）中11A C 与水面就不平行，C 错；图（3）中，水体积不变，因此AEH △面积不变，从而AE AH ⋅为定值，D 正确．故选：AD ．【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．11. 已知奇函数()f x 在R 上单调递增，()()f x g x '=，()()g x f x '=，若()()()22f x f x g x =，则的（ ）A. ()g x 的图象关于直线0x =对称B. ()()()222g x gx f x =+C. ()00g =或1D. ()()221gx f x -=【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的奇偶性，结合题中的条件对抽象函数求导可以得到()()0f x f x ''--=，()()()()()2222f x f x g x f x g x '''=+，再结合选项进行判断即可.【详解】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，则()00f =，()()0f x f x +-=，则()()0f x f x ''--=，所以()()0g x g x --=，即()g x 为偶函数，因此关于直线0x =对称，故A 正确；对于B ，由()()()22f x f x g x =，则两边同时求导得：()()()()()2222f x f x g x f x g x '''=+，即()()()222g x g x f x =+，故B 正确；由()()()()0g x f x f x g x -=，则()()()()220g x g x f x f x -'='，即()()220g x f x ''⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦，即()()220g x f x '⎡⎤-=⎣⎦，则()()22gx f x C -=（C 为常数），设()()()22h x g x f x C =-=（C 为常数），对于C ，由()()()222g x gx f x =+，则()()()22000g g f =+，即()()0010g g ⎡⎤-=⎣⎦，解得()00g =或()01g =，当()00g =，则()()()220000h gf =-=，则()()()220h xg x f x =-=，即()()f x g x =±，又()g x 为偶函数，则()f x 即是奇函数也是偶函数，与()f x 在R 上单调递增矛盾，因此()00g =不符合题意，则()01g =，故C 错误；对于D ，当()01g =时，则()()()220001h gf =-=，则()()()221h xg x f x =-=，即()()221g x f x -=，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：奇偶函数的性质，及对抽象函数求导，比如()()()22f x f x g x =，求导可以得到()()()()()2222f x f x g x f x g x '''=+，再结合()()f x g x '=，()()g x f x '=，灵活变化，必要时可以对其进行赋值.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 从14，13，12，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为m ，n ，记A =“log 0m n <”，则()P A =______.【答案】1528【解析】【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果.【详解】因为log 0m n <，所以01,1m n <<>或1,01m n ><<，从111,,,2,3,4,6,9432中任取两个不同的数，共可得到28A 56=取法，其中对数值为负数的有11113553A A A A 30+=个，所以()30155628P A ==.故答案：1528.13. 如图，ABC V 中，6AB =，2AC BC =，D 为AB 中点，则tan BDC ∠的取值范围为______.【答案】40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标为系，结合题中条件确定tan yBDC x∠=的范围即可.【详解】以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()3,0A -，()0,0D ，()3,0B ，设(),C x y ，又2AC BC =，则C 在第一象限或者第四象限，结合对称性，不妨设C 在第一象限，=，整理得()22516x y -+=且0y >，又tan yBDC x∠=，结合图象知，tan 0BDC ∠>，则22222210911tan 9101y x x BDC x x x x -+-⎛⎫∠===-+- ⎪⎝⎭，当159x =时，2tan BDC ∠取最大值为169，则40tan 3BDC <∠≤，即tan BDC ∠的取值范围为40,3⎛⎤⎥⎝⎦，故答案为：40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.14. 小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为______.【答案】4【解析】【分析】分黑球和白球个数为()1,10，()2,9，()3,8，()4,7，()5,6进行讨论，若小方有必胜策略，重点在于小方取完后盒中球的情况为()1,2或()2,1时，则小方必胜.【详解】设黑球数为m ，白球数为n ，由11+=m n ，m n <，则(),m n 可能有以下几种情况：的①()1,10，小军可先手在白盒子中取8颗球，此时两盒球数为()1,2，则小方必不可能全部取完，小方后手取球后可能为(0,2)，(0,1)，()1,1，(1,0)，此时无论何种情况小军都可全部取完，故小军有必定获胜的策略，不符合题意；②()2,9，小军可先手在白盒子中取8颗球，此时两盒球数为(2,1)，同①进行分析可知，小军有必定获胜的策略，不符合题意；③()3,8，小军可先手在白盒子中取3颗球，此时两盒球数为()3,5，小方取球后，若两盒中球数一样或有一盒取空，则小军可全部取完，小军必胜；若两盒中球数不一样，且均不为0，则一定是以下三种情况之一：（1）两盒球数为()3,4；（2）有一盒中只有一个球，另一盒中多于两个球，即()1,3，()3,1，()1,5；（3）有一盒中有两个球，另一盒中多于两个球，即()2,4，()3,2，()2,5；无论为哪种情况，小军都可将其取为()1,2或(2,1)，知此时小军必胜，不符合题意；④()4,7，若小军只从白盒中取球，则两盒球数为()4,1，()4,2，()4,3时，由③的推理过程知，小方必胜；符合题意.若两盒球数为()4,6时，小方可将球数转为()3,5，知小方必胜；若两盒球数为()4,5时，小方可将球数转为()1,2，知小方必胜；若两盒球数为()4,4时，知小方必胜若小军从黑盒中取出了球，则黑盒中球数3≤，白盒中球数-黑盒中球数3≥，从而由③推理过程知小方必胜；⑤()5,6，小军可将球数转化为()1,2，小军必胜，不符合题意；因此小方有必胜策略，则黑盒中球数为4，故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于小方怎样将盒中的球变为()1,2或()2,1，则小方必胜.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2a b -=，()sin sin sin 2A BA B +-=.（1）求c ；（2）若ABC V 的内切圆在AB 上的切点为D ，求AD .【答案】（1）4 （2）1【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对()sin sin sin 2A BA B +-=进行边化角，再借助2a b -=即可求出c 的值；（2）利用内切圆的性质可得,,AD AM BD BN CM CN ===，再结合4,2c a b =-=，即可求出AD 的值.【小问1详解】由()sin sin sin 2A BA B +-=，则2sin cos 2cos sin sin sin A B A B A B -=+，整理得：()()sin 2cos 1sin 12cos A B B A -=+，则角化边可得：222222211222a c b b c a a b ac bc ⎛⎫⎛⎫+-+-⨯-=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：()2c a b =-，又2a b -=，因此可得4c =.【小问2详解】由（1）知4,2c a b =-=，设ABC V 的内切圆在,AC BC 上的切点为,M N ，则,,AD AM BD BN CM CN ===,则4c AB AD BD AM BN ===+=+，()()2a b BC AC BN CN AM CM BN AM -=-=+-+=-=，因此可得1AM =，即1AD =.16. 已知动圆P 过点()2,0A -且与圆B ：()22236x y -+=内切.（1）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）设动圆1C ：2221x y t +=，1C 与E 相交于,,,A B C D 四点，动圆2C ：()222212x y t t t +=≠与E 相交于,,,A B C D ''''四点.若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，求2212t t +的值.【答案】（1）22195x y +=（2）14【解析】【分析】（1）设动圆半径为r ，根据题意可以得到64PA PB AB +=>=，利用椭圆的定义知动圆圆心P 的轨迹E 是以,A B 为焦点的椭圆，从而求出动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）设()22,,(,)A x y A x y '，由矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，得112244x y x y =，再根据,A A '在椭圆上，从而求出所以22129x x +=， 22125y y +=，即可求出2212t t +的值.【小问1详解】设动圆半径为r ，则PA r =，6B PB r r r =-=-（内切），64PA PB AB ∴+=>=，所以点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆．623a a ∴=⇒=，242AB c c ==⇒=，2225b a c ∴=-=．则动圆圆心P 的轨迹E 的方程为：22195x y +=．【小问2详解】设()22,,(,)A x y A x y '，由矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，得112244x y x y =，故22221122x y x y =，因为点A ，A '均在椭圆上，所以，22221212515199x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：()()2222121290x x x x ⎡⎤--+=⎣⎦，由12t t ≠，知12x x ≠，所以22129x x +=，同理可得22125y y += ，因此2222221211229514t t x y x y +=+++=+=.17. 为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18～64岁的市民数为随机变量X （2X ≥），且该市随机抽取的18～64岁的市民是达标成年人的概率为13，抽查结果相互独立.（1）求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；（2）若抽取的18～64岁的市民数X 不超过n 的概率大于13，求整数n 的最小值.【答案】（1）32243（2）4【解析】【分析】（1）依题意，可判断随机变量()2X X ≥服从二项分布，利用概率公式计算即得；（2）由题意，列出随机变量()2X X ≥的分布列，则得22222211123111212121C C C 33333333n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯>⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，利用错位相减法求和将其转化成()226243n n -⎛⎫>+⨯ ⎪⎝⎭，判断数列()22243n n a n -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭的单调性，代值验证即得整数n 的最小值.【小问1详解】根据题意，某天采访刚好到第五位可停止当天采访，即采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人，所以随机变量()2X X ≥服从二项分布，所以某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率为31412132C 333243⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【小问2详解】依题意，随机变量()2X X ≥服从二项分布，则所以22222211123111212121C C C 33333333n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，化简得()2212221123193333n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++-⨯>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，即()2222212313333n n -⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，记()222221231333n S n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ①，则()23122222123133333n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ②，由①-②，可得()221122221133333n n S n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，即()1121123123313n n S n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-- ⎪⎝⎭-，解得()229243n S n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，由此可得，()2292433n n -⎛⎫-+⨯> ⎪⎝⎭，即()226243n n -⎛⎫>+⨯ ⎪⎝⎭，设()22243n n a n -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，()*2,Nn n ≥∈，因为()()1122262631362243n n n n n a n a n n -+-⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭==<+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭，可得数列{}n a 是递减数列，又322010633a =⨯=>，2421612633a ⎛⎫=⨯=< ⎪⎝⎭，所以整数n 的最小值为4.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e 0x x x λ--≤，整理得212ln xx xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x ---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ满足：πx θα=+，其中α为常数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于2SR，S 为球面三角形面积，R 为球的半径）.（1）若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为π2，求此球面三角形内角和；（2）求α的值；（3）把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，试证明凸多面体欧拉示性数()ΩV E F χ=-+为定值，并求出()Ωχ.【答案】（1）3π2（2）1（3）证明见解析；()2χΩ=【解析】【分析】（1）由球面三角形边角定义，转化为大圆弧长可求圆心角，由球面三角形三条边长均为π2，得,,OA OB OC 两两垂直，从而得到面面垂直，进而求内角和可得；（2）将球面平均分割为8个全等的球面三角形，由特值代入公式πx θα=+待定α即可；（3）将球面分割为F 个球面多边形，再转化为球面三角形，借助球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ关系，利用所有分割后的球面三角形面积之和（用,,V E F 表示）即为球面面积建立等量关系求证即可．【小问1详解】如图，设球心为O ，球面三角形三个顶点分别为,,A B C ，由球面三角形三边长均为π2，由题意，即每个大圆弧长均为π2.又单位球面的球半径1R =，则球面三角形每条边所对圆心角为π2，所以在三棱锥A OBC -中，,,OA OB OC 两两垂直.由,OA OB OA OC ⊥⊥，OB OC O = ，且OB ⊂平面OBC ，OC ⊂平面OBC ，则OA ⊥平面OBC ，OA ⊂平面OAB ，故平面OAB ⊥平面OBC ，同理平面OAB ⊥平面OCA ，平面OCA ⊥平面OBC ，即球面三角形任意两条边所在的半平面构成的二面角均为π2，故球面三角形的3个角均为π2，从而此球面三角形内角和为3π2.【小问2详解】若将地球看作一个球体，在地球上零度经线和90 经线所在大圆与赤道所在大圆将球面平均分成8个全等的球面三角形，由（１）可知，每个球面三角形的3个角均为π2，且球面三角形内角和3π2θ=，从而每个球面三角形的面积为224ππ82R R S ==，则每个球面三角形的总曲率为2π2S x R ==，设()f x θ=，由题意()πf x x α=+，且α为常数，则有ππ3ππ222f α⎛⎫=+=⎪⎝⎭，从而1α=.【小问3详解】将多面体的每个面视作可以自由伸缩的橡皮膜，使膨胀为一个半径为R 的球，每个顶点均在球面上，每条边变为球面上的边，每个多边形变为球面上的多边形，且膨胀前后()V E F χ=-Ω+不变.不妨记球面仍为单位球面，半径1R =，对于任意一个球面k 边形，可用球面上的边分割成(2)k -个球面三角形，由（2）可知，1α=，则每个球面三角形的内角和2πππSx S Rθ=+=+=+．即每个内角和为θ的球面三角形面积为πθ-，记21k jj ϕθ-==∑，称为分割成(2)k -个球面三角形的球面k 边形的内角和．所以球面k 边形面积为(2)πk ϕ--.由已知凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，则可记球面上多边形,1,2,,i i F α= ，对每一个球面多边形i α，设其边数为i l ，内角和为i ϕ，面积为i S ，则()()1112ππ2πF F Fiiiii i i i S l l ϕϕ===⎡⎤=--=-+⎣⎦∑∑∑，由球面三角形角的定义可知，每个顶点处所有球面多边形的角之和为2π，顶点数为V ，从而所有球面多边形内角和为12πFii V ϕ==∑，又球面多边形每条边被重复计算2次，棱数为E ，故1π2πi i Fl E ==∑，则()1π2π2π2π2πFii i l V E F ϕ=-+=-+∑，又所有球面多边形面积之和214π4πi FiSR ===∑，故2π2π2π4πV E F -+=，故()2V E F χ=+Ω-=.【点睛】关键点点睛：解决本题关键在于转化化归思想的应用，一是理解球面三角形及边角的定义，将球面内角和问题转化多面体的二面角之和求解；二是将凸多面体膨胀为球面后，凸多面体欧拉示性数()V E F χ=-Ω+没有变化，从而将凸多面体问题转化为球面问题处理；三是利用分割法将球面面积转化为球面三角形的面积之和，从而建立等量关系求解2V E F -+=．。

