2019-2020学年高中数学 §1.1.4平行投影与直观图.导学案 新人教A版必修2.doc

1.1.4 投影与直观图1．了解平行投影、中心投影主要特征与关系．2．会用斜二测画法画出简单空间图形直观图，会画出某些建筑物或零件直观图．3．通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出直观图，了解空间图形不同表示形式．1．平行投影(1)平行投影：在一束________光线照射下形成投影，叫做平行投影．平行投影投射线是________(如以下图)．(2)平行投影性质：①直线或线段平行投影仍是________或________．②平行直线平行投影是________或________直线．③平行于投射面线段，它投影与这条线段__________．④与投射面平行平面图形，它投影与这个图形________．⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影比________这两条线段比．【做一做1】当图形中直线或线段不平行于投射线时，以下关于平行投影性质表达正确个数是( )．①直线或线段平行投影仍是直线或线段；②平行直线投影仍是平行直线；③平行于投射面线段，它投影与这条线段平行且等长；④矩形平行投影一定是矩形．A．1 B．2 C．3 D．42．直观图(1)定义：当投射线与投射面成适当角度或改变图形相对于投射面位置时，一个空间图形在投射面上____________可以形象地表示这个空间图形．像这样用来表示空间图形平面图形，叫做空间图形__________．(2)空间图形直观图画法：__________.(3)用斜二测画法画水平放置平面图形直观图步骤是：①在图形中取互相__________x轴与y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝________(或________)，它们确定平面表示水平面．②图形中平行于x轴或y轴线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴线段．③图形中平行于x轴线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴线段，长度为原来________．(4)用斜二测画法画立体图形直观图步骤：①在图形所在空间中取水平平面，作互相垂直轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝________，∠yOz＝________.②画出与Ox，Oy，Oz对应轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝__________，∠x′O′z′＝________，x′O′y′所确定平面表示水平平面．③图形中，平行于x轴、y轴与z轴线段，在直观图中分别画成________于x ′轴、y ′轴与z ′轴线段，并使它们在所画坐标轴中位置关系与图形中相应线段与原坐标轴位置关系一样．④图形中平行于x 轴与z 轴线段，在直观图中保持长度________，平行于y 轴线段，长度为原来________．⑤擦除作为辅助线坐标轴，就得到了空间图形直观图．斜二测画法作图规那么可以简要地说成：“竖直或水平方向放置线段画出时方向、长度都不变，前前方向放置线段画出时方向与水平方向成45°或135°角，长度画成原长度一半(仍表示原长度)〞．【做一做2－1】关于“斜二测画法〞，以下说法不正确是( )．A ．原图形中平行于x 轴线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变B ．原图形中平行于y 轴线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来12C ．画与直角坐标系xOy 对应x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°D ．在画直观图时，由于选轴不同，所得直观图可能不同【做一做2－2】如图，该直观图所表示平面图形是( )．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形3．中心投影一个________把一个图形照射到一个平面上，这个图形影子就是它在这个平面上中心投影(如图)．在绘画时，经常使用这种方法．但在立体几何中很少用中心投影原理来画图．【做一做3】相片放大与电影都是__________投影；几何画图与工程制图都是__________投影．1．中心投影与平行投影区别与联系剖析：中心投影与平行投影都是空间图形根本画法，但应注意是：(1)画实际效果图时，一般用中心投影法．如人视觉、照片、美术作品等都具有中心投影特点；(2)中心投影与平行投影区别在于：平行投影投射线都互相平行，中心投影投射线交于同一点；(3)中心投影与平行投影都是空间图形根本画法，平行投影包括斜二测画法与下节将要学习三视图．经中心投影后图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人视觉效果一致，最像原来物体；(4)画实际效果图时，一般用中心投影法；画立体几何中图形时，一般用平行投影法．2．斜二测画法作图技巧剖析：(1)在图中建立直角坐标系，理论上是在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊直角坐标系，尽量用原有直线为坐标轴或图形对称直线为坐标轴或图形对称点为原点或利用原有垂直正交直线为坐标轴等．(2)在原图中与x轴或y轴平行线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行线段可以先画出线段端点再连线，画端点时作坐标轴平行线为辅助线．原图中曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中相应点后，用平滑曲线连接而画出．(3)在画一个水平放置平面时，由于平面是无限延展，通常我们只画出它一局部表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面直观图．在斜二测画法中，直观图与原图存在如下关系：①平行性不变；②共点性不变；③平行线段长度比不变．正因为这样，所以直观图形状虽然有很大变化，但我们仍能借助于直观图结合几何体概念，想象出原图形状与性质．3．教材中“思考与讨论〞如果一个平面图形所在平面与投射面平行，试问，中心投影后得到图形与原图形有什么关系？剖析：假设一个平面图形所在平面与投射面平行，那么中心投影后得到图形与原图形关系是相似．