2015高中数学 1.1.4平行投影与直观图学情分析 新人教B版必修2

高中数学人教B版必修二第一章《1.1.4 投影与直观图》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1、了解表示空间图形的投影方法原理
2、掌握斜二测画法
3、了解中心投影方法
2学情分析
学生基础参差不齐,观察能力差
3重点难点
掌握斜二测画法
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】一、创设情景，揭开课题
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同。

不识庐山真面目,只缘身在此山中”。

这是北宋诗人苏轼的一首诗,同学们,苏轼是怎样观察庐山的呢?对,横看,侧看,近看,远看,身处山中看。

这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同,要比较真实地反映出物体的结构特征,我们可从多角度观看物体。

在上一节我们认识了空间几何体的结构特征,如何将这些空间几何体画在纸上,并体现立体感呢?这堂课我们主要学习中心投影与平行投影及空间几何体的三视图。

(点出课题:投影和三视图).
活动2【活动】二、新知识探究
1. 中心投影与平行投影:
我们知道,物体在灯光或日光的照射下,就会在地面或墙壁上产生影子,这是一种自然现象。

投影就是由这类自然现象抽象出来的。

所谓投影,是一个不透明物体在光的照射下,在物体后面的屏幕上留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线,留下物体影子的屏幕叫做投影面.生活中有许多利用投影的例子,如手影表演,皮影戏等。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）1.1.4投影与直观图1.1.5三视图【目标要求】1、掌握投影的规律、斜二测画法、三视图画法的规则.2、会用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图（特别是正三角、正方形、正五边形、 正六边形的直观图）. 能将平面图形的直观图还原成平面图形3、会画常见柱锥台等组合体的三视图【巩固教材——稳扎马步】1、在画水平放置的平面图形时，在原来的图形中，若两条线段平行且相等则在直观图中对应的两条线段( )A.平行且相等.B.平行不相等.C.相等不平行.D.既不平行也不相等.2、若一个三角形，采用斜二侧画法作其直观图时，其直观图的面积是原三角形面积的( ) A.21倍 B.２倍 C.22倍 D.2倍3、下图中的三视图表示哪个几何体？图1.1.4-1AC B 图 1.1.4-2主视图 左视图 俯视图4.一个水平放置的四边形的斜二侧直观图是一个底角是45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是( ) A.2+2 B.1+2 C.1+22 D.21+22 【重难突破——重拳出击】5、如图1.1.4-3所示的直观图所表示的平面图形是( ) A.正三角形. B.锐角三角形. C.钝角三角形. D.直角三角形.6、如图所示：水平放置在平面α内的直观图，(1)Rt ΔABC ，(2)等腰ΔABC ，(3)正方形ABCD ，其中正确个数是( )A.0B.1C.2D.3A A C Bα B CαB C α D A7.下面是由六个相同的长方体堆成的物体，如图1.1.4-5 ①．(1)画出这个物体的正视图．(2)改变视图的形状使它的俯视图如图1.1.4-5②，试画出它的左视图．8．在由实物图到三视图的过程中，实物上的某些点的位置又是如何变化的呢？如图所示，在右侧两个视图上确定A 、B 、C 、D 的位置D xyo 图1.1.4-3 图 1.1.4-4① 俯视图②图1.1.4－5 A B DC 图1.1.4-6 图1.1.4-7【巩固提高——登峰揽月】9.一个物体由几块正方体叠成，它的三视图如图．试问：(1)该物体有几层高？(2)该物体最长的地方有多长？(3)最低部分位于哪里？10.下面是一些立体图形的视图，如图图1.1.4-9，但是观察的方向不同，试说明各个图可能是哪一种立体图形的视图．【课外拓展——超越自我】11. 把10个相同的小正方形，按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干小正方形．如果将图中标有A的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形个数与搬去前相比( )A ．不增不减B ．减少1个C ．减少2个 D ．减少3个1.1.4投影与直观图1.1.5三视图【巩固教材——稳扎马步】1.A2.A3.D4.A【重难突破——重拳出击】5. B6. C 图 1.1.4-8①② ③ 图1.1.4-9A 图1.1.4-10 正视图图1.1.4-67. 解 (1)如图1.1.4-6．(2)如图①、②、③、④、⑤、⑥．8. 解 (1)2层．(2)左边一纵最长，长为3个正方形的边长．(3)右纵与横第二行的交叉处是空的，最低．①②③④⑤⑥ 图1.1.4-7。

