高中数学人教版选修1-1习题：第3章 导数及其应用 综合素质检测 含解析

选修1-1 第三章 3.1 3.1.3一、选择题1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是导学号 92600557 ( )A．在点x0处的斜率B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率[答案] C[解析] 由导数的几何意义可知函数y＝f(x)在x＝x0的导数f ′(x0)，即为曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为导学号 92600558 ( )A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)C．(2,8) D．(－12，－18)[答案] B[解析] ∵y＝x3，∴y′＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0Δx3＋3x·Δx2＋3x2·ΔxΔx＝limΔx→0(Δx2＋3x·Δx＋3x2)＝3x2. 令3x2＝3，得x＝±1，∴点P的坐标为(1,1)，(－1，－1)．3．(2016·重庆一中高二月考)已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为导学号 92600559( )A．3,3 B．3，－1C．－1,3 D．－1，－1[答案] B[解析] 由已知得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故选B.4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为导学号 92600560( ) A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2[答案] A[解析]∵f ′(x)＝limΔx→0(Δx＋x)3－2(Δx＋x)＋1－x3＋2x－1Δx＝limΔx→0Δx3＋3x·Δx2＋3x2·Δx－2ΔxΔx＝limΔx→0(Δx2＋3x·Δx＋3x2－2)＝3x2－2，∴f ′(1)＝3－2＝1，∴切线的方程为y＝x－1.5．已知曲线f(x)＝12x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为导学号 92600561( )A．－2 B．－1 C．1 D．2[答案] D[解析] Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝12(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－12x2－2x＝x·Δx＋12(Δx)2＋2Δx，∴ΔyΔx＝x＋12Δx＋2，∴f ′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝x＋2.设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝x0＋2.由已知x0＋2＝4，∴x0＝2，故选D.6．(2016·山东临沂一中高二检测)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是导学号 92600562( )A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)[答案] B[解析] 从图象上可以看出f(x)在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f′(3)<f′(2)，此两点处的斜率f(3)－f(2)3－2比f(x)在x＝2处的切线的斜率小，比f(x)在x＝3处的切线的斜率大，所以0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选B.二、填空题7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f ′(2)＝________.导学号 92600563[答案] 12。

第三章 章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1. 已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定2．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x －11 D ．y ＝－4x ＋74．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎦⎤0，π2 ∪2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎡⎦⎤0，2π3 5．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)6．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －27．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋110. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．函数f (x )＝x1－x的单调增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.036 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________________________________________________________________________.14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________________________________________________________________________．15. 如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个．③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？20．(12分)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .(1)当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； (2)设f (x )在[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．21.(12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．第三章 导数及其应用(B) 答案1．B [f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )．] 2．B [物体的初速度即为t ＝0时物体的瞬时速度，即函数s (t )在t ＝0处的导数． s ′(0)＝s ′|t ＝0＝(3－2t )|t ＝0＝3.]3．B [∵曲线过点(a ，3)，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1， ∴切点为(1,3)．由导数定义可得y ′＝4ax ＝4x ， ∴该点处切线斜率为k ＝4，∴切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.] 4．B5．B [f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0， 则a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3.]6．A [∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.] 7．C8．A [f ′(x )＝a cos x －13sin x ，由题意f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0， 即a ·12－13×32＝0，∴a ＝33.]9．C [y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数．∴当x ＝π时， y max ＝π.]10．A [由图象看，在图象与x 轴的交点处左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0的点才满足题意，这样的点只有一个B 点．]11．C [∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1， ∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B [由题意知，存款量g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2， x ∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2.于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024，依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]13．3解析 由切点(1，f (1))在切线y ＝12x ＋2上，得f (1)＝12×1＋2＝52.又∵f ′(1)＝12，∴f ′(1)＋f (1)＝12＋52＝3.14．4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；当x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4； 当x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间[－1,0)上单调递增． 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上所述，a ＝4. 15.439解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，0. 点B 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，1－⎝⎛⎭⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22 ＝－x34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， 当x ＝23时，f (x )取最大值439.16．①③解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 由题意得f (0)＝0，f ′(－1)＝f ′(1)＝tan 3π4＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝03－2a ＋b ＝－13＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233.根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.x ＝233是极小值点也是最小值点．f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确． 17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立， 且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立． 由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0， 即x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ① 由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0， 即x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ② ∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验a ＝5或a ＝7都符合题意， ∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7. 18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2.f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－23或x >1，令f ′(x )<0，得－23<x <1.所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值， 要使f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.19．解 设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元．令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%，y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%.令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．20．解 (1)对函数f (x )求导数，得 f ′(x )＝(x 2－2ax )e x ＋(2x －2a )e x ＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x .令f ′(x )＝0，得[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ＝0， 从而x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化如下表：12当a ≥0时，x 1<－1，x 2≥0.f (x )在(x 1，x 2)为减函数，在(x 2，＋∞)为增函数． 而当x <0时，f (x )＝x (x －2a )e x >0；当x ＝0时，f (x )＝0，所以当x ＝a －1＋1＋a 2时，f (x )取得最小值．(2)当a ≥0时，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.综上，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥34.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.21．(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0， 即e x －x 2＋2ax －1>0， 故e x >x 2－2ax ＋1.22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x.∵x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明 令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝12x 2－23x 3＋ln x ， ∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x.∵x >1，∴F ′(x )<0，∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴F (x )<F (1)＝12－23＝－16<0.∴f (x )<g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