题型一平行投影性质应用【例1】如果图形所在平面不平行于投射线，那么以下说法正确是( )．A．矩形平行投影一定是矩形B．梯形平行投影一定是梯形C．正方形平行投影一定是矩形D．正方形平行投影一定是菱形反思：平行投影性质是分析原图形与其投影关系理论依据．题型二画直观图【例2】画出一个锐角是45°平行四边形直观图．分析：画水平放置平面图形直观图时，建系至关重要，应将尽量多点放在坐标轴上，这样，点在直观图中位置更容易确定．反思：画平面图形直观图时，首先要在原图中建好坐标系，再依据作图规那么逐步作出．【例3】有一个正三棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正三棱锥直观图．分析：根据斜二测画法，先选择恰当坐标系画出正三角形直观图，再确定出正三棱锥顶点即可．反思：正棱锥直观图在今后学习中经常要用到，应该掌握正棱锥直观图画法思路，以便在今后学习中，可以较快、较准确地画出正棱锥草图．画草图步骤为：先画底面、找底面中心、作高连线．题型三直观图复原【例4】图形A′B′C′D′是一个平面图形直观图，∠A′＝45°，请画出它实际图形．分析：直观图是一个锐角为45°平行四边形→建立直观图坐标系→建立平面直角坐标系→复原实际图形反思：复原图形过程是画直观图逆过程，它主要包括平行于x′轴线段长度不变，平行于y′轴线段长度变为原来2倍等．题型四易错辨析【例5】利用斜二测画法得到：①三角形直观图是三角形；②平行四边形直观图是平行四边形；③正方形直观图是正方形；④菱形直观图是菱形．以上结论正确个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．3错解：A错因分析：混淆了直观图与平行投影区别，直观图形是利用平行投影性质画出来一种能反映原物体整体特征一种图示，而平行投影情况就较多了．1以下命题中真命题个数是( )．①正方形平行投影一定是菱形；②平行四边形平行投影一定是平行四边形；③三角形平行投影一定是三角形．A．0 B．1 C．2 D．32以下说法正确是( )．A．相等线段在直观图中仍然相等B．假设两条线段平行，那么在直观图中对应两条线段仍然平行C．两个全等三角形直观图一定也全等D．两个图形直观图是全等三角形，那么这两个图形一定是全等三角形3(2021·福建福州高一期末)利用斜二测画法，作出直线AB直观图如下图，假设O′A′＝O′B′＝1，那么直线AB在直角坐标系中对应函数表达式是( )．A ．y ＝－x ＋1B ．y ＝x －1C ．y ＝－2x ＋2D ．y ＝2x －24假设线段AB 平行于投影面，O 是线段AB 上一点，且AO OB ＝m n，那么O 平行投影O ′分线段AB 平行投影A ′B ′长度之比A ′O ′O ′B ′为________．5用斜二测画法画出图中水平放置四边形OABC 直观图． 答案：根底知识·梳理1．(1)平行 平行 (2)①直线 线段 ②平行 重合 ③平行且等长 ④全等 ⑤等于【做一做1】B ①③正确．2．(1)平行投影(平面图形) 直观图 (2)斜二测画法(3)①垂直 45° 135° ②平行 ③不变 一半 (4)①90° 90° ②45°(或135°) 90° ③平行 ④不变 一半【做一做2－1】C 画与直角坐标系xOy 对应x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′也可以是135°，所以C 项不正确．【做一做2－2】B 因为在直观图中三角形两条边平行于坐标轴，所以原来平面图形是直角三角形．3．点光源【做一做3】中心 平行典型例题·领悟【例1】B 结合平行投影性质去判断．【例2】解：如图①，四边形ABCD 是以∠A 为45°平行四边形，以AB 所在直线为x 轴，过点D 且与AB 垂直直线为y 轴，建立直角坐标系．画出对应x ′轴与y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图②，在x ′轴上截取O ′A ′＝OA ，O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，经过点D ′作D ′C ′∥x ′轴且使D ′C ′＝DC .连接A ′D ′，B ′C ′，所得四边形A ′B ′C ′D ′即是所给平面图形直观图，如图③.【例3】解：(1)先画出边长为3 cm 正三角形水平放置直观图，如图①所示；(2)过正三角形中心O ′建立z ′轴，画出正三棱锥顶点V ′，使V ′O ′＝3 cm ，连接V ′A ′，V ′B ′，V ′C ′，如图②所示；(3)擦去辅助线，遮住局部用虚线表示，得到正三棱锥直观图，如图③.【例4】解：(1)在原图中建立如图①所示坐标系x ′O ′y ′，再建立一个直角坐标系，如图②所示；(2)在x 轴上截取线段AB ＝A ′B ′，在y 轴上截取线段AD ，使AD ＝2A ′D ′；(3)过点B 作BC ∥AD ，过D 作DC ∥AB ，使BC 与DC 交于点C ，那么四边形ABCD 即为A ′B ′C ′D ′实际图形．【例5】C 正解：正方形、菱形直观图通常为平行四边形而不具有其他性质，即命题③④为假命题，应选C.随堂练习·稳固1．A 假设平面图形所在平面与投射线平行，那么上述三个命题中平面图形平行投影都是线段，可知三个命题都不成立．应选A.2．B 直角坐标系选取不同时，图形直观图也会不同，所以选项A ，C ，D 错误，但平行关系不会发生变化．3．D 由直观图复原规律可得A ，B 在直角坐标系中位置如下图．令函数关系式为y ＝kx ＋b ，将A (1,0)，B (0，－2)代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝0，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝2，b ＝－2，∴函数表达式为y ＝2x －2.4．m n由题意，知AB ∥A ′B ′，OO ′∥AA ′，OO ′∥BB ′， 那么有A ′O ′O ′B ′＝AO OB ＝m n. 5．解：如下图．(1)画O ′x ′轴，O ′y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，O ′x ′轴，O ′y ′轴与xOy 坐标系对应轴单位长度一样．(2)在x ′轴上取点H ，使O ′H ＝3，作HA ′∥O ′y ′，并取A ′H ＝1，在y ′轴上取C ′，使O ′C ′＝1，在x ′轴上取B ′，使O ′B ′＝4.(3)顺次连接O ′，A ′，B ′，C ′，便得到所求四边形OABC 直观图．。

