最新人教版高中数学选修2-2第一章变化率与导数1

1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[基础·初探]教材整理1函数的平均变化率阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题．1．函数的平均变化率(1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．(2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．2．平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的______，如图1-1-1所示．图1-1-1【答案】 1.(1)f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1(2)x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) ΔyΔx 2.斜率判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画山坡的陡峭程度．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念阅读教材P 4～P 6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度(1)物体在__________的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋向于0时，ΔsΔt 的________是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .2．导数的定义函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作____________________，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0_________.【答案】 1.(1)某一时刻(2)极限2．f′(x0)或y′|x＝x0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()【解析】(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．【答案】(1)√(2)×(3)×2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．【解析】∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(1＋Δx)2－12Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2. 【答案】 2[小组合作型]求函数的平均变化率(1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )【导学号：62952001】A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．【精彩点拨】 (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔx【自主解答】 (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．[再练一题]1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx2Δx ＝2＋Δx ，故选C. 【答案】 C求瞬时速度(1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s ＝2t 3，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是_____． 【精彩点拨】 先求出Δs Δt ，再求lim Δt →0Δs Δt .【自主解答】 (1)∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝v 0Δt －gt 0Δt －12g Δt 2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ，∴limΔt→0ΔsΔt＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴ΔsΔt＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6ΔtΔt＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴limΔt→0ΔsΔt＝6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.【答案】(1)v0－gt0(2)61．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v＝Δs Δt.(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[再练一题]2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).【导学号：62952002】(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【解】(1)初速度v0＝limΔt→0s(Δt)－s(0)Δt＝lim Δt→03Δt－(Δt)2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3，即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬＝limΔt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝limΔt→03(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－4)Δt＝limΔt→0－(Δt)2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s(2)－s(0)2－0＝6－4－02＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.[探究共研型]求函数在某点处的导数探究1试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．【提示】ΔsΔt＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)Δt＝－6－3Δt.探究2当Δt趋近于0时探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？【提示】当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．【精彩点拨】求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．【自主解答】(1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝3Δx－(Δx)2Δx＝3－Δx，∴f′(－1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3－Δx)＝3.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx 的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率Δy Δx；(3)求极限，得导数为f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.简记为：一差、二比、三趋近．[再练一题]3．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋1－11＋Δx ＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx＝2.1．函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为() A．6.5 B．7C．14 D．13【解析】ΔyΔx＝f(3)－f(－1)3－(－1)＝27－(－1)4＝7.【答案】 B2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s【解析】∵ΔsΔt＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(5＋Δt)＝5(m/s)．【答案】 C3．质点运动规律s＝12gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于____．(g＝10 m/s2)【解析】Δs＝12g×(3＋Δt)2－12g×32＝12×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，v＝ΔsΔt＝30＋5Δt.【答案】30＋5Δt4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.【解析】因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt ＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.【答案】 25．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)ΔyΔx；(2)f′(1)．【解】(1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－(12＋3)Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.。

§1.1.2 导数的概念教学目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.教学过程：一、创设情景(一)平均变化率(二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0(4965(h h =, 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二、新课讲授1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？结论: 当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-.从物理的角度看,时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便,我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-” 小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y = 即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-. 三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xy x ∆∆→∆0lim . 解: (1)法一 定义法(略)法二 222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- (2)x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解: 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5,说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、回顾总结1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.2.导数的概念.六、布置作业 p10。

变化率与导数课时分配:第一课变化率1个课时第二课导数的概念1个课时第三课导数的几何意义1个课时1. 1.1 变化率【教学目标】1. 理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率和瞬时变化率的定义；3.体会数形结合的思想方法；4.让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．【教学重点】理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义【教学难点】通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率和瞬时变化率的定义【学前准备】：多媒体，预习例题【教材分析】：平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。

