2016届高考数学理仿真押题：专题19+概率、随机变量及其分布列(解析版)

专题19 概率最值问题例1． 某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为<<(01)p p ，且相互独立． ①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；【解析】（1）设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A 则()==393122155C P A C 答：该盒芯片可出厂的概率为2155．(2)①某箱12片芯片中恰有3片次品的概率 ()()+++-⨯⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭129333123121212333(1)91131[]2712274p p p p f p C p pC C 当且仅当=-31p p ，即=14p 时取“=”号故()f p 的最大值点=014p ．②由题设知，==014p p设这箱芯片不合格品个数为n 则⎛⎫~ ⎪⎝⎭，1124n B 故()=⨯=11234E n 则()=---⨯=12012303272E X ∴这箱芯片最终利润X 的期望是72元．例2． 绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．【解析】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7， 设每个游客的利润为1Y 元，则1Y 是随机变量，其分布列为：115035071=⨯-⨯=()..E Y （元)，则5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为030051008+⨯=...，不被带走的概率为0.2， 设每个游客的利润为2Y ，则2Y 是随机变量，其分布列为：25085023=⨯-⨯=()..E Y （元)，则5000个游客的平均利润为5000315000⨯=（元)，该项目每天的平均利润比调整前多10000元．（2）设降价x 元，则015<x ，照片被带走的可能性为03005+..x ， 不被带走的可能性为07005-..x ，设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：21503005507005005697=-⨯+-⨯-=--()()(..)(..).[()]E Y x x x x ，当7=x 时，()E Y 有最大值3.45元，∴当定价为13元时，日平均利润取最大值为500034517250⨯=.元．例3． 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的∈(*)n n N 个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．（2）当4=n 时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望．【解析】解：（1）对于一个坑而言，要补种的概率为3133111222+=()()C ．有3个坑需要补种的概率为：312⨯()n n C ，要使312⨯()n n C 最大，只须323411221122⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩()()()()n n n n n nn n C C C C ，解得57≤≤n ， ∈*n N ，故5=n ，6，7．35353556711513522162128==>=()()()C C C ， 所以当n 为5或6时，有3个坑要补播种的概率最大．最大概率为516． （2）4=n 时，要补播种的坑的个数X 的所有的取值分别为0，1，2，3，4，142~(,)X B ，044110216===()()P X C ，14411124===()()P X C ，24413228===()()P X C ， 34411324===()()P X C ，444114216===()()P X C ．所以X 的数学期望1422=⨯=()E X ． 例4． 为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；【解析】解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则00201010002==⨯⨯=()....P X ，10801020209010201090044==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()..........P X ， 20809010801090209090306==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()..........P X ， 30809090648==⨯⨯=()....P X ．（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为090105095+⨯=....， ∴一尾乙种鱼苗的平均收益为10095200594⨯-⨯=...元．设购买n 尾乙种鱼苗，()F n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润， 则94376000=≥().F n n ，解得40000≥n ．所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元．例5． 为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望；（Ⅰ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k 的值．【解析】（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数X 的可能取值为0，1，2，3，()0355*******C C P X C ===，()12553105112C C P X C ===，()21553105212C C P X C ===，()30553101312C C P X C ===，所以X 的分布列为X 的数学期望()0123121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅰ）设Y 为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得310,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()()1010370,1,2,3, (101010)kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1019110101011111010373710101010373710101010k k k kk k k k k kk k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得23331010k ≤≤，又*k N ∈，所以当3k =时概率最大． 即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.例6． 已知A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量1X 和2X .根据市场分析， 1X 和2X 的分布列如下.（1）在A ，B 两个项目上各投资100万元，1Y 和2Y 分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求()1D Y 和()2D Y ；（2）将x ()0100x ≤≤万元投资A 项目，100x -万元投资B 项目，()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差之和.求()f x 的最小值，并指出x 为何值时，()f x 取到最小值.【解析】（1）15%1000.810%1000.26,EY =⨯⨯+⨯⨯=221(5%1006)0.8(10%1006)0.24DY =⨯-⨯+⨯-⨯= 22%1000.28%1000.512%1000.38,EY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2222(2%1008)0.2(8%1008)0.5(12%1008)0.312DY =⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=（2）221212100100()()()()()()()100100100100x x x x f x D Y D Y D Y D Y --=+=+22222244[3(100)](46003100)100100x x x x =+-=-+⨯, 当75x =时，()f x 取最小值3.例7． 某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差。

2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全（概率、随机变量及其分布）一、选择题二、填空1.（2016四川理） 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是. 【答案】32考点：离散型随机变量的均值【名师点睛】本题考查随机变量的均值（期望），根据期望公式，首先求出随机变量的所有可能取值12,,,n x x x ，再求得对应的概率(1,2,,)i P i n =，则均值为1ni i i x P =∑．三、解答题1.（2016北京理）A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ ，表格中数据的平均数记为0μ ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明） 【答案】（1）40；（2）38；（3）10μμ<. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据图表判断C 班人数，由分层抽样的抽样比计算C 班的学生人数；（Ⅱ）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由独立事件概率公式求概率.（Ⅲ）根据平均数公式进行判断即可.考点：1.分层抽样；2.独立事件的概率；3.平均数【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式)(1)(A P A P -=，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便.2（2016全国Ⅰ理）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元 .在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此 搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换 的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？ 【答案】（I ）见解析（II ）19（III ）19n = 【解析】试题分析：（I ）先确定X 的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列；（II ）通过频率大小进行比较；（III ）分别求出n =9,n =20的期望,根据19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,应选19=n .所以X 的分布列为X 1617 18 19 20 21 22P04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时,08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+.当20=n 时,04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=.可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,故应选19=n . 考点：概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.3. （2016全国Ⅱ理）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1234≥5保费0.85aa1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3，由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，求X 的分布列，再根据期望公式求解.试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+= 又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.11考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望. 【名师点睛】条件概率的求法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )，求P (B |A )；(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ).求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；(2)求X 的每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)由均值定义求出E (X )．4.（2016山东理）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求： （I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX . 【答案】（Ⅰ）23（Ⅱ）分布列见解析，236=EX 【解析】试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4, 6.由事件的独立性与互斥性，得到X 的分布列，根据期望公式求解. 