1.1.4 投影与直观图学习目标理解直观图的斜二测画法规则，会画常见几何体的直观图．知识点直观图与斜二测画法(1)直观图用来表示空间图形的平面图形．(2)斜二测画法的规则①在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy轴，再作Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×)2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．( ×) 3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．( ×)类型一直观图的画法例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图．解 (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出相应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(1)(2)所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连接B ′C ′，如图(2)． (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图(3)．引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系．(2)画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．反思与感悟 (1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便． (2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．跟踪训练1 (1)用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图．解 ①如图a 所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系．②画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝2 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12OA ＝ 3 cm ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图b 所示．(2)画一个正四棱锥的直观图(尺寸自定)．解 ①画轴．如图c ，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°. ②画底面．以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD . ③画顶点．在Oz 轴上截取OS ，使OS 等于已知正四棱锥的高．④画棱．连接SA ，SB ，SC ，SD ，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥S －ABCD 的直观图，如图d 所示．类型二 直观图的还原与计算 命题角度1 由直观图还原平面图形例2 如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．解 ①画出直角坐标系xOy ，在x 轴的正方向上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′；②过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于点D ′，在OA 上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，且使DB ＝2D ′B ′；③连接AB ，BC ，得△ABC .则△ABC 即为△A ′B ′C ′对应的平面图形，如图所示．反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy 中的位置．跟踪训练2 如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________形．答案菱解析如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连接BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°(或135°)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S . 跟踪训练 3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是( )A.12B.22C. 2 D ．2 2答案 C解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为12，又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为2，故选C.1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( ) A ．16 B ．64 C ．16或64 D ．无法确定答案 C解析 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 2．利用斜二测画法画出边长为3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的( )答案 C解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3．有一个长为5 cm ，宽为4 cm 的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm 2. 考点 平面图形的直观图 题点 与直观图有关的计算 答案 5 2解析 该矩形直观图的面积为24×5×4＝5 2. 4.画出水平放置的四边形OBCD (如图所示)的直观图．解 (1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图①所示，画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图②所示．(2)如图②所示，在x ′轴上取点B ′，E ′， 使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ； 在y ′轴上取一点D ， 使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴， 使E ′C ′＝12EC .连接D ′C ′，B ′C ′.(3)擦去坐标轴及B ′E ′，E ′C ′，则所求四边形OBCD 的直观图如图③所示．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．3．中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致．若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似．一、选择题1．给出以下说法，其中不正确的是________．①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形．A．①② B．②③C．③④ D．①④答案 A解析由斜二测画法规则可知①②不正确，故选A.2．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )A．90°，90° B．45°，90°C．135°，90° D．45°或135°，90°考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案 D解析根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )答案 C解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．4．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )答案 C解析设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，根据斜二测画法在直角坐标系中先做出对应的A点和B点，再由平行于x′轴的线段在原图中平行于x轴，且长度不变，作出原图可得C.5．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm答案 B解析由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.6．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形答案 B解析由直观图的性质知B正确．7．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案 A解析直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．8.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，边BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为( )A．4 cm2 B．4 2 cm2 C．8 cm2 D．8 2 cm2答案 C解析依题意可知，∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上，下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.二、填空题9．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．答案(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2)．10．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则直观图梯形的高为________ cm.答案22解析 作CD ，BE ⊥OA 于点D ，E ，则OD ＝EA ＝OA －BC2＝2，∴OD ＝CD ＝2，∴直观图中梯形的高为12×2×22＝22(cm)．11.如图所示，四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0,0)，A (2,4)，B (4,0)，C (4，－2)，则该图形直观图的面积为________．答案 3 2解析 由S 原＝12×4×(4＋2)＝12，则S 直＝24S 原＝24×12＝3 2. 三、解答题12．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．解 画法：(1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy .如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图b 中，在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598 cm；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴， 使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ， 再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．13．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm ，高为2 cm) 解 (1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC ，其中O 为△ABC 的重心，BC ＝2 cm ，线段AO 与x 轴的夹角为45°，AO ＝2OD .(2)过O 作z 轴，使∠xOz ＝90°，在z 轴上截取OO ′＝2 cm ，作上底面等边三角形的直观图△A ′B ′C ′，其中B ′C ′＝1 cm ，线段A ′O ′与x 轴的夹角为45°，A ′O ′＝2O ′D ′，连接AA ′，BB ′，CC ′，得正三棱台的直观图．四、探究与拓展14.如图所示为水平放置的△ABO 的直观图△A ′B ′O ′，由图判断在原三角形中，AB ，BO ，BD ，OD 由小到大的顺序是________________．答案 OD <BD <AB <BO15.如图为一边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形原来的图形，并求出其面积．解(1)在正方形A′B′C′D′中建系如图a，建立直角坐标系xOy如图b.(2)在x轴上截取AO＝A′O′，OC＝O′C′.(3)过点A作AD∥y轴，并截取AD＝2A′D′.过点C作CB∥y轴，并截取CB＝2C′B′.(4)连接DC，AB.四边形ABCD为原图形．因为A′C′在水平方向，A′B′C′D′为正方形，所以在四边形ABCD中，DA⊥AC.所以DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。