雅礼中学2022届高三入学考试数 学得分：__________本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第I 卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x |lg(x －1)≤0}，N ＝{x ||x |＜2}，则M ∪N ＝A ．∞B ．(1，2)C ．(－2，2]D ．{－1，0，1，2} 【答案】C【考点】集合的运算与解对数不等式、绝对值不等式的【解析】由题意可知，M ＝(1，2]，N ＝(－2，2)，所以M ∪N ＝(－2，2]，故答案选C ． 2．已知复数z 满足z (1－i)＝(2＋i)i ，则|z |＝A ．1B ．2C ．52D ．102【答案】D【考点】复数的运算【解析】由题意可知，z ＝(2＋i)i 1－i ＝(2i －1)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝i －32，则|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝102，故答案选D ．3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1成的角为A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】D【考点】立体几何中求异面直线所成的角 【解析】法一：如图所示，连接BC 1，则∠PBC 1就是直线PB 与AD 1所成的平面角，易得PB ⊥PC 1，且BC 1＝2PC 1，所以∠PBC 1＝π6，故答案选D ．法二：以点D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，设AB ＝1，则B (1，1，0)，P (12，12，1) ，A (1，0，0)，D 1(0，0，1)，所以→PB ＝(12，12，－1)，→AD 1＝(－1，0，1)，设直线PB 与AD 1所成的角为θ，则cos θ＝|→PB ·→AD 1||→PB || →AD 1|＝3232×2＝32，所以θ＝π6，故答案选D ．4．把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin(x －π4)的图象，则f (x )＝ A ．sin(x 2－7π12) B ．sin(x 2＋π12)C ．sin(2x －7π12)D ．sin(2x ＋π12)【答案】B【考点】三角函数的图象与性质：图象变换 【解析】法一：函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝f (2x )的图象，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，应当得到y ＝f [2(x －π3)]的图象，根据已知得到了函数y ＝sin(x －π4)的图象，所以f [2(x －π3]＝sin(x －π4)，令t ＝2(x －π3)，则x ＝t 2＋π3，x －π4＝t 4＋π12，所以f (t )＝sin(t 2＋π12)，所以f (x )＝sin(x 2＋π12)；法二：由已知的函数y ＝sin(x －π4)逆向变换，第一步：向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin(x ＋π3－π4)＝sin(x ＋π12)的图象；第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(x 2＋π12)的图象，即为y ＝f (x )的图象，所以f (x )＝sin(x 2＋π12)．故答案选B ．5．已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为A ．72 B ．132C ．7D ．13 【答案】A【考点】圆锥曲线中双曲线的几何性质应用：求离心率 【解析】法一：由题意，得|PF 1|－|PF 2|＝2|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝＝3a ，|PF 2|＝a ．在△PF 1F 2中，由余弦定理，可a 2＋9a 2－4c 22a ×3a ＝12，所以c 2a 2＝74，所以双曲线C 的离心率为72.故答案选A ．法二：设|PF 2|＝m ，则|PF 1}＝3|PF 2|＝3m ．因为P 为双曲线C 上一点，所以|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝m ＋2a ，所以m ＝a ，即|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ．在△PF 1F 2中，由余弦定理得，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，则9a 2＋a 2－3a 2－3a 2＝4c 2，解得c a ＝72．6．若cos(α－π4)＝35，sin2α＝A ．2425B ．－725C ．－2425D ．725【答案】B【考点】三角恒等变换【解析】由题意可知，sin2α＝cos(2α－π2)＝cos[2(α－π4)]＝2×(35)2－1＝－725，故答案选B ．7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三3学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种 【答案】B【考点】排列组合问题【解析】由题意可知，三年修完四门]课程，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，1，3或0，2，2．①若是1，1，2，则先将4门学科分成三组C 14C 13C 22A 22种不同方式，再分配到三个学年共有A 33种不同分配方式，由乘法原理可得共有C 14C 13C 22A 22·A 33＝36种；②若是0，1，3，则先将4门学科分成三组共C 14C 33种不同方式，再分配到三个学年共有A 33种不同分配方式，由乘法原理可得共C 14C 33·A 33＝24种；③若是0，2，2，则先将4门学科分成三组C 24 C 22A 22不同方式，再分配到三个学年共有A 33种不同分配方式，由乘法原理可得共有C 24 C 22A 22·A 33＝18种．所以每位同学的不同选修方式有36＋24＋18＝78种．故答案选B ．8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (2－x )＝f (x )，数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋2n(n ∈N*)，则f (a 22)＝A ．0B ．－1C ．21D ．22 【答案】A【考点】函数的性质综合、数列求通项公式【解析】由题意可知，因为a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋2n (n ∈N*)，所以a n ＋1n ＋1＝a n n ＋2n (n ＋1)，通过累加法可得：a n n ＝a 11＋2(1－12＋12－13－13－13＋…＋1n －1－1n )＝－1＋2－2n ＝1＝2n ，所以a n ＝n －2，所以a 22＝20，又f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (2－x )＝f (x )，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，所以周期T ＝4，由f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以f (a 22)＝f (20)＝f (0)＝0，故答案选A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|b －2a |＝5，则下列结论正确的是A ．a ⊥bB ．|a ＋b |＝2C ．|a －b |＝ 2D ．<a ，b >＝60° 【答案】AC【考点】平面向量的综合应用：垂直、模、夹角问题【解析】由题意可知，对于选项A ，因为|b －2a |＝5，所以(b －2a )2＝b 2＋4a 2－4a ·b ＝5，又|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b ，所以选项A 正确；对于选项B ，(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2，所以|a ＋b |＝2，所以选项B 错误；对于选项C ，(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，所以|a －b |＝2，所以选项C 正确；对于选项D ，因为a ⊥b ，所以<a ，b >＝90°，所以选项D 错误；综上，答案选AC ． 10．下列命题为真命题的是A ．对具有线性相关关系的变量x ，y ，有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，其线性回归方程是︿y ＝－2︿bx ＋1，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝3(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 10)＝9，则实数︿b 的值是1118B ．从数字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2个数，则这2个数的和为奇数的概率为47C ．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为4，则数据2x 1＋30，2x 2＋30，…，2x n ＋30的标准差是4D ．已知随机变量X ~N (1，σ2)，若P (X ＜－1)＝0.3，则P (X ＜2)＝0.7 【答案】BC【考点】回归直线的方程、随机事件的概率、方差与标准差、正态分布的应用【解析】由题意，对于选项A ，由已知条件可得―x ＝910，―y ＝310，所以回归直线过样本中心点(910，310)，将其代入线性回归方程︿y ＝－2︿bx ＋1中，得－95︿b ＋1＝310，解得︿b ＝718，所以选项A 错误；对于选项B ，若任取2个数，使得这2个数的和为奇数，则这2个数一个为奇数，一个为偶数，即所求的概率为P ＝C 14C 14C 28＝47，所以选项B 正确；对于选项C ，可设离散型随机变量X 的取值为x 1，x 2，…，x n ，则随机变量2X ＋30的取值为2x 1＋30，2x 2＋30，…，2x n ＋30，由已知条件可得D (X )＝4，则D (2X ＋30)＝4D (X )＝16，所以数据2x 1＋30，2x 2＋30，…，2x n ＋30的标准差为4，所以选项C 正确；对于选项D ，由随机变量X ~N (1，σ2)，知μ＝1，由正态分布密度曲线的轴对称性可知P (X ＞3)＝P (X ＜－1)＝0.3，则P (X ≤3)＝0.7，所以，P (X ＜2)＜P (X ≤3)＝0.7，故选项D 错误；综上，答案选BC ． 11．以下四个命题表述正确的是A ．直线(3＋m )x ＋4y －3＋3m ＝0(m ∈R )恒过定点(－3，－3)B ．圆x 2＋y 2＝4上有且仅有3个点到直线l ：x －y ＋2＝0的距离都等于1C ．曲线C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0与曲线C 2：x 2＋y 2－4x －8y ＋m ＝0恰有三条公切线，则m ＝4D ．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，点P 为直线x 4＋y 2＝1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点(1，2) 【答案】BCD【考点】直线与圆的综合应用：定点问题、圆上的点到直线的距离、两圆的公切线、圆的切线等综合问题【解析】由题意，对于选项A ，直线(3＋m )x ＋4y －3＋3m ＝0(m ∈R)，可化为m (x ＋3)＋3x ＋4y －3＝0，由⎩⎨⎧x ＋3＝0，3x ＋4y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝3，即直线恒过定点(－3，3)，故选项A 错误；对于选项B ，圆心C (0，0)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝1，圆的半径r ＝2，故圆C 上有3个点到直线l 的距离为1，故选项B 正确；对于选项C ，曲线C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0，即化为(x ＋1)2＋y 2＝1，曲C 2：x 2＋y 2－4x －8y ＋m ＝0，即化为(x －2)2＋(y －4)2＝20－m ，则该两圆心的距离为(－1－2)2＋(0－4)2＝5＝1＋20－m ，解得m ＝4，故选项C 正确；对于选项D ，因为点P 为直线x 4＋y 2＝1上一动点，可设点P (4－2t ，t )，圆C ：x 2＋y 2＝4的圆心为C (0，0)，以线段PC 为直径的圆Q 的方程为(x －4＋2t )x ＋(y －t )y ＝0，即化为x 2＋(2t －4)x ＋y 2－ty ＝0，故圆Q 与圆C 的公共弦方程为x 2＋(2t －4)x ＋y 2－ty －(x 2＋y 2)＝0－4，即(2t －4)x －ty ＋4＝0，此直线即为直线AB ，经验证点(1，2)在直线(2t －4)x －ty ＋4＝0上，即直线AB 经过定点(1，2)，故选项D 正确；综上，答案选BCD ．12．在正方体AC 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F 与平面D 1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是A ．点F 的轨迹是一条线段B ．A 1F 与BE 是异面直线C ．A 1FD 1E 不可能平行 D ．三棱锥F －ABD 1的体积为定值 【答案】ABD【考点】立体几何的综合应用：点的轨迹判断、位置关系判断、几何体的体积等【解析】如图，分别找线段BB 1，B 1C 1的中点分别为M ，N ，连接A 1M ，MN ，A 1N ，因为正方体AC 1，易得MN ∥AD 1，MN ⊄面D 1AE ，AD 1⊂面D 1AE ，所以MN ∥面D 1AE ，又A 1M ∥DE ，A 1M ⊄面D 1AE ，D 1E ⊂面D 1AE ，所以A 1M ∥D 1AE ，又MN ∩A 1M ＝M ，所以平面A 1MN ∥平面D 1AE ，因为A 1F 与平面D 1AE 的垂线垂直，又A 1F ⊄ D 1AE ，所以直线A 1F 与平面D 1AE 平行，所以又A 1F ⊂面A 1MN ，又点F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且面A 1MN ∩面BCC 1B 1＝MN ，所以点F 的轨迹为线段MN ，所以选项A 正确；对于选项B ，由图可知，AF 与BE 是异面直线，故选项B 正确；对于选项C ，当点F 与点M 重合时，直线A 1F 与直线D 1E 平行，故选项C 错误；对于选项D ，因为MN ∥AD 1，MN ⊄面ABD 1，AD 1⊂面ABD 1，所以MN ∥面ABD 1，则点F 到平面ABD 1的距离是定值，又三角形ABD 1的面积是定值，所以三棱锥F －ABD 1的体积为定值，故选项D 正确；综上，答案选ABD ．第II 卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(x －1)2，x ≤1，log 12x ，x ＞1，f (x 0)＝－2，则x 0＝ ．【答案】4【考点】分段函数的函数值【解析】由题意可知，①当x 0≤1时，f (x 0)＝(x 0－1)2＝－2，无解，故舍去；②当x 0＞1时，f (x 0)＝log 12()x 0＝－2，解得x 0＝4，满足题意；故答案为4．14．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为 ． 【答案】2【考点】导数的几何意义与平行线间的距离求最值问题【解析】由题意可得，y ′＝2x －1x ，令y ′＝1，得方程2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12(舍去)或x ＝1，故与直线y ＝x －2平行且与曲y ＝x 2－ln x 相切的直线的切点坐标为(1，1)，该点到直线y ＝x －2的距离d ＝2即为所求，故答案为2．15．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为FN 的中点，则|FN |＝ ．【答案】6【考点】圆锥曲线中抛物线的几何性质应用【解析】由题意，如图，过M 、N 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M 1，N 1，设抛物线的准线与x 轴的交点为F 1，则|NN 1|＝|OF 1|＝2，|FF 1|＝4．因为M 为FN 的中点，所以|MM 1|＝3，由抛物线的定义知|FM |＝|MM 1|＝3，则|FN |＝2|FM |＝6．16．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k (x k ，y k )处，其中x 1＝1，y 1＝1，当k ≥2时，⎩⎨⎧x k ＝x k －1＋1－5⎣⎡⎦⎤T⎝⎛⎭⎫k －15－T ⎝⎛⎭⎫k －25，y k＝yk －1＋T ⎝⎛⎭⎫k －15－T ⎝⎛⎭⎫k －25.T (a )表示非负实数a 的整数部分，例如T (2.6)＝2，T (0.2)＝0．按此方案， (i)第6棵树种植点的坐标应为_______； (ii)第2008棵树种植点的坐标应为______． 【答案】(1，2)；(3，402)【考点】双空题：新情景问题下的数列问题【解析】法一：由题意，T (k －15)－T (k －25)组成的数列为：*，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…(k ＝1，2，3，4，…)，一一代入计算得，数列{x n }为：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5…，数列{y n }为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4…，因此，第6棵树种在(1，2)，第2008棵树种在(3，402)． 法二：由递推公式依次计算得各棵树的坐标如下：(1，2)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)， (1，2)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)， (1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，⋮第6棵树的坐标为(1，2)．我们发现：若将每五棵树分成一组，则各组树坐标的纵坐标均相同(分别为1，2，3，…，且与组的序号相同)，横坐标分别为1，2，3，4，5．因20085＝401.6，所以2008在第402组的第3个数位置，因此其坐标为(3，402)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知数列{a n}满足⎩⎨⎧n 2a n ＋12＋12，为正奇数，2a n 2＋n2，n 为正偶数．(1)问数列{a n }是否为等差数列或等比数列?说明理由． (2)求证：数列{a 2n2n }是等差数列，并求数列{a 2n }的通项公式．【考点】证明等差或等比数列、求数列的通项公式 【解析】(1)由题意可知，a 1＝12a 1＋12＋12＝12a 1＋12，所以a 1＝1，a 2＝2a 22＋22＝2a 1＋1＝3，a 3＝32a 3＋12＋12＝32a 2＋12＝5，a 4＝2a 42＋42＝2a 2＋2＝8，因为a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 3－a 2≠a 4－a 3，所以数列{a n }不是等差数列． 又因为a 2a 1＝3，a 3a 2＝53，a 2a 1≠a 3a 2所以数列{a n }也不是等比数列．(2)法一：因为对任意正整数n ，a 2n ＋1＝2a 2n＋2n，a 2n ＋12n ＋1－a 2n 2n ＝12，a 22＝32，所以数列{a 2n 2n }是首项为32，公差为72的等差数列．从而对∀n ∈N *，a 2n 2n ＝32＋n －12，a 2n ＝(n ＋2)2n －1，所以数列{a 2n }的通项公式是a 2n ＝(n ＋2)2n －1( n ∈N *)．法二：因为对任意正整数n ，a 2n ＋1＝2a 2n ＋2n ，得a 2n ＋1－(n ＋3)2n ＝2[a 2n －(n ＋2)2n －1]，且a 21－(1＋2)21－1＝a 2－3＝0所以数列{a 2n －(n ＋2)2n －1}是每项均为0的常数列，从而对∀n ∈N *，a 2n ＝(n ＋2)2n －1，所以数列{a 2n }的通项公式是a 2n ＝(n ＋2)2n －1( n ∈N *)．∀n ∈N *，a 2n 2n ＝n ＋22，a 2n ＋12n ＋1－a 2n 2n ＝n ＋32－n ＋22，a 22＝32，所以数列{a 2n 2n }是首项为32，公差为12的等差数列．18．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋c ＝2b cos A ． (1)证明：B ＝2A ；(2)设D 为BC 边上的中点，点E 在AB 边上，满足→DE ·→CB ＝→DE ·→CA ，且b ＝3a ，四边形ACDE 的面积为1538，求线段CE 的长．【考点】解三角形与平面向量的数量积综合应用 【解析】(1)由正弦定理得：sin A ＋sin C ＝2sin B cos A ， 即sin A ＋sin(A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ， 即sin A ＝cos A sin B －sin A cos B ，则sin A ＝sin(B －A )， ∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B －A ，∴B ＝2A ，(2)由→DE ·→CB ＝→DE ·→CA ，可得→DE ·→AB ＝0，∴DE ⊥AB ， 所以由正弦定理可得，b a ＝sin B sin A ＝sin2A sin A ＝2sin A cos Asin A＝2cos A ，∴cos A ＝b 2a ＝3a 2a ＝32，∴A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴BE ＝DB cos B ＝14a ，而四边形ACDE 的面积S ＝S △ACD ＋S △AED ＝12b ×a 2＋12×7a 4×3a 4＝15332a 2，∴15332a 2＝1538，解得a ＝2，则由余弦定理得CE ＝BC 2＋BE 2－2BC ·BE cos60°＝4＋14－2×2×12 ×12＝132．19．(12分)如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，AA 1＝A 1B 1＝12AB ＝1，∠ABC ＝60°，AA 1⊥平面ABCD ．(1)若点M 是AD 的中点，求证：C 1M ⊥A 1C ；(2)棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角E －AD 1－D 的余弦值为13？若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．【考点】立体几何的位置关系判断、利用二面角求线段长度 【解析】(1)取BC 中点为Q ，连接AQ 、A 1C 、AC因为四边形ABCD 为菱形，则AB ＝BC ，又∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∵Q 为BC 的中点，则AQ ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴AQ ⊥AD ，由于AA 1⊥面ABCD ，则以点A 为坐标原点，以AQ 、AD 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图：则A (0，0，0)，A 1(0，0，1)，D 1(0，1，1)，Q (3，0，0)，C (3，1，0)，C 1(32，12，1)， M (0，1，0)，→C 1M ＝(－32，12，－1)，→A 1C ＝(3，1，－1)，所以→C 1M ·→A 1C ＝－32＋12＋(－1)2＝0，所以C 1M ⊥A 1C ，(2)假设点E 存在，设点E 的坐标为(3，λ，0)，其中－1≤λ≤1，→AE ＝(3，λ，0)，→AD 1＝(0，1，1)，设平面AD 1E 的一个法向量为→n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧→n ·→AE ＝0→n ·→AD 1＝0，即⎩⎨⎧3x ＋λy ＝0y ＋z ＝0，取y ＝－3，则x ＝λ，z ＝3，所以→n ＝(λ，－3，3)， 平面ADD 1的一个法向量为→m ＝(1，0，0)，所以，|cos<→m ，→n >|＝|→m ·→n ||→m |·|→n |＝|λ|λ2＋6＝13，解得λ＝32，又由于二面角E －AD 1－D 为锐角，由图可知，点E 在线段QC 上，所以λ＝32，即CE ＝1－32， 因此，棱BC 上存在一点E ，使得二面角E －AD 1－D 的余弦值13，此时CE ＝1－32．