1.1.4 投影与直观图自主学习学习目标1．初步了解空间图形平行投影和中心投影的原理，初步理解平行投影的性质．2．了解空间图形的不同表示形式，会运用斜二测画法的规则画出水平放置的简单空间图形的直观图．自学导引1．平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：(1)直线或线段的平行投影仍是________或________；(2)平行直线的平行投影是________或________的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段________且________；(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形________；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比________这两条线段的比．2．水平放置的平面图形的直观图的画法(1)表示空间图形的__________，叫做空间图形的直观图．(2)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成________于x′轴、y′轴或z′轴的线段，平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．(3)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的________，再借助于所作的__________确定端点在直观图中的位置．3．中心投影一个__________把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．对点讲练知识点一平行投影的概念性质例1下列命题中正确的个数为( )①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②矩形的平行投影一定是矩形；③两条相交直线的投影可能平行；④如果△ABC在一投影面内的平行投影是△A′B′C′，则△ABC的重心M在投影面内的平行投影M′一定是△A′B′C′的重心．A．1 B．2 C．3 D．4点评本题必须明白平行直线(与投射线不平行)的平行投影是平行直线或重合的直线；在同一直线上或平行直线上，两条线段的平行投影的比等于两条线段的比．一般来说正方形、菱形、长方形的平行投影是平行四边形，梯形的平行投影是梯形．变式训练1 关于直角AOB在某平面内的平行投影有如下判断：①可能是0°角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是________________．知识点二水平放置的平面图形的直观图例2用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．点评此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图．要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便．变式训练2将例2中三角形放置成如图所示，则直观图与例2中还一样吗？知识点三将直观图恢复为原平面图形例3如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．点评 由直观图恢复到平面图形的步骤与斜二测画法的步骤一样，注意角度的改变，平行性不变，长度的变化，关键是点的确定．变式训练3 已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为( )A.32a 2B.34a 2C.62a 2D.6a 21．直观图中应遵循的基本原则：(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍． 3．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.课时作业一、选择题1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将( ) A ．逐渐变短 B ．逐渐变长 C ．不变 D ．以上都不对2．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a23.如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )4．如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )二、填空题6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为______．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．三、解答题8．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．9.如图所示，四边形ABCD是一个直角梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.【答案解析】 自学导引1．(1)直线 线段 (2)平行 重合 (3)平行 等长 (4)全等 (5)等于 2．(1)平面图形 (2)平行 不变 一半 (3)平行线 平行线 3．点光源 对点讲练例1 A [命题①错误，当直线或线段与投射线平行时，其平行投影是点；命题②错误，当投射线不与矩形所在平面垂直时，平行投影可以是平行四边形或者线段；命题③错误，两条相交直线的投影可能是相交直线或重合的直线，不可能平行；命题④正确，重心的平行投影仍是重心．]变式训练1 ①②③④⑤例2 解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm ，在y′轴上截取O′A′＝12OA ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示．变式训练2 解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为y 轴，以BC 边上的高AO 所在的直线为x 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′A′＝OA ，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝12OC ＝1 cm ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示．显然与例2中既不全等也不相似．例3 解 画法：(1)以点C 为原点，画直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O′A′，即CA ＝C′A′；(2)在图1中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x 轴上取OD ＝O′D′，过D 作DB∥y 轴，并使DB ＝2D′B′.(3)连接AB 、BC ，则△ABC 即为△A′B′C′原来的图形，如图2.变式训练3 C [画△ABC 直观图如图(1)所示：则A′D′＝32a ，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a. 画△ABC 的实际图形，如图(2)所示， AO ＝2A′O′＝6a ，BC ＝B′C′＝a ，∴S △ABC ＝12BC·AO＝62a 2.]课时作业1．B [中心投影的性质．]2．D [先画出正三角形ABC ，然后再画出它的水平放置的直观图，如图所示．由斜二测画法规则知B′C′＝a ，O′A′＝34a.过A′作A′M⊥x′轴，垂足为M ，则A′M＝O′A′·sin 45°＝34a×22＝68a. ∴S △A′B′C′＝12B′C′·A′M＝12a×68a ＝616a 2.]3．A 4.C 5.C 6.2.57.22解析 画出直观图，则B′到x′轴的距离为 22·12OA ＝24OA ＝22. 8．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图b 所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图a 中，过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB ＝4 cm ，A′E′＝AE ＝323≈2.598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED ，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC ＝2 cm.(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．9．解 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1.由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示．在直观图中，O′D′＝12OD ，梯形的高D′E′＝24，于是，梯形A′B′C′D′的面积S ＝12×(1＋2)×24＝328.。