3.3.2函数的极值与导数课时过关·能力提升基础巩固1.设x0为可导函数f(x)的极值点,则下列说法正确的是()A.必有f'(x0)=0B.f(x0)为极大值C.f(x0)为极小值D.f'(x0)可能不为02.已知可导函数f(x),x∈R有唯一极值,且当x=1时,f(x)存在极小值,则()A.当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0B.当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0C.当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0D.当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0(x)在x=1时存在极小值,则当x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.3.下列四个函数中,能在x=0处取得极值的是()①y=x3;②y=x2+1;③y=x2-1;④y=2x.A.①②B.②③C.③④D.①③为单调函数,不存在极值.4.函数y=f(x)的定义域为(a,b),y=f'(x)的图象如图,则函数y=f(x)在开区间(a,b)内取得极小值的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个f'(x)=0的点,左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0时,该点为极小值点.观察题图,只有一个极小值点.5.已知f (x )=x 3+ax 2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a 的取值范围为( )A.-1<a<2B.-3<a<6C.a<-1或a>2D.a<-3或a>6(x )=3x 2+2ax+(a+6),因为f (x )既有极大值又有极小值,所以Δ=(2a )2-4×3×(a+6)>0,解得a>6或a<-3.6.已知f (x )=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴切于(1,0),则f (x )的极值情况是( )A.极大值为f (13),极小值为f(1) B.极大值为f (1),极小值为f (13) C.极大值为f (13),没有极小值D.极小值为f (1),没有极大值7.函数y=2x 3-6x 2-18x+7的极大值为 ,极小值为 .(x )=6(x+1)(x-3),由f'(x )=0,得x=-1或x=3.进而求得f (-1)是极大值,f (3)是极小值.-478.函数f (x )=a+lnx x (a ∈R )的极大值为 .(x )=1-(a+lnx )x 2, 令f'(x )=0,得x=e 1-a . 当x<e 1-a 时,f'(x )>0;当x>e 1-a 时,f'(x )<0,所以函数的极大值为f (e 1-a )=1e 1-a =ea −1.a-19.已知函数y=ax 3+bx 2,当x=1时,有极大值3,则a= ,b= .3ax 2+2bx ,由题意,得当x=1时,y'|x=1=3a+2b=0,y|x=1=a+b=3,即{3a +2b =0,a +b =3,解得a=-6,b=9.6910.已知函数f(x)=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,求c的值.(x)=3x2-3,由f'(x)>0,得3x2-3>0,解得x<-1或x>1;由f'(x)<0,得3x2-3<0,解得-1<x<1.∴f(x)在(-∞,-1)内单调递增,在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.∴当x=-1时,f(x)取极大值c+2;当x=1时,f(x)取极小值c-2.结合图象,要使函数f(x)的图象与x轴恰有两个公共点,则c+2=0或c-2=0,即c=-2或2.能力提升1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是(),当x<-2时,f'(x)<0,∴xf'(x)>0;当-2<x<0时,f'(x)>0,∴xf'(x)<0.又当x=-2时,xf'(x)=0,x=0时,xf'(x)=0,故选C.2.已知函数f(x)=x2-2(-1)k ln x(k∈N*)存在极值,则k的取值集合是()A.