高中数学人教版选修2-2导数及其应用(定积分)知识点总结

庖丁巧解牛知识·巧学一、定积分在几何中的应用定积分可以用来计算曲边梯形的面积,某些曲面面积可以表示成几个曲边梯形面积的和或差的形式,因此也可以用定积分来计算.知识拓展 求面积的解题步骤:①画出图形; ②确定图形范围,定出积分的上、下限;③确定被积函数,注意分清被积函数的上、下位置; ④写出平面图形面积的定积分表达式;⑤运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积. 二、定积分在物理中的应用 1.变速直线运动的路程物体做变速直线运动经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)〔v(t)≥0〕在时间区间［a,b ］上的定积分,即s=⎰badt t v )(.方法点拨 变速直线运动的速度函数往往是分段函数.所以求积分时要利用定积分的性质将其分成几段积分的和. 2.变力做功如果力是变力F(x)(F 是x 的函数),那么,物体沿着与F 相同的方向从x=a 移动到x=b 时,力F 做的功W=⎰badx x F )(.深化升华 只有当物体沿着与F 相同的方向从x=a 移动到x=b 时,力F 做的功才是W=⎰badx x F )(.当方向不同时,算法不同.问题·探究问题1 被积函数f(x)在区间［a,b ］上恒为正值时(如图1-7-2),定积分⎰badx x f )(表示什么呢?图1-7-2思路:本题考查定积分的几何意义,可以利用定积分来表示曲边梯形的面积. 探究:表示曲边梯形AMNB 的面积. 问题2 计算下列定积分:⎰⎰⎰ππππ2020sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ,由计算结果你能发现什么结论?思路:利用微积分基本定理,计算曲边梯形的面积,从中发现结论. 探究:因为(-cosx)′=sinx, 所以⎰πsin xdx =(-cosx)π0=(-cosπ)-(-cos0)=2;⎰ππ2sin xdx =(-cosx)π20=(-cos2π)-(-cosπ)=-2;⎰π20sin xdx =(-cosx)π20=(-cos2π)-(-cos0)=0.由以上结果可以发现,定积分的值可能取正值,可能取负值,也可能取0.(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积;(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相反数; (3)当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0. 典题·热题例1如图1-7-3,求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形的面积.图1-7-3思路分析:从图形可以看出,所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差,进而可以用定积分求出面积.为了确定被积函数和积分的上,下限,我们需要求出两条曲线交点的横坐标.解:由方程组⎩⎨⎧=+=2,32xy x y 2可得x 1=-1,x 2=3. 故所求图形的面积为S=33231)3()32(31331231231=-+=-+----⎰⎰x x x dx x dx x . 深化升华 求平面图形面积的一般步骤是: ①画图,并将图形分割成若干曲边梯形;②对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分上限和下限; ③确定被积函数;④求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值之和. 拓展延伸 求由曲线y 2=x 和y=x 2所围成图形的面积.解:如图1-7-4,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由⎪⎩⎪⎨⎧==22,xy x y 得出交点的横坐标为x=0及x=1.图1-7-4所以所求图形的面积为S=313132)3132(103231021=-=-=-⎰⎰x x dx x dx x . 例2求椭圆⎩⎨⎧==tb y t a x sin ,cos (0≤t≤2π)的面积.思路分析:椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以4就是椭圆的面积. 解:如图1-7-5所示,椭圆在第一象限的面积图1-7-5P=4)22sin (2sin )sin (sin )cos (sin 022020220abt t ab tdt ab dt t a t b t a td b ydx aπππππ=-==-∙==⎰⎰⎰⎰所以S=4P=πab.例3一辆汽车的速度—时间曲线图如图1-7-6所示,求此汽车在这1 min 内行驶的路程.图1-7-6思路分析:由速度—时间曲线图可写出速度函数的表达式,进而运用公式可求得路程s. 解:由速度—时间曲线易知,v(t)=⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈∈].0640[,905.1]4010[,30]101[,3，；，，；，t t t t t 由变速直线运动的路程公式可得s=dt t dt tdt ⎰⎰⎰+-++6040401010)905.1(303604024010100)9043(3023t t t +-++==1 350(m).答:此汽车在这1 min 内行驶的路程是1 350 m. 方法归纳 ①由定积分的几何意义知,⎰badt t v )(表示由曲线v=v(t),直线t=a,t=b 及v=0围成图形的面积.故有以下解法:由定积分的几何意义知,此汽车在这1 min 行驶的路程s 等于梯形OABC 的面积, 即s=S 梯形OABC =230)6030(⨯+=1 350(m).②变速直线运动的路程:物体做变速直线运动经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)〔v(t)≥0〕在时间区间［a,b ］上的定积分,即s=⎰badt t v )(.拓展延伸 某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时,发现该厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动,且速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)满足函数关系:v(t)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+≤≤.6020,140,2010,604,100,2t t t t t 某公司拟购买一台颗粒输送仪,要求1 min 行驶的路程超过7673 m,问该厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一?思路分析:必须首先利用定积分将这家生产厂生产的颗粒输送仪1 min 行驶的路程计算出来,再与7 673作比较得出结论.解:由变速直线运动的路程公式有s=x t t t t dt dt t dt t 6020201021003602020101002140)602(31140)604(+++=+++⎰⎰⎰=7 13331(m)<7 673(m).答:不可以列入.例4一物体在力F(x)=2 004x+1(单位:N)的作用下,沿与力F 相同的方向,从x=1处运动到x=2处,求力F 做的功. 思路分析:力F 做的功就是⎰21)(dx x F解:W=⎰+21)12004(dx x =(1 002x 2+x)21=3 007(J).