投影与直观图[ 学习目标 ] 1.认识中心投影与平行投影.2.用斜二测画法画水平搁置的平面图形的直观图.3.用斜二测画法画常有的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.[ 知识链接 ]11.三角形的面积S＝2ah(此中 a 为底边长， h 为底边上的高).12.梯形的面积S＝2(a＋ b) h(此中 a、 b 为两底长， h 为高 ).[ 预习导引 ]1.平行投影已知图形 F ，直线 l 与平面α订交 .过 F 上随意一点 M 作直线 MM ′平行于 l，交平面α于点 M′，则点 M′叫做点 M 在平面α内对于直线 l 的平行投影 ( 或象 ).假如图形 F 上的全部点在平面α内对于直线 l 的平行投影组成图形 F′，则 F ′叫做图形 F 在α内对于直线 l 的平行投影 .2.平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都拥有下述性质：(1)直线或线段的平行投影还是直线或线段；(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；(5)在同向来线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.3.中心投影一个点光源把一个图形照耀到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影.4.水平搁置的平面图形的直观图的画法(1)表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.(2)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、 y 轴或 z 轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、 y′轴或 z′轴的线段，平行于x 轴和 z 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为本来的一半.(3)对于图形中与 x 轴、 y 轴、 z 轴都不平行的线段，可经过确立端点的方法来解决，即过端点作坐标轴的平行线，再借助于所作的平行线确立端点在直观图中的地点.重点一中心投影与平行投影例 1 以下说法：①平行投影的投影线相互平行，中心投影的投影线订交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变为直线，但平行线可能变为了订交的直线；③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.此中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3答案D分析平行投影的投影线相互平行，中心投影的投影线订交于一点；空间图形经过中心投影后，直线变为直线，但平行线有可能变为订交线，如照片中由近到远物体之间的距离愈来愈近，最后订交于一点；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.故 3 种说法都正确.规律方法 1.观察一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的地点怎样，再依据平行投影或中心投影的性质来判断.2.平行投影需注企图形、投射线、投射面之间的地点关系，地点发生改变，一般状况下投影也会改变 .3.中心投影与人的视觉成效一致，解题时可联合生活实质作出判断.追踪操练1如下图，这是圆桌正上方的灯泡(看做一个点 )发出的光芒照耀桌面后，在地面上形成的暗影(圆形 )的表示图 .已知桌面的直径为 1.2 m，桌面距离地面 1 m，若灯泡距离地面 3 m，则地面上暗影部分的面积为________(忽视桌脚 ).答案0.81 πm20.6222分析设地面暗影圆的半径为x，则有x＝3，∴x＝ 0.9，∴暗影圆的面积为 S＝πx ＝ 0.81πm .重点二画水平搁置的平面图形的直观图例 2画出如下图水平搁置的等腰梯形的直观图.解画法： (1)如下图，取AB 所在直线为x 轴， AB 中点 O 为原点，成立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝ 45 °.1(2) 以 O′为中点在x′轴上取 A′B′＝ AB，在 y 轴上取 O′E′＝2OE，以 E′为中点画C′D′∥x′轴，并使 C′D′＝CD.(3) 连结 B′C′， D ′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平搁置的等腰梯形ABCD 的直观图 .规律方法 1.此题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“ 绘图” 简易易行.2.在画水平搁置的平面图形的直观图时，选用适合的直角坐标系是重点，一般要使平面多边形尽可能多的极点在座标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段能够经过作平行于坐标轴的线段来达成.追踪操练2用斜二测画法画如下图边长为 4 cm 的水平搁置的正三角形的直观图.解(1) 如图①所示，以B C 边所在的直线为x 轴，以 BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴 .(2)画对应的 x′轴、 y′轴，使∠ x′O′y′＝ 45°.1在 x′轴上截取 O′B′＝ O′C′＝ OB＝ OC＝2 cm，在 y′轴上取 O′A′＝2OA，连结 A′B′，A′C′，则三角形 A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示.3例 3如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面图形的面积为 ()222A. 4 aB.2 2aC.a2D.2a2答案B分析由直观图复原出原图，如图，因此S＝ a·2 2a＝ 22a2.规律方法由直观图复原平面图形重点有两点：(1)平行 x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段扩大为本来的 2 倍；(2)对于相邻两边不与 x′、 y′轴平行的极点可经过作 x′轴， y′轴平行线变换确立其在xOy 中的地点 .追踪操练3一梯形的直观图是一个如下图的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为()A.2B. 2C.22D.4答案D分析如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是同样的，不同样的是两个梯形的高原梯形的高OC 是直观图中O′C′长度的 2 倍， O′C′的长度是直观图中梯形的高的2倍由此知原梯形的高OC 的长度是直观图中梯形高的 2 2倍，故其面积是梯形O′A′B′C′面积的22倍，梯形 O′A′B′C′的面积为 2，因此原梯形的面积是 4.重点四空间几何体的直观图例 4画一个正五棱柱的直观图(尺寸自定 )解 (1) 画轴 .画 x′轴、 y′轴和 z′轴，使∠ x′O′y′＝ 45°(或 135°)，∠x′O′z′＝ 90°，如图①所示 .(2) 画底面 .按 x′轴、 y′轴画正五边形的直观图ABCDE .(3)画侧棱 .过点 A、 B、C、 D、 E 分别作 z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、 BB′、 CC′、 DD ′、 EE′都等于正五棱柱的高.(4) 成图，按序连结A′、 B′、 C′、 D′、 E′，去掉协助线，改被挡部分为虚线，如图②所示.规律方法 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平搁置的平面图形，再画z 轴，并确立竖直方向上的有关的点，最后连点成图即可.2.直观图画法口诀能够总结为：“ 一斜、二半、三不变.”追踪操练4画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.解画法： (1)画轴 .画 x 轴、 y 轴、 z 轴，∠xOy＝ 45 °(或 135 °)，∠xOz＝ 90 °，如图 (1).(2) 画底面 .以 O 为中心在xOy 平面内，画出正方形水平搁置的直观图ABCD .(3)画极点：在 z 轴上截取 OP，使 OP 的长度是原四棱锥的高 .(4)成图：按序连结 PA、PB、 PC、 PD，并擦去协助线，得四棱锥的直观图如图(2).1.一条直线在平面上的正投影是()A.直线B.点C.线段D.直线或点答案D分析当直线与平面垂直时，其正投影为点，其余地点关系时的正投影均为直线.2.对于用斜二测画法得直观图，以下说法正确的选项是()A. 等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图可能不是梯形D.正三角形的直观图必定为等腰三角形答案B3.如下图为一个平面图形的直观图，则它的实质形状四边形ABCD 为 ()A. 平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形答案D分析由于∠D ′A′B′＝ 45°，由斜二测画法例则知∠DAB ＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，因此原四边形ABCD 为矩形 .4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR 的直观图，若O′P′＝ 3， O′R′＝ 1，则原四边形OPQR 的周长为 ________.答案10分析由四边形OPQR 的直观图可知原四边形是矩形，且OP ＝3， OR＝ 2，因此原四边形OPQR 的周长为2× (3＋ 2)＝ 10.5.如下图的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.答案61分析由直观图可知其对应的平面图形AOB 中，∠AOB＝ 90°， OB＝3， OA＝ 4，∴S△AOB＝2OA·OB＝ 6.1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可依据它们之间的可逆关系找寻它们的联系；在求直观图的面积时，可依据斜二测画法，画出直观图，进而确立其高和底边等，而求原图S直2形的面积可把直观图复原为原图形.二者之间的关系为S原＝4.2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍旧平行，所画平行线段之比仍旧等于它的真切长度之比，但所画夹角大小不必定是其真切夹角大小.。