1.1.4 投影与直观图自主学习学习目标1．初步了解空间图形平行投影和中心投影的原理，初步理解平行投影的性质．2．了解空间图形的不同表示形式，会运用斜二测画法的规则画出水平放置的简单空间图形的直观图．自学导引1．平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：(1)直线或线段的平行投影仍是________或________；(2)平行直线的平行投影是________或________的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段________且________；(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形________；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比________这两条线段的比．2．水平放置的平面图形的直观图的画法(1)表示空间图形的__________，叫做空间图形的直观图．(2)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成________于x′轴、y′轴或z′轴的线段，平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．(3)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的________，再借助于所作的__________确定端点在直观图中的位置．3．中心投影一个__________把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．对点讲练知识点一平行投影的概念性质例1下列命题中正确的个数为( )①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②矩形的平行投影一定是矩形；③两条相交直线的投影可能平行；④如果△ABC在一投影面内的平行投影是△A′B′C′，则△ABC的重心M在投影面内的平行投影M′一定是△A′B′C′的重心．A．1 B．2 C．3 D．4点评本题必须明白平行直线(与投射线不平行)的平行投影是平行直线或重合的直线；在同一直线上或平行直线上，两条线段的平行投影的比等于两条线段的比．一般来说正方形、菱形、长方形的平行投影是平行四边形，梯形的平行投影是梯形．变式训练1 关于直角AOB在某平面内的平行投影有如下判断：①可能是0°角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是________________．知识点二水平放置的平面图形的直观图例2用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．点评此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图．要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便．变式训练2将例2中三角形放置成如图所示，则直观图与例2中还一样吗？知识点三将直观图恢复为原平面图形例3如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．点评 由直观图恢复到平面图形的步骤与斜二测画法的步骤一样，注意角度的改变，平行性不变，长度的变化，关键是点的确定．变式训练3 已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为( )A.32a 2B.34a 2C.62a 2D.6a 21．直观图中应遵循的基本原则：(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍． 3．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.课时作业一、选择题1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将( ) A ．逐渐变短 B ．逐渐变长 C ．不变 D ．以上都不对2．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a23.如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )4．如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )二、填空题6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为______．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．三、解答题8．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．9.如图所示，四边形ABCD是一个直角梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.【答案解析】 自学导引1．(1)直线 线段 (2)平行 重合 (3)平行 等长 (4)全等 (5)等于 2．(1)平面图形 (2)平行 不变 一半 (3)平行线 平行线 3．点光源 对点讲练例1 A [命题①错误，当直线或线段与投射线平行时，其平行投影是点；命题②错误，当投射线不与矩形所在平面垂直时，平行投影可以是平行四边形或者线段；命题③错误，两条相交直线的投影可能是相交直线或重合的直线，不可能平行；命题④正确，重心的平行投影仍是重心．]变式训练1 ①②③④⑤例2 解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm ，在y′轴上截取O′A′＝12OA ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示．变式训练2 解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为y 轴，以BC 边上的高AO 所在的直线为x 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′A′＝OA ，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝12OC ＝1 cm ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示．显然与例2中既不全等也不相似．例3 解 画法：(1)以点C 为原点，画直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O′A′，即CA ＝C′A′；(2)在图1中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x 轴上取OD ＝O′D′，过D 作DB∥y 轴，并使DB ＝2D′B′.(3)连接AB 、BC ，则△ABC 即为△A′B′C′原来的图形，如图2.变式训练3 C [画△ABC 直观图如图(1)所示：则A′D′＝32a ，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a. 画△ABC 的实际图形，如图(2)所示， AO ＝2A′O′＝6a ，BC ＝B′C′＝a ，∴S △ABC ＝12BC·AO＝62a 2.]课时作业1．B [中心投影的性质．]2．D [先画出正三角形ABC ，然后再画出它的水平放置的直观图，如图所示．由斜二测画法规则知B′C′＝a ，O′A′＝34a.过A′作A′M⊥x′轴，垂足为M ，则A′M＝O′A′·sin 45°＝34a×22＝68a. ∴S △A′B′C′＝12B′C′·A′M＝12a×68a ＝616a 2.]3．A 4.C 5.C 6.2.57.22解析 画出直观图，则B′到x′轴的距离为 22·12OA ＝24OA ＝22. 8．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图b 所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图a 中，过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB ＝4 cm ，A′E′＝AE ＝323≈2.598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED ，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC ＝2 cm.(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．9．解 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1.由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示．在直观图中，O′D′＝12OD ，梯形的高D′E′＝24，于是，梯形A′B′C′D′的面积S ＝12×(1＋2)×24＝328.。

