人教B版2019高中数学必修二学案：1.1.4 投影与直观图_含答案

投影导学案【学习目标】1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；2、了角平行投影和中心投影的区别。

3、学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。

【学习重点】理解平行投影和中心投影的特征【学习难点】在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影【导学过程】一、合作学习，探究新知自学提纲：1、投影的定义：一般地，叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．2、投影的分类（1）平行投影①平行投影的定义：是平行投影．如物体在太阳光的照射下形成影子（简称日影）就是平行投影．②太阳光与影子的关系：物体在太阳光照射的不同时刻，不但影子的大小在变化，而且影子的方向也在变化．（2）中心投影①中心投影的定义：叫做中心投影．如物体在灯泡发出的光线照射下形成影子就是中心投影．②产生中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为光源的位置．（3）如何判断平行投影与中心投影：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线平行，则为平行投影；若两直线相交，则为中心投影，其交点是光源的位置．二、教师点拨：例1：王丽和赵亮两个小朋友晚上在广场的一盏灯下玩，如图1，AB的长表示王丽的身高，BM表示她的影子，CD的长表示赵亮的身高，DN表示他的影子，请画出这盏灯的位置.例2、某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是【】ACDB图1M例3：如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度【】A．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米三、针对练习：1．探照灯、手电筒、路灯等的光线可以看成是从______个点发出的，像这样的光线所形成的投影称为________. 2．投影可分为_____和_____；一个立体图形，共有_______种视图.3．在太阳光的照射下，矩形窗框在地面上的影子常常是______形，在不同时刻，这些形状一般不一样.3．下列物品①探照灯；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯中所成的投影是中心投影的是（）A.①②B.①③C.①②③D.①②⑤4．太阳发出的光照在物体上是______，车灯发出的光照在物体上是_____（）A.中心投影，平行投影B.平行投影，中心投影C.平行投影，平行投影D.中心投影，中心投影5.图1是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（）A、③④②①B、②④③①C、③④①②D、③①②④图16．如图，身高为1．6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为（）（A）4.8m （B）6.4m （C）8m （D）10m7.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A 、小明的影子比小强的影子长B 、小明的影子比小强的影子短C 、小明的影子和小强的影子一样长D 、无法判断谁的影子长8.某数学课外实验小组想利用树影测量树高。

1.1.4投影与直观图教学目标：1、了解表示空间图形的投影方法原理2、掌握斜二测画法3、了解中心投影方法教学重点：掌握斜二测画法教学过程：一、投影法物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。

人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。

如图1—1所示，以不在投影面上的定点S为投影中心，由S射出投影线，该投影线通过空间点A与投影面P相交于点ɑ，点ɑ就是空间点A在投影面P上的投影。

同理，点b则是空间点B在投影面P上的投影。

这种使物体在投影面上产生图像的方法叫投影法。

工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样。

二、投影法分类1.中心投影法投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法(图1—2)。

其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。

图1—1 投影法图1—2 中心投影法2.平行投影法投影线相互平行的投影法称为平行投影法(图1—3)。

其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜投影法〔图1—3(ɑ)〕；投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法〔图1—3(b)〕。

(ɑ)平行斜投影(b)平行正投影图1—3 平行投影法应用正投影法，能在投影面上反映物体某些面的真实形状及大小，且与物体到投影面的距离无关，因而作图方便，故在工程中得到广泛的应用。

工程图样就是用正投影法绘制的。

三、平行投影的基本特性平行投影的基本特性，是指空间几何要素——点、线、面经过平行投影后的特性。

1.点的投影仍为点如图1—4所示，空间A点的投影为点ɑ。

2.直线的投影一般仍为直线如图1—5所示，AB直线的投影为直线ɑb。

图1—4 点的投影图1—5 直线的投影3.一点在某直线上，则点的投影一定在该直线的投影上如图1—6所示，点M在直线AB上，那么点M的投影m也一定在直线AB的投影ɑb上。