试题解析：(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意，.E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD =++++ 由事件的独立性与互斥性，()()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =++++ ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P P A P B P C P D C P D =++++323212323132=24343434343432.3⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭= ,所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. (Ⅱ)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得()1111104343144P X ==⨯⨯⨯=,()31111211105124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==⎪⎝⎭, ()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=, ()32111132134343434312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,考点：1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.随机变量的分布列和数学期望. 【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.5.（2016天津理）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）详见解析试题解析：解：()I 由已知，有()1123442101,3C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为13. ()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342100C C C P X C ++==415=， ()111133342107115C C C C P X C +===， ()11342104215C C P X C ===. 所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=. 考点：概率，概率分布与数学期望 【名师点睛】求均值、方差的方法1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； 2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；3．如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．。

华亭一中2016届高三第十次数学（理）押题试卷一、选择题（每小题5分共60分）1. 若复数z 满足z+｜z ｜ =3-i ，则z 的实部为 A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-32. 已知集合}2)1(log |{2<+=x x A ，B={x|(x-1)(x-3)=0}，则A ∪B 等于 A ．(-1,3) B ．(-1,3] C ．(1,3) D ．(1,3]3. 设211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 4. 将函数)63sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为（ ）A ．3)43sin(2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=πx x gC ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)123sin(2)(--=πxx g5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．6. 直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ∥β，α∥β，则m ∥α； ③若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α. 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b = A. 45 B. 47 C. 49 D. 518. 已知,x y 满足约束条件，则目标函数的最小值为A.-4B.-3C.-1D.39. 等差数列中，，,,其中f(x)=,求通项公式A ．-2n+4 B. -2n-4 C. 2n-4或 -2n+4 D. 2n-410. 若直线2000mx ny m n ++=（＞，＞）截得圆22311x y +++=（）（）的弦长为2，则13m n +的最小值为 A. 4 B. 12 C. 16 D. 611.点P 从点O 出发,按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周,O,P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x的函数关系如图,那么点P 所走的图形是( )12. 设21F F 、分别为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线222112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>的公共焦点,它们在第一象限内交于点M ,︒=∠9021MF F ,若椭圆的离心率3=4e ,则双曲线2C 的离心率1e 为( )A.92B.32C.32D.54二、填空题（每小题5分、共20分）13. 已知单位圆上三个不同点A ，B ，C ，若|- |=2，则向量与的夹角为________14. 已知 的展开式中含32x y 的项的系数为15，则a=_______15. 在∆ABC 中，sinA=135，cosB=53，求cosC=_________16.已知列中，，,,（n>2）,求通项公式=____________三、简答题17. 如图，为测量河对岸两塔间距离和塔高，测量者在河岸边选定两点C ，D ，测得CD=10，并且在C ，D 两点分别测得BCD= ，BDC= .(1)在点C 测得塔B 的仰角BCA= ,求塔的高度AB. (2)若测得ECD= ，EDC=,求两塔间距离BE.18. 某超市从2016年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小；（只需写出结论）；（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率； （Ⅲ）设X 表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X 的数学期望．19. 在正三棱柱中，，点F 是BC 的中点，点 H 在线段 上运动.(1) 请在图中绘制平面AFH ，使平面AFH ，说明点H 的位置.(2) 在（1）问的条件下，求平面AFH 与平面 所成角的正弦值.20. 已知点(5,4)G ，圆221:(1)(4)25,C x y -+-=过点G 的动直线l 与圆1C 相交于E F 、两点，线段EF 的中点为C .（1）求点C 的轨迹2C 的方程；（2）若过点(1,0)A 的直线1l 与2C 相交于P Q 、两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，求证：AM AN ⋅为定值.21. 已知函数()()ln f x ax x x a R =+∈．（1）若函数()f x 在区间[),e +∞上为增函数,求a 的取值范围；（2）当1a =且k Z ∈时,不等式()()1k x f x -<在()1,x ∈+∞上恒成立,求k 的最大值．四、选做题（本小题满分12分）从下列三题中选做一题 22..选修4-1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点P 作圆的切线PC ，切点为C ，割线P AB 、割线PEF 分别交圆O 于A 与B 、E 与F ．已知PB 的垂直平分线DE 与圆O 相切．（1）求证：DE ∥BF ；（2）若23PC =，DE =1，求PB 的长23选修4－4：坐标系与参数方程 已知点P 是椭圆C ：=1上一动点。

第6讲 离散型随机变量的均值与方差基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·广东卷)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX ( )A.32 B ．2 C.52D ．3解析 EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案 A2．已知随机变量X 服从二项分布，且EX ＝2.4，DX ＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1解析 由二项分布X ～B (n ，p )及EX ＝np ，DX ＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4.故选B. 答案 B3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 ( )A ．100B ．200C ．300D ．400解析 记不发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000,0.1)， ∴EY ＝1 000×0.1＝100.又X ＝2Y ，∴EX ＝E (2Y )＝2EY ＝200. 答案 B4．口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望EX 的值是 ( ) A ．4B ．4.5C ．4.75D ．5解析 由题意知，X 可以取3,4,5，P (X ＝3)＝1C 5＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35，所以EX ＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5，故选B. 答案 B5．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差DX 的值为 ( )A.125B.2425C.85D.265解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，∴DX ＝4×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425. 答案 B 二、填空题6．(2014·浙江卷)随机变量X 的取值为0,1,2.若P (X ＝0)＝15，EX ＝1，则DX ＝________.解析 由题意设P (X ＝1)＝p ，由概率分布的性质得P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝45－p ，由EX ＝1，可得p ＝35，所以DX ＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案 257．(2015·新余调研)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝________.解析 由题意知P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13， ∴p ＝12，随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512，P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16，因此EX ＝1×13＋2×512＋3×16＝53.答案 538．某保险公司新开设一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E 发生，则该公司要赔偿a 元，在一年内如果事件E 发生的概率为p ，为使该公司收益期望值等于a10，公司应要求该保单的顾客缴纳的保险金为________元．解析 设随机变量X 表示公司此项业务的收益额，x 表示顾客交纳的保险金，则X 的所有可能值为x ，x －a ，且P (X ＝x )＝1－p ，P (X ＝x －a )＝p ， 所以EX ＝x (1－p )＋(x －a )p ＝a 10，得x ＝a p ＋10.答案a p ＋10三、解答题9．(2014·湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立． (1)记H ＝“至少有一种新产品研发成功”，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13 ×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615.故所求的分布列为数学期望为EX ＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.10．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆， 统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由． 解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A .则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 2的分布列为(3)由(2)得，EX 1＝1×125＋2×50＋3×10＝14350＝2.86(万元)， EX 2＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为EX 1>EX 2，所以应生产甲品牌轿车．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的期望值为 ( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4解析 X 的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为∴EX 答案 C12．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4,5或6，丙盒中放一球，共掷6次，用x ，y ，z 分别表示掷完6次后甲，乙，丙盒中球的个数．令X ＝x ＋y ，则EX ＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析 将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球为成功和丙盒中不投入球为失败且相互独立，则丙盒中投入球成功的概率为12，用z 表示6次实验中成功的次数，则z ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12， ∴Ez ＝3，又x ＋y ＋z ＝6，∴X ＝x ＋y ＝6－z ，∴EX ＝E (6－z )＝6－Ez ＝6－3＝3. 答案 B13．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若EX ＝3，则DX 的值是________．解析 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a ＋c ＝2b ，EX ＝－a ＋0＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12.∴DX ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝59.答案 5914．(2014·安徽卷)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为EX ＝2×59＋3×29＋4×81＋5×81＝81.。