20．(12分)某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为12，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为12．(1)若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率；(2)现有两种购置方案，方案一：购置件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌(甲、乙两品牌轴承搭配使用)．试从性价比(即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比)的角度考虑，选择哪一种方案更实惠? 【考点】随机事件的概率分布 【解析】(1)电动机工作时间不少于4个月共有三种情况： ①装入两件甲品牌，概率为C 24C 26＝25；②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为4个月，概率为C 14C 12C 26×12＝415；③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为4个月，概率为C 22C 26×12×12＝160．所以电动机可工作时间不少于4个月的概率为P ＝25＋415＋160＝4160；(2)若采用方案一，设电动机可工作时间为X (单位：月)，则x 的可能取值为7、8 P (X ＝8)＝12×12＝14，P (X ＝7)＝1－P (X ＝8)＝34，所以，X 的分布列为∴E (X )＝7×34＋8×14＝294，它与购置轴承的成本之比为E (X )1000＋1000＝298000.若采用方案二，设两件乙品牌轴承的使用寿命之和为Y (单位：月)， 则Y 的可能取值为6、7、8，P (Y ＝6)＝12×12＝14，P (Y ＝7)＝2×12×12＝12，P (Y ＝8)＝12×12＝14.设甲品牌轴承的使用寿命为M (单位：月)，此时电动机可工作时间为Z (单位：月)，则Z 的可能取值为6、7、8， P (Z ＝6)＝P (Y ＝6)＝14，P (Z ＝7)＝P (M ＝7，Y ≥7)＋P (M ＝8，Y ＝7)＝12×34＋12×12＝58，P (Z ＝8)＝(M ＝Y ＝8)＝12×14＝18，所以，Z 的分布列为：所以E (Z )＝6×14＋7×58＋8×18＝558，它与购置轴承的成本之比为E (Z )1000＋400＋400＝11280，因为298000＜112880，所以从性价比的角度考虑，方案二更实惠．21．(12分)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距与椭圆x 23＋y 2＝1的焦距相等，且C 经过抛物线y ＝(x －1)2＋2的顶点．(1)求C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：x ＋ty ＋1＝0对称，O 为C 的对称中心，且△AOB 的面积为103，求k 的值． 【考点】圆锥曲线中椭圆与抛物线的几何性质应用、直线与椭圆的位置关系表示面积 【解析】(1)由题意：⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1a 2－b 2＝2解得：a 2＝4，b 2＝2，所以C 的方程为y 24＋x 22＝1；(2)因为直线y ＝kx ＋m 与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：x ＋ty ＋1＝0对称， 所以k ＝t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m y 24＋x 22＝1，可得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则∆＝8(2k 2＋4－m 2)＞0，x 0＝－km k 2＋2，y 0＝kx 0＋m ＝2m k 2＋2，因为P (x 0，y 0)在直线l ：x ＋ky ＋1＝0上，所以－km k 2＋2＋2kmk 2＋2＋1＝0， 即m ＝－(k ＋2k )，所以∆＝8(k 2－4k 2)＞0，即k 2＞2，所以|AB |＝k 2＋1Δk 2＋2＝22(k 2＋1)(k 2－2)(k 2＋1)， 则O 到直线AB 的距离d ＝|m |k 2＋1＝k 2＋2k 2()k 2＋1，所以S △AOB ＝12|AB |d ＝2(k 2－4)k 2＝103，解得：k 2＝3，k ＝±3．22．(12分)已知函数f (x )＝x ln x －12x 3＋a ，g (x )＝xe 1－x ＋2a －12x 3－x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若函数f (x )在(1e，1)上有零点，求a 的取值范围；(2)当x ≥1时，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】函数与导数：零点问题、恒成立问题 【解析】(1)f′(x )＝ln x ＋1－32x 2，设φ(x )＝f′(x )，则φ′(x )＝1x －3x ＝1－3x 2x ．当x ∈(0，33)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增；当x ∈(33，＋ )时，φ′(x )＜0，φ(x )递减． 所以φ(x )的最大值即φ(x )的极大值位φ(33)＝f′(33)＝1－ln32＜0， 所以f (x )在(0，＋∞)上递减，即在(1e，1)上递减，若函数f (x )在(1e ，1)上有零点，则f (1e )·f (1)＜0，则12e 3＋1e ＜a ＜12(2)f (x )≤g (x )，即x ln x －12x 3＋a ≤xe 1－x＋2a －12x 3－x ，化简e1－x－ln x ＋ax 2－a x －1≥0，设F (x )＝e 1－x －ln x ＋ax 2－a x－1(x ≥1)，F (1)＝0，F′(x )＝－e1－x－1x ＋2ax ＋ax2，F′(1)＝3a －2． (i)3a －2≥0，即a ≥23时，令h (x )＝F′(x )，h′(x )＝e 1－x＋ln x ＋2a (1－1x 3)＞0，所以F′(x )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以F′(x )≥F′(1)＝3a －2≥0，所以F (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，F (x )≥F (1)＝0恒成立，即f (x )≤g (x )恒成立． (ii) 3a －2＜0，即a ＜23时，若F′(x )在[1，＋∞)上无零点，则F′(x )＜0恒成立，所以F (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，所以F (x )＜F (1)＝0恒成立，即f (x )≤g (x )不成立； 若F′(x )有零点，设第1个零点为x 0，当x ∈(1，x 0)时F′(x )＜0，所以F (x )在区间(1，x 0)上单调递减，所以F (x )＜F (1)＝0，即f (x )≤g (x )在区间(1，x 0)上不成立． 综上所述，实数a 的取值范围为[23，＋∞)．。

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）数 学（时量120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}2|log 4M x x =<，{}|21N x x =≥，则M N ⋂=（ ）A. {}08x x ≤<B. 182xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}216x x ≤<D. 1162xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ） A. 3B. 2C. －2D. －33. 已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）A.B. 1C.D. 24. 函数sin exx xy =的图象大致为（ ）AB..C. D.5. 已知220x kx m +-<解集为()(),11t t -<-，则k m +的值为（ ） A. 1B. 2C. -1D. -26. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -38. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为 ）的A. 6πB. 9πC.31π4D. 21π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若2sin 23α=，则21cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B. 函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D. ()22tan 1tan xf x x =-的最小正周期为2π 10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A -组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11AC D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x以下结论正确的是的（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存极值点.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a -⋅-<，则下列选项正确的是（）A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=-=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则函数()()g x f x =的零点个数为______.15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ''，则20n n n y y ='=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）在四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，AB =13AA =，M 为AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离.18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin()sin()cos cos A B A C B C--=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N*+=+∈.（1）令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值． 21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22. 设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i ii A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-. 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}2|log 4M x x =<，{}|21N x x =≥，则M N ⋂=（ ）A. {}08x x ≤< B. 182xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}216x x ≤<D. 1162xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】直接解出集合,M N ，再求交集即可.【详解】{}{}2|log 4|016M x x x x =<=<<，1|2N x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则1162M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：D.2. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ） A. 3B. 2C. －2D. －3的【答案】A 【解析】【分析】由题得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，解方程组11+27516a d a d =⎧⎨+=⎩即得解.【详解】解：由等差数列性质可知，S 5＝152a a +×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7， 设等差数列的公差为d ， 所以11+27516a d a d =⎧⎨+=⎩，解之得3d =.故选：A.3. 已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，由韦达定理求出2z ，再由复数的模长公式求解即可.【详解】法一：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z +=， 所以()21221i 1i z z =-=-+=-，所以21i z =-=.法二：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z ⋅=， 所以21221i z z ==+，所以2221i 1i z ====++. 故选：C . 4. 函数sin exx xy =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===， 所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.5. 已知220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-，则k m +的值为（ ） A. 1 B. 2C. -1D. -2【答案】B 【解析】【分析】由题知=1x -为方程220x kx m +-=的一个根，由韦达定理即可得出答案. 【详解】因为220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-， 所以=1x -为方程220x kx m +-=的一个根， 所以2k m +=．故选:B ．6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可；【详解】设球的半径为R ，,tan10RAB AC == ，100tan10R BC =-=， 25250.760.985R R == 故选:B.7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==-=-.【详解】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x -，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-．故选:B ．8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为 ）A. 6πB. 9πC.31π4D. 21π【答案】B 【解析】【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE ==，AE DE ===，过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ， 设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==1R =，即1OM OF ==，则413AO =-=，故1sin 3OM EAF AO ∠== 设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ， 则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-， 又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =， 所以14a =， 模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ）A 若2sin 23α=，则21cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B. 函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.D. ()22tan 1tan xf x x =-的最小正周期为2π 【答案】AC 【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式可求得2cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，知A 正确； 根据三角函数平移变换可求得()2sin 2g x x =，知B 错误；利用三角恒等变换公式化简得到()f x 解析式，利用整体对应的方式可求得单调递增区间，知C 正确； 利用特殊值判断D 错误.【详解】对于A ，21cos 21sin 212cos 4226παπαα⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭，A 正确； 对于B ，()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 26f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()2sin 2g x x =，B 错误； 对于C ，()13sin 22sin 2sin 222226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭， 则由222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈得：36k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，()f x \的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，C 正确； 对于D ，()π002f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，无意义，∴2π不是函数的周期，D 错误. 故选：AC.10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A -组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11AC D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A 【答案】BD 【解析】【分析】根据空间线面关系，结合题中空间几何体，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于选项A ，若AD AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ， 但是D 不一定在平面ABC 上，所以A 不正确；对于选项B ，因为11//A C AC ，所以//AC 平面11AC D ， 平面11AC D ⋂平面ACD l =，所以//AC l ，所以B 正确； 对于选项C ，取ABC ∆的中心O ，111A B C ∆的中心1O ，1OO 的中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径R ==，所以外接球的表面积为22843R ππ=，所以C 不正确； 对于选项D ，该几何体的外接球即为三棱柱111ABC A B C -的外接球，1OO 的中点为该外接球的球心，该球心到平面11ACC A点D 到平面11ACC A 的最大距离为R =，所以D 正确. 故选：BD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x --=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x --，故()()0e e x xa b b a --+-=，即()()2e =xa b a b --，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误； 对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b -+-+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b -+-+++，因为e 0x >，e 0x ->，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确； 对于C ，()=e exxa f xb --'，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e 0=xxa xb f -->'恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e 0=x xa xb f --<'恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 单调函数，故C 正确；为对于D ，()2e e e ==e x xxxa ba b f x ---'，令()=0f x '得1=ln 2bx a，又0ab >， 若0,0a b >>， 当1,ln 2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<， 当1ln2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值. 