一元函数积分学有关命题的研究

2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。

而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。

考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。

各科的考试时间均为3小时。

考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。

考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。

数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。

数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。

这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。

二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。

其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。

第1篇一、第一章函数1. 函数的定义：设A、B为两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使得A中的每一个元素x，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈A，y∈B。

x称为自变量，y称为因变量。

2. 函数的性质：（1）唯一性：对于A中的每一个元素x，在B中都有唯一确定的元素y与之对应。

（2）对应性：A中的元素x对应B中的元素y，即y=f(x)。

3. 函数的表示方法：（1）列表法：列出函数的定义域和值域，然后对应关系。

（2）图象法：画出函数的图象，通过图象可以直观地看出函数的性质。

（3）解析法：用数学公式表示函数的对应关系。

4. 常见函数：（1）一次函数：y=kx+b（k≠0），表示直线。

（2）二次函数：y=ax^2+bx+c（a≠0），表示抛物线。

（3）指数函数：y=a^x（a>0，a≠1），表示曲线。

（4）对数函数：y=log_a(x)（a>0，a≠1），表示曲线。

二、第二章数列1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一列数，记作{a_n}。

2. 数列的性质：（1）有穷数列：有限个元素的数列。

（2）无穷数列：无限个元素的数列。

（3）递增数列：从第二项起，每一项都比前一项大的数列。

（4）递减数列：从第二项起，每一项都比前一项小的数列。

3. 数列的通项公式：用数学公式表示数列的每一项，记作a_n。

4. 常见数列：（1）等差数列：每一项与前一项的差为常数d的数列，通项公式为a_n=a_1+(n-1)d。

（2）等比数列：每一项与前一项的比为常数q的数列，通项公式为a_n=a_1q^(n-1)。

三、第三章导数1. 导数的定义：函数在某一点处的导数，表示该点切线的斜率。

2. 导数的计算公式：（1）基本函数的导数：常数函数的导数为0，幂函数的导数为x^n的n次方，指数函数的导数为a^x的a的x次方，对数函数的导数为1/x。

（2）复合函数的导数：外函数的导数乘以内函数的导数。

考研数学二的考试范围对于众多考研学子来说，数学二是一个重要的科目。

了解其考试范围，是备考的关键一步。

首先，函数、极限、连续是必考的基础内容。

函数的概念及其性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等，都需要熟练掌握。

极限的定义、性质以及计算方法，比如利用等价无穷小、洛必达法则等，是重点也是难点。

连续的概念，包括函数在某点连续的定义以及判断函数连续性的方法，都必须清晰明了。

一元函数微分学在考试中占据重要地位。

导数的定义、几何意义及物理意义要理解透彻。

基本初等函数的导数公式、导数的四则运算、复合函数求导法则等是必须掌握的计算技能。

函数的单调性、极值、凹凸性的判断以及相关应用问题，是常考的题型。

一元函数积分学也是重点。

不定积分的概念、性质和基本积分公式，定积分的概念、性质、几何意义和基本计算方法，都要熟练于心。

反常积分的概念和计算也会有所涉及。

利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积，以及物理中的功、压力等实际应用问题，是常见的考查形式。

多元函数微积分学在数学二中相对较少，但也不容忽视。

多元函数的概念、极限、连续，偏导数和全微分的概念及其计算，多元函数极值和条件极值的求解等，都可能出现在试题中。

常微分方程是必考内容之一。

各种类型的一阶和二阶常微分方程的求解方法，比如可分离变量方程、齐次方程、线性方程等，要能够熟练运用。

在备考数学二的过程中，还需要注意一些细节。

比如，对于一些定理和公式，不仅要记住，更要理解其推导过程，这样才能在遇到复杂问题时灵活运用。

此外，数学二的试题往往注重考查对知识点的综合运用能力。

可能会将多个知识点融合在一道题目中，这就要求我们在复习时要建立起知识体系，将各个知识点串联起来，形成一个有机的整体。

对于历年真题的研究也是至关重要的。

通过做真题，可以了解考试的题型、难度和命题规律，从而有针对性地进行复习和强化训练。

总之，考研数学二的考试范围涵盖了多个重要的数学知识点，需要我们认真学习、深入理解、熟练掌握，并通过大量的练习来提高解题能力，这样才能在考试中取得理想的成绩。

2024年考研数学二考试大纲解析考研数学二作为众多考研学子重点关注的科目之一，其考试大纲的变化对于考生的复习方向和策略有着至关重要的影响。

2024 年的考研数学二考试大纲在继承以往特点的基础上，也有了一些新的调整和侧重点。

接下来，让我们一起深入剖析这份大纲，为考生们的备考之路点亮明灯。

首先，从整体结构上看，2024 年数学二考试大纲依然保持了高等数学和线性代数两大板块。

高等数学部分依旧占据了较大的比重，这也反映了其在数学学科中的基础和核心地位。

在高等数学方面，函数、极限、连续这一传统重点内容依然是考试的重中之重。

考生需要熟练掌握函数的性质、极限的计算方法以及连续的概念和判定。

对于求极限的方法，如利用等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式等，不仅要知其然，更要知其所以然，能够在不同的题目情境中灵活运用。