第Ⅰ卷（共40分）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 【答案】C.【解析】由题意得，[11]A =-，，(,0]B =-∞，∴(0,1]U AC B = ，故选C. 2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．64 B ．72 C ．80D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 【答案】C.3.已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 【答案】A.【解析】||||c o s c o s ||c o s ||c αβαβααββ->-⇔->-，设()||c o s f x x x =-，[,]x ππ∈-，显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A.4.满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||xf e x = B.2()xxf e e = C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 【答案】D.5.设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 【答案】B.【解析】2323()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+，故11a b a b ab++≤⇒≤2322()44()1184()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab++⇒≤⇒=+≤⇒+≤，而事实上12ab ab +≥=， ∴1ab =，∴log 1a b =-，故选B.6.已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（ ）A.5B.2 D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力. 【答案】A.7.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 【答案】C.【解析】易得//BP 平面11CC D D ，所有满足1PBD PBX ∠=∠的所有点X 在以BP 为轴线，以1BD 所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q 的轨迹为该圆锥面与平面11CC D D 的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q 的轨迹是双曲线，故选C.8.已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222nn x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ）A.909B.910C.911D.912【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.【答案】A.第Ⅱ卷（共110分）二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________．【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 【答案】(1,2)-，(,5)-∞.【解析】将圆的一般方程化为标准方程，22(1)(2)5x y m -++=-，∴圆心坐标(1,2)-， 而505m m ->⇒<，∴m 的范围是(,5)-∞，故填：(1,2)-，(,5)-∞.10.已知函数21,0()1,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()21xg x =-，则((2))f g = ，[()]f g x 的值域为 ．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 【答案】2，[1,)-+∞.11.已知函数22tan ()1tan x f x x =-，则()3f π的值是_______，()f x 的最小正周期是______.【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．【答案】π.【解析】∵22tan ()tan 21tan x f x x x ==-，∴2()tan 33f ππ==221tan 0x k x ππ⎧≠+⎪⎨⎪-≠⎩，∴()f x 的定义域为(,)(,)(,)244442k k k k k k ππππππππππππ-+-+-++++ ，k Z ∈，将()f x 的图象如下图画出，从而可知其最小正周期为π，故填：π.12.设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y mx y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力． 【答案】[3,6]-.13.要使关于x 的不等式2064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.【答案】±.【解析】分析题意得，问题等价于264x ax ++≤只有一解，即220x ax ++≤只有一解，∴280a a ∆=-=⇒=±，故填：±.14.已知x ，y 为实数，代数式2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 .【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力..15.已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a - ，c b - 的夹角为23π，c a -= a 与c的夹角为__________，a c ⋅ 的最大值为 ．【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.【答案】6π，18+三．解答题 ：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos )cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．【答案】（1）3B π=；（2）[1,2).17.（本题满分15分）如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM ．（1）求证：BM AD ⊥；（2）若)10(<<=λλ，当二面角D AM E --大小为3π时，求λ的值．【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．【答案】（1）详见解析；（2）3λ=.【解析】（1）由于2AB =，AM BM =，则AM BM ⊥，又∵平面⊥ADM 平面ABCM ，平面 ADM 平面ABCM ＝AM ，⊂BM 平面ABCM ， ∴⊥BM 平面ADM ，…………3分又∵⊂AD 平面ADM ，∴有BM AD ⊥；……………6分18.（本题满分15分）已知函数c bx ax x f ++=2)(，当1≤x 时，1)(≤x f 恒成立． （1）若1=a ，c b =，求实数b 的取值范围；（2）若a bx cx x g +-=2)(，当1≤x 时，求)(x g 的最大值．【命题意图】本题考查函数单调性与最值，分段函数，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力． 【答案】（1）]0,222[-；（2）2.（1）由1=a 且c b =，得4)2()(222b b b x b bx x x f -++=++=，当1=x 时，11)1(≤++=b b f ，得01≤≤-b ，…………3分故)(x f 的对称轴]21,0[2∈-=b x ，当1≤x 时，2min max ()()124()(1)11b b f x f b f x f ⎧=-=-≥-⎪⎨⎪=-=≤⎩，………… 5分解得222222+≤≤-b ，综上，实数b 的取值范围为]0,222[-；…………7分112≤+=，…………13分且当2a =，0b =，1c =-时，若1≤x ，则112)(2≤-=x x f 恒成立，且当0=x 时，2)(2+-=x x g 取到最大值2．)(x g 的最大值为2.…………15分19.（本题满分15分）设点P 是椭圆14:221=+y x C 上任意一点，过点P 作椭圆的切线，与椭圆)1(14:22222>=+t ty t x C 交于A ，B 两点．（1）求证：PB PA =；（2）OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.∴点P 为线段AB 中点，PB PA =；…………7分（2）若直线AB 斜率不存在，则2:±=x AB ，与椭圆2C 方程联立可得，)1,2(2--±t A ，)1,2(2-±t B ，故122-=∆t S OAB ，…………9分若直线AB 斜率存在，由（1）可得148221+-=+k km x x ，144422221+-=k t m x x ，141141222212+-+=-+=k t k x x k AB ，…………11分点O 到直线AB 的距离2221141kk km d ++=+=，…………13分∴12212-=⋅=∆t d AB S OAB ，综上，OAB ∆的面积为定值122-t ．…………15分 20.（本题满分15分）正项数列}{n a 满足121223+++=+n n n n a a a a ，11=a ．（1）证明：对任意的*N n ∈，12+≤n n a a ；（2）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的*N n ∈，32121<≤--n n S ．【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.。

1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖．小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )【答案】A【解析】 A 中，P ＝38；B 中，P ＝14；C 中，P ＝13；D 中，P ＝13.∵38>13>14，∴选择游戏盘A 中奖的机会最大．2．若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E(X)＝( )A ．2B ．2或12C .12D ．1【答案】C3．袋中装有大小相同，且编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地取球两次，每次取一个球，则取得的两个球的编号之和不小于15的概率为( )A .132B .164C .332D .364【答案】D【解析】 易知取法总数为8×8＝64，其中编号之和不小于15的基本事件是(7，8)，(8，7)，(8，8)，故所求的概率为364.4．已知随机变量X 服从正态分布N(1，σ2)，若P(0<X ≤1)＝0.3，则P(X ≥2)＝________． 【答案】0.2【解析】 根据正态曲线的对称性得P(1<X ≤2)＝0.3，所以P(X ≥2)＝0.5－0.3＝0.2.5．从1，2，3，4，5中不重复地依次取两个数，事件A 为“第一次取得的是奇数”，B 为“第二次取得的是奇数”，则P(B|A)＝________． 【答案】12【解析】 方法一：依题意P(A)＝35，P(AB)＝35×24，所以P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝35×2435＝12.方法二：第一次取到奇数后，第二次取数时还有四个数可取，即有四个基本事件，且四个数中有两个奇数，故在第一次取到奇数的条件下，第二次取得奇数的概率为24＝12.6．一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体各个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则该蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A .125B .8125 C .1125 D .27125【答案】C【解析】 蜜蜂“安全飞行”的空间为大正方体内的一个棱长为1的小正方体，故所求概率为1353＝1125.7．投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为( )A .536B .16C .215D .112【答案】A8．已知随机变量ξ的分布列是其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则E(ξ)＝( )A ．2cos α＋14sin αB ．cos α＋12sin α C ．0 D ．1【答案】D【解析】 根据分布列的性质，可知sin α4＋sin α4＋cos α＝1，即12sin α＋cos α＝1，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＋1－sin α＋14sin 2α＝1，解得sin α＝45(舍去sin α＝0)，又α∈(0，π2)，所以cos α＝35，所以E(ξ)＝－1×sin α4＋0×sin α4＋2×cos α＝－15＋65＝1.9．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，则这个三位数能被3整除的概率为( )A .827B .1927C .1954D .3554【答案】C10．随机变量X 的分布列如下表，且E(X)＝43，则a －b ＝________．【答案】13【解析】 根据分布列的性质和数学期望公式，得a ＋b ＝1，a ＋2b ＝43，解得a ＝23，b ＝13，所以a －b ＝13.11.在区间[－2，3]内任取一个数a ，则函数f(x)＝13x 3－ax 2＋(a ＋2)x 有极值的概率为________．【答案】25【解析】在区间[－2，3]上任取一个数a ，则－2≤a ≤3，对应的区间长度为3－(－2)＝5.若f(x)＝13x 3－ax 2＋(a ＋2)x 有极值，则f ′(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2＝0有两个不等的实根，即判别式Δ＝4a 2－4(a ＋2)>0，解得a<－1或a>2，又a ∈[－2，3]，所以a ∈[－2，－1)∪(2，3]，则对应的区间长度为－1－(－2)＋3－2＝1＋1＝2.所以由几何概型的概率公式可得所求概率P ＝25.12．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5)和一个正四面体(四个面上分别标有数字1，2，3，4)同时各抛掷1次，规定正方体向上的面上的数字为a ，正四面体三个侧面上的数字之和为b ，则对应的点(a ，b)满足a 2＋(b －6)2≤9的概率是________． 