答:力F 所做的功为3 007 J.深化升华 应用问题最后要还原到题目中去用文字作答.例5设有一长为25 cm 的弹簧,若加以100 N 的力,则弹簧伸长到30 cm,求使弹簧伸长到40 cm 所做的功.思路分析:因为弹簧的力是一个变力,所以不能用常规方法解,要用定积分去求解. 解:设x 表示弹簧伸长的厘米数,F(x)表示加在弹簧上的力,则F(x)=kx. 依题意,使弹簧伸长5 cm,需要的力是100 N, 即100=5k,k=20,于是F(x)=20x. 现在需计算由x=0到x=15所做的功:W=1502151020x xdx =⎰2 250(N·cm).深化升华 本题考的是求变力所做的功:一物体在力F 的作用下,沿着与力F 相同的方向移动了s,则F 所做的功为W=Fs.如果力是变力F(x),由定积分的定义,物体沿与F 相同的方向从x=a 移到x=b 时,则力F 所做的功是W=⎰badx x F )(.例6列车以72 km/h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4 m/s 2,问列车应在进站前多长时间以及离车站多远处开始制动?思路分析:因列车停在车站时,速度为0,故应先求速度的表达式,之后令v=0,求出t,再据v 和t 应用定积分计算出路程.解:已知列车的速度v 0=72 km/h=20 m/s,列车制动时获得的加速度a=-0.4 m/s 2.设列车由开始制动到经过t 秒后的速度为v,则v=v 0+⎰tadt 0=20-⎰tdt 04.0=20-0.4t.令v=0得t=50(s).设列车由开始制动到停止所走过的路程为s, 则有s=⎰⎰-=5050)4.020(t vdt dt=500(m).答:列车应在到站前50 s,离车站500 m处开始制动.。

1.7.2 定积分在物理中的应用1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用．2．会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题．利用定积分求变速直线运动的路程和位移时，应如何区分路程和位移？【做一做1】 已知自由下落物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )A.13gt 20B ．gt 20 C.12gt 20 D.14gt 20【做一做2】 一物体在F (x )＝5x ＋3(单位：N)的作用下，沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝5(单位：m)处，则F (x )做的功等于( )A ．75 JB ．77.5 JC ．79.5 JD ．80 J答案：s ＝∫b a v (t )d t W ＝∫b a F (x )d x思考探究提示：分清运动过程中物体运动的变化情况，即找出v (t )≥0的时间段及v (t )＜0的时间段，然后分别求积分即求各段上的位移．而路程是各段位移的绝对值之和．【做一做1】 C s ＝00220001d 22t t t gt t g gt ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭⎰.故选C. 【做一做2】 B W ＝∫50F (x )d x ＝∫50(5x ＋3)d x＝⎝⎛⎭⎫5x 22＋3x |50＝1252＋15＝77.5(J)．故选B.1．在变速直线运动中，如何求路程、位移？剖析：用定积分解决变速直线运动的位移与路程的问题时，分清运动过程中的变化情况是解题的关键，做变速直线运动的物体所经过的路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为(1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，则s＝∫b a v(t)d t，s1＝∫b a v(t)d t.(2)若v(t)≤0(a≤t≤b)，则s＝－∫b a v(t)d t，s1＝∫b a v(t)d t.(3)在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)＜0，则s＝∫c a v(t)d t－∫b c v(t)d t，s1＝∫b a v(t)d t.对于给出速度—时间曲线的问题，关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限，需要注意是分段函数的要分段求路程，然后求和．2．如何求变力做功？剖析：(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的表达式，这是求功的关键．(2)由功的物理意义，已知物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移到x＝b(a＜b)．因此，求功之前还应求出位移的起始位置与终止位置．(3)根据变力做功公式W＝∫b a F(x)d x即可求出变力F(x)所做的功．求变力做功时，要注意单位，F(x)的单位为N，x的单位为m.题型一求变速直线运动的路程、位移【例题1】有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：(1)点P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)点P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．分析：(1)解不等式v(t)>0或v(t)<0→确定积分区间→求t＝6时的路程以及位移(2)求定积分∫t0v(t)d t→令∫t0v(t)d t＝0，求t反思：(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．如本例第(1)小题求解时，易出现路程和位移相同的错误．题型二求变力所做的功【例题2】设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．分析：先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度成正比求拉力F(x)的表达式，然后用积分求变力做功．反思：解决变力做功注意以下两个方面：①首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．②根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．题型三利用定积分求解其他物理问题【例题3】A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达24 m/s，从C点到B站前的D点也以1.2 t(m/s)的速度行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t)m/s.在B点恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离；(2)B ，D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．分析：做变速运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )，v (t )≥0在时间区间[a ，b ]上的积分，即s ＝∫b a v (t )d t .需根据题意写出函数v ＝v (t )，确定时间区间，用定积分求解．反思：本题是利用定积分解决物理问题，分清运动过程中的变化情况是解题的关键．