高中数学 1.1.4平行投影与直观图学情分析新人教B版必修2
《平行投影与直观图》学情分析
在小学和初中，对几何体的认识，只局限在直观的层面上，为了使学生更为科学的获取知识，更扎实的掌握有关立体几何的知识，首先使学生认识空间的点、线、面、体、轨迹与图形，接着由学生观察和总结多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征，然后，在了解几种投影的特征和关系的基础上，学习直观图的做法。

考虑到学生对直观图比较陌生，由太阳光线将一个矩形的窗框投射到地板上图形为平行四边形入手，展开讨论。

接着介绍平行投影概念一性质，进而引出斜二测画法的规则，中间穿插几个小练习，加深对斜二测画法的熟练程度。

《平行投影与直观图》效果分析
本节课总体上基本完成了既定的教学目标，在以下几处设计达到了较好效果：
1、本课从民间艺术皮影和手影出发抓住了学生的求知欲，自然而然的过渡到斜二测画法，导入自然，既调动了学生的兴趣、积极性，又符合教材内容的需要；
2、学生掌握了斜二测画法的规则，知道如何去画水平放置的平面图形的直观图
3、“我的收获”处让学生自己去总结提升本节课的知识体系，留有大幅空白，给学生充分的考虑，既有知识上的收获，也有能力的提升；
4、“学以致用”采用小组讨论的方式，设计不同梯级的训练问题，提高了学生的分析能力，最后让学生自我总结，清晰明了的认识到了斜二测画法的规则
当然，在本节课中也有几处地方没有达到较好效果：
1、变式训练比较有代表性，训练了学生正向和逆向思维能力，但备课考虑不周，如果将由平面到直观图的题目放在第一题，其他题放在最后，这样会提高学生的做题速度；
2、自己尺规作图的熟练程度有待于提高；
3、有些地方可以渗透德行教育，却没有渗透。