一元函数微分学部分，导数和微分的定义、几何意义以及函数的单调性、极值和凹凸性等考点依然是热门。

此外，微分中值定理的应用也是常考不衰的知识点，考生需要通过大量的练习，熟练掌握各种定理的条件和结论，能够准确地运用它们解决问题。

一元函数积分学也是不可忽视的部分。

不定积分和定积分的计算方法，包括换元积分法、分部积分法等，需要考生熟练掌握。

同时，定积分的应用，如求平面图形的面积、旋转体的体积等，也是考试的常见题型。

考生在复习时，不仅要注重计算的准确性，还要培养运用积分解决实际问题的能力。

多元函数微分学的考点主要集中在偏导数的计算、全微分的概念以及多元函数的极值问题。

对于这部分内容，考生需要理解多元函数与一元函数的差异和联系，掌握多元函数的求导法则和极值判定条件。

在高等数学的最后，二重积分是一个重要的考点。

考生要熟悉二重积分的计算方法，包括直角坐标系和极坐标系下的积分计算，同时要注意积分区域的对称性和被积函数的奇偶性等特点，以简化计算过程。

线性代数部分，行列式、矩阵、向量、线性方程组等内容依然是重点。

行列式的计算和性质、矩阵的运算和逆矩阵的求解、向量组的线性相关性和线性表示以及线性方程组的解的结构和求解方法，都是考生必须熟练掌握的知识点。

高中数学各内容专题命题规律专题一、集合、简易逻辑考向（一）集合1、规律小结集合作为高中数学的预备知识内容，每年高考都将其作为必考题，题目分布在选择题1，2，以集合的运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能出现，属于基础性题目，主要基本考生的运算求解能力，学科素养主要考查理性思维和数学探索。

2、考点频度高频考点：集合的概念及表示和集合间的基本运算。

低频考点：集合间的基本关系。

3、备考策略集合主要以课程学习情境为主，备考应以常见的选择题目为主训练，难度通常不大，在备考中注意与一元二次不等式，绝对值不等式的解法相结合。

在备考时要注意以下两点：（1）在注重集合定义的基础上，牢固掌握集合的基本概念与运算，加强与其他数学知识的联系，借助数轴和Venn图突出集合的工具性；（2）适当地加强与函数、不等式的联系，注意小题目的综合化。

考向（二）简易逻辑1、规律小结简易逻辑主要要求考生理解其中蕴含的逻辑思想，并且容易与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何交汇。

考查的热点是充要条件和全称量词命题与存在量词命题。

要注意，本部分内容出错原因主要是与其他知识交汇部分，其次是充要条件的判断容易出错。

2、考点频度高频考点：充分条件与必要条件。

3、备考策略常用逻辑用语是数学学习和思维的工具，要通过具体的例子让学生切实理解其中的基本概念和思维方法。

由于该内容与函数、立体几何、不等式、数列等知识结合紧密，在立体几何、函数、不等式、数列等内容备考过程中注重渗透充分必要条件、全称量词命题和存在量词命题。

专题二、平面向量与复数考向（一）平面向量1、规律小结三年三考，向量题考的比较基础，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其他知识交汇，难度不大。

这样有利于考查向量的基本运算，符合课标要求。

2、考点频度高频考点：线性运算、夹角计算、数量积。

中频考点：模的计算、向量的垂直与平行。

低频考点：综合问题。

（从2021年中频考点降为低频考点）3、备考策略纵观近几年高考，平面向量重点考查向量的概念、共线、垂直、线性运算及标运算等知识，侧重考查数量积的坐标运算，难度较低，同时也有可能出现在解答题中，突出其工具功能。

第 6 卷 第 5 期 淮北职业技术学院学报Vol . 6 No . 5例 x →3∞n2007 年 10 月J O U RN A L O F H U A I B EI PRO F ESSION A L A N D T EC HN ICAL COL L E GE Oct 1 2007一元函数极限的求法赵 冬(淮北职业技术学院 , 安徽 淮北 235000)摘要 :一元函数极限的计算是“高等数学”基本计算之一 ,解题时要针对不同题型采取相应的求法 。