1．1．4 投影与直观图1．了解中心投影、平行投影的概念． 2．理解直观图的斜二测画法规则． 3．会画常见几何体的直观图．1．平行投影(1)有关概念 ①点的平行投影如图，已知图形F 、直线l 与平面α相交，过F 上任意一点M 作直线MM ′平行于l ，交平面α于点M ′，则点M ′叫做点M 在平面α内关于直线l 的平行投影(或象)．②图形的平行投影如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线l 的平行投影构成图形F ′，则F ′叫做图形F 在α内关于直线l 的平行投影．平面α叫做投射面，直线l 叫做投射线．(2)当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下列性质： ①直线或线段的平行投影仍是直线或线段； ②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； ④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比． 2．直观图(1)空间图形的直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． (2)斜二测画法：一种画直观图的方法，其规则是：①在已知图形中建立直角坐标系xOy ，画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；②已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段；③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度变为原来的12．(3)正等测画法正等测画法的依据还是平行投影，不过这时投射线和人的视线平行，并且投射线与投射面垂直，它一般用于画圆、圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体．3．中心投影中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影和平行投影的区别在于：平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线交于同一点．画实际效果图时，一般用中心投影法；画立体几何中的图形时一般用平行投影法．1．如果图形所在的平面不平行于投射线，那么下列说法正确的是( ) A ．矩形的平行投影一定是矩形 B ．梯形的平行投影一定是梯形 C ．正方形的平行投影一定是矩形 D ．正方形的平行投影一定是菱形解析：选B ．梯形两底的平行投影一定平行，所以选B ． 2．下列关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A ．原图中平行于x 轴的线段，其对应线段仍平行于x ′轴，长度不变B ．原图中平行于y 轴的线段，其对应线段仍平行于y ′轴，长度不变C ．画与坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′可以等于135°D ．画直观图时，由于选轴不同，所画的直观图可能不同 解析：选B ．平行于y 轴的线段其长度变为原来的12．3．平行投影与中心投影有什么区别？解：平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线是由同一点出发的．中心投影与平行投影下列说法：①平行投影的投射线互相平行，中心投影的投射线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线； ③两条相交直线的平行投影是两条相交直线． 其中，正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】题号判断原因分析①√由平行投影和中心投影的定义可知②空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点③两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线(1)考虑一个几何体的投影是什么图形，要分清楚是平行投影还是中心投影，投射面的位置如何．(2)空间图形在平行投影和中心投影下，大多情况下得到的图形是不同的，但是也有相同的情况，如直线经过两种投影，都有可能变为一个点．下列说法正确的是________．①直线或线段的平行投影仍为直线或线段；②与投射面平行的平面图形，其投影与这个图形一定全等；③平行四边形的平行投影可能是矩形；④两平行直线的平行投影一定平行；⑤如果一条长为2米的线段，其平行投影为1米，则长为10米的线段，其平行投影的长为5米．解析：因为当直线或线段与投射线平行时，其平行投影为一个点，故①不正确；②正确；因为经平行投影后的角度可以改变，平行性不变，故平行四边形的平行投影可能是矩形，故③正确；因为两平行直线的平行投影可能是一条直线或两个点，故④不正确；因为⑤中的两线段不一定平行，故⑤不正确．答案：②③直观图的画法画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC ．连接B ′C ′，如图②．(3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图．如图③．画水平放置的图形的直观图的关键及注意事项(1)在画水平放置的图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图．解：(1)画轴．画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，使∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图(1)．(2)画底面．以O 为中心在xOy 平面内，画出正方形ABCD 的直观图．(3)画顶点．在Oz 轴上任取一点P ．(4)成图．顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线， 得四棱锥的直观图(如图(2))．直观图的还原与计算如图是四边形ABCD 的水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′，则原四边形ABCD 的面积是( )A ．14B ．10 2C ．28D ．14 2 【解析】因为A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′≠C ′D ′，所以原图形是一个直角梯形．又A ′D ′＝4，所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S ＝12×(2＋5)×8＝28．【答案】 C直观图还原为平面图形的方法及面积的求法(1)还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段．平行于x ′轴的线段长度不变，平行于y ′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．(2)求图形的面积，关键是能正确画出图形，然后求出相应边的长度，利用公式求解． [注意] 原图的面积S 与直观图的面积S ′之间的关系为S ＝22S ′．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A ．34a 2B ．38a 2 C ．68a 2 D ．616a 2 解析：选D ．如图①②所示为实际图形和直观图．由②可知，B ′C ′＝BC ＝a ，O ′A ′＝12OA ＝34a ，在图②中作A ′D ′⊥B ′C ′于点D ′，则A ′D ′＝22O ′A ′＝68a ． 所以S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2．1．画水平放置的平面图形的直观图的步骤为：画轴(让尽量多的点在坐标轴上)；取点；成图．