4.直线上两线段之比，等于其投影之比从图1—6中可以看出，点M分直线AB为AM和MB，而其投影为ɑm和mb，则AM∶MB=ɑm∶mb。

（2）已知图形中的线段与三个
坐标轴平行关系在直观图中是
否改变？
（3）已知图形中与三个坐标轴
平行的线段长度在直观图中是
否改变？
教
学
过
程
总结斜二测画法的步骤
例题:
画长、宽、高分别为4cm、3cm、
2cm的长方体的直观图.
独立画图
用手机投屏，将学
生在画图中出现
的问题一一指出思考与发现
1．画边长为2cm正方形水平放
置的直观图？
2．试画出边长为4cm的正三角
形的水平直观图
会做出平面图形的直观
图，并求出直观图面积
总结面积比公式
3.水平放置的△ABC的斜二测直
观图如图所示,已知A′C′
=3,B′C′=2,则AB边上的中线
的实际长度为( )
能将直观图还原
实际图形
课堂小结
本课感悟
布置作业。

课题：投影与直观图教学目标1. 知识与技能目标： 会画出和看懂一些几何体的直观图，了解平行投影、正投影和中心投影的概念及主要特征，能够运用斜二测画法的画图规则正确的画图和看图，并可以根据直观图进行简单的计算。

2. 过程与方法目标： 使用现代信息技术展示空间图形，帮助学生利用平行投影和中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能具有重要的意义。

3. 情感态度与价值观目标： 在学习的过程中体现立体图形和平面图形的转化关系，培养学生认真参与，积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学态度。

教学重点和难点重点： 平行投影的性质与斜二测画法难点： 正确的把握斜二测画法的要点以及 选择放置直观图的角度教学方法启发、讨论、探究教学手段利用多媒体辅助教学教学环节一 、平行投影与中心投影1、 平行投影在立体几何中，一般都是根据平行投影的性质，用平面图形来表示空间图形，给出平行投影的概念和性质。

概念：已知图形F ，直线l 与平面α相交，过F 上任意一点M 作直线/MM 平行于l ，交平面α于点/M ，则点/M 叫做M 在平面α内关于直线l 的平行投影（或象），如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线l 的平行投影构成图形/F ，则/F 叫做图形F 在α内关于直线l 的平行投影。

平面α叫做投射面，l 叫做投射线。

容易观察到，当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质： ① 直线或线段的平行投影仍是直线或线段；② 平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③ 平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④ 与投射面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形全等；⑤ 在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比。

当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投诉面的位置时，一个空间图形在投射面上的平行投影可以形象地表示这个空间图形。

2、 中心投影结合图形让学生了解二、直观图1、 直观图定义：用来表示空间图形的平面图形2、 直观图画法：斜二测画法规则（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz 轴，使9090o o xOz yOz ∠=∠=，且（2）画直观图时，把O x O y O ，，，画成对应//////O x ,O y ,O z ,使///o o x O y 45135∠=或(），///o ///x O z 90,x O y ∠=所确定的平面表示水平平面。

1.1.4 投影与直观图【学习目标】1.初步理解平行投影的概念。

2.掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

自主预习案自主复习夯实基础【双基梳理】1. 平行投影的概念？2、平行投影的性质？（1）（2）（3）（4）（5）3、斜二侧画法步骤？（1）（2）（3）（4）（5）考点探究案典例剖析考点突破考点一直观图考向1 平面图形的直观图【例3】画水平放置的正三角形的直观图。

变式训练：画水平放置的正五边形的直观图。

考向2 空间图形的直观图【例4】用斜二侧画法画长、宽、高分别为5,4,3cm cm cm 的长方体的直观图变式训练：画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长2cm 、4cm; 高3cm考点二 直观图的应用考向1 直观图的还原【例5】直观图是正三角形，画出原图形。

考向2 原图的面积和直观图的面积【例6】已知△ABC 的直观图'''C B A 是边长为a 的正三角形，求原三角形ABC 的面积.变式训练：、已知正三角形ABC 的边长为a,那么△ABC 的直观图△'''C B A 的面积为 A.243a B.283a C.286a D.2166a巩固提高案 日积月累 提高自我1.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形,则原平面四边形的面积等于 .2.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是 （ ）A.①②B.①C.③④D.①②③④。