【答案】112413．甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p(p>12)，且各局胜负相互独立．已知第二局结束时比赛停止的概率为59. (1)求p 的值；(2)设ξ表示比赛停止时的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．14．在某市高三数学模拟考试后，某同学对老师说：“(Ⅰ)卷为十道选择题，每题5分，前六道没错，第7，8，9三题均有两个选项能排除，第10题只有一个选项能排除．” (1)求该同学选择题得40分的概率；(2)若该同学(Ⅱ)卷能得65分，求该同学数学得分的期望和得分不低于100分的概率．解：(1)第7，8，9三题均有两个选项能排除，因此，第7，8，9三题做对的概率均为12，第10题只有一个选项能排除，因此，第10题做对的概率为13，所以该同学选择题得40分的概率P ＝C 23(12)2× (1－12)×(1－13)＋C 13×12×(1－12)2×13＝38.(2)设该同学7，8，9，10题中做对的题目的个数为X ，则随机变量X 的分布列为则E(X)＝724＋1824＋1524＋424＝116，所以该同学数学得分的期望为30＋5×116＋65＝6256.该同学数学得分不低于100分的概率为724＋38＋524＋124＝1112.15．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为49，乙、丙应聘成功的概率均为t3(0<t<3)，且三人是否应聘成功是相互独立的．(1)若甲、乙、丙都应聘成功的概率是1681，求t 的值；(2)在(1)的条件下，设ξ表示甲、乙两人中应聘成功的人数，求ξ的数学期望．16．一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球的编号分别为1，2，3，4，5，4个白球的编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球． (1)求取出的3个球的编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列与数学期望．解：(1)设“取出的3个球的编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有2个球的编号相同”为事件B ，则P(B)＝C 14C 17C 39＝2884＝13，∴P(A)＝1－P(B)＝23.(2)由题意知X 的所有可能取值为1，2，3，4. P(X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P(X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584，P(X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P(X ＝4)＝1C 39＝184. ∴X 的分布列为故X 的数学期望E(X)＝1×4984＋2×2584＋3×984＋4×184＝13084＝6542.17、集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，3个电子元件能正常工作的概率分别为12，12，23，且每个电子元件能否正常工作互不影响．若这3个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元． (1)求集成电路E 需要维修的概率；(2)若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和数学期望．(2)设ξ为需要维修集成电路的个数，ξ＝0，1，2，则ξ～B(2，512)，而X ＝100ξ，则P(X ＝100k)＝P(ξ＝k)＝C k2(512)k (712)2－k， k ＝0，1，2. 所以X 的分布列为所以E(X)＝0×49144＋100×3572＋200×25144＝2503(或E(X)＝100E(ξ)＝100×2×512＝2503)．18、4月23日是世界读书日，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？(2)将频率视为概率，现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“读书迷”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、数学期望E(X)和方差D(X)．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），n＝a＋b＋c＋d解：(1)2×2列联表如下：易知K 2的观测值k ＝100×（40×25－15×20）60×40×55×45≈8.249.因为8.249>6.635，所以有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．：。

2016年高考数学押题精粹试题 理（全国卷）本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。

选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。

1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()RA B 等于（）A.{|21}x x -<<B.{|22}x x -<<C.{|23}x x ≤<D.{|2}x x < 【答案】B 【解析】{}{}|2,|23,A x x B x x =≥=-<<得{}|2RA x x =<，{}()|22.R A B x x =-<<2. 已知复数()4i1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】C 【解析】试题分析：41bi zi ＝(4)(1)44(1)(1)22bi i b b i i i ++-+=+-+，则由412b-=-，得6b =，所以15z i =-+，所以75z b i -=--，其在复平面上对应点为(7,5)--，位于第三象限. 3.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（）A.212- B.21- C.1 D.212+ 【答案】A 【解析】由()1i 1i i z-=-+=2i + ,得2i (2i)(1i)1i (1i)(1i)z +++==--+=2121i 22-++,所以z 的实部为212-,故选A ． 4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（）A ．3y x = B. sin y x =-C ．21y x =+ D ．cos y x =【答案】B【解析】选项C 、D 不是奇函数，3y x =在R 上都是增函数，只有选项B 符合.5.若()(),,,A a b B c d 是()ln f x x =图象上不同两点,则下列各点一定在()f x 图象上的是( ) A.(),a c b d ++ B.()a c bd +， C.(),ac b d + D.(),ac bd【答案】C 【解析】因为()(),,,Aa b B c d 在()ln f x x =图象上,所以ln b a = ,ln ,d c =所以ln ln ln b d a c ac +=+=,因此(),ac b d +在()ln f x x =图象上,故选C ．6.双曲线22:13y C x -=的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（） A.12B.22C.33D.32【答案】A 【解析】1,2,a c ==∴C 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为1.27.在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥x y 的概率是（）A.92 B.97 C.61 D.56【答案】D 【解析】由题意知1111x y -≤≤-≤≤⎧⎨⎩表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足12-≥x y 的区域即为图中阴影部分，面积为()1231111102112()|33x dx x x --⨯+-=+-=⎰，所以所求概率为105346P ==，故选D ．8.执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（）A ．2B ．－12C ．－3D ．13【答案】A由程序框图知：2,1s i ==；123,212s i +==-=-；131,3132s i -==-=+;11()12,4131()2s i +-===--; 1132,511)3s i +===-……，可知S 出现周期为4， 当201745041i ==⨯+时，结束循环输出S ，即输出的2s =.9.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为2016，则输出的i 值为( )A.3B.4C.5D.6 【答案】A.3,2016;20162015,3,20162015;20151,2,20151;1,2016=====-==-===i b a i b a i b i a 结束，输出【解析】：运转程序， 10.若向量,a b 满足||||2==a b ，a b 与的夹角为60︒，a 在+a b 上的投影等于 ( )A.2 B.2 C.3D.4＋2 3【答案】：C【解析】：a 在+a b 上的投影为2222() 3.||23()2⋅+====+++⋅+a a b a b a b a a b b11.不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题：p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥ p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤p 4：(,)x y D ∃∈，0z <其中的真命题是 ( )A ．p 1，p 2B ．p 1，p 3C ．p 1，p 4D ．p 2，p 3 【答案】D【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2，1)，所以所以，故p 2，p 3 正确，故答案为D.i12.“牟合方盖”是我国古代数学家X徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（）【答案】B【解析】由直观图可知俯视图应为正方形,排除A,C,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线,故选B.13．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（）A.2333cmB.2233cmC.4763cmD.73cm【答案】A【解析】该几何体是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-截去一个三棱锥11C B EF-后所得的多面体，其体积为1123222112.323V=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=14.若数列{na}满足11na－－1=nda（dNn,*∈为常数），则称数列{na}为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则165x x +等于（） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【答案】B 【解析】∵数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，∴111111n n n nx x d x x ++--＝＝，∴{}n x 是等差数列. 又∵1220200x x x ++⋯+==12020()2x x +，∴12020x x +=.又120516516,20x x x x x x +=+∴+=.15.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《X 丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．21 B.158 C.3116 D.2916【答案】D【解析】设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m , 则由题意知3029305390,2d ⨯⨯+=解得16.29d =16.在某次联考测试中，学生数学成绩X()()21000N σσ>,，若,8.0)12080(=<<X P 则)800(<<X P 等于（）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】B【解析】由题意知(80120)0.8P ξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P X P X <<=-⨯<<=，故选B ．17．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（）A.2544B.1332C.2532D.1320 【答案】A【解析】分两种情况：（1）所有不含0的三位数的和为()()221231*********A ++⨯⨯++=，(2)含0且0只能在十位上的三位数的和为()()1212310011212A ++⨯⨯+=，那么可得符合条件的这些三位数之和为133212122544+=.18.已知()2cos 2,21x xf x ax x =+++若π()3f =2,则π()3f -等于（） A.2- B.1- C.0 D. 1 【答案】A【解析】因为()2cos 221xxf x ax x =+++,所以()()222cos 22121x x x x f x f x x --+-=++++212cos 212cos 22112x x xx x =++=+++,所以π()3f +π()3f -=1+2π2cos 3=0,所以ππ()() 2.33f f -=-=-19.函数()()sin 2()2f x A x πϕϕ=+≤部分图象如图所示，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（）A ．()x f 在5(,)1212ππ-上是减函数B ．()x f 在5(,)36ππ上是减函数 C ．()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()x f 在5(,)36ππ上是增函数【答案】C【解析】由图可知2A =，又由()()21x f x f =，知函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称，所以12a b x x +=+．由五点法作图，得20a ϕ+=，2b ϕπ+=，所以2a b πϕ+=-，则()f a b +＝()122sin(2)2sin 3f x x πϕϕϕ-+==+=，即3sin 2ϕ=，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，在5(,)1212ππ-上，2(,)322x πππ+∈-，所以()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数，故选C ．