1。

投影与直观图示范教案整体设计教学分析在教学中，要引导学生体会画水平放置多边形直观图关键是确定多边形顶点位置．因为多边形顶点位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图画法可以归结为确定点位置画法．而在平面上确定点位置，可以借助于平面直角坐标系，确定了点坐标就可以确定点位置．因此，画水平放置平面直角坐标系应当是学生首先要掌握方法．值得注意是直观图教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间关系；另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影以下图形还是中心投影以下图形．三维目标1．通过用斜二测画法画水平放置平面图形与空间几何体直观图，提高学生识图与画图能力，培养探究精神与意识，以及转化与化归数学思想方法．2．了解平行投影与中心投影性质，提高实践能力．重点难点教学重点：用斜二测画法画空间几何体直观图．教学难点：将直观图复原为实物图．课时安排教学过程导入新课设计1.画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要局部位置关系与度量关系，怎样画呢？教师指出课题：直观图．设计2.正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图直观性较差，因此绘制物体直观图一般采用斜投影或中心投影．中心投影虽然可以显示空间图形直观形象，但作图方法比拟复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影方法来画空间图形直观图．把空间图形画在纸上，是要用一个平面图形来表示空间图形，这样表达不是空间图形真实形状，而是它直观图．推进新课新知探究提出问题1阅读教材，什么是平行投影？2平行投影有什么性质？讨论结果：(1)图形F，直线l与平面α相交(以下图)．过F上任意一点M作直线MM′平行于l，交平面α于点M′，那么点M′叫做点M在平面α内关于直线l平行投影(或象)．如果图形F上所有点在平面α内关于直线l平行投影构成图形F′，那么F′叫做图形F在α内关于直线l平行投影．平面α叫做投射面，l叫做投射线．(2)当图形中直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性①直线或线段平行投影仍是直线或线段；②平行直线平行投影是平行或重合直线；③平行于投射面线段，它投影与这条线段平行且等长；如左上图中，A′B′AB，C′D′CD.④与投射面平行平面图形，它投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影比等于这两条线段比(右上图)．事实上，如果线段AB在平面α内关于直线l平行投影是A′B′(右上图)，点M在AB上，且AM∶MB＝m∶n，那么点M平行投影M′在A′B′上，由初中所学知识可以得出A′M′∶M′B′＝m∶n.提出问题1如何用斜二测画法画水平放置正六边形直观图？2上述画直观图方法称为斜二测画法，请总结其步骤.3探求空间几何体直观图画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm长方体ABCD—A′B′C′D′直观图. (4)用斜二测画法画水平放置平面图形与几何体直观图有什么不同？并总结画几何体直观图步骤．讨论结果：(1)画法：①如以下图(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在以下图(2)中，画相应x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.②在以下图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD ，在y′轴上取M′N′＝12MN.以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC ；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF. ③连结A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴与y′轴，便获得正六边形ABCDEF 水平放置直观图A′B′C′D′E′F′〔以下图(3)〕．(2)步骤是：①在图形中取互相垂直x 轴与y 轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定平面表示水平面．②图形中平行于x 轴或y 轴线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴线段．③图形中平行于x 轴线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴线段，长度为原来一半．(3)画法：①画轴．如以下图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.②画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32cm.分别过点M 与N 作y 轴平行线，过点P 与Q 作x 轴平行线，设它们交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 就是长方体底面．③画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长线段AA′、BB′、CC′、DD′.④成图．顺次连结A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡局部改为虚线)，就得到长方体直观图．点评：画几何体直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适中选取，用斜二测画法画图角度也可以自定，但是要求图形具有一定立体感．(4)画几何体直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形直观图实际上建立是平面直角坐标系．画几何体直观图步骤是：①在图形所在空间中取水平平面，作互相垂直轴Ox、Oy，再作Oz 轴，使∠xOy＝90°，∠yOz＝90°.②画出与Ox、Oy、Oz对应轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°，∠y′O′z′＝90°，x′O′y′所确定平面表示水平平面．③图形中，平行于x轴、y轴与z轴线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴与z′轴线段，并使它们在所画坐标轴中位置关系与图形中相应线段与原坐标轴位置关系一样．④图形中平行于x轴与z轴线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴线段，长度为原来一半．⑤擦去作为辅助线坐标轴，就得到了空间图形直观图．斜二测画法作图技巧：①在图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形对称直线为坐标轴或图形对称点为原点或利用原有垂直正交直线为坐标轴等．②在原图中与x轴或y轴平行线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行线段可以先画出线段端点再连线，画端点时作坐标轴平行线为辅助线．原图中曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中相应点后，用平滑曲线连结而画出．③在画一个水平放置平面时，由于平面是无限延展，通常我们只画出它一局部表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面直观图．提出问题阅读教材，说一下中心投影性质.讨论结果：中心投影投影线交于一点．空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交直线．中心投影后图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人视觉效果一致，最像原来物体，所以在绘画时，经常使用这种方法．但在立体几何中很少用中心投影原理来画图．应用例如思路1例1用斜二测画法画水平放置圆直观图．解：画法：(1)如以下图(1)，在⊙O 上取互相垂直直径AB 、CD ，分别以它们所在直线为x 轴与y 轴，将线段AB n 等分．过各分点分别作y 轴平行线，交⊙O 于E ，F ，G ，H ，…，画对应x′轴与y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)如上图(2)，以O′为中点，在x′轴上取A′B′＝AB ，在y′轴上取C′D′＝12CD ，将A′B′ n 等分，分别以这些分点为中点，画与y′轴平行线段E′F′，G′H′，…，使E′F′＝12EF ，G′H′＝12GH ，…. (3)用光滑曲线顺次连结A′，D′，F′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去辅助线，得到圆水平放置直观图〔上图(3)〕． 