在图形中，平行于x 轴的线段，在直观图中保持其长度不变；平行于y 轴的线段，在直观图中长度减半．画平面图形的直观图，关键是确定各顶点(或其它有代表性的点)的位置；而确定顶点的位置，需要选取有关的两个坐标系，并在两个坐标系之间，建立一定的对应关系，其中以平行投影的性质为主要依据．2．画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与x ′O ′y ′平面垂直的轴O ′z ′，且平行于O ′z ′的线段，在直观图中的长度不变，其他与平面图形直观图的画法一致．既能画水平放置的平面图形的直观图，又能画空间图形的直观图，这就要求掌握好斜二测画法的规则．若对斜二测画法的规则不清楚，则容易出错．同时，又要能由直观图还原到原图形，养成逆向思维的习惯．1．在灯光下，圆形窗框在与窗框平行的墙面上的影子的形状是( ) A ．平行四边形 B ．椭圆形 C ．圆形D ．菱形解析：选C ．由点光源的中心投影的性质可知影子应为圆形． 2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )解析：选C ．根据斜二测画法的规则：平行于x 轴或在x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段的长度在新坐标中变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C．3．已知有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其斜二测直观图的面积为________．解析：由于该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)．所以其斜二测直观图的面积为S′＝24S＝52(cm2)．答案：5 2 cm24．长度相等的两条平行线段的直观图的长度________．答案：相等[学生用书P83(单独成册)])[A 基础达标]1．下列命题中真命题的个数是( )①正方形的平行投影一定是菱形；②平行四边形的平行投影一定是平行四边形；③三角形的平行投影一定是三角形．A．0 B．1C．2 D．3解析：选A．若平面图形所在平面与投射线平行，则上述三个命题中的平面图形的平行投影都是线段，可知三个命题都不成立．故选A．2．下列说法正确的是( )A．相等的线段在直观图中仍然相等B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C．两个全等三角形的直观图一定也全等D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形解析：选B．直角坐标系的选取不同时，图形的直观图也会不同，所以选项A，C，D错误，但平行关系不会发生变化．3．图中斜二测直观图所示的平面图形是(A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′)() A．直角梯形B．等腰梯形C．不可能是梯形D．平行四边形解析：选A．因为A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，所以∠B′＝45°，所以在平面图形中∠B为直角．又根据平行于x′轴的线段长度在原坐标中不变，故在平面图形中AD∥BC，且AD≠BC，故为直角梯形．4．正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A．6 cm B．8 cmC．(2＋32)cm D．(2＋23)cm解析：选B．如图，OA＝1 cm，在Rt△OAB中，OB＝2 2 cm，所以AB＝OA2＋OB2＝3 cm．所以四边形OABC的周长为8 cm．5．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A．2 cm B．3 cmC．2．5 cm D．5 cm解析：选D．圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D．6．若线段AB平行于投影面，O是AB上一点，且AO∶OB＝m∶n，则点O的平行投影点O′分线段AB的平行投影线段A′B′的长度之比是________．解析：由平行投影的性质知A′O′∶O′B′＝AO∶OB．答案：m∶n7．如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为________．解析：由四边形OPQR 的直观图可知原四边形是矩形，且OP ＝3，OR ＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10．答案：10 8．如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．解析：在直观图中四边形A ′B ′C ′O ′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，所以顶点B ′到x ′轴的距离为22． 答案：229．画如图放置的直角三角形的直观图．解：画法：(1)画x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°(如图(2))． (2)在原图中作BD ⊥x 轴，垂足为D (如图(1))． (3)截取O ′A ′＝OA ，O ′C ′＝12OC ，O ′D ′＝OD ，D ′B ′＝12BD ，且B ′D ′∥y ′轴．(4)连线成图．(擦去辅助线)(如图(3))10．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝BO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．解：法一：在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328．法二：梯形ABCD 的面积S ＝12(DC ＋AB )×OD＝12(1＋2)×1＝32． 所以梯形ABCD 直观图的面积为S ′＝24S ＝24×32＝328． [B 能力提升]11．已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形，那么原三角形的面积为( )A ．32 B ．62 C ．34D ．616解析：选B ．如图，找到三角形ABC 的高是关键．△A ′B ′C ′的高A ′D ′＝32，所以O ′A ′＝2A ′D ′＝62， 所以OA ＝2O ′A ′＝6． 所以S △ABC ＝12·BC ·OA ＝62．12．给出下列说法：①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．写出其中正确说法的序号________．解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x 轴、y 轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x 轴、y 轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形．答案：④13．用斜二测画法画如图所示的水平放置的正三角形的直观图．解：(1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．在x ′轴上取O ′B ′＝O ′C ′＝OB ＝OC ，在y ′轴上取O ′A ′＝12OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示．14．(选做题)如图是一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD 的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，因为AD＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，所以S四边形ABCD＝AC·AD＝22．。