20．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（）A.2-B.3- C ．125 D.131- 【答案】C【解析】令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++，即1283a a a +++=-．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=，故选C ．21.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c=交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（） A.3 B.3 C.2 D.2 【答案】D【解析】显然PF PA >,PF AF >,所以由PAF ∆是等腰三角形得PA AF =.易知A (0)a ，,P 2()a abc c， ,所以2222()()()a ab a c a c c -+=-, 222222()()()()()a aa c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a+⇒+⨯=-22111 1.1e e e e +⇒+⨯=- 解得2e =.故选D.22.过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则AOB ∆的面积为（）A.22 B.2 C.322D.22 【答案】C【解析】设直线AB 的倾斜角为(0)θθπ<<及BF m =，∵3AF =，∴点A 到准线:1l x =-的距离为 3，∴23cos 3θ+=,即1cos 3θ=，则22sin 3θ=．∵2cos()m m πθ=+-，∴23.1cos 2m θ==+∴AOB ∆的面积为1132232sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=. 23.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，若圆12,C C 都在椭圆C 内，则椭圆C 离心率的X围是（）A ．1[,1)2B ．1(0]2，C ．2[,1)2D ．2(0]，【答案】B【解析】由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．24.已知向量AB 、AC 、AD 满足AC AB AD =+,2AB =,1AD =,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=-,则向量AB 与向量AD 的夹角为（）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．5π6【答案】A 【解析】DE BF ⋅=22115115()()224224CB CD CD CB CB CD CD CB --=⋅--=-.由2CD AB ==,1BC AD ==,可得1cos 2CB CD 〈〉=，,所以π3CB CD 〈〉=，,从而π3AB AD 〈〉=，.故选A.25.已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，∃唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( )A.26 B.26- C.26+3 D.26-+3 【答案】D【解析】由题设条件对于R ∈∀1x ，存在唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =知()x f 在()0,∞-和()+∞,0上单调，得3=b ，且0<a .由()()b f a f 32=有39322+=+a ，解之得26-=a ，故326+-=+b a ，选D. 26.函数2ln xy x=的图象大致为（）【解析】当01x <<时，ln 0x <，所以0y <，排除B 、C ；当1x >时，由于函数2y x =比ln y x =随x 的增长速度快，所以随x 的增大，2ln xy x=的变化也逐渐增大，排除A ，故选D ．27.已知定义在(0,)2π上的函数()f x ,()f x '为其导数,且()()tan f x f x x '<恒成立，则（）A.3()2()43f f ππ>B.2()()64f f ππ>C.3()()63f f ππ<D.()12()sin16f f π<⋅【答案】C【解析】因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>，则由()()tan f x f x x '<得sin ()()cos xf x f x x'<，即cos ()sin ()0xf x xf x '-<．令sin ()=()x F x f x ，则2sin cos ()sin ()()=()0()[()]x f x xf x F x f x f x '-''=<，所以()F x 在(0,)2π上递减，所以()()63F F ππ>，即sinsin63()()63f f ππππ>，即3()()63f f ππ<，故选C ． 28.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值X 围是( ) A.(),e -∞ B.()e,+∞ C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,+∞ 【答案】B【解析】设切点为(),ln Q t t t ,则切线斜率()k f t '==1ln t +,所以切线方程为()()ln 1ln y t t t x t -=+-,把(),P a a 代入得()()ln 1ln a t t t a t -=+-,整理得ln a t t =,显然0a ≠,所以1ln t a t =,设()ln t g t t =,则问题转化为直线1y a=与函数()g t 图象有两个不同交点,由()21ln tg t t -'= ,可得()g t 在()0,e 递增,()e,+∞递减,在e x =处取得极大值1e ,结合()g t 图象,可得110e ea a <<⇒> ,故选B. 29.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点,()1,3AC =,()3,1BD =-,则AB CD ⋅的最A.2B.4C.2-D.4- 【答案】C【解析】取(0,0)A ,则(1,3)C ；设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则21213,1.x x y y ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩ 所以()()1122,3,1AB x y x y ==+- ,()221,3CD x y =--, 求得22223131()()2222AB CD x y -+⋅=++--≥-, 当1131,231,2x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩且2231,2312x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时,AB CD ⋅取到最小值2-,此时四边形ABCD 的对角线恰好相交于一点,故选C. 30.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值X 围是（） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】不妨设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 31.已知边长为3的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角 为30，则球O 的表面积为________．【答案】16π【解析】设正ABC ∆的外接圆圆心为1O ， 易知13AO =，在1Rt OO A ∆中，12cos30O AOA ==，故球O 的表面积为24216ππ⨯=.32.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是_______．【答案】52【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为1zy x m m=-+，因为1m >，所以110m -<-<，将函数1y x m =-的图象平移经过可行域时，在G 点12(,)33处y 取最大值，此时2z =，所以有12233m =+，解得52m =. 33.已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）,则称该数列为4阶等和数列,其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数）,则称该数列为3阶等积数列,其中t 为3阶公积,已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列,且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列,且121q q ==-,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和,则2016S = ___________．【答案】2520- 【解析】由题意可知,11p =,22p =,34p =,48p =,51p =,62p =,74p =,88p =,91p =,102p =,114p =,128p =,131p =,……,又∵{}n p 是4阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,11q =-,21q =-,31q =,41q =-,51q =-,61q =,71q =-,81q =-,91q =,101q =-,111q =-,121q =,131q =-,……,又∵{}n q 是3阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列{}n n p q ⋅,每12项的和循环一次,易求出11221212...15p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-,因此2016S 中有168组循环结构,故2016151682520S =-⨯=-．34.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-=.【答案】2015413-【解析】由()g n 的定义易知当n 为偶数时，()()2n g n g =，且当n 为奇数时，()g n n =．令()(1)f n g =＋(2)(3)(21)n g g g +++-，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++-＝113(21)n ++++-＋1(2)(4)(22)n g g g ++++-＝112(121)(1)(2)(4)(22)4()2n n n n g g g g f n +++-+++++-=+，即(1)f n +－()4n f n =，分别取n 为1,2,,n 并累加得24(1)(1)444(41)3n nf n f +-=+++=-．又(1)(1)f g =＝1，所以4(1)(41)13nf n +=-+，所以()(1)(2)(3)(21)n f n g g g g =++++-＝14(41)13n --+．令2015n =，得2015201541(1)(2)(3)(21)3g g g g -++++-=． 35.（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14sin sin B C B C -=+. (1)求A ；(2)若a =ABC ∆的面积b c +.【答案】：（1）23π，（2）6b c +=. 【解析】：（1）由()2cos 14sin sin B C B C -=+，得()2cos cos sin sin 4sin sin 1B C B C B C +-=，即()2cos cos sin sin 1B C B C -=，亦即()2cos 1B C +=，∴()1cos 2B C +=. ∵0,3B C B C ππ<+<∴+=,∵A B C π++=,∴23A π=.（2）由（1）得23A π=.由S =12sin 823bc bc π=∴=.①由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得(22222cos 3b c bc π=+-，即2228b c bc ++=.∴()228b c bc +-=.②,将①代入②，得()2828b c +-=，∴6b c +=.36.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ，102cos -=∠ADB .（1）求C ∠sin 的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长.【答案】（1）45；（2）37． 【解析】（1）因为102cos -=∠ADB ，所以1027sin =∠ADB .又因为,4π=∠CAD 所以,4π-∠=∠ADB C 所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠5422102221027=⋅+⋅. （2）在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ， 故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π.又,710272221sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆BD ADB AB AD S ABD 解得5=BD . 在ADB ∆中，由余弦定理得.37)102(5222258cos 2222=-⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ADB BD AD BD AD AB 37.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，12a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 通项公式； (2)设数列{n b }满足3n n b a =，求适合方程1223145 (32)n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值. 【答案】（1）31n a n =-；（2）10.【解析】：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由2481,1,1a a a +++，得2(33)(3)(37),d d d +=++解得3d =或0d =（舍），故1(1)23(1)3 1.n a a n d n n =+-=+-=- (2)由（1）知331n b n =-，19113().(31)(32)3132n n b b n n n n +==--+-+ 12231111111119...3(++)3(),2558313223264n n nb b b b b b n n n n ++++=---=-=-+++依题有945,6432n n =+解得10.n =38.