所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a -⋅-<，则下列选项正确的是（）A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >【答案】AC 【解析】【分析】根据题意先判断出数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：对于A ：利用公比的定义直接判断；对于B ：由20231a <及前n 项和的定义即可判断；对于C ：前n 项积为n T 的定义即可判断；对于D ：先求出4045T 40452023a =，由20231a <即可判断.【详解】由()()20222023110a a -⋅-<可得：20221a -和20231a -异号，即202220231010a a ->⎧⎨-<⎩或202220231010a a -<⎧⎨->⎩. 而11a >，202220231a a >⋅，可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1.因为11a >，所有20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1. 对于A ：公比202320221a q a =<，因为11a >，所以11n n a a q -=为减函数，所以{}n a 为递减数列.故A 正确； 对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =-<，所以202220231S S +>.故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以2022T 是数列{}Tn 中的最大项.故C 正确； 对于D ：40451234045T a a a a =()()()240441111a a q a q a q = 404512340441a q +++= 4045202240451a q ⨯= ()404520221a q =40452023a =因为20231a <，所以404520231a <，即40451T <.故D 错误.故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=-=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .【答案】【解析】【分析】根据题意求得(1,1)a b λ+=+ ，结合向量的数量积的运算公式求得λ的值，得到a的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为(2,),(3,1)a b λ=-= ，可得(1,1)a b λ+=+，又因为()a b b +⊥，可得()(1,1)(3,1)310b b a λλ=+⋅=++=⋅+ ，解得4λ=-，所以(2,4)a =--，所以a ==故答案为：14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则函数()()g x f x =的零点个数为______. 【答案】3 【解析】【分析】令()0g x =得()f x =()f x，y =的大致图象，由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即可得出答案．【详解】令()0g x =得()f x =，可知函数()g x 的零点个数即为函数()f x与y =的交点个数，在同一直角坐标系中作出()f x，y =由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即函数()g x 有3个零点， 故答案为：3.15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.【解析】【分析】利用正方体的结构特征，判断平面α所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与直线1AA ，11A B ，11A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与平面α平行，由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边，所以其面积为26S ==.. 16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ''，则20n n n y y ='=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）【答案】914 【解析】【分析】根据题意可得1, 1.1n n n y n y '=+=，进而利用错位相减法运算求解. 【详解】由题意可知：1, 1.1n n n y n y '=+=， 则()2020119200011.11 1.12 1.120 1.121 1.1n nn n n yy n =='=+=⨯+⨯++⨯+⨯∑∑L ，可得2012202101.11 1.12 1.120 1.121 1.1n nn yy ='⨯=⨯+⨯++⨯+⨯∑L ， 两式相减可得：2120120212101 1.10.1 1.1 1.1 1.121 1.121 1.11 1.1n n n y y =-'-⨯=+++-⨯=-⨯-∑L 2121221 1.10.121 1.11 1.118.1491.40.10.10.1-+⨯⨯++====----，所以20914nn n yy ='=∑.故答案：914.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，AB =13AA =，M 为AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】为【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明； (2)利用等体积法求解. 【小问1详解】连接1BC 交1B C 于点N ，连接MN ， 则有N 为1BC 的中点，M 为AB 的中点， 所以1//AC MN ，且1AC ⊄平面1B CM ，MN ⊂平面1B CM ， 所以1//AC 平面1B CM . 【小问2详解】连接1AB ,因为2CA CB ==，所以C M A B ⊥,又因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以1AA CM ⊥，1AB AA A ⋂=,所以CM ⊥平面11ABB A , 又因为1MB ⊂平面11ABB A ,所以1CM MB ⊥,又222CA CB AB +=，所以ABC 是等腰直角三角形，112CM AB MB ====,所以1112CMB S CM MB =⋅=△1111222ACM ACB S S CA CB ==⨯⋅=△△, 设点A 到平面1B CM 的距离为d ，因为11A B CM B ACM V V --=,所以111133B CM ACM S d S AA ⨯⨯=⨯⨯ ,所以11ACM B CM S AA d S ⨯== .18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin()sin()cos cos A B A C B C--=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）2516. 【解析】【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可； （2）根据（1）中结论运用正弦定理得sin 2sin sin 12ba C R Ab A R === ，然后等量代换出2211a b+，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解. 【小问1详解】 证明：由题知sin()sin()cos cos A B A C B C--=，所以sin()cos sin()cos A B C A C B -=-，所以sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos A B C A B C A C B A C B -=-, 所以cos sin cos cos sin cos A B C A C B = 因为A 为锐角，即cos 0A ≠ ， 所以sin cos sin cos B C C B =， 所以tan tan =B C ， 所以B C =. 【小问2详解】 由（1）知：B C =， 所以sin sin B C =， 因为sin 1a C =，所以1sin C a=， 因为由正弦定理得：2sin ,sin 2b a R A B R==， 所以sin 2sin sin 12ba C R Ab A R=== , 所以1sin A b=， 因为2A B C C ππ=--=- ， 所以1sin sin 2A C b==， 所以222211sin sin 2a bC C+=+ 221cos 2(1cos 2)213cos 2cos 222CC C C -=+-=--+因为ABC 是锐角三角形，且B C =， 所以42C ππ<<，所以22C ππ<<，所以1cos 20C -<<，当1cos 24C =-时，2211a b +取最大值为2516， 所以2211a b +最大值为：2516. 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 【答案】（1）分布列见解析；期望为112（2）79192【解析】【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算. 【小问1详解】记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1111233P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()1111224P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 甲的得分X 的可能取值为1,0,1-，()()()()11111346P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()11111344P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X 1-1p16 712 14()1711101612412E X =-⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464P ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C 41264P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分的概率为2233111C 4632P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C 412192P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192P =+++=. 20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N*+=+∈.（1）令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn na c =，当n c 取得最大值时，求n 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3n =. 【解析】 【分析】（1）求得21a =，12b =，利用递推公式计算得出12n n b b +=，由此可证得结论成立；（2）由（1）可知112nn n a a +-+=，利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式，可得出213n n nn c --=，利用定义法判断数列{}n c 的单调性，进而可得出结论.【详解】（1）在数列{}n a 中，10a =，12n n a a n +=+，则21211a a =+=，11n n n b a a +=-+ ，则12112b a a =-+=，则()()()111112211212n n n n n n n n b a a a n a n a a b ++--=-+=+-+-+=-+=， 所以，数列{}n b 为等比数列，且首项为2，所以，1222n n n b -=⨯=；（2）由（1）可知，2n n b =即121nn n a a +-=-，可得2123211212121n n n a a a a a a ---=-⎧⎪-=-⎪⎨⎪⎪-=-⎩ ，累加得()()()()1211212222112112n n n n a a n n n ----=+++--=--=--- ，21n n a n ∴=--.213n n n n c --∴=，()111112112233n n n n n n n c +++++-+---==， 11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=， 令()212nf n n =+-，则()11232n f n n ++=+-，所以，()()122nf n f n +-=-.()()()()1234f f f f ∴=>>> ，()()1210f f ==> ，()310f =-<，所以，当3n ≥时，()0f n <.所以，123c c c <<，345c c c >>> . 所以，数列{}n c 中，3c 最大，故3n =.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n 1-项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第n 1-项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）. 一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1b m k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n N *∈）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）221169x y -= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F -，125,28c a MF MF ∴==-==，22294,a b c a ∴===-，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=． 【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+，联立221169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m -++--≠，12218916mt y y m -∴+=-，21229144916t y y m -=-，12y y -=，AC 方程为11(4)4y y x x =++，令2x =，得1164p y y x =+， BD 的方程为22(4)4y y x x =--，令2x =，得2224p y y x -=-，1221112212623124044y y x y y x y y x x -∴=⇔-++=+- ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+-+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+-++=()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+-++--=()22249144(24)180916916m t t mt m m --⇔-±=--3(8)(0m t t ⇔-±-=(8)30t m ⎡⇔-=⎣，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =-（舍去）， ∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+，联立22,1,169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得()2229161891440m y mty t -++-=，的2121222189144,916916mt t y y y y m m --∴+==--， AC 的方程为(4)6n y x =+，BD 的方程为(4)2ny x =--， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=--， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y ---=⇔+=+-， 又22111169x y -=，()()211194416x x y ∴+-=． 将()2112344x y x y --+=代入上式，得()()1212274416x x y y ---=⇔()()1212274416my t my t y y -+-+-=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++-++-=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m --++-+-=--．整理得212320t t +=-，解得8t =或4t =（舍去）．∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.22. 设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i ii A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.（2）见解析 【解析】【分析】（1）求出原函数二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥-≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>-⨯，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式. 【小问1详解】()sin f x x x '=-+，设()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x '=-+≥（不恒为零），故()s x 在()0,∞+上为增函数， 故()()00sx s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值. 【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥-≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =-+≥，则()2cos 1()02x u x x f x '=-+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数， 故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥-≥恒成立.当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i ii i i i i ig g k ++++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）可得()2cos 102x x x ≥->，故12311cos 1022i i ++≥->， 的故111112311112sin2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-≥⨯-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≥-- ⎪ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭, 故1214627111...16222n nk k k n -⎛⎫+++>--+++⎪⎝⎭41111771112411166123414n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⨯=--⨯-⨯ ⎪⎝⎭- 771797172184726n n n n =--+⨯>->-. 【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.。