答案：【例题1】 解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝∫40(8t －2t 2)d t －∫64(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3|40－⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3|64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为∫60(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3|60＝0. (2)依题意∫t 0(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6， t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．【例题2】 解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)． 由题意，得F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，即0.05k ＝100，∴k ＝2 000.∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝∫0.150 2 000x d x ＝1 000x 2|0.150＝22.5(J)．【例题3】 解：设A 到C 经过t 1 s ，由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，∴AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2 s ，由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)，∴DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)．(3)CD ＝7 200－2×240＝6 720(m)．从C 到D 的时间为t 3＝6 72024＝280(s)． 于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．1一质点沿直线以v ＝3t ＋2(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该质点在第3 s 到第6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m2一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移的单位：m)作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处，作用力F (x )所做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J3一物体在力F (x )＝15－3x 2(力的单位：N ，位移的单位：m)作用下沿与力F (x )成30°角的方向由x ＝1直线运动到x ＝2处，作用力F (x )所做的功为( )B． C．D.J 24一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，则其在前30 s 内的平均速度为________．5一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，力F (x )做的功．答案：1．B S ＝66263333d (32)d 22v t t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰ ＝223362632322⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝46.5(m)．2．C W ＝105()d F x x ⎰＝102321055(325)(5)x x x x x -+=-+⎰＝(103－102＋5×10)－(53－52＋5×5)＝825(J)．3．C W＝22232111()cos30d (153)d )F x x x x x x ︒=-=-⎰＝[(30－8)－(15－1)]＝．4．263 m/s 由定积分的物理意义，得s ＝30232300013(38)d 832t t t t t t ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭⎰ ＝7 890(m)，789030s v t ==＝263(m/s)． 5．分析：先根据图象确定力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解．解：由力—位移曲线可知F (x )＝1023424x x x ⎧⎨+<⎩≤≤≤﹐0﹐﹐﹐因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为242240202310d (34)d 10446(J)2x x x x x x ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭⎰⎰．。

定积分的概念及其简单应用知识集结知识元定积分的应用知识讲解1．定积分的应用【应用概述】正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．例1：定积分|sin x|dx的值是．解：|sin x|dx＝＝﹣cos x+cos x＝1+1+0﹣（﹣1）＝3．这个题如果这样子出，|sin x|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．【定积分在求面积中的应用】1、直角坐标系下平面图形的面积2、极坐标系下平面图形的面积由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为3、用定积分求平面图形的面积的步骤a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；c）具体计算定积分，求出图形的面积．例题精讲定积分的应用例1.直线x=1，x=e与曲线y=围成的面积是（）A．B．C．D．例2.由曲线，直线y=x所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．1例3.抛物线y=x2-1与直线y=x+1所围成的平面图形的面积是（）A．B．C．5D．用定积分研究简单几何体的体积知识讲解1．用定积分求简单几何体的体积【知识点的知识】1、已知平行截面面积的立体的体积2、旋转体的体积例题精讲用定积分研究简单几何体的体积例1.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线x2=4y，x2=-4y，x=4，x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1：满足x2+y2≤16，x2+（y-2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）A．V1=V2B．V1=V2C．V1=V2D．V1=2V2例2.曲线y=e x，直线x=0，x=与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到旋转体的体积是（）A．B．C．D．例3.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A．B．C．D．。