高中数学人教版选修1-1 3.1.2导数的概念 教案1

3.1.2 导数的概念
1. 教学目标
（1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.
（2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．
（3）情感、态度与价值观目标：
①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．
②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．
2. 教学重、难点
重点：导数的定义和用定义求导数的方法．
难点：对导数概念的理解．
3．教学过程
【例1】
求函数y=x2+2x在点x=2处的导数.
解：（1）求增量△y=f（2+△x）-f（2）=（2+△x）2+ 2（2+△x）-（22+2×2）
=（△x）2+6△x，
（2）求平均变化率：
，
（3）取极限（△x+6）= 6
∴f′（2）=6或
【探讨3】怎样求新函数的[解析]式？
探讨后引出定义3：（函数
)
(x
f
y=在开区间)
,
(b
a内的导函数）
【例2】已知y=1
x
，求（1）y′;（2）y′|x=2.
解：
（2）y′|x=22
8
=-
4．板书设计
板书设计：。

导数的计算【知识要点】一．导数概念：(1)平均变化率：对于函数y ＝f (x )，定义1212)()(x x x f x f --为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．换言之，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，那么函数f (x )相应地有增量f (x 0＋∆x )－f (x 0)，则比值xx f x x f ∆-∆+)()(00就叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋∆x 之间的平均变化率． (2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000. (3)函数y ＝f (x )的导函数(导数)：当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)，即xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0.二 ．导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．三．导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(x ＞0，n ∈Q *)；③(sin x )′＝cos x ；④(cos x )′＝－sin x ；⑤(e x )′＝e x ；⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)； ⑦xx 1)(ln =； ⑧e x x a a log 1)(log =(a ＞0，且a ≠1)． (2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u .(3)简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b ))的导数：设函数y ＝f (u )，u ＝g (x )，则函数y ＝f (u )＝f [g (x )]称为复合函数．其求导步骤是：x y '＝u f '·x g '，其中u f '表示f 对u 求导，x g '表示g 对x 求导．f 对u 求导后应把u 换成g (x )．【典型例题】例1 求曲线122+=x x y 在点)1,1(处的切线方程. 回顾导数的几何意义:函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率. 解: 略例2 曲线运动方程为2221t tt s +-=,求3=t 时的速度. 回顾导数的物理意义:瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数:)(')(t s t v =.解: 略例3已知抛物线c bx ax y ++=2通过点)1,1(,且在点)1,2(-处与直线3-=x y 相切,求c b a ,,的值.【随堂练习】1 求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x 2－1)； (2)11+-=x x y ；(3)y ＝sin2x ； (4)y ＝e x ·ln x ．2．求下列函数的导数：(1)y ＝x －e x ；(2)y ＝x 3＋cos x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)⋅=x x y ln3．(tan x )′等于( ) (A)x 2sin 1 (B)x 2sin 1- (C)x 2cos 1 (D)x2cos 1-4．设f (x )＝x ln x ，若f '(x 0)＝2，则x 0等于( )(A)e 2(B)e (C)22ln (D)ln25．f '(x )是1231)(3++=x x x f 的导函数，则f '(－1)＝______．6．若函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f '(1)＝______．7．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为______；切线的斜率为______．8．设函数f (x )＝xe kx (k ≠0)，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是______．9设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f '(x )的最小值为－12．求a ，b ，c 的值．10．曲线x y 21e在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) (A)2e 29 (B)4e 2 (C)2e 2 (D)e 2 6 (1)求曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线方程.(2)过点(1，－3)作曲线y ＝x 2的切线，求切线的方程．10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (1，1)，B (2，－1)，且该曲线在点B 处的切线方程为y ＝x －3，求a 、b 、c 的值。

人教版高中选修1-1第三章导数及其应用课程设计一、课程设计背景导数是高中数学中的重要内容，也是数学分析中的基础概念之一。

通过对导数的学习，可以更深入地了解函数的性质和图像的特征，也有助于我们更好地掌握微积分的相关知识。

因此，在高中数学选修课中，导数的教学是必不可少的。

本次课程设计是针对人教版高中选修1-1第三章导数及其应用这一主题进行模拟教学设计，旨在帮助学生深入理解导数的概念和应用，提高他们的数学素养和分析能力。

二、教学目标本节课的教学目标如下：•理解导数的概念及其在函数中的应用；•掌握导数的求法和计算方法；•学习导数在函数图像上的几何意义和物理意义；•培养学生的分析思维和解决问题的能力。

