投影与直观图直观图
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投影与直观图页数:15
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高一数学投影与直观图PPT优秀课件页数:26
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人教A版高中数学必修第二册教学课件：第八章8.2立体图形的直观图(共29张PPT)
知识梳理
一、 投影与直观图
1.投影的定义 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这 种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫 做投影面.
2.直观图 （1）直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. （2）立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
Hale Waihona Puke ① ② ③ ④ ⑤图8-2-4
A.①② B.①②③ C.②⑤ D.③④⑤
2. C 解析：由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行 四边形，且锐角为45°，故②⑤正确.
训练题3 如图8-2-5所示是水平放置的三角形的直观图， A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是 （ ）
下列叙述中，正确的个数为
（）
斜二测画法的位置关系与2.度用量斜特征二用测口诀画简法记为画：空间几何体的直观图的具体规则
了解空间几何体的不同表现形式.
用斜二测画法画出正六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O.
九十度，画一半，横不变，纵减半，
第八章 立体几何初步
三、用斜二测画法画空间几何体的直观图
原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半”的规则，确定平面图
形的关键点.
点拨：斜二测画法中“斜二测”的意思：
（1）直观图是观察者站在某一点 观 察 一个 空 间几何体获得的图形.
1
C.
① ②
训练题1.下列叙述中，正确的个数为 （ ）
①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍平行；
投影,直观图和三视图
投影,直观图和三视图【知识概述】柱、锥、台、球的结构特征是基础，以长方体为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图及直观图属新增内容，在高考中频繁出现，大多为由三视图确定原几何体的表面积与体积，多以选择题、填空题出现，难度不大．本节课通过知识的梳理和典型例题的讲解，使同学们理解和掌握空间几何体的结构特征、直观图和三视图的相关知识，并提高学生的空间想象能力、抽象概括能力以及几何直观能力.1.在三视图中，主视图反映物体的长与高的位置关系；俯视图反映物体的长与宽的位置关系；左视图反映物体的高与宽的位置关系.归纳口诀：长对正，高平齐，宽相等.2.斜二测画法的一般步骤：①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox 、Oy ，再作Oz 轴，使∠xOz ＝90°，且∠yOz ＝90°.②画直观图时，把它画成对应的轴O ＇x ＇、O ＇y ＇、O ＇z ＇，使∠ x ＇O ＇y ＇＝ 45°（或135°），∠ x ＇O ＇z ＇＝ 90°，x ＇O ＇y ＇所确定的平面表示水平平面.③已知图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ＇轴、y ＇轴、z ＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.【学前诊断】1. [难度] 易一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A.球B.三棱锥C.正方形D.圆柱2．[难度] 中一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m .3．[难度] 中若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．【经典例题】例1．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么ABC ∆的平面直观图'''A B C ∆的面积为（ ）A. 2B. 2C.28a D. 216a例2．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到一个边长为1的正方形，则原来图形的形状是（ ）例3．设如图所示，甲、乙、丙是三个空间几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱.A.④③②B. ②①③C. ①②③D. ③②④例4．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ ）例 5．如右图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（ ）例 6．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（ ）例 7．若几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A.3352cm 3B.3320cm 3C.3224cm 3D.3160cm 3例 8．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.2B.1C.23D.13 例 9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .例 10．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 .【本课总结】1.要注意牢固把握各种几何体的结构特征，利用它们彼此之间的联系来加强理解.2.以长方体为载体，借助实物模型，加深对几何体结构特征的理解和掌握.3.理解直观图与三视图的关系，能根据三视图画出直观图并求几何体的表面积和体积【活学活用】1．[难度] 易某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是（ ） 2. [难度] 中某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A．12π B.45π C.57π D.81π3.[难度] 难一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________.。
投影与直观图
1.1.4投影与直观图
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
——苏轼
请同学们看下面常见的自然现象， 考虑它们是怎样得到的?
这种现象我们把它称为是投影.