{2,4,6,8,…}B.{0,2,4,6,8,…}C.{1,3,5,7,…}D.N*(x)=2x−2(-1)kx =2[x2-(-1)k]x,若k为奇数,则f'(x)=2(x2+1)x>0,f(x)在定义域内是增函数,无极值.若k为偶数,则f'(x)=2(x 2-1)x.f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,在x=1处取极小值.3.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是()A.1<a<2B.1<a<4C.2<a<4D.a>4或a<13x 2-3a ,当a ≤0时,y'≥0,函数y=x 3-3ax+a 为单调函数,不合题意,舍去;当a>0时,y'=3x 2-3a=0⇒x=±√a,不难分析,当1<√a <2,即1<a<4时,函数y=x 3-3ax+a 在(1,2)内有极小值.4.函数y=x 3-6x+a 的极大值为 ,极小值为 .3x 2-6,令y'=0,得x=±√2. 当x<−√2或x >√2时,y'>0;当−√2<x <√2时,y'<0.故函数在x=−√2时取得极大值a+4√2,在x =√2时取得极小值a-4√2.4√2 a −4√25.若函数f (x )=a ln x+bx 2+3x 的极值点为x 1=1,x 2=2,则a= ,b= .(x )=a x +2bx +3=2bx 2+3x+a x. ∵函数的极值点为x 1=1,x 2=2,∴x 1=1,x 2=2是方程f'(x )=2bx 2+3x+ax =0的两根,也即2bx 2+3x+a=0的两根.∴由根与系数的关系知{-32b =1+2,a =1×2,解得{a =-2,b =-1.2 −12★6.若函数f (x )=x 3+x 2-ax-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a 的取值范围为 .(x )=3x 2+2x-a.∵f (x )在(-1,1)内恰有一个极值点,∴f'(x )在(-1,1)内有一个变号零点,∴f'(-1)f'(1)≤0,即(a-5)(a-1)≤0,∴1≤a ≤5. 当a=5时,由3x 2+2x-5=0,得x=1或x=−53,不合题意.当a=1时,由3x 2+2x-1=0,得x=-1或x =13,符合题意,∴1≤a<5.7.已知函数f (x )=ax(x+r )2(a >0,r >0).(1)求f (x )的定义域,并讨论f (x )的单调性;(2)若ar =400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.由题意知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+r2,f'(x)=a(x 2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2rx+r2)2=a(r-x)(x+r)(x+r)4,所以当x<-r或x>r时,f'(x)<0.当-r<x<r时,f'(x)>0.因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f'(r)=0,f(x)在(0,r)内单调递增,在(r,+∞)内单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点.所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)=ar(2r)2=a4r=4004=100.★8.当a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根?有没有可能无实根?f(x)=x3-3x2,则f(x)的定义域为R.由f'(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2,所以当x<0或x>2时,f'(x)>0;当0<x<2时,f'(x)<0.函数f(x)在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4.如图,故当a>0或a<-4时,原方程有一个根;当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根;当-4<a<0时,原方程有三个不等实根;由图象可知,原方程不可能无实根.。