人教版高中必修2(B版)1.1.4投影与直观图教学设计一、教学目标1.了解画直观图的方法。

2.掌握投影与图形的关系，熟练掌握投影的绘制方法。

3.能够应用所学知识识别图形的种类、大小、形态等特征。

二、教学重点1.投影的绘制方法。

2.图形的种类、大小、形态等特征的识别。

三、教学难点1.投影与直观图的联系、区别。

2.多图形的组合绘制。

四、教学过程1.导入（约5分钟）通过展示投影和直观图的样例，引出本次课程的主题。

2.讲解（约10分钟）通过投影，我们可以将一个三维立体图形在二维平面上表示出来。

这种绘制方法有助于我们更好地观察和认识图形。

而直观图，则是应用这些绘制方法，把三维立体图形的特征表现在二维平面上。

我们可以在实际生活中看到很多具有投影和直观图特征的图形。

3.练习（约35分钟）练习1请在黑板上绘制一个简单的图形，让学生通过投影的方法，画出这个图形的相对位置和形态。

如果学生不是很熟悉投影的绘制方法，可以提供一些指导，但要鼓励他们自己动手尝试。

练习2请学生在自己的作业本上，运用所学绘制出以形的投影和直观图：图形1图形24.总结（约5分钟）让学生展示自己绘制的投影和直观图，并对他们的作品进行点评和指导。

五、作业请学生在作业本上完成以下题目：1.绘制出三个图形的投影和直观图。

2.在家里观察实际生活中的一些具有投影和直观图特征的图形，并写下自己的观察和感受。

六、教学反思本节课以绘制投影和直观图为主要内容，是一节比较实践性的课程。

通过练习，学生能够更好地掌握投影的绘制方法，同时了解到不同种类的图形有着不同的投影特征。

作业的布置能够帮助学生进一步巩固练习成果，并多接触实际生活中的场景，增强对课程内容的理解和应用。

在教学中，我注重培养学生的动手实践能力，重视学习过程中的互动和师生互动，在引导学生掌握知识的同时，激发他们的学习热情和主动性。

1.1.4 投影与直观图1．平行投影(1)投影①定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．②投射线：光线．③投射面：留下影子的屏幕．(2)平行投影当投射光线为一束平行线时，该投影称为平行投影．(3)平行投影的性质①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．2．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．4．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )C[正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y轴的边长为1.5 cm.]2.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形B[由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.] 3．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．②⑤[线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．]【例1】按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．[思路探究] 按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图． [解] 画法：(1)在图①中作AG ⊥x 轴于点G ，作DH ⊥x 轴于点H .(2)在图②中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°. (3)在图②中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝12GA ，H ′D ′＝12HD .(4)连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′(如图③)．1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图所示．[解] 画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°(如图②)．。

1.1.4投影与直观图使用说明及学法指导1、先看教材P.16—P.21，然后开始做导学案2、针对预习、自学及合作探究找出的疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑3、带“*”号的C层可以不做【学习目标】1、平行投影的性质和斜二测画法。

2、正确地把握斜二测画法的要点以及选择放置直观图的角度。

【自主学习】1、平行投影（1）、点的平行投影：已知图形F，直线l与平面α相交，过F上任一点M作直线l’平行于l，交平面α于点M’，则叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影（或像）.（2）、图形的平行投影：如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F’，则叫做图形F在α内关于直线l的平行投影，平面α叫做，l叫做。

（3）、平行投影的性质：当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质：1)．；2)．；3)．；4)．；5)．。

2、中心投影：。

理解：平行投影与中心投影的本质区别在于：。

3、空间图形的直观图（1）、概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.（2）、斜二测画法：国家规定的统一的画直观图的一种方法，它的步骤是？并画出一个正方体在图中标出x、y、z轴感受一下！！斜二测画法注意点：斜二测画法的作图规则可以简要地说成：竖直或水平方向放置的线段画出后方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成或，长度画成原长度的（仍表示原长度）4、水平放置的平面图形的直观图的画法依照课本的例1来进一步的感受题型1. 考查基本概念例（1）、当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是（）（A）直线或线段的平行投影仍是直线或线段（B）平行直线的平行投影仍是平行的直线（C）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等（D）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比（2）、有下列说法：①从投影的角度看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投射线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式。

2020高中数学 1.1.4平行投影与直观图学情分析新人教B版必修2 《平行投影与直观图》学情分析
在小学和初中，对几何体的认识，只局限在直观的层面上，为了使学生更为科学的获取知识，更扎实的掌握有关立体几何的知识，首先使学生认识空间的点、线、面、体、轨迹与图形，接着由学生观察和总结多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征，然后，在了解几种投影的特征和关系的基础上，学习直观图的做法。

考虑到学生对直观图比较陌生，由太阳光线将一个矩形的窗框投射到地板上图形为平行四边形入手，展开讨论。

接着介绍平行投影概念一性质，进而引出斜二测画法的规则，中间穿插几个小练习，加深对斜二测画法的熟练程度。

《平行投影与直观图》效果分析
本节课总体上基本完成了既定的教学目标，在以下几处设计达到了较好效果：
1、本课从民间艺术皮影和手影出发抓住了学生的求知欲，自然而然的过渡到斜二测画法，导入自然，既调动了学生的兴趣、积极性，又符合教材内容的需要；
2、学生掌握了斜二测画法的规则，知道如何去画水平放置的平面图形的直观图
3、“我的收获”处让学生自己去总结提升本节课的知识体系，留有大幅空白，给学生充分的考虑，既有知识上的收获，也有能力的提升；
4、“学以致用”采用小组讨论的方式，设计不同梯级的训练问题，提高了学生的分析能力，最后让学生自我总结，清晰明了的认识到了斜二测画法的规则
当然，在本节课中也有几处地方没有达到较好效果：
1、变式训练比较有代表性，训练了学生正向和逆向思维能力，但备课考虑不周，如果将由平面到直观图的题目放在第一题，其他题放在最后，这样会提高学生的做题速度；
2、自己尺规作图的熟练程度有待于提高；
3、有些地方可以渗透德行教育，却没有渗透。