想 一 想 ？
通过观察和自己的 认识 , 你是怎样来理解 投影的含义的?
投影是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投
影面)投射,并在该面上得到图形的方法.
平行投影规律：
1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段； 2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线； 3.平行于投射面得线段，它的投影与这条线 段平行且等长； 4.与投射面平行的平面图形，它的投影与 这个图形全等； 5.在同一直线或平行直线上，两条线段平行 投影的比等于这两条线段的比。
中心投影虽然可以显示空间图形
2. 在主视图、左视图上都体现形体的高 度，且高度在水平方向上是平齐的，我们称之 为高平齐。
3. 在左视图、俯视图上都体现形体的宽 度，且是同一形体的宽度，是相等的，我们称 之为宽相等。
三视图表达的意义
从前面正对着物体观察，画出主视图，主 视图反映了物体的长和高及前后两个面的实 形。
2、用斜二测画法画边长为4cm的正方形的
直观图。 •3、教材16页，练习第3、4题。
练习
1. 对几何体三视图，下列说法正确的是：（C ）
A . 正视图反映物体的长和宽 B . 俯视图反映物体的长和高
C . 侧视图反映物体的高和宽 D . 正视图反映物体的高和宽
2 . 若某几何体任何一种视图都为圆，那 球体 么这个几何体是___________
Y X ¹ âÔ´
平行投影
Y
X
平行投影:投射线相互平行的投影 可以分为:斜投影 正投影
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
——苏轼
请同学们看下面常见的自然现象， 考虑它们是怎样得到的?
这种现象我们把它称为是投影.
想 一 想 ？
通过观察和自己的 认识 , 你是怎样来理解 投影的含义的?
投影是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投
影面)投射,并在该面上得到图形的方法.
平行投影规律：
1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段； 2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线； 3.平行于投射面得线段，它的投影与这条线 段平行且等长； 4.与投射面平行的平面图形，它的投影与 这个图形全等； 5.在同一直线或平行直线上，两条线段平行 投影的比等于这两条线段的比。
中心投影虽然可以显示空间图形
2. 在主视图、左视图上都体现形体的高 度，且高度在水平方向上是平齐的，我们称之 为高平齐。
3. 在左视图、俯视图上都体现形体的宽 度，且是同一形体的宽度，是相等的，我们称 之为宽相等。
三视图表达的意义
从前面正对着物体观察，画出主视图，主 视图反映了物体的长和高及前后两个面的实 形。
2、用斜二测画法画边长为4cm的正方形的
直观图。 •3、教材16页，练习第3、4题。
练习
1. 对几何体三视图，下列说法正确的是：（C ）
A . 正视图反映物体的长和宽 B . 俯视图反映物体的长和高
C . 侧视图反映物体的高和宽 D . 正视图反映物体的高和宽
2 . 若某几何体任何一种视图都为圆，那 球体 么这个几何体是___________
Y X ¹ âÔ´
平行投影
Y
X
平行投影:投射线相互平行的投影 可以分为:斜投影 正投影
投影与直观图
A
P
B
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
D
C
B
A
D
C
A
B
总结
1. 平行投影的性质; 2.斜二测画法步骤 (1)平面图形的斜二测画法, (2)简单几何体的斜二测画法； 3.坐标系的选取是画直观图的关 键，选取不同的坐标系，画出的 直观图可能不一样.
x
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD 的直观图
2 画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4
cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5 cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
y
F A
M
E D
O'
y'
O
x
B N C
x'
y
F
M
E D
y
A
B
O
x
A
B
F M E
N
O
D
C
x
N
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF D
y
A
B
O
x
A
B
当投射线和投射面成适当的角度或改 变图形相对于投射面的位置时，一个空 间图形在投射面上的平行投影（平面图 形）可以形象地表示这个空间图形。像 这样用来表示空间图形的平面图形，叫 做空间图形的直观图。 依据平行投影的性质画直观图的方法， 国家规定了统一的标准，一种较为简单 的画图标准是斜二侧画法。
课件2：1.1.4 投影与直观图
y
y'
O
x
y
O'
y'
x'
O
x O'
x'
变式2：用斜二测法画出水平放置的任意三角形直观图
y
y'
O
x
O'
x'
总结：
平行于 x 轴的线段，仍平行 x，轴，且长度不变 平行于 y 轴的线段，仍平行 y’ 轴，且长度变为原来的0.5
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是5cm、4cm、 3cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.