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1(2)n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(23)26n n T n +=-+．【解析】(1)由12n n n S S a +=++得：*12()n n a a n N +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列，由125,,a a a 成等比数列得2+)2(1a =1a (1a +8)，解得1a =1， ∴*21()n a n n N =-∈.（2）由(1)可得2(21)(2)(21)2nn n b n n =-⋅=-，∴1231...,n n n T b b b b b -=+++++即123123252...(21)2nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅①，23121232...(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅②，①-②可得23122(22...2)(21)2,n n n T n +-=++++-- ∴1(23)26n n T n +=-+.39.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）①X0 1 2 3 4 5P53()5 14523()()55C 223523()()55C 332523()()55C 441523()()55C 52()5②()2,E X =6().5D X =【解析】：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 7010 80 合计1505020022200(80104070)11.11110.828,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==.X 的分布列为：X12345P53()5 14523()()55C 223523()()55C 332523()()55C 441523()()55C 52()5②由于~(5,)5X B ,则()52,5E X =⨯=()5(1).555D X =⨯⨯-=40.（本小题满分12分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2) 记事件C 为“A 校学生计算机优秀成绩高于B 校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率．【答案】（1） 1.5,A B x x ==21.5,A S =21.8;B S =（2）()0.02P C =.【解析】：（1）从A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A 校样本的平均成绩为465156217128393660A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， A 校样本的方差为22216(46)3(96) 1.560A S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693660B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， B 校样本的方差为22219(46)3(96) 1.860B S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.因为,A B x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为22A B S S <，所以A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好.(2) 记1A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为8分或9分”， 2A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为9分”， 1B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为7分”，2B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为8分”， 则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =．1122()()B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A PC P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1()A P C 6=60，2()=A P C 360，19()=60B P C ，26()60B P C =，故9663()=+0.0260606060P C ⨯⨯=．41.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD 平面ABPE =AB ，且2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】：（1）证明见解析；（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25，理由见解析． 【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ，所以1=(1,0,)2EM -．易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =， 因为1=(1,0,)(0,1,0)02EM n ⋅-⋅=，所以EM n ⊥， 又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．（方法二）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ， 所以,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点， 所以OM ∥PB ，且12OM PB =． 又因为AE ∥PB ，且12AE PB =，所以AE ∥OM ，且AE =OM ．所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO .因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． （2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． 理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=，设平面PCD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，由110,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =．假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(01)PN PD λλ=≤≤，则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=-，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-． 所以111||sin |cos ,|||||BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅222222255(2)(22)()5984λλλλλ===⋅+-+⋅-+． 所以29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-（舍去）． 因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25． 42.（本小题满分12分）正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,AD CD AB CD ⊥122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合．（1）当点M 是EC 中点时，求证：ADEF BM 平面//； （2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积．【答案】：（1）证明见解析；（2）4.3【解析】：（1）由题意：以点D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1A B C E M ， ∴()2,0,1BM =-，平面ADEF 的一个法向量()0,4,0DC =，0BM DC ⋅=，∴BM DC ⊥，即//BM ADEF 平面．（2）设()()0,4,20,4,2EM tEC t t t ==-=-，故点()()0,4,2201M t t t -<<， 设平面BDM 的一个法向量()z y x n ,,1=，则()11220,4220DB n x y DM n ty t z ⋅=+=⋅=+-=．令1y =-，则121,1,1t n t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，易知平面ABF 的一个法向量()21,0,0n =， ∵121212cos ,62n n n n n n ⋅<>===⋅，解得12t =， ∴()1,2,0M 为BC 的中点，221==∆∆CDM DBM S S ，B 到面DEM 的距离2=h ， ∴14.33M BDE DEM V S h -∆=⋅⋅= 43.（本小题满分12分）已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）ax y 42=；（2）FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．【解析】（1） 椭圆)0(11222>=++a y a x 右焦点F 的坐标为(,0)a ， (,)NF a n ∴=-．(,)MN m n =-，∴由0=⋅NF MN ，得02=+am n ．设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． （2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． 由⎪⎩⎪⎨⎧-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --，同理得224(,)a T a y --．214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由⎩⎨⎧=+=axy a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．(法二)①当AB x ⊥时，(,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =，:2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--．由2,y x x a=-⎧⎨=-⎩得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-． (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=．②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y ayA 、),4(222y a y B ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-． 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． 44.（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AQ AP 、分别与y 轴交于点N M 、，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 【解析】（1）依题意，得222,c ab a b c a ===+又解得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为2213x y +=. （2）A ，设(0,)M m ，(0,)N n ，00(,)P x y ，则由题意，可得220013x y +=（1）， 且00(,)Q x y --，00()AP x y =，()AM m =-. 因为,,A P M 三点共线，所以APAM，故有00(x m =，解得m =；同理，可得n =.假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥，即0RM RN ⋅=. 因为(,)RM t m =-，(,)RN t n =-，所以20t mn +=，即2000033033y y t x x --+⨯=-+，整理得2202033y t x =--，又由（1），得220033y x =-，所以21t =，解得1t =或1t =-.故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-,(1,0). 方法二： （1）同方法一；（2）①当直线l 的斜率不存在时，有(0,1)P ，(0,1)Q -，(0,1)M ，(0,1)N -，此时以MN 为直径的圆经过x 轴上的点(1,0)-和(1,0)； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，联立方程组221,3,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2233(,)3131k P k k ++，2233(,)3131k Q k k --++. 设(0,)M m ，(0,)N n 又直线AP 的斜率12131k k =-+，直线AM 的斜率23k =-， 因为,,A P M 三点共线，所以12k k =，解得得23311k m k =+-同理，可得23311k n k =++，假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥， 直线RM 的斜率3m k t =-，直线RN 的斜率4n k t=-， 所以341k k =-，故有2t mn =-，即22233311311k k t k k =+-++，整理，得21t =，解得1t =或1t =-，综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 45.（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，某某数a 的取值X 围（e 为自然常数）；（3）求证：()()()()2222ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）．