1.1.4投影与直观图学习目标：1.了解投影的概念．(重点) 2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点) 3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图．(重点) 4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图．(难点)[自主预习·探新知]1．投影的概念(1)定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．(2)投影线：光线．(3)投影面：留下影子的屏幕．2．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．4．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．()(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．()(4)斜二测坐标系取的角可能是135°.()[解析]平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()C[正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3，平行于y轴的边长为1.5.]图1-1-463．如图1-1-46所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC的形状是________.【导学号：90662033】[解析]因为A′B′∥y′轴，A′C′在x轴上，所以原图中AB⊥AC，所以△ABC 是直角三角形．[答案]直角三角形[合作探究·攻重难]画平面图形的直观图按图1-1-47的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．图1-1-47[思路探究]按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．[解]画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝12OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝12GA，H′D′＝12HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图1-1-48所示．图1-1-48[解]画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.①②(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.画空间几何体的直观图画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.【导学号：90662034】[思路探究]画轴→画底面→画顶点→成图[解]画法：(1)画轴：①②画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面：以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图：顺次连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.[解](1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连线A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示．直观图的还原和计算问题[探究问题]1．如图1-1-49，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？图1-1-49[提示]根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？[提示]由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝AC2＋BC2＝10.3．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？[提示]原三角形面积为S＝12a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝12h·sin 45°＝24h，S′＝12a′·h′＝12a·24h＝24×12a·h＝24S.如图1-1-50所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.【导学号：90662035】图1-1-50[思路探究]由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[解]①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．图1-1-51OABC中，应有OD＝1B 1C 1D 1是一平面图形B ＝2C D ＝2，图1-1-52xOy ，在x 轴上截取是直角梯形，上、1．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )A ．直角三角形的直观图仍是直角三角形B ．梯形的直观图是平行四边形C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形 D [由斜二测画法规则可知，平行于y 轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D 正确．]2．如图1-1-53所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD 为( )【导学号：90662036】图1-1-53A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形D [因为∠D ′A ′B ′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB ＝90°，又因四边形A ′B ′C ′D ′为平行四边形，所以原四边形ABCD 为矩形．]3．如图1-1-54所示为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．图1-1-54[解析] 画出直观图，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为22.[答案] 224．如图1-1-55所示的直观图△A ′O ′B ′，其平面图形的面积为________.【导学号：90662037】图1-1-55[解析] 由直观图可知其对应的平面图形AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝3，OA ＝4，∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝6.[答案] 65．画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图．[解] (1)如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34 cm ，连接A ′B ′，A ′C ′，则△A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图．。

数学人教B必修2第一章1.1.4 投影与直观图1．了解平行投影、中心投影的主要特征和关系．2．会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图,会画出某些建筑物或零件的直观图．3．通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出直观图，了解空间图形的不同表示形式．1．平行投影(1)平行投影：在一束________光线照射下形成的投影,叫做平行投影．平行投影的投射线是________的（如下图)．(2）平行投影的性质：①直线或线段的平行投影仍是________或________．②平行直线的平行投影是________或________的直线．③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段__________．④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形________．⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比________这两条线段的比．【做一做1】当图形中的直线或线段不平行于投射线时，下列关于平行投影性质的叙述正确的个数是()．①直线或线段的平行投影仍是直线或线段;②平行直线的投影仍是平行直线；③平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长；④矩形的平行投影一定是矩形．A．1 B．2 C．3 D．42．直观图（1）定义：当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时，一个空间图形在投射面上的____________可以形象地表示这个空间图形．像这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的__________．(2）空间图形的直观图画法：__________.(3）用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤是：①在已知图形中取互相__________的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝________（或________)，它们确定的平面表示水平面．②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴的线段．③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．（4）用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤：①在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴,使∠xOz＝________,∠yOz＝________。