点评：此题主要考察用斜二测画法画水平放置平面图形直观图． 变式训练关于“斜二测画法〞，以下说法不正确是( )A ．原图形中平行于x 轴线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B ．原图形中平行于y 轴线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来12C ．在画与直角坐标系xOy 对应x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D ．在画直观图时，由于选轴不同，所得直观图可能不同解析：在画与直角坐标系xOy 对应x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°.答案：C例2画正五棱锥直观图．分析：回忆斜二测画法规那么，指明其关键是确定关键点位置．解：画法：(1)画底面(根据平面图形直观图画法)(以下图)；(2)画z′轴(z′轴与x′轴交角为90°)，并画高线(与原长相等)，连线成图(以下图)；(3)擦去辅助线，被遮线画虚线．点评：画简单几何体直观图时，通常先画下部，按从下到上顺序，依次画出．变式训练画圆柱直观图．解：如以下图所示，步骤略．思路2例3如以下图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它直观图.活动：利用斜二测画法作该梯形直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴线段才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中过D作出该点在x轴垂足，那么对应地可以作出线段DE直观图，进而作出整个梯形直观图．解：步骤是：(1)如以下图(1)所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy.如以下图(2)所示，画出对应x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°.(2)如以下图(1)所示，过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB ＝4 cm ，A′E′＝AE ＝323 cm≈2.598 cm；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED ＝12×32＝0.75(cm)，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝CD ＝2 cm.(1) (2) (3)(3)连结A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，上图(3)所示，那么四边形A′B′C′D′就是所求作直观图．点评：此题考察利用斜二测画法画空间图形直观图．在画水平放置平面图形直观图时，选取适当直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多顶点在坐标轴上，便于画点；原图中共线点，在直观图中仍是共线点；原图中共点线，在直观图中仍是共点线；原图中平行线，在直观图中仍是平行线．此题中，关键在于点D′位置确定，这里我们采用作垂线方法，先找到垂足E′，再去确定D′位置． 变式训练1.如以下图所示，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，且AD ＞BC ，该梯形绕边AD 所在直线EF 旋转一周得一几何体，画出该几何体直观图．答案：该几何体是由一个圆锥与一个圆柱拼接而成简单组合体，其直观图如以下图所示．2．一个正方形直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，那么此正方形面积是( )A．16 B．64C．16或64 D．都不对解析：根据直观图画法，平行于x轴线段长度不变，平行于y轴线段变为原来一半，于是长为4边如果平行于x轴，那么正方形边长为4，面积为16，边长为4边如果平行于y轴，那么正方形边长为8，面积是64.答案：C知能训练1．利用斜二测画法画直观图时：①三角形直观图是三角形；②平行四边形直观图是平行四边形；③正方形直观图是正方形；④菱形直观图是菱形．以上结论中，正确是__________．解析：斜二测画法保持平行性与相交性不变，即平行直线直观图还是平行直线，相交直线直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴线段，在直观图中长度为原来一半，那么正方形直观图不是正方形，菱形直观图不是菱形，所以③④错．答案：①②2．一个三角形用斜二测画法画出来直观图是边长为2正三角形，那么原三角形面积是( )A ．2 6B ．46 C. 3 D ．都不对解析：根据斜二测画法规那么，正三角形边长是原三角形底边长，原三角形高是正三角形高22倍，而正三角形高是3，所以原三角形高为26，于是其面积为12×2×26＝2 6. 答案：A3．一个水平放置平面图形直观图是一个底角为45°，腰与上底长均为1等腰梯形，那么该平面图形面积等于( )A.12＋22 B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋2解析：平面图形是上底长为1，下底长为1＋2，高为2直角梯形．计算得面积为2＋ 2.答案：D4．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中点M(4,4)在直观图中对应点是M′，那么点M′找法是__________．解析：在x′轴正方向上取点M 1，使O′M 1＝4，在y′轴上取点M 2，使O′M 2＝2，过M 1与M 2分别作平行于y′轴与x′轴直线交点就是M′.答案：在x′O′y′中，过点(4,0)与y′轴平行直线与过(0,2)与x′轴平行直线交点即是．拓展提升画一几何体直观图，该几何体是由一个长方体与一个以直四棱柱上底面为底面四棱锥拼接而成．解：步骤是：(1)作出长方体直观图ABCD—A1B1C1D1，如以下图(1)所示．(2)再以上底面A1B1C1D1对角线交点为原点建立空间直角坐标系，如以下图(2)所示，在z′上取点V′，使得V′O′长度为棱锥高，连结V′A1、V′B1、V′C1、V′D1得到四棱锥直观图，如以下图(2)．(3)擦去辅助线与坐标轴，遮住局部用虚线表示，得到几何体直观图，如以下图(3)．课堂小结本节课学习了：1．平行投影、中心投影、直观图概念；2．直观图画法；3．规律总结：用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置平面图形直观图画法，而画水平放置平面图形关键是确定多边形顶点．因为多边形顶点位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图画法就可归结为确定点位置画法．作业本节练习A 3,4题．设计感想由于直观图画法可以灵活多变，尺寸不作严格要求．因此本节教学设计中没有设计过多地严格按步骤画直观图题目，这要引起我们注意．特别是高考中很少见直接考察画直观图题目，并且高考试题关于立体几何解答题其直观图通常直接给出，因此本节主要是通过画直观图培养学生空间想象能力，以及画图与识图能力．备课资料备选习题【例】假设一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，那么其直观图面积是原来三角形面积( )A.24倍B．2倍C.22倍 D.2倍解析：直观图也是三角形，并且有一条公共边，但是这条公共边上高发生变化．直观图中公共边上高是原三角形中公共边上高24，那么直观图面积是原来三角形面积24倍．答案：A知识拓展直观图概念与分类按平行投影法，把空间图形在纸上或黑板上画得既富有立体感，又能表达出图形各主要局部位置关系与度量关系(主要是长、宽、高三个方面)，我们把这种投影图叫做直观图．用平行投影法把物体连同直角坐标系一起投影到一个投影面上所得投影图，叫做轴测投影图(简称轴测图)，这种投影画法称为轴测投影法．轴测投影按投影线与轴测投影面斜交或垂直，可分为斜轴测投影与正轴测投影．按三轴方向变形系数大小关系，又可分为等轴测投影(三轴方向变形系数都相等)、二轴测投影(有两轴方向变形系数相等)与三轴测投影(三轴方向变形系数都不相等)．事实上，轴测投影种类很多，但在实际应用中，常用是斜二轴测投影(即斜二测画法)与正等轴测投影．第一种直观图画法——斜二轴测投影，简称斜二测．就是投影线与投影面斜交，有两轴方向变形系数相等轴测投影．第二种直观图画法——正等轴测投影．就是投影线与投影面垂直，各轴变形系数都相等轴测投影．斜二测与正等测各有优点，用斜二测画出直观图能使一个面(直立于我们面前那个面)保持原来形状与大小，用正等测画出来直观图可以将三个面均匀地表达出来．。