【答案】：（1）当0>a 时，增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1；（2）212e e a --≤；（3）见解析．【解析】：（1）)0()1()(>-='x xx a x f ， 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为]1,0(，单调减区间为),1[+∞； 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为),1[+∞，单调减区间为]1,0(． （2）令()ln 34ln 1,F x a x ax ax x e a x x e =--+++-=++-.0)(=+='xax x F 若e a ≤-，e a -≥，)(x F []上在2,e e 是增函数，21,012)()(222max e e a e e a e F x F --≤≤+-+==无解． 若2e a e ≤-<，e a e -<≤-2，)(x F 在],[a e -上是减函数；在],[2e a -上是增函数，.1,01)(-≤≤+=a a e F ,21,012)(222e e a e e a e F --≤≤+-+=.2122e e a e --≤≤-∴若2e a >-，2e a -<，)(x F 在],[2e e 上是减函数，1,01)()(max -≤≤+==a a e F x F ，.2e a -<∴综上所述.212e e a --≤（3）令1a =-（或1a =），此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >，即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立， ∵2,N*n n ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---， 要证2222ln(21)ln(31)ln(41)ln(1)12ln !(2,)n n n n N *++++++++<+≥∈，只需证22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,),234n n N n *++++++++<≥∈ 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)()()()1 1.234223341n n n n++++++++<-+-+-+-=-<-所以原不等式成立 46.（本小题满分12分）已知函数()(1)()xf x a x e a =--.（常数R a ∈且0a ≠）.（1）证明：当0>a 时，函数()x f 有且只有一个极值点； （2）若函数()x f 存在两个极值点12,x x ，证明：()2140e x f <<且()2240e x f <<. 【解答】：依题意，()[(1)()(1)()](),x x xf x a x e a x e a a x e a '''=--+--=⋅- 令()()x h x a x e a =⋅-，则()(1)xh x a x e '=+⋅.（1）①当0x <时，0xx e ⋅<，0a >，故()()0h x f x '=<，所以()f x '在(,0)-∞上不存在零点，则函数)(x f 在(,0)-∞上不存在极值点；②当0x ≥时，由()(1)0xh x a x e '=+⋅>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增. 又2(0)0h a =-<，2()()(1)0a a h a a a e a a e =⋅-=->，所以()()h x f x '=在[0,)+∞上有且只有一个零点.又注意到在()f x '的零点左侧，()0f x '<，在()f x '的零点右侧，()0f x '>，所以函数)(x f 在[0,)+∞有且只有一个极值点. 综上所述，当0a >时，函数)(x f 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点. （2）因为函数)(x f 存在两个极值点1x ,2x （不妨设12x x <）， 所以1x ,2x 是()()h x f x '=的两个零点，且由（1）知，必有0a <.令()(1)0xh x a x e '=+⋅=得1x =-； 令()(1)0xh x a x e '=+⋅>得1x <-； 令()(1)0xh x a x e '=+⋅<得1x >-.所以()()h x f x '=在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减，又因为2(0)(0)0h f a '==-<，所以必有1210x x <-<<.令()()0tf t a t e a '=⋅-=，解得ta t e =⋅，此时22232()(1)()(1)()(1)(2)t t t t t t f t a t e a te t e te e t t e t t t =--=--=--=--+.因为12,x x 是()()h x f x '=的两个零点， 所以12321111()(2)x f x ex x x =--+，22322222()(2)x f x e x x x =--+.将代数式232(2)t e t t t --+视为以t 为自变量的函数232()(2)t g t e t t t =--+，则22()(1)(21)t g t e t t '=---.当1t <-时，因为2210,210,0tt t e ->-<>，所以'()0g t >，则()g t 在(,1)-∞-单调递增.因为11x <-，所以1124()()(1)f x g x g e=<-=， 又因为122111()(1)0x f x ex x =-->，所以1240()f x e <<. 当10t -<<时，因为2210,210,0tt t e -<-<>，所以'()0g t <，则()g t 在(1,0)-单调递减，TAB CD MNTA B CDMN因为210x -<<，所以22240(0)()()(1)g g x f x g e =<=<-=. 综上知，1240()f x e<<且2240()f x e <<． 47.（本小题满分10分） 从下列三题中选做一题 (1).选修4-1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (1)证明：//AB CD ；(2)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.【解答】：（1）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, 同理，NTB TCD ∠=∠,所以TCD TAB ∠=∠, 所以//AB CD .（2）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ， 所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠， 又由（1）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠.在MTD ∆中,由正弦定理知, sin sin MD TDDTM TMD =∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠, 因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TD MC TC=,由//AB CD 知TD BDTC AC =, 所以MD BD MC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅. (2)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14AB =,求直线l 的倾斜角α的值．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）4πα=或34π. 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+=. （2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=, 化简得22cos 30t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩ ∴()2212121244cos 1214AB t t t t t t α=-=+-=+= ∴24cos 2α=,2cos α=,4πα=或34π． (3)选修4-5：不等式选讲 设函数()121f x x x =--+的最大值为m .（1）求m ；（2）若()222,,0,,2a b c a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值. 【答案】（1）2m =；（2）1．【解析】：（1）当1x ≤-时，()32f x x =+≤；当11x -<<时，()132f x x =--<；当1x ≥时，()34f x x =--≤-，故当1x =-时，()f x 取得最大值2m =.（2）因为()()()22222222222a b c a b b c ab bc ab bc ++=+++≥+=+，当且仅当22a b c ===时取等号，此时ab bc +取得最大值1. 48.（本小题满分12分）从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．（1）求证：PC PD =AC BD； （2）若AC=3，求AP •AD 的值．【解析】（1）∵∠CPD=∠ABC ，∠D=∠D ，∴△DPC ～△DBA ，∴PC PD =AB BD ，又∵AB=AC ，∴PC PD =AC BD. （2）∵∠ACD=∠APC ，∠CAP=∠CAP ，∴△APC ∽△ACD.∴AP AC =AC AD，∴.92=⋅=AD AP AC (2)选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C .(1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值X 围.【解答】（1）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(2)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). 联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , 即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈.(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交， 由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数）， 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM . (3)选修4－5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)1f x +≥的解集A 满足[]1,1A -⊆．（1）某某数m 的取值X 围B ；（2）若(),,0,a b c ∈+∞,0m 为B 中的最小元素且011123m a b c++=, 求证：9232a b c ++≥. 【解析】：（1）因为()|2|,f x m x =--所以(2)1f x +≥等价于1x m ≤-,由[]1,1A -⊆知A 是非空集合,所以11m x m -≤≤-,结合[]1,1A -⊆可得112m m -≥⇒≥,即实数m 的取值X 围是[)2,.B =+∞（2）由（1）知02m =,所以1112,23a b c ++=()11112323223a b c a b c a b c ⎛⎫∴++=++++ ⎪⎝⎭219232223a b c a b c ≥=.。

高三数学随机变量的分布列试题答案及解析1.盒中有9个正品、3个次品零件，每次取1个零件，如果取出的次品不再放回，则在取得正品前已取出的次品数ξ的分布列________．【解析】ξ可能取的值为0,1,2,3这四个数，而ξ＝k(k＝0,1,2,3)表示取k＋1次零件，前k次取得的都是次品，第k＋1次才取到正品．P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝·＝，P(ξ＝2)＝··＝，P(ξ＝3)＝··＝．故ξ的分布列为ξ01232.某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得－1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其他不知道随意连线，将他的得分记作ξ.(1)求该观众得分ξ为负数的概率；(2)求ξ的分布列．【答案】（1）（2）ξ－128【解析】解：(1)当该观众只连对《三国演义》，其他全部连错时，得分为负数，此时ξ＝－1，故得分为负数的概率为P(ξ＝－1)＝＝.(2)ξ的可能取值为－1,2,8.P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝8)＝＝.ξ的分布列为：ξ－1283.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1)求取出的4个球均为黑球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列．【答案】（1）（2）（3）ξ的分布列为ξ0123【解析】(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，且P(A)＝＝，P(B)＝＝.故取出的4个球均为黑球的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)＝×＝.(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且P(C)＝·＝，P(D)＝＝.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.(3)ξ可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝＝.从而P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.ξ的分布列为4.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动)．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．(1)求顾客甲中一等奖的概率；(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖，P(A)＝×＋2××＝，所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0，P(X＝20)＝×＝，P(X＝15)＝2××＝，P(X＝10)＝×＋2××＝，P(X＝5)＝2××＝，P(X＝0)＝×＝.所以X的分布列为数学期望E(X)＝20×＋15×＋10×＋5×＝.5.某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当文明交通宣传志愿者，20名学生的名额分配为高一12人，高二6人，高三2人．（1）若从20名学生中选出3人做为组长，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；（2）若将4名教师随机安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】（1）从高一12人中选出1人，从高二和高三共8人中选出2人的事件为A,，计算得到结果；（2）每位教师选择高一年级的概率均为，并且相互独立，X的所有取值为0，1，2，3，4．,,,然后列出随机变量X的概率分布列，利用,或是利用二项分布的期望公式,得出结果.随机变量的概率，分布列，期望还是高考的重点内容，属于基础题型,试题解析：（1）解：设“他们中恰好有1人是高一年级学生” 为事件，则．所以恰好有1人是高一年级学生的概率为． 4分（2）解：X的所有取值为0，1，2，3，4． 6分由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为， 7分所以；；；．随机变量X的分布列为：12分所以． 13分【考点】1.超几何分布；2.二项分布.6.一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5,4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）【解析】记“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则P(B)＝＝＝，∴P(A)＝1－P(B)＝.(2)X的取值为1,2,3,4P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以X的分布列为E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝.7.甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为，求随机变量的分布列和期望．【答案】（Ⅰ）选派乙参赛更好（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）茎表示得分的十位数，放在中间的列，叶表示得分的个位数，放在两侧。