关键词 :一元函数 ;极限 ;求法 中图分类号 :O174 . 1 文献标识码 : A 文章编号 :167128275 (2007) 0520043202一元函数极限常见类型及求法归纳如下 :( x 2- 1) ( x + 1) : lim =一 、利用函数极限的四则运算法则求极限x →∞6 x 3+ x - 53 21 . 直接运用法则l im x + x - x - 1 =1x →∞ 26 x 3 + x - 5 6例 1 li mx - 5 x + 3 =x →2 2 x 3 - 3 x 2+ x - 4( 5) 先求和 , 再求极限法lim ( x 2 - 5 x + 3)例 lim1 + 1 + ⋯ +1=x →2lim ( 2 x 3 - 3 x 2 + x - 4) x →2=- 32n →∞1 ·21 2 ·31( n - 1) ·n1 12 . , 然limn →∞1-2+2 - 3+ ⋯ +1 - 1= lim1 -1 = 1( 1) n - 1 nn →∞n例 : = ( 6) 利用无穷大与无穷小的关系法x →) 例 : lim x - 1 = 0 lim x 2+ 1 =lim x - 1= 1x →1x 2 + 1x →1x - 1( 2) 通分法x →1 x ( x + 1) 2二 、利用无穷小量的性质无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量例 : 1=x ·s in x xx 1 - x 例 : li mx →+ ∞1 - x= limx →+ ∞ 1 - x·s in x = 0lim2 - ( 1 + x )x →1 ( 1 - x ) ( 1 + x ) = 12三 、幂指类函数求极限( 3) 根式有理化法 :分子有理化或分母有理化当自变量变化状态一致时如 果 lim f ( x ) = A , ( A ≠ 0) lim g ( x ) = B , 则例 1 li mx →12 - x - 1 =x 2 - 1lim [ f ( x ) ] g ( x ) = [ l i m f ( x ) ]lim g ( x )= A Bx → 例 : lim ( 2 x - 1) x →33 x - 7 =[ l im ( 2 x - 1) ] lim (3 x - 7)= 52= 25 x →= - 14x →3四 、利用等价无穷小替换法( 4) 分子分母同除以无穷大量法或根据结论lim a 0 x + a 1 x + ⋯ + a n=要熟记一些常见的等价无穷小量 如 : x →0 时 :sin x ～ x ta n x ～ xn n- 1 x →∞ b 0 x m + b 1 x m - 1 + ⋯ + b m0 , m > na rcsi n x ～ x a r cta n x ～ x2—a 0 , m = nb 01 - cos x ～ x2ln ( 1 + x ) ～ x∞, m < ne x - 1 ～ x 1 + x - 1 ～xn收稿日期 : 2007206225 作者简介 : 赵冬 ( 1973 - ) ,男 ,安徽淮北人 ,淮北职业技术学院讲师 。

考研数学一考试范围及参考书目考研数学一是众多考研学子需要攻克的重要科目之一。

它的考试范围广泛，对考生的数学基础和综合运用能力有较高要求。

了解其考试范围和参考书目对于备考至关重要。

一、考试范围1、高等数学函数、极限、连续：包括函数的概念及性质，数列极限与函数极限的定义及性质，无穷小量和无穷大量的概念及关系，函数连续的概念及性质。

一元函数微分学：导数和微分的概念、几何意义、基本公式和运算法则，函数的单调性、极值、凹凸性及拐点。

一元函数积分学：原函数和不定积分的概念，定积分的概念、性质、计算和应用，反常积分的概念和计算。

向量代数和空间解析几何：向量的概念、运算，空间直角坐标系，平面和直线的方程，曲面和空间曲线的方程。

多元函数微分学：多元函数的概念、极限和连续，偏导数和全微分的概念、计算和应用，多元函数的极值和条件极值。

多元函数积分学：二重积分、三重积分的概念、性质、计算和应用，曲线积分和曲面积分的概念、性质和计算。

无穷级数：数项级数的收敛和发散的概念、性质和判别法，幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域，幂级数的和函数，函数展开成幂级数。

常微分方程：常微分方程的基本概念，变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、可降阶的高阶方程、线性常系数齐次和非齐次方程的解法。

2、线性代数行列式：行列式的概念、性质和计算。

矩阵：矩阵的概念、运算，逆矩阵、伴随矩阵，矩阵的初等变换和矩阵的秩。

向量：向量的概念、线性组合和线性表示，向量组的线性相关和线性无关，向量组的秩和极大线性无关组。

线性方程组：线性方程组的解的存在性、唯一性和结构，齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的解的结构和通解。