1.1.4 投影与直观图
请看下面几个常见的自然现象,考虑它们是怎样得到的?
这种现象我们把它称为是投影.
一、投影的概念 在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做
投影．其中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕 叫做投影面．
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角 度的平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影.
斜投影：投射线 倾斜于投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方便， 在作图中应用最广泛．
斜投影在实际中用得比较少，其特点是直观性强，但作图比 较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一种 辅助图样．
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.
1.正投影：投影线与投影面垂直 2.斜投影：投影线与投影面斜交
中心投影后的图形与原图形相比，虽然 改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉 效果一致，最象原来的物体．所以在绘画时， 经常使用这种方法，但在立体几何中很少用 中心投影原理来画图．
三、平行投影
如果将投影中心移到无穷远处，则所有的投影线都相互平 行，这种投射线为平行线时的投影称为平行投影．
直观图
投,射 并在该面上 方 得 .法 到图形的
投射线交于称 一中为 点 心投的 影 如 投1 图 影 120 所示 .
投影面 投射线 视点
投射线 投影
• 投射中心 投影面
投影 图1120 中心投影
中 心 投 影 形 成 的 直能观非图常 逼 真 地 反 映的原物来体, 因 此 主 要 运 用 于 绘域画, 也邻常 用 来 概 括 地 描个绘结一 构 或 一 个 产 品 的.由 外于 貌中 心 投 影 的 投心影、中投 影 面 和 物 体 的 相 对 位变置时改 ,直 观 图 的 大 小 和 形将状 也 改 变,因 此 工 程 制 图 或 技样术一图般 不 采 用 中 心,而投 影 采用平行投影方 , 法
第三步 连结 A`C`,B`C`,所得 的三角 形A`B`C`就是正三 AB角 的 C形 直观 . 图
例2 画 棱 长2c为 m正 方 体 的 直. 观 图
z`
D`
C`
B` A`
y`
解 画法按如下步骤完成 . 第一步作水平放置的正直 方观 形图 的 ABC,D使BAD450, AB2cm, AD1
例3、画水平放置的圆的直观图。
Y Y’
O
X
0
X’
例4、如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，哪一条 线段最长。
练习2：
如图，一个平面图形的水平放置的
斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底
角为45°，两腰和上底边长均为1，求
这个平面图形的面积.
D
C
D
C
S 2 2
长度;平 不行 变 y轴 于 的,长 线度 段为原 . 来的一
练习1：
画水平放置的正六边形的直观图
投射线交于称 一中为 点 心投的 影 如 投1 图 影 120 所示 .
投影面 投射线 视点
投射线 投影
• 投射中心 投影面
投影 图1120 中心投影
中 心 投 影 形 成 的 直能观非图常 逼 真 地 反 映的原物来体, 因 此 主 要 运 用 于 绘域画, 也邻常 用 来 概 括 地 描个绘结一 构 或 一 个 产 品 的.由 外于 貌中 心 投 影 的 投心影、中投 影 面 和 物 体 的 相 对 位变置时改 ,直 观 图 的 大 小 和 形将状 也 改 变,因 此 工 程 制 图 或 技样术一图般 不 采 用 中 心,而投 影 采用平行投影方 , 法
第三步 连结 A`C`,B`C`,所得 的三角 形A`B`C`就是正三 AB角 的 C形 直观 . 图
例2 画 棱 长2c为 m正 方 体 的 直. 观 图
z`
D`
C`
B` A`
y`
解 画法按如下步骤完成 . 第一步作水平放置的正直 方观 形图 的 ABC,D使BAD450, AB2cm, AD1
例3、画水平放置的圆的直观图。
Y Y’
O
X
0
X’
例4、如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，哪一条 线段最长。
练习2：
如图，一个平面图形的水平放置的
斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底
角为45°，两腰和上底边长均为1，求
这个平面图形的面积.