从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。

在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。

4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么? 讨论得出：210k k <<陡 峭 程 度 （越大） （越小）yAB O1k 2k 12||||k k <（1）、我们研究的是随着体积V 的变化，半径R 变化的快慢，引入函数解析式（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示）3、当空气容量从V 1增到加V 2时，气球的平均膨胀率是多少？讨论得出： 观察图象，计算运动员在 0≤t≤这段时间内的平均速度，思考：(1). 运动员在这段时间内是静止的吗？(2). 你认为用平速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ (3). 如果教练想知道运动员在1秒时的瞬时速度, 你有何建议334()Vr V π=1212)()(r v v v r v --导数的概念【教学目标】（一）知识与技能理解导数的形成过程，掌握函数在某点处的导数的概念.（二）过程与方法通过观看国家运功员跳水视频，引出瞬时速度，进而结合瞬时变化率及极限的思想得出导数的概念.（三）情感、态度与价值观学生通过观看运动员跳水视频，理解瞬时速度及瞬时变化率，从而过渡到导数，培养了学生自主观察、发现新知的能力【教学重点难点】重点：导数的概念难点：导数的概念形成过程【学前准备】：多媒体，预习例题导数的几何意义【教学目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题【教学重点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义【教学难点】导数的几何意义图3.1-2我们发现，当点沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线。