雅礼中学2023届高三月考试卷（三）.数学得分：__________.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}20,ln 1A xx x B x y x =-==-∣∣，则A B ⋃=（）A.[]0,1B.[)0,1C.(],1∞-D.(),1∞-2.设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11i z =+，则12z z =（）A.2B.2- C.1i+ D.1i-3.已知,,,a b c d 是四条直线，,αβ是两个不重合的平面，若a b c d ∥∥∥，,,,a b c d ααββ⊂⊂⊂⊂，则α与β的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对4.设向量,a b 满足a b a b +=-= a b ⋅=（）A.1B.2C.3D.55.已知圆229x y +=的弦过点()1,2P ，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为（）A.20y -=B.250x y +-=C.20x y -=D.10x -=6.已知0,0x y >>，且7x y +=，则()()12x y ++的最大值为（）A.36B.25C.16D.97.已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，且()()(0xf xg x a a =⋅>，()()()()()()()()1151),,112f f a f xg x f x g x g g -≠<+=-''，则a 的值为（）A.5B.2C.25D.128.函数11y x=-的图象与函数()2sin 24y x x π=-的图象所有交点的横坐标之和等于（）A.8B.7C.6D.5二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列圆中与圆22:2410C x y x y ++-+=相切的是（）A.22(2)(2)9x y +++= B.22(2)(2)9x y -++=C.22(2)(2)25x y -+-=D.22(2)(2)4x y -++=10.已知拋物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，点P 在l 上的射影为1P ，则下列说法正确的是（）A.若125x x +=，则7PQ =B.以PQ 为直径的圆与准线l 相切C.设()0,1M ，则1PM PP +D.过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条11.已知函数()2cos 2cos (0)f x x x x ωωωω=+>，且()f x 的最小正周期为π.将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列选项正确的是（）A.ω的值为1B.()f x 的单调递增区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 的最大值为3D.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 的最小值为1-12.某公司有10名股东.其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项正确的有（）A.公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于512B.公司持股较多的5位股东所持股份均不少于112C.公司最大的股东所持股份不超过14D.公司最大的股东所持股份可以超过14但不超过310第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为__________.14.在我国古代书籍《九章算术》第六章“均输”中有一问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”意思是：今有五个人分五钱，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分别分得多少钱？"均输”的意思是各人所得依次相差一样多，问：末两人共得几何？答曰：__________钱.15.在ABCD 中，0AB BD ⋅=，沿BD 折成直二面角A BD C --，且2221AB BD +=，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为__________.16.已知椭圆C 过点()1,2M ，焦点(0,，平行OM 的直线l 与椭圆C 交于,A B ，两点则OAB S 的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（本小题满分，10分）已知()140,cos 2435ππαβπβαβ⎛⎫<<<<-=+= ⎪⎝⎭.（1）求sin2β的值；（2）求cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.18.（本小题满分12分）如图在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，,90,AD BC ABC PA ∠=⊥∥ 平面ABCD，3,2,6PA AD AB BC ====.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P BD A --的大小.19.（本小题满分12分）某城市为了了解高中生的身高情况，从某次全市高中生体检中抽取了一所学校的n 名学生的身高数据，整理分组成区间[140,150],(150,160],(160,170],(170,180],(180,190]，单位：厘米，并画出了频率分布直方图如右，已知从左到右前三个小组频率之比为2：3：4，其中第二小组有15人.（1）求样本频数n 的值；（2）以此校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市所有高中学生（人数很多）中任选三人，设X 表示身高超过160厘米的学生人数，求X 的分布列及期望；（3）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查.数据如下表：认为作业多认为作业不多合计喜欢玩游戏18927不喜欢玩游戏81523合计262450试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.附：α0.050.0250.0100.0050.001αχ 3.8415.0246.6357.87910.828()()()()22(),.n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++20.（本小题满分12分）设()121f x x=+，定义()()()()1101,02n n n nn f f x f f x a f +-⎡⎤==⎣⎦+，其中*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12232232n n T a a a na =++++ ，求2n T .21（本小题满分12分）如图x 平面直角坐标系xOy 中，一直角三角形,90,,ABC C B C ∠= 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3,BD DC ABC = 的周长为12.若一双曲线E 以,B C 为焦点，且经过,A D 两点.（1）求双曲线E 的方程；（2）若一过点(),0P m （m 为非零常数）的直线与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点,M N ，且MP PN λ=，问在x 轴上是否存在定点G ，使()BC GM GN λ⊥- ？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式()23412ln 149n n n+++++>+ 都成立.雅礼中学2023届高三月考试卷（三）数学参考答案一､单项选择题13.1414.1.515.π16.2四､解答题17.【解析】（1）27sin2cos 22cos 1249ππβββ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）02παβπ<<<< ，33,44422πππππβαβ∴<-<<+<.()sin 0,cos 04πβαβ⎛⎫∴->+< ⎪⎝⎭()14cos ,sin 435πβαβ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭ ，()3sin ,cos 435πβαβ⎛⎫∴-=+=- ⎪⎝⎭.()3143cos cos 44535315ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=+--=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.18.【解析】（1）以A 为原点，分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建系，则()()()()()0,0,0,,,0,2,0,0,0,3A B C D P ，()()()0,0,3,,2,0AP AC BD ∴===-，0,0BD AP BD AC ∴⋅=⋅= ,,BD AP BD AC PA AC A ∴⊥⊥⋂=，BD ∴⊥平面PAC .（2）设平面ABD 的法向量为()0,0,1m = ，平面PBD 的法向量为(),,1n x y =，由0,0n BP n BD ⋅=⋅=，3,30,2320,2x y y ⎧⎧=⎪⎪-+=⎪⎪∴⇒⎨⎨-+=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩3,,122n ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1cos ,2m n ∴= ，∴二面角P BD A --的大小为6019.【解析】（1）设前三个小组的频率分别为123,,p p p ，由条件得()21311233,22,10.0050.02010,p p p p p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪++=-+⨯⎪⎩解得：123111,,643p p p ===，由2115604p n n==⇒=.（2）由（1）知一个高中生身高超过160厘米的概率为()370.0050.02010,12p p =++⨯=由于高中生人数很多，所以X 服从二项分布，()33775773,,C ,0,1,2,3,3.121212124kkk X B P X k k EX -⎛⎫⎛⎫⎛⎫~====⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）将表中的数据代入公式()()()()22()p ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得到2250(181589) 5.059 5.024********χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，查表知()25.0240.025P χ≥=，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.20.【解析】（1）()()()()11110211202,,0022410n n f a f f f f +-⎡⎤=====⎣⎦++，()()()()()()()()1112101101001112024202022210n n n n n n n n n n f f f f a a f f f f +++--+--∴====-⋅-+++++，112n n a a +∴=-，∴数列{}n a 是首项为14，公比为12-的等比数列，11142n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）21232232n n T a a a na =++++ ，212321111123222222n n T a a a na ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：221211142311124212nn nT n -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯- ⎪⎝⎭+，22131192n n n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭21.【解析】（1）设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则()()(),0,,0,,0B c D a C c -.由3BD DC =，得()3c a c a +=-，即2c a =.222||16,124,2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪⎪∴+=-⎨⎪-=⎪⎩解得1a =，2,c b ∴==∴双曲线E 的方程为2213y x -=.（2）设在X 轴上存在定点(),0G t ，使()BC GM GN λ⊥-.设直线的方程为()()1122,,,,x m ky M x y N x y -=.由MP PN λ=，得120y y λ+=，即12y y λ=-.①()()12124,0,,BC GM GN x t x t y y λλλλ=-=--+-，()()12BC GM GN x t x t λλ∴⊥-⇔-=-.即()12ky m t ky m t λ+-=+-.②把①代入②，得()()121220ky y m t y y +-+=③把x m ky -=代入2213y x -=，并整理得()()222316310k y kmy m -++-=.其中2310k -≠且Δ0>，即213k ≠，且2231k m +>.()2121222316,3131m km y y y y k k --+==--.代入③，得()()22261603131k m km m t k k ---=--，化简得kmt k =，当1t m=时，上式恒成立.因此，在x 轴上存在定点1,0G m ⎛⎫⎪⎝⎭，使()BC GM GN λ⊥- .22.【解析】（1）()121f x x x a=--+'，0x = 时，()f x 取得极值，()00f ∴'=，故120100a-⨯-=+，解得1a =.经检验1a =符合题意.（2）由1a =知()()2ln 1f x x x x =+--，由()52f x x b =-+，得()23ln 102x x x b +-+-=，令()()23ln 12x x x x b ϕ=+-+-，则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=，在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根.或()()()()4511321221x x x x x x ϕ-+-'=-+=++，当[]0,1x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在[]0,1上单调递增；当(]1,2x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.依题意有()()()()()00,31ln 1110,22ln 12430,b b b ϕϕϕ⎧=-≤⎪⎪=+-+->⎨⎪=+-+-≤⎪⎩解得，1ln31ln22b -≤<+.（3）()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{1}xx >-∣，由（1）知()()231x x f x x -'+=+.令()0f x '=得，0x =或32x =-（舍去），∴当10x -<<时，()()0,f x f x '>单调递增；当0x >时，()()0,f x f x '<单调递减.()0f ∴为()f x 在()1,∞-+上的最大值.()()0f x f ∴≤，故()2ln 10x x x +--≤（当且仅当0x =时，等号成立），对任意正整数n ，取10x n =>，得2111ln 1n n n⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，211ln n n n n ++⎛⎫∴< ⎪⎝⎭.故()23413412ln2ln ln lnln 14923n n n n n++++++>++++=+ .。

雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.6.已知是圆上一个动点，且直线与直线x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l P m α⊥l β⊥l α⊥m l P m βP()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ϕ2ϕM 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是A. B.最小正周期m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF P OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f x 302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T P ABCD -BCAD P 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFP PCD（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a3a1a2a3a()1sin ,cos a x x =.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l P m α⊥l βαβ⊥⇒P l α⊥m l m α⇒⊥P m βαβ⇒⊥P ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF P O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f x f x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED P 12FM ED =AD BC P 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED P 12BC ED =FM BC P FM BC =BCMF BFCM P BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF P PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，则.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ (222)312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。

2024年雅礼中学高三数学5月高考模拟试卷2024.05一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（）A ．9B ．12C ．15D ．182．已知集合{}2|680,{|13}M x x x N x x =-+<=<≤，则M N ⋂=（）A ．{|23}x x ≤≤B ．{|23}x x <≤C ．{|24}x x <≤D ．{|13}x x <≤3．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（）A ．6寸B ．4寸C ．3寸D ．2寸4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和抛物线()220y px p =>相交于A 、B 两点，直线AB 过抛物线的焦点1F ，且8AB =，椭圆的离心率为2．则抛物线和椭圆的标准方程分别为（）．A ．28y x =；22194x y +=B ．28y x =；2213618x y +=C ．24y x =；22194x y +=D ．24y x =；2213618x y +=5．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH ，其中1,AB O =为正八边形的中心，则AB HD ⋅=（）A 1B ．1C D ．1+6．人工智能领域让贝叶斯公式：()()()()P B A P A P A B P B =站在了世界中心位置，AI 换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI 对抗AI ，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（）A ．0.1%B ．0.4%C ．2.4%D ．4%7．加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆C ：22197x y +=，P 是直线l ：43200x y -+=上一点，过P 作C 的两条切线，切点分别为M 、N ，连接OP （O 是坐标原点），当MPN ∠为直角时，直线OP 的斜率OP k =（）A ．43B ．43-C ．34D ．34-8．已知61log 4=a ，41log 3b =，()1e 1e c =+，则（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．a c b<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设a ，b 为两条不重合的直线，α为一个平面，则下列说法正确的是（）A ．若a b ⊥，b α⊂，则a α⊥B ．若a α⊥，//a b ，则b α⊥C ．若//a α，b α⊂，则//a bD ．若//a α，b α⊥，则a b⊥r r10．已知()22ππsin cos (0)33f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列判断正确的是（）A ．若()()120f x f x ==，且12min π2x x -=，则2ω=B ．1ω=时，直线π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．1ω=时，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称D ．若()f x 在[]0,2π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．若实数,x y 满足1221x y ++=，则下列选项正确的是（）A ．0x <且1y <-B ．11122xy -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9C ．x y +的最小值为3-D ．1112222x y x y-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知复数13i z =-，其中i 为虚数单位，则2i z +=．13．数列{}n a 满足32132(N ,1)23n n a a a a n n n*+++⋅⋅⋅+=-∈≥，则n a =.14．设A 为双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b-=>>的一个实轴顶点，,B C 为Γ的渐近线上的两点，满足4BC AC =，AC a =，则Γ的渐近线方程是．四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人.(1)根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系；性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生女生合计(2)现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.参考公式()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.α0.10.050.01x α2.7063.8416.63516．