D
C
D
C
S 2 2
长度;平 不行 变 y轴 于 的,长 线度 段为原 . 来的一
练习1：
画水平放置的正六边形的直观图
第一章 1.1.4 投影与直观图
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规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
基础知识梳理
课堂互动讲练
思维误区警示
第 一 章 立 体 几 何 初 步
法二：(1)如图(3)所示，以BC边所在的直 线为y轴， 以BC边上的高AO所在的直线为x轴．
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规律方法总结
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基础知识梳理
课堂互动讲练
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规律方法总结
随堂即时巩固
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基础知识梳理
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思维误区警示
第 一 章 立 体 几 何 初 步
基础知识梳理
1．平行投影 (1)有关概念 ①点的平行投影 如右图，已知图形F、直线l与平面α相 交，过F上任一点M作直线MM′平行于l ，交 平面α于点M′，则点M′叫做点M在平面α内关 于直线l的平行投影(或象)．
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规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
基础知识梳理
课堂互动讲练
思维误区警示
第 一 章 立 体 几 何 初 步
2．直观图 (1)空间图形的直观图：用来表示空间图 形的平面图形，叫做空间图形的直观图． (2)斜二测画法：一种画直观图的方法， 其规则是： ①在已知图形中建立直角坐标系xOy， 画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两 轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的 平面表示 水平 平面；
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规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
基础知识梳理
课堂互动讲练
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
(2) 画 下 底 面 ， 在 xOy 平 面 上 画 △ABC 的直观图， 3 3 在 y 轴上量取 OC＝ cm， OD＝ 3 6 cm. 过 D 作 AB∥x 轴，且 AB＝2 cm， 以 D 为中点，则△ABC 为下底面三角形 的直观图．
课件3：1.1.4 投影与直观图
1.1.4 投影与直观图
学习目标
1.了解中心投影和平行投影的概念.(重点) 2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤. (重点) 3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体 的直观图.(重点) 4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图.(难点)
知识梳理 教材整理1 投影的概念 1.投影的概念 (1)定义：由于光的照射，在 不透明 物体后面的屏幕上 可以留下这个物体的 影子，这种现象叫做投影. (2)投影线：光线 . (3)投影面：留下影子的屏幕 .
知识梳理
3.立体图形直观图的画法 画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′ 垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变 .其他同 平面图形的画法.
预习自测 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行. () (2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴. () (3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变. ()
课堂检测
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，
在y′轴上截取O′A′＝12AO＝
3 4
cm，连接A′B′，A′C′，则
△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图.
课堂检测
3.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系 xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它 的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.
课堂检测
【解析】 画出直观图，BC 对应 B′C′，且 B′C′＝1，
∠B′C′x′＝45°，故顶点
B′到
x′轴的距离为
题型探究
【解析】 其中②可以是四边形BFD1E在正方体的面 ABCD或在面A1B1C1D1上的投影. ③可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影. 【答案】 ②③
学习目标
1.了解中心投影和平行投影的概念.(重点) 2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤. (重点) 3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体 的直观图.(重点) 4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图.(难点)
知识梳理 教材整理1 投影的概念 1.投影的概念 (1)定义：由于光的照射，在 不透明 物体后面的屏幕上 可以留下这个物体的 影子，这种现象叫做投影. (2)投影线：光线 . (3)投影面：留下影子的屏幕 .
知识梳理
3.立体图形直观图的画法 画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′ 垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变 .其他同 平面图形的画法.