三、教学过程1. 导入环节（5分钟）引入导数的概念和相关概念，例如函数、极限，引出导数的计算方法和应用场景。

2. 课堂讲解（40分钟）A. 导数的概念及其计算方法讲解导数的定义及其求法，强调导数的物理意义和几何意义，并且通过例题演示求导法则。

B. 导数在函数图像上的应用通过讲解导数在函数图像上的应用，学生可以更直观地理解导数的实际意义。

做完例题后，老师可以引导学生自己思考并且提出问题，激发他们的分析思维。

C. 导数在物理学中的应用导数在物理学中的应用也是很重要的，老师可以突出讲解一些物理问题并尝试与导数联系起来。

3. 练习环节（30分钟）安排学生在课下做一些练习题，巩固所学知识，并且在下一节课讲解之前准备问题。

4. 总结环节（5分钟）让学生回答问题和分享反思，老师通过总结，强化所学知识，教育学生总结归纳能力。

四、教学方法•以问题为导向，让学生自己思考和分析，发挥其主动学习能力；•引导学生完成任务，并且通过合作完成需求；•突出案例和实例的学习，通过具体的例子强化知识的应用；•开展课堂讨论和合作式学习，激发学生的学习兴趣和思维方式。

五、教学评估针对本次课程设计，我们可以采用一下几种方式进行评估：•学生课堂表现；•作业完成情况；•课程收获反馈。

导数的概念教学设计一、教学目标知识与技能：1.物体在时刻t的瞬时速度的概念2.在某点的导数的概念和导函数的定义过程与方法：1.掌握通过极限思想给瞬时速度下的准确定义2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度3.理解函数在某点的导数以及在某个区间内的导函数的关系情感态度与价值观：1.培养学生解决实际问题的能力2.平均速度与瞬时速度是互相联系、辩证统一的，培养学生联系的、辩证统一的思想3.理解导数的概念并会运用概念求导数二、重难点重点：1.用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度2.导数的概念以及求导数难点：1.理解物体的瞬时速度的定义2.导数的概念三、教材分析本课时是导数的概念的第一课时，主要从瞬时速度角度出发对导数下定义，并从导数的定义方面让学生对瞬时速度有更深入的理解。

在教学过程中要注意结合书本高台跳水的例题。

让学生通过研究教材表格中的变化情况探究导数的概念。

四、学情分析本节课从内容上讲难度不大，但文科生对速度这一物理概念有些无力。

在讲解时，要注意阐述这一概念，让学生有个更为深入的理解。

在引入时，可以用教材73页的探究引入，让学生对瞬时速度有一个较为直观的认识。

五、教学过程1.课前回顾：利用气球膨胀率问题和高台跳水问题回顾上节课所讲的平均变化率2.创设情境，引入新课问题1：书73页探究 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并回答 （1）运动员在这段时间里是否静止（2）平均速度是否能够准确描述运动员的运动状态设计意图：通过解决上节课的问题，引导出新课核心问题的解决思想3.小组讨论，新课讲解小组讨论：阅读教材74页至教材75页内容，并讨论如何由平均速度求瞬时速度设计意图：让学生自主探究并讨论，体会概念形成过程，帮助学生更加深刻地理解概念本身。

问题2：函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率如何表示？导数的定义（板书）函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x f x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000， 我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数，记作()0'x f 或0|'x x y =，设计意图：让学生自己从公式中总结归纳出一般规律，加深学生对公式的印象和理解4.例题讲解，巩固新知例1：求函数23x y =在1=x 处的导数解：先求x x f x f y ∆+∆=-∆+=∆6)()1()1(2 再求6+∆=∆∆x xy 再求6lim 0=∆∆→∆xy x 总结：先求函数变化量)()(00x f x x f y -∆+=∆再化简，求平均变化率xy ∆∆ 取极限xy x f x ∆∆=→∆lim 00')( “一化，二差，三极限”设计意图：通过例题让学生巩固定义，并且总结出求导数的方法5.课堂练习，强化训练练习：（课本例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．学生自主完成，并找学生作答解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆；同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．设计意图：通过书本例题加深学生对导数的计算，同回归到实际问题当中，让学生去解释结果的意义。