导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。

庖丁巧解牛知识·巧学一、变化率问题一般地,已知函数y=f(x),x 0,x 1是定义域内不同的两点,记Δx=x 1-x 0,Δy=y 1-y 0=f(x 1)-f(x 0)=f(x 0+Δx)-f(x 0),则当Δx≠0时,商xyx x f x x f ∆∆=∆-∆+)()(00称作函数y=f(x)在区间［x 0,x 0+Δx ］(或［x 0+Δx,x 0］)上的平均变化率.要点提示 ①在上式中,Δx,Δy 的值可正、可负,但Δx≠0,Δy 可以为零.若函数f(x)为常函数,则Δy=0.②在上式中,当x 0取定值时,Δx 取不同的数值,函数的平均变化率不同;当Δx 取定值,x 0取不同的数值时,函数的平均变化率也不一样. 二、导数的概念 1.平均速度一般地,物体在做直线运动时,它的运动规律可以用函数s=s(t)描述,这个式子叫做物体的运动方程(也叫位移公式).如果一个运动物体在时刻t 0时位于s(t 0),在时刻t 0+Δt(Δt 称为时间增量)时位于s(t 0+Δt),相应地,从t 0到t 0+Δt 这段时间内,物体的位移(即位移增量)是Δs=s(t 0+Δt)-s(t 0),那么位移增量Δs 与时间增量Δt 的比,就是这段时间内物体的平均速度v ,tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00. 联想发散 在高中物理中学习直线运动时,大家知道,若物体做匀速直线运动,则比值ts∆∆是恒定的;在非匀速直线运动中,比值ts∆∆不是恒定不变的. 2.瞬时速度当物体在做非匀速直线运动时,比值t s ∆∆不是恒定不变的,Δt 越小,这个平均速度v =ts ∆∆就越接近时刻t 的速度.因此,我们把物体在时刻t 0到t 0+Δt 这段时间内,Δt→0时的平均速度t s ∆∆的极限叫做物体在时刻t 0的瞬时速度,即v=tt s t t s t st t ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.误区警示 ①Δt 趋近于0,是指时间间隔Δt 越来越短,能越过任意小的时间间隔,但始终不能为零.②Δt,Δs 在变化过程中都趋近于0,但它们的比值都趋近于一个确定常数. 知识拓展 求瞬时速度的步骤: ①设非匀速直线运动的规律s=s(t);②时间改变量Δt,位置改变量Δs=s(t 0+Δt)-s(t 0); ③平均速度v=ts ∆∆; ④瞬时速度:当Δt→0,ts∆∆→v(常数). 3.导数一般地,函数y=f(x)在x=x 0处的瞬时变化率是x fxx f x x f x x ∆∆=∆-∆+→∆→∆0000lim )()(lim,我们称它为函数y=f(x)在x=x 0处的导数,记作f′(x 0)或y′|x=x0, 即f′(x 0)=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000.深化升华 ①Δx 是自变量x 在x 0处的改变量,所以Δx 可正亦可负,但不能为零.当Δx>0(Δx<0)时,Δx→0表示x 0+Δx 从右边(或从左边)趋近于x 0,Δy 是相应函数的改变量,Δy 可正亦可负,也可以为零.②函数f(x)在x 0处可导,是指当Δx→0时,xy∆∆→l(常数). 知识拓展 由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x 0处的导数的步骤是: ①求函数增量Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0); ②求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; ③取极限,得导数f′(x 0)=0lim→∆x x y ∆∆(或当Δx→0时,xy∆∆→f′(x 0)). 记忆要诀 上述求导方法可简记为:一差、二比、三极限.4.导函数如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x 都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)内可导.在区间内,f′(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数f(x)的导函数,简称导数.要点提示 ①函数在一点处的导数,就是在该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极限,它是一个数值,不是变数.②函数的导数,是对某一区间内的任意一点x 而言的,就是函数f(x)的导数f′(x)在点x=x 0处的导数值.三、导数的几何意义函数y=f(x)在x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即k=f′(x 0)=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000.知识拓展 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤: ①求出函数y=f(x)在x 0处的导数f′(x 0);②根据直线的点斜式方程,得切线方程y-y 0=f′(x 0)(x-x 0). 问题·探究问题1 平均变化率表示的几何意义是什么呢?导数的几何意义是什么呢? 