第1讲随机事件的概率基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·襄阳模拟)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选A.答案 A2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3解析事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.答案 C3．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球解析对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D 中的两个事件互斥而不对立． 答案 D4．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45解析 由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45.用频率估计概率可得其为二等品的概率为0.45. 答案 D5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( ) A.56 B.23 C.12D.13解析 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为12＋13＝56.答案 A 二、填空题6．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．答案 ③ ② ①7．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________． 解析 因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案 238．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．解析 摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.30，口袋内球的个数为21÷0.42＝50，所以黑球的个数为50×0.30＝15. 答案 15 三、解答题9．(2014·陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1) (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率． 解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为 4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.10．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412＝13，P(A3)＝212＝16，P(A4)＝112，根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法二(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝34.(2)因为A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( ) A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件解析由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.答案 D12．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析 因为710＝1－310，而“2张全是移动卡”的对立事件是“至多有一张移动卡”，故选A. 答案 A13．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”． 故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.答案35131514．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为121212择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.。

第三章多维随机变量及其分布1. （2016）设随机变量X 与Y 相互独立且均服从正态分布2(1,)N σ, 则概率{min(,)1}P X Y >=14. 2. （2016）设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为1,01,02(,),0,x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其他(1) 求边缘概率密度函数()X f x ; (2) 求条件概率密度函数|(|)Y X f y x ; (3) 求概率{1}P X Y +<. 解答: （1）2,01()(,)d .0,X x x f x f x y y +∞-∞<<⎧==⎨⎩⎰其他 …..............................4分（2）在01x <<时: |(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =1,02.20,y xx ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 ........................4分（3）{1}P X Y +<213021d d .3y y y x -==⎰⎰ ...............................................................2分3. （2016）已知二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布, 令随机变量1, 0, X YU X Y ≤⎧=⎨>⎩,(1) 求(,)X Y 的联合概率密度函数; (2) 求U 的分布律;(3) 求随机变量Z U X =+的分布函数()F z .解答: （1）1,01,01(,).0,x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他 ..............................................3分（2）1{1}{}P U P X Y ==≤=, 故1{0}P U ==, 因此U 的分布律为:分（3）(){}{}F z P Z z P U X z =≤=+≤{1}{|1}{0}{|0}P U P U X z U P U P U X z U ==+≤=+=+≤= 11{1}{}22P X z P X z =≤-+≤ 当0z <时: ()0F z =;当01z ≤<时: 01()0d 22z zF z x =+=⎰; 当12z ≤<时: 1011()d 222z zF z x -=+=⎰;当2z ≥时: ()1F z =.即 0,0(),0 2.21,2z z F z z z <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩ ........................3分4. （2015）在[0,1]中随机地取两个数X 和Y , 则概率1{max(,)}2P X Y ≤= 0.25 .5. （2015）设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为(,)f x y , ,X Y 的边缘概率密度函数分别为(),()X Y f x f y , 则在X x =的条件下, Y 的条件概率密度函数|(|)Y X f y x = D .(A) ()()X Y f x f y(B)()()X Y f x f y (C)(,)()Y f x y f y (D)(,)()X f x y f x 6. （2015）设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为1,01,(,)10,x y f x y x⎧<<<⎪=-⎨⎪⎩其他. (1) 求(,)X Y 的边缘概率密度函数()X f x 和()Y f y ; (2) 求概率{2}P Y X >. 解答： （1）()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰111,01,d ,01,10,0,x x y x x ⎧<<<<⎧⎪==-⎨⎨⎩⎪⎩⎰其它.其它. ...........................……4分 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰1ln(1),01,d ,01,10,0,y y y x y x ⎧--<<<<⎧⎪==-⎨⎨⎩⎪⎩⎰其它.其它. ......................……4分 （2）{2}(,)d d DP Y X f x y x y >=⎰⎰112021d d 1xx y x=-⎰⎰1ln 2=-. 或： 1201d d 1y y x x=-⎰⎰1ln 2=- .......................................……2分 7. （2015）设二维随机变量(,)X Y 服从矩形域{}(,)02,01D x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布, 记0,,1,.X Y U X Y ≤⎧=⎨>⎩ 0,2,1,2.X Y V X Y ≤⎧=⎨>⎩(1) 将(,)U V 的联合分布律的表格填全;(2) 判断U 与V 是否独立? (3) 设Z U V =+, 求Z 的分布律. 解答：（1）1{0,0}{,2}{}4P U V P X Y X Y P X Y ===≤≤=≤=； 1{1,0}{,2}{2}4P U V P X Y X Y P Y X Y ===>≤=<≤=；{0,1}{,2}0P U V P X Y X Y ===≤>=，故 1{1,1}2P U V ===， 则(,)U V 的联合分布律为：….................…..6分 （2）U , V 的边缘分布律为：1{0}4P U ==, 3{1}4P U ==, 1{0}2P V ==, 1{1}2P V ==,因为{0,0}{0}{0}P U V P U P V ==≠=⋅=, 所以U 与V 不独立. ..........……...1分 （3）Z8. （2014）设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)01,02}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布, 则{2}P X Y X <<= 0.25 . (C) ()a μσ-Φ (D) 1()a μσ--Φ9. （2014）设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量, 它们的概率密度函数分别是1()f x 和2()f x , 分布函数分别是1()F x 和2()F x , 则 D . (A) 12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度函数 (B) 12()()f x f x 必为某一随机变量的概率密度函数 (C) 12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数 (D) 12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数10. （2014）设随机变量X 与Y 相互独立且服从同一分布, X 的分布律为{}13P X i ==,(1,2,3)i =, 记min(,)U X Y =, 则{2}P U =的值为 B .(A)19(B)13(C)59(D)8911. （2014）设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为0e ,(,)0,y x y f x y -<<⎧=⎨⎩，其他. （1）求(,)X Y 的边缘概率密度函数()X f x ;（2）在X x =的条件下, 求Y 的条件概率密度函数()Y X f y x ; （3）求概率{1}P X Y +<. 解答：（1）+-()(,)d X f x f x y y ∞∞=⎰e d ,0,0,0.y x y x x +∞-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩⎰ e ,0,0,0.x x x -⎧>=⎨≤⎩ ……………………4分（2）当0x >时：e ,0,(,)()()0,x y Y X X x y f x y f y x f x -⎧<<==⎨⎩其它. ……………………3分 （3）{}11112211(,)d d d e d 1e 2e xy xx y P X Y f x y x y x y ----+<+<===+-⎰⎰⎰⎰. …………3分。