3．1 变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．●重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．(教师用书独具)●教学建议学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？⇒引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.⇒通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求瞬时速度的方法，为求导数打下基础.⇒通过例3及其变式训练，学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第45页)【问题导思】实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快． 1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？ 【提示】 可以运用平均变化率来刻画．2．实例(2)中，当t 1≈t 2时刻时，平均变化率有什么样的特点？ 【提示】 平均变化率接近t 1或t 2时刻的速度． 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(对应学生用书第45页)求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy . 2．求函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1. (2)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (3)作商求函数的平均变化率：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π，在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3＜1，∴3π＞3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li mΔt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs ，再用公式v ＝li mΔt →0 Δs，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．【解】 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′(1) 【自主解答】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx .Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx 不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c ) ＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy ＝2a ·Δx ＋(Δx )2＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a .∴2a＝2，a＝1.(对应学生用书第48页)求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【思路点拨】本题已知函数解析式，求初速度即t＝0时的瞬时速度，t＝2时的瞬时速度和t∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，2分Δs Δt＝3Δt－(Δt)2Δt＝3－Δt，3分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.4分∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2，6分Δs Δt＝－Δt－(Δt)2Δt＝－1－Δt，7分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，8分∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分 v ＝Δs Δt ＝22＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.(对应学生用书第48页)1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( ) A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C.ΔsΔt 不一定与Δt 有关 D.lim Δt →ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 【解析】 D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度． 【答案】 D2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 ∵x ＝2，Δx ＝0.1， ∴Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b 【解析】Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ＋b ·Δx ， f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 【答案】 C4．一物体运动的方程是s ＝3＋t 2，求物体在t ＝2时的瞬时速度． 【解】 Δs ＝(2＋Δt )2－4＝4Δt ＋(Δt )2.∴ΔsΔt＝4＋Δt . ∴当Δt →0时，瞬时速度为4.(对应学生用书第103页)一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . 【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒B.12516米/秒 C ．8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵Δs Δt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt＝Δt ＋8－316＋4Δt，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0. ∴x 0＝－1，y 0＝－2.【答案】 B二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2, (s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【解析】 v ′(5)＝lim Δt →0 s (5＋Δt )－s (5)Δt＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10 【答案】 10米/秒7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝lim Δx →0 a Δx Δx＝2，∴a ＝2. 【答案】 28．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝________.【解析】∵limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＝m，则limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m.∴limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m＋m＝2m.【答案】2m三、解答题9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．【解】∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2，∴ΔfΔx＝2x0Δx－2Δx＋(Δx)2Δx＝2x0－2＋Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔfΔx＝limΔx→0(2x0－2＋Δx)＝2x0－2，把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．【解】(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：Δs Δt＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt＋3(Δt)2Δt＝14＋3Δt.当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.(2)t＝2时的瞬时速度为：v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14＋3Δt)＝14.11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105 m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 ∵s (t )＝12at 2， ∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1)＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21＝at 1Δt ＋12a (Δt )2， Δs Δt ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2Δt ＝at 1＋12a Δt . ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (at 1＋12a Δt )＝at 1. 由题意a ＝5×105 m/s 2，t 1＝1.6×10－3s ， ∴v ＝at 1＝5×105×1.6×10－3 ＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.(教师用书独具)求函数y ＝1x在x ＝1时的瞬时变化率． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx＝1－1－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx， ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx . ∴Δx 趋于0时，Δy Δx 趋于－12. ∴x ＝1时的瞬时变化率为－12.求y ＝x 在x ＝1处的导数．【解】 由题意知Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1) ＝11＋Δx ＋1， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.。

1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。

人教版高中数学选修1-1第3章 导数及其应用教案3.1.1 变化率问题一. 设计思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法． 二. 教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

三. 教学重点1. 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 四. 教学难点：平均变化率的概念． 五. 教学准备1. 认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2. 向有经验的同事请教；3. 从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方． 六. 教学过程 一．创设情景（1） 让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？（2） 学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值．让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习． 二．新课讲授 （一）问题提出问题1气球膨胀率问题：老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈−气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈−−⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈− 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈−−可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r −−问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =−−=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v −=−−=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =−−=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（二）平均变化率概念:引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.ht o1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f −−表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设12x x x −=∆, )()(12x f x f f −=∆ (这里x ∆看作是对于x1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f −=∆=∆) 3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y xx f x x f x x x f x f ∆−∆+=−−)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f −−表示什么? （1） 师生一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率2121()()f x f x fx x x −∆=∆−. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x2= x 1+Δx ；③Δf=Δy=y2-y1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +−2的图象上的一点)2,1(−−A 及临近一点)2,1(y x B ∆+−∆+−,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+−+∆+−−=∆+−，∴x xx x x y ∆−=∆−∆+−+∆+−−=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