已知函数()ln 1xf x x =+．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当1x ≥时，()()1f x a x -≤，求a 的取值范围．17．如图，已知在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，且点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点.(1)过点,,A E F 作三棱柱截面交11C B 于点P ，求线段1B P 长度；(2)求平面AEF 与平面11BCC B 的夹角的余弦值.18．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆1C 的“特征三角形”为1 ，椭圆2C 的“特征三角形”为2 ，若12△∽△，则称椭圆1C 与2C “相似”，并将1 与2 的相似比称为椭圆1C 与2C 的相似比．已知椭圆1C ：2212x y +=与椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>相似．(1)求椭圆2C 的离心率；(2)若椭圆1C 与椭圆2C 的相似比为()0λλ>，设P 为2C 上异于其左、右顶点1A ，2A 的一点．①当λ=时，过P 分别作椭圆1C 的两条切线1PB ，2PB ，切点分别为1B ，2B ，设直线1PB ，2PB 的斜率为1k ，2k ，证明：12k k 为定值；②当λ=1PA 与1C 交于D ，E 两点，直线2PA 与1C 交于M ，N 两点，求DE MN +的值．19．设n 次多项式()121210()0n n n n n n P t a t a t a t a t a a --=+++++≠ ，若其满足(cos )cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式.例如：由cos cos θθ=可得切比雪夫多项式1()P x x =，由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式22()21P x x =-.(1)若切比雪夫多项式323()P x ax bx cx d =+++，求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)对于正整数3n 时，是否有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立？(3)已知函数3()861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点，分别记为123,,x x x ，证明：1230x x x ++=.1．C【分析】由题意按分层抽样的方法用36乘以高三年级的男生数占总男生数的比例即可求解.【详解】高三年级被抽到的男生人数为12003004005363615120012--⨯=⨯=.故选：C.2．B【分析】解一元二次不等式化简集合M ，再根据交集运算求解即可.【详解】因为{}2|680{|24}M x x x x x =-+<=<<，{|13}N x x =<≤，所以{|23}M N x x =<≤ .故选：B 3．C【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，所以水面半径为()1146102⨯+=寸，则盆中水的体积为()221π9610610588π3⨯⨯++⨯=立方寸，所以平地降雨量等于2588π3π14=⨯寸.故选：C.4．B【详解】由椭圆与抛物线的对称性知，AB x ⊥轴，且1,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，故2A B p x x ==根据抛物线的定义可知1228AB x x p p =++==，所以抛物线的标准方程为28y x =．所以椭圆过点()2,4A ，又因为椭圆离心率为22，因此22222224161c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=+⎪⎩，解得223618a b ⎧=⎨=⎩，则椭圆的标准方程为2213618x y +=．故选：B ．5．D【分析】根据给定条件，利用正八边形的结构特征，结合数量积的定义计算即得.【详解】在正八边形ABCDEFGH 中，连接HC ，则//HC AB ，而135ABC ∠=o ，即45BCH ∠= ，于是90HCD ∠= ，在等腰梯形ABCH中，121cos 451CH =+⨯⨯=+所以1||cos ||1AB HD HD CHD HC ⋅=⨯∠==+故选：D6．C【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.【详解】记“视频是AI 合成”为事件A ，记“鉴定结果为AI”为事件B ，则()()()()0.001,0.999,0.98,0.04P A P A P B A P B A ====∣，由贝叶斯公式得：()()()()()()()0.0010.980.0240.0010.980.9990.04P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯==⨯+⨯+，故选：C ．7．D【分析】利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，进而可求得直线l ：43200x y -+=为圆的切线，由1l OP k k =-⋅，即可得出结果.【详解】由椭圆C ：22197x y +=可知：3,a b ==，当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为6和，因此蒙日圆半径为4，圆方程为2216x y +=，当MPN ∠为直角时，可知点当P 在圆2216x y +=，因为O 到直线43200x y -+=的距离为4d ==，所以直线l ：43200x y -+=为圆的切线，因为直线43l k =，1l OP k k =-⋅，所以34OP k =-.故选：D.8．A【分析】由条件得到146a =，134b =，从而得到12216a =，12256b =，即可得出b a >，构造函数1(1)(1)xy x x =+>，利用函数的单调性，即可判断出c b >，从而得出结果.【详解】由61log 4=a ，得到146a =，又41log 3b =，所以134b =，所以112124(6)216a ==，112123(4)256b ==，又256216>，所以1212b a >，又0,0a b >>，得到b a >，令1(1)(1)xy x x =+>，则1ln ln(1)y x x=+，所以2111ln(1)(1)y x y x x x '=-+++，得到112211(1)[ln(1)](1)[(1)ln(1)](1)(1)xxx y x x x x x x x x x x +'=-+++=-++++，令()(1)ln(1)h x x x x =-++，则()1ln(1)1ln(1)0h x x x '=-+-=-+<在区间(1,)+∞上恒成立，所以()(1)ln(1)h x x x x =-++在区间(1,)+∞上单调递减，又(1)1(11)ln(11)12ln 21ln 40h =-++=-=-<，当(1,)x ∈+∞时，12(1)0(1)xx x x +>+，得到12(1)[(1)ln(1)]0(1)xx y x x x x x +'=-++<+在区间(1,)+∞上恒成立，所以1(1)x y x =+在区间(1,)+∞上单调递减，又e 3<，所以()113e 1e (13)c b =+>+=，得到c b a >>，故选：A.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于判断,b c 的大小，通过构造函数1(1)(1)x y x x =+>，利用导数与函数的单调性间的关系，得函数1(1)(1)x y x x =+>的单调性，即可求出结果.9．BD【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断各选项即可.【详解】对于A ，直线a 可能在平面α内，可能与平面α相交，也可能平面α平行，故A 错误.对于B ，设直线l 为平面α内的任意一条直线，因为a α⊥，l ⊂α，所以a l ⊥，又//a b ，所以b l ⊥，即b 与α内任意直线垂直，所以b α⊥，故B 正确.对于C ，若//a α，b α⊂，则直线a 与直线b 可能平行，也可能异面，故C 错误.对于D ，过直线a 作平面β，使得平面β与平面α相交，设m αβ= ，因为//a α，m αβ= ，a β⊂，所以//a m ，又b α⊥，m α⊂，所以b m ⊥，则b a ⊥，故D 正确.故选:BD 10．BD【分析】利用二倍角公式化简()f x ，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.【详解】()22ππ2πcos sin cos 2,0333f x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于A ，根据条件，可得π2π,π,1222T T ωω=∴==∴=，故A 错误；对于B ，当1ω=时，()2πππ2πcos 2,cos cosπ13633f x x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+∴=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以直线π6x =为()f x 的一条对称轴，故B 正确；对于C ，当1ω=时，()2πcos 23f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将()f x 向左平移π3个单位长度后可得π2ππcos 2cos 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为非奇非偶函数，故C 错误；对于D ，由题意[]0,2πx ∈，则2π2π2π24π333x ωω≤+≤+，因为()f x 在[]0,2π上恰有9个零，所以19π2π21π4π232ω≤+<，解得53592424ω≤<，故D 正确.故选：BD.11．ABD【分析】对于AD ，利用指数函数的性质即可判断；对于BC ，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.【详解】对于A ，由1221x y ++=，可得112120,2120y x x y ++=->=->，所以0x <且10y +<，即1y <-，故A 正确；对于B ，()11111112222225222222xy x y y x x y x y--+⎡⎤⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦59≥+，当且仅当222222y xx y ⋅⋅=，即2log 3x y ==-时，等号成立，所以11122xy -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9，故B 正确；对于C ，因为1221x y ++=≥=12，即121224x y ++-≤=，所以3x y +≤-，当且仅当122x y +=，即11x y =+=-，即1,2x y =-=-时，等号成立，所以x y +的最大值为3-，故C 错误；对于D ，因为1212x y +=-，则()112212242x y y ++=-=-⋅，所以()111112222212232222x y x yy x y y y -+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+=+-=-⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12【分析】根据题意，求得2i 15i z +=+，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由复数13i z =-，可得13i z =+，则2i 15i z +=+，所以2i 15i z +=+=.13．11,123,2n n n n -=⎧⎨⨯≥⎩【分析】当1n =时求出1a ，当2n ≥时1312132231n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=--，作差即可得解.【详解】因为32132(N ,1)23n n a a a a n n n*+++⋅⋅⋅+=-∈≥，当1n =时11321a =-=，当2n ≥时1312132231n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=--，所以113323n n n na n--=-=⨯，所以123n n a n -=⨯，当1n =时123n n a n -=⨯不成立，所以11,123,2n n n a n n -=⎧=⎨⨯≥⎩.故答案为：11,123,2n n n n -=⎧⎨⨯≥⎩14．y =【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得,OC OB ，再求AOC ∠的正切值，进而即可求得渐近线方程.【详解】根据题意，作图如下：依题意，OA 为COB ∠的角平分线，且444CB OA CA a ===，设OC m =，由角平分线定理可得：3OB AB OCAC==，则3OB m =；在OAC 中，由余弦定理2222cos 222AC CO OA m mOCA AC CO am a+-∠=；在OBC △中，由余弦定理可得，2222cos OB OC BC OC BC OCA =+-⋅∠，即222916242m m m a m a a =+-⨯⨯⨯，解得m a =故3cos cos 23m COA OCA a ∠=∠==，tan COA ∠，所以Γ的渐近线方程是y =．故答案为：y =.【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法：①直接求出,a b ，从而得解；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a b 的齐次式，从而得解；③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解.15．(1)列联表见解析，能(2)815【分析】（1）由已知数据完成22⨯列联表，计算2χ，与临界值比较得结论；（2）由分层抽样确定男女生人数，利用组合数公式和古典概型求解.【详解】（1）100名高中生，运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，则运动达标人数为31006032⨯=+，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，则运动达标的女生有40人，运动达标的男生有20人，22⨯列联表为性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生20525女生403575合计6040100零假设为0H ：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，22100(2035540)505.556 3.841,604025759χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 根据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05.（2）因为“运动达标”的男生､女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生､女生分别抽到2人和4人，则选中的2人中恰有一人是女生的概率为114226C C 8C 15P ==.16．(1)1122y x =-(2)12a ≥【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）由题意，将问题转化为()()21ln 0g x a x x =--≥（[)1,x ∞∈+）恒成立，利用导数讨论函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】（1）由于()10f =，则切点坐标为()1,0，因为()21()1ln 1x x x f x +-=+'，所以切线斜率为()112f '=，故切线方程为10(1)2y x -=-，即1122y x =-．（2）当[)1,x ∞∈+时，()()1f x a x -≤等价于()2ln 1x a x -≤，令()()21ln =--g x a x x ，[)1,x ∞∈+，()2ln 1x a x -≤恒成立，则()0g x ≥恒成立，2121()2ax g x ax x x='-=-，当0a ≤时，()0g x '≤，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意；当102a <<时，由()0g x '=，得1x =>，x ⎡∈⎢⎣时，()0g x '≤，函数()g x 单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意；当12a ≥时，21a ≥，因为1x ≥，所以2210ax -≥，则()0g x '≥，所以函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=，符合题意．综上所述，12a ≥．17．(1)23(2)58【分析】（1）将平面AEF 延展得到点P ，再利用相似三角形求解即可.（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量利用夹角公式求解即可.【详解】（1）由正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，又因为点,E F 分别为棱111,BB A C的中点，可得AF AE ==如图所示，延长AF 交1CC 的延长线于M 点，连接ME 交11B C 于点P ，则四边形AFPE 为所求截面，过点E 作BC 的平行线交1CC 于N ，所以1MPC MEN ∽因此1123MC PC MP ME MN EN ===，所以1142,33PC B P ==.（2）以点A 为原点，以1,AC AA 所在的直线分别为,y z轴，以过点A 垂直于平面yAz 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为2AB =，可得()())0,0,0,0,1,2,A F E ，则())0,1,2,AF AE == ，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则0,20,n AE y z n AF y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取1z =，则2,y x =-=2,1n ⎫=-⎪⎭，取BC 的中点D ，连接AD .因为△ABC 为等边三角形，可得AD BC ⊥，又因为1BB ⊥平面ABC ，且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，因为1BC BB B = ，且1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，又由3,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，可得3,02AD ⎫=⎪⎪⎝⎭，所以平面11BCC B的一个法向量为)m =，设平面AEF 与平面11BCC B 的夹角为α，则5cos cos ,8m n m n m n α⋅===，所以平面AEF 与平面11BCC B 夹角的余弦值为58.18．(1)22(2)①证明见解析；②【分析】（1）首先得到1C 、2C 的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得2a =，从而得到22b a =，再由离心率公式计算可得；（2）①设()00,P x y ，则直线1PB 的方程为()010y y k x x -=-，进而与椭圆C 联立方程，并结合判别式得()2220100102210x k x y k y --+-=，同理得到()2220200202210x k x y k y --+-=，进而得20122012y k k x -=-，再根据2200122y x =-即可求得答案；②由题知椭圆2C 的标准方程为2221x y +=，进而结合点P 在椭圆2C 上得1212PA PA k k =-，故设直线1PA 的斜率为k ，则直线2PA 的斜率为12k-，进而得其对应的方程，再与椭圆1C 联立方程并结合韦达定理，弦长公式得DE 、MN ，进而得DE MN +．【详解】（1）对于椭圆1C ：2212x y +=，则长轴长为，短轴长为2，焦距为2，椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为2a ，短轴长为2b，焦距为=，所以22b a =，则椭圆2C的离心率2e ==.（22a ==，解得2a b =⎧⎪⎨⎪⎩2C ：22142x y+=，设()00,P x y ，则直线1PB 的方程为()010y y k x x -=-，即1010y k x y k x =+-，记010t y k x =-，则1PB 的方程为1y k x t =+，将其代入椭圆1C 的方程，消去y ，得()22211214220k x k tx t +++-=，因为直线1PB 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()222114421220k t k t ∆=-+-=，即221210k t -+=，将010t y k x =-代入上式，整理得()222010*******x k x y k y --+-=，同理可得()222020*******x k x y k y --+-=，所以12,k k 为关于k 的方程()22200002210x k x y k y --+-=的两根，所以20122012y k k x -=-．又点()00,P x y 在椭圆222:142x y C +=上，所以2200122y x =-，所以2012201211222x k k x --==--，为定值．②由相似比可知，2a ==12a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆2C ：2221x y +=，其左、右顶点分别为()11,0A -，()21,0A ，恰好为椭圆1C 的左、右焦点，设()33,P x y ，易知直线1PA 、2PA 的斜率均存在且不为0，所以1223233333111PA PA y y y k k x x x =⋅=+--，因为()33,P x y 在椭圆2C 上，所以332221x y +=，即232312x y -=-，所以123223112PA PA y k k x ==--．