第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

第三章综合素质检测时间分钟，满分分。

一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．设正弦函数＝在＝和＝附近的瞬时变化率为、，则、的大小关系为( )．> ．<．＝．不确定[答案][解析]＝，′＝，∴＝＝，＝＝，>.．＝α在＝处切线方程为＝－，则α的值为( )．．－．．－[答案][解析]′＝(α)′＝αα－，由条件知，′＝＝α＝－.．函数＝的导数为( )．′＝－．′＝＋．′＝－．′＝－[答案][解析]′＝()′＝()′＋·()′＝－.．函数＝－的单调递增区间为( )．(，＋∞) ．(－∞，－)．(－) ．(，＋∞)[答案][解析]′＝－＝(－)＝(＋)(－)，令′>，得－<<，故选．．(·福建宁德市高二检测)曲线()＝在＝处的切线方程为( )．＝．＝．＝．＝－＋[答案][解析]′()＝，∴′()＝＝，∴曲线在＝处的切线的斜率＝.又切点坐标为(，)，∴切线方程为＝.．已知函数()＝＋＋－在＝－时取得极值，则＝( )．．．．[答案][解析]′()＝＋＋，由条件知，＝－是方程′()＝的实数根，∴＝.．三次函数()＝－在(－∞，＋∞)上是减函数，则的取值范围是( )．< ．<．≤．≤[答案][解析]′()＝－，由题意知－≤在(－∞，＋∞)上恒成立，当＝时，－≤在(－∞，＋∞)上恒成立；当≠时，由题意得<，综上可知≤.．已知抛物线＝－＋＋在点(，－)处与直线＝－相切，则＋的值为( )．．．－．[答案][解析]由题意得′＝＝，又′＝－＋，∴－×＋＝，∴＝，又点(，－)在抛物线上，∴＝－，∴＋＝－，故选．．三次函数当＝时，有极大值；当＝时，有极小值，且函数过原点，则此函数是( )．＝＋＋．＝－＋．＝－－．＝＋－[答案][解析]设函数()＝＋＋＋(≠)，∵函数图象过原点，∴＝′()＝＋＋，。

第三章一、选择题(每小题分，共分)．已知函数()＝的图象上一点()及附近一点(＋Δ＋Δ)，则等于( )．．．＋Δ．＋(Δ)解析：Δ＝(＋Δ)－()＝(＋Δ)－＝(Δ)＋Δ.∴＝Δ＋.答案：．一物体的运动方程是＝＋，则在一小段时间[]内相应的平均速度为( )．．．．解析：＝＝＝＝.答案：．设函数()＝＋，若′()＝，则等于( )．．－．．－解析：∵′()＝＝＝，∴′()＝＝.答案：．当自变量从变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )．在区间[，]上的平均变化率．在处的变化率．在处的导数．在区间[，]上的导数解析：根据平均变化率的定义可知，当自变量从变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比就是函数在区间[，]上的平均变化率．答案：二、填空题(每小题分，共分)．若函数＝－的图象上一点()及其邻近一点(＋Δ＋Δ)，则等于．解析：＝＝＋Δ.答案：＋Δ．设()在点＝处可导，且′()＝－，则等于．解析：＝＝′()＝－.答案：－三、解答题(每小题分，共分)．求函数＝在＝附近的平均变化率，取Δ都为，哪一点附近平均变化率最大？解析：在＝附近的平均变化率为＝＝＝＋Δ；在＝附近的平均变化率为＝＝＝＋Δ；在＝附近的平均变化率为＝＝＝＋Δ.若Δ＝，则＝＋＝，＝＋＝，＝＋＝.由于<<，∴在＝附近的平均变化率最大．．利用导数的定义，求出函数＝＋在＝处的导数，并据此求函数在＝处的导数．解析：′＝＝＝＝＝－.从而′＝＝－＝.．(分)一质点按规律()＝＋做直线运动(位移单位：，时间单位：)，若该质点在＝时的瞬时速度为，求常数的值．解析：Δ＝(＋Δ)－()＝(＋Δ)＋－·－＝Δ＋(Δ)，所以＝＋Δ.由题意知，在＝时，瞬时速度为′()＝＝，故＝，所以＝.。