预习自测 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行. () (2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴. () (3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变. ()
课堂检测
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，
在y′轴上截取O′A′＝12AO＝
3 4
cm，连接A′B′，A′C′，则
△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图.
课堂检测
3.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系 xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它 的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.
课堂检测
【解析】 画出直观图，BC 对应 B′C′，且 B′C′＝1，
∠B′C′x′＝45°，故顶点
B′到
x′轴的距离为
题型探究
【解析】 其中②可以是四边形BFD1E在正方体的面 ABCD或在面A1B1C1D1上的投影. ③可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影. 【答案】 ②③
投影与直观图斜二测画法.ppt
A
M
B
A’
M’
B’
练习：下列说法是否正确？
（1）正方形的平行投影可能是梯形. （×）
（2） 两条相交直线的平行投影可能平行（. ×）
（3）互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂
直.
（×）
（4）等腰三角形的平行投影仍是等腰三角形.
（×）
二.斜二测画法
1. 直观图
当投射线和投射面成适当的角度或改变图 形相对于投射面的位置时，一个空间图形在 投射面上的平行投影（平面图形）可以形象 地表示这个空间图形。像这样用来表示空间 图形的平面图形，叫做空间图形的直观图。
（1） 直线或线段的平行投影仍是直线或线段.
（2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
（3）平行于投射面的线段，它的 平行投影与这条线段平行且等长.
（4）与投射面平行的平面图形， 它的投影与这个图形全等.
F F’
一.平行投影
（5）在同一直线或平行直线上，两条线段的平 行投影线段的长度比等于这两条线段的长度比.
三、概念形成
相关概念 在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点 的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度。人们把这 个弧长叫做两点的球面距离。
B
A O
三、概念形成
概念4.组合体 我们观察周围的物体，除了柱、锥、台、球等基 本几何体外，还有大量的几何体是由柱、锥、台、 球等基本几何体组合而成的。这些几何体叫做组 合体。
四、应用举例
例3.填空：
（1）用一张4×8（cm2）的矩形硬纸卷成圆柱的侧
面，接头忽略不计，则轴截面面积是
。
（2）圆台的两底半径分别为2cm和5cm，母线长为
53cm1，0c则m 它的轴截面面积是 28
投影与直观图
诚西郊市崇武区沿街学校.4投影与直观图文艺复兴以前的透视图远处的东西画小，方形四角的饭桌画成梯形的，圆盘画成椭圆形的，无论大人、小孩，还是东洋、西洋，自古至今如此。
有在人物画的角落画这种饭桌的，也有在一幅画中将左看的形状与右看的形状掺杂着一起画的。
这种画与其称之为原始的，不如说是朴素的透视画。
整幅画，根本上是从一个视点且只向一个方向看时的统一景物，才能叫做。
透视画。
，现存最古的透视画大概是庞贝的壁画。
人们还不明白当时的画家是怎样画出的。
与庞贝城建筑的同时，罗马的建筑家维特鲁威写了建筑十书，其中有所谓。
斯卡伊诺哥拉菲亚。
，可解释成：剧场舞台背景透视画与庞贝的壁画不谋而合的说法可能是正确的。
在维特鲁威的书里的很多地方能看到关于光学和视觉的表达，因此欧几里德有同样说法是可理解的。
虽然中世纪的学者阿尔哈真和培卡姆，也有与欧几里德相似的表达，遗憾的是那一时期的透视图，除了朴素透视画以外几乎没有留下别的。
课程学习目的［课程目的］目的重点：平行投影的性质和斜二测画法。
目的难点：正确地把握斜二测画法的要点以及选择放置直观图的角度。
［学法关键］画程度放置的空间图形的直观图，一般采用斜二测画法。
对于斜二测画法，应当结实掌握画法的规那么，再认真地画几个常见图形的直观图，从中领会斜二测画法的要领。
对三视图的学习要严密地结合实际应用。
可以到工厂去考察机器零件的实物和图纸，要认真完成教材中的实习作业，可以利用课外活动时间是是探究与研究本节后面提出的问题，看一看旋转体的三视图中是否一定有两个视图一样，这两个一样的视图中是否都包含有这个旋转体的轴截面。
研习教材重难点研习点1.平行投影1．点的平行投影：图形F，直线l与平面α相交，过F上任一点M作直线l’平行于l，交平面α于点M’，那么M’叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影〔或者者像〕.2．图形的平行投影：假设图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F’，那么F’叫做图形F在α内关于直线l的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投射线。
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（2）图形的平行投影：如果图形F上的所 有点在平面α内关于直线l的平行投影构成 图形F’，则F’叫做图形F在α内关于直线l 的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投 射线。
探究一：
➢ 问题:
➢ 1.如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个 不同位置:
➢ (1)铁丝平行于投射面;按如图所示投射线，指出其平
A
M
P
B 平面图
P’ A’ M’ B’
A
直观图
30
归纳总结
直观图: 表示空间图形的平面图形， 叫做空间图形的直观图.
