中心投影和平行投影 直观图画法

中心投影和平行投影直观图画法
层级一学业水平达标
1．一个几何体有且仅有两个视图完全相同，则这个几何体可能的序号是_________．
①正方体②圆柱③圆锥④圆台⑤球
答案：②③④
2．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有__________(填序号)．
解析：角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然是角，故①正确．由正方形的直观图可排除②③，由于斜二测画法保持了平行性不变，故④正确．答案：①④
3．利用斜二测画法得到
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④矩形的直观图是矩形．
以上结论，正确的是________(填序号)．
解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②
4.如图所示，E，F分别为正方体的面AA1D1D，BCC1B1的中心，
则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的
________．(填上可能的序号)
解析：图②为四边形BFD 1E 在正方体前后及上下面上的正投影，③为其在左
右侧面上的正投影．
答案：②③
5．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的主视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其主视图都不可能是三角形．
答案：①②③⑤
6.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形
的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝3，B ′C ′∥x ′轴，则
原平面图形的面积为________．
解析：在直观图中，设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′，则易得O ′D ′＝32，所以原平面图形为一边长为6，高为62的平行四边形，所以其面积为6×62＝36 2.
答案：36 2
7．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为________．
解析：先画出正三角形ABC ，然后再画出它的水平放置的直观图，如图所示，
由斜二测画法规则知B ′C ′＝a ，O ′A ′＝
34
a .过A ′作A ′M ⊥x ′轴，垂足为M .
∴S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′M ＝12a ×68a ＝616
a 2. 答案：616
a 2 8.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个
底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形
的面积是________．
解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ，其中，AD ＝
AD ′＝1，BC ＝B ′C ′＝1＋2，AB ＝2，
即S 梯形ABCD ＝1＋1＋2
2×2＝2＋ 2.
答案：2＋ 2
9.如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，
∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．
解：(1)如图(a)所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.
(2)在图(a)中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝3×32
≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12
ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm. (3)连结A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图(c)所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．
10．用斜二测画法画出长、宽、高分别是3 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD
­A′B′C′D′的直观图．
解：画法如下：
(1)画轴．如图①，画x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；
(2)画底面．以点O′为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝3 cm；在y′轴
上取线段PQ，使PQ＝3
2
cm.分别过点M和N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD；
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′；
(4)成图．顺次连结A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图②.
层级二应试能力达标
1．给出以下说法，其中不正确的是________．
①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；
②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；
③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；
④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形．
解析：由斜二测画法规则可知①②不正确．
答案：①②
2．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．
解析：画△ABC直观图如图(1)所示：
则A ′D ′＝32a ，又∠x ′O ′y ′＝45°，∴A ′O ′＝62
a . 画△ABC 的实际图形，如图(2)所示：AO ＝2A ′O ′＝6a ，BC ＝B ′C ′＝a ，
∴S △ABC ＝12BC ·AO ＝62
a 2. 答案：62
a 2 3．两条平行的直线经过平行光线投影在投影面上得到的投影可能的序号是________．
①两条平行直线；②两条相交直线；③两个点；④一条直线． 解析：两平行直线的平行投影，可能平行，重合或成为两个点． 答案：①③④
4．如图所示，△A ′B ′O ′为水平放置的△ABO 的直观图，由图判断△ABO 中，AB ，BO ，BD ，OD 由小到大的顺序是________．
解析：由题图可知，△ABO 中，OD ＝2，BD ＝4，AB ＝17，BO ＝25，故OD <BD <AB <BO .
答案：OD BD AB BO
5．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．
解析：根据主视图和左视图知底层最多6个小正方体，上层1个．该几何体最多由7个小正方体构成．
答案：7
6.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′
＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析：由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.
答案：2.5
7．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图，其中对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
解：四边形ABCD的真实图形如图所示．
∵A′C′为水平位置，
∴四边形ABCD中，DA⊥AC.
∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.
8．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解：由三视图知该几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥．
(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中的相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.。