思路:平均变化率1212)()(x x x f x f x y --=∆∆(Δx 表示自变量的增量,Δy 表示函数的增量),实际上是两点的斜率公式.函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000=x fx ∆∆→∆0lim ,即为函数f(x)在x=x 0处的导数.探究:若函数用f(x)来表示,则f(x)从x 1到x 2的平均变化率为1212)()(x x x f x f x y --=∆∆(Δx 表示自变量的增量,Δy 表示函数的增量),它的实质就是曲线上两点间的斜率公式.因此,它表示了函数图象上两点(x≠x 2)连线的斜率.而导数是指当Δx→0时平均变化率的极限,即Δx 越小,任意两点的连线越趋近于x=x 0处的切线.因此,平均变化率的几何意义是f(x)图象上任意两点连线的斜率;而导数的几何意义表示f(x)在x=x 0处的切线的斜率. 问题2 怎样求曲线y=f(x)在点x 0处的切线？思路:先由导数的定义求出在x 0处的导数f′(x 0),再由点斜式求切线方程.探究:函数y=f(x)在x 0处可导,则曲线y=f(x)在点(x 0,y 0)处的切线方程为y-y 0=f′(x 0)(x-x 0). 问题3 函数y=f(x)在x 0处不可导,曲线在点x 0处的切线是否就不存在呢?思路:函数y=f(x)在x 0处可导,其导数即为过该点的切线的斜率.若在x 0处不可导,其斜率不存在,但并非不存在过该点的切线.探究:不一定.f′(x 0)=∞时就有垂直于x 轴的切线. 典题·热题例1求y=2x 2+1在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率. 思路分析:函数平均变化率的简单求解,要紧扣定义式xyx x f x x f ∆∆=∆-∆+)()(00进行操作.解:当自变量从x 0变到x 0+Δx 时,函数的平均变化率为xx x x x x f x x f ∆+-+∆+=∆-∆+]12[]1)(2[)()(202000=4x 0+2Δx. 深化升华 这一类题目是公式的简单应用,只要注重运算过程就可以了. 例2以初速度为v 0(v 0>0)做竖直上抛运动的物体,t 秒时的高度为s(t)=v 0t-21gt 2,求物体在时刻t 0处的瞬时速度.思路分析:先求出Δs,再求出t s ∆∆;当Δt→0时,t s ∆∆的极限即为所求. 解:因为Δs=v 0(t+Δt)-21g(t+Δt)2-v 0t 0+21gt 02=(v 0-gt 0)Δt -21gΔt 2,所以t s ∆∆=v 0-gt 0-21gΔt.当Δt→0时,ts ∆∆=v 0-gt 0.所以物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0-gt 0.深化升华 求瞬时速度实质就是求位置增量(Δs)与时间增量(Δt)比的极限. 例3用导数的定义,求函数y=f(x)=x1在x=1处的导数.思路分析:根据导数的定义,第一步求函数的增量Δy,第二步求平均变化率xy∆∆,第三步取极限得导数.解:因为Δy=f(1+Δx)-f(1) =xx x xx x∆+∆++∆--=∆+∆+-=-∆+1)11(11111111=xx x∆+∆++∆-1)11(所以x y ∆∆=xx ∆+∆++-1)11(1.从而f′(1)=21lim0-=∆∆→∆x y x .拓展延伸 利用导数的定义求函数y=12+x 的导数.解:因为Δy=11)(11)(11)(222222+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x11)(2222+++∆+∆+∆=x x x x x x所以x y ∆∆=11)(222+++∆+∆+x x x x x .当Δx→0时,y′=21x x +.深化升华 利用导数的定义求导数时,应注意变形的技巧.例4抛物线y=x 2在哪一点处的切线平行于直线y=4x-5?思路分析:由于函数y=x 2在(-∞,+∞)上可导,先求其导函数,解方程即可.解:xx x x x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆2200)(lim lim =2x,令2x=4,解得x=2,即在点(2,4)处的切线平行于直线y=4x-5.方法归纳 有的同学设切线方程为y=4x+b,再由判别式确定b,进而解方程组求得所求的点,运算量较大,一般不宜采用此法.活用导数可以简化解题的过程.例5（2005全国高考）曲线y=2x-x 3在点(1,1)处的切线方程为___________. 思路解析:本题考查导数的几何意义及求切线方程的方法.因为f′(1)=xx x x ∆--∆+-∆+→∆)12()1()1(2lim 30=-1,所以曲线在(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+2.答案:y=-x+2方法归纳 利用导数的定义求出切线的斜率是关键.例6（2005重庆高考）曲线y=x 3在点(a,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴,直线x=a 所围成的三角形的面积为61,则a=______________. 思路解析:本题考查导数的几何意义及数形结合的思想.因为f′(a)=xa x a x ∆-∆+→∆330)(lim =3a 2,所以曲线在(a,a 3)处的切线方程为y-a 3=3a 2(x-a),切线与x 轴的交点为(32a,0). 所以三角形的面积为21|a-32a|·|a 3|=61,得a=±1. 答案:±1。