如何画空间图形的直观图?
斜二测画法
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o
点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使
xO y=45o或 135o ，它确定的平面表示水平平面。
➢ （2）在已知图形中与z轴平行的线段在直观 图中平行关系是否改变？
➢ （3）在已知图形中与z轴平行的线段的长度 在直观图中是否改变？
A
38
例题解析
例3 画正五棱锥的直观图.
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
y A
B
E
x
G
O
H
y’
O’
x’
C
FD
A
39
例题解析
例4 画棱长为2cm的正方体的直观图.
北师大必修2·§1.2
投影与直 观 图
A
1
知识探究（一）：中心投影与平行投影
1.光是直线传播的，一个不透明物体 在光的照射下，在物体后面的屏幕上会 留下这个物体的影子，这种现象叫做投 影.其中的光线叫做投影线，留下物体影 子的屏幕叫做投影面.
2.我们把光由一点向外散射形成的 投影叫做中心投影，把在一束平行光 线照射下形成的投影叫做平行投影.
36
例题解析
例2 画水平放置的正六边形的直观图.
y
y/
F HE
A
O
H/
F/
E/
Dx
A/
O/
D/
x/
B/ G/ C /
BG C
F/
E/
A/
D/
B/
C/
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
探究五
➢ 画空间几何体的直观图，和平面图形比较， 空间几何体多了一个“高”：
➢ （1）z轴在已知图形和直观图中位置是否改 变？
第 二 步 在 x `轴 上 取 O `A ` O A ,O `B ` O B ,在 y 轴 上 取 O `C ` 1 /2 O C . 第三步
连结A`C`,B`C`,所得的三角形A`B`C` 就是正三角形ABC的直观图.
应用举例:画出水平放置的直角梯形的直观图
y
D
C
AO
Bx
A
y′ C′
D′
A′
B′ x′
A
2
A
A
A
A
B
D
C
A
B
D
C
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B 正投影
D C
平行投影
中心 投影
A
B 正投影
D C
平行投影
中心 投影
A
B 正投影
D C
平行投影
斜投影 A
中心 投影
B
D
正投影
C
在平行投影中，投影线正对着投影面叫做正投影，
否则叫做斜投影
平行投影与中心投影有什么区别？ ➢ 平行投影的投射线都互相平行，中心投影
的投射线是由同一点出发的．
绘画时经常使用中心投影，但 立体几何中很少使用中心投影原 理来画图。常用平行投影来画图。
一、平行投影1)点的平行投影： 已知图形F，直线l与平面α 相交，过F上任一点M作直 线l’平行于l，交平面α于点 M’，则M’叫做点M在平面α 内关于直线l的平行投影.
例1：下列说法正确的是________．
②③
①直线或线段的平行投影仍为直线或线段
②与投射面平行的平面图形，其投影与这个图 形一定全等
③平行四边形的平行投影可能是矩形
④两平行直线的平行投影一定平行
⑤如果一条长为2米的线段，其平行投影为1米， 则长为10米的线段，其平行投影的长为5米
想一想
1.如何将一个直立放置的平面图形画在纸上?