投影与直观图课堂探究探究一平行投影性质应用1．在应用平行投影性质时，要注意投射线、投射面之间位置关系，尤其不要无视投射线平行于所给平面图形情形．2．常见图形平行投影①矩形平行投影一定是矩形；②梯形平行投影一定是梯形；③两条相交直线平行投影可能平行；④如果一个三角形平行投影仍是三角形，那么它中位线平行投影一定是这个三角形平行投影三角形中位线．其中正确命题个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：当投射线与投射面垂直，矩形所在平面与投射面平行时，矩形平行投影是矩形；当投射线与矩形所在平面平行时，投影是一条线段；当投射线与矩形不平行，矩形所在平面与投射面不平行时，其投影一般情况下为平行四边形，①错误；当投射线与梯形所在平面平行时，投影是一条线段；当梯形所在平面与投射线不平行时，梯形平行投影一定是梯形，②错误；当投射线与两相交直线所在平面平行时它投影是一条直线；当投射线与两相交直线确定平面不平行时，它投影仍是两条相交直线，③错误；“一个三角形平行投影仍是三角形〞，说明投射线与三角形所在平面不平行，故可以用平行投影性质“在平行直线上，两条线段平行投影比等于这两条线段比〞来判断，④是正确．答案：B探究二画平面图形直观图1．画水平放置平面多边形直观图关键是确定顶点位置．2．建立平面直角坐标系时，结合图形构造特征，尽量使原平面图形顶点在坐标轴或与坐标轴平行线段上．3．原图中不与x 轴或y 轴平行线段，可以先作坐标轴平行线为辅助线画出其端点然后再连线．【典型例题2】 画出水平放置等腰梯形直观图．思路分析：根据斜二测画法规那么，首先在原来等腰梯形中建立平面直角坐标系，要使尽可能多顶点和线段在坐标轴上，这样作起图来较为方便，然后按横线相等，竖线是原来一半原那么，作出对应各个顶点，连线即成．画法：(1)如图①，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD ．(3)连接B ′C ′，D ′A ′，并擦去辅助线x ′轴和y ′轴及O ′点、E ′点，所得四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置等腰梯形ABCD 直观图，如图③．探究三 画空间图形直观图1．画棱柱、棱锥直观图步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z 轴建系．(2)画底面：根据平面图形直观图画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z 轴平行或在z 轴上线段确定有关顶点．(4)成图：擦去辅助线，连线成图．2．画棱台直观图四个步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z 轴建系．(2)画下底面．(3)画高，画上底面．(4)连线成图．【典型例题3】 有一个正三棱锥，底面边长为3 cm ，高为3 cm ，画出这个正三棱锥直观图．思路分析：根据斜二测画法，先建立恰当坐标系画出正三角形直观图，再确定出正三棱锥顶点即可．解：(1)先画出边长为3 cm 正三角形水平放置直观图，如图①所示；(2)过正三角形中心O ′建立z ′轴，画出正三棱锥顶点V ′，使V ′O ′＝3 cm ，连接V ′A ′，V ′B ′，V ′C ′，如图②所示；(3)擦去辅助线，被遮住局部用虚线表示，得到正三棱锥直观图，如图③．点评正棱锥直观图在今后学习中经常要用到，应该掌握正棱锥直观图画法思路，以便在今后学习中，可以较快、较准确地画出正棱锥草图．画草图步骤为：画底面、找底面中心、作高连线．探究四 直观图复原直观图复原其实是画直观图逆过程，只要明确角与边转化关系，即可简化解答相关问题．(1)角关系：原图形 斜二测直观图形∠xOy ＝90°∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)． (2)长度关系：与x 轴平行线段相等相等画后对应线段；与y 轴平行线段2缩短为原长的一半伸长为原来的倍画后对应线段．【典型例题4】 (1)水平放置△ABC 斜二测直观图如下图，A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，那么AB 边上中线实际长度为__________．解析：分析易知△ABC 为以∠C 为直角直角三角形，且AC ＝3，BC ＝2×2＝4，所以AB ＝5，故AB 边上中线长为52． 答案：52(2)△ABC 平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 正三角形，那么原△ABC 面积为__________．解析：如下图，过C′作y′轴平行线C′D′，与x′轴交于点D′，那么C′D．又C′D′是原△ABC高CD直观图，AB·CD2．所以CD a，故S△ABC＝122探究五易错辨析易错点：混淆了直观图与平行投影区别而致误【典型例题5】关于利用斜二测画法画直观图有以下结论：①三角形直观图是三角形；②平行四边形直观图是平行四边形；③正方形直观图是正方形；④菱形直观图是菱形．其中正确个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3错解：A错因分析：混淆了直观图与平行投影区别，直观图是利用平行投影性质画出来一种能反映原物体整体特征图示，而平行投影情况就较多了．正解：正方形、菱形直观图通常为平行四边形而不具有其他性质，即③④不正确，应选C．答案：C。