课堂导学三点剖析一、求函数的平均变化率【例1】 求y=2x 2+1在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解：当自变量从x 0到x 0+Δx 时,函数的平均变化率为xx f x x f ∆-∆+)()(00 .24)12(]1)(2[02020x x xx x x ∆+=∆+-+∆+= 温馨提示求函数f(x)平均变化率的步骤:(1)求函数值的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)， (2)计算平均变化率1212)()(x x x f x f x f --=∆∆. 二、利用导数的定义求导【例2】 利用导数的定义求下列函数的导数.(1)y=x 2+ax+b;(2)y=x 1.解：Δy=(x+Δx)2+a(x+Δx)+b -x 2-ax-b=(Δx)2+a(Δx)+2xΔx.x y ∆∆=xx x x a x ∆∆∙+∆+∆2)()(2=Δx+a+2x. y′=lim 0→∆x limΔx→0(Δx+a+2x)=2x+a. (2)Δy=x x ∆+1-x1=)(22x x x x x x x x x x xx x ∆++∆∙+∆-=∆∙+∆+- ∴x y ∆∆=)(12x x x x x x ∆++∆∙+-. ∴lim 0→∆x x y ∆∆=232121--=∙-x x x , 即y′=2321--x . 温馨提示利用定义求导数分三步:①求Δy;②求x y ∆∆;③lim 0→∆x x y ∆∆. 三、导数定义的应用【例3】 已知一物体的运动方程是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+,3,)3(329,30,2322t t t t 求此物体在t=1和t=4时的瞬时速度.分析：要求瞬时速度就是求s′(t).解：当t=1时，t s ∆∆=tt ∆+⨯-+∆+)213(2)1(322=6+3Δt, 所以s′(1)=limΔt→0(6+3Δt)=6.即当t=1时的瞬时速度为6.当t=4时，t s ∆∆=t tt ∆+=∆-+-∆++36])34(329[)34(32922, 所以s′(4)=limΔt→0(6+3Δt)=6.即当t=4时的瞬时速度为6.温馨提示本题是以分段函数的形式给出了运动方程，求解时要根据t 的值选取函数的解析式. 各个击破类题演练1求函数y=x 3-2,当x=2时,xy ∆∆的值. 答案：解:Δy=［(x+Δx)3-2］-(x 3-2)=(2+Δx)3-23=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx. ∴xy ∆∆=(Δx)2+6Δx+12. 变式提升 1如果一个质点从定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y=f(t)=t 3+3,当t 1=4且Δt=0.01时,求Δy 和ty ∆∆. 答案：解:Δy=［(x+Δx)3-2］-(x 3-2)=(2+Δx)3-23=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx. ∴xy ∆∆=(Δx)2+6Δx+12. 解:Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=Δt 3+48Δt+12Δt 2=(0.01)3+48×(0.01)+12×(0.01)2=0.481 201.∴x y ∆∆=01.0481201.0=48.120 1. 类题演练 2 求函数y=24x 在x=3处的导数. 解析:转化成导数的定义.lim 0→h hh x f h x f 2)()(00--+ =lim 0→h h x f h x f x f h x f 2)]()([)()(0000----+ =lim 0→h 21［h x f h x f h x f h x f h ---+-+→)()()()(00000lim ］ =21［lim 0→h h x f h x f h x f h x f h ---+-+→)()()()(00000lim ］ =21［f′(x 0)+f′(x 0)］=f′(x 0). 变式提升 2已知f(x)在x 0处可导,则lim 0→h hh x f h x f 2)()(00--+等于( ) A.21f′(x 0) B.f′(x 0) C.2f′(x 0) D.4f′(x 0) 解:Δy=22)3(9)6(494)3(4x x x x ∆+∆+∆-=-∆+, lim o x →∆x y ∆∆=lim o x →∆［-4·2)3(96x x ∆+∆+］=278-. y′|3=x =278-v. 答案:B类题演练 3火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100 m/s ，试问熄火后多长时间火箭速度为零？（g=9.8 m/s 2）解:火箭的运动方程为h(t)=100t-21gt 2. 在t 附近的平均变化率为 tgt t t t g t t t h ∆--∆+-∆+=∆∆]21100[])(21)(100[22=t g gt t t g t gt t ∆--=∆∆-∆∙-∆21100211002 h′(t)=lim 0→∆t (100-gt-21gΔt)=100-gt. 令h′(t)=0，即100-gt=0.解得t=8.9100≈10.2(s). 答：火箭熄火后约10.2 s 速度变为零.变式提升3已知f(x)=x 2,g(x)=x 3,求适合f′(x)+2=g′(x)的x 值.分析：要求x 的值，需利用导数的定义求出f′(x)、g′(x)，然后解方程. 解:由导数的定义知，f′(x)= limo x →∆x f ∆∆=lim o x →∆x x x x ∆-∆+22)(=2x, g′(x)=lim o x →∆x g ∆∆=lim o x →∆x x x x ∆-∆+33)(=3x 2. 因为f′(x)+2=g′(x)，所以2x+2=3x 2.即3x 2-2x-2=0,解得x=371-或x=371+.。