2019-2020年高中数学《空间几何体的三视图和直观图》学案1 新人教A版必修2一、基础知识1.光由一点向外散射形成的投影叫做；在一束平行光线照射下形成的投影叫做.2.三视图的主视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的、、观察几何体画出的轮廓线，画三视图的基本要求是和高度一样；和长度一样；和宽度一样.3.斜二测画法的规则是:(1)在已知图形中建立直角坐标系xoy ,画直观图时，它们分别对应和轴，两轴交于点，使，它们确定的平面表示水平平面.(2) 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成(3)已知图形中平行于轴的线段的长度,在直观图中;平行于轴的线段，在直观图中二.基础练习1.下列说法正确的是( )A.矩形的中心投影一定是矩形B.两条相交直线的平行投影不可能平行C.梯形的中心投影一定是梯形D.平行四边形的中心投影一定是梯形2.如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是（）3.以下说法正确的是（）A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B.任何物体的三视图都与于物体的摆放位置无关C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形4.两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）A.两条平行直线B.一点和一条直线C.两条相交直线D.两个点5.下面的说法正确的是（）A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形B.两条相交直线的直观图可能是平行直线；C.互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直；D.平行四边形的直观图仍然是平行四边形6.圆柱的正视图和侧视图都是，俯视图是；圆锥的正视图和侧视图都是，俯视图是；圆台的正视图和侧视图都是，俯视图是；球的三视图都是（参考答案：1.B 2.A 3.C 4.D5.D 6矩形，圆；等腰三角形，圆和点；等腰梯形，同心圆；圆）三．典型例题例1 螺栓是棱柱和圆柱的组合体如图，画出它的三视图.例2 根据三视图,想像物体原型,并画出物体的实物草图:(1)三视图如图(a)(2)三视图如图(b)(a) (b)例3已知正三角形ABC的边长为，求的平面直观图的面积.四.自我测评1.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( )2.给出下列命题：①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体;②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台。

1.1.4 投影与直观图1．平行投影(1)投影①定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．②投射线：光线．③投射面：留下影子的屏幕．(2)平行投影当投射光线为一束平行线时，该投影称为平行投影．(3)平行投影的性质①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．2．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中在x 轴上或平行于x 轴的线段，在直观图中长度不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．4．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x ′O ′y ′垂直的轴O ′z ′，且平行于O ′z ′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．1．利用斜二测画法画出边长为3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的( )C [正方形的直观图是平行四边形，且平行于x 轴的边长为3 cm ，平行于y 轴的边长为1.5 cm.]2.如图，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，其中A ′B ′＝A ′C ′，那么△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形B [由斜二测画法的规则可知△ABC 为直角三角形，且直角边的长度关系为AC ＝2AB .] 3．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________． ①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．②⑤ [线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．]【例1】 按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE 的直观图．[思路探究] 按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图． [解] 画法：(1)在图①中作AG ⊥x 轴于点G ，作DH ⊥x 轴于点H .(2)在图②中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°. (3)在图②中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝12GA ，H ′D ′＝12HD .(4)连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′(如图③)．1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图所示．[解] 画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°(如图②)．①(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .②(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．【例2】 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． [思路探究] 画轴→画底面→画顶点→成图 [解] 画法：(1)画轴：① ②画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图①.(2)画底面：以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD . (3)画顶点：在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高．(4)成图：顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．[解] (1)画轴：画x ′轴、y ′轴、z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，∠x ′O ′z ′＝90°.(2)画底面：在面x ′O ′y ′内，画出正六边形的直观图ABCDEF .(3)画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 、F 分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′、FF ′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连线A ′、B ′、C ′、D ′、E ′、F ′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示．1．如图，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 斜二测画法的直观图，能否判断△ABC 的形状？[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB ＝90°，故△ABC 为直角三角形．2．若探究1中△A ′B ′C ′的A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是多少？ [提示] 由已知得△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，故AB ＝AC 2＋BC 2＝10. 3．若已知一个三角形的面积为S ，它的直观图面积是多少？[提示] 原三角形面积为S ＝12a ·h (a 为三角形的底，h 为三角形的高)，画直观图后，a ′＝a ，h ′＝12h ·sin 45°＝24h ，S ′＝12a ′·h ′＝12a ·24h ＝24×12a ·h ＝24S .【例3】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．[思路探究]由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[解]①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB ＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________．菱形[如图所示，在原图形OABC中，应有OABC，OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]1．由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．2．若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝24 S.1．本节课的重点是了解中心投影与平行投影，难点是画几何体的直观图．2．本节课掌握的规律方法(1)判断几何体投影形状及画投影的方法．(2)画出空间几何体的直观图．(3)直观图的还原与计算．3．本节课的易错点是混淆中心投影和平行投影.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行． ( ) (2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴． ( ) (3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变． ( )(4)斜二测坐标系取的角可能是135°. ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√[提示] 平行于y 轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( ) A ．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B ．梯形的直观图是平行四边形 C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形D [由斜二测画法规则可知，平行于y 轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D 正确．]3．如图所示为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．22[画出直观图，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为22.] 4．画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图．[解] (1)如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34 cm ，连接A ′B ′，A ′C ′，则△A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图．。