矩阵的特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质和计算，相似矩阵的概念和性质，矩阵可相似对角化的条件和方法，实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

二次型：二次型及其矩阵表示，合同变换和合同矩阵，二次型的秩，惯性定理，二次型的标准形和规范形，用配方法和正交变换化二次型为标准形，正定二次型的判别法。

高等数学(数二>一.重点知识标记高等数学科目大纲章节知识点题型重要度等级高等数学第一章函数、极限、连续1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★2 .函数连续的概念、函数间断点的类型3 .判断函数连续性与间断点的类型★★★第二章一元函数微分学1 .导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★2 .函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★第三章一元函数积分学1 .积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★第四章多元函数微分学1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系★★3 .多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★第五章多元函数积分学1. 二重积分的概念、性质及计算2.二重积分的计算及应用★★第六章常微分方程1.一阶线性微分方程、齐次方程，2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★一、函数、极限、连续部分：极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则>、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理>，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。

二、微分学部分：主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。

一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。

第一阶段（3月初）主要任务是全面复习，夯实基础。

这个阶段，要按照考试大纲所列复习考试内容，全面系统地复习基础知识，对基本概念与基本原理狠下功夫，对两者的理解要深、透、不留死角。

复习基础知识时要讲究方法，注意各种知识点的归纳与类比、分析与综合，注意各知识点之间纵向与横向的联系，建立基础知识框架，总体把握基础知识的脉络。

第二阶段（8月初）主要任务是重点复习，强化练习。

这个阶段，要抓住复习重点，加强考试热点、常考知识点的复习，同时强化练习，掌握基本方法、基本技能，提高解题能力。

第三阶段（9月底10月初）主要任务是冲刺复习，模拟测试。

这个阶段，在重点复习的同时，要进行模拟测试。

通过模拟测试能发现自己的薄弱环节，从而拾遗补缺，针对薄弱环节重点复习。

同时，通过模拟测试，有利于熟悉考试情景，合理安排答题时间，调整应考心里，从而提高应试能力。

第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.理解极限的概念（对极限定义、、等形式的描述不作要求）。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。

会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法 （2）会求函数的间断点。

（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单的命题。

（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限 精选考题例题1 设,0≠b 当0→x 时，bx sin 是2x 的（ ） 高阶无穷小量 等阶无穷小量 同阶但不等价无穷小量 低阶无穷小量 【答案】 D【考点】 本题考查了无穷小量的比较的知识点. 【解析】 因为,1lim 1lim sin lim sin lim 00020∞==⋅⋅=→→→→x b x b bxbx x bx x x x x 故bx sin 是比2x 低阶的无穷小量，即bx sin 是2x 的低阶无穷小量.例题2 函数22)(-+=x x x f 的间断点为=x _______________. 【答案】 2【考点】 本题考查了函数的间断点的知识点. 【解析】 函数22)(-+=x x x f 在2=x 处无定义，故2=x 为)(x f 的间断 点.例题3 计算.1)1sin(lim 21--→x x x 解：.2111lim 1)1(lim 1)1sin(lim 12121=+=--=--→→→x x x x x x x x 第二章 一元函数微分学第一节 导数与微分（一）导数与微分（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义要求函数在一点处的导数的方法。

广西大学2021年硕士研究生入学考试《数学分析（624）》考试大纲与参考书目考试内容和考试要求（一）、考试内容1、极限和函数的连续性（1）熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量、无穷大量的概念及基本性质。

（2）掌握极限的性质及四则运算法则，能够熟练运用迫敛性定理和两个重要极限。

（3）熟练掌握：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，聚点定理，有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解其相互关系。

（4）熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。

能够熟练地运用函数连续的四则运算与复合运算性质。

（5）熟练掌握闭区间上连续函数的基本性质：有界性定理、最值定理、介值定理，一致连续性。

（6）熟练掌握实数基本理论和性质，会用实数理论及性质表达和证明相关命题。

2、一元函数微分学（1）理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。

（2）熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。

（3）熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。

（4）能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凹凸性。

（5）掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。

3、一元函数积分学（1）理解不定积分的概念。

掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，初等函数的积分。

（2）掌握定积分的概念与性质及可积条件与可积函数类。

（3）熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。

（4）能用定积分计算：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积及在物理上的应用。

（5）理解反常积分的概念。

熟练掌握判断反常积分收敛的比较判别法，Abel判别法和 Dirichlet判别法。

4、无穷级数（1）理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。

（2）熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，比式判别法和根式判别法，积分判别法。