行投影，线段与它的投影的大小关系为
.
➢ (2)铁丝倾斜于投射面，按如图所示投射线，指出其
平行投影，线段与它的投影的大小关系为
.
➢ (3)铁丝垂直于射影面(铁丝不一定要与投射面有公共 点)，按如图所示投射线，指出其平行投影.
探究二： 平行于投射面的正方形的平行投影是 什么？
➢ 平行于投射面的正方形在平行投影下的投 影形状完全不变，相当于把正方形在平行 光线下“平移”到了地面．
探究二：
➢ 2．太阳光线（可看成平行的）照进窗户上， 在地面形成什么图形？
二：平行投影的性质：
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平 行投影都具有以下性质： 1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段; 2. 平行直线的平行投影是平行或重合的直线； 3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 平行且等长；
4．与投射面平行的平面图形，它的投影 与这个图形全等； 5．在同一直线或平行直线上，两条线段 平行投影长度的比等于这两条线段长度 的比。
1. 直线的平行投影可能是（ A ） （A）点 （B）线段 （C）射线 （D）曲线
2. 两条不平行的直线，其平行投影不可能 是（ D ） （A）两条平行线. （B）一点和一条直线 （C）两条相交直线 （D）两个点
例1 画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图．
A
B
O
C
A
34
例1.画水平放置的正三角形的直观图.
画法如下 线 为 x 轴 ,取 对 称 轴 C O 为 y 轴 .
画 对 应 的 x ` 轴 、 y ` 轴 ,使 x ` O ` y ` 4 5 0 .
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
小结：“横同，纵半，4 5 0 平行性不变”
例题解析
例1 画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图．
A
33
例题解析
2. 将一个水平放置的平面图形 画在纸上,怎样画才有立体感呢? (立体图形)
A
27
感受立体图
问题提出
1.太阳光线(假定太阳光线是平行的)把一个长方形 形状的窗框投射到地板上，变成了什么图形？
影子与窗户 之间有区别吗？
A
29
问题提出
1. 窗框的投影图形与原窗框图比较，哪些几何关系或几 何量发生了变化？哪些没有发生变化？
探究一：
➢ 问题:
➢ 1.如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个 不同位置:
➢ (1)铁丝平行于投射面;按如图所示投射线，指出其平
A
M
P
B 平面图
P’ A’ M’ B’
A
直观图
30
归纳总结
直观图: 表示空间图形的平面图形， 叫做空间图形的直观图.
如何画空间图形的直观图?
斜二测画法
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o
点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使
xO y=45o或 135o ，它确定的平面表示水平平面。
➢ （2）在已知图形中与z轴平行的线段在直观 图中平行关系是否改变？
➢ （3）在已知图形中与z轴平行的线段的长度 在直观图中是否改变？
A
38
例题解析
例3 画正五棱锥的直观图.
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
y A
B
E
x
G
O
H
y’
O’
x’
C
FD
A
39
例题解析
例4 画棱长为2cm的正方体的直观图.
北师大必修2·§1.2
投影与直 观 图
A
1
知识探究（一）：中心投影与平行投影
1.光是直线传播的，一个不透明物体 在光的照射下，在物体后面的屏幕上会 留下这个物体的影子，这种现象叫做投 影.其中的光线叫做投影线，留下物体影 子的屏幕叫做投影面.
2.我们把光由一点向外散射形成的 投影叫做中心投影，把在一束平行光 线照射下形成的投影叫做平行投影.