1.1.4投影与直观图使用说明及学法指导1、先看教材P.16—P.21，然后开始做导学案2、针对预习、自学及合作探究找出的疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑3、带“*”号的C层可以不做【学习目标】1、平行投影的性质和斜二测画法。

2、正确地把握斜二测画法的要点以及选择放置直观图的角度。

【自主学习】1、平行投影（1）、点的平行投影：已知图形F，直线l与平面α相交，过F上任一点M作直线l’平行于l，交平面α于点M’，则叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影（或像）.（2）、图形的平行投影：如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F’，则叫做图形F在α内关于直线l的平行投影，平面α叫做，l叫做。

（3）、平行投影的性质：当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质：1)．；2)．；3)．；4)．；5)．。

2、中心投影：。

理解：平行投影与中心投影的本质区别在于：。

3、空间图形的直观图（1）、概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.（2）、斜二测画法：国家规定的统一的画直观图的一种方法，它的步骤是？并画出一个正方体在图中标出x、y、z轴感受一下！！斜二测画法注意点：斜二测画法的作图规则可以简要地说成：竖直或水平方向放置的线段画出后方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成或，长度画成原长度的（仍表示原长度）4、水平放置的平面图形的直观图的画法依照课本的例1来进一步的感受题型1. 考查基本概念例（1）、当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是（）（A）直线或线段的平行投影仍是直线或线段（B）平行直线的平行投影仍是平行的直线（C）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等（D）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比（2）、有下列说法：①从投影的角度看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投射线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式。