设直线1PA 的斜率为k ，则直线2PA 的斜率为12k-，所以直线1PA 的方程为()1y k x =+．由()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124220k x k x k +++-=，设()44,D x y ，()55,E x y ，则2425412k x x k -+=+，22452212k x x k -=+，所以45DE x =-=)22112k k +==+，同理可得)222211214121122k k MN k k ⎤⎛⎫+-⎥ ⎪+⎝⎭⎥⎣⎦=+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以))22221141212D k k kE N kM ++=++=++【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.19．(1)4,0,3a b d c ====-(2)()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-成立(3)证明见解析【分析】（1）利用()()3cos cos3cos 2P θθθθ==+展开计算，根据切比雪夫多项式可求得,,,a b d c ；（2）要证原等式成立，只需证明()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++-=⋅成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立；（3）由已知可得方程31432x x -=在区间()1,1-上有3个不同的实根，令()cos ,0,πx θθ=∈，结合（1）可是1cos32θ=，可得123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===，计算可得结论.【详解】（1）依题意，()()()223cos cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos P θθθθθθθθθθθθ==+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-，因此()3343P x x x =-，即32343ax bx cx d x x +++=-，则4,0,3a b d c ====-，（2）()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-成立.这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++-=⋅.首先有如下两个式子：()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ+=+=-，()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ-=-=+，两式相加得，()()()11cos cos 2cos cos 2cos cos n n n P P n P θθθθθθ-++==，将cos θ替换为x ，所以()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-.所以对于正整数3n ≥时，有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立.（3）函数()3861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点123,,x x x ，即方程31432x x -=在区间()1,1-上有3个不同的实根，令()cos ,0,πx θθ=∈，由()1知1cos32θ=，而()30,3πθ∈，则π33θ=或5π33θ=或7π33θ=，于是123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===，则123π5π7ππ4π2πcos cos coscos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππππcos cos cos cos 2cos cos cos 999999399⎛⎫⎛⎫+=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1230x x x ++=.。

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数 学（时量120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数1i z =-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则1z 的值为（ ）A. 1B.C.12D.2. 设全集U =R，{A x y ==，{}2,x B y y x R ==∈，则()R A B = ð（ ）A. {}0x x <B. {}01x x <≤C. {}12x x <≤D. {}2x x >3 已知向量a ，b满足7a b += ，且3a = ，4b = ，则a b -=r r （ ） A. 5B. 3C. 2D. 14. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如30=7+23，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是（ ） A.14B.13C.29D.385. 若函数32()132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极值点，则实数a 的取值范围是( ).A 2,52⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 102,3⎛⎫⎪⎝⎭D. 102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6. 已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. c<a<bD. b a c <<7. 已知tan tan 3αβ+=，()sin 2sin sin αβαβ+=，则()tan αβ+=（ ） A. 4B. 6C. 32-D. 6-8. 已知函数()()32sin π4xf x x x x =-⋅+零点分别为1x ，2x ，…，n x （n *∈N ），则22212n x x x ++⋅⋅⋅+=（ ）A.12B.14C. 0D. 2二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则（）()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈，()330.9973P μσξμσ-≤≤+≈）A. ()100E X =B. ()10D X =C. ()900.84135P X ≥≈D. ()()12090P X P X =≤≥10. 下列说法正确的是（ ）A. 若不等式220ax x c ++<的解集为{|1x x <-或}2x >，则2a c +=B. 若命题p ：()0,x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，1ln x x -<C. 在△ABC 中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D. 若2320mx x m ++<对[]0,1m ∀∈恒成立，则实数x 的取值范围为()2,1-- 11. 已知函数()()sin 4(0,0,0)8f x A x A πωφωφ=+>><<的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图.的象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列命题正确的是（ ）A. 函数()f x 的解析式为1()2sin(26f x x π=+B. 函数()g x 的解析式为()2sin(26g x x π=-C. 函数()g x 在区间4[,]3ππ上单调递增 D. 函数()f x 图象的一条对称轴是直线3x π=-12. 已知三棱锥P -ABC 内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，8PA =，AB ⊥AC ，4AB AC ==，点D 为AB 的中点，点Q 在三棱锥P -ABC 表面上运动，且4PQ =，已知在弧度制下锐角α，β满足：4cos 5α=，cos β=，则下列结论正确的是（ ） A. 过点D 作球的截面，截面的面积最小为4π B. 过点D 作球的截面，截面的面积最大为24π C. 点Q 轨迹长为44αβ+D. 点Q 的轨迹长为48αβ+第Ⅱ卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为___________.14. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________．15.若1nx ⎫⎪⎭的展开式中第4项是常数项，则7n 除以9的余数为_____________． 16. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,2,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，函数()()122x g x f x -=-在的区间[]0,a 内的所有零点为i x （i =1，2，3，…，n ）．若116nii x==∑，则实数a 的取值范围是________．四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 半径为R 的圆内接ABC，AB =，ACB ∠为锐角．（1）求ACB ∠的大小；（2）若ACB ∠平分线交AB 于点D ，2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．18. 已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为21n n +. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. 如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ,,E F 分别为,AB CD 的中点，224CD AB EF ===，M 为DF 的中点．现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体．在图②中：（1）证明：EF MC ⊥；（2）求平面MAB 与平面DAB 夹角的余弦值． 20. 已知函数()2ln f x x x=+． （1）讨论函数()y f x x =-零点的个数；（2）是否存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立．21. 某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为13，上两级的概率为23，设他上到第n 级的概率为n P ．的（1）求他上到第10级的概率10P （结果用指数形式表示）； （2）若他上到第5级时，求他所用的步数X 的分布列和数学期望．22. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是坐标平面内一点，且1234OP PF PF =⋅=（O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标和MAB △面积的最大值；若不存在，说明理由．参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数1i z =-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则1z 的值为（ ）A. 1B.C.12D.【答案】B 【解析】【分析】根据共轭复数的定义和模长公式计算可得答案. 【详解】因为复数1i z =-， 所以1i z =+，111i z ==+故选：B.2. 设全集U =R，{A x y ==，{}2,x B y y x R ==∈，则()R A B = ð（ ）A. {}0x x < B. {}01x x <≤C. {}12x x <≤D. {}2x x >【答案】D 【解析】【分析】本题首先可以根据函数y =的定义域得出{}02A x x =≤≤，然后根据补集的性质得出R A ð，再然后根据2x y =的值域得出{}0B y y =>，最后根据交集的相关性质即可得出结果.【详解】因为y =，所以220x x -≥，即()20x x -≥，解得02x ≤≤，{}02A x x =≤≤， 因为全集U =R ，所以{0R A x x =<ð或}2x >， 因为2x y =，所以0y >，{}0B y y =>， 则(){}2R A B x x ⋂=>ð， 故选：D.【点睛】易错点睛：表示集合时，一定要注意集合中元素的含义，例如，集合{x y =表示的是函数y =的定义域，集合{y y =表示的是函数y =的值域.3. 已知向量a ，b满足7a b += ，且3a = ，4b = ，则a b -=r r （ ）A. 5B. 3C. 2D. 1【答案】D 【解析】【分析】根据向量的模长的计算即可求解.【详解】22224924991624a b a b a b a b +=++⋅=⇒⋅=--=r r r r r r r r，所以2222916241,1a b a b a b a b -=+-⋅=+-=∴-=r r r r r r r r，故选：D4. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如30=7+23，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是（ ） A.14B.13C.29D.38【答案】C 【解析】【分析】先确定不超过25的素数，再确定中位数，最后根据古典概型概率公式求概率． 【详解】因为不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个， 这组数的中位数为11，所以所求概率92829C P ==． 故选：C5. 若函数32()132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极值点，则实数a 的取值范围是( )A. 2,52⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 102,3⎛⎫⎪⎝⎭D. 102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】求出函数的导数，依题意可得()f x '在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，参变分离可得1a x x =+，根据对勾函数的性质求出1x x+的取值范围，即可得到a 的取值范围，最后检验2a =时不符合题意，即可得解. 详解】解： 函数32()132x af x x x =-++，2()1f x x ax '∴=-+，若函数32()132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极值点，则2()1f x x ax '=-+在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有零点， 由210x ax -+=可得1a x x=+， 因为()1g x x x =+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,3上单调递增，又()12g =，1522g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1033g =，所以()102,3g x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1023a ∴≤<，当2a =时，()2()10f x x '=-≥，不符合题意， 所以实数a 的取值范围是102,3⎛⎫⎪⎝⎭. 【6. 已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. a c b <<C. c<a<bD. b a c <<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】∵2333332log 3log log log 23c a ===>==，∴c a >，又2344442ln 3log 4log log log 33ln 4c b ===<===，∴c b <，∴a c b <<． 故选：B ．7. 已知tan tan 3αβ+=，()sin 2sin sin αβαβ+=，则()tan αβ+=（ ） A. 4 B. 6C. 32-D. 6-【答案】D 【解析】【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值. 【详解】由()sin 2sin sin αβαβ+=得sin cos cos sin 11sin cos cos sin 2sin sin 22sin sin tan tan αβαβαβαβαβαβαβ++=⇒=⇒+=，进而可得tan tan 32tan tan tan tan 2αβαβαβ+=⇒=，所以()tan tan 3tan 631tan tan 12αβαβαβ++===---=， 故选：D8. 已知函数()()32sin π4xf x x x x =-⋅+的零点分别为1x ，2x ，…，n x （n *∈N ），则22212n x x x ++⋅⋅⋅+=（ ）A.12B.14C. 0D. 2【答案】A【分析】由题意可得(0)0f =，所以()f x 的一个零点为0，令21()sin(π)4g x x x x =-⋅+，求出()g x 的零点，即为()f x 零点，代入计算即可得答案．【详解】令()0f x =，则有32sin(π)04x x x x -⋅+=，即21[sin(π)04x x x x -⋅+=， 所以有(0)0f =，令21()sin(π)4g x x x x =-⋅+，则(0)0g ≠， 令()0g x =，则有21sin(π)4x x x +=⋅，即有214sin(π)x x x+=，因为1sin(π)1x -≤≤，所以2141x x +≤，则214x x +≤， 即有2102x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，当1||2x =时，等号成立，所以当12x =±时，()0g x =，所以()f x 共有3个零点，分别为0，12-，12， 所以222222121110(()222n x x x ++⋅⋅⋅+=+-+=．故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则（）()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈，()330.9973P μσξμσ-≤≤+≈）A. ()100E X =B. ()10D X =C. ()900.84135P X ≥≈D. ()()12090P X P X =≤≥【答案】AC 【解析】【分析】根据正态曲线的对称性及参考数据可得答案. 【详解】∵随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，正态曲线关于直线100X =对称，且()100E X =，()210100D X ==，从而A 正确，B 错误， 根据题意可得，()901100.6827P X ≈≤≤，()801200.9545P X ≈≤≤， ∴()1900.50.68270.841352P X ≥≈+⨯=，故C 正确； 120X ≤与90X ≥不关于直线100X =对称，故D 错误．故选：AC ．10. 下列说法正确的是（ ）A. 若不等式220ax x c ++<的解集为{|1x x <-或}2x >，则2a c +=B. 若命题p ：()0,x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，1ln x x -<C. 在△ABC 中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D. 若2320mx x m ++<对[]0,1m ∀∈恒成立，则实数x 的取值范围为()2,1-- 【答案】AD 【解析】【分析】根据方程220ax x c ++=的两根为1-，2，可判断A ；根据全称命题的否定是特称命题可判断B ；两边平方可，根据充要条件定义可判断C ；转化为关于m 的一次函数可判断D .【详解】对于A ，不等式220ax x c ++<解集为{|1x x <-或}2x >，则方程220ax x c ++=的两根为1-，2，故212a c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则2a =-，4c =，所以2a c +=，故A 正确；对于B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于， 即p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，1ln x x -≤，故B 不正确；对于C ，对sin cos sin cos A A B B +=+得2sin cos 2sin cos sin 2sin 2⋅=⋅⇒=A A B B A B ，又0222πA B <+<，所以π2A B +=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对于D ，令()()223f m x m x +=+，则()0f m <，对[]0,1m ∀∈恒成立，则()()20301320f x f x x ⎧=<⎪⎨=++<⎪⎩，解得2<<1x --，故D 正确. 故选：AD ．11. 已知函数()()sin 4(0,0,0)8f x A x A πωφωφ=+>><<的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列命题正确的是（ ）A. 函数()f x 的解析式为1()2sin(26f x x π=+B. 函数()g x 的解析式为()2sin(26g x x π=-C. 函数()g x 在区间4[,]3ππ上单调递增 D. 