36
例题解析
例2 画水平放置的正六边形的直观图.
y
y/
F HE
A
O
H/
F/
E/
Dx
A/
O/
D/
x/
B/ G/ C /
BG C
F/
E/
A/
D/
B/
C/
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
探究五
➢ 画空间几何体的直观图，和平面图形比较， 空间几何体多了一个“高”：
➢ （1）z轴在已知图形和直观图中位置是否改 变？
第 二 步 在 x `轴 上 取 O `A ` O A ,O `B ` O B ,在 y 轴 上 取 O `C ` 1 /2 O C . 第三步
连结A`C`,B`C`,所得的三角形A`B`C` 就是正三角形ABC的直观图.
应用举例:画出水平放置的直角梯形的直观图
y
D
C
AO
Bx
A
y′ C′
D′
A′
B′ x′
A
2
A
A
A
A
B
D
C
A
B
D
C
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B 正投影
D C
平行投影
中心 投影
A
B 正投影
D C
平行投影
中心 投影
A
B 正投影
D C
平行投影
斜投影 A
中心 投影
B
D
正投影
C
在平行投影中，投影线正对着投影面叫做正投影，
否则叫做斜投影
平行投影与中心投影有什么区别？ ➢ 平行投影的投射线都互相平行，中心投影
的投射线是由同一点出发的．
绘画时经常使用中心投影，但 立体几何中很少使用中心投影原 理来画图。常用平行投影来画图。
一、平行投影1)点的平行投影： 已知图形F，直线l与平面α 相交，过F上任一点M作直 线l’平行于l，交平面α于点 M’，则M’叫做点M在平面α 内关于直线l的平行投影.
例1：下列说法正确的是________．
②③
①直线或线段的平行投影仍为直线或线段
②与投射面平行的平面图形，其投影与这个图 形一定全等
③平行四边形的平行投影可能是矩形
④两平行直线的平行投影一定平行
⑤如果一条长为2米的线段，其平行投影为1米， 则长为10米的线段，其平行投影的长为5米
想一想
1.如何将一个直立放置的平面图形画在纸上?
行投影，线段与它的投影的大小关系为
.
➢ (2)铁丝倾斜于投射面，按如图所示投射线，指出其
平行投影，线段与它的投影的大小关系为
.
➢ (3)铁丝垂直于射影面(铁丝不一定要与投射面有公共 点)，按如图所示投射线，指出其平行投影.
探究二： 平行于投射面的正方形的平行投影是 什么？
➢ 平行于投射面的正方形在平行投影下的投 影形状完全不变，相当于把正方形在平行 光线下“平移”到了地面．
探究二：
➢ 2．太阳光线（可看成平行的）照进窗户上， 在地面形成什么图形？
二：平行投影的性质：
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平 行投影都具有以下性质： 1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段; 2. 平行直线的平行投影是平行或重合的直线； 3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 平行且等长；
4．与投射面平行的平面图形，它的投影 与这个图形全等； 5．在同一直线或平行直线上，两条线段 平行投影长度的比等于这两条线段长度 的比。
1. 直线的平行投影可能是（ A ） （A）点 （B）线段 （C）射线 （D）曲线
2. 两条不平行的直线，其平行投影不可能 是（ D ） （A）两条平行线. （B）一点和一条直线 （C）两条相交直线 （D）两个点
例1 画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图．
A
B
O
C
A
34
例1.画水平放置的正三角形的直观图.
画法如下 线 为 x 轴 ,取 对 称 轴 C O 为 y 轴 .
画 对 应 的 x ` 轴 、 y ` 轴 ,使 x ` O ` y ` 4 5 0 .
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
小结：“横同，纵半，4 5 0 平行性不变”
例题解析
例1 画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图．
A
33
例题解析
2. 将一个水平放置的平面图形 画在纸上,怎样画才有立体感呢? (立体图形)
A
27
感受立体图
问题提出
1.太阳光线(假定太阳光线是平行的)把一个长方形 形状的窗框投射到地板上，变成了什么图形？
影子与窗户 之间有区别吗？
A
29
问题提出
1. 窗框的投影图形与原窗框图比较，哪些几何关系或几 何量发生了变化？哪些没有发生变化？