3.1.2导数的概念教学内容：导数的概念以及求函数在其定义域内某点处的导数的方法步骤教学目标：知识与技能目标：1．了解导数概念的实际背景，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会用定义求函数在某点的导数过程与方法目标：1.通过实例分析，引导学生用平均速度去求瞬时速度，体验由已知探究未知的数学方法，让学生亲自计算，在计算过程中感受逼近的趋势，并经历观察、分析、归纳、发现规律的过程。

2.引导学生以瞬时速度为基点，从特殊到一般，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，理解导数就是瞬时变化率3.通过问题的探究，培养学生的探究意识和探究方法.情感、态度与价值观目标：通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用，认识学习导数的必要性，从而激发学生学习导数的兴趣.教学重点：导数概念的形成过程及导数概念的内涵，用定义求函数在某点的导数教学难点：对导数概念的理解．教学准备：准备学案，投影仪，计算器教学方法：引导探究法：设疑——点拨——引导——探究。

教学设计：教学环节教学内容设计思想师生活动创设情景引入新课1.复习提问平均变化率的求解步棸：函数)(xfy=从1x到2x平均变化率为21()()f x f xyx x-∆=∆∆，函数从x到x x+∆的平均变化率如何表示呢？2.在10米高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在时间段[]2,2t+∆里的平均速度.教师给出：我们求出了运动员在这段时间的平均速度，但平均速度并不能反映运动员在某一时刻的速度，那么我们如何求运动员在某一时刻的速度呢？这一节课我们就来解决这样一个问题。

板书课题 3.1.2导数的概念1.让学生回忆上一节课的内容，在上一节课的基础上进入本节课的学习。

2.从实际问题出发，使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确刻画物体的运动状态，有必要研究某个时刻的速度，这样能激发学生求知的欲望，从而使学生从“要我学”变成了“我要学”。

人教版高中选修1-1第三章导数及其应用课程设计一、课程背景本课程是人教版高中选修1-1第三章导数及其应用课程设计，主要面向高中一年级学生，介绍导数的概念、性质以及其在几何、物理等领域中的一些应用。

在基础知识的掌握上，重点突出了导函数的求法和利用导数解决问题的方法。

二、课程目标1.掌握导数的概念、性质，并能正确运用导数的基本公式求导；2.理解导函数的概念，在实际应用中能正确求解；3.能够应用导数的求法，解决几何、物理等相关问题；4.提高学生对数学的兴趣，增强数学思维能力。

三、教学内容1. 导数的概念与求法（1）导数的定义导数的定义、几何意义和物理意义。

（2）导数的求法应用导数的基本公式，如幂函数、指数函数、对数函数等的求导法则。

（3）导数的性质对导数的加法、减法、乘法、除法运算法则的学习。

2. 导函数的求法与应用（1）导函数的概念导函数的概念及其几何意义。

（2）导函数的求法应用导数的运算法则，求出函数的导函数。

（3）导函数的应用介绍导数在极值、凸性、函数图像研究、边界条件问题等方面的应用。

3. 积分与微积分基本定理（1）积分的概念积分的基本概念及其场景应用。

（2）微积分基本定理微积分基本定理的概述及其在求不定积分和定积分中的应用。

四、教学方法1. 探究式学习法利用问题导向的学习方法，启发学生思考，提高学生自主学习能力。

2. 教师引导法教师根据学生的基础与能力，引导学生进行分析、反思和总结。

3. 交互式教学法教师与学生之间进行交互式的教学模式，营造积极、健康的课堂气氛。

五、教学评估1. 平时评估平时成绩占全年总成绩30%；包括课堂表现、作业完成情况、参与课外活动等。

2. 期中期末考试期中考试占全年总成绩30%；期末考试占全年总成绩40%。

六、教学资源1. 学生教材人教版高中选修1-1教材。

2. 实验器材教师准备导数计算器、积分计算器、激光仪等。

七、教学反思通过教学实践，本教案把“探究式学习法”、“教师引导法”、“交互式教学法”等多种教学方法融合在一起，形成了自我启发、团队学习、交互参与等特点鲜明的“高中选修1-1导数及其应用”互动教学模式，活跃了课堂气氛，激发了学生学习的兴趣，提升了他们的学习成绩和自主学习能力。

3.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图象，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论：当t ∆趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2 再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一定义法（略） 法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C o ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h o 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h o的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况． 四．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念五．布置作业。