函数()f x 图象的一条对称轴是直线3x π=-【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，由图像可得2A =，4T π=，从而可求出得12ω=，再将点()0,1C 的坐标代入函数中可求出ϕ的值，从而可求出函数解析式，对于B ，由三角函数图像变换规律求出()g x 的解析式，对于C ，由222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z 求出()g x 的增区间进行判断即可，对于D ，将3x π=-代入()f x 中验证是否能取得最值. 【详解】由图可知，2A =，4T π=，所以24T ππω==，解得12ω=，故1()2sin 42f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为图像过点()0,1C ，所以12sin 4ϕ=，即1sin 42ϕ=． 因为点()0,1位于单调增区间上，且042<<πϕ，所以46πϕ=，故1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．故A 项正确；若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，所得到的函数解析式为2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移6π个单位长度，所得到的函数解析式()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故B 项正确； 令222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数()g x 的单调增区间是,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =时，()g x 在区间54,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 项正确； 当3x π=-时，2sin 003f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即3x π=-时，()f x 不取最值，故3xπ=-不是函数()f x 的一条对称轴,所以D 项不正确．故选：ABC12. 已知三棱锥P -ABC 内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，8PA =，AB ⊥AC ，4AB AC ==，点D 为AB 的中点，点Q 在三棱锥P -ABC 表面上运动，且4PQ =，已知在弧度制下锐角α，β满足：4cos 5α=，cos β=，则下列结论正确的是（ ） A. 过点D 作球的截面，截面的面积最小为4π B. 过点D 作球的截面，截面的面积最大为24π C. 点Q 的轨迹长为44αβ+ D. 点Q 的轨迹长为48αβ+【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 项和B 项，先求出三棱锥外接球的半径，再根据图形判断经过球心的截面最大，与半径垂直的截面最小即得，对于C 项和D 项，则先要通过计算找到角,αβ，再根据轨迹特征确定轨迹形状，计算即得.【详解】对于选项A,如图，三棱锥P -ABC 的外接球O 即为以AB ，AC ，AP 为邻边的长方体的外接球，∴2R ==R =，取BC 的中点1O ，则1O 为△ABC 的 外接圆圆心，且1OO ⊥平面ABC ，当OD 与过点D 的截面垂直时，截面的面积最小，∵OD ===，此时截面圆的半径为2r ==，∴最小截面面积为2π4πr =，故A 项正确；对于选项B ，当截面过球心时，截面圆的面积最大为2π24πR =，故B 项正确；对于选项C 和D ，由条件可得BP PC BC ===故4cos ,5BPC ∠==即BPC α∠=，易得BPA CPA β∠=∠=， 则点Q 的轨迹分别是以点P 为圆心，4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为α，两段弧 圆心角为β，点Q 的轨迹长即为()2448αβαβ+⨯=+，故C 项错误，D 项正确． 故选：ABD ．第Ⅱ卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为___________. 【答案】14 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】解：共有10个数据， 由70%107⨯=，所以第70百分位数为1315142+=. 故答案为；14.14. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】作出图形，设双曲线的右焦点为M ，根据双曲线的定义可得4PF PM =+，可得出4PF PA PM PA +=++，利用A 、P 、M 三点共线时PF PA +取得最小值即可得解.【详解】对于双曲线221412x y -=，则2a =，b =4c =，如下图所示：设双曲线的右焦点为M ，则()4,0M ，由双曲线的定义可得4PF PM -=，则4PF PM =+，所以，4449PF PA PM PA AM +=++≥+=+=，当且仅当A 、P 、M 三点共线时，等号成立. 因此，PF PA +的最小值为9. 故答案为：9.【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题； （2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.15.若1nx ⎫⎪⎭的展开式中第4项是常数项，则7n 除以9的余数为_____________． 【答案】1 【解析】【分析】利用二项定理可得答案.【详解】由题知，()511C1C rn rn rr r rr r nn T x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因第4项为常数项，所以当3r =时，3305n --=，所以18n =， 则()018117216217171818181818818811817C 9C 92C 92C 92292C =-+=⋅-⋅+⋅-- ()01711621521717181818181818189C 9C 92C 92C 2C 2=-⋅+⋅--+ ，所以187除以9的余数为182，而()061524334256666661866662C 9C 9C 9C 9C 9C 8919C ==-+-+-+=- ()0514233245666666669C 9C 9C 9C 9C 9C C =-+-+-+，1除以9的余数为1，所以7n 被9除余1． 故答案为：1.16. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,2,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点为i x （i =1，2，3，…，n ）．若116nii x==∑，则实数a 的取值范围是________．【答案】[)7,9 【解析】【分析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.【详解】函数()()122x g x f x -=-的零点即为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，先作出函数()y f x =在区间[0,2)上的图象，又当2x ≥时，()2(2)f x f x =-，所以当2x ≥时，()1(2)2f x f x =+， 再作出函数122(0)x y x -=≥的图象，如图所示：由图象可得：11x =，23x =，35x =，…，21n x n =-，则21nii xn ==∑，若116nii x==∑，得4n =，则实数a 取值范围是[)7,9.故答案为：[)7,9四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 半径为R 的圆内接ABC，AB =，ACB ∠为锐角．（1）求ACB ∠的大小；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积． 【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理计算可得；（2）由角平分线的性质得到2b a =，再由等面积法求出a ，最后由面积公式计算可得.的【小问1详解】由正弦定理2sin sin AB R ACB ACB =⇒∠=∠，又角ACB ∠为锐角，所以π3ACB ∠=． 【小问2详解】∵CD 为ACB ∠的平分线，2AD DB =，设点D 到BC 和AC 的距离为d ，则1212BCDACDBC dS BD S AD AC d ⋅==⋅ ，即BC BDAC AD =， ∴2b a =，又∵+= ACD BCD ABC S S S ， ∴1π1π1π2sin 2sin sin 262623b a a b ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，则有232a =，∴a =0a =（舍去），所以b =∴1πsin 23ABC S ab ==．18. 已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为21nn +. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =-；(2)()143149n n n T ++-⋅=.【解析】【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，令1,n =得12113a a =，所以123a a =. 令2,n =得12231125a a a a +=，所以2315a a =解得1a 1,d 2==，所以2 1.n a n =- （Ⅱ）由（Ⅰ）知21224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅所以23141424......(1)44,nn n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减，得121344 (44)nn n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.19. 如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ,,E F 分别为,AB CD 的中点，224CD AB EF ===，M 为DF 的中点．现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体．在图②中：（1）证明：EF MC ⊥；（2）求平面MAB 与平面DAB 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2【解析】.【分析】（1）根据折叠前后垂直的关系不变可得,EF DF EF CF ⊥⊥，由线面垂直的判定定理可得EF ⊥平面DCF ，由线面垂直性质可得EF MC ⊥；（2）根据面面垂直性质可知以F 为坐标原点，分别以,,FD FC FE 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用二面角空间向量求法可得平面MAB 与平面DAB. 【小问1详解】由题意知在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，又,E F 分别为,AB CD 的中点，所以,EF AB EF CD ⊥⊥， 即折叠后,EF DF EF CF ⊥⊥，DF CF F = ，所以EF ⊥平面DCF ，又MC ⊂平面DCF ， 所以EF MC ⊥． 【小问2详解】∵平面BEFC ⊥平面AEFD ，平面BEFC ⋂平面AEFD EF =，且EF DF ⊥， 所以DF ⊥平面BEFC ，CF ⊂平面BEFC ,DF CF ⊥，,,DF EF CF 两两垂直，以F 为坐标原点，分别以,,FD FC FE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 易知1,1DM MF ==，所以()()()()1,0,0,2,0,0,1,0,2,0,1,2M D A B ，则()()()0,0,2,1,0,2,1,1,0MA DA AB ==-=-设平面MAB 的法向量()111,,m x y z =，则11120m MA z m AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，则11y =，得()1,1,0m =u r ； 的设平面DAB 的法向量()222,,x n y z =则222220n DA x z n AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取21z =，则222,2x y ==，可得()2,2,1n =r ，cos ,m n m n m n⋅===，由图易知平面MAB 与平面DAB 夹角为锐角，所以平面MAB 与平面DAB． 20. 已知函数()2ln f x x x=+． （1）讨论函数()y f x x =-零点的个数；（2）是否存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立． 【答案】（1）有且只有1个零点（2）不存在 【解析】【分析】（1）对函数()y f x x =-求导，可判断其单调性，代入特殊值检验，根据零点存在性定理，可判断零点的个数.（2）由题意()f x kx >恒成立，参数分离和构造函数求得导数，判断单调性，综合分析，即可得答案. 【小问1详解】设()()g x f x x =-，则()22217122410x g x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=--=-<，可知()g x 在()0,∞+上单调递减，又()110g =>，()2ln210g =-<，所以方程()0g x =有且仅有一个根，即函数()y f x x =-有且只有1个零点．【小问2详解】令()f x kx >得2ln x kx x +>（0x >），即22ln x k x x+>（0x >）, 设()22ln x h x x x =+，()0,x ∈+∞，则()()32341ln 1ln 4x h x x x x x x x -'=-+=--， 设()ln 4H x x x x =--，()0,x ∈+∞，则()()3H x h x x '=， 因()1ln 1ln H x x x '=--=-，当01x <<时，()ln 0H x x '=->，当1x >时，()ln 0H x x '=-<，所以函数()H x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 110430H x H ==--=-<，则()()30H x h x x'=<恒成立， 所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，又x →+∞，()0h x →，所以不可能存在正实数k ，使得()22ln x h x k x x=+>恒成立， 即不可能存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立．21. 某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为13，上两级的概率为23，设他上到第n 级的概率为n P ． （1）求他上到第10级的概率10P （结果用指数形式表示）； （2）若他上到第5级时，求他所用的步数X 的分布列和数学期望．【答案】（1）1010223535P ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ （2）分布列见解析；期望为425133 【解析】【分析】（1）求出1P ，2P 且121233n n n P P P --=+（3n ≥），从而变形后得到通项公式，求出答案； （2）先在（1）的基础上求出此人上到第5级的概率，再求出X 的可能取值及相应的概率，得到分布列，为求出数学期望.【小问1详解】 由条件知113P =，22217339P ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 且121233n n n P P P --=+（3n ≥）． 所以112212221333n n n n P P P P P P ---+=+==+= ， 设()123n n P P λλ-=-++，故13532n n P P λ--=-， 令513λ-=，解得35λ=-， 所以1323535n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 又134515P -=-， ∴13425153n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭， ∴223535n n P ⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭． ∴1010223535P ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭． 【小问2详解】 由（1）知此人上到第5级的概率为55223133535243P ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， X 的可能取值为3，4，5，其中3X =时，此人1次选择跨一级，2次选择跨两级，由条件概率可得， ()21312C 108333133133243P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===， 4X =时，此人1次选择跨两级，3次选择跨一级，由条件概率可得，()31421C 24334133133243P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===， 5X =时，此人5次选择跨一级，由条件概率可得，()5551C 341331332143P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===， 所以X 的分布列为 X3 4 5 P 108133 24133 1133所以()108241425345133133133133E X =⨯+⨯+⨯=．22. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0ab >>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是坐标平面内一点，且1234OP PF PF =⋅= （O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标和MAB △面积的最大值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）2212x y += （2）存在定点()0,1M ，MAB △面积的最大值为169 【解析】【分析】（1）根据向量的数量积运算求得1c =，结合离心率求,a b ，即可得方程； （2）1:3l y kx =-，()()()1122,,,,0,A x y B x y M m ，联立方程，根据0MA MB ⋅= 结合韦达定理分析可知()0,1M ，再利用弦长公式结合基本不等式求面积最大值.【小问1详解】设椭圆C 的半焦距为0c >，因为()()()()221212111⋅=+⋅+=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r PF PF PO OF PO OF PO OF PO OF PO OF ， 即27344-=c ，解得1c =，又因为c e a ==a =，可得2221b ac =-=， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=. 【小问2详解】存在，理由如下： 因为10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内，则动直线l 与椭圆C 必相交， 由题意可设：1:3l y kx =-，()()()1122,,,,0,A x y B x y M m ， 联立方程221213x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y 得()2241612039k x kx +--=， 则()()121222416,312912k x x x x k k +==-++，因为()()1122,,,MA x y m MB x y m =-=- ，若以AB 为直径的圆恒过点M ，则()()1212121211033⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+-+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦u u u r u u u r MA MB x x y m y m x x kx m kx m 整理得()()221212111033⎛⎫⎛⎫+-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k x x m k x x m ， 可得()()()22222161141033912312+⎛⎫⎛⎫--+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭k k m m k k ， 令13+=m n ，即()()()2222216140912312+--+=++k k n n k k ，整理得()22229689160--+-=n n k n ，则()22296809160n n n ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，解得43n =， 即1433+=m ，可得1m =，所以()0,1M ， 又因为==AB ， 点()0,1M 到直线1:03--=l kx y 的距离d = 则MAB△面积891122=⋅==△MAB Sd AB ， 令2=≥t ，则2249t k -=， 可得2881492129⋅=-++⨯=△MAB t t t S t ， 因为12y t t =+在[)2,+∞上单调递增，且29|2==t y ，则1922+≥t t ， 可得120192<≤+t t ，则8160,192⎛⎤∈⎥⎝⎦+= △MAB t tS ， 所以当且仅当2,0t k ==时，MAB △面积取到最大值169.【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在； （2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．。