第三章一、选择题(每小题分，共分)．曲线＝－在点(，－)处的切线方程为( )．＝－．＝．＝＋．＝－－解析：′()＝＝＝，则在(，－)处的切线方程为＋＝－，即＝－. 答案：．已知函数＝()的图象如图，则′()与′()的大小关系是( )．′()>′()．′()<′()．′()＝′()．不能确定解析：分别作出，两点的切线，由题图可知<，即′()<′()．答案：．下列点中，在曲线＝上，且在该点处的切线倾斜角为的是( ) ．() ．()．解析：＝′()＝＝＝(＋Δ)＝.∵倾斜角为，∴斜率为.∴＝，即＝.答案：．曲线()＝＋－在处的切线平行于直线＝－，则点的坐标为( ) ．() ．()和(－，－)．() ．()和(－，－)解析：设切点为(，)，′()＝＝＝[＋·Δ＋(Δ)＋]＝＋，＝′()＝＋＝，＝±.把＝－，代入到()＝＋－得＝－；把＝，代入到()＝＋－得＝，所以点的坐标为()和(－，－)．答案：二、填空题(每小题分，共分)．设曲线＝()＝在点(，)处的切线与直线－－＝平行，则＝.解析：′()＝＝＝(＋Δ)＝，由题意得′()＝，故＝，∴＝.答案：．如果()＝，那么()在点＝处的切线的倾斜角是．解析：由导数的定义，得′()＝＝＝＝(＋Δ)＝.由导数的几何意义，得()在＝处的切线的斜率为＝′＝×＝.∴该切线的倾斜角为. 答案：三、解答题(每小题分，共分)．已知曲线：()＝.()求曲线上横坐标为的点处的切线的方程；()求过点()与()＝相切的直线．解析：()∵′()＝＝＝[(Δ)＋＋·Δ]＝，∴′()＝×＝，又()＝＝，∴切线方程为－＝(－)，即－－＝.()设切点为(，)，由()知切线斜率为＝′()＝，。

第三章一、选择题(每小题分，共分)．下列函数中，在区间(－)上是减函数的是( )．＝－．＝．＝．＝解析：对于函数＝，其导数′＝<，且函数在区间(－)上有意义，所以函数＝在区间(－)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选.答案：．若在区间(，)内有′()>，且()≥，则在(，)内有( )．()> ．()<．()＝．不能确定解析：∵′()>，∴()在(，)内单调递增．∴()>()≥，即()>.答案：．函数()＝－在上为减函数，则( )．≤．<．< ．≤解析：′()＝－，∵()在上为减函数，∴′()≤在上恒成立，∴≤，经检验＝符合题意，故选.答案：．设函数()在定义域内可导，＝()的图象如图所示，则导函数＝′()的图象可能为()解析：由()的图象知()在(－∞，)上单调递增，∴′()>，排除，.当＞时，()先增又减后又增，∴′()的图象应先在轴上方又下方后又上方，故正确．答案：二、填空题(每小题分，共分)．命题甲：对任意∈(，)，有′()>；命题乙：()在(，)内是单调递增的，则甲是乙的条件．解析：()＝在(－)内是单调递增的，但′()＝≥(－<<)，故甲是乙的充分不必要条件．答案：充分不必要．若函数()＝＋＋的单调减区间为(－)，则的值为．解析：′()＝＋，∵′()<的解为－<<，∴×＋＝，∴＝－.答案：－三、解答题(每小题分，共分)．求下列函数的单调区间：()＝－＋；()＝(＋)＋.解析：()函数的定义域为.′＝－＝(－)．令′>，则(－)>，解得<或>.所以函数的单调递增区间为(－∞，)，(，＋∞)．令′<，则(－)<，解得<<，所以函数的单调递减区间为()．()函数＝(＋)＋的定义域为.′＝＋＝＝.令′>，解得－<<－或>－.所以函数的单调递增区间为，.令′<，解得－<<－，所以函数的单调递减区间为.．已知函数()＝(－)＋在区间()上是增函数，求实数的取值范围．解析：′()＝－，∵′()≥在()上恒成立，∴≥.又∵<<<－<，∴<<.∴≥.．(分)求证